18.上海市2015年复旦附中自招数学试卷(含答案解析及评分标准).doc

2015 年复旦附中自招数学试卷

一. 填空题A

1.若x ab ，y a2b2，则(x y)2(x y)2

2.|x1 x2 | 3 ，求x1、x2 的方差

3.从 1，4，7，，295，298(隔 3 的自然数) 中任选两个数相加，和的不同值有个

4. 解方程：x 2 1

x 2 x 2

x2 8x 15

5.|x 3| x 2 1的解有个

3mx 7 5 mx

6.有正数解，求m 的取值范围

3mx x 1 (1 2m)x 8

2

7.y x2 10x 4m与x轴两个交点在x 的正半轴，求m的取值范围

x 4 y 9 x 5 x

8.时，求的值

2 z

3 z 5 y

9. 矩形ABCD 中，AB 3BC ，将矩形折叠，点B落在

边AD上的点M 处，C 落在N 处，求|EC FB|.

AM

二. 填空题B

1.扫雷游戏

2.已知不等式y x2 px 1，求能使x y 最大值为 2 的

负实数p 的取值范围 .

3.如图所示，直线l 经过点P ，且垂直于AB ，当长方

形AOBP的周长为 20 时，请求出无论图形如何变化，l

始终经过的定点坐标

k

4.在反比例函数y 上存在点C ，以点C 为圆心， 1 为半径画圆，圆上存在两点到O 点

x

距离为 2，则k 的取值范围

5.已知直线MA 、NB均与线段MN为直径的半圆相切，直线AB与半圆相切于点

F，P在PA PB

线段MN上且PF MN ，当直线AB变化时，求PA PB的最大值 .

AB

6.在 1，2， 3，，39，40，数列中能找出对数字使它们的差的绝对值为质数 .

三. 解答题

1. 已知在BAC 的内部存在一点M ，在不画出A 点的情况下过M 点作一条直线，使它经过A 点.

2

2. 设x1、x2为x22px p 0的两根，p为实数 .

（1）求证：2px1 x22 3p 0 ；

（2）当|x1 x2 | |2p 3|时，求p的最大值 .

3. 实数a、a2、、a n满足：① a1 a2 a n 0；② |a1| |a2 | |a n | 1；

1

求证：k个数( k 1,2,3, ,n)，|a1 a2 a k | 1.

2

4.锐角△ ABC中，AD 、BE 、CF 分别为BC 、AC 、AB边上的高，设BC a，AC b，

AB c ，BD x，EC y ，AF z.

（1）用a、b、c表示x；

（2）当a、b 、c满足什么关系时，有2（x y z） a

b c.

参考答

案

一. 填空题

A

1. 2a22b22

.

3.

197

6. m 为任意实数7

.

0m

25

4

1

8.

2

3

4. x

2

1

9.

3

5.

2

. 填空题B

5. 2

2. p 3

3. (10,10)

4.

9 k 9且k 0

22

6.

283

三. 解答

题1

. 法一：位似；法二：平行四边形法

2 . 1）证明略；（ 2）

p max

9

16

3 . 证明略 .

4 .

2 2 2 acb

1) x

2a

；（2）当a b或b c或c a

时，

2(x y z) a b c.

2015 年复旦附中自主招生试卷

一. 填空题

1. 已知实数x、y、z满足x y 4，|z 1| xy 2y 9，则3x 2y z

2. 抛物线y ax2bx c与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ ABC 是直角三角形，则ac 的值等于

3. 如图△ ABC是直角三角形，S1、S2 、S3为正方形，已知a 、b、c分别是S1、S2 、S3 的边长，则a、b、c满足的关系式为

x 1或 x 2

4. 若满足关于x的不等式组5 的整数解只有2一个，则实数a 的取值范围为xa

2

5.已知关于x的方程(a 1)x2 2x (a 1) 0的根都是整数，则满足条件的整数a 的值为

6.如图，在 Rt△ ABC中，AC 3，BC 4，点D为斜边AB上的一个动点，过D作DE BC，DF AC ，垂足分别为E 、F ，则线段EF 长度的最小值为

7.从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于 100，则可有种

不同的取法

8.已知x1，x2，x3，，x n中每一个数值只能取2 ，0，1中的一个，且满足

2 2 2

3 3 3

x1x2x n17 ，x12x22x n237，则x13 x23x n3

9.如图，半径分别为 1和 2的两个圆外切，且两圆与等腰三角形△ABC的两腰AB 和AC

都相切，则△ ABC 的面积为

10.如图，ABCDE 是正五边形，已知AG 1，则FG JH CD