微积分经管类第四版吴赣昌习题全解第六章定积分的应用

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吴赣昌编概率论与数理统计第6章(new)

点估计：用某个函数值作为总体未知函数的估计值区间估计：对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。
点估计：由总体的样本(X1,X2,…,Xn)对每一个未知参数 θi(i=1,2,…,k)构造统计量 ˆ ˆ ( X , X , , X )作为参数θi
i i 1 2 n
ln L 0 1 ln L 0 2 ln L 0 m
从中解出 ˆ1 , ˆ2 , , ˆm
在例6.4中，
xi n xi n i 1 i 1 x i ln n ln L ( ) ln (1 ) i 1
L ( x1 , x 2 ,..., x n ; ˆ ( x1 , x 2 ,..., x n )) max L ( x1 , x 2 ,..., x n ; )
Θ
称统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,..., 记为 ˆL
X n)
为参数θ的极大似然估计量。
3、求极大似然估计的步骤设总体X的分布中，有m个未知参数θ1,θ2,…,θm，它们的取值范围。 (1)写出似然函数L的表达式如果X是离散型随机变量，分布律为P(X=k)，则
例6.4 设总体X服从0—1分布，即分布律为
P(X x )
x
(1 )
1 x
f (x )

x=0,1，其中0<θ<1未知
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，设其观察值为(x1,x2,…,xn)，则事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)发生的概率为
P ( X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n )

高等数学第六章定积分应用试题及答案

第六章一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。

但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。

微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。

量dA 称为待求量的微元素。

然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。

这就是微元法。

在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。

（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。

定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。

方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。

以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。

（1）X — 型平面图形的面积（2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。

微积分(第四版)(大学本科经济应用数学基础特色教材系列)

微积分（第四版）（大学本科经济应用数学基础特色教材系
者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
基础
理论
运算
基本概念
微积分
积分
方面
数学
书
方法函数
经济
应用
习题
阶
法则
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概念
极限
内容摘要
《微积分》（第四版）共分七章，介绍了经济工作所需要的一元微积分、二元微积分及无穷级数、一阶微分方程等，书首列有预备知识初等数学小结。本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法，培养学生的熟练运算能力及解决实际问题的能力。
读书笔记
我想尝试一件事，用徽分学解水流连续不断的问题，无论多远它们似乎都是连接的，但中间的外来或己生长的杂物只能在一定条件下生存。
目录分析
1
§1.1函数的类别与基本性质
§1.2几何与经 2
济方面函数关系式
3 §1.3极限的概
念与基本运算法则
4
§1.4无穷大量与无穷小量
5
§1.5未定式极限
感谢观看
习题四
§5.1定积分的概念与基本运算法则
§5.2变上限定积分
§5.3牛顿-莱不尼兹公式
§5.4定积分换元积分法则
§5.5定积分分部积分法则
§5.6广义积分
§5.7平面图形的面积
习题五
§6.1二元函数的一阶偏导数
§6.2二元函数的二阶偏导数
§6.3二元函数的全微分
§6.4二元函数的极值
§3.5函数曲线的凹向区间与拐点
§3.6经济方面函数的边际与弹性

大学微积分第六章

第六章定积分及其应用§6-1 定积分的概念与性质（Concept and propoties of definite integral ）(一)、定积分的概念1、问题的提出1）、求面积——曲边梯形的面积S （分析）采用的做法⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧积零为整无限累加化整为零无限细分设曲边梯形由连续函数()y f x =（()0f x >）和x a =，x b =及x 轴围成，面积为S ，作如下处理（1）分割：在[,]a b 间插入1n +个分点0121,,,...,,n n a x x x x x b -==，将[,]a b 分成了n个小区间段，同时将曲边梯形分成了n 个小曲边梯形，各小区间的长度记为1i i i x x x -∆=-，小曲边梯形的面积记为i S ∆，则有1nii s s==∆∑。

（2）近似计算：在1[,]i i x x -中任取一点i ξ，用以i x ∆及()i f ξ为边的矩形面积近似替代i S ∆，即()i i i s f x ξ∆≈∆。

（3）求和：因而整个曲边梯形的面积就可以近似计算为1nii s s==∆∑()1niii f xξ=≈∆∑（4）取极限：求S 的精确值记1m ax{}i inx l ＃=D，则当0λ→时，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积为：S =()()01limniin i f xλξ→∞→=∆∑或2）、求变速直线运动的路程我们知道若物体作匀速直线运动，则其路程可用速度乘以时间来计算，但若为变速直线运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化.在平面直角坐标系中，作出速度()v t 的函数图形，求速度为()v t 的变速直线运动在时间[,]a b 内的运动路程s 。

（1）分割：将时间段[,]a b 用1n +个分点0121,,,...,,n n a x x x x x b -==分成n 个小区间段1[,]i i t t -，小区间的长记作1i i i t t t -D =-(1,2,,)i n =鬃 .（2）近似计算：在1[,]i i t t -中任取一点i ξ，在此时间段内把物体的变速运动近似看作速度为()i v x 的匀速运动，则此时间间隔i t D 内所走路程为()i i is v t x D 籇（1,2,,i n =鬃）（3）求和：11()nnii i i i s sv t x ===D 籇邋（4）取极限：记1m ax{}i int l ＃=D ，令0l ®，则()01limniii s v tλξ→==∆∑。

吴赣昌版高数第六章定积分的应用

第六章定积分的应用课后习题全解习题6—2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2—1∵所围区域D 表达为X —型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10, （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210)∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间［0，π/2]上,曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X —型还是Y —型，解法都较简单，所以选其一做即可解:见图6-2—2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， (或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D( 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2—3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ,∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为:2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X —型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X —型做解：见图6—2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（—1,—1），又这两条线和2=x 分别交于)21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121,∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路:所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y —型时，解法较简单解:见图6—2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ) ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为X —型时，解法较简单，所以用X —型做解:见图6-2—7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为(0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型:⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过(0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质:（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过(0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2,（由于下弯,所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2,得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：xe y =⇒xe y =',∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6—2—10X —型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x e edx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路:作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π,也可选择极坐标求面积的方法做。

微积分第六章定积分

第六章定积分定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到17世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来．下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用．第一节定积分概念一、定积分问题举例１．曲边梯形的面积设f (x )是定义在区间［a ,b ］上的非负连续函数，由曲线y =f (x )及直线x =a ,x =b 和y =0所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．图6-1为了利用已知图形(比如说矩形)的面积公式，可以先在［a ,b ］内任意插入n 个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b ．这样整个曲边梯形就相应地被直线x =x i (i =1,2,…,n -1)分成n 个小曲边梯形，区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n -1,x n ］,第i 个小区间的长度为Δx i =x i -x i －１（i =1,2,…，n )．对于第i 个小曲边梯形来说，当其底边长Δx i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似．若任取ξi ∈［x i -1,x i ］,用f (ξi )作为第i 个小矩形的高(图6-1)，则第i 个小曲边梯形面积的近似值为ΔA i ≈f (ξi )Δx i ．这样，整个曲边梯形面积的近似值就是11()n ni i i i i A A f x ξ===∆=∆∑∑．从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式1()niii f xξ=∆∑与整个曲边梯形的面积也会越接近，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，当λ→0时，和式1()niii f xξ=∆∑ 的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑．2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度v =v (t )是时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］上t 的连续函数，且v (t )≣0，计算在这段时间内物体所经过的路程s ．我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s 不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，物体运动的速度函数v =v (t )是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内的路程．对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间［Ｔ１，Ｔ２］内任意插入n -1个分点Ｔ１＝t 0＜t 1＜t 2＜…＜t n -1＜t n =T 2,把区间［Ｔ１，Ｔ２］分成n 个小区间［t 0,t 1］,［t 1,t 2］,…，［t n －１，t n ］，各小区间的长度依次为Δt 1,Δt 2,…，Δt n ,在时间段［t i －１，t i ］上的路程的近似值为v (τi )Δt i (i =1,2,…，n )，(其中τi 为[t i -1,t i ]上的任意一点.)整个时间段［Ｔ１，Ｔ２］上路程的近似值为s ≈v (τ1)Δt 1+v (τ2)Δt 2+…+v (τn )Δt n1()ni i i v t τ==∆∑ ．当分点越密时，1()niii v tτ=∆∑就会与s 越接近，因此记{}1max i i nt λ≤≤=∆,当λ→0时，和式1()niii v tτ=∆∑的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内所走过的路程．即1lim ()ni i i s v t λτ→==∆∑．二、定积分定义从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积A 及变速直线运动的路程s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如面积01lim()niii A f x λξ→==∆∑,路程01lim()niii s v tλτ→==∆∑.抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．定义设函数f (x )在［a ,b ］上有界，在［a ,b ］中任意插入n -1个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n =b ,把区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n －１，x n ］,各小区间的长度依次为Δx 1=x 1-x 0,Δx 2=x 2-x 1,…，Δx n =x n -x n -1,在每个小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ,作乘积f (ξi )Δx i (i =1,2,…,n )，再作和式lim ()i i S f x λξ→=∆．（6-1-1）记λ=max ｛Δx 1,Δx 2,…，Δx n ｝,如果不论［a ,b ］怎样分法，也不论［x i －１，x i ］上点ξi 怎样取法，当λ→0时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分(简称积分)，记作()d baf x x ⎰,即()d lim ()bi i af x x f x I λξ→=∆=⎰， (6-1-2)其中f (x )叫做被积函数，f (x )d x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，［a ,b ］叫做积分区间．注当和式1()niii f x ξ=∆∑的极限存在时，其极限值仅与被积函数f (x )及积分区间［a ,b ］有关，而与积分变量所用字母无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论．如果f (x )在［a ,b ］上的定积分存在，我们就说f (x )在［a ,b ］上可积．由于这个定义是由黎曼(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式1()niii f x ξ=∆∑也称为黎曼和．对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x )在［a ,b ］上满足怎样的条件，f (x )在［a ,b ］上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件．定理1 设f (x )在区间［a ,b ］上连续，则f (x )在［a ,b ］上可积．定理2 设f (x )在区间［a ,b ］上有界，且只有有限个间断点，则f (x )在［a ,b ］上可积．利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：曲线y =f (x ) (f (x )≣0)、x 轴及两条直线x =a 、x =b 所围成的曲边梯形的面积A 等于函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分．即()d baA f x x =⎰．物体以变速v =v (t )［v (t )≣0］作直线运动，从时刻t =T 1到时刻t =T 2,这物体经过的路程 s 等于函数v (t )在区间［Ｔ１，Ｔ２］上的定积分，即12()d T T s v t t =⎰．三、定积分的几何意义在［a ,b ］上f (x )≣0时，我们已经知道，定积分()d baf x x ⎰在几何上表示曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在［a ,b ］上f (x )≢0时，由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分图6-2()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在［a ,b ］上f (x )既取得正值又取得负值时，函数f (x )的图形某些部分在x 轴上方，而其他部分在x 轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在x 轴上方的图形面积赋以正号，在x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分()d baf x x ⎰的几何意义为：它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和．图6-3例1 利用定积分的几何意义，计算x ⎰．解显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义知，x ⎰就是图6-3所示半径为1的圆在第一象限部分的面积，所以2144x ππ=⋅=⎰．四、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定：(1) 当a =b 时，()d baf x x ⎰=0;(2) 当a ＞b 时，()d baf x x ⎰= -()d abf x x ⎰．由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反．下面我们讨论定积分的性质．下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰．证1[()()]d lim [()()]nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰ 0011lim ()lim ()nni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑()d ()d bbaaf x xg x x =±⎰⎰．性质1对于任意有限个函数都是成立的．类似地，可以证明：性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰ (k 是常数)．性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a ＜C ＜b ，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．证因为函数f (x )在区间［a ,b ］上可积，所以不论把［a ,b ］怎样分，积分和的极限总是不变的．因此，我们在分区间时，可以使c 永远是个分点．那末，［a ,b ］上的积分和等于［a ,c ］上的积分和加［c ,b ］上的积分和，记为[,][,][,]()()()iiiiiia b a c c b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑．令λ→0，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．按定积分的补充规定，不论a ,b ,c 的相对位置如何，总有等式()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰成立．例如，当a ＜b ＜c 时，由于()d ()d ()d c b caabf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰,()d ()d ()d bc caa bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰()d ()d cbacf x x f x x =+⎰⎰．性质4 如果在区间［a ,b ］上f (x )≡1，则1d d bbaax x b a ==-⎰⎰．这个性质的证明请读者自己完成．性质5 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≣0，则()d 0baf x x ≥⎰(a ＜b )．证因为f (x )≣0，所以f (ξi )≣0(i =1,2,…，n )．又由于Δx i ≣0(i =1,2,…，n ),因此1()niii f x ξ=∆∑≣0,令λ=max ｛Δx 1,…，Δx n ｝→0，便得到要证的不等式．推论1 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≢g (x ),则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证因为g (x )-f (x )≣0，由性质5得[()()]d baf xg x x -⎰≣0．再利用性质1，便得到要证的不等式．推论2()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证因为-︱f (x )︱≢f (x )≢︱f (x )︱,所以由推论1及性质2可得()d ()d ()d b b baaaf x x f x x f x x -≤≤⎰⎰⎰，即()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．注︱f (x )︱在［a ,b ］上的可积性可由f (x )在［a ,b ］上的可积性推出，这里我们不作证明．性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间［a ,b ］上的最大值及最小值，则m (b -a )≢()d baf x x ⎰≢M (b -a ) (a ＜b )．证因为m ≢f (x )≢M ,所以由性质5推论1得d ()d d bbbaaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰．再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范例2 估计定积分221d +1xx x ⎰的值．解因f (x )=2+1xx 在［１，２］上连续，所以在［１，２］上可积，又因为 2221()0(+1)x f x x -'=≤ (1≢x ≢2)，所以f (x )在［１，２］上单调减少，从而有21()52f x ≤≤，于是由性质6有2121()d 52f x x ≤≤⎰．性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间［a ,b ］上连续，则在积分区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使下式成立：()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a ≢ξ≢b ）．这个公式叫做积分中值公式．证把性质6中的不等式各除以b -a 得1()d bam f x x M b a ≤≤-⎰．这表明，确定的数值1()d ba f x xb a-⎰介于函数f (x )的最小值m 及最大值M 之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得函数f (x )在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d ()baf x x f b a ξ=-⎰ (a ≢ξ≢b )．两端各乘以b -a ，即得所要证的等式．图6-4积分中值公式有如下的几何解释：在区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得以区间［a ,b ］为底边、以曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f (ξ)的一个矩形的面积(图6-4)．显然，积分中值公式()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a ＜b 或a ＞b 都是成立的．例3求10limn n x →+∞⎰．解由于当0≢x ≢1/2时，有n ≢x n ,所以≢120n x ⎰≢120d n x x ⎰．又由积分中值定理，有121limd lim02n nn n x x ξ→+∞→+∞==⎰（０≢ξ≢1/2)，故10lim0n n x →+∞=⎰．习题6-11．利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积． 2．利用定积分的几何意义求定积分： (1)102d x x ⎰;(2) 0x ⎰（a ＞0）． 3．根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d x x ⎰与1(1)d x x +⎰．4．估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰．第二节微积分基本公式在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算．为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法．一、积分上限函数设函数f (t )在［a ,b ］上可积，对于x ∈［a ,b ］，则函数f (t )在［a ,x ］上可积．定积分()d xaf t t⎰对每一个取定的x 值都有一个对应值，记为F (x )=()d xaf t t ⎰, a ≢x ≢b ,F (x )是积分上限x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分．积分上限函数具有下述重要性质．定理1(原函数存在定理) 设函数f (x )在［a ,b ］上连续，则积分上限函数()()d xaF x f t t=⎰就是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，即d ()()d ()d xaF x f t t f x x '==⎰,a ≢x ≢b ．证我们只对x ∈(a ,b )来证明(x =a 处的右导数与x =b 处的左导数也可类似证明)．取｜Δx ｜充分小，使x +Δx ∈(a ,b )，则ΔF =F (x +Δx )-F (x )=()d ()d x xxaaf t t f t t +∆-⎰⎰()d ()d ()d x x xxaxaf t t f t t f t t -∆=+-⎰⎰⎰()d x xxf t t -∆=⎰．因f (x )在［a ,b ］上连续，由积分中值定理，有ΔF =f (ξ)Δx ,ξ在x 与x +Δx 之间，即ΔF/Δx =f (ξ)．由于Δx →0时，ξ→x ，而f (x )是连续函数，上式两边取极限有00limlim ()lim ()()x x x Ff f f x x ξξξ∆→∆→→∆===∆,即F ′(x )=f (x )．另外，若f (x )在［a ,b ］上可积,则称函数ψ(x ) ()d bxf t t =⎰, x ∈［a ,b ］为f (x )在［a ,b ］上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式()d ()d bxxbf t t f t t =-⎰⎰转化为积分上限函数而获得．例1 设f (x )∈C （（-∞,+∞））,且满足方程1618120()d ()d 89xx x f t t t f t t =++⎰⎰，求f (x )．解在方程两端对变量x 求导得21517()()22f x x f x x x =-++，即 (1+x 2)f (x )=2x １５(1+x 2), 故f (x )=2x １５．例2 计算下列导数：(1)sin 0d ()d d x f t t x ⎰; (2) 32d e d d x tx t x -⎰．解 (1) ()sin sin 00d d dsin ()d ()d d dsin d x x xf t t f t t x x x=⎰⎰ (sin )cos f x x = ．(2) 332200d de d e d e d d d x x t t tx x t t t x x ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2300d de d e d d d x x t tt t x x --=-+⎰⎰232e 2e 3x x x x --=-+ 2322e 3e x x x x --=-+．对于一般情形，我们有下述结论：设f (x )∈C (［a ,b ］),u (x )和v (x )为可导函数，且u (x )∈［a ,b ］,v (x )∈［a ,b ］，则有()()d ()d (())()(())()d u x v x f t t f u x u x f v x v x x''=-⎰．读者可利用复合函数求导法则证明此结论．例3 求21cos 2e d limt xx t x-→⎰．解易知这是一个型的未定式，我们用洛必达法则来计算 ()22cos 11cos 22e d e d limlim()xt t xxx x ttxx --→→'-='⎰⎰2cos 0e sin 1lim 22ex x x x -→==．例4 求02()()d limxx f t x t t x →-⎰,其中f (x )是(－∞，＋∞)内的连续函数．解由于()()d ()d ()d xxxf t x t t x f t t tf t t -=-⎰⎰⎰,且 00lim()d 0xx f t t →=⎰故 ()22()d ()d ()()d limlim()xxxxx x x f t t tf t tf t x t t xx →→'--='⎰⎰⎰()d ()()lim2xx f t t xf x xf x x→+-=⎰()d ()1limlim(0)222xx x f t t f x f x→→===⎰．二、微积分基本公式现在我们用定理1来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式．定理2设函数f (x )在［a ,b ］上连续，F (x )是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰． (6-2-1)证因为F (x )与()d xaf t t ⎰都是f (x )在［a ,b ］上的原函数，所以它们只能相差一个常数C ，即()d ()xaf t t F x C =-⎰．令x =a ,由于()d 0aaf t t =⎰，得C = -F (a ),因此()d ()()xaf t t F x F a =-⎰．在上式中令x =b ，得()d ()()baf t t F b F a =-⎰．为方便起见，以后把F (b )-F (a )记成()bF x a，于是(6-2-1)式又可写成 ()d ()babf x x F x a=⎰．通常称公式(6-2-1)为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式，它表明：一个连续函数在［a ,b ］上的定积分等于它的任意一个原函数在［a ,b ］上的改变量．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．下面我们举几个应用公式(6-2-1)来计算定积分的简单例子．例5 计算120d x x ⎰．解由于313x 是x 2的一个原函数，故由公式(6-2-1)有112311d 33x x x ==⎰．例6 计算．解x x =20sin cos d x x x π=-⎰2204(sin cos )d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=++--2=．习题6-21．求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x-⎰； (3) cos 2sin cos()d x x t t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22d sin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0)． 2．求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x→⎰; (2) 2020sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰．3．求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数．4．当x 为何值时，I (x )= 2e d xt t t -⎰有极值?5．计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩(4){}222max 1,d x x -⎰．6．已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰．第三节定积分的换元法由上节知道，计算定积分()d baf x x ⎰的简便方法是把它转化为求f (x )的原函数的增量，在第五章中，我们知道用换元法可以求出一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分．我们有下面的定理．定理假设f (x )在［a ,b ］上连续，函数x =φ(t )满足条件： (1) 当t ∈［α，β］时，a ≢φ(t )≢b ，且φ(α)=a ,φ(β)=b ， (2) φ(t )在［α，β］上具有连续导数，则有()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰．（6-3-1）公式(6-3-1)叫做定积分的换元公式．证由假设知，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两端的定积分都存在，而且由上节定理1知，被积函数的原函数也都存在．所以(6-3-1)式两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算．现假设F (x )是f (x )的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰,又由复合函数的求导法则知Φ(t )=F (φ(t ））(t ∈（α，β））是f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数，所以(())()d (())(())()()f t t t F F F b F a βαϕϕϕβϕα'=-=-⎰,故()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰．这就证明了换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(1) 用x =φ(t )把原来变量x 代换成新变量t 时，原积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2) 求出f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数Φ(t )后，不必像计算不定积分那样把Φ(t )变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入Φ(t )中，然后相减就行了．例1计算x ⎰（a ＞0）．解设x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,且当x =0时，t =0;当x =a 时，t =2π．于是222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224a at t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦．换元公式也可反过来使用．为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位置，同时把t 改记为x ，而x 改记为t ，得(())()d ()d f x x x f t t ββααϕϕ'=⎰⎰．于是，我们可用t =φ(x )来引入新变量t ,而α=φ(a ),β=φ(b )．例2计算4x ⎰．解设t,则x =212t x -=,d x =t d t ,且当x =0时，t =1;当x =4时，t =3,于是343210111(3)d (3)223tx t t t =+=+⎰⎰127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦．例3 计算520cos sin d x x x π⎰．解设t =cos x ,则d t = -sin x d x ,且当x =0时，t =1;当x =2π时，t =0，于是1601555201001cos sin d d d 66t x x x t t t t π⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．在例3中，如果我们不明显地写出新变量t ,那末定积分的上、下限就不要变更．55220cos sin d cos d(cos )x x x x x ππ=-⎰⎰260cos 11(0)666x π⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦．例4设f (x )∈C (［－a ,a ］)，试证： (1)[]0()d ()()d aaaf x x f x f x x -=--⎰⎰；(２) 当f (x )为奇函数时，()d 0aaf x x -=⎰；(3) 当f (x )为偶函数时，0()d 2()d aa af x x f x x -=⎰⎰．证 (1) 由于()d ()d ()d aaaaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰，在()d af x x -⎰中，设x = -t ，则()d ()d ()d a aaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰．故[]0()d ()d ()d ()()d aaaaaf x x f x x f x x f x f x x -=-+=-+-⎰⎰⎰⎰．(2) 当f (x )是奇函数时，f (-x )+f (x )=0,因此()d 0aaf x x -=⎰．(3)当f (x )是偶函数时，f (-x )+f (x )=2f (x ),因此()d 2()d a aaf x x f x x -=⎰⎰．利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．例5 求下列定积分44d 1sin xxππ-+⎰．解由于被积函数为非奇非偶函数，由例4(1)知402444004d 11()d 2sec d 2tan 21sin 1sin 1sin x x x x xx x xπππππ-=+===+-+⎰⎰⎰．例6 设函数f (x )在［０，１］上连续，试证(1)2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰;特别地，220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰ (n 为非负整数)；(2)00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰,并由此计算20sin d 1cos x x x x π+⎰．证 (1) 设x =2t π-,则d x = -d t ,且当x =0时，t =2π; x =2π时，t = 0,于是0202(sin )d (sin())d 2f x x f t t πππ=--⎰⎰220(cos )d (cos )d f t t f x x ππ==⎰⎰．特别地，取f (x )=x n 在［０，１］上连续，由上述证明有220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰.(2) 设x =π-t ，则d x = -d t ,且当x =0时，t =π；x =π时，t =0;于是(sin )d ()(sin())d ()(sin )d xf x x t f t t t f t t πππ=-π-π-=π-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππ=π-=π-⎰⎰⎰⎰．因此0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰．利用结论(2)得222000sin sin d cos d d 1cos 21cos 21cos x x x xx x x x xπππππ==-+++⎰⎰⎰ 20arctan(cos )24x πππ=-=．例7 设f (x )是(-∞，+∞)内的连续函数，且满足()d 1cos xtf x t t x -=-⎰,求f (x )．解由u =x -t ,故t =x -u ,d t = -d u ,且当t = 0时，u = x ;t = x 时，u =0．于是00()d ()()d ()()d xxxtf x t t x u f u u x u f u u -=--=-⎰⎰⎰()d ()d x xx f u u uf u u =-⎰⎰,因此f (x )满足()d ()d 1cos x xx f u u uf u u x -=-⎰⎰．上式两边对x 求导，得()d sin xf u u x =⎰．两边对x 求导，得f (x )=cos x ．例8 设函数f (x )= 21,101cos e ,0x x x x x -⎧-≤≤⎪+⎨⎪≥⎩,求41(2)d f x x -⎰．解设u =x -2,则当x =1时，u =-1;当x =4时，u =2．于是4211(2)d ()d f x x f u u --=⎰⎰20210d e d 1cos u uu u u --=++⎰⎰2024101111tan e tan e 22222u u ---=-=-+．习题 6-31．计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)x x 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰; (6)2e 1⎰(7)1; (8)x ;(9)ln 3ln 2d e e x xx --⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)1x ⎰; (12) 22x ππ-⎰．2．利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰．3．证明下列等式： (1)23211()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)； (3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰．4．若f (t )是连续函数且为奇函数，证明()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数．5．设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增．第四节定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数u =u (x )，v =v (x )在区间［a ,b ］上具有连续导数u ′(x )，v ′(x )，则有(uv )′＝u ′v +uv ′．分别求等式两端在［a ,b ］上的定积分，并注意到()d bb a auv x uv '=⎰,便得d d b bb aaa uvu v x uv x ''=+⎰⎰,移项，就有d d bbb a aauv x uv vu x ''=-⎰⎰,或简写为 d d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰．这就是定积分的分部积分公式．例1 计算120arcsin d x x ⎰．解1201120arcsin d arcsin x x x xx =-⎰⎰112222011(1)d(1)262x x -π=+--⎰12011212ππ==．例2 计算2e 2eln d (1)xx x -⎰．解2222e e e e e 2eee l n 1l n dd l n d ()(1)11(1)x x x x x x x x x x =-=-+----⎰⎰⎰ 2e e 111d e +11x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭⎰ []2e e1ln(1)ln e +1x x =+--1ln(e +1)1e +1=+-．例3计算x 1⎰．解先用换元法．令t则x =t 2,d x =2t d t ,且当x =0时，t =0;当x =1时，t =1,于是02e d t x t t 11=⎰⎰．再用分部积分法计算上式右端的积分：1100e d de e e d e e 1t t t t tt t t t t 111==-=-=⎰⎰⎰．因此2e d 212t x t t 11==⨯=⎰⎰．例4 设f (x )在［a ,b ］上可导，且f (a )=f (b )=0, 2()d 1baf x x =⎰,试求()()d baxf x f x x '⎰．解[]21()()d ()d ()d ()2bbb aaa xf x f x x xf x f x x f x '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰⎰ 2211()()d 22b b a axf x f x x =-⎰ 110122=-⨯=-．例5 证明220sin d cos d nnx x x x ππ=⎰⎰;并求20sin d n n I x x π=⎰．证令x =2t π-，则当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．故 022002sin d sin ()d cos d 2nnn x x t t x x ππππ=--=⎰⎰⎰．1220sin d sin d cos nn n I x x x x ππ-==-⎰⎰201220sincos cos (1)sin cos d n n x xx n x x x ππ--=-+-⎰2220(1)sin (1sin )d n n x x x π-=--⎰2(1)(1)n n n I n I -=---,由此得到递推公式：21n n n I I n--=．又易求得200d 2I x ππ==⎰,210sin d 1I x x π==⎰,故当n 为偶数时13312422n n n I n n --π=- , 当n 为奇数时1342253n n n I n n --=- ．习题6-41．利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰．2．计算下列定积分：(1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx xππ⎰; (5) 220e cos d xx x π⎰; (6) 221log d x x x ⎰;(7)π2(sin )d x x x ⎰; (8) e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰． 3．已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 20()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰．第五节定积分的应用本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．一、建立定积分数学模型的微元法由定积分定义可知，若f (x )在［a ,b ］上可积，则对于［a ,b ］的任一划分a =x 0＜x 1＜…＜x n =b 及［x i -1,x i ］中任一点ξi ，有1()d lim ()nbi i ai f x x f x λξ→==∆∑⎰，（6-5-1）这里Δx i =x i -x i -1(i =1,2,…，n ),λ={}1max i i nx ≤≤∆，此式表明定积分的本质就是某一特定和式的极限．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，前面我们所介绍过的曲边梯形面积的计算问题就是归结为定积分来计算的，其归结过程概括地说就是“划分作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部上近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代表“变”，这就是我们建立定积分数学模型的基本方法，也是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．根据定积分的定义，如果某一实际问题中的所求量Q 符合下列条件：(1) 建立适当的坐标系和选择与Q 有关的变量x 后，Q 是一个与定义在某一区间［a ,b ］上的可积函数q (x )有关的量；(2) Q 对于区间［a ,b ］具有可加性，即如果把区间［a ,b ］任意分成n 个部分区间［x i -1,x i ］(i =1,2,…，n ),则Q 相应地分成n 个部分量ΔQ i ,而Q =1nii Q ∆=∑．(3) 部分量ΔQ i 可近似表示为q (ξi )Δx i (ξi ∈［x i -1,x i ］)，且ΔQ i -q (ξi )Δx i =o (Δx i )．那么，我们即可获得所求量Q 的定积分数学模型：1lim ()()d nbi i ai Q q x q x x λξ∆→===∑⎰,其中λ={}1max i i nx ≤≤∆,Δx i =x i -x i -1．而在实际建模过程中，为简便起见，通常将具有代表性的第i 个小区间［x i -1,x i ］略去下标，记作［x ,x +Δx ］，称其为典型小区间，然后求出相应于这个小区间的部分量ΔQ 的近似值．如果ΔQ 能近似地表示成［a ,b ］上一个可积函数在x 处的值q (x )与Δx 的积，且ΔQ =q (x )Δx +o (Δx ), （6-5-2）就把q (x )Δx 称为Q 的微元(或称元素)，记作d Q =q (x )Δx ． (6-5-3)事实上，对任意x ∈［a ,b ］,若用Q (x )记为区间［a ,x ］所对应的部分量，则Q (a )=0,Q (b )=Q ,且［x ,x +Δx ］所对应的部分量为ΔQ =Q (x +Δx )-Q (x )． (6-5-4)由(6-5-2)式与(6-5-4)式表明(6-5-3)式右端q (x )Δx 即为Q (x )的微分，从而Ｑ＝Ｑ（b )-Q (a ) ()()d =()d Q b bQ a aQ q x x =⎰⎰． (6-5-5)对自变量x 来说，注意到我们有d x =Δx 的规定，因此，习惯上我们将［x ，x +d x ］作为典型小区间．上述建立定积分数学模型的方法称为微元法．值得注意的是，在利用上述微元法建模的过程中，证明ΔＱ-q (x )Δx =o (Δx )是十分关键的．但对于一些初等问题，这一事实往往比较明显，因此也就常常省去了这一步．下面，我们利用微元法来解决一些实际问题．二、定积分的几何应用1．平面图形的面积由定积分的几何意义我们知道：若f (x )∈C (［a ,b ］)且对任意x ∈［a ,b ］有f (x )≣0,则()d baf x x⎰表示由曲线y =f (x )，直线x =a 和x =b 及x 轴所围曲边梯形的面积．一般地，由平面曲线所围平面图形的面积，在边界曲线为已知时，均可用定积分来求得．图6-5设一平面图形由连续曲线y =f (x ),y =g (x )及直线x =a 和x =b (a ＜b )所围(图6-5)．为了求该平面图形的面积A ，我们在［a ,b ］上取典型小区间［x ,x +d x ］，相应于典型小区间的面积部分量ΔA 近似地等于高为︱f (x )-g (x )︱,宽为d x 的窄矩形的面积(图6-5)，从而得到面积微元d A =︱f (x )-g (x )︱d x , 所以 =()()d baA f x g x x -⎰． (6-5-6)类似地，若平面图形由连续曲线x =ψ(y ),x =φ(y )及直线y =c 和y =d (c ＜d )所围成(图6-6)，则其面积A 为=()()d dcA y y x ψϕ-⎰． (6-5-7)图6-6我们看到(6-5-6)式的积分是以x 为积分变量，(6-5-7)式的积分是以y 为积分变量．例1 计算由抛物线y =-x 2+1与y =x 2-x 所围图形的面积A ．图6-7解两抛物线交点由221,y x y x x⎧=-+⎨=-⎩ 解得13(,)24-及(1，0)，于是图形位于直线x = 12-与x =1之间(图6-7)．取x 为积分变量，由(6-5-6)式得12212(1)()d A x x x x =-+--⎰1212(21)d x x x =-++⎰3211221()32x x x -=-++=98．例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围图形的面积A ．解两线交点由22,4y x y x ⎧=⎨=-⎩图6-8解得为(2，-2)及(8，4)．这时宜取y 为积分变量，因图形(图6-8)位于直线y = -2和y =4之间，于是由(6-5-7)式得22344224d (4)18226y y y A y y y --=+-=+-=⎰.例3 求由曲线y =sin x ,y =cos x 及直线x =0, 2x π=所围图形的面积A ．图6-9解两线交点由sin ,cos y x y x =⎧⎨=⎩解得(4π,如图6-9所示．取x 为积分变量，由(6-5-6)式有4204(cos sin )d (cos sin )d A x x x x x x πππ=-+-⎰⎰424(sin cos )(cos sin )x x x x πππ=++--＝1)．例4 求椭圆22221x y a b+=所围图形的面积A ．图6-10解因为椭圆关于两坐标轴对称(图6-10)，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，再由(6-5-6)式，即有4A x =⎰．应用定积分换元法，令x =a cos t (0≢t ≢π2), 则 y =b sin t , d x =-a sin t d t ．当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．于是 024sin (sin )d A b t a t t π=-⎰2204sin d 44abt t ab ab ππ===π⎰．2．旋转体的体积Ｖ图6-11考虑介于过x 轴上点x =a 及x =b 且垂直于x 轴的两平行平面之间的立体(图6-11)，设在x (a ≢x ≢b )处垂直于x 轴的截面面积可以用x 的连续函数A (x )来表示．为了求其体积，我们在［a ,b ］内取典型小区间［x ,x +d x ］，用以底面积为A (x )，高为d x 的柱体体积近似于典型小区间［x ,x +d x ］对应的体积部分量，则得体积元素d Ｖ=A (x )d x ，从而 ()d baV A x x =⎰(6-5-8)类似地，对于介于过y 轴上点y =c 及y =d 且垂直于y 轴的两平行平面之间的立体，若在y (c ≢y ≢d )处垂直于y 轴的截面面积可以用y 的连续函数B (y )来表示，则其体积为()d dcV B y y =⎰． (6-5-9)图6-12现在考虑旋转体，所谓旋转体就是由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的立体．如图6-12所示，设旋转体是由曲线y =f (x ),直线x =a ,x =b (a ＜b )和x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，则对任意x ∈［a ,b ］，相应于x 处垂直于x 轴的截面是一个圆盘，其面积为πf 2(x )，从而由(6-5-8)式知其体积2()d bx aV f x x =π⎰． (6-5-10)类似地，若旋转体是由曲线x =φ(y ),直线y =c ,y =d (c ＜d )和y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，则其体积为2()d dy cV y y ϕ=π⎰． (6-5-11)例5计算由椭圆22221x y a b+=所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体(称为旋转椭球体，见图6-13)的体积．解这个旋转体实际上就是半个椭圆y =x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的立体，于是由公式(6-5-10)得2223222222022204()d 2()d 2()33aa ax a b b b x V a x x a x x a x ab a a a -=π-=π-=π-=π⎰⎰ 特别地，当a =b 时就得到半径为a 的球的体积343a π.图6-13 图6-14例6 求由曲线y =2x -x 2和x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．解如图6-14所示，y =2x -x 2的反函数分为两支，1x = (0≢y ≢1)和1x = (0≢y ≢1)．由(6-5-11)式，所得旋转体的体积为((22111d 1d y V y y =π-π⎰⎰((221011d y ⎡⎤=π-⎢⎥⎣⎦⎰312844(1)3y y 2=π=-π-=π3⎰．三、定积分的经济学应用1．由边际函数求总函数设某产品的固定成本为C ０，边际成本函数为C ′(Ｑ)，边际收益函数为R ′(Q ),其中Q 为产量，并假定该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法易知：总成本函数C (Q )＝00()d QC Q Q C '+⎰; 总收益函数R (Q )= 0()d QR Q Q '⎰;总利润函数L (Q )=[]0()()d QR Q C Q Q C ''--⎰．例7设某产品的边际成本为C ′(Q )=4+4Q(万元/百台)，固定成本C 0=1(万元)，边际收益R ′(Q )=8-Q (万元/百台)，求：(1) 产量从100台增加到500台的成本增量； (2) 总成本函数C (Q )和总收益函数R (Q )；(3) 产量为多少时，总利润最大?并求最大利润．解 (1) 产量从100台增加到500台的成本变化量为2555111()d (4)d 41948Q Q C Q Q Q Q ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ (万元)． (2) 总成本函数200()()d (4)d 14148Q QQ Q C Q C Q Q C Q Q '=+=++=++⎰⎰,总收益函数200()()d (8)d 82Q QQ R Q R Q Q C Q Q Q '=+=-=-⎰⎰．(3)总利润函数2225()()()(8)(41)41288Q Q L Q R Q C Q Q Q Q Q =-=--++=-+-,5()44L Q Q '=-+．令L ′(Q )=0，得惟一驻点Q =3．2(百台)，又因L ″(3．2)= - 54＜0，所以当Q =3．2(百台)时，总利润最大，最大利润为L (3．2)＝5．4(万元)．2．消费者剩余和生产者剩余图6-15市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线来描述．供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量，一般假定价格上涨时，供应量将会增加．因此，把供应量看成价格的函数，这是一个增函数，即供给曲线是单调递增的．需求曲线则反映了顾客的购买行为．通常假定价格上涨，购买量下降，即需求曲线随价格的上升而单调递减(图6-15)．需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量或供给量．在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用P *和Ｑ*表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E ．在图6-15中，P ０是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为P ０时，供给量是零，只有价格高于P ０时，才有供给量；P １是需求曲线的截距，当价格为P １时，需求量是零，只有价格低于P １时，才有需求；Q １则表示当商品免费赠送时的最大需求量．在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P *更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(C S )．由图6-15可以看出：C S =()d Q D Q Q P Q ***-⎰，式中，()d Q D Q Q *⎰表示消费者愿意支出的货币量．P Q **表示消费者的实际支出，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者剩余．同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格P *低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS )，如图6-15所示，有PS 0()d Q P Q S Q Q ***=-⎰．例8 设需求函数D (Q )=24-3Q ，供给函数为S (Q )=2Q +9,求消费者剩余和生产者剩余．解首先求出均衡价格与供需量．由24-3Q =2Q +9,得Q *=3， P *=15．C S 32300327(243)d 153(24)4522Q Q Q Q =--⨯=--=⎰;。

《定积分及其应用》讲义

第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题．例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．(2) 近似求和在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ixf ∆∑=1)(ξ(1.1)(3) 取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有A xf ini i→∆∑=1)(ξ．例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1) 用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -．每个子区间的长度为1--=∆i i i t t t (n i ,2,1=)．图6—2(2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式i ni it v ∆∑=1)(τ．(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有s t v i ni i→∆∑=1)(τ．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．定义6.1.1 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，在),(b a 内任取1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ(称为介点)，作和式i ni i x f ∆∑=1)(ξ，并记{}i ni x ∆=≤≤1max λ．如果不论对],[b a 怎样划分成子区间，也不论在子区间],[1i i x x -上怎样取介点i ξ，只要当0→λ时，和式(1.1)总趋于确定的值I ，则称这极限值I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ (1.2)其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分的下限和上限．关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间],[b a 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n 的大小来确定．因为尽管n 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0→λ，这时必然有∞→n ．(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0→λ时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数)(x f 在],[b a 上有界．因为如果不然，当把],[b a 任意划分成n 个子区间后，)(x f 至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i ξ，能使)(i f ξ的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．(4) 由定义可知，当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(x f 以及积分区间],[b a 有关，而与积分变量x 无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有⎰⎰⎰===b aba badu u f dt t f dx x f )()()( ．(5) 我们仅对b a <的情形定义了积分⎰b adx x f )(，为了今后使用方便，对b a =与b a >的情况作如下补充规定：当b a =时，规定0)(=⎰ba dx x f ；当b a >时，规定⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(．根据定积分的定义，我们说：例1中)(x f 在],[b a 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标)(x f 从a 到b 的定积分⎰=ba dx x f A )(．它就是定积分的几何意义．注意到若0)(≤x f ，则由0)(≤i f ξ及0>∆i x 可知⎰≤badx x f 0)(．这时曲边梯形位于x 轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因此当)(x f 在区间],[b a 上的值有正有负时，定积分⎰b adx x f )(的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图6—3所示．例2中物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度)(t v 在时间区间],[b a 上的定积分⎰=ba dt t v s )(．对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义．当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，就称)(x f 在],[b a 上可积，说明(3)表明：)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上有界．下面是函数可积的两个充分条件，证明从略．定理6.1.1(1) 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积．(2) 若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．2. 定积分的基本性质定理6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若)(x f 在],[b a 上可积，k 为常数，则)(x kf 在],[b a 上可积，且⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (1.3)(2) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，则)()(x g x f ±在],[b a 上也可积，且⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([． (1.4)证根据定义，有⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→bani i i ni i i badx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(11ξξλλ．所以(1.3)式成立．类似可证(1.4)式成立．定理6.1.2的更一般的结论是⎰∑⎰∑===baj j nj b a nj j jdx x f k dx x f k)( )(11．其中)(x f j ),,2,1( n j =在],[b a 上可积，)(x k j ),,2,1( n j =为常数．定理6.1.3 (积分对区间的可加性) 设)(x f 是可积函数，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()( (1.5)对c b a , ,任何顺序都成立．证先考虑b c a << 的情形．由于)(x f 在],[b a 上可积，所以不论将区间],[b a 如何划分，介点i ξ如何选取，和式的极限总是存在的．因此，我们把c 始终作为一个分点，并将和式分成两部分：i i i i iix f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑21)()()(ξξξ，其中∑∑21,分别为区间],[c a 与],[b c 上的和式．令最长的小区间的长度0→λ，上式两边取极限，即得(1.5)式．对于其它顺序，例如c b a << ，有⎰⎰⎰+=cbb acadx x f dx x f dx x f )()()(，所以⎰⎰⎰-=cbc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bccadx x f dx x f )()(．(1.5)式仍成立．定理6.1.4 (积分的不等式性质) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，且)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤ba badx x g dx x f )()(． (1.6)证⎰⎰⎰-=-b ababadx x f x g dx x f dx x g )]()([)()(i ni i i x f g ∆-=∑=→1)]()([lim ξξλ．由假设知0)()(≥-i i f g ξξ，且0>∆i x ),,2,1( n i =，所以上式右边的极限值为非负，从而有⎰⎰≥babadx x f dx x g )()(．(1.6)式成立．从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1 若)(x f 在],[b a 上可积，且0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f ．推论 6.1.2 (积分估值) 若)(x f 在],[b a 上可积，且存在常数m 和M ，使对一切],[b a x ∈有M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰．推论6.1.3 若)(x f 在],[b a 上可积，则 )( x f 在],[b a 上也可积，且dx x f f(x)dx bab a)( ⎰⎰≤．这里 )( x f 在],[b a 上的可积性可由)(x f 的可积性推出，其证明省略．推论 6.1.4 (严格不等式) 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，若在],[b a 上0)(≥x f 且0)(≡x f ，则0)(>⎰badx x f ．证由假设知，存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，根据)(x f 的连续性，必存在0x 的邻域],[),(00b a x x ⊂+-δδ，使在其中2)()(0x f x f >，从而有⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x abadx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(0)( 22)()(0000>=⋅>≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ，所以结论成立．定理6.1.5 (积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ． (1.7)证因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在],[b a 上，)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰，或M ab dx x f m ba≤-≤⎰)(．根据连续函数的介值定理可知，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()(ξf ab dx x f ba=-⎰所以(1.7)式成立．若)(x f 在],[b a 上连续且非负，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ为高的矩形面积．通常把)(ξf ，即ab dx x f ba-⎰)(称为函数)(x f 在],[b a 上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广．定理6.1.6 (推广的积分中值定理) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 在],[b a 上不变号，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba badx x g f dx x g x f )()()()(ξ (1.8)证不妨设在],[b a 上有0)(≥x g ，则0)(≥⎰b adx x g ，且在],[b a 上 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，其中M m ,分别为)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．由此推出⎰⎰⎰≤≤bababadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．若⎰=badx x g 0)(，则由上式知0)()(=⎰badx x g x f ．从而在],[b a 上任取一点作为ξ，(1.8)式都成立．若0)(>⎰b adx x g ，则得M dxx g dxx g x f m baba≤≤⎰⎰)()()(．按连续函数的介值定理推出，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()()()(ξf dxx g dxx g x f baba=⎰⎰所以(1.8)式也成立．§ 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知)(x f 在] ,[b a 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式．1. 微积分学基本定理设函数)(x f 在区间] ,[b a 上可积，则对] ,[b a 中的每个x ，)(x f 在] ,[x a 上的定积分dx t f xa)(⎰都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x 对应，从而在] ,[b a 上定义了一个新的函数，它是上限x 的函数，记作)(x Φ，即dt t f x xa )()(⎰=Φ， ] ,[b a x ∈．这个积分通常称为变上限积分．定理6.2.1 设)(x f 在] ,[b a 上可积，则dt t f x xa )()(⎰=Φ是] ,[b a 上的连续函数．证任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．根据积分对区间的可加性， dt t f dt t f dt t f x x x xx xx axx a)( )( )()()(⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φ．由于)(x f 在] ,[b a 上连续，从而有界，即存在0>M ，使对一切] ,[b a x ∈有M x f ≤ )( ，于是)( )( x M dt t f x xx x∆≤=Φ⎰∆+．故当0→∆x 时有0)(→∆Φx ．所以)(x Φ在x 连续，由] ,[b a x ∈的任意性即知)(x Φ是] ,[b a 上的连续函数．定理6.2.2 (原函数存在定理) 设)(x f 在] ,[b a 上连续，则dt t f x xa)()(⎰=Φ在],[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'， ] ,[b a x ∈，也就是说)(x Φ是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．证任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有 x x x f dt t f x x x x x x∆∆+==Φ-∆+Φ=∆Φ⎰∆+) ( )()()(θ，或) (x x f x∆+=∆∆Φθ， )10(≤≤θ． (2.1) 由于)(x f 在] ,[b a 上连续，)() (lim 0x f x x f x =∆+→∆θ．故在(2.1)中令0→∆x 取极限，得)(lim 0x f xx =∆∆Φ→∆．所以)(x Φ在] ,[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'．由] ,[b a x ∈的任意性推知)(x Φ就是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题．它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数)(x f 的一个原函数．回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数．这里若把)()(x f x =Φ'写成)( )(x f dt t f dx d xa=⎰，或从 dx x f x d )()(=Φ推得)()( )(x dt t f t d xaxaΦ==Φ⎰⎰，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算．从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体．因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理．推论6.2.1 设)(x f 为连续函数，且存在复合)]([x f ϕ与)]([x f ψ，其中)(x ϕ，)(x ψ皆为可导函数，则)()]([)()]([ )()()(x x f x x f dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰ (2.2) 证令⎰=Φxadt t f x )()(，a 为)(x f 的连续区间内取定的点．根据积分对区间的可加性，有dt t f dt t f dt t f x ax ax x )( )( )()()()()(⎰⎰⎰-=ψϕϕψ)]([)]([x x ψϕΦ-Φ=．由于)(x f 连续，所以)(x Φ为可导函数，而)(x ϕ和)(x ψ皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有)()]([)()]([ )()()(x x x x dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'Φ'-'Φ'=⎰ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=．所以(2.2)式成立．例1. 证明：若)(x f 在),(+∞-∞内连续，且满足dt t f x f x)()(0⎰=，则0)(≡x f ．证由假设知dt t f x f x)()(0⎰=在),(+∞-∞内可导，且)()(x f x f ='．令x e x f x F -=)()(， ),(+∞-∞∈x ，则0)()()(=-'='--x x e x f e x f x F ．所以c x F ≡)(，),(+∞-∞∈x ．由于0)0()0(==f F ，可得0)(≡x F ．从而有0)()(≡=x e x F x f ，),(+∞-∞∈x ．例2. 求21cos 02limxdt e xt x ⎰-→．解应用洛比达法则，原式1cos 0cos 02121sin lim 2)(cos lim22--→-→=⋅='-=e e x x xx e x x x x ． 2. 牛顿——莱布尼兹公式定理6.2.3 设)(x f 在] ,[b a 上连续，若)(x F 是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数，则)()( )(a F b F dx x f ba-=⎰(2.3)证根据微积分学基本定理，dt t f x a)(⎰是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．因为两个原函数之差是一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)( )(， ] ,[b a x ∈．上式中令a x =，得)(a F C -=，于是)()( )(a F x F dt t f xa-=⎰．再令b x =，即得(2.3)式．在使用上，公式(2.3)也常写作 b a bax F dx x f )]([ )(=⎰，或b a bax F dx x f )( )(=⎰．公式(2.3)就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N —L 公式．它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：)(x f 在] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数)(x F 在] ,[b a 上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径．它把定积分的计算转化为求它的被积函数)(x f 的任意一个原函数，或者说转化为求)(x f 的不定积分．在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的．因此 N —L 公式也被称为微积分学基本公式．例3 计算下列定积分 (1) dx x x 422-⎰； (2))0( 3022≠+⎰a x a dxa；(3)dx x 112⎰-； (4)⎰π20sin dx x ．解 (1) 原式38)4(3120223=--=x ． (2) 原式aa axa a33arctan 1arctan130π===． (3) 原式1022)]1ln(2112[x x x x ++++= )]21ln(2[21++=． (4) 原式⎰⎰-+=πππ20)sin ( sin dx x dx x4cos cos 20=+-=πππxx．例4 设⎩⎨⎧≤<-≤≤+=31,310 ,1)(2x x x x x f ，求⎰30)(dx x f ．解 ⎰⎰⎰-++=311023)3( )1( )(dx x dx x dx x f313)23()3(312103=+++=x x x x ．§ 6.3 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决．但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用N —L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便．1. 定积分的换元积分法定理6.3.1 设函数)(x f 在] ,[b a 上连续，函数)(t x ϕ=在I (] ,[βα=I 或] ,[αβ)上有连续的导数，并且a =)(αϕ，b =)(βϕ，)( )(I t b t a ∈≤≤ϕ，则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)( (3.1)证由于)(x f 与)()]([t t f ϕϕ'皆为连续函数，所以它们存在原函数，设)(x F 是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有)()]([)()()()())]([(t t f t x f t x F t F ϕϕϕϕϕ'='=''='，可见)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数．利用N —L 公式，即得⎰⎰=-=-=='badx x f a F b F F F t F t t f )()()()]([)]([)]([ )()]([αϕβϕϕϕϕβαβα．所以(3.1)式成立．公式(3.1)称为定积分的换元公式．若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限．还要求换元)(t x ϕ=应在单调区间上进行．当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N —L 公式，这正是定积分换元法的简便之处．若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限．例1 计算下列定积分 (1) ⎰--14311x dx ； (2)dx xx 121022⎰-；(3)dx x x sin cos 25⎰π； (4) dx x x sin sin 053⎰-π．解 (1) 令t x =-1，则21t x -=，dt t dx 2-=，且当t 从0变到21时，x 从1减到43．于是原式⎰⎰-+=--=021021)111(212dt t t dt t []2ln 21 1 ln 2210-=-+=t t ．(2) 令t x sin =，则dt t dx cos =，且当t 从0变到21时，x 从0增到6π．于是原式⎰⎰==660202 sin cos cos sin ππdt t dt t tt831242sin 260-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππt t ．(3) 原式616cos cos cos 2265=-=-=⎰ππx x d x ． (4) 原式⎰⎰⎰-+==ππππ22322323 )cos (sin cos sin cos sin 0dx x x dx x x dx x x⎰⎰-=πππ223223sin sin sin sin 0x d x x d x54sin 52sin 522252250==πππx x ．例 2 设)(x f 在],[a a -上连续，证明：⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．特别当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．证：因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(，在⎰-0)(adx x f 中，令t x -=，得⎰⎰⎰-=--=-aaadx x f dt t f dx x f 000)()()(．所以⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(．当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故0)()(=-+x f x f ，从而有0)(=⎰-aadx x f ．当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故)(2)()(x f x f x f =-+，从而有⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．例3 设)(x f 为]1 ,0[上的连续函数，证明： (1) dx x f dx x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ππ；(2) dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ(3)dx x f dx x xf ⎰⎰=20)(sin )(sin πππ．证： (1) 令t x -=2π，则dt dx -=，且当t 从0 变到2π时，x 从2π减到0．于是dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=2220020)(cos ])[(sin )(sin ππππdx x f ⎰=2)(cos π．(2)dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=ππππ22)(sin )(sin )(sin 0，在dx x f ⎰ππ2)(sin 中，令t x -=π，得dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=222)(sin ])[(sin )(sin πππππdx x f ⎰=20)(sin π．所以dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ．(3) 令t x -=π，则dt t f t dx x xf )][sin()()(sin 00---=⎰⎰ππππdt t f t )(sin )(0⎰-=ππdx x xf dx x f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin ．所以dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sindx x f ⎰=2)(sin ππ (利用(2)的结果)．例2和例3的结果今后经常作为公式使用．例如我们可以直接写出 ⎰-=ππ0c o s 3x d x x，ππππ==⎰⎰dx x dx x x 20sin sin ．2. 定积分的分部积分法定理6.3.2 若)(x u ，)(x v 在] ,[b a 上有连续的导数，则 ⎰⎰'-='babab a dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(． (3.2)证因为)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， b x a ≤≤．所以)()(x v x u 是)()()()(x v x u x v x u '+'在],[b a 上的一个原函数，应用N —L 公式，得⎰='+'bab a x v x u dx x v x u x v x u )()()]()()()([，利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式．公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作⎰⎰-=babab av d u uv udv(3.3)例4 计算下列定积分：(1) ⎰210arcsin xdx ； (2)⎰eedx x 1 ln ；(3)⎰2sin πxdx e x； (4)⎰-1dx ex．解 (1) 原式dx xx x x ⎰--=21210201arcsin12312121arcsin 21212-+=-+=πx (2) 原式⎰⎰+-=ee xdx dx x e1ln )ln (1⎰⎰-++-=ee dx x dx x x ee1111ln ln 11)11(2e-=．(3)⎰⎰⎰-==2222000cos sin sin sin ππππxdx e x e xde xdx e x xx xx d x e x e e de x e x xxsin cos cos 2222200⎰⎰--=-=πππππxdx e e x sin 122⎰-+=ππ．所以)1(21s i n 22+=⎰ππe x d x e x．(4) 令t x =，则⎰⎰⎰----=⋅=11122t txt d e t d t e dx et d e te tt ⎰--+-=10102 2ee et422211-=--=--．例5 (1) 证明⎰⎰=22cos sin ππxdx xdx n n(∈x N +)；(2) 求)cos ( sin 220⎰⎰==ππxdx xdx I n nn 的值．解由例3(1)即知(1)成立． (2) 当3≥n 时dx x x n x x x xd I n n n n ⎰⎰----+-=-=22222011cos sin )1(cos sincos sinπππdx x x n n ⎰--=-222)sin 1(sin )1(πn n I n I n )1()1(2---=-所以2)1(--=n n I nn I ．于是当3≥n 为奇数时有13254231I n n n n I n ⋅⋅--⋅-=；当3≥n 为偶数时有243231I n n n n I n ⋅--⋅-= ．容易得出1sin 201==⎰πxdx I ，442sin 2sin 220022πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰x x xdx I ．所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--⋅-⋅--⋅-=为正偶数．为正奇数；n n n n n n n n n n I n ,443231 ,3254231π (3.4) 公式(3.4)称为沃利斯(Wallis)积分公式，它在定积分的计算中经常被应用．例 6 求⎰=π1010sin xdx x J 的值．解 4436587109sin 201010ππππ⋅⋅⋅⋅⋅==⎰xdx J 22560315π=．§ 6.4 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的．但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形．因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分．1. 无穷限的广义积分定义6.4.1 设函数)(x f 在) ,[∞+a 上有定义，且对任何实数a b >，)(x f 在] ,[b a 上可积，则称形式⎰+∞adx x f )( (4.1)为函数)(x f 在) ,[∞+a 上的广义积分．若极限⎰+∞→bab dx x f )(lim)(a b > (4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以这极限值为(4.1)的值，即⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(．若极限(4.2)不存在，则称广义积分(4.1)发散．由定义可知，我们讨论广义积分(4.1)的敛散性，其含义就是考察变上限积分⎰=ba dx x fb F )()( )(a b >当+∞→b 时的极限是否存在．例1 讨论广义积分⎰∞+π2 1sin 12dx x x 的敛散性．解任取π2>b ，有⎰⎰-==b bx d x dx x x b F ππ2211sin 1sin 1)(22 b x b1cos 1cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=π，因为11cos lim )(lim ==+∞→+∞→bb F b b ，所以这广义积分收敛，且1 1sin 122=⎰∞+πdx x x ．若)(x f 在) ,[∞+a 上非负，且广义积分(4.1)收敛，则积分(4.1)的值从几何上解释为由曲线(f y =(图6—5中阴影部分)．图6—5类似地利用极限⎰-∞→baa dx x f )(lim)(b a <定义广义积分⎰∞-b dx x f )(的敛散性．广义积分⎰+∞∞-dx x f )(定义为⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f )( )( )( (4.3)其中a 为任一有限实数．它当且仅当右边的两个广义积分皆收敛时才收敛，否则是发散的．根据积分对区间的可加性，易知(4.3)左边的广义积分的敛散性及收敛时积分的值都与实数a 的选取无关．例2 计算广义积分⎰∞+∞-+21x dx的值．解 ⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=++∞→-∞→∞+∞-∞+∞-b b a a x dx x dx x dx x dx x dx 0202020221lim 1lim 111πππ=+--=+-=+∞→-∞→2)2()(arctan lim )arctan (lim b a b a为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分) N —L 公式的记法．如例2可写成πππ=--==+∞+∞-∞+∞-⎰)2(2arctan 12x x dx ．例3 计算广义积分dt te pt ⎰+∞-0)0(>p解dt e pe pt tde p dt te ptptpt pt ⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-=000011 2211p e p pt==∞+- 例4 证明广义积分⎰∞+1p xdx当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．证当1=p 时，+∞===⎰⎰∞+∞+∞+111ln x x dx xdx p ．当1≠p 时，⎩⎨⎧<∞+>=-=-∞+-∞+⎰1 ,1 ,1111111p p x px dx p p p ．所以此广义积分当1>p 时收敛，其值为p-11；当1≤p 时发散． 2. 无界函数的广义积分定理6.4.2 设)(x f 在] ,(b a 上有定义，而在a 的右邻域内无界．若对任何正数ε，)(x f 在] ,[b a ε+上可积，则称形式⎰badx x f )(． (4.4)为)(x f 在] ,(b a 上的广义积分．若极限 ⎰+→+b a dx x f εε )(lim 0， (4.5)存在，则称广义积分(4.4)收敛，并以这极限值为它的值，即⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε )(lim )(0．若极限(4.5)不存在，则称广义积分(4.4)发散．与无穷限广义积分一样，记号(4.4)的含义是指考察变下限积分⎰+=b a dx x f F εε )()(， a b -<<ε0当+→0ε时的极限情形．这里a 称为函数)(x f 的瑕点，因此无界函数的广义积分也称为瑕积分．同样也利用极限⎰-→+εεb adx x f )(lim来定义b 为瑕点的广义积分的敛散性．若)(x f 的瑕点c 在闭区间] ,[b a 的内部，即b c a <<，则广义积分⎰ba dx x f )(定义为⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )( )( )(，它当且仅当右边两个积分都收敛时才收敛，否则左边的广义积分发散．例5 计算广义积分⎰-axa dx 022)0(>a ．解 a x =为函数221xa -的瑕点．εεεε-→-→++=-=-⎰⎰a a aa x xa dxx a dx 00022022][arcsin lim lim21arcsin arcsinlim 0πεε==-=+→a a ．例6 讨论广义积分⎰-112x dx的敛散性．解 0=x 为函数21x的瑕点．由于+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++→→→⎰εεεεεε11lim 1lim lim010120x x dx ，所以广义积分⎰102xdx发散，从而推出广义积分⎰-112x dx 发散．注意，如果我们疏忽了0=x 是瑕点，就会得出错误的结果：2111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x x dx ．例7 证明广义积分⎰1qx dx当1<q 时收敛，当1≥q 时发散．证当1=q 时，⎰⎰+∞===10101ln x x dx xdx q ．当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰1 ,1 ,11111011q q q x q x dx q q．所以这广义积分当1<q 时收敛，其值为q-11，当1≥q 时发散． 3. 两种广义积分的联系任何无界函数的广义积分都可以化为无穷限广义积分．设)(x f 在],(b a 内任何闭区间上都可积，a x =是瑕点，则 ⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0．若令ax u -=1，就有 ⎰⎰⎰=+=-+εεϕε111)()1()(2k ba du u udu u a f dx x f ab ，其中)1(1)(2u a f u u +=ϕ，a b k -=1．于是⎰⎰⎰+∞→==+kk badu u du u dx x f )()(lim )(1ϕϕεε，这时上式右边是无穷限广义积分．同样，对于无穷限广义积分⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(，只要令xau =，就有 ⎰⎰⎰=-=112)())(()(ba ba du u du u au a f dx x f baψ，于是⎰⎰⎰==+∞→+∞11)()(lim)(du u du u dx x f bab aψψ．其中)()(2ua f u a u =ψ，0=u 是它的瑕点，即上式右边为无界函数的广义积分．§ 6.5 定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限．如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间],[b a 上确定，当把],[b a 分成若干个子区间后，在],[b a 上的量Q 等于各个子区间上所对应的部分量Q ∆之和(称量Q 对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q 求出．现在我们来简化这个过程：在区间],[b a 上任取一点x ，当x 有增量x ∆(等于它的微分dx )时，相应地量)(x Q Q =就有增量Q ∆，它是Q 分布在子区间],[dx x x +上的部分量．若Q ∆的近似表达式为dQ dx x f Q =≈∆)(，则以dx x f )(为被积表达式求从a 到b 的定积分．即得所求量 ⎰=ba dx x f Q )(．这里的dx x f dQ )(=称为量Q 的微元，或元素，这种方法称为微元法．它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确．因此在实际问题的讨论中常常被采用．本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用．1. 平面图形的面积 1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形(图6—1)的面积为⎰=badx x f A )(． (5.1)若)(x f 在],[b a 上不都是非负的(图6—3)，则所围面积为⎰=ba dx x f A )( ． (5.2)一般地，若函数)(1x f 和)(2x f 在],[b a 上连续且总有)()(21x f x f ≤，则由两条连续曲线)(1x f y =，)(2x f y =与两条直线a x =，b x =所围的平面图形(图6—6)的面积元素为dx x f x f dA )]()([12-=．所以⎰-=ba dx x f x f A )]()([12． (5.3)图6—6如果连续曲线的方程为)0( )(≥=y x ϕ，则由它与直线c y =，d y =(d c <)及y 轴所围成的平面图形(图6—7)的面积元素为dy y dA )(ϕ=．所以=ddy y A )(ϕ． (5.4)其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式．例1 求由两条抛物线x y =2，2x y =所围图形(图6—8)的面积．解联立⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 解得0=x 及1=x ．所围的面积为313132)(10310223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A ．图6—8例2 求由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形(图6—9)的面积．解联立⎩⎨⎧-==422x y xy 解得曲线与直线的交点)2,2(-和)4,8(．以x 为积分变量，则所求面积为[][]dx x x dx x x A )4(2 )2(28220⎰⎰--+--= 图6—91842322322282222323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅=x x x x ．若以y 为积分变量，则18642)24(4232422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=--⎰y y y dy y y A ．从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便．例3 求椭圆12222=+by a x 的面积 (图6—10)．解由于椭圆关于x 轴与y 轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．⎰⎰-==a adx x a abydx A 022044ab a x a x a x a b aπ=⎥⎤⎢⎣⎡+-=222arcsin 224．在例3中，若写出椭圆的参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x s i nc o s )20(π≤≤t ，应用换元公式得 ⎰⎰=-=2220sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab ππ=⋅=44．图6—10一般地，若曲线由参数方程)( ),(t y t x ψϕ== )(βα≤≤t给出，其中)(),(t t ψϕ及)(t ϕ'在],[βα上连续，记b a ==)(,)(βϕαϕ，则由此曲线与两直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积为dt t t A )( )( ψψβα'=⎰． (5.5)例4 求由摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20(π≤≤t 与横轴所围图形(图6—11)的面积．解 dt t a t a A )cos 1()cos 1(20⎰-⋅-=π220222s i n 2(⎰=πt a(令θ=2t)⎰⎰==24242s i n 16 sin 8πθθθθπd ad a22344316a a ππ=⋅⋅=．图6—112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程 )(θr r = )(βθα≤≤给出，其中)(θr 在],[βα上连续，παβ2≤-．由曲线)(θr r =与两条射线βθαθ==,所围成的图形称为曲边扇形(图6—12)．试求这曲边扇形的面积．图6—12应用微元法．取极角θ为积分变量，其变化区间为],[βα．相应于任一子区间],[θθθd +的小曲边扇形面积近似于半径为)(θr ，中心角为θd 的圆扇形面积．从而得曲边扇形的面积元素θθd r dA )(212=．所求面积为⎰=βαθθd r A )(212． (5.6) 例5 求心形线)cos 1(θ-=a r 所围图形(图6—13)的面积．解利用对称性，所求面积为 θθπd a A 22)cos 1(⎰-=θθπd a⎰=0422s i n 4 (令t =2θ) 22042234438s i n 82a a dt t a πππ=⋅⋅==⎰．例6 求由两曲线θsin 2=r ，θ2cos 2=r 图 6—13 所围图形(图6—14)的面积．解联立⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2c o ss i n22r r )0(πθ≤≤解得 61πθ=，652πθ=．利用对称性，所求面积为图 6—14⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰466 2cos 21)sin 2(21202πππθθθθd d A4662s i n 2142s i n 220πππθθθ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2316-+=π．2. 立体体积1) 已知平行截面面积的立体体积设空间某立体夹在垂直于x 轴的两平面a x =，b x = )(b a <之间(图6—15)图 6—15以)(x A 表示过)(b x a x <<，且垂直于x 轴的截面面积．若)(x A 为已知的连续函数，则相应于] ,[b a 的任一子区间],[dx x x +上的薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的柱体体积．从而得这立体的体积元素 dx x A dV )(= 所求体积为⎰=ba dx x A V )(． (5.7)例7 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为a 2，b 2和A 2，B 2，求这截锥体的体积．解取截锥体的中心线为t 轴 (图6—16)，即取t 为积分变量，其变化区间为] ,0[h ．在] ,0[h 上任取一点t ，过t 且垂直于t 轴的截面面积记为xy π．容易算出图6—16t h a A a x -+=， t hbB b y -+=．所以这截锥体的体积为⎰-+-+=hdt t hbB b t h a A a V 0))((π )](2[6AB ab Ab aB h+++=π．2) 旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式．例如由连续曲线)(x f y =，] ,[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得的旋转体(图6—17)．由于过)( b x a x ≤≤,且垂直于x 轴的截面是半径等于)(x f 的圆，截面面积为)()(2x f x A π=．所以这旋转体的体积为． (5.8)类似地，由连续曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积为． (5.9)例8 求底面半径为，高为的正圆锥体的体积．解这圆锥体可看作由直线x hry =，] ,0[h x ∈绕x 轴旋转一周而成(图6—18)，所以体积⎰=ba dx x f V )(2π],[ ),(d c y y x ∈=ϕy ⎰=dc dy y V )(2ϕπr h例9 求由椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而产生的旋转体的体积．解这个旋转椭球体可看作由半个椭圆22x a aby -=绕x 轴旋转一周而成．所以它的体积20222222234 )(2)(ab dx x a a b dx x a a b V a aa πππ=-=-=⎰⎰-．特别当r b a ==时得半径为r 的球体体积 334r V π=球．3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段AB ，它的方程是 )(x f y =， ] ,[b a x ∈．如果)(x f 在] ,[b a 上有连续的导数，则称弧段AB 是光滑的，试求这段光滑曲线的长度．应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的．从而保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式．如图6—19所示，取x 为积分变量，其变化区间为] ,[b a ．相应于] ,[b a 上任一子区间],[dx x x +的一段弧的长度，可以用曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+，于是得弧长元素(也称弧微分)dx y ds 21'+=，因此所求的弧长为(5.10)若弧段由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ],[βα∈t给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上有连续的导数，且0)]([)]([22≠'+'t y t x ．则弧长元素，即微弧分为dt t y t x ds 22)]([)](['+'=，所以dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([． (5.11)若弧段由极坐标方程)(θr r =， ],[21θθθ∈给出，其中)(θr 在],[21θθ上有连续的导数，则应用极坐标θθsin ,cos r y r x ==，可得θθsin cos r r x -'='，，利用公式(5.11)推出θβαd r r s ⎰'+=22． (5.12)例10 求悬链线2xx e e y -+=从0=x 到a x =那一段的弧长(图6—20)．解 2xx e e y --='代入公式(5.10)，得dx y s a ⎰'+=021⎰---=+=aaaxx e e dx e e 022．图6—20例11 在摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上求分摆线第一拱(图6—11)成1:3的点的坐标．解设τ=t 时，点的坐标))(),((ττy x 分摆线第一拱成1:3．由于弧微分dt ta dt t a t a ds 2sin 2sin )cos 1(2222=+-=，由公式(5.11)可得⎰⎰=πττ202sin 22sin 23dt ta dt t a ．θθcos sin r r y +'='。

第六章定积分及其应用

β α
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间在区间[a,b]上有连续导数，则上有连续导数，定理在区间上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量定积分仅与被积函数及积分区间有关用什么字母表示无关.即用什么字母表示无关即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x

1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即性质被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点分成区间被分点c分成区间性质如果积分区间被分点分成区间[a,c]和[c,b],则和则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和：）近似求和：（3）取极限：）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

高等数学第六章答案

高等数学第六章答案第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用1? 求图中各阴影部分的面积?（1）(2) 1 1. 632? 332 (4)? 3 (3)2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 6??(2)4? 33?ln2? 21 (3)e??2? e(4)b?a93? ? 414? （1）?21（2）?4 35? (1) ?a2?(2) 32?a? 82 (3)18?a? ?6? （1）2?（2）?4? ?35? 4（3）及?2?cos2??6?127．求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）y?x和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。

21（2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。

2（3）x??y?5??16,绕x轴。

2（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。

（5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。

??482413（1,;(2)?,?;(3)160?2;(4)?;(5)5?2a3. 525568．由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?128?? 764? Vy?5 Vx?9．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积?10．（1）证明由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为V?2?32?a3 105?xf(x)dx? 证明略。

a 2b （2）利用题（1）结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积? 2?11．计算底面是半径为R的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?3R? 22312．计算曲线y?x2上相应于3?x?8的一段弧的弧长。

12 33213．计算曲线y?ln(1?x)上相应于0?x?11的一段弧的弧长。

精编定积分应用1(6-1--6-5)资料

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 )21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

(整理)微积分第六章定积分的应用

第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。

一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。

用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。

运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法§6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ⎰∑=∆==→bani i i dx x f x f )()(lim 1ξλ面积元素dA =dx x f )(2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。

二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。

用元素法解决一个实际问题的步骤。

§6.2 定积分在几何中的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出，b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰方法二面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)(2y ϕ=解出，d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y d cd )]()([12ϕϕ-⎰例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章.

第六章参数估计6.1 点估计问题概述习题1总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则下列估计量θ是θ的一致估计是().(A)θ=Xn; (B)θ=2Xn;(C)θ=X¯=1n∑i=1nXi;(D)θ=Max{X1,X2,⋯,Xn}.解答：应选(D).由一致估计的定义，对任意ɛ>0,P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)=P(-ɛ+θ<Max{X1,X2,⋯,Xn}<ɛ+θ)=F(ɛ+θ)-F(-ɛ+θ).因为FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及F(x)=FMax{X1,X2,⋯,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)⋯FXn(x),所以F(ɛ+θ)=1, F(-ɛ+θ)=P(Max{X1,X2,⋯,Xn}<-ɛ+θ)=(1-xθ)n,故P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)=1-(1-xθ)n→1(n→+∞).习题2设σ是总体X的标准差，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().(A)矩估计量；(B)最大似然估计量；(C)无偏估计量；(D)相合估计量.解答：应选(D).因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.习题3设总体X的数学期望为μ,X1,X2,⋯,Xn是来自X的样本，a1,a2,⋯,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.解答：E(X)=μ,E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai⋅∑i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=μ)=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量.习题4设θ是参数θ的无偏估计，且有D(θ)>0, 试证θ2=(θ)2不是θ2的无偏估计.解答：因为D(θ)=E(θ2)-[E(θ)]2, 所以E(θ2)=D(θ)+[E(θ)]2=θ2+D(θ)>θ2,故(θ)2不是θ2的无偏估计.习题5设X1,X2,⋯,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量.解答：因X服从参数为λ的泊松分布，故D(X)=λ, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,于是E(X2)-E(X)=λ2, 即E(X2-X)=λ2.用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=X¯代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-X¯.习题6设X1,X2,⋯,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量.解答：因总体X∼b(n,p), 故E(X)=np,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量p2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).习题7设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,⋯,Xn是来自该总体的样本，试证：X¯和n(min(X1,X2,⋯,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效.解答：因为E(X)=θ, 而E(X¯)=E(X),所以E(X¯)=θ, X¯是θ的无偏估计量.设Z=min(X1,X2,⋯,Xn),因为FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn, 而E(nZ)=E[n(min(X1,X2,⋯,Xn)]=θ,所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小.由于D(X)=θ2, 故D(X¯)=θ2n.又由于D(Z)=(θn)2, 故有D(nZ)=n2D(Z)=n2⋅θ2n2=θ2.当n>1时，D(nZ)>D(X¯),故X¯较nZ有效.习题8设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证1=2 X1+1 X2, 2=1 X1+ X2,=12X1+12X2,都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小?解答：因为X服从N(m,1), 有E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),得E( 1)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,D( 1)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,同理可得：E( 2)= ,D( 2)= ,E( )= ,D( )=12.所以， 1, 2,都是m的无偏估计量，并且在 1, 2,中，以的方差为最小.习题9设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,⋯,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,⋯,Xk. 设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k), 问a1,a2,⋯,ak应取何值，方能使用=∑i=1kaiXi估计θ时，是无偏的，并且D( )最小？解答：因为E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k), 故E( )=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,欲使E( )=θ, 则要∑i=1kai=1.因此，当∑i=1kai=1时，=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计,D( )=∑i=1kai2σi2, 要在∑i=1kai=1的条件下D( )最小，采用拉格朗日乘数法.令L(a1,a2,⋯,ak)=D()+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),{∂L∂ai=0,i=1,2,⋯,k∑i=1kai=1,即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1, 记∑i=1k1σi2=1σ02, 所以λ=2σ02, 于是ai=σ02σi2 (i=1,2,⋯,k),故当ai=σ02σi2(i=1,2,⋯,k)时， =∑i=1kaiXi是θ的无偏估计，且方差最小.习题6.2 点估计的常用方法习题1设X1,X2,⋯,Xn为总体的一个样本，x1,x2,⋯,xn为一相应的样本值，求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量．(1)f(x)={θcθx-(θ+1),x>c0,其它, 其中c>0为已知，θ>1,θ为未知参数.(2)f(x)={θxθ-1,0≤x≤10,其它, 其中θ>0,θ为未知参数.(3)P{X=x}=(mx)px(1-p)m-x, 其中x=0,1,2,⋯,m,0<p<1,p为未知参数.解答：(1)E(X)=∫c+∞x⋅θcθx-(θ+1)dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1，解出θ=E(X)E(X)-c，令X¯=E(X)，于是=X¯X¯-c为矩估计量，θ的矩估计值为=x¯x¯-c，其中x¯=1n∑i=1nxi．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θncnθ(∏i=1nxi)-(θ+1)，xi>c，对数似然函数为lnL(θ)=nlnθ+nθlnc-(θ+1)∑i=1nlnxi，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc，故参数的最大似然估计量为=n∑i=1nlnXi-nlnc．(2)E(X)=∫01x⋅θxθ-1dx=θθ+1，以X¯作为E(X)的矩估计，则θ的矩估计由X¯=θθ+1解出，得=(X¯1-X¯)2，θ的矩估计值为=(x¯1-x¯)2，其中x¯=1n∑i=1nxi为样本均值的观测值．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θn/2(∏i=1nxi)θ-1，0≤xi≤1，对数似然函数为lnL(θ)=n2lnθ+(θ-1)∑i=1nlnxi，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=(-n∑i=1nlnxi)2，故参数的最大似然估计量为=(n∑i=1nlnXi)2．(3)X∼b(m,p)，E(X)=mp，以X¯作为E(X)的矩估计，即X¯=E(X)，则参数p的矩估计为=1 X¯=1 ⋅1n∑i=1nXi，p的矩估计值为=1 x¯=1 ⋅1n∑i=1nxi．另外，似然函数为L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=(∏i=1nC xi) ∑i=1nxi(1- )∑i=1n( -xi)，xi=0,1,⋯,m，对数似然函数为lnL(θ)=∑i=1nlnC xi+(∑i=1nxi)ln +(∑i=1n( -xi))ln(1-p)，对lnL(θ)求导，并令其为零，得dlnL(θ)dθ=1 ∑i=1nxi-11- ∑i=1n( -xi)=0，解方程得 =1 n∑i=1nxi，故参数的最大似然估计量为=1 n∑i=1nXi=1 X¯．习题2设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为f(x;θ)={1θ,0≤x≤θ0,其它,(1)求未知参数θ的矩估计量；(2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，求θ的矩估计值.解答：(1)因为E(X)=∫-∞+∞xf(x;θ)dx=1θ∫0θxdx=θ2,令E(X)=1n∑i=1nXi,即θ2=X¯,所以=2X¯.(2)由所给样本的观察值算得x¯=16∑i=16xi=16(0. +0. +0.27+0. +0.62+0. )=0. 17,所以=2x¯=0.96 .习题3设总体X以等概率1θ取值1,2,⋯,θ, 求未知参数θ的矩估计量.解答：由E(X)=1×1θ+2×1θ+⋯+θ×1θ=1+θ2=1n∑i=1nXi=X¯,得θ的矩估计为=2X¯-1.习题4一批产品中含有废品，从中随机地抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率.解答：设p为抽得废品的概率,1-p为抽得正品的概率(放回抽取). 为了估计p,引入随机变量Xi={1,第i次抽取到的是废品0,第i次抽取到的是正品,于是P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p=q, 其中i=1,2,⋯,60,且E(Xi)=p, 故对于样本X1,X2,⋯,X60的一个观测值x1,x2,⋯,x60, 由矩估计法得p的估计值为=160∑i=160xi= 60=11 ,即这批产品的废品率为115.习题5设总体X具有分布律X 1 2 3pi θ2 2θ(1-θ) (1-θ)2其中θ(0<θ<1)为未知参数. 已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1, 试求θ的矩估计值和最大似然估计值.解答：E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+ ×(1-θ)2=3-2θ,x¯=1/ ×(1+2+1)= / .因为E(X)=X¯,所以=(3-x¯)/2= /6为矩估计值,L(θ)=∏i=1 P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X =1}=θ4⋅2θ⋅(1-θ)=2θ5(1-θ),lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ),对θ求导,并令导数为零dlnLdθ=5θ-11-θ=0,得=56.习题6(1)设X1,X2,⋯,Xn来自总体X的一个样本, 且X∼π(λ), 求P{X=0}的最大似然估计.(2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况. 下表中，r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数.习题6.3 置信区间习题1对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,⋯,xn)来说,下列结论中正确的是().(A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确;(B)置信度越大,置信区间越长;(C)置信度越大,置信区间越短;(D)置信度大小与置信区间有长度无关.解答：应选(B).置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小.习题2设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是().(A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α;(B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α;(C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α;(D)对不同的样本观察值，区间(θ1,θ2)的长度相同.解答：应先(C).由于θ1,θ2都是统计量，即(θ1,θ2)是随机区间，而θ是一个客观存在的未知常数，故(A),(B)不正确.习题3设总体的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度为1-α的置信区间？解答：先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,⋯,Xn.根据中心极限定理，知U=X¯-μσ/n→N(0,1)(n→∞).(1)当σ2已知时，则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为(X¯-uα/2σn,X¯+uα/2σn).(2)当σ2未知时，用σ2的无偏估计S2代替σ2, 这里仍有X¯-μS/n→N(0,1)(n→∞),于是得到μ的1-α的置信区间为(X¯-uα/2Sn,X¯+uα/2Sn),一般要求n≥ 0才能使用上述公式，称为大样本区间估计.习题4某总体的标准差σ=3cm, 从中抽取40个个体，其样本平均数x¯=6 2c ,试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限).解答：因为n=40属于大样本情形，所以X¯近似服从N(μ,σ2n)的正态分布，于是μ的95%的置信区间近似为(X¯±σnuα/2),这里x¯=6 2,σ= ,n= 0≈6. 2,uα/2=1.96, 从而(x¯±σnuα/2)=(6 2± 0×1.96)≈(6 2±0.93),故μ的95%的置信上限为642.93, 下限为641.07.习题5某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为10kg, 方差为9，如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01), 并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求？解答：因为n=100属于大样本问题，所以X¯近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(X¯±Snuα/2), 而x¯=10,s= ,n=100,uα/2=2.58,习题7某城镇抽样调查的500名应就业的人中，有13名待业者，试求该城镇的待业率p的置信度为0.95置信区间.解答：这是(0-1)分布参数的区间估计问题. 待业率p的0.95置信区间为( 1, 2)=(-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a).其中a=n+uα/22,b=-2nX¯-(uα/2)2, c=nX¯2,n= 00,x¯=1 00,uα/2=1.96.则( 1, 2)=(0.015,0.044).习题8设X1,X2,⋯,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，求μ的置信度为1-α的单侧置信限.解答：这是一个正态总体在方差未知的条件下，对μ的区间估计问题，应选取统计量：T=X¯-μS/n∼t(n-1).因为只需作单边估计，注意到t分布的对称性，故令P{T<tα(n-1)}=1-α和P{T>tα(n-1)}=1-α.由给定的置信度1-α, 查自由度为n-1的t分布表可得单侧临界值tα(n-1). 将不等式T<tα(n-1)和T>tα(n-1), 即X¯-μS/n<tα(n-1)和X¯-μS/n>tα(n-1)分别变形，求出μ即得μ的1-α的置信下限为X¯-tα(n-1)Sn.μ的1-α的置信上限为X¯+tα(n-1)Sn,μ的1-α的双侧置信限(X¯-tα/2(n-1)Sn,X¯+tα/2(n-1)Sn).习题6.4 正态总体的置信区间习题1已知灯泡寿命的标准差σ=50小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命x¯= 00小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布).解答：由于X∼N(μ,502), 所以μ的置信度为95%的置信区间为(X¯±uα/2σn),这里x¯= 00,n=2 ,σ=50,uα/2=1.96, 所以灯泡的平均寿命的置信区间为(x¯±uα/2σn)=( 00± 02 ×1.96)=( 00±19.6)=( 0. , 19.6).习题2一个随机样本来自正态总体X,总体标准差σ=1.5, 抽样前希望有95%的置信水平使得μ的估计的置信区间长度为L=1.7, 试问应抽取多大的一个样本？解答：因方差已知，μ的置信区间长度为L=2uα/2⋅σn,于是n=(2σLuα/2)2.由题设知，1-α=0.95,α=0.05,α2=0.025. 查标准正态分布表得u0.025=1.96,σ=1.5,L=1.7,所以，样本容量n=(2×1. ×1.961.7)2≈11.96.向上取整数得n=12, 于是欲使估计的区间长度为1.7的置信水平为95%, 所以需样本容量为n=12.习题3设某种电子管的使用寿命服从正态分布. 从中随机抽取15个进行检验，得平均使用寿命为1950小时，标准差s为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、下限.解答：由X∼N(μ,σ2), 知μ的95%的置信区间为(X¯±Sntα/2(n-1)),这里x¯=19 0,s= 00,n=1 ,tα/2(14)=2.145, 于是(x¯±sntα/2(n-1))=(19 0± 001 ×2.1 )≈(19 0±166.1 1)=(17 . ,2116 .15).即整批电子管平均使用寿命的置信上限为2116.15, 下限为1783.85.习题4人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下(单位：cm): 149 158.5 152.5 165 157 142求初一女生平均身高的置信区间(α=0.05).解答：X∼N(μ,σ2),μ的置信度为95%的置信区间为(X¯±Sntα/2(n-1)),这里x¯=1 ,s=8.0187, t0.025(5)=2.571, 于是(x¯±sntα/2(n-1))=(1 ± .01 76×2. 71)≈(1 ± . 16)≈(1 . ,162. 2) .习题5某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数x¯=72,样本方差s2=16, 假设分数服从正态分布，求σ2的置信度为98%的置信区间.解答：先取χ2分布变量，构造出1-α的σ2的置信区间为((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).已知1-α=0.98,α=0.02,α2=0.01,n=20, S2=16.查χ2分布表得χ0.012(19)=36.191,χ0.992(19)=7.633,于是得σ2的98%的置信区间为(19×16 6.191,19×167.6 ),即(8.400,39.827).习题6随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间.解答：已知n=9,s=11(m/s),1-α=0.95.查表得χ0.0252(8)=17.535, χ0.9752(8)=2.180,σ的0.95的置信区间为(8sχ0.0252(8),8sχ0.9752(8)), 即(7.4,21.1).习题7设来自总体N(μ1,16)的一容量为15的样本，其样本均值x1¯=1 .6;来自总体N(μ2,9)的一容量为20的样本，其样本均值x2¯=1 .2;并且两样本是相互独立的，试求μ1-μ2的90%的置信区间.解答：1-α=0.9,α=0.1, 由Φ(uα/2)=1-α2=0.95, 查表，得uα/2=1.645,再由n1=15,n2=20, 得σ12n1+σ22n2=161 +920=9160≈1.2 2,uα/2σ12n1+σ22n2=1.6 ×1.2 2≈2.0 ,x¯1-x¯2=1 .6-13.2=1.4,所以，μ1-μ2的90%的置信区间为(1.4-2.03,1.4+2.03)=(-0.63,3.43).习题8物理系学生可选择一学期3学分没有实验课，也可选一学期4学分有实验的课. 期未考试每一章节都考得一样，若有上实验课的12个学生平均考分为84，标准差为4，没上实验课的18个学生平均考分为77，标准差为6，假设总体均为正态分布且其方差相等，求两种课程平均分数差的置信度为99%的置信区间.解答：设有实验课的考分总体X1∼N(μ1,σ2), 无实验课的考分总体X2∼N(μ2,σ2). 两方差相等但均未知,求μ1-μ2的99%的置信区间，应选t分布变量，T=X1¯-X2¯-(μ1-μ2)SW1n1+1n2∼t(n1+n2-2),其中SW=(n1-1)S12+(n2-1)S22n1+n2-2.μ1-μ2的1-α的置信区间为习题10设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为 sA2=0.5419,sB2=0.6065. 设σA2,σB2分别为A,B所测定的测定值的总体方差，又设总体均为正态的，两样本独立，求方差比σA2/σB2的置信水平为0.95的置信区间.解答：选用随机变量F=SA2σA2/SB2σB2∼F(n1-1,n2-1),依题意，已知sA2=0.5419, sB2=0.6065, n1=n2=10.对于1-α=0.95, 查F分布表得F0.025(9,9)=1F0.025(9,9)=14.03, 于是得σA2σB2的0.95的置信区间为(sA2sB21Fα/2(9,9),sA2sB2Fα/2(9,9))≈(0.222,3.601).总习题解答习题1设总体X服从参数为λ(λ>0)的指数分布，X1,X2,⋯,Xn为一随机样本，令Y=min{X1,X2,⋯,Xn}, 问常数c为何值时，才能使cY是λ的无偏估计量.解答：关键是求出E(Y). 为此要求Y的密度fY(y).因Xi的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x<0;Xi的分布函数为FX(x)={1-e-λx,x>00,x≤0,于是FY(y)=1-[1-FX(y)]n={1-e-nλy,y>00,y≤0.两边对y求导得fY(y)=ddyFY(y)={nλe-nλy,y>00,y≤0,即Y服从参数为nλ的指数分布，故E(Y)=nλ.为使cY成为λ的无偏估计量，需且只需E(cY)=λ, 即cnλ=λ, 故c=1n.习题2设X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的一个样本，已知E(X)=μ, D(X)=σ2.(1)确定常数c, 使c∑i=1n-1(Xi+1-Xi)2为σ2的无偏估计；(2)确定常数c, 使(X¯)2-cS2是μ2的无偏估计(X¯,S2分别是样本均值和样本方差).解答：(1)E(c∑i=1n-1(Xi+1-Xi)2)=c∑i=1n-1E(Xi+12-2XiXi+1+Xi2)=c∑i=1n-1{D(Xi+1)+[E(Xi+1)]2-2E(Xi)E(Xi+1)+D(Xi)+[E(Xi)+[E(Xi)]2}=c(n-1)(σ2+μ2-2μ2+σ2+μ2)=2(n-1)σ2c.令2(n-1)σ2c=σ2, 所以c=12(n-1).(2)E[(X¯)2-cS2]=E(X¯2)-cE(S2)=D(X¯)+[E(X¯)]2-cσ2=σ2n+μ2-cσ2.令σ2n+μ2-cσ2=μ2, 则得c=1n.习题3设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知. 设有估计量T1=16(X1+X2)+13(X3+X4),T2=X1+2X2+3X3+4X45,T3=X1+X2+X3+X44.(1)指出T1,T2,T3中哪几个是θ的无偏估计量；(2)在上述θ的无偏估计中指出一个较为有效的.解答：(1)θ=E(X),E(Xi)=E(X)=θ,D(X)=θ2=D(Xi),i=1,2,3,4.E(T1)=E(16(X1+X2)+13(X3+X4))=(26+23)θ=θ,E(T2)=15E(X1+2X2+3X3+4X4)=15(1+2+3+4)θ=2θ,E(T3)=14E(X1+X2+X3+X4)=θ,因此，T1,T3是θ的无偏估计量.(2)D(T1)=236θ2+29θ2=1036θ2, D(T3)=116⋅4θ2=14θ2=936θ2,所以D(T3)<D(T1), 作为θ的无偏估计量，T3更为有效.习题4设从均值为μ, 方差为σ2(σ>0)的总体中，分别抽取容量为n1,n2的两独立样本，X1¯和X2¯分别是两样本的均值，试证：对于任意常数a,b(a+b=1),Y=aX1¯+bX2¯都是μ的无偏估计；并确定常数a,b, 使D(Y)达到最小.解答：E(Y)=E(aX1¯+bX2¯)=aE(X1¯)+bE(X2¯)=(a+b)μ.因为a+b=1, 所以E(Y)=μ.因此，对于常数a,b(a+b=1),Y都是μ的无偏估计，D(Y)=a2D(X1¯)+b2D(X2¯)=a2σ2n1+b2σ2n2.因a+b=1, 所以D(Y)=σ2[a2n1+1n2(1-a)2], 令dD(Y)da=0, 即2σ2(an1-1-an2)=0, 解得a=n1n1+n2,b=n2n1+n2是惟一驻点.又因为d2D(Y)da2=2σ2(1n1+1n2)>0, 故取此a,b二值时，D(Y)达到最小.习题5设有一批产品，为估计其废品率p, 随机取一样本X1,X2,⋯,Xn, 其中Xi={1,取得废品0,取得合格品, i=1,2,⋯,n,证明： =X¯=1n∑i=1nXi是p的一致无偏估计量.解答：由题设条件E(Xi)=p⋅1+(1-p)⋅0=p,D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p⋅12+(1-p)02-p2=p(1-p),E( )=E(X¯)=E(1n∑i=1nE(Xi))=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1np=p.由定义，是p的无偏估计量，又D( )=D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1np(1-p)=1n2np(1-p)=pqn.由切比雪夫不等式，任给ɛ>0P{∣ -p∣≥ɛ}=P{∣X¯-p∣≥ɛ}≤1ɛ2D(X¯)=1ɛ2p(1-p)n→0,n→∞所以limn→∞P{∣ -p∣≥ɛ}=0, 故=X¯是废品率p的一致无偏估计量.习题6设总体X∼b(k,p), k是正整数，0<p<1,k,p都未知，X1,X2,⋯,Xn是一样本，试求k和p的矩估计.解答：因总体X服从二项分布b(k,p), 故{a1=E(X)=kpa2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=kp(1-p)+(kp)2，解此方程组得p=a1+a12-a2a1,k=a12a1+a12-a2.用A1=1n∑i=1nXi=X¯,A2=1n∑i=1nXi2分别代替a1,a2, 即得p,k的矩估计为=X¯-S2X¯,k=[X¯2X¯-S2],其中S2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2,[x]表示x的最大整数部分.习题7求泊松分布中参数λ的最大似然估计.解答：总体的概率函数为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯.设x1,x2,⋯,xn为从总体中抽取的容量为n的样本，则似然函数为L(x1,x2,⋯,xn;λ)=∏i=1nf(xi;λ)=∏i=1nλxixi!e-λ=λ∑i=1nxi∏i=1nxi!e-nλ, lnL=(∑i=1nxi)lnλ-nλ-∑i=1nlnxi!,令dlnLdλ=1λ∑i=1nxi-n=0, 得λ的最大是然估计为λ=1n∑i=1nxi=x¯,即x¯=1n∑i=1nxi就是参数λ的最大似然估计.习题8已知总体X的概率分布P{X=k}=C2k(1-θ)kθ2-k,k=0,1,2，求参数的矩估计.解答：总体X为离散型分布，且只含一个未知参数θ, 因此，只要先求离散型随机变量的数学期望E(X), 然后解出θ并用样本均值X¯代替E(X)即可得θ的矩估计.由E(X)=∑k=02kC2k(1-θ)kθ2-k=1×2(1-θ)θ+2(1-θ)2=2-2θ, 即有θ=1-E(X)2.用样本均值X¯代替上式的E(X), 得矩估计为=1-X¯2.习题9设总体X的概率密度为f(x)={(θ+1)xθ,0<x<10,其它,其中θ>-1是未知参数，X1,X2,⋯,Xn为一个样本，试求参数θ的矩估计和最大似然估计量. 解答：因E(X)=∫01(θ+1)xθ+1dx=θ+1θ+2. 令E(X)=1n∑i=1nXi=X¯, 得θ+1θ+2=X¯, 解得θ的矩估计量为θ=2X¯-11-X¯.设x1,x2,⋯,xn是样本X1,X2,⋯,Xn的观察值，则似然函数L(x1,x2,⋯,xn,θ)=∏i=1n(θ+1)xiθ=(θ+1)n(x1x2⋯xn)θ(0<xi<1,i=1,2,⋯,n),取对数得lnL=nln(θ+1)+θ∑i=1nlnxi, 从而得对数似然方程dlnLdθ=nθ+1+∑i=1nlnxi=0,解出θ, 得θ的最大似然估计量为θ=-n∑i=1nlnXi.由此可知，θ的矩估计和最大似然估计是不相同的.习题10设X具有分布密度f(x,θ)={θxe-θx!,x=0,1,2,⋯0,其它,0<θ<+∞,X1,X2,⋯,Xn是X的一个样本，求θ的最大似然估计量.解答：似然函数L(θ)=∏i=1nθxie-θxi!=e-nθ∏i=1nθxixi!,lnL(θ)=-nθ+∑i=1nxilnθ-∑i=1nln(xi!),ddθ(lnL(θ))=-n+1θ∑i=1nxi，令ddθ(lnL(θ))=0, 即-n+1θ∑i=1nxi=0⇒θ=1n∑i=1nxi,故θ最大似然估计量为θ=X¯=1n∑i=1nXi.习题11设使用了某种仪器对同一量进行了12次独立的测量,其数据(单位:毫米)如下:232.50 232.48 232.15 232.53 232.45 232.30232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30试用矩估计法估计测量值的均值与方差(设仪器无系统误差).解答：设测量值的均值与方差分别为μ与σ2，因为仪器无系统误差，所以θ= =X¯=1n∑i=1nXi=232+112∑i=1n(Xi-232)=232+1/12×4.76≈232.3967.用样本二阶中心矩B2估计方差σ2, 有2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2=1n∑i=1n(Xi-a)2-(X¯-a)2=112∑i=112(Xi-232)2-(232.3967-232)2=0.1819-0.1574=0.0245.习题12设随机变量X服从二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,⋯,n,X1为其一个样本，试求p2的无偏估计量.解答：\becauseX∼b(n,p),∴E(X)=np, D(X)=np(1-p)=E(X)-np2⇒p2=1n[E(X)-D(X)]=1n[E(X)-E(X2)+(EX)2]⇒p2=1n[E(X(1-X))]+1nn2p2=1nE(X(1-X))]+np2⇒p2=E[X(X-1)]n(n-1), 由于E[X(X-1)]=E[X1(X1-1)],故2=X1(X1-1)n(n-1).习题13设X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的随机样本，试证估计量X¯=1n∑i=1nXi和Y=∑i=1nCiXi(Ci≥0为常数，∑i=1nCi=1)都是总体期望E(X)的无偏估计，但X¯比Y有效.解答：依题设可得E(X¯)=1n∑i=1nE(Xi)=1n×nE(X)=E(X),E(Y)=∑i=1nCiE(Xi)=E(X)∑i=1nCi=E(X).从而X¯,Y均为E(X)的无偏估计量，由于D(X¯)=1n2∑i=1nD(Xi)=1nD(X),D(Y)=D(∑i=1nCiXi)=∑i=1nCi2D(Xi)=D(X)∑i=1nCi2.应用柯西—施瓦茨不等式可知1=(∑i=1nCi)2≤(∑i=1nCi2)(∑i=1n12)=n∑i=1nCi2, ⇒1n≤∑i=1nCi2,所以D(Y)≥D(X¯), 故X¯比Y有效.习题14设X1,X2,⋯,Xn是总体X∼U(0,θ)的一个样本，证明：θ1=2X¯和θ2=n+1nX(n)是θ的一致估计.解答：因E( 1)= , D( 1)= 2 n; E( 2)= ,D( 2)=θn(n+2),X(n)=max{Xi}.依切比雪夫不等式，对任给的ɛ>0, 当n→∞时，有P{∣θ1-θ∣≥ɛ}≤D( 1)ɛ2=θ23nɛ2→0,(n→∞)P{∣θ2-θ∣≥ɛ}≤D( 2)ɛ2=θ2n(n+1)ɛ2→0,(n→∞)所以，θ1和θ2都是θ的一致估计量.习题15某面粉厂接到许多顾客的订货，厂内采用自动流水线灌装面粉，按每袋25千克出售. 现从中随机地抽取50袋，其结果如下：25.8, 24.7, 25.0, 24.9, 25.1, 25.0, 25.2,24.8, 25.4, 25.3, 23.1, 25.4, 24.9, 25.0,24.6, 25.0, 25.1, 25.3, 24.9, 24.8, 24.6,21.1, 25.4, 24.9, 24.8, 25.3, 25.0, 25.1,24.7, 25.0, 24.7, 25.3, 25.2, 24.8, 25.1,25.1, 24.7, 25.0, 25.3, 24.9, 25.0, 25.3,25.0, 25.1, 24.7, 25.3, 25.1, 24.9, 25.2,25.1,试求该厂自动流水线灌装袋重总体X的期望的点估计值和期望的置信区间(置信度为0.95). 解答：设X为袋重总体，则E(X)的点估计为E(X)=X¯=1 0(2 . +2 .7+⋯+25.1)=24.92kg.因为样本容量n=50, 可作为大样本处理，由样本值算得x¯=24.92, s2≈0.4376, s=0.6615, 则E(X)的置信度为0.95的置信区间近似为(X¯-uα/2Sn,X¯+uα/2Sn),查标准正态分布表得uα/2=u0.025=1.96, 故所求之置信区间为(24.92-1.96×0.661 0,2 .92+1.96×0.661 0)=(2 .7 7,2 .10 ),即有95%的把握，保证该厂生产的面粉平均每袋重量在24.737千克至25.103千克之间.习题16在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品率的置信度为0.95的置信区间.解答：这是(0-1)分布参数区间的估计问题.这批货物次品率p的1-α的置信区间为( 1, 2)=(12a(-b-b2-4ac),12a(-b+b2-4ac)).其中a=n+uα/22,b=-(2nX¯+uα/22), c=nX¯2.由题意，x¯=16100=0.16,n=100,1-α=0.95,u0.025=1.96. 算得a=100+1.962=103.842,b=-(2×100×0.16+1.962)=-35.842,c=100×0.162=2. 6.p的0.95的置信区间为( 1, 2)=(12a(-b±b2-4ac)), 即(12×10 . 2( . 16±221.2 2 )),亦即(0.101,0.244).习题17在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为170厘米，标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高μ和身高的标准差σ的置信度为0.95的置信区间(假设测身高近似服从正态分布).解答：由题设身高X∼N(μ,σ2), n=2 , x¯=170, s=12，α=0.05.(1)先求μ置信区间(σ2未知)，取U=X¯-μS/n∼t(n-1),tα/2(n-1)=t0.025(24)=2.06.故μ的0.95的置信区间为(170-122 ×2.06,170+122 ×2.06)=(170-4.94,170+4.94)=(165.06,174,94).(2)σ2的置信区间(μ未知)，取U=(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),χα/22(n-1)=χ0.0252(24)=39.364, χ1-α/22(n-1)=χ0.9752(24)=12.401,故σ2的0.95的置信区间为(24×12239.364,24×12212.401)≈(87.80,278.69), σ的0.95的置信区间为(87.80,278.69)≈(9.34,16.69).习题18为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止. 记录所行驶的路程(以千米计)如下：41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 4128738970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40440假设这些数据来自正态总体N(μ,σ2). 其中μ,σ2未知，试求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限.解答：由P{μ>X¯-Sntα(n-1)=1-α, 得μ的1-α的单侧置信下限为μ¯=X¯-Sntα(n-1).由所给数据算得x¯≈41119.38,s≈1345.46,n=16.查t分布表得t0.05(15)=1.7531, 则有μ的0.95的单侧置信下限为μ¯=41119.38-1345.464×1.7531≈40529.73.习题19某车间生产钢丝，设钢丝折断力服从正态分布，现随机在抽取10根，检查折断力，得数据如下(单位：N):578,572,570,568,572,570,570,572,596,584.试求钢丝折断力方差的置信区间和置信上限(置信度为0.95).解答：(1)这是一个正态总体，期望未知，对方差作双侧置信限的估计问题，应选统计量χ2=(n-1)S2σ2∼χ2(n-1).σ2的1-α的置信区间是((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).由所给样本值得x¯=575.2, (n-1)s2=∑1=110(xi-x¯)2=681.6;根据给定的置信度1-α=0.95(即α=0.05).查自由度为10-1=9的χ2分布表，得双侧临界值χα/22(n-1)=χ0.0252(9)=19.0, χ1-α/22(n-1)=χ0.9752(9)=2.7,代入上公式得σ2的95%的置信区间为(681.619.0,681,62.70)=(35.87,232.44),即区间(35.87,232.44)包含σ2的可靠程度为0.95.(2)这是一个正态总体期望未知时，σ2的单侧区间估计问题，σ2的置信度为1-α=95%(α=0.05)的单侧置信上限为(n-1)S2χ1-α2(n-1)=∑i=110(xi-x¯)2χ1-α2(n-1),已算得(n-1)S2=∑i=110(xi-x¯)2=681.6, 根据自由度1-α=0.95.查自由度10-1=9的χ2分布表得单侧临界值χ1-α2(n-1)=χ0.952(9)=3.325,代入上式便得σ2的0.95的置信上限为681.63.325=205, 即有95%的把握，保证σ2包含在区间(0,205)之内，当然也可能碰上σ2超过上限值205的情形，但出现这种情况的可能性很小，不超过5%.习题20设某批铝材料比重X服从正态分布N(μ,σ2)，现测量它的比重16次，算得x¯=2.705，s=0.029，分别求μ和σ2的置信度为0.95的置信区间。

(完整版)高等数学定积分应用习题答案

第六章定积分的应用习题 6-2 (A)1．求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2．求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。

所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。

处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。

处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。

与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。

求椭圆12222=+by a x9．。

与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。

的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。

轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。

旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。

微积分(经管类)学习全解与学习指导(成立社主编)PPT模板

202X
微积分(经管类)学习全解与学习指导(成立社主编)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 第1章函数
第1章函数
习题1.1（A）预备知识
习题1.2（A）函数的概念与具有某种
特性的函数
习题1.3（A）反函数与复合函数
A 习题1.1（B）预备知识
C
习题1.2（B）函数
E
的概念与具有某种
E
法则及隐函数与参
数式函数的求导法
习题3.3（B）高阶导数
B
D
F
第3章导数与微分
习题3.4（A）函数的微分习题3.4（B）函数的微分习题3.5（A）导数在经济分析中的初步应用—边际分析习题3.5（B）导数在经济分析中的初步应用—边际分析
第4章微分中值定理与导数应
04 用
第4章微分中值定理与导数应用
<sup>＊</sup>习题5.4（B）两种特殊类型函数的积分方法
<sup>＊</sup>习题5.4（B）两种特殊类型函数的积分方法
06 第6章定积分及其应用
第6章定积分及其应用
习题6.1（A）定积分的概
1
念与性质
习题6.1（B）定积分的概
念与性质
2
习题6.2（A）微积分基本
10 第10章二重积分
第10章二重积分
习题10.1（A）二重积分的概念与性质习题10.1（B）二重积分的概念与性质习题10.2（A）二重积分的计算习题10.2（B）二重积分的计算
第 11 章常微分方程与差分方
11 程
第11章常微分方程与差分方程

微积分第六章第四节定积分的应用

4ab
1
ab .
0
22
2 0
sinn
xdx
n
n
n
n
1 1
n n n n
3 2 3 2
3 4 4 5
1 2 2 3
, n为正偶数
2
, n为大于1的奇数
19
例4 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积. 解两曲线的交点
y
y2 2x
(8, 4)
2
Vy 2
1 x 2x2dx .
0
o 1x
35
例12 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图
形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积.
解
Vy 2
2
x( x 1)( x 2)dx
.
1
2
y
y
a
b
12
o
xo
x
y f (x)
“套筒法”推广：
由平面图形 0 a x b, f ( x) y 0 绕 y 轴
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
t
2
)
dx
0
t
y
1
y = x2
[t 2 x
x3 3
]
t 0
x3 [
3
t
2
x]
1 t
4t 3 t 2 1 ， 0 t 1
3
3
t2
S2
S1
o
t1 x
S 4t 2 2t
令
2t(2t 1)
0 ，得驻点:
t
0, t
1，
2
经比较，当t 1 时两面积和最小.