导热第二章分离变量法(2)
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T (r ) 0
2
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
i
T (r ) 这个导热问题可分解为s个有关 T j (r )的简单问题：
T j (r ) 0
2
T hi T f i ni
T j (r )
s j 1
在区域R内 在边界Si上
i
第二章 分离变量法(2)
分离变量法：
n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积：
T ( x1 , x2 , xn ) X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X n ( xn )
使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过 程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分 方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线 性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所 引进的未知常数，得到导热问题最终解。
1.
非稳态导热问题：齐次微分方程 齐次边界条件 不含内热源的稳态导热问题: 齐次微分方程 只有一个非齐次边界条件
2.
对于超过一个是非齐次边界条件的多维、
不含内热源的稳态导热问题 ——将原问题分解成若干个简单问题，每个 简单问题只包含一个非齐次边界条件，然 后进行求解。
对于一个非齐次边界条件不止一个的稳态导热问题，其数 学描述如下：
T F ( x, y , )
T1 h1T1 0 x
y
T1 F1 ( x)
T1 h2T1 0 x
T F ( x, y , )
T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
T2 h3T2 0 y
T2 F2 ( y )
0＜x＜a，0<y<b，τ＞0
x＝0 ， τ＞0 x=a τ＞0 y=0， τ＞0 y＝b τ＞0 0≤x≤a，0≤x≤b，τ＝ 0
T h2T 0 x T h3T 0 y T h4T 0 y T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内，τ=0
T i hi T f i ni
T f (r )
把原问题分解成s+2个可以直接用分离变量法求解 的简单问题。
一组按温度T0,j(r)(j=0,1,2,…,s)定义的稳态导热问题
q(r )
T0, j (r ) 0, j
x＝0 ， τ＞0
T2 h3T2 0 y
y=0， τ＞0
T1 h2T1 0 x
x=a τ＞0
T2 h4T2 0 y
y＝b τ＞0
T1 F1 ( x )
0≤x≤a，τ＝ 0
T2 F2 ( y )
0≤y≤b，τ＝ 0
x＝0 x=a y=0 y＝b
q0 2 q0 H H ( a a A) x 2 H
0 y
A
q H H ( 0 x 2 A) y 2
§2.5 一般问题的分离变量法
含有内热源的、多非齐次边界条件的非稳态导热
1 T (r , ) 2 T ( r , ) a q(r )
T 2 h4T2 0 y
O
x
二维 导热问题为例： T ( x, y, ) T1 ( x, )T2 ( y, )
T1 1 T1 2 a x
2
2T2 1 T2 1 2 a y
0<y<b，τ＞0
T1 h1T1 0 x
0＜x＜a，1τ＞0
i, j
T j ni
hi T j i , j f i
i 1,2, , s j 1,2, s
1 i j 0 i j
§2.4含有内热源的稳态导热
q 2T (r ) V 0
i
T hi T f i ni
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
q0
y ln x
物理问题：
y h
b
Tf = 0 h a
x
T 0 x
q0
T 0 y
数学描述：
2T 2T q0 2 0 2 x y
T 0 x
0＜x＜a，0<y<b
x＝0 x=a
T hT 0 x
T 0 y
y=0
T hT 0 y
多维齐次导热问题的解可写成简单一维问题的解。 条件：物体内初始温度分布可表示成单个空间变量 的函数： F(x,y)=F1(x)F2(y) 或 F(x,y,z)=F1(x)F2(y)F3(z)
二维 导热问题为例：
2T 2T 1 T 2 2 a x y
T h1T 0 x
y＝b
解：设
代入原方程：
T ( x, y ) ( x, y ) P ( x, y )
q0 x 2 T ( x, y ) ( x, y ) A 2
q0 x 2 查表： P( x, y ) 2
2 2 2 0 2 x y
0 x
0
0＜x＜a，0<y<b
将非齐次方程的一般解表示成为齐次方程的一般解 (r ) 与一个特解 P(r )之和，即 T (r ) (r ) P (r )
函数 (r ) 满足： 2 (r ) 0
qV P ( r ) 满足： 2 P (r 函数 ) 0
在区域R内
特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单 的函数形式，其特解如下：
qV q0 q0 x
2
q0 x 2
q0 x n
4
P
qx 0 2
q0 x 3 6
q0 x 12
q0 x n 2 (n 1)(n 2)
qV
x q0 2 y
y q0 2 x
wk.baidu.com
P
q0
x ln y
2
0
在区域R内 ，( j=0,1,2,…,s )
i
T0, j ni
i, j
hiT0, j i , j f i
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
1 i j 0 i j
一个以温度T s+1(r,τ)定义的齐次飞稳态导热问题
1 Ts 1 (r , ) 2 Ts 1 (r , ) a
Ts 1 i hiTs 1 0 ni
Ts 1 (r ) f (r )
在区域R内
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内，τ=0
原问题的解：
T (r , ) T0, j (r ) Ts 1 (r , )
s j 0
§2.6 乘 积解
2
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
i
T (r ) 这个导热问题可分解为s个有关 T j (r )的简单问题：
T j (r ) 0
2
T hi T f i ni
T j (r )
s j 1
在区域R内 在边界Si上
i
第二章 分离变量法(2)
分离变量法：
n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积：
T ( x1 , x2 , xn ) X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X n ( xn )
使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过 程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分 方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线 性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所 引进的未知常数，得到导热问题最终解。
1.
非稳态导热问题：齐次微分方程 齐次边界条件 不含内热源的稳态导热问题: 齐次微分方程 只有一个非齐次边界条件
2.
对于超过一个是非齐次边界条件的多维、
不含内热源的稳态导热问题 ——将原问题分解成若干个简单问题，每个 简单问题只包含一个非齐次边界条件，然 后进行求解。
对于一个非齐次边界条件不止一个的稳态导热问题，其数 学描述如下：
T F ( x, y , )
T1 h1T1 0 x
y
T1 F1 ( x)
T1 h2T1 0 x
T F ( x, y , )
T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
T2 h3T2 0 y
T2 F2 ( y )
0＜x＜a，0<y<b，τ＞0
x＝0 ， τ＞0 x=a τ＞0 y=0， τ＞0 y＝b τ＞0 0≤x≤a，0≤x≤b，τ＝ 0
T h2T 0 x T h3T 0 y T h4T 0 y T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内，τ=0
T i hi T f i ni
T f (r )
把原问题分解成s+2个可以直接用分离变量法求解 的简单问题。
一组按温度T0,j(r)(j=0,1,2,…,s)定义的稳态导热问题
q(r )
T0, j (r ) 0, j
x＝0 ， τ＞0
T2 h3T2 0 y
y=0， τ＞0
T1 h2T1 0 x
x=a τ＞0
T2 h4T2 0 y
y＝b τ＞0
T1 F1 ( x )
0≤x≤a，τ＝ 0
T2 F2 ( y )
0≤y≤b，τ＝ 0
x＝0 x=a y=0 y＝b
q0 2 q0 H H ( a a A) x 2 H
0 y
A
q H H ( 0 x 2 A) y 2
§2.5 一般问题的分离变量法
含有内热源的、多非齐次边界条件的非稳态导热
1 T (r , ) 2 T ( r , ) a q(r )
T 2 h4T2 0 y
O
x
二维 导热问题为例： T ( x, y, ) T1 ( x, )T2 ( y, )
T1 1 T1 2 a x
2
2T2 1 T2 1 2 a y
0<y<b，τ＞0
T1 h1T1 0 x
0＜x＜a，1τ＞0
i, j
T j ni
hi T j i , j f i
i 1,2, , s j 1,2, s
1 i j 0 i j
§2.4含有内热源的稳态导热
q 2T (r ) V 0
i
T hi T f i ni
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
q0
y ln x
物理问题：
y h
b
Tf = 0 h a
x
T 0 x
q0
T 0 y
数学描述：
2T 2T q0 2 0 2 x y
T 0 x
0＜x＜a，0<y<b
x＝0 x=a
T hT 0 x
T 0 y
y=0
T hT 0 y
多维齐次导热问题的解可写成简单一维问题的解。 条件：物体内初始温度分布可表示成单个空间变量 的函数： F(x,y)=F1(x)F2(y) 或 F(x,y,z)=F1(x)F2(y)F3(z)
二维 导热问题为例：
2T 2T 1 T 2 2 a x y
T h1T 0 x
y＝b
解：设
代入原方程：
T ( x, y ) ( x, y ) P ( x, y )
q0 x 2 T ( x, y ) ( x, y ) A 2
q0 x 2 查表： P( x, y ) 2
2 2 2 0 2 x y
0 x
0
0＜x＜a，0<y<b
将非齐次方程的一般解表示成为齐次方程的一般解 (r ) 与一个特解 P(r )之和，即 T (r ) (r ) P (r )
函数 (r ) 满足： 2 (r ) 0
qV P ( r ) 满足： 2 P (r 函数 ) 0
在区域R内
特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单 的函数形式，其特解如下：
qV q0 q0 x
2
q0 x 2
q0 x n
4
P
qx 0 2
q0 x 3 6
q0 x 12
q0 x n 2 (n 1)(n 2)
qV
x q0 2 y
y q0 2 x
wk.baidu.com
P
q0
x ln y
2
0
在区域R内 ，( j=0,1,2,…,s )
i
T0, j ni
i, j
hiT0, j i , j f i
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
1 i j 0 i j
一个以温度T s+1(r,τ)定义的齐次飞稳态导热问题
1 Ts 1 (r , ) 2 Ts 1 (r , ) a
Ts 1 i hiTs 1 0 ni
Ts 1 (r ) f (r )
在区域R内
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内，τ=0
原问题的解：
T (r , ) T0, j (r ) Ts 1 (r , )
s j 0
§2.6 乘 积解