微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用

知识点：平面图形面积和求最值
思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量
解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为 ，（由于下弯，所以 ），将（1，2）代入 ，得到 ，因此
该抛物线和X轴的交点为 和 ，
∴所围区域 ：
∴
得到唯一极值点： ，
∴所求抛物线为：
解：见图6-2-5
∵两条曲线 和 的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和 分别交于
、
∴所围区域 表达为X-型： ，
∴
★★★6．抛物线 分圆 的面积为两部分，求这两部分的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为 ，剩余面积为
解：两条曲线 、 交于 处，
因此分割区域 ，其中 ： ， ：
★★★16．求由曲线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而 又关于射线 对称，设两条曲线在（0， ）围成的半个 为
区域
解：两条曲线 、 交于 及
因此分割区域 ，其中 ： ， ：
（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线 ， 及x轴所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的 、 变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成
解：∵所围区域 ： ，
（ 为摆线）
∴ ，
作代换 ，
则
习题6-3
1．求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
★★★★10．求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
知识点：切线方程和平面图形面积
思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型
解： ，∴在任一点 处的切线方程为
而过（0，0）的切线方程就为： ，即
所求图形区域为 ,见图6-2-10
X-型下的 ： ， ：
∵两条曲线 、 的交于 （舍去 的解），
∴所围区域 表达为Y-型： ；又图形关于x轴对称，
∴
（其中 ）
∴
★★★7．求由曲线 、 与直线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Fra Baidu bibliotek-型时，解法较简单，所以用X-型做
解：见图6-2-7
∵两条曲线 和 的交点为（0，1），又这两条线和 分别交于
思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-4
∵第一象限所围区域 表达为Y-型： ，
∴
（若用X-型做，则第一象限内所围区域 ，其中 ： ，
： ；∴ ）
★★5．求由曲线 与直线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做
已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为 ,立体又被夹于 和 两平面间，则：
绕y轴旋转：
绕y轴旋转：
平面曲线的弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
： ，
；
：
： ， ；
；
物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3、引力
课后习题全解
习题6-2
★1．求由曲线 与直线 所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
∴
★★★11．求由曲线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线是半径为 、圆心（ ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为 ，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11
知所求图形区域 ：
∴
★★★12．求三叶玫瑰线 的面积
知识点：平面图形面积
思路：三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成
和
∴所围区域 表达为X-型： ，
∴
★★★8．求由曲线 与直线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-8
∵在 的定义域范围内所围区域 ： ，
∴
★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形是由 ， 从 到 一段曲线及射线 所围，由此可确定 、 的范围
解：∵所围区域 ：
∴
★★★★15．求由曲线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而 又关于极轴对称，设 在（0， ）内的曲线和极轴围成的半个 为 区域
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，
而一叶图形又关于 对称，
因此选择其中一叶的一半区域 求其面积
解：∵ ：
∴
★★★13．求由曲线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域 求其面积
解：∵ ：
∴ ★★★14．求对数螺线 及射线 所围图形的面积
解：见图6-2-1
∵所围区域D表达为X-型： ，（或D表达为Y-型： ）
∴
（ ）
★2．求在区间[0， /2]上，曲线 与直线 、 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解：见图6-2-2
∵所围区域D表达为X-型： ，（或D表达为Y-型： ）
∴
（ ）
★★3．求由曲线 与 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-3
∵两条曲线的交点： ，
∴所围区域D表达为Y-型： ，
∴
（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
）
★★4．求由曲线 、 、及直线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
★(1)．曲线 与直线 、 、 所围成的图形；
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的 、 范围），
代入相应的公式。
解：平面图形D： ，见图6-3-1-1
绕x轴旋转产生的立体体积： ；
绕y轴旋转产生的立体体积： (和书上答案不同)
第六章定积分的应用
内容概要
名称
主要内容
定积分的元素法
定积分的元素法是一种简单记忆定积分（ ）三步骤的方法：
1、将 记为
2、将 写为
平面图形的面积
直角坐标系
X-型
Y-型
极坐标系
体积
旋转体体积
已知平行截面面积的立体体积
绕x轴旋转：
已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为 ,立体又被夹于 和 两平面间，则：