直角三角形的判断

图14.1.10
古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足： 2 2 2 3 4 5 ，所以其中一个角是直角．
例3 设三角形三边长分别为下列各组数， 试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9． 解：（1）因为 72 24 2 49 576 625
C D A B
说一说
1.如图，两个正方形的面积分别为64，49， 则AC=( ) A
D 64 49
C
2.由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根木棒组呈三角形，有( ) 中取法，其中，能构成直角三角形的是 （ ）
练一练 1.如图，∠A=∠D=90O， AB=CD=12cm,AD=BC=25cm,E是 AD上一点，且AE：ED=16：9。 试判断∠BEC是直角，并说明理 由。
直角三角形的
判定
探索
古埃及人曾经用下面的 方法画直角： 将一根长绳 打上等距离的13个结，然 后如图14.1.10那样用桩钉 钉成一个三角形，他们认 为其中一个角便是直角． 你知道这是什么道理吗?
图14.1.10
试一试 试画出三边长度分别为如下数据的三角形， 看看它们是一些什么样的三角形： (1) a＝3， b＝4， c＝5； 你画的三 (2) a＝4， b＝6， c＝8； 角形如何? (3) a＝6， b＝8， c＝10．
若c-a=2, 求 c 的值。 若a=3, b=4, b=6，求 c 的值
三、勾股定理的应用
（一） 直接运用勾股定理求边
3.已知直角三角形的两条直角边为6cm和8cm, 则斜边上的高是 4.8cm 。 4、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， 12或 则x=_____ 20 ．
三、勾股定理的应用
C
B
如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ＡＢＣD的面积．
最短路程问题
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）
B A
3
C
B
C
4
A
O D
o
A D
折叠问题
1、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按 如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
满足 a b c 的三 个 正整数 ，称为勾股数。
2 2 2
你能写出常用的勾股数
3，4，5 ； 5，12，13； 8，15，17 ； 7，24，25
•请你与你的同伴合 作，看看可以找出多 少组勾股数。
巴比倫泥板「普林頓 322 號」
• 約公元前 1700 年， 巴比倫人經已發現 了此定理！
请找出１到50(包括50)的自然数中的数．共 有几组？说说你的方法？
勾股定理的推广：
• 费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家 )
除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数） 有正整数解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn （n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。
A E D
B
C
想一想
直角三角形三边上的等边 三角形的面积之间有什么关系？
F
A D
C
B
E
中 ， △ ABC ，AB AC，C 是BC上任意一点 连结AP， 如图1， AB2 AP2 BP CP吗？试说明理由 。
分析：由结论中的平方能联想到什么？ 勾股定理适用于直角三角形，构造直 角三角形是关键。如何构造呢？
（二）先构造，再运用
1、如图，求△ABC的面积
A
5 B
D
5
6
C
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
C
2m
B
8m
D
四、勾股定理的逆定理
若一个三角形三边长a、b、c满足 a2+b2=c2,
则这个三角形为直角三角形。
A
E
B
（B） （C）
D
F
C
折叠图问题
2、如图，在矩形ＡＢＣD中，沿直线AE把△ADE折 叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，ＡＢ＝8cm ，CE=3cm，求BF的长度
a 120 3 45 6 4 80 0 13500 72 360 2 70 0 960 600 6 48 0 60 2 40 0 240 2 70 0 90
b 119 33 67 46 01 12709 65 319 22 91 799 481 49 61 45 16 79 161 17 71 56
已知在△ABC中， AC＝10cm ，BC＝24cm， AB＝26cm，试说明△ABC是直角三角形。
A
26 10
C
B
24
五、勾股定理的综合运用
勾股定理与其逆定理综合的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠B= 90◦
D A
AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。
B
C
网格问题
如图，正方形网格 A 中，每个小正方形 的边长为1，则网 格上的△ABC三边 的大小关系？
而37 2 1369 即12 2 35 2 37 2 所以12， ， 为边的三角形是直角三 35 37 角形.
例3 设三角形三边长分别为下列各组数， 试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9． 解：（3）因为 92 112 81 121 202 而13 2 169 即92 112 132
• 我国古代数学巨著《九章算术》 中,也提出了一组求勾股数的式子, 这组式子相当于：任意给定两个 正整数m，n(m＞n)，那么这三个 正整数就是一个整勾股数组。
• 公元3世纪，我国著名数学家刘徽从 几何上也证明了这一结论。
• 被誉为“代数学鼻祖”的数学家丢番图 （Diophantus,约330－246）全部解的公式是 a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2 ，其中m，n（m>n） 是互质且一奇一偶的任意正整数。 • 1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数， 其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前 1900年到公元前l600年之间。
所以13， ， 为边的三角形不是直角三角形. 11 9
练习（P54）
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数， 试判断各三角形是否是直角三角形． 若是，指出哪一条边所对的角是直角． （1） 12， 16， 20； （2） 8， 12， 15； （3） 5， 6， 8．
练习（P54）
2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?
（1）直角三角形的定义
A
如说明∠C=90 °
（2）两个角的和等于90°
如说明∠A+ ∠ B=90 °
（3）勾股定理的逆定理 C
2
B
要证AC BC AB
2 2
课外作业 (P55)
6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的 三角形是不是直角三角形? 如果是，那么哪一条边所对的角是直角? （1） a＝25， b＝20， c＝15； （2） a＝1， b＝2， c＝ 3 ； （3） a＝40， b＝9， c＝40； （4） a∶b∶c＝5∶12∶13．
观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25 32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= ，c=
勾股小常识：勾股数 1、 a² =c² +b² ，满足(a,b,c)=1则a,b,c,为 基本勾数如：3、4、5;5、12、 13; 7、24、25…… 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、 kc（k为正整数）也是一组勾股数，如： 6、8、10；9、12、15…… 3、若a,b,c是一组基本的勾股数，则a,b,c 不能同时为奇数或同时为偶数 4、一组勾股数中必有一个数是5倍数 5、2mn,m² ,m² 为勾股数组，m>n﹥0 -n² +n² ,m,n一奇一偶
可以发现， 其中按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形， 而按(2)所画的不是直角三角形． 2 2 2 (1)、(3)两组都满足 a b c 而组(2)不满足．
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、 b、 c 有关系：
a b c
2 2
2
那么这个三角形是直角三角形．
探索
古埃及人曾经用下面的 方法画直角： 将一根长绳 打上等距离的13个结，然 后如图14.1.10那样用桩钉 钉成一个三角形，他们认 为其中一个角便是直角． 你知道这是什么道理吗?
c 16 9 48 25 66 49 18541 97 48 1 35 41 12 49 76 9 81 61 75 29 29 28 9 32 29 10 6
a2 b2 c2 14400 14161 28561 11943936 11336689 23280625 23040000 21169201 44209201 182250000 161518681 343768681 5184 42 25 94 09 129600 10 17 6 1 231361 7290000 5248681 12538681 921600 63 84 0 1 1560001 360000 23 13 6 1 591361 41990400 24611521 66601921 3600 20 25 56 25 5760000 2816041 8579041 57600 25921 83521 7290000 3136441 10426441 8100 31 36 11236