毕奥 萨伐尔定律

2. 圆形载流导线的磁场
真空中 ,半径为R 的载流导线,通有电流I,称圆电流.
求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.

Idl

R
r
dB
o
x
*p x
解：根据对称性分析
B 0
B Bx
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Idl sin 900
dB 0
dBx dB sin
4π
r2
Idl
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实验表明:磁感应强度B遵从叠加原理.
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
B

dB
0 4

l
Idl r2
r0
电流元的磁场 + 磁场叠加原理
任意载流导 体的磁场
注意
v
B
v dB
与
B

dB
的区别
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v dB
0
v Idl
三、运动电荷的磁场
sin R

r
R o
r

x
dB
x * p
dB

0
Idl R
x 4π r2 r
r2 R2 + x2
B

IR 0
4πr3
2πR
0
dl

0 IR 2
2(x2 + R )2 3/ 2
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圆形载流导线的磁场分布
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讨论: 1）若线圈有N匝
B N 0IR2
0I 4 bo

30 I 4 L
bo
3L 2

2 3
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3.载流直螺线管的磁场
一长为L , 半径为R的载流密绕直螺线管，总 匝数为N，电流I. 求管内轴线上的磁感强度.
Ro p*
dx x
x
+++++++++++++ +
由圆形电流磁场公式
B

0IR 2
（2 x2 + R2）3/ 2
8R
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例2 两根导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并
在很远处与电源相连 ,求环心O 的磁感应强度. 解: O点的磁感应强度为 1、 2、 3、4、5段载流导线在O点产生 的磁感应强度的矢量和：
O点在3和4的延长线上, 5离O 点可看作无限远,故:
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设1圆弧弧长l1 , 2圆弧弧长l2 ,圆的周长为l
§11.3 毕奥—萨伐尔定律
一、毕奥—萨伐尔定律
Idl
dB
把闭合电流分成许多 r
小段r,元段dl内电流密度 j
r
dB
I
与 dl同向, 乘积称为电
流元.
P*
r 电流元在空间任一P点产

Idl
生的磁场dB与r、θ有关
dB的大小
Idl sin
dB k r2
dB的方向 r 垂直于 与 组r 成的平
距p点x处取长为dx的元段，其上有ndx匝线
圈，相当于dI=nIdx的圆电流。
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dI在P点产生的磁感强度大小为
dB

R2dI 0
2（x2 + R） 2 3/2
dI N Idx nIdx L
各个元段在P点产生的磁感强度方向相，整 个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为
B
2( x2 + R )2 3/2
2）圆电流中心的磁场 B 0 I
2R
3）一段圆弧电流圆心处
I
R
o
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例1 如图所示，求o点的磁感应强度
解：Bab

0I 4R
ab
I
R
Bbc

1 4
0I
2R
oc
d
Bcd 0 方向垂直纸面向里
B
Bab
+ Bbc

0I 4R
+
0I
rv0
毕奥—萨伐尔定律
4π r2
思考： 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
8 7
+2
Idl + 3
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3、7点
：dB

0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
R
6
+ 4
5
dB

0 Idl
4π R2
sin
450
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二、毕——萨定律应用举例
1. 载流长直导线的磁场
cos 1
B

0nI
2
(cos
2

cos
1)
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讨论
B

0nI
2
cos2

c os 1
1）无限长的螺线管1 π , 2 0 B 0nI
2）半无限长螺线管
1

π 2
,

2
0
B

1 2
0nI
1 2
0nI
B 0nI
O
x
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故
设1圆弧电阻R1 , 2圆弧电阻R2 因此B0 = 0
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例3 如图,正三角形导线框的边长为L，电阻均匀 分布. 求线框中心O点处的磁感应强度.
解：以三角形的任意两个顶点为 b I c
电流的输入、输出端,则三角形中 电流在中心产生磁场为零
B线框 0
I
O
Bao 0
a
Bbc

y 直导线AB长度为L，通有电流I，p点到直
B
导线的距离为a。如图建立坐标
dy r
y
oa
电流元的磁场
dB
* p
大小：
x
dB
0 4
Idy s in
r2
AI
方向：垂直于纸面向里
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y
B
2
dy r
y
oa
A 1
I
B

dB

0 4
B Idysin
A r 2
1 0 2
B
I 0

oa
B
+
1
p
2πa
A
I

B
I
X B
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2）半无限长载流长直导线的磁场
B

0I
4πa
(cos1

cos2
)
I
2
B
1


2
2
B
I 0
4πa
3）载流长I 直导线延长线rr上的＊磁p 场
A
1
a
B=0
B
+P
A
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面
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毕—萨定律的数学表达式
v
v Idl

rv0
dB k
r2
dB
P
k 0 4
v dB
0 4
v Idl

rv0
r2
r
Id l
真空磁导率0 4π 107 N A2
在以Idl为轴线的任一圆周上 的各个点,由于距离r一定,θ也一 定,故dB的大小都相同,方向处处 沿圆周的切线方向.
y a cot, r a / sin

dB p*
x
dy ad / sin2
B 0I 2 sind 4 π a 1
B

0I
4πa
(cos1

cos2
)
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B

0I
4πa
(cos1

c os2 )
讨论:
I 2
B
1）无限长载流长直导线的磁场
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 + x2 3/2
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1
x1 o p
2
x2
++ + + + +x+ + + + + + + + +
B

0nI
2

x2
+
R2 + x22
x1

R2 + x12
因
x2 R2 + x22
cos 2
x1 R2 + x12