一道典型的集合新定义问题解析
压轴题高分策略之集合新定义《奇招制胜》数学(理)热点+题型全突破
压轴题高分策略之集合新定义数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题"为核心,以“探究”为途径，以“发现"为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．一、定义新概念创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．【典例1】【2017四川省成都市高三摸底】设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1）T＝｛f（x）｜x ∈S};（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2），那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构"的是（) A．A＝N＊，B＝N B．A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝｛x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝｛x｜0＜x＜1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q【答案】D【典例2】【2017届宁夏银川一中高三月考理科数学】已知集合M=｛}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}; ②M=｛｝；③M=｛｝；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上,任意，不存在，不满足垂直对点集的定义;在另一支上对任意,不存在,所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集"的定义,所以正确;对于③中，取点,曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集"的定义；对于④中,如下图中直角始终存在，对于任意，存在,使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点拨】本题主要考查了“垂直度点集"的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在,使得成立,是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．【典例3】【2017重庆市第八中学高三月考】定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论: ①集合A＝｛－4,－2，0，2,4｝为闭集合；②集合A＝｛n｜n＝3k,k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．【答案】②【审题指导】（1）准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．（2)方法选取：对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求,“照章办事"，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解。
高中数学新定义型问题(解析版)
新定义型问题1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 21【答案】D【分析】根据题意分析可得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，消去S 即可求解.【详解】由题意得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3ln N 2，所以N 32=N 21.故选：D .2(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈Ω B.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω【答案】C【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 ∈Ω时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量OP 1,OP 2 ,OP 3 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知0,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知-1,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对C ， 由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由1,0,0 ,0,1,0 ∈Ω能推出0,0,1 ∉Ω，对D ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,0,-1 三个向量共面，则当0,0,-1 (1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D 错误.故选：C ．3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【详解】对于A ，若存在 y =f (x ) 是偶函数, 取 x 0=1∈[-1,1],则对于任意 x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而 f (-1)=f (1), 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1qn -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m+2.下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列：命题1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；命题2：j-i≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.此时设i=4k1+1，j=4k2+2，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2-k1>-14，故k2≥k1.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+2,4k1+3,4k1+4,4k1+5,4k1+6,4k1+7,4k1+8,4k1+9,...,4k2-2,4k2-1,4k2,4k2+1，共k2-k1组；③4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.第二种情况：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.此时设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2-k1>14，故k2>k1.由于j-i≠3，故4k2+1-4k1+2≠3，从而k2-k1≠1，这就意味着k2-k1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+1,3k1+k2+1,2k1+2k2+1,k1+3k2+1，3k1+k2+2,2k1+2k2+2,k1+3k2+2,4k2+2，共2组；③全体4k1+p,3k1+k2+p,2k1+2k2+p,k1+3k2+p，其中p=3,4,...,k2-k1，共k2-k1-2组；④4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k2-k1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k1+3,4k1+4,...,3k1+k2，3k1+k2+3,3k1+k2+4,...,2k1+2k2，2k1+2k2+3,2k1+2k2+3,...,k1+3k2，k1+3k2+3,k1+3k2+4,...,4k2.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k1+1,4k1+2,...,4k2+2中除开五个集合4k1+1,4k1+2，3k1+k2+1,3k1+k2+2，2k1+2k2+1,2k1+2k2+2，k1+3k2+1,k1+3k2+2，4k2+1,4k2+2中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k1+2和4k2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.至此，我们证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列.然后我们来考虑这样的i,j的个数.首先，由于A∩B=∅，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的i,j总共有m+12个；而如果j-i=3，假设i∈A,j∈B，则可设i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2-4k1+1=3.但这导致k2-k1=12，矛盾，所以i∈B,j∈A.设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m，则4k2+1-4k1+2=3，即k2-k1=1.所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m-1,m，对应的i,j分别是2,5,6,9,..., 4m-2,4m+1，总共m个.所以这m+12个满足命题1的i,j中，不满足命题2的恰好有m个.这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m+12-m.当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C的不同于P n的交点为Q n2ky n-x n-k2x n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2，而注意到Q n的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n-kx n2-91-k2x n，故Q n一定在C的左支上.所以P n+1x n+k2x n-2ky n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2.这就得到x n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2，y n+1=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以x n+1-y n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2-y n+k2y n-2kx n1-k2=x n+k2x n+2kx n1-k2-y n+k2y n+2ky n1-k2=1+k2+2k1-k2x n-y n=1+k1-kx n-y n.再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明Sn 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【详解】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -02=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x2=1x2即x=1时取等号，故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x-1)2+e x-02=(x-1)2+e2x，则s x =2x-1+2e2x，因为y=2x-1,y=2e2x均为R上单调递增函数，则s x =2x-1+2e2x在R上为严格增函数，而s 0 =0，故当x<0时，s x <0，当x>0时，s x >0，故s x min=s0 =2，此时P0,1，而f x =e x,k=f 0 =1，故f x 在点P处的切线方程为y=x+1.而k MP=0-11-0=-1，故k MP⋅k=-1，故直线MP与y=f x 在点P处的切线垂直．(3)设s1x =(x-t+1)2+f x -f t +g t2，s2x =(x-t-1)2+f x -f t -g t2，而s 1x =2(x-t+1)+2f x -f t +g tf x ，s 2x =2(x-t-1)+2f x -f t -g tf x ，若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，设P x0,y0，则x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s1 x0=s2 x0=0，即s1 x0=2x0-t+1+2f x0f x0-f(t)+g(t)=0①s2 x0=2x0-t-1+2f x0f x0-f(t)-g(t)=0②由①②相等得4+4g(t)⋅f x0=0，即1+f x0g(t)=0，即f x0=-1g(t)，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，则f x0=-1g(t)<0恒成立，接下来证明x0=t，因为x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，则s1x0≤s(t),s2x0≤s(t)，即x0-t+12+f x0-f t +g t2≤1+g t2，③x0-t-12+f x0-f t -g t2≤1+g t2，④③+④得2x0-t2+2+2f x0-f(t)2+2g2(t)≤2+2g2(t)即x0-t2+f x0-f t2≤0，因为x0-t2≥0,f x0-f t2≥0则x0-t=0f x0-f t =0，解得x=t，则f t =-1g(t)<0恒成立，因为t的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集【答案】C【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 中，2∈M ,2.5∈M ，则|2-2.5|=0.5<1，即M 的相伴数集中的最小数不是1，因此M 不是规范数集；集合N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，|-1.5-(-0.5)|=1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3，即N 的相伴数集中的最小数是1，因此N 是规范数集.故选：C2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥5【答案】C【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，csc α=1sin α,sec α=1cos α，对于A ，sin α⋅csc α=y ⋅1y=1，A 正确；对于B ，sec2π3=1x =1cos 2π3=1cos π-π3 =1-cos π3=-2，B 正确；对于C ，函数f x =sec x =1cos x ，由cos x ≠0得x ≠k π+π2,k ∈Z所以f x 的定义域为x x ≠k π+π2,k ∈Z ，C 错误；对于D ，sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α=1+1cos 2α+1sin 2α=1+1sin 2αcos 2α=1+4sin 22α≥5，当sin2α=±1时，等号成立，D 正确.故选：C .3(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或54【答案】D【分析】根据a >b >0，得到a 2+b 2>2a b ，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到a ⊕b <12，a ⊙b >12，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为n 4|n ∈Z ,0<n ≤4=14,12,34,1，设向量a 和b 的夹角为θ，因为a >b >0，所以a 2+b 2>2a b，得到a⊕b =a ⋅b a 2+b 2=a b cos θa 2+b 2<a b cos θ2a ⋅b=cos θ2，又θ∈0,π ，所以cos θ2≤12，又a ⊕b 在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，所以cos θ2>14，即cos θ>12，得到a ⊕b =14，又因为a ⊙b =a ⋅b b 2=a ⋅b cos θb 2=a b cos θ>cos θ>12，所以a ⊙b =34或1，所以a ⊕b +a ⊙b =1或54，故选：D .4(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误【答案】C【分析】根据给定条件，令a =(3,0)，b =(0,4)，设x =(m ,n )，利用向量模及数量积的坐标表示探求m ,n 的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.【详解】由|a |=3，|b |=4，a ⊥b ，不妨令a =(3,0)，b =(0,4)，设x=(m ,n )，|x +a |<|x +b |，得|x +a |2<|x +b |2，而x +a =(m +3,n )，x +b =(m ,n +4)，则(m +3)2+n 2<m 2+(n +4)2，整理得6m -8n -7<0，由x ⋅a >x ⋅b，得3m -4n >0，平行直线6m -8n -7=0和3m -4n =0间的距离为d =0-(-7)62+82=0.7，到直线6m -8n -7=0和直线3m -4n =0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35，如图，阴影部分表示的区域为集合A ，因此无论d 是否属于A ，都有c -d=0.5，所以命题①②都正确.故选：C【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 【答案】C【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.【详解】甲、乙两地在北纬45°线上，所对圆心角为120°+60°=180°，即甲、乙两地在北纬45°线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径r =R sin45°=22R ，则R 2+R 2=2R 2，所以甲、乙两地的球心角为π2，故甲、乙两地的球面距离为π2R .故选：C .二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6 +g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数【答案】ACD【分析】根据题意分别求出cos θ=a m ，sin θ=b m ，则f θ =2sin θ+π4 ，g θ =2sin θ-π4，从而可对A 判断求解，利用换元法令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ∈-2,2 可对B 判断求解，由f θ g θ=tan θ+1tan θ-1=2求出tan θ=3，并结合sin2θ==2tan θtan 2θ+1从而可对C 判断求解，由f θ g θ =-cos2θ可对D 判断求解.【详解】由题意得M a ,b 在角θ的终边上，且OM =m ，所以cos θ=a m ，sin θ=b m，则f θ =b +a m =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，g θ =b -a m =sin θ-cos θ=2sin θ-π4，对A ：f π6+g π6 =sin π6+cos π6+sin π6-cos π6=1，故A 正确；对B ：f θ +f 2θ =sin θ+cos θ+sin θ+cos θ 2，令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4∈-2,2 ，所以f θ +f 2θ =t +t 2=t +122-14≥-14，故B 错误；对C ：f θ g θ =sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=2，解得tan θ=3，又由sin2θ=2sin θcos θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=2×332+1=35，故C 正确；对D ：f θ g θ =sin θ+cos θ sin θ-cos θ =sin 2θ-cos 2θ=-cos2θ，因为y =cos2θ为周期函数，故D 正确.故选：ACD .7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14【答案】ACD【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB ；求出x >13时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C ；将问题转化为直线y =a 与函数g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4 有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D .【详解】对于A ，若n =1，则f x =f m -x ，所以函数f x 的图象的对称轴为直线x =m2，故A 正确.对于B ，当n =-1时，f x =f m +x .若m =0，则f x =f x ，函数不具有周期性，故B 错误.对于C ，若m =1，n =2，则f x =-3x 2+2x ,x ≤13f 1-2x ,x >13，当x >13时，1-2x <13，则f x =-31-2x 2+21-2x =-34x 2-4x +1 +21-2x =-12x 2+8x -1，即当x >13时，f x =-12x 2+8x -1.当t ∈-∞,13 时，23-t ∈13,+∞ ，所以f t -f 23-t=-3t 2+2t --1223-t 2+823-t -1 =9t 2-6t +1=3t -1 2>0，所以f t >f 23-t恒成立，C 正确.对于D ，当x ∈2,4 时，4-x ∈0,2 ，则f x =ln x -a ,x ∈0,2ln 4-x -a ,x ∈2,4 ，令g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4，作出函数g x 的图象和直线y =a ，如图.要使f x 有4个不同的零点，则函数g x 的图象与直线y =a 有4个不同的交点.又x 1<x 2<x 3<x 4，则-ln x 1=ln x 2=ln 4-x 3 =-ln 4-x 4 ，所以ln x 1+ln x 2=0，ln 4-x 3 +ln 4-x 4 =0， 所以x 1x 2=1，4-x 3 4-x 4 =1，则16-4x 3+x 4 +x 3x 4=1，所以x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14，D 正确.故选：ACD .【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.8(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12 .【答案】ABD【分析】对于A ，直接使用绝对值不等式即可证明；对于B ，在使用绝对值不等式的同时考虑到绝对值不等式取等的条件(即a +b =a +b ，a +b ≥a -b ，ab ≥0两两等价，对两个不等式两边同时平方即得结论)，即可判断；对于C ，举出一个反例即可否定；对于D ，先将问题转化为方程组的解的个数问题，然后利用解析几何工具直观理解，猜出答案，最后再严格论证结果即可.【详解】对于A ，设C x 3,y 3 ，我们有d AB +d BC =x 1-x 2 +y 1-y 2 +x 2-x 3 +y 2-y 3 =x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 ≥x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 =x 1-x 3 +y 1-y 3 =d AC ，故A 正确；对于B ，若d AB <l AB ，则l AB >d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =x 1-y 2 +y 1-x 2 ，这意味着x 1-y 2 +y 1-x 2 =x 1-y 2 +x 2-y 1 =l AB >x 1-y 2 +y 1-x 2 .从而由x 1-y 2 +y 1-x 2 >x 1-y 2 +y 1-x 2 ，知x 1-y 2 y 1-x 2 <0，即y 2-x 1 y 1-x 2 >0，所以y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =l AB .而d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥y 1-y 2 -x 1-x 2 =y 1-x 1 -y 2-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =l AB >d AB ≥y 1-x 1 -y 2-x 2 .从而由y 1-x 1 +y 2-x 2 >y 1-x 1 -y 2-x 2 ，知y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0，故B 正确；对于C ，考虑A 1,0 ，B 0,1 ，此时k =-1，所以1+k1+k 2AB =0.但d AB =1-0 +0-1 =2>0，故C 错误；对于D ，条件等价于关于x ,y 的方程组x +y =1x 2+y -r 2=r2，即x +y =1x 2+y 2=2ry 有四个解.如下图所示，该方程组可以直观地理解为正方形x +y =1和圆x 2+y 2=2ry 有四个公共点，直观的理解即为圆x 2+y 2=2ry 与矩形上方的两条边所在的直线均相交，且交点都在边的内部，而当r =2-1时，圆与上方的两条边相切，当r =12时，圆与上方的边的交点恰落在端点上，故可猜测取值范围是2-1,12，下面再使用二次方程工具严格证明此结论(也可以使用距离公式等其它方法证明).若x ,y 满足原方程组，则y =x 2+y 22r>0，故x +y =1.而r 2=x 2+y -r 2=x 2+1-x -r 2=2x 2-21-r x +1-r 2，故2x 2-21-r x +1-2r =0，同时还有x =1-y ≤1.由于当x 确定后，y 只有唯一可能的取值1-x ，而方程组有四个解，所以使得相应的y 存在的x 至少有四个.根据前面的讨论，这样的x 必满足2x 2-21-r x +1-2r =0，且x ≤1，所以方程2x 2-21-r x +1-2r =0必定在-1,1 上有四个解.这表明关于t 的方程2t 2-21-r t +1-2r =0在0,1 上一定有两个解，所以首先有判别式为正数，结合Δ=41-r 2-81-2r =41-2r +r 2-2+4r =4r 2+2r -1 ，就有r >2-1.同时，由于两根都在0,1 内，故两根乘积为正数，故1-2r >0，即r <12.这就证明了2-1<r <12.最后，当2-1<r <12时，原方程组的确存在四组不同的解：x =1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =-1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12，x =-1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12.所以r 的取值范围是2-1,12，D 正确.故选：ABD .三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.【答案】12【分析】(1)把t =0代入，然后计算A t 的最大值和最小值即可.(2)先表示出P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，然后根据P 的位置分类分析M t ,m t 的值.【详解】对于 1 ，因为函数 f x =x 2，当 t =0 时，P 0,0 、Q x ,x 2 且 x -0 2+x 2-0 2≤2，即 x 2+x 4≤2，令 x 2=m ，即 m 2+m ≤2，解得 0≤m ≤1，所以 M t =1，m t =0，所以 h 0 =1-0=1 ；对于 2 ，如图所示，若函数 f x =sin π2x ，此时，函数的最小正周期为 2ππ2=4，点 P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，当点 P 在 A 点时，点 Q 在曲线 OAB 上，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 B 点时，M t =1，m t =-1h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 C 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 D 点时，M t =1，m t =-1，h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 E 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;依此类推，发现 h t 的最小正周期为 2 ，故答案为：(1)1；(2)2.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．【答案】3+32,332【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出A ；(2)利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D 的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.【详解】如图，F ，G 是AC ，BC 的中点，E ，F ，G ，H 四点共线，设P ，Q 分别为BC 、AC 上任意一点，PQ =PG +GF +FQ，PQ =PG +GF +FQ ≤PG +GF +FQ=HG +GF +FE =HE =a +b +c2，即PQ 的长小于等于△ABC 周长的一半，当PQ 与HE 重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC 周长的一半，因此区域D 的“直径”为△ABC 的周长l 的一半，由正弦定理得：a =2sinπ3=3，b =2sin B ，c =2sin C ，则l =3+2sin B +2sin 2π3-B =3+3sin B +3cos B =3+23sin B +π6.由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，即π6<B <π2，则π3<B +π6<2π3，32<sin B +π6≤1，于是3+3<l ≤33，所以平面区域D 的“直径”的取值范围是3+32,332.故答案为:3+32,332.11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.【答案】133sin 2πt +π3【分析】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点A ,B 的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由于角速ω=2πrad /s ，设点A cos 2πt -π2 ,sin 2πt -π2 ，圆上两点A 、B 始终保持∠AOB =2π3，则B cos 2πt +π6 ,sin 2πt +π6，要使A 、B 两点的竖直距高为0，则sin 2πt -π2 =sin 2πt +π6 ，第一次为0时，4πt -π3=π，解得t =13，f (t )=sin 2πt +π6 -sin 2πt -π2=32sin2πt +12cos2πt +cos2πt=32sin2πt +32cos2πt=3sin 2πt +π3.故答案为：13；3sin 2πt +π3【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．【答案】 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作PN ⎳x 并构造直角三角形，根据d (P ,M )。
高三数学集合的概念试题答案及解析
高三数学集合的概念试题答案及解析1.若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.【答案】6【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得.由即.可得.两种情况.由.所以有一种情况.由即.可得.共三种情况.综上共6种.【考点】1.集合的概念.2.递推的数学思想.3.分类的数学思想.2.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有．（把所有正确的序号都填上）【答案】①③【解析】由定义可知．，运算“”为普通加法，（ⅰ）显然符合，令，所以（ⅱ）符合，由此（ⅲ）、（ⅳ）符合.所以①正确；，运算“”为普通减法不存在,使得对，都有.所以②不正确；，运算“”为普通乘法．（ⅰ）显然符合，存在.所以（ⅱ）符合，显然（ⅲ）、（ⅳ）符合条件.综上①③符合题意.【考点】1.新定义的问题.2.数集的运算.3.列举递推的思想.3.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值．【答案】a＝0【解析】由题意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴ a＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，∴ a＝0即为所求．4.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为.【答案】-3【解析】|x-2|≤5,∴-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,∴满足条件的最小整数为-3.5.已知集合A、B，定义集合A与B的一种运算A⊕B，其结果如下表所示：A{1,2,3,4}{－1,1}{－4,8}{－1,0,1}【答案】{－2011，2012，－2012,2013}【解析】由给出的定义知集合A⊕B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}．故M⊕N＝{－2 011，2 012，－2 012,2 013}6.已知集合A={x|x≥0},B={0,1,2},则()A．A⊆B B．B⊆AC．A∪B=B D．A∩B=∅【答案】B【解析】显然B⊆A,A∪B=A,A∩B=B.7.A={x|x≠1,x∈R}∪{y|y≠2,y∈R},B={z|z≠1且z≠2,z∈R},那么()A．A=B B．A BC．B A D．A∩B=⌀【答案】C【解析】集合中的代表元素与用什么字母表示无关.事实上A=(-∞,1)∪(1,+∞)∪(-∞,2)∪(2,+∞)=(-∞,+∞),集合B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以B A.8.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝________.【答案】M∩N＝{2,3}【解析】M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．9.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a≠0时，方程有实根，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1.若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.10.设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a＝。
高一数学集合试题答案及解析
高一数学集合试题答案及解析1.已知集合M={}，P={}，则M P=（）A．B．（3，）C．{3，}D．{(3，)}【答案】D【解析】即求两个一次函数与图象的交点，并用点集形式给出．因为M={(x，y)|x+y=2}，P={(x，y)|x－y=4}，所以M∩P=={(3，－1)}，故选D。
【考点】本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。
点评：本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。
应特别注意结合中元素是有序数对。
2.对于非空集合M、P，把所有属于M而不属于P的元素组成的集合称为M与P的差集，记作，用数学符号描述这一集合则__________________，且在下列给出的4个集合中，必与相等的集合的序号是______________．①M；②P；③；④；⑤【答案】，且，③【解析】由定义，表示的是在M中而不在P中的元素，∴，且，从而表示的是在M中且在P中的元素，故选③．【考点】本题主要考查差集的概念、集合中元素的性质。
点评：这是一道新定义问题，考查学生的学习能力、阅读能力。
3.设全集U={x||x|<4，且x∈Z}，S={-2，1，3}，且P是U的子集，若P S，则这样的集合PU共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】D【解析】U=，由P S知，而，∴共有子集U个．一般地，有n个元素的集合有2n个子集，有2n-1个真子集．【考点】本题主要考查子集的概念。
点评:注意从集合中元素的有无、多少依次考虑。
一般地，有n个元素的集合有2n个子集，有2n-1个真子集。
特别注意空集是任何集合的子集。
P=（）4.已知全集U={x|x为小于或等于20的素数}，P={3，7，11，17}，则UA．{5，9，13，19}B．{1，5，13，19}C．{2，5，13，19}D．{1，2，5，13，19}【答案】C【解析】U={2，3，5，7，11，13，17，19}，由补集的概念比较两个集合即得，选C。
2021年北京市高考数学总复习专题7：数列与集合新定义解答题(附答案解析)
14．（2020北京石景山区4月模拟）有限个元素组成的集合 ， ，记集合 中的元素个数为 ，即 ．定义 ，集合 中的元素个数记为 ，当 时，称集合 具有性质 ．
（1） ， ，判断集合 ， 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）设集合 ， 且 ( )，若集合 具有性质 ，求 的最大值；
②对任意 ，存在 ，使得 （其中 ）．
（Ⅰ）判断 能否等于 或 ；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求 的最小值；
（Ⅲ）研究 是否存在最大值，若存在，求出 的最大值；若不在在，说明理由．
5．（2020·北京朝阳区高三一模）设数列 （ ）的各项均为正整数，且 ．若对任意 ，存在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 ．
8．（2020·北京牛栏山一中高三月考）给定数列 ．对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 的最小值记为 ， ．
（1）设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值；
（2）设 是公比大于 的等比数列，且 ．证明： 是等比数列．
（3）设 是公差大于 的等差数列，且 ，证明： 是等差数列．
9．（2020·北京高三东城区一模）已知数列 ，记集合 ．
（3）设集合 ，其中数列 为等比数列， ( )且公比为有理数，判断集合 是否具有性质 并说明理由．
15．（2020·北京海定区一模）给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项 ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 ．将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值．
（1）对于数列 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明理由．
新定义题型(学生版)
大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。
2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念解答题练习(含解析)(11)
1.1 集合的概念1．设集合{}22|,,M a a x y x y z ==-∈．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数42()k k z -∈不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ．2．设集合{2A x x =≤或}6x ≥，{}13B x x =-<<，{}13C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.3．已知集合(){}223,1,22A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值.4．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(),P x y ，定义OP x y =+，任取点()()1122,,,A x y B x y ，记()()''1221,,,A x y B x y ，若此时2222''OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①()()2,1,3,2A B -；②()()4,3,2,4C D -. （2）给定*N ,3n n ∈≥，点集(){},,,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数.6．若集合A 中有三个元素x 、1x +、1，集合B 中也有三个元素x 、2x x +、2x ，且A B =，求实数x 的值．7．已知集合{A x x m ==+，且}2231,,m n m n Z -=∈．（1）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数； （2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA ；并求满足(222c ≤的c 的值．8．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈. （1）若7a =，求()M A C B ；（2）如果A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.9．已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.10．（1）设A 表示集合2，3，a 2＋2a －3），B 表示集合|a ＋3|，2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值；（2）已知集合A ＝（x ，y ）|2x －y ＋m>0}，B ＝（x ，y ）|x ＋y －n≤0}，若（2，3）∈A ，且（2，3）∉B ，试求m ，n 的取值范围.11．设集合A ＝1，a ，b}，B ＝a ，a 2，ab}，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.12．用列举法把下列集合表示出来： ①A=9{|};9x x∈∈-N N ②B=9{|};9x x∈∈-N N ③C＝y ｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝(x ，y)｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{|,5,,*}px x p q p q q=+=∈∈⋅N N13．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 3.5-小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程(1)(2)0x x --=的解组成的集合； （6）不等式215x ->的解集.14．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)15．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩16．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.17．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.18．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．19．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．20．当实数a 、b 满足什么条件时，集合{}0A x ax b =+=是有限集、无限集、空集？参考答案1．（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 解析：（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； （2）根据x y +与x y -的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 详解：证明：（1）设a 为任意奇数，则21()a k k z =-∈，因为2221(1),k k k -=--且,1k k -均为整数，∴a M∈．由a 的任意性知，一切奇数属于M ．（2）首先我们证明如下命题：设：,x y z ∈，则x y +与x y -具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明．假设(42)k M -∈，则存在,x y z ∈，使得2242()()2(21)x y k x y x y k -=-⇒+-=-．若x y +与x y -同为奇数，则（x y +）（ x y -）必定为奇数，而2(21)k -表示偶数，矛盾；若x y +与x y -同为偶数，则（x y +）（ x y -）必定被4整除，但2(21)k -表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．综上所述，形如42k -的偶数不属于M ．（3）设,a b M ∈，则存在1122,,,x y x y z ∈，使得22221122,a x y b x y =-=-．22221122()()ab x y x y =--=22222222121212121212122122x x y y x x y y x x y y x y x y +-+-- =2212121221()()x x y y x y x y ---，又因为1212x x y y -，1221x y x y -均为整数，∴ab M∈．点睛：方法点睛：证明偶数42()k k z -∈不属于M ，可以运用反证法来证明.2．（1）{}12A B x x ⋂=-<≤（2）{1m m ≤-或}7m ≥解析：（1）已知集合A ，B ，可直接得交集；（2）因为13m m -<+，所以集合C 不是空集，又C A ⊆，那么有32m +≤或16m -≥，解不等式即得。
第一章 集合典型例题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练
专题01 集合中的典型题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 153.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<324.设M，P是两个非空集合，规定M−P={x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M−(M−P)等于()A. MB. PC. M∪PD. M∩P5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23二、多选题7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集∈A，则称集合8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．13.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.已知全集，集合M={x|−2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．(Ⅰ)若a=2，求；(Ⅱ)若M∪N=M，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a−12<x<a2}，B={x|0<x<1}(Ⅰ)若a=12，求A⋃(∁R B)．(Ⅱ)若A⋂B=⌀，求实数a的取值范围．一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查元素与集合、集合与集合之间的基本关系，特别要注意空集这一概念在题中的特殊性，根据集合中的相关概念，对每个命题进行一一判断．【解答】解：对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，由于两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0,1}是数集，含有2个元素，集合{(0,1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确．故选B．2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．【解答】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有5个元素，则A 可以为{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，有5种； 若集合A 中只有2个元素，则集合B 中有4个元素，则A 可以为{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,5}，有6种；若集合A 中只有3个元素，则集合B 中有3个元素，则A 只能是{1,3，5}，只有1种，则共有有序集合对(A,B)12个，故选A ．3. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 13⩽m <32B. m ⩾0C. m ⩾32D. 13<m <32【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,解得0≤m <13，综合可得m ≥0，∴实数m 的取值范围是m ≥0．故选B ．4. 设M ，P 是两个非空集合，规定M −P ={x|x ∈M ，且x ∉P}，根据这一规定，M −(M −P)等于() A. M B. P C. M ∪P D. M ∩P【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合新定义问题，属于较难题．分M ∩P =⌀与M ∩P ≠⌀讨论，可证明M −(M −P)=M ∩P ．解：当M∩P=⌀时，∵任意x∈M都有x∉P，∴M−P=M，∴M−(M−P)=⌀=M∩P；当M∩P≠⌀时，M−P表示了在M中但不在P中的元素，M−(M−P)表示了在M中但不在M−P中的元素，∵M−P中的元素都不在P中，所以M−(M−P)中的元素都在P中，∴M−(M−P)中的元素都在M∩P中，∴M−(M−P)=M∩P．故选D．5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M【答案】A【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，由a=2√2<6即可求解．【解答】解：因为集合M={x|x≤6}，a=2√2<6，所以{a}⫋M.故选A．6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23【解析】【分析】本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系．先从四个选择中最小的数开始进行检验是否满足x∈A∩B∩C，即x属于A，B，C中每一个集合，找出最小的一个即可．【解答】解：∵23=3×7+2=5×4+3=7×3+2，∴23∈A，23∈B，23∈C，∴23∈A∩B∩C，所以23是四个答案中最小的一个，故选：D．二、多选题∈P(除数b≠0)则7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab 称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验．本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab可等到正确的结果．解：当a=b时，a−b=0、ab=1∈P，故可知A正确．当a=1，b=2，12∉Z不满足条件，故可知B不正确．当M中多一个元素复数i则会出现1+i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．故选AD．8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力，根据“完美集”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A.∵1，−1∈B，1−(−1)=2∉B，不满足性质(2)，∴A不正确；B.∵0∈Q，1∈Q，x、y∈Q，∴0−y=−y∈Q，∴x+y=x−(−y)∈Q，且x≠0时，1x∈Q，∴B正确；C.∵0∈A，x、y∈A，∴0−y=−y∈A，∴x+y=x−(−y)∈A，故C正确；D.x，y∈A时，①若x=0，或1，则x2∈A；②若x≠0，且x≠1，则x−1，1x−1,1x∈A，∴1x−1−1x=1x2−x∈A；∴x2−x∈A，x2−x+x=x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴同理可得y2∈A，x2+y2∈A，(x+y)2∈A；∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：1 xy =12xy+12xy∈A，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，能得到xy∈A，故D正确．故选BCD．9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查新定义，属于较难题．根据新定义，逐一判断即可．【解答】解：由题意可得：，故正确；，所以正确；若A,B⊆R,且A⊕B⊆A,则B⊆A，故不正确；存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁R A)⊕(∁R B,)如A=B，故正确．故答案为ABD．三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．【答案】16【解析】解：∵M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，∴a=−1，∴M∪N={−1,0，1，2}，故M∪N的子集有24=16个．故答案为：16．由题意先确定集合M，N，再求M∪N={−1,0，1，2}，从而求子集的个数．本题考查了集合的运算及集合的化简，同时考查了集合的子集个数问题，11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．【答案】{0,−1,2}【解析】【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，根据集合M={x|x2+x−8=0}写出集合M最简单的形式，然后再根据N⊆M，求出a的值，【解答】解：∵集合M={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，∵N⊆M，N={x|ax+4=0}，∴N=⌀，或N={−2}或N={4}三种情况，当N=⌀时，可得a=0，此时N=⌀；当N={−2}时，−2a+4=0，可得a=2；当N={4}时，4a+4=0，可得a=−1．∴a的可能值组成的集合为{0,−1,2}．故答案为{0,−1,2}．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．【答案】{−1,0，−12}.【解析】【分析】本题考查集合的包含关系及应用．根据A⊆B，利用分类讨论思想求解即可，特别要注意A=⌀不可忽略.【解答】解：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B；当a≠0时，A={−1a }⊆B，−1a=1或−1a=2，解得a=−12或−1，}.综上实数a的所有可能取值的集合为{−1,0，−12}.故答案为{−1,0，−1213.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．【答案】−1【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．由A，B，以及A与B的交集恰有3个元素，确定出a的值即可．【解答】解：因为a2−3≥−3>−4，所以由题意得a2−3=a−1或a−1=1，解得a=2或a=−1．当a=2时，集合A中的两个元素重合，舍去，所以a=−1．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．【答案】解：(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且△=4−4m<0，所以m>1；(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，，满足题意；讨论：①当m=0时，x=12②当m≠0时，△=4−4m，所以m=1．综上所述，m=0或m=1；,2)≠⌀，(3)若A∩(12,2)内有解，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12这等价于当x∈(12,2)时，求m=2x−1x2=1−(1x−1)2的值域，∴m∈(0,1]．【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题．(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(3)若A∩(12,2)≠⌀，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12,2)内有解，这等价于求m=2x−1x2，x∈(12,2)时的值域．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意得A={x|x2−3x+2=0}={1,2}∵A∩B={2}，∴2∈B∴22+(a−1)×2+a2−5=0，即4+2a−2+a2−5=0化简得：a2+2a−3=0，所以(a+3)(a−1)=0，解得：a=−3或a=1．检验：当a=−3时，B={x|x2−4x+4=0}={2}，满足A∩B={2}，当a=1时，B={x|x2−4=0}={−2,2}，满足A∩B={2}，∴a=−3或a=1;(2)∵A∪B=A，故B⊆A，①当B=⌀，则(a−1)2−4(a2−5)<0，即a2−2a+1−4a2+20<0，即−3a2−2a+21<0，即3a2+2a−21>0，即(3a−7)(a+3)>0，解得：a>73或a<−3，②当B为单元素集，则，即(a−1)2−4(a2−5)=0，得a=73或a=−3当a =73时，B ={−23}⊄A ，舍当a =−3时， B ={2}⊆A 符合，③当B 为双元素集，则B =A ={1,2}则有{1+2=1−a 1×2=a 2−5无解， 综上：a >73或a ≤−3【解析】本题主要查了交集、并集以及一元二次方程的解法，考查了学生分类讨论的思想，培养了学生的综合能力．(1)由A ∩B ={2}，知2∈B ，将2代入求出a ，进而进行检验，得出集合B ，得出结论．(2)由A ∪B =A ，知B ⊆A ，再根据一元二次方程根的情况讨论B 的情况，得出a 的取值范围．16. 已知全集，集合M ={x|−2≤x ≤5}，N ={x|a +1≤x ≤2a +1}． (Ⅰ)若a =2，求；(Ⅱ)若M ∪N =M ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)若a =2，则N ={x|3≤x ≤5}，则或x <3}； 则；(Ⅱ)若M ∪N =M ，则N ⊆M ，①若N =⌀，即a +1>2a +1，得a <0，此时满足条件；②当N ≠⌀，则满足{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2，得0≤a ≤2，综上a ≤2，故a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题．(Ⅰ)根据集合的基本运算进行求解即可；(Ⅱ)根据M ∪N =M ，得N ⊆M ，讨论N 是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．17. 已知集合A ={x |a −12<x <a 2}，B ={x |0<x <1}(Ⅰ)若a =12，求A⋃(∁R B )．(Ⅱ)若A⋂B =⌀，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a =12时A ={x|0<x <14}，C R B ={x|x ≤0或x ≥1}，∴A ∪(∁R B)={x|x <14或x ≥1};(Ⅱ)当A =ϕ时，即a −12⩾a 2解得a ⩾1，当A ≠ϕ时，需满足{a <1a −12⩾1或{a <1a 2⩽0，解得a ⩽0，综上a ⩽0或a ⩾1 ．【解析】本题考查集合的运算以及集合的关系(1)当a =12时，得到集合A ，C R B 利用并集概念即可求出A ∪(∁R B)； (2)分A =Φ和A ≠Φ两种情况即可求解，然后再求并集．。
高中数学人教A版1.1 集合的概念单选题练习(含解析)(40)
1.1 集合的概念1．已知集合M=6*,5aN a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（ ） A ．2，3} B ．1，2，3，4} C ．1，2，3，6} D ．1-，2，3，4}2．集合{}14916P =，，，，，若a P b P ∈∈，，则a b P ⊕∈，则运算⊕可能是 A ．除法 B ．加法 C ．乘法 D ．减法3．下面有四个命题：①集合N 中最小元素是1；②若N a -∈，则a N ∈；③若a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2；④244x x +=的解集可表示为{}2,2．其中正确的命题的个数是．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知集合{,||,2}M a a a =-．若2M ∈，则实数a 的值为A ．-2B ．2±C ．2或4D ．2±或45．设集合A ＝x|﹣2＜x ＜4}，B ＝2，3，4，5}，则()R A B =（ ）A ．2}B ．4，5}C ．3，4}D ．2，3} 6．集合2{|60}?,M x x x =--=则以下正确的是（ ） A ．{}2M -∈ B ．2M -⊂ C ．3M -∈ D ．3M ∈ 7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（ ） A ．x ＝2，y ＝1} B ．21x y ⎧⎫=⎧⎨⎨⎬=⎩⎩⎭ C ．2，1} D ．（2，1）}8．已知集合{}3,1M m =+，4M ∈,则实数m 值为A ．4B ．3C ．2D ．1 9．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个 10．下列各组对象中能构成集合的是（ ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品11．下列说法正确的是（ ）A ．所有著名的作家可以形成一个集合B ．0与 {}0的意义相同C ．集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭ 是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素12．方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．(){}5,4 B ．(){}5,4-- C ．(){}5,4- D ．(){} 5,4- 13．已知集合{}21,1A a a =++，且2A ∈，则实数a 的取值是（ ）A ．1或-1B ．-1C ．1D ．-1或0 14．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14B ．－2C ．78D ．7 15．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1216．下列各对象可以组成集合的是A ．与1非常接近的全体实数B ．某校全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数相差很小的全体实数17．已知集合{}|04A x N x =∈≤≤，则下列表述正确的是A ．0A ∉B ．1A ⊆C 2A ⊆D ．3A ∈18．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．7 20．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（ ） A ．1A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆参考答案1．D解析：由元素具有的性质，5a -是6的正约数，由此可得a 的值．详解：因为集合M=6*,5a N a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6， 即a 可能为4，3，2，1-.所以M=1-，2，3，4}，故选：D.点睛：本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据．2．C解析：根据所给示例，可得集合P ，根据特殊值排除选项即可．详解：因为集合{}14916P =，，，， 所以集合P 为正整数的平方组成的集合当1,4a b ==时，满足a P b P ∈∈，若⊕运算为除法，计算后的结果为14，不满足a b P ⊕∈，排除A 选项若⊕运算为加法，计算后的结果为5，不满足a b P ⊕∈，排除B 选项若⊕运算为减法，计算后的结果为3-，不满足a b P ⊕∈，排除D 选项所以C 选项正确点睛：本题考查了集合中新定义的应用，注意用特殊值法排除选项，属于基础题．3．A解析：N 是自然数集,最小的自然数是0，集合中的元素是互异的,即相同的元素写一次即可. 详解：①集合N 中最小元素是0；所以①错；②若N a -∈，则a N ∈：当3a N -=∈时，3a N =-∉，所以②错；③若a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是0；所以③错；④244x x +=的解集可表示为{}2；所以④错.点睛：本题考查学生对常用数集符号的认识，同时考查学生的推理能力.4．A解析：根据2M ∈依次验证每个元素等于2的情况，根据元素的互异性排除错误结果. 详解：当2a =时，2=a ，不满足集合中元素的互异性；当22a -=时，4a =，4a =，不满足集合中元素的互异性；2a ∴=且2a ≠ 2a ∴=-，此时{}2,2,4M =--，满足题意故选A点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数值的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，造成增根出现.5．B解析：首先根据补集的运算得到A R ，再根据交集的运算即可得出答案.详解：解：因为{}|24A x x =-<<，所以{|2R A x x =≤-或}4x ≥.所以(){}4,5R A B =故选：B.6．D解析：解一元二次方程得{}2,3M =-，由元素与集合的关系得3M ∈，得解.详解：解:解方程260x x --=,解得3x =或2x =-,即{}2,3M =-,则3M ∈,故选:D.点睛：本题考查了一元二次方程的解法及元素与集合的关系，属基础题.7．D解析：利用“消元法”即可得出．详解：31x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②可得：2x ＝4，解得x ＝2，把x ＝2代入①可得2+y ＝3，解得y ＝1．∴方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（2，1）}， 故选D ．点睛：本题考查了方程组的解法、“消元法”，考查了计算能力，属于基础题．8．B详解：因为集合{}3,1M m =+，4M ∈，故必有m+1=4,m=3,选B9．C解析：直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.详解：由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6.故选C点睛：本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．C解析：根据集合中元素的确定性，即可得解.详解：选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.点睛：本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.11．D解析：根据集合的相关概念逐项分析即可.详解：所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A 错误；0可以表示一元素，{}0表示的是集合，故B 错误； 集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故C 错误； 由2210x x ++=得1x =-，则方程的解集为{1},- 故D 正确.故选：D.12．D解析：把一次方程代入二次方程消去y 后求得x ，即可求得y.详解：把一次方程代入二次方程得22(1)9x x --=，整理得210x =，5x =5x =代入一次方程，求得514y =-+=-故方程组的解集为{}(5,4)-，故选：D.点睛：本题主要考查了方程组的解集问题.涉及点集的表示方法及列举法..13．B解析：根据元素与集合的关系求解．详解：∵2A ∈，∴12a +=或212a +=，若12a +=，则1a =，此时212a +=，不合题意，舍去，若212a +=，1a =±，其中1a =不合题意．∴1a =-．故选：B.点睛：本题考查元素与集合的关系，解题时要注意检验，是否符合集合的定义．符合集合元素的性质．14．D解析：由题意知a 应为无理数，故a 选D.15．B详解： 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B16．B详解：略17．D详解：试题分析：由题意知，集合，又由元素与集合关系，易知选项D 正确有.故选D.考点：元素与集合关系.18．B解析：首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 详解：A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确. 故选：B点睛：关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.19．B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论. 详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合， 所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A.点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念解答题练习(含解析)(13)
1.1 集合的概念1．已知集合A ＝x|ax 2－3x ＋2＝0}. (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围． 2．设为实数集，且满足条件：若，则．求证：（1）若，则中必还有另外两个元素；（2）集合不可能是单元素集．3．已知{25},{12}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤∣∣，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.4．已知集合{}2210A x ax x a R =++=∈，，若A 中至多只有一个元素，求a 取值范围.5．由实数组成的集合A 具有如下性质：若a A ∈，b A ∈且a b <，那么1a A b+∈. （1）若集合A 恰有两个元素，且有一个元素为43，求集合A ；（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A ；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.6．已知集合{}35A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}C x x a =<，全集为实数集R.（1）求A B ，()R A B ⋂；（2）如果A C ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.7．已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则11A x∈-． （1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3） A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．8．用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合； （2）不等式342x x +≥的所有解； （3）到两坐标轴距离相等的点的集合．9．已知集合A=a-2,2a 2+5a,10}，且-3∈A，求实数a 的值10．对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n N ∈≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”．11．已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a∈A，求实数a 的值．12．已知集合{4,2}A ，22|2(1)50B x x a xa ，{}2240C x x bx b =+--=.（1）若2A C ，求实数b 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.13．已知集合{}212A x x =-≤-≤，()(){}310B x x x =+->，{}321C x m x m =-≤≤+． （1）设全集为R ，求()RA B ；（2）若A B C =R ，求实数m 的取值范围．14．用描述法表示如图所示的阴影（含边界）中的点P 组成的集合．15．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值；（2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．16．若{}223,21,1a a a ∈---，求实数a 的值．17．数集M 满足条件：若a M ∈，则()11,01aM a a a+∈≠±≠-. （1）若3M ∈，求集合M 中一定存在的元素； （2）集合M 内的元素能否只有一个？请说明理由；（3）请写出集合M 中的元素个数的所有可能值，并说明理由.18．学校开运动会，设A=|x x 是参加100m 跑的同学}，B=|x x 是参加200 m 跑的同学}，C=|x x 是参加400m 跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）A B ； （2）A C .19．已知集合(){}2|220A x x a x a =-++=，{}22,5,512B a a =+-.（1）若3A ∈，求实数a 的值； （2）若{}5B C A =，求实数a 的值.20．设k ∈R ，求方程组123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩的解集．参考答案1．（1）当a＝0时，2{}3A=，当98a=，4{}3A=；（2）98a≤.解析：将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程2320ax x-+=可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．详解：(1)因为集合A是方程2320ax x-+=的解集，则当a＝0时，2{}3A=，符合题意；当0a≠时，方程2320ax x-+=应有两个相等的实数根，则980a∆=-=，解得98a=，此时4{}3A=，符合题意．综上所述，当a＝0时，2{}3A=，当98a=，4{}3A=．(2)由(1)可知，当当a＝0时，2{}3A=，符合题意；当0a≠时，方程2320ax x-+=有实数根，则980a∆=-≥，解得98a≤且0a≠.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则98a≤.点睛：“0a=”这种情况容易被忽视，如“方程2320ax x-+=”有两种情况：一是“0a=”，即它是一元一次方程；二是“0a≠”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“∆”来解决．2．见解析解析：（1）∵，∴.∵，∴.∵A B ≠，∴.∴A 中必还有另外两个元素为. （2）若A 为单元素集，则，即，而该方程无解，∴，∴A 不可能为单元素集．3．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：由已知条件可得B A ⊆，然后按B φ=和B φ≠进行讨论，列不等式求解即可. 详解：A B A B A ⋃=∴⊆当B φ=时，121m m m +>∴<当B φ≠时，125121225m mm m m +≤⎧⎪⎪+≥-∴≤≤⎨⎪≤⎪⎩综上所述m 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.点睛：本题考查集合间基本关系的应用，做题时注意对空集的讨论，属于易错题.4．1a ≥或0a =解析：由题意按照0a =、0a ≠分类；当0a ≠时，转化条件为方程2210ax x ++=无实数根或有两个相等实根，再由根的判别式即可得解. 详解：当0a =时，{}{}212102102A x ax x a R x x ⎧⎫=++=∈=+==-⎨⎬⎩⎭，，符合题意；当0a ≠时，若集合A 中至多只有一个元素，则方程2210ax x ++=无实数根或有两个相等实根，所以440∆=-≤a 即1a ≥； 所以a 取值范围为1a ≥或0a =. 点睛：本题考查了描述法表示集合的应用，考查了分类讨论思想与转化化归思想，属于基础题.5．（1）4{4,}3A =或44{,}39A =或4{3A =；（2）存在，A =.解析：（1）根据题意设集合4{,}3A x =，然后分类讨论x 与43的大小，根据集合的性质解出x ，即可得解；（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A {0,,}a b =，根据集合中元素的性质可知，0a <，0b <，进一步可知，1A ∈，不妨设集合{,0,1},(0A x x =>且1)x ≠，再根据集合中元素的性质可求得结果. 详解：（1）集合A 恰有两个元素且43A ∈.不妨设集合4{,}3A x =，当43x <时，由集合A 的性质可知，314x A +∈，则314x x +=或34143x +=， 解得4x =(舍)或49x =，所以集合44{,}39A = 当43x >时，由集合A 的性质可知，413A x +∈，则413x x +=或44133x +=，解得36x +=或36x =(舍)或4x =所以集合4{,4}3A =或43{,}36A +=综上所述：4{4,}3A =或44{,}39A =或4{3A =.（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A {0,,}a b =，即0A ∈，当0a >时，则10a +无意义，当0b >时，则10b+无意义，所以0a <，0b <，并且01A a +∈，01A b+∈，即1A ∈，不妨设集合{,0,1},(0A x x =>且1)x ≠， 当1x >时，由题意可知，11A x+∈，若11x x +=，即210x x --=，解得x =或x =(舍)，此时集合A =； 若111x +=，则10x=不成立； 若110x+=，即1x =-(舍)， 当01x <<时，由题意可知，1x A +∈， 若10x +=，则1x =-（舍），若11x +=，则0x =（舍）， 若1x x +=，则10=不成立， 综上所述，集合A 是存在的，15{0,1,}2A +=. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题.6．（1）{}210A B x x ⋃=<<；(){23R A B x x ⋂=<<或510}x ≤<；（2）3a > 解析：（1）判断集合的关系，求得A B ，先求A R，再求()R A B ⋂；（2）由已知条件A C ⋂≠∅，并结合数轴，得到实数a 的取值范围. 详解： （1）A B ，{}210A B B x x ∴⋃==<<，{3RA x x =<或5}x ，(){23R AB x x ∴⋂=<<或510}x ≤<；（2）A C ≠∅，3a ∴>点睛：本题考查集合的运算，以及根据集合的关系求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.7．（1）12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）不存在这样的A ，理由见解析；（3）是，证明见解析.解析：（1）根据题意得，1112A =-∈-，()11112A =∈--，故11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭； （2）假设集合A 是单元数集合，则210x x -+=，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明x ，11x-，11x -是集合A 的元素即可.详解：解：（1）因为若x A ∈，则11A x∈-，2,A ∈， 所以1112A =-∈-，()11112A =∈--，12112A =-∈，所以11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.（2）假设集合A 是仅含一个元素的单元素集合， 则11x x=-，即：210x x -+=， 由于30∆=-<，故该方程无解， 所以A 不能是仅含一个元素的单元素集.（3）因为1A ∉，x A ∈，则11A x∈-，则1111111x A x x x-==-∈--， 所以111x Ax x =∈--，故该集合有三个元素，下证x ，11x-，11x -互不相等即可. 假设11x x =-，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x-不相等， 假设11x x-=，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x -不相等，假设1111x x =--，则210x x -+=，该方程无解，故11x-，11x -不相等. 所以集合A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个. 点睛：本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明x ，11x-，11x -互不相等且属于集合A 即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.8．（1）{}|110x R x ∈<<；（2）{}|4x x ≥-；（3）(){},|x y y x =±. 解析：用描述方法逐项表示可得答案. 详解：（1）根据描述用不等式表示出即可，可以表示成{}|110x R x ∈<<． （2）先表示成{}|342x x x +≥，解不等式即{}|4x x ≥-．（3）到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即y x =，或y x =-，可以表示成(){},|x y y x =±．9．32a =- 详解：试题分析：3A -∈，则集合A 中含有元素3-，由此要分类讨论，23a -=-或2253a a +=-，解得a 的值后，要注意代入检验，是否符合集合中元素的互异性．试题解析：∵-3∈A ∴a -2= -3或2a 2+5a= -3当a-2= -3时，a= -1,此时2a 2+5a = -3，与集合的互异性矛盾，舍去 当2a 2+5a= -3时，a= -1（舍去）或a=32- a=32-时a-2=72-，满足条件 综上可知32a =-． 考点：集合的概念．10．(1) 集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”.(2) 集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”；证明见解析. (3)证明见解析.解析：（1）根据定义，判断集合1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）集合{}1,3,5,7,9,11,13，根据定义验证即可；（3）不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由定义得出矛盾即可证明结论. 详解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”． （2）集合{}1,3,5,7,9,11,13， 证明：∵35791113+++=+，19135711++=++， 91313711+=+++， 13511713+++=+， 19113513++=++， 3791513++=++， 1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②， 将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于创新题.11．实数a 的值为0.解析：分类讨论1a =与2a a =，再根据互异性进行取舍即可.详解：由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，（1）若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a≠1.（2）若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.点睛：本题考查由集合与元素之间的关系求参数的值，涉及集合的互异性.12．（1）0（2）{|3}a a ≤-解析：（1）由2A C得2C ，把2代入一元二次方程求得b 的值，再验证b 的值是否满足条件；（2）由条件A B A ⋃=得B A ⊆，再对集合B 分四种情况进行讨论.详解：【解】（1）∵{2}A C ，∴2C ，代入C 中的方程得24240b b ，即220b b ，解得0b =或2b =.当0b =时，2,2C ，满足2A C ；当2b =时，{4,2}C ，不满足2A C，舍去. 综上，实数b 的值为0.（2）对于集合22,4(1)458(3)B a a a ∆.∵A B A ⋃=，∴B A ⊆.∴B =∅或{}4-或{}2或4,2当B =∅时，∆<0，即3a <-，满足题意；当{}4B =-或{}2时，由0∆=，得3a =-，{}2B =，满足题意；当4,2B 时，由>0∆，得3a >-，由根与系数的关系得22(1)24542a a -+=-⎧⎨-=-⨯⎩此时无解. 综上，实数a 的取值范围是{|3}a a ≤-.点睛：本题考查集合的交、并运算，考查集合中参数的取值，考查分类讨论思想的运用，求解过程中注意对参数求值后的验证.13．（1）(){}11A B x x ⋂=-≤≤R （2）123m m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭ 解析：（1）先求得集合A 、B ，再求B R ，从而得()AB R ； （2）由（1）求得A B ，再根据A BC =R 列出关于m 的不等式组，解之得实数m 的取值范围．详解：（1）易得{}13A x x =-≤≤，{3B x x =<-或}1x >， 则{}31B x x =-≤≤R ，所以(){}11A B x x ⋂=-≤≤R ．（2）由（1）可知{3A B x x ⋃=<-或}1x ≥-，由A B C =R ，得32311321m m m m -≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤+⎩，解得123m -≤≤-． 所以实数m 的取值范围是123m m ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭． 故得解.点睛：本题考查集合间的交、并、补运算，由交、并、补运算结果求解参数的范围时可以运用在数轴上表示集合，比较容易得出关于参数的不等式（组），属于基础题.14．{(,)|13,03}x y x y -≤≤≤≤解析：根据图象分别得到x 与y 的范围即可,注意为点的集合详解：解:题图阴影中的点(,)P x y 的横坐标x 的取值范围为13x -≤≤,纵坐标y 的取值范围为03≤≤y 故阴影（含边界）中的点P 组成的集合为{(,)|13,03}x y x y -≤≤≤≤点睛：本题考查描述法表示集合,考查点集,属于基础题15．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 解析：（1）分析可得12a -=-或22512a a ++=-，结合集合中元素的互异性可求得实数a 的值；（2）根据已知条件得出09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，即可解得实数a 的取值范围. 详解：（1）因为210a +>，故212a +≠-，因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性； ②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍）， 此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩， 解得916a 且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >.16．实数a 的值为5，32解析：由{}223,21,1a a a ∈---，可得32a -=，或212a -=，或212a -=，从而可求出a 的值，最后要检验集合中元素的互异性详解：解：∵①32a -=时，5a =，{}23,21,1{2,9,24}a a a ---=；②212a -=时，32a =，{}2353,21,1,2,24a a a ⎧⎫---=-⎨⎬⎩⎭；③212a -=时，a ={}23,21,11,2}a a a ---=，或{}23,21,1a a a ---={3,1,2}-．∴实数a 的值为5，3217．（1）113,2,,32--；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.解析：（1）由3M ∈，令3a =，代入已知关系式，循环代入直到再次出现3为止，即可得到集合M 中的元素.（2）假设M 中只有一个元素a ，则11a a a+=-，方程无解，即不可能只有一个. （3）由（1）的方法可得集合M 中可能出现4个元素分别为：11,,11,1a a a a a a -+--+，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.详解：（1）由3M ∈，令3a =，则由题意关系式可得：13213M +=-∈-，121123M -=-∈+，11131213M -=∈+，而1123112M +=∈-，所以集合M 中一定存在的元素有：113,2,,32--. （2）不，理由如下：假设M 中只有一个元素a ，则由11a a a +=-，化简得21a =-，无解，所以M 中不可能只有一个元素.（3）M 中的元素个数为()4n n N +∈，理由如下：由已知条件a M ∈，则()11,01a M a a a +∈≠±≠-，以此类推可得集合M 中可能出现4个元素分别为：11,,11,1a a a a a a -+--+，由(2)得11a a a+≠-， 若1a a =-，化简得21a =-，无解，故1a a ≠-； 若11a a a -=+，化简得21a =-，无解，故11a a a -≠+； 若111a a a =--+，化简得21a =-，无解，故111a a a ≠--+； 若1111a a a a +-=-+，化简得21a =-，无解，故1111a a a a +-≠-+； 若111a a a --=+，化简得21a =-，无解，故111a a a --≠+； 综上可得：11111a a a a a a -≠+-≠≠-+，所以集合M 一定存在的元素有11,,11,1a a a a a a -+--+，当a 取不同的值时，集合M 中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M 中元素的个数为()4n n N +∈. 点睛：本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.18．A B C =∅；（1）表示参加100m 跑或参加200m 跑的同学；（2）表示既参加100m 跑又参加400m 跑的同学解析：（1）根据并集的定义得到答案.（2）根据交集的定义得到答案.详解：这项规定用集合表示：A B C =∅（1）A B 表示参加100m 跑或参加200m 跑的同学；（2）A C 表示既参加100m 跑又参加400m 跑的同学.点睛：本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.19．（1）3a =（2）6a =-解析：（1）化简得到()(){}|20A x x x a =--=和3A ∈，代入计算得到答案.（2）根据题意得到2512a a a +-=，计算得到2a =或6a =-，再验证互异性得到答案. 详解：（1）因为3A ∈，()(){}|20A x x x a =--=，所以3a =.（2）因为{}5B C A =，所以A 中有两个元素，即{}2,A a =，所以2512a a a +-=，解得2a =或6a =-，由元素的互异性排除2a =可得6a =-.点睛：本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.20．当0k ≠时，解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当0k =时，解集为∅． 解析：两式作差得到2kx =-，再对0k ≠与0k =分两种情况讨论，即可得解；详解：解：因为123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩两式相减，得到2kx =-，当0k ≠时，2x k=-，代入方程组中的第一式，得到1y =-，此时，原方程组的解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 当0k =时，方程2kx =-，无解，从而原方程组无解，其解集为∅．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(98)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}0B ．{8x x >∣，且}5x <C ．{}210x x ∈-=N ∣D ．{}4x x >答案：B解析：根据空集的定义判断．详解：A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B ．2．下列常数集表示正确的是( )A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z答案：A解析：因为Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，N 表示自然数数集，所以A 正确，故选A.3．已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案：C解析：判断一个元素是不是集合A 的元素，只要看这个元素是否满足条件31,x k k Z =-∈；判断一个元素是集合A 的元素，只需令这个数等于31k -，解出k ，判断k 是否满足k Z ∈，据此可完成解答.详解：当0k =时，311k -=-，故1A -∈，故选项A 错误；若11A -∈，则1131k -=-，解得103k Z =-∉，故选项B 错误； 令23131k k -=-，得0k =或1k =，即231k A -∈，故选项C 正确；当11k =-时，3134k -=-，故34A -∈，故选项D 错误；故选C.点睛：该题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义.4．若集合{}1,3A =，{}0,2B =-，则集合{}|,,z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：C解析：根据题意求出{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-即可得解.详解：集合{}1,3A =，{}0,2B =-，则集合{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-共三个元素.故选：C点睛：此题考查求集合中的元素个数，关键在于读懂集合的新定义，根据题意求出集合中的元素.5．集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点答案：D解析：由0xy ≤，可知00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩，进而可选出答案. 详解：因为0xy ≤，所以00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩， 故集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指第二象限和第四象限内的所有点，以及在,x y 轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.6．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）A ．（x ，y ）|x ＝0，y≠0或x≠0，y ＝0}B ．（x ，y ）|x ＝0且y ＝0}C ．（x ，y ）|xy ＝0}D ．（x ，y ）|x ，y 不同时为零}答案：C解析：根据坐标轴上的点特征判断选项.详解：A.表示x 轴和y 轴上的点，但不包含原点，故A 错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.00xy x =⇔=或0y =，即表示坐标轴上点的集合，故C 正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.7．用描述法表示奇数集合：①A＝a|a ＝2k+1，k∈Z}②B＝a|a ＝2k ﹣1，k∈Z}③C＝2b+1|b∈Z}④D＝d|d ＝4k±1，k∈Z}．上述表示方法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：由整数的整除性，可得A 、B 都表示奇数集，D 表示除以4余1的整数或表示除以4余3的整数．由此不难得到本题的答案．详解：由题意得：①②表示奇数集合，③的表示方法错误，④D＝x|x ＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，故④表示奇数集合；故选：C ．8．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}答案：D 解析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.详解：解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．9．下列关系中正确的个数是（ ） ①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．二、多选题1．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）A ．x|x ＝2k －1，k∈N}B ．x|x ＝2k ＋1，k∈N，k≥2}C ．x|x ＝2k ＋3，k∈N}D ．x|x ＝2k ＋5，k∈N}答案：BD解析：用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证.详解：对于A ：{}{|}1,1,321x x k k ∈=-N ＝－，对于B ：{}{|212}5,7,9x x k k k +∈≥=N ＝，， 对于C ：{}{|23}3,5,7x x k k +∈=N ＝， 对于D ：{}{|25}5,7,9x x k k +∈=N ＝，故选：BD 2．(多选题)已知集合A 中元素满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是（ ）A ．－2∈AB ．－11∉AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案：BC解析：直接对四个选项代入x ＝3k －1进行计算，即可得到正确答案.详解：令3k－1＝－2，解得k＝－13，－13∉Z，∴－2∉A；令3k－1＝－11，解得k＝－103，－103∉Z，∴－11∉A；∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，∴－34∈A．故选：BC3．下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生答案：BD解析：根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可详解：解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD4．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（）A．数域必含有0，1两个数；B．整数集是数域；C．若有理数集Q M⊆，则数集M必为数域；D．数域必为无限集．答案：AD解析：根据数域的定义逐项进行分析即可．详解：数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，mm＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，12Z∉，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M Q =⋃，则1M ∈，但1M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确． 故选：AD5．（多选）已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）A ．1a ≥B ．0a =C ．1a ≤-D ．11a -≤≤答案：ABC 解析：根据集合至多含有一个元素，得到方程220ax x a -+=至多有一个根，讨论0a =，0a ≠两种情况，分别求出对应的a 的范围，即可得出结果.详解： 因为集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，即方程220ax x a -+=至多有一个根，当0a =时，方程可化为方程20x -=，解得0x =，满足题意；当0a ≠时，若方程无解，则()22224440a a ∆=--=-<，解得1a >或1a <-；若方程220ax x a -+=只有一个根，则()22224440a a ∆=--=-=，解得1a =±，综上实数a 的范围为1a ≥或0a =或1a ≤-；即ABC 都正确，D 错误.故选：ABC.点睛：本题主要考查集合中元素个数求参数的问题，属于基础题型.三、填空题1．下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book 的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M 中有3个元素a ，b ，c ，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案：②解析：根据集合的元素的互异性判定①错误；根据集合的元素的互异性判定②正确；根据集合的元素的无序性可判定③错误.详解：①不正确. book 的字母o 有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M 中有3个元素a ，b ，c ，所以a ，b ，c 都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．故答案为：②.2．已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值是____________答案：1或3-解析：根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值. 详解：0A ∉，则只需考虑下列三种情况：①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++ 11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩ 可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩ ()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时 可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-综上所述：1t =或3-点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与a λ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.3．如果集合A ＝x|ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是_____________答案：0或－1解析：当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭符合题意；当0a ≠时，一元二次方程判别式440,1a a ∆=+==-.4．集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.答案：{}0,1解析：分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.详解：当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A xkx x =-+=∣中只有一个元素， 则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.点睛：本题考查单元素的集合，注意讨论方程28160kx x -+=中k 是否为0，属于基础题.5．已知集合{}2,1,0,1P =--，集合{},Q y y x x P ==∈，则Q =______．答案：{}2,1,0解析：将2,1,0,1x =--分别代入y x =中，得到y 的值，即可求得集合Q ，得到答案． 详解：由题意，将2x =-，1-，0，1分别代入y x =中，得到2,1,0y =，所以{}2,1,0Q =．故答案为{}2,1,0．点睛：本题主要考查了集合的表示方法及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．四、解答题1．试用恰当的方法表示下列集合.（1）使函数12y x =-有意义的x 的集合； （2）不大于12的非负偶数；（3）满足不等式*(3)2x x -≤∈N 的解集；（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合.答案：（1）{|2}x x ∈≠R ；（2）{0,2,4,6,8,10,12}或{|2,x x n n =∈N 且7}n <；（3）{1,2,3,4,5}或{}*|5,x x x ≤∈N ；（4）{|1020}x x ∈<<Z 或{11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 解析：（1）用描述法表示；（2）、（3）、（4）既可用描述法也可用列举法.详解：（1）要使函数12y x =-有意义，必须使分母20x -≠，即2x ≠. 因此所求集合用描述法可表示为{|2}x x ∈≠R .（2）∵不大于12是小于或等于12，非负是大于或等于0，∴不大于12的非负偶数集用列举法表示为{0,2,4,6,8,10,12}.用描述法表示为{|2,x x n n =∈N 且7}n <.（3）满足()*32x x -≤∈N 的解是1，2，3，4，5. 用列举法表示为{1,2,3,4,5}，用描述法表示为{}*|5,x x x ≤∈N . （4）设大于10小于20的整数为x ，则x 满足条件x ∈Z 且1020x <<.故用描述法可表示为{|1020}x x ∈<<Z ，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．设2y x ax b =-+，{}|0A x y x =-=，{|0}B x y ax =-=，若{3,1}A =-，试用列举法表示集合B ．答案：{33B =---+解析：将2y x ax b =-+带入集合A 的方程化简整理，由{3,1}A =-利用韦达定理求出参数,a b ，再利用一元二次方程的解法求解集合B.详解：将2y x ax b =-+代入集合A 中的方程并整理得2(1)0x a x b -++=.因为{3,1}A =-，所以方程2(1)0x a x b -++=的两根为-3，1，由韦达定理得311,31,a b -+=+⎧⎨-⨯=⎩ 解得3,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以233y x x =+-.将233y x x =+-，3a =-代入集合B 中的方程并整理得2630x x +-=，解得3x =--或3x =-+{33B =---+.点睛：本题考查了集合的表示方法，准确的利用韦达定理求参数是解题的关键，属于一般难度的题.3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．答案：113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+， 当13a =时，11a a +=-1132113A +=∈-， 综上A 中其他所有元素为：113,,23--. 点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。
集合中的定义新运算(含答案)
集合中的定义新运算一、单选题(共10道，每道10分)1.设集合，，如果把b-a叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.实数集答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合3.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合4.对于集合A，B，规定，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A.3B.0C.6D.-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合6.设集合，集合，定义，则的元素个数为( )A.4B.7C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合7.设集合，在上定义运算为：，其中，．那么满足条件的有序数对共有( )个．A.12B.8C.6D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合．已知，，下列结论不正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合。
关于集合的新定义题
关于集合的新定义题1. 集合的数学定义，在数学中，集合可以用描述性的方式定义。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合的元素可以是任何事物，比如数字、字母、对象等。
集合中的元素是无序的，而且每个元素在集合中只能出现一次。
集合可以用大括号{}来表示，元素之间用逗号分隔。
2. 集合的特性，集合具有一些特殊的性质。
首先，集合中的元素是唯一的，即同一个元素在集合中只能出现一次。
其次，集合中的元素是无序的，即元素的排列顺序不影响集合的性质。
最后，集合中的元素是互不相同的，即不存在重复的元素。
3. 集合的运算，在集合理论中，有一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素所构成的集合。
差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。
4. 集合的应用，集合在数学和其他领域中有广泛的应用。
在数学中，集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质和集合之间的关系。
在计算机科学中，集合被广泛应用于数据结构和算法的设计中。
在实际生活中，集合也常用于描述和分类事物，比如一个班级的学生可以看作一个集合，一个购物清单可以看作一个集合。
综上所述，集合是由一些确定的元素组成的整体，具有唯一性、无序性和互异性的特点。
集合可以进行并集、交集、补集和差集等运算，广泛应用于数学、计算机科学和实际生活中。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(80)
1.1 集合的概念一、单选题1．集合{}13A x N x =∈-<<的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．82．设集合{}2,3,4A =，{}2,4,6B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 3．下列说法正确的是A QB QC ZD R 4．集合5793,,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ）A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭5．下列各组中的两个集合M 和N ，表示相等集合的是（ ）A ．{},{3.14159}M N π==B ．{2,3},{(2,3)}M N ==C ．{11,},{1}M x x x N N =-<≤∈=∣D ．{},{,1,M N ππ==6．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知集合{|14,}A x x x Z =-≤<∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 8．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A ．一切很大的数B ．好心人C ．漂亮的小女孩D ．方程210x -=的实数根9．关系：①{x x ≤Q ；③0N ∈；④0∈∅其中正确的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 10．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,4二、填空题 1．若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素，则集合A =______．2．已知集合{}1,2,A m =，{}13,B n =,，若A B =，则m n +=_______． 3．已知，则实数的值是_________．4．已知()f x ax b =+，集合{}()0A x f x φ===(1)2,f =，则120182019a b -+=_____.5．用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.三、解答题1．已知全集{}2{1,2,3,4},1,2,,{1,4}U A x B ===.(1)求U B(2)若A B B =，求x 的值.2．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为{44,45,46,47}，求这五个数.3．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程240x -=的所有实数根组成的集合；4．（1）若21{1,21,1}a a a -∉-+-，求实数a 的取值范围；（2）已知由方程28160kx x -+=的根组成的集合A 只有一个元素，求实数k 的值．5．已知集合112A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，设a A ∈，判断元素2292417b a a =-+与A 的关系.参考答案一、单选题1．C解析：先化简集合A ，再列举出所有真子集，从而可得答案．详解： 因为{}{}130,1,2A x N x =∈-<<=，所以A 的真子集为{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2∅可得真子集的个数为7，故选：C ．2．B详解：试题分析：由{}2,3,4x A ∈=得x 可以是2,3,4中的任意一个，但{}2,4,6x B ∉=，所以x 只能是3．故选：B考点：集合的概念和元素与集合的关系3．B解析：因为Q Q ，故A 错误，B 正确；在C Z （整数集），故C错误；在D ,故D 错误．故选B ．4．D解析：找出集合中元素的规律通式即可.详解： 由5793,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.点睛：本题考查集合的描述法，属于基础题.5．D解析：根据两个集合中元素是否相同可得正确的选项.详解：A 中，3.14159π≠，故两个集合不相等；B 中，N 为点的集合，M 为数的集合，两个集合不相等；C 中，{}0,1M =，{}1N =，两个集合不相等；D 中，{N π=，故两个集合相等.故选：D.点睛：本题考查两个集合相等的判断，一般依据两者元素是否相同来判断，也可以根据两者相互包含来判断，本题属于容易题.6．B解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：根据x 满足的不等式列举出x 的可能值，然后用列举法写出集合A ，即可得到集合A 中元素的个数.详解：因为14,x x Z -≤<∈，所以x 可取1,0,1,2,3-，所以{}1,0,1,2,3A =-，所以集合A 中元素的个数为5.故选：C.点睛：本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易.8．D解析：,,A B C 都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合.详解：A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除；D. 方程210x -=的实数根为±1，可以构成集合.故选D点睛：本题考查了能否构成集合，属于简单题型.9．C解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，空集所表示的具体含义可得选项.详解：对于①(221817=>=，∴{x x ≤，故①正确；对于③：0是自然数，故③正确；对于④：空集中不含任何元素，故④错误；所以共有2个关系正确，故选C ．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，空集所表示的具体含义和元素与集合的关系，属于基础题.10．C解析：图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，利用已知计算可得出答案.详解：集合{}1,2,3,4,5A =，{}04B x x =<<，又图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，又{|4U C B x x =≥或}0x ≤∴(){}4,5U C B A ⋂=故选：C ．点睛：本题考查集合的交并补运算,考查韦恩图的应用,属于基础题.二、填空题1．{}1或{}2解析：根据A 只有一个元素可得出方程2440kx x -+=只有一个解，然后分类讨论，0k =或0(0)k ∆=≠，分别计算可得．详解：解：A 只有一个元素；∴方程2440kx x -+=只有一个解；0k =①时，440x -+=，1x =，满足题意；0k ≠②时，16160k =-=；1k ∴=；解2440x x -+=得，2x =；{}1A ∴=或{}2．故答案为：{}1或{}2．2．5解析：由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得3,2m n ==，得5m n +=.详解：根据集合的元素具有无序性和互异性可得，3,2m n ==，所以5m n +=.故答案为：5.点睛：（1）集合A B =的充要条件是A B ⊆，且A B ⊇；（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.3．-1解析：试题分析：220,111(1)x x x x x x ≠≠⇒≠⇒=⇒=-舍去考点：元素互异性【名师点睛】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．4．2020解析：由()f x ax b =+且集合{}()0A x f x φ===(1)2,f =，解得0a =，2b =，由此能求出120182019a b -+．详解：解：()f x ax b =+且集合{|()0}A x f x ===∅，0ax b ∴+=无解，0a ∴=，(1)2f =，2b ∴=，1020182019202a b -+=．故答案为：2020．点睛：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 解析：解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，从而可得方程的解集.详解：解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，∴用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故答案为：1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 点睛：本题考查了列举法表示集合，属于基础题.三、解答题1．(1){2,3}；(2)2±.解析：（1）根据补集的定义，即可求解；（2）A B B =，可得B A ⊆，由子集定义，即可得出结论.详解：（1）∵{1,2,3,4}U =，{1,4}B =∴{2,3}U B =；(2)若A B B =，则B A ⊆，∵{}21,2,A x =，{1,4}B =，∴24x =，即2x =±.点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的关系求参数，属于基础题.2．10，11，11，12，13.解析：由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值.详解：五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为()123454x x x x x ++++，是4的倍数.又44454647182+++=，所以这个相等的和值只可能是46，从而123454445464746574x x x x x ++++++++==，则这五个数分别为574413,574512,574611,574710,574611-=-=-=-=-=，即10，11，11，12，13.点睛：本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题.3．（1）{}0123456789，，，，，，，，，；（2）{}01，；（3）{}235711131719，，，，，，，；（4）{}22-，. 解析：根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表示.详解：（1）小于10的所有自然数为0123456789，，，，，，，，，，用列举法表示它们构成的集合为{}0123456789，，，，，，，，，； （2）由2x x =解得0x =或1x =,所以方程2x x =的所有实数根为0和1，用列举法表示所有实数根组成的集合为{}0,1；（3）1～20以内的所有素数为235711131719，，，，，，，，用列举法表示它们组成的集合为{}235711131719，，，，，，，； （4）方程240x -=的所有实数根为-2，2，用列举法表示它们组成的集合为{}22-，.4．（1）2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠±2）0k =或1k =解析：（1）根据集合中元素的互异性可构造不等式组求得a 的范围；假设{}211,21,1a a a -∈-+-，可构造方程求解出1a =-，由此可得结果；（2）当0k =时，方程为一元一次方程，符合题意；当0k ≠时，由一元二次方程有两相等实根得到0∆=，从而求得结果.详解：（1）由集合中元素的互异性得：2212111121a a a a a a -≠+⎧⎪-≠-⎨⎪-≠+⎩解得2a ≠-，0a ≠，1a ≠，1a ≠当{}211,21,1a a a -∈-+-时若11a -=-，解得：0a =（舍）若211a +=-，解得：1a =-，此时集合为{}2,1,0--若211a -=-，解得：0a =（舍）∴当1a =-时，{}211,21,1a a a -∈-+-综上所述，若{}211,21,1a a a -∉-+-，则实数a 的取值范围为：2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠（2）当0k =时，原方程变为8160x -+=，解得：2x =，符合题意；当0k ≠时，要使一元二次方程28160kx x -+=有两个相等的实根，需64640k ∆=-= 解得：1k =，此时方程的解为124x x ==，集合A 中只有一个元素4，符合题意综上所述：0k =或1k =点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数范围、根据集合中元素的个数求解参数值的问题；易错点是忽略集合中元素的互异性对参数范围的影响.5．当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉.详解： 分析：{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭对b 变形并对a 分类讨论即可. 详解：根据题意{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭，2222,,924174913b a A a a a ==∈-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 故当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.。
微专题01 含参数及创新定义的集合问题(解析版)
微专题01 含参数及创新定义的集合问题【方法技巧与总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值不可以是（ ）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】由题意，{}2,6A =，因为A B B =，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =． 综上：0a =或12a =或16a =． 故选：D ． 例2．（2022·全国·高一专题练习）设U ＝{1，2，3，4}，A 与B 是U 的两个子集，若A ∩B ＝{3，4}，则称（A ，B ）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A ，B ）与（B ，A ）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【答案】C【解析】对子集A 分类讨论：当A 是二元集{3，4}时，此时B 可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果； 当A 是三元集{1，3，4}时，此时B 可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是三元集{2，3，4}时，此时B 可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是四元集{1，2，3，4}时，此时B 取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C ．例3．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，设2,3A ，1,2B ，则（ ）A ．当2x 2y 时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()zx y x y =+⨯-有4个式子 C ．A B ⊗中有3个元素D ．A B ⊗中所有元素之和为3 【答案】BCD【解析】()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，2,3A ，1,2B ， 当2x 2y 0z =；当2x =1y =时，1z =； 当3x =1y =时，2z =；当3x =2y 时，1z =，A 不正确；B 正确；而{}0,1,2A B ⊗=，C ，D 都正确．故选：BCD例4．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合{}{}2|10,|320A x ax B x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】ABC【解析】由题设{1,2}B =，又A B B ⋃=，故A B ⊆，当A =∅时，0a =；当A ≠∅时，1或2为10ax -=的解，则1a =或12a =． 综上，0a =或1a =或12a =． 故选：ABC例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥．故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例6．（2022·全国·高三专题练习）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____．【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13例7．（2022·全国·高一专题练习）给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；①集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；①集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；①若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【答案】①①【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A ，故①正确；①当a ＝﹣4，b ＝﹣2时，a +b ＝﹣4+（﹣2）＝﹣6①A ，故不是闭集合，∴①错误；①由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴①正确；①假设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，3∈A 1，5∈A 2，但是，3+5①A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，∴①错误．正确结论的序号是①①．故答案为：①①．例8．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合{|15}A x x =<≤，集合21{|0}3x B x x -=>-． （1）求A ∩B ；（2）若集合{|243}=-≤≤-C x a x a ，且C A C =，求实数a 的取值范围．【解析】（1）210(21)(3)03x x x x ->⇔-->-12x ⇔<或3x >，1{|2B x x =<或3}x >， 所以{|35}A B x x =<≤；（2）由C A C =得A C ⊆，所以21435a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得23a ≤≤． 例9．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， ． （1）若0a =，试求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由240x x +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40 ．当0a =时，得x x -+2210＝，解得12x =-x =12-{}1212B =--，； ∴{}041212A B =---，，，． （2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a =222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =． 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝， 当{}0B =时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为4-，则 ()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解， 当B =∅时，此时方程()x a x a =222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-．综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或．例10．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R ；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<<故{|3R A x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤ 故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ （3）由（1）{|3R A x x =≥或2}x{}3{|}3a B x x a x x =≤=≤ 若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥ 例11．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-． （1）当{}|25A x Z x =∈-≤≤时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当x ∈Z 时，A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254．（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ①A ，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2，符合；当B ≠∅时，根据题意，可得21112215m m m m -≥+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． （3）当B ＝∅时，由（1）知m <2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211212m m m -≥+⎧⎨-<-⎩或21115m m m -≥+⎧⎨+>⎩解得m >4．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}． 例12．（2022·北京·高二期末）设集合A 为非空实数集，集合{},,B xy x y A x y =∈≠且，称集合B 为集合A 的积集．（1）当{}1,2,3,4A =时，写出集合A 的积集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，并说明理由．【解析】（1）因为{}1,2,3,4A =，故集合B 中所有可能的元素有12,13,14,23,24,34⨯⨯⨯⨯⨯⨯，即2,3,4,6,8,12，{}2,3,4,6,8,12B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个， 所以积集B 中元素个数的最小值为7．（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；又5,8ad bc ==，其4个正实数的乘积40abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,4,5,8,10,16B =【过关测试】一、单选题1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末（理））()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则()Z A B =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为{}7372322B x x x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}24A x x =-<<，所以3|22A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =；故选：C2．（2022·河南焦作·高一期中）两个集合A 与B 之差记作A －B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，已知A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，则A －B 等于（ ）A ．{1，4}B ．{2}C ．{1，2}D ．{1，2，3} 【答案】B【解析】∵A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，又∵A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，∴A －B ＝{2}．故选：B ．3．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ） A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】A【解析】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M ∪N =Q ，A 错误； 若{|2}M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．4．（2022·全国·高一单元测试）定义集合运算：{}*,,A B zz xy x A B y A B ==∈⋂∈⋃∣．若集合{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，则()*A B A =（ ） A ．{}0 B ．{}0,4 C ．{}0,6 D ．{}0,4,6【答案】D【解析】因为{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，所以{}{}1,2,0,1,2,3A B A B ==，所以当,x A B y A B ∈⋂∈⋃时，0,1,2,3,4,6z =，所以{}*0,1,2,3,4,6A B =，所以 ()*A B A ={}0,4,6，故选：D5．（2022·江苏·高一期末）已知全集U =R ，集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<．若()U A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}3a a >B ．{}3a a ≥C ．{}7a a ≥D ．{}7a a > 【答案】A 【解析】因为集合{3A x x =<或}7x ≥，可得{}37U A x x =≤<， 又因为()U A B ≠∅且{}B x x a =<，所以3a >，即实数a 的取值范围为{}3a a >．故选：A ．6．（2022·江苏·高一单元测试）设集合{}{}|()(3)0,|(4)(1)0M x x a x N x x x =--==--=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．若{}1,3,4MN =，则=M N ∅ B ．若{}1,3,4M N =，则M N ≠∅C ．若M N ⋂=∅，则M N ⋃有4个元素D ．若M N ≠∅，则{}1,3,4M N =【答案】D【解析】（1）当3a =时，{}3M =，,N={134}MN M =∅，，； （2）当1a =时，{}1,3M =，{1},N={134}MN M =，，； （3）当4a =时，{}3,4M =，{4},N={134}M N M =，，；（4）当134a ≠,,时，{}3,M a =，,{134,}M N M N a =∅=，，；综上可知A ，B ，C ，不正确，D 正确故选：D 7．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，A B ⋂≠∅．设集合()()U U A B ⋂中有x 个元素，则x 的取值范围是（ ）A ．{}38,N x x x ≤≤∈B ．{}28,N x x x ≤≤∈C ．{}812,N x x x ≤≤∈D ．{}1015,N x x x ≤≤∈【答案】A 【解析】集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，因为A B ⋂≠∅，A B 至少有1 个元素，至多有6个元素，所以A B 至多有15个元素，至少有10个 元素，集合()()()U U U A B A B ⋂=⋃有x 个元素，则38x ≤≤且x 为正整数．即x 的取值范围是{}38,N x x x ≤≤∈，故选：A ．8．（2022·江西·兴国县将军中学高一期中）已知集合{}53A x x =-<<-，{}232B x a x a =-<<-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =-C ．1a ≥或1a =-D ．a R ∈【答案】C【解析】由题意，A B B B A =⇔⊆（1）若B =∅，则2321a a a -≥-∴≥，B A ⊆成立； （2）若B ≠∅，则23223523a a a a -<-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，解得1a =-综上，实数a 的取值范围是1a ≥或1a =-故选：C9．（2022·陕西·西安一中高一期中）已知集合{}2,2A =-，{}240B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，则实数a 满足（ ）A ．4a =B ．4a =-C ．{}4,4-D ．{}44a a -≤≤【答案】D【解析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆满足，此时2160a ∆=-<，所以44a -<<；当B ≠∅时，此时2160a ∆=-≥，即4a ≤-或4a ≥，若方程240x ax -+=有两个相同的实数根，则2160a ∆=-=，所以4a =±；当4a =-时，{}2B =-，此时B A ⊆满足，当4a =时，{}2B =，此时B A ⊆满足，若240x ax -+=有两个不同的实根，因为()224⋅-≠，所以A B ≠，所以此时无解；综上可知，a 的取值范围为{}44a a -≤≤，故选：D ．10．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}1,3,A m =，{}B m =，B A ⊆，则m =（ ） A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或9 【答案】C【解析】由B A ⊆3m =m m =， 3m =时，9m = ，符合题意； m m =时，0m =或1m =，但1m = 时，{}1,1B =不合题意，故m 的值为0或9，故选：C11．（2022·全国·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；①[]22-∈；①[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；①“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【解析】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误；而242-=+，故[]22-∈，故①正确；由“类”的定义可得[][][][]012Z 3⊆，任意Z c ∈，设c 除以4的余数为}{()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故①正确若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]}{()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故a ，b 除以4 的余数相同，故a ，b 属于同一“类”，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故①正确；故选：12．（2022·北京八中高一期中）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A =R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A =R ，运算“⊕”为普通减法；①A =R ，运算“⊕”为普通加法；①{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合，运算“⊕”为求两个集合的交集．（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①【答案】D【解析】①若A R =，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ①A =R ，运算“⊕”为普通加法，其单位元素为0；①{|}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选：D ． 二、多选题13．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；①e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，①a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =-关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群 C ．实数集关于数的加法构成群D ．{2|,Z}G m n m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【解析】对于A ：若{1,0,1}G =-，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈-=， 满足乘法结合律，即①成立，满足①的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即①不成立， 即选项A 错误；对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足①的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立； 即选项C 正确；对于D ：若{2|,Z}G m n m n =∈，所有的112a m n =、222b m n G =∈， 有1212()+2(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b 时，20a b =，满足的0e =，即①成立；2a m n G ∀=∈，2b m n G ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立；即选项D 正确． 故选：CD ．14．（2022·全国·高一期中）如图，集合U 是全集，,A B 是非空集合，定义集合*A B 为阴影部分表示的集合，则*A B 可表示为（ ）A ．()UB A B ⋂⋃B ．()UA AB ⋂⋂C ．()()()()UUA B B A ⋂⋂D ．()()UA B A B ⋃⋂⋂【答案】CD 【解析】()UB A B ⋂⋃=∅，故A 选项错误；()UA AB ⋂⋂表示的集合韦恩图为如图1，显然B 选项错误；通过画出CD 选项的韦恩图，与题干中的相同，故选项CD 正确． 故选：CD15．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“偏食”，则实数a 取值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】BD【解析】因为集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，且A 与B 构成“偏食”，所以1B -∈或12B ∈，当1B -∈时，得1a =，此时{}{}211,1B x x ===-，符合题意，当12B ∈时，得4a =，此时{}21141,22B x x ⎧⎫===-⎨⎬⎩⎭，符合题意， 综上，1a =或4a =， 故选：BD16．（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=， 又A B B =， 所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17， 故选：BCD17．（2022·全国·高一单元测试）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使UA B ⊆成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{}|610m m <≤B ．{}|22m m -<<C ．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{}|58m m <≤【答案】ABC【解析】当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时UR B =，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥， 由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U|1B x x m =<+或}21x m >-，因为UA B ⊆，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-， 因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >， 所以选项ABC 正确，选项D 不正确； 故选：ABC ．18．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在R 上定义运算()*1x y x y =-，若关于x 的不等式()*0x a x ->的解集是集合{}|01x x ≤≤的子集，则整数a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】AB【解析】由在R 上定义的运算：()*1x y x y =-得，()*0()(1)0x a x x a x ->⇔-->，即1(0)()x a x --<， 当a =1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为空集∅，而{|01}x x ∅⊆≤≤，则a =1，当a >1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |1<x <a }，显然{x |1<x <a }不是{x |0≤x ≤1}的子集，不满足题意，舍去，当a <1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |a <x <1}，当{x |a <x <1}是{x |0≤x ≤1}的子集时， a ≥0，则0≤a <1， 综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}，又a 为整数，所以a =0或a =1． 故选：AB 三、填空题19．（2022·江西省崇义中学高一期中）若集合{}2120M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且MN N =，则实数m 的值为_____【答案】13-或14或0【解析】由题得{4,3}M =-， 因为MN N =，所以N M ⊆，所以,{4},{3}N =∅-， 当N =∅时，0m =；当{4}N =-时，1(4)10,4m m ⨯-+=∴=； 当{3}N =时，1(3)10,3m m ⨯+=∴=-．故答案为：13-或14或020．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设a 是实数，集合{}260,{20}M x x x N y ay =+-==+=∣∣，若N M ⊆，则a 的取值集合是_______．【答案】2{0,,1}3-【解析】由题意，集合{}260{|(2)(3)0}{3,2}M xx x x x x =+-==-+==-∣ 若N M ⊆，且集合N 中至多有一个元素 则当N =∅时，即0a =时，满足题意； 当{3}N =-时，即320a -+=，即23a =时，N M ⊆满足题意； 当{2}N =时，即220a +=，即1a =-时，N M ⊆满足题意；综上，a 的取值集合是2{0,,1}3-故答案为：2{0,,1}3-21．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____．【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，22,B a a ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素21a=-时，解得2a =， 当,A B 22a=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭22．（2022·福建·福州三中高一开学考试）已知集合A ={a ∈R |（x ﹣1）a 2+7ax +x 2+3x ﹣4=0}，{0}⊆A ，则x 的值为___________． 【答案】1或4-． 【解析】因为{0}⊆A ， 所以70x ⨯⨯+x 2+3x ﹣4=0， 所以1x =或4x =-．当1x =时，7a +1+3﹣4=0，所以0a =，集合A ={0}，满足题意；当4x =-时，2528161240,0a a a --+--=∴=或285a =-，集合A =28{0,}5-，满足题意． 故答案为：1或4-．23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；①非空子集的元素越多，其“势”越大；①若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________． 【答案】{}2,4【解析】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4．故排在第6的子集为{}2,4． 故答案为：{}2,4 四、解答题24．（2022·全国·高一单元测试）已知实数集R 的子集S 满足条件：①1S ∉；①若a S ∈，则11S a∈-．求证：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个元素； （2）集合S 中不可能只有一个元素． 【解析】（1）∵2S ∈，∴1112S =-∈-，同理：()11112S =∈--，12112S =∈-， ∴S 中还有-1，12两个元素．（2）不妨设S 为单元素集，则11a a=-，整理得210a a -+=，解得a ∈∅， ∴S 不可能为单个元素集合．25．（2022·湖南永州·高一期末）已知集合{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤． （1）求A B ；（2）定义{M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -． 【解析】（1）由{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤， 则{}2A B x x ⋃=≥．（2）由{M N x x M -=∈且}x N ∉，所以A B -{x x A =∈且}{23x B x x ∉=≤≤或}5x >．26．（2022·全国·高一期中）已知集合{}22221,,Z M x x a a b a b ==+-=∈．（1）证明：若x M ∈，则1x x+是偶数； （2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值； （3）若n M ∈3+22是否属于集合M ，并说明理由． 【解析】（1）若x M ∈，则2x a b =+2221,,a b a b -=∈Z ． 所以221x a x a b =+++()()2222b b a b a b a =++-22a b a =-+ 因为2221a b -=，所以原式222b a b a a =+-=， 因为a ∈Z ，所以2a 为偶数，即若x M ∈，则1x x+是偶数． （2）因为m M ∈，且132m <<，则1123m <<，所以5156m m<+< 设2m a b =+，2221,,a b a b -=∈Z ． 由（1）可知12m a m +=，即5256a <<； 所以1a =或2a =．当1a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 可得0b =， 此时21m a b =+，满足132m <<，所以1m =成立； 当2a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 解得6b =b ∈Z ，所以不成立； 综上可知1m =．（3）因为n M ∈，所以可设2,n ab 且2221,,a b a b -=∈Z ，2(2)(322)322322(322)(322)n a b a b ()(34322a b b a =-+-因为22(34)2(32)a b b a ---()22229241629124a ab b b ab a =-+--+2221a b =-=，()(),Z,34Z,32Z a b a b b a ∈∴-∈-∈322M +成立．27．（2022·北京·高一期末）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤． （1）求集合A R；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<< 故{|3RA x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（3）由（1）{|3RA x x =≥或2}x{}3{|}3aB x x a x x =≤=≤若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥28．（2022·湖南益阳·高一期末）设集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥，{2}C x x m =>-． （1）求A B ；（2）若_________，求实数m 的取值范围． 请从①A C ⊆，①A C ⋂≠∅，①RC A ⊆这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）【解析】（1）∵集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥， ∴{}1{13}{1}A B x x x x x x ⋃=≥⋃-<<=>-． （2）①若A C ⊆，∴21m -≤-，即1m ， ∴实数m 的取值范围是{}1m m ≤． ①若A C ⋂≠∅，∴23m -<，即5m <， ∴实数m 的取值范围是{5}m m <． ①若RC A ⊆，∵R{1A x x =≤-或3}x ≥，∴23m -≥，即5m ≥，∴实数m 的取值范围是{}5m m ≥．29．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2|40=+=A x x x ，{}22|2(1)10=+++-=B x x a x a ． （1）若⊆A B ，求a 的值； （2）若⊆B A ，求a 的值．【解析】（1）由题集合B 最多两个元素，{4,0}=-A ，⊆A B ，则=A B ，所以集合B 中的方程两根为-4，0，224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；（2）由题⊆B A ，B 中最多两个元素，对于方程222(1)10+++-=x a x a 当集合=∅B 时：224(1)4(1)0=+--<a a ，即1<-a 时，方程无解，=∅B ，符合题意；当集合B 中只有一个元素时：224(1)4(1)0=+--=a a ，即1=-a 时，方程的解为0=x ，{0}=B ，符合题意；当B 中有两个元素时：224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a 时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素，此时则=A B ，所以集合B 中的方程两根为124,0=-=x x ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；综上所述：1≤-a 或1=a ．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念解答题练习(含解析)(14)
1.1 集合的概念1．用描述法表示下列集合：（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.2．设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. （1）求A B ； （2）求()RA B ⋃.3．用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）{}(1)(2)0A x x x =-+=； （3）{}3213B x Z x =∈-<-<．4．已知集合1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，与集合a 2，a+b ，0}是两个相等的集合，求a 2 020+b 2 020的值.5．设{}0,2,3,5,7A =，{}22,31B a a =++，已知5A ∈，5B ∉，求a 的值．6．已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.7．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“好集”．（1）试判断有理数集Q 和集合{}1,0,1B =-是不是“好集”，并说明理由； （2）设集合A 是“好集”，求证：若a 、b A ∈，则a b A +∈．8．用描述法表示下列集合： （1）正奇数集；（2）被3除余2的正整数的集合；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； （4）方程1x y -=-的所有解组成的集合．9．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=,{}2|320B x x x =-+=（1）若A ≠∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．10．集合A 是由方程2210ax x -+=的实数解构成的. （1）若集合A 是空集,求a 的取值范围; （2）若集合A 中只有一个元素,求a 的值.11．试说明下列集合各表示什么？1|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y =；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.12．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．13．用列举法表示下列给定的集合：（1）不大于8的非负偶数组成的集合A；（2）小于10的质数组成的集合B；（3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.14．下面三个集合：①x|y＝x2＋1}；②y|y＝x2＋1}；③(x，y)|y＝x2＋1}．（1）它们各自的含义是什么？（2）它们是不是相同的集合？15．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230+-<的解集x x（3）²230+-=的解集x x16．已知函数f（x）=2x-ax+b（a，b∈R）.集合A=x|f（x）-x=0}，B=x|f（x）+ax=0}，若A=1，-3}，试用列举法表示集合B.17．已知关于x 的方程2210-+=ax x 的实数解构成集合A ，若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值.18．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，求a 的值.19．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数； （3）求a n =30时n 的最大值.20．已知集合{}2|340A x R ax x =∈--=，①若A 是空集，求a 的范围； ②若A 中只有一个元素，求a 的值；参考答案1．（1）{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ；（2）{|x x 是矩形}.解析：在花括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 详解：（1）小于1500的正偶数组成的集合为{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ； （2）所有矩形组成的集合为{|x x 是矩形}. 点睛：本题考查描述法表示集合，属于基础题.2．（1）{|37}x x ≤<；（2）{|2x x ≤或10}x ≥. 解析：（1）画出数轴图，数形结合即可求出；（2）画出数轴图，数形结合可求出A B ，再利用补集定义即可求出. 详解：（1）画出集合A 和集合B 表示的数轴图， 则由图可得{}37A B x x ⋂=≤<； （2）观察图形可得{}210A B x x ⋃=<<∴()RA B ⋃={|2x x ≤或10}x ≥.3．（1）{}2,3,4,5；（2）{}1,2A =-；（3）{}0,1B = 解析：根据题意，求出集合的元素，用列举法表示出来即可． 详解：解：用列举法表示下列集合（1）大于1且小于6的整数，{}2,3,4,5； （2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；所以{}1,2A =- （3）{|3213}B x Z x =∈-<-<，由3213x -<-<解得12x -<<，x ∈Z ，故表示为{}0,1B =，4．a 2 020+b 2 020=1解析：先由集合相等及集合中元素的互异性求出a 、b ，代入求值即可. 详解： 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得ba＝0，即b ＝0，此时两集合中的元素分别为a ，0，1和a 2，a ，0，因此a 2＝1，解得a ＝－1 (a ＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.5．{a 32a --≠且32a -+≠且1a ≠且}4a ≠-解析：根据5B ∉，结合集合元素的互异性求得参数a 的取值. 详解：由5B ∉知，2315a a ++≠，即2340a a +-≠， 解得1a ≠且4a ≠-又集合元素具有互异性，知2312a a ++≠，即2310a a +-≠解得a ≠且a ≠综上所述，a 的取值为{a a ≠且a ≠1a ≠且}4a ≠-6．a ＝－1. 详解：试题分析：本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证. 试题解析：若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．7．（1）理数集Q 是“好集”，集合B 不是“好集”，理由见解析；（2）证明见解析解析：（1）利用举反例的方法，证明集合B 不是“好集”.根据“好集”的两个条件，证明有理数集Q 是“好集.（2）先判断出当b A ∈，则0b b A -=-∈，进而证得()a b a b A --=+∈，由此证得结论成立. 详解：（1）集合B 不是“好集”理由．假设集合B 是“好集”，则由1B -∈，1B ∈可得112B --=-∈，这与题设2B -∉矛盾；有理数集Q 是“好集”，0Q ∈，1Q ∈，对任意的m ，Q n ∈，有Q m n -∈，且0m ≠时，1Q m∈，故Q 是“好集” （2）集合A 是“好集”，0A ∴∈，若a ，b A ∈，则0b b A -=-∈，于是()a b a b A --=+∈，即a b A +∈，结论成立.．点睛：本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.8．(1) *{|2}1,x x n n =-∈N (2) {|3,2}x n x n =+∈N (3) {(,)|0}x y xy =(4) {(,)|1}x y x y -=- 解析：描述法表示集合即为(){}|x p x ,()p x 为元素的性质,根据这个概念写出集合即可 详解：解：（1）正奇数集可表示为*{|2}1,x x n n =-∈N ； （2）被3除余2的正整数集可表示为{|3,2}x n x n =+∈N ；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即0xy =,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(,)|0}x y xy =；（4）方程1x y -=-的解是满足方程的有序实数对(,)x y ,所以所有解组成的集合为{(,)|1}x y x y -=-点睛：本题考查描述法表示集合,考查数集与点集,属于基础题9．（1）18a ≥-，（2）18a <-或0a = 详解：试题分析：（1）对于字母系数的方程，一般先看最高项的系数是否为零，不要看到最高次数为2，就认为是一元二次方程，要分类讨论其系数；(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 试题解析：（1） ①当1a =时，23A ⎧⎫=≠∅⎨⎬⎩⎭②当1a ≠时，0∆≥即18a ≥-且1a ≠ 综上：18a ≥- （2）①A =∅，18a <-②{}1,2A =,0a =，{}1A =或{}2A =时，a 无解，综上：18a <-或0a =.考点：集合的性质及运算.10．（1）（1，+∞）；（2）a=0或a=1.解析：（1）集合A 是空集，表示方程2210ax x -+=无实数解，根据一元二次方程根的个数与∆的关系，易得一个与a 的不等式，解得a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，表示方程2210ax x -+=为一次方程或有两个相等实数根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求得满足条件的a 值. 详解：（1）集合A 是空集,即方程2210ax x -+=无实数解. ∴ 2(2)40a --<且a≠0.解得a>1. ∴ 所求a 的范围是（1，+∞）（2）集合A 中只有一个元素,即方程2210ax x -+=只有一个实数解. ①0a =,方程为一元一次方程210x -+=,只有一个实数解. ②0a ≠,则一元二次方程2210ax x -+=有两个相等的. ∴()2240a --=解得a=1 综上可得a=0或a=1 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，根据题目要求分析方程根的情况，属于基础题.11．答案见解析解析：根据集合的定义依次判断各个集合中的元素即可确定结果. 详解：A 表示y 的取值集合，由1y x=知：0y ≠，{}0A y y ∴=≠；B 表示x 的取值集合，由220x x -≥知：0x ≤或2x ≥，{0B x x ∴=≤或}2x ≥；C 的代表元素为(),x y ，表示反比例函数1y x=上的点构成的点集； D 的代表元素为(),x y ，由13yx =-知：()33y x x =-≠，D ∴表示直线3y x =-上除了()3,0以外的点构成的点集；E 表示以方程“0x =”和“1y =”为元素的一个二元集.F 表示以方程“1x y +=”和“1x y -=-”为元素的一个二元集.点睛：本题考查集合中的元素的确定，涉及到数集、点集及二元集等集合的类别，属于基础题.12．（1）()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或 解析：（1）利用方程有两个不等实根列不等式组，解出实数a 的取值范围； （2）利用方程有0个或1个实根列不等式，解出实数a 的取值范围. 详解：解：(1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以9160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩ 即a>－916且a≠0.所以实数a 的取值范围为()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916； 若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－916， 故所求的a 的取值范围是9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或.13．（1）A ＝0，2，4，6，8}；（2）B ＝2，3，5，7}；（3）C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（4）D ＝(1，4)}. 解析：由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 详解：解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，所以A ＝0，2，4，6，8}． （2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B ＝2，3，5，7}．（3）方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（4）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1，4)，所以D ＝(1，4)}．14．（1）各个含义见解析；（2）不同的集合.解析：（1）可以看出①函数21y x =+的自变量当元素，②的元素是该函数的因变量y ，而③的元素是x ，y 构成的点，从而得出这三个集合分别表示函数21y x =+的定义域，值域，以及函数图象上的点集．（2）是不是相同的集合，就要看它们的元素是否完全相同，容易判断这三个集合的元素是否相同，从而可得结论. 详解：解：（1）集合①x|y＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x∈R， 所以实质上x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y≥1， 所以实质上y|y ＝x 2＋1}＝y|y≥1}；集合③(x，y)|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y)，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1， 所以(x ，y)|y ＝x 2＋1}＝P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}． （2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．15．答案见解析．解析：根据集合的表示法求解． 详解：（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．16．解析：由题意可得f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，代入求出解析式，再解方程即可求解. 详解：：解答：A=1，-3}，∴f（1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a+b −1=b −a=0，（9+3a+b ）+3=3a+b+12=0， 解得a=−3，b=−3.∴f（x ）+ax=2x +3x-3+（-3x ）=2x -3=0.∴B=17．1a =或0a =.解析：根据题意，分0a =，0a ≠两类情况分别讨论即可得答案.. 详解：解：当0a =时，方程化为210x -+=，解得12x =，则0a =符合题意； 当0a ≠时，关于x 的方程2210-+=ax x 是一元二次方程，由于集合A 中仅有一个元素，所以一元二次方程2210-+=ax x 仅有一个实数根， 所以440a ∆=-=，解得1a =. 综上所述，1a =或0a =. 点睛：本题考查根据集合的元素个数求参数的值，考查一元二次方程的根的问题，是基础题. 18．32-解析：根据题意可知23a -=-或2253a a +=-，解出a ，再由集合的性质确定符合条件的a 的值。
02集合中的新定义问题-2018版高人一筹之高一数学一轮复习特色训练含解析
专题2 集合中的新定义问题一、选择题1．【荆州中学2017月考】设集合,都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（) A。
10 B。
11 C。
12 D。
13【答案】B【解析】试题分析:根据题意，对于，含个元素的子集有个，但、、只能取一个；、只能取一个;、只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有个；故选．考点：集合的包含关系判断及应用.2．【河北正定中学2016—2017学年月考】定义集合运算:，,。
设集合，，则集合的所有元素的平均数为（）A. 14 B。
15 C. 16 D。
17【答案】A3．【四川南充高级中学2016—2017学年期末】定义集合运算： (){}|,, A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊕的所有元素之和为( ）A 。
0B 。
6C 。
12D 。
18【答案】D【解析】01231340+6+12=18z =⨯⨯⨯⨯∴或或 ，选D 。
4．【2016-2017学年湖北襄阳市四校联考】非空集合A 中的元素个数用)(A 表示，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()()(B A A B B A B A B A ．若{}01，-=A ，{}a x x x B =--=|32||2,且1≤-）（B A ，则的所有可能值为（ )A 。
{}4|≥a aB 。
{}04|=>a a a 或C 。
{}40|≤≤a aD 。
{}04|=≥a a a 或【答案】D【解析】试题分析：集合A 中有2个元素,即()2A =，当()()A B ≥时，由()1A B -≤，则()()1B A ≥-,所以()1B ≥，又()()A B ≥,所以()1B =或()2B =，结合函数()223f x x x =--的图象（如下图）,所以0a =或4a >，当()()A B <时，由()1A B -≤，则()()1B A ≤+，即()3B ≤，又()()A B <,所以()23B <≤，只能()3B =，结合上图可知，4a =,所以综上所述：0a =或4a ≥，故选D 。
专题1.1 集合中的新定义问题(解析版).
专题1.1集合中的新定义问题集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算．解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．1．若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合，集合{1M =-，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．82D ．52【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1-，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为1234444415C C C C +++=故选：A ．2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1A =，2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D ．3．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是()A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【解答】解：a ※12b =，a 、*b N ∈，若a 和b 一奇一偶，则12ab =，满足此条件的有11234⨯=⨯，故点(,)a b 有4个；若a 和b 同奇偶，则12a b +=，满足此条件的有11121039485766+=+=+=+=+=+共6组，故点(,)a b 有26111⨯-=个，所以满足条件的个数为41115+=个．故选：B ．4．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※8}b =中的元素个数是()A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※8b a b =+=，故(,)a b 是(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※8b ab ==，故(,)a b 是(1,8)，(8,1)；故共9个元素，故选：B ．5．集合{0S =，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有()个．A ．16B ．17C ．18D ．20【解答】解：当x A ∈时，若有1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含孤立元素，S 中无“孤立元素”的2个元素的子集A 为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个S 中无“孤立元素”的3个元素的子集A 为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个S 中无“孤立元素”的5个元素的子集A 为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个S 中无“孤立元素”的6个元素的子集A 为{0，1，2，3，4，5}，共1个故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个故选：D ．6．用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧⎪=⎨-<⎪⎩当当 ，若{1A =，2}，2{||1|1}B x x ax =++=，且*1A B =，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么()C S 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：22|1|111x ax x ax ++=⇔++=或211x ax ++=-，即20x ax +=①或220x ax ++=②，{1A =，2}，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1︒集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，0a ∴=；2︒集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =±综上所述0a =或a =±()3C S ∴=．故选：B ．7．在整数集Z 中，被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4；给出四个结论：（1）2015[0]∈；（2）3[3]-∈；（3）[0][1][2][3][4]Z =；（4）“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：201554030÷=⋯，2015[0]∴∈，故（1）正确；35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故（2）错误；整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故（3）正确；整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．故选：C ．8．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【解答】解：取集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}中任意两个元素m ni +和(p qi m+、n 、p 、)q Z ∈，则()()()()m ni p qi m p n q i S +++=+++∈；()()()()m ni p qi m p n q i S +-+=-+-∈；()()()()m ni p qi mp nq mq np i S +⋅+=-++∈；满足集合{|(S a bi a =+，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；①正确．当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x y =，得0S ∈，②正确对于集合{0}S =，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误取{0}S =，{0T =，1}，满足S T C ⊆⊆，但由于011-=-不属于T ，故T 不是封闭集，④错误．9．若集合{1n U =，2，3，，}n ，2n ，*n N ∈，A ，n B U ⊆，且满足集合A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对(,)A B 为“兄弟集合对”．当3n =时，这样的“兄弟集合对”有对；当3n 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有n 的表达式作答）．【解答】解：当3n =时，{1n U =，2，3}，A 中的最大元素为2，则B 是{1}的非空子集，有1211-=个，此时A 有2个；A 中的最大元素为3，则B 是{1，2}的非空子集，有2213-=个，此时A 有4个；共有这样的“兄弟集合对”432114⨯+⨯=个，当3n 时，{1n U =，2，3，，}n ，当A 的最大元素为n ，此时A 有12n -个，B 是{1=，2，3，，1}n -的非空子集，有121n --个；当A 的最大元素为1n -，A 有22n -个，B 是{1=，2，3，，2}n -的非空子集，有221n --个；⋅⋅⋅当A 的最大元素为3，A 有22个，B 是{1=，2}的非空子集，有221-个；当A 的最大元素为2，A 有12个，B 是{1}=的非空子集，有121-个；故11223322112(21)2(21)2(21)2(21)2(21)n n n n n n -------+-+-+⋅⋅⋅+-+-22124222212122222222n n n n ----⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+-123211231_)44444(2222n n n n ----=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+114(14)2(12)1412n n ----=---124233n n =⨯-+．故答案为：14；124233n n ⨯-+．10．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则x b =，而b X +，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，令,x m n Q =∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222a m a b =-，222bn a b=--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x ==--，则120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设,x a a b Q =+∈，则1(x a =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．11．设集合1{A r =，2r ，，}{1n r ⊆，2，3，，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为【解答】解：设{5B =，10，15，20，25，30，35}，则card （B ）7=；可将A 集合分为4组：1{1A =，6，11，16，21，26，31，36}，则1()8card A =；2{2A =，7，12，17，22，27，32，37}，则2()8card A =；3{3A =，8，13，18，23，28，33}，则3()7card A =；4{4A =，9，14，19，24，29，34}，则4()7card A =．因为A 中的任何两个数之和不能被5整除，所以1A 和4A ，2A 和3A 中不能同时取数，且B 中最多取1个，所以最多的取法是取12A A 和B 中的一个元素，故card （A ）88117max =++=，故n 的最大值为17，故答案为：17．12．若使集合2(){|(6)(4)0A k x kx k x =--- ，}x Z ∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是(3,2)--，设B Z ⊆，对B 中的每一个元素x ，至少存在一个()A k ，有()x A k ∈，则B =．【解答】解：集合2{|(6)(4)0A x kx k x =--- ，}x Z ∈，方程2(6)(4)0kx k x ---=，0k ≠解得：16x k k=+，24x =，2(6)(4)0kx k x ∴--- ，x Z∈当0k =时，(A =-∞，4]；当0k >时，64k k <+，(A =-∞，64][k k+，)+∞；当0k <时，64k k +<，6[A k k=+，4]；∴当0k 时，集合A 的元素的个数无限；当0k <时，64k k +<，6[A k k =+，4]，集合A 的元素的个数有限，令函数6()g k k k=+，(0)k <则有：()g k - ，对于集合A ，[0，4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需6[k k+，0]包含的整数最小，题意要求x Z ∈，故只需65k k +>-，且64k k+- ，解得：32k -<<-，根据对()A k 的讨论，所以B Z =，故答案为：32k -<<-，B Z =．13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，b G ∈，都有a b G +∈；（2）存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a ，b 知道：a b +仍为非负整数，所以a b G ∈⊕；取0e =，及任意非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a ，b 知道：a b +仍为偶数，故有a b G +∈；但是不存在e G ∈，使对一切a G ∈都有a e e a a ==⊕⊕，故②的G 不是“融洽集”．③对于{G =二次三项式}，若a 、b G ∈时，a ，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G 不是和谐集，故③不正确；④{|G x x a ==+，a ，}b Q ∈，设1x a =+，2x c =+，则设12()(x x a c b d +=+++G ，取1e =，11a a a ⨯=⨯=，因此G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G 是“融洽集”．故答案为①④．14．设集合A R ∈，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：①{|0}x Z x ∈≠；②{|0}x R x ∈≠；③1{|x x n =，*}n N ∈；④{|1nx x n =+，*}n N ∈其中以0为聚点的集合的序号是．【解答】解：（1）对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{|0}x x Z x ∈∈≠，都有0||0x x -=或者0||1x x - ，也就是说不可能00||0.5x x <-<，从而0不是{|0}x Z x ∈≠的聚点；（2）集合{|0}x R x ∈≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得0||2ax a <=<，0∴是集合{|0}x R x ∈≠的聚点；（3）集合1{|x x n =，*}n N ∈中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a>，使10||x a n<=<，0∴是集合1{|x x n=，*}n N ∈的聚点；（4）中，集合{|1nx x n =+，*}n N ∈中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0||x a <<的x ，0∴不是集合{|1nx x n =+，*}n N ∈的聚点；故答案为：②③．15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2017[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确的结论序号有．【解答】解：①201754032÷=⋯，2017[2]∴∈，故①正确；②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，[0][1][2][3][4]Z ∴=，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．故答案为：①③④．17．设n 是正整数，集合{1M =，2，⋯，2}n ．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于41n +．【解答】解：考虑M 的2n +元子集{1P n =-，n ，1n +，⋯，2}n ，P 中任何4个不同元素之和不小于11242n n n n n -+++++=+，所以3k n + ，将M 的元配对为n 对，(,21)i B i n i =+-，1i n ，对M 的任一3n +元子集A ，必有三对1i B ，2i B ，3i B ，同属于(1A i ，2i ，3i 两两不同）又将M 的元配为1n -对，(,2)i C i n i =-，11i n - ，对M 的任一3n +元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与1i B ，2i B ，3i B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为21241n n n ++=+，故最小的正整数3k n =+．故答案为：41n +．18．定义集合运算：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，则集合A B ⊗的所有元素之和为．【解答】解：有题意：{|A B z z xy ==⊗，x A ∈，}y B ∈，设{1A =，2}，{2B =，4}，那么：当1x =时：2y =或4，可得:2z 、4，当2x =时：2y =或4，可得:4z 、8，故得z 的所有元素：2、4、8，即集合A B ⊗的所有元素为：2、4、8，元素之和为：24814++=．故答案为：14．19．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：,)x a a b Q =+∈，则下列元素中属于集合M 的元素的是（填序号）．①0x =，②x =③3x =-，④x⑤x =+．【解答】解：①000x ==+，其中0a =，0b Q =∈，∴①满足条件．②01x ==+，其中0a =，1b Q =∈，∴②满足条件．③3x =-，其中3a Q =∈，但2b Q π=-∉，∴③不满足条件．④3x ===+，其中3a =，2b Q =∈，∴④满足条件⑤22440x =-+=+．其中4a =，0b Q =∈，∴⑤满足条件．故答案为：①②④⑤．20．如果非空数集A 满足：①0A ∉；②若x A ∀∈，有1A x∈，那么称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=；②2{|610}x x x -+ ；③2{|y y x=，[1x ∈，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【解答】解：对于①2{|10}x R x ax ∈++=，当3a =时，2{|10}x R x ax ∈++==∅，故不是互倒集；对于②2{|610}x x x -+ ；△364320=-=>，2{|610}x x x ∴-+ 是非空数集，且20{|610}x x x ∉-+ ，若21{|610}x x x x ∈-+ ，即211610x x -+ ，则221121116111(610x x x x x -+-+= ，故211{|610}x x x x ∈-+ ，故是互倒集；对于③2{|y y x =，[1x ∈，14]}[2=，2]，若11[2x ∈，2]，易知111[2x ∈，2]，故是互倒集；故答案为：②③．。
专题03 数列与集合新定义解答题专题
数列与集合新定义解答题专题1．已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．（Ⅰ）当2q，2n =时，用列举法表示集合T ；（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；②100112020ii a==∑．证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）10021ii a=∑为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．2．设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数．3．设有限数列12:,,,()n A a a a n *⋅⋅⋅∈N ，定义集合{}i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合． （Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅱ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅲ）已知有限等差数列122019:,,,A a a a ，判断5070,,3100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由．4．设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．5．设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤．若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．6．已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m ． （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值．7．设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）．记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）．如：1,212c a b =+，1,213d a b =-．（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．8．给定数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅．对，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅的最小值记为i B ，i i i d A B =-．（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：121,,,n d d d -⋅⋅⋅是等比数列． （3）设121,,,n d d d -⋅⋅⋅是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列．9．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ．（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由．（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值．10．设数组1221(,,,)n G a a a +=，2n ≥，*i a N ∈(1221)i n =+,,,，数i a 称为数组G 的元素．对于数组G ，规定：①数组G 中所有元素的和为1221(),n S G a a a +=+++；②变换f ，f 将数组G 变换成数组2112111()222n a a a f G ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭[],[],,[]，其中[]x 表示不超过x 的最大整数；③若数组1221(,,,)n M b b b +=，则当且仅当i i a b =(1221)i n =+,,,时，G M =．如果对数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n 个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G 具有性质P ．（Ⅰ）已知数组(1,1,1,1,1)A =，(1,4,7,10,13)B =，计算(A)f ，()f B ，并写出数组,A B 是否具有性质P ； （Ⅱ）已知数组G 具有性质P ，证明：()f G 也具有性质P ； （Ⅲ）证明：数组G 具有性质P 的充要条件是1221n a a a +===．11．对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”．记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g ． (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”；(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值；(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值．(注：对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．)12．设数阵111202122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆，其中12l e e e <<<，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、、l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、，以此类推，最后将1l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．（1）若01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（2）若01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,3S =，求()0S T A 的值；（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．13．数列n A ： ()12,,,2n a a a n ≥满足： ()11,2,,k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k N =∈，|k n ≤ k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合{}12,,,(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明： ()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．14．有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =．定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P ． （1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．15．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+．将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值； （Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．16．有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()12d A d A d A A ⋅++=，称集合A 具有性质Γ．（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d 组成的集合{}1232020,,,,d d d d 记作D ，将集合D D +中的所有元素()*123,,,,k t t t t k N ∈从小到大排序，即123,,,,k t t t t 满足123k t t t t <<<<，求2020t ；（3） 己知集合{}12,,,n C c c c =，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由．答 案1．（2020·北京首都师大二附高三模拟）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．（Ⅰ）当2q，2n =时，用列举法表示集合T ；（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；②100112020ii a==∑．证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）10021ii a=∑为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <． 【解析】（Ⅰ）解：当2q，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．{}3,4,5,6T =．（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾．因此有201i a A -∈．（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．∴10010010022111(201)4024040100791940ii i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．1001002222211200201(4001)(201)122006i i i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=∑∑，∴100211200201(4001)(791940)26i i a =⨯⨯+=+∑为定值．（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+-21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+-- 21(1)(1)n n q q q q--=-++⋯+-111(1)1n n q q q q---=---10=-<．s t ∴<．【押题点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，数列与集合的新定义及其综合运用 2．（2020·北京西城区一模）设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈ （1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数． 【解析】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A =；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1， 由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（2）知，100100m a b -=≤． 假设100b m >-，则1000b m -+>． 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤． 若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈． 故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个．【押题点】数列与集合的新定义，数列中的推理，反证法3．（2020·北京十五中高三一模）设有限数列12:,,,()n A a a a n *⋅⋅⋅∈N ，定义集合{}i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合．（Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅱ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅲ）已知有限等差数列122019:,,,A a a a ，判断5070,,3100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由． 【解析】（Ⅰ）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}4,10,12,28,30,36． （Ⅱ）先证明对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+≤<≤≤<≤．当i k =且j l ≠，因为i j k l a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j k l a a a a +=+，则2222i j k l +=+，所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现1n -次， 所以()()21222nS n =-+++ ()()()()1212112212n n n n +-=-=---（Ⅲ）假设5070,,3100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,37,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,3722,100a i j d a i j d a i j d ①②③⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩②-①得，()()()221150-=3i j i j d ++， ③-①得，()()()33117-=100i j i j d ++，两式相除得，()()()()221133115000=21i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,i j i j i j N ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-21,0i j i j k k Z k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2019i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20192018214034i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12201820194034i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4034i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾，所以5070,,3100不能同时属于数列A 的伴随集合M ． 【押题点】数列与集合的新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用 4．（2020·北京西城区二模）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅱ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100kI ≠∅．不妨设12n a a a <<<<．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=．这与题意不符，故20a >． 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、、1k -、1k +、、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子． 令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+．（注：()1001199k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【押题点】数列与集合的综合应用，考查反证法的应用 5．（2020·北京朝阳区高三一模）设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤．若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．【解析】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ． （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥．若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥．同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1,2,4． 因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =．同理，有567816,32,64,128a a a a ====． 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200．但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ≥．当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A ．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉．否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -： 当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列．（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆．（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<．令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆．（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆．（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ， 从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==．（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆．（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/． 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾．所以假设不成立． 所以原命题得证．【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，集合的并集运算6．（2020·北京八中高三月考）已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m ． （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值．【解析】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1， 2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()112312A S n n n =++++=+； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()112312A S n n n ≥++++=+，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立． 于是当()112A S n n =+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列． 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”；（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求．而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数． 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11．记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11．事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符． 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以a 11≤1010． 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意， 所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010． 【押题点】数列与集合的新定义的理解，等差数列的性质和求和公式7．（2020·北京密云区下学期一模）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）．记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）．如：1,212c a b =+，1,213d a b =-．（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值． 【解析】（1）由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：55n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：99n b n =-， 得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-， 则2,650c =，396,62020c =，得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--， 故2,649d =-．（2）证明：已知6a =．7b =，由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：66n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：77n b n =-，得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-，(*i N ∈，*)j N ∈．得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--，17i ，*i ∈N ，*)j N ∈． 所以若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+， 若*t M ∈，则存在u N ∈，6u ，*v N ∈，使67t u v =-， 因此，对于正整数t ，考虑集合0{|6M x x t u ==-，u N ∈，6}u ， 即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}t -． 下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为16t u -，2t u -，其中1u ，2u N ∈，126u u <．则这两个元素的差为7的倍数，即2112()(6)6()t u t u u u ---=-，所以120u u -=，与12u u <矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为06t u -，06u ，0u N ∈， 则存在s Z ∈，使067t u s -=，0u N ∈，06u ，即067t u s =+，0u N ∈，s Z ∈，由已证可知，若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+，而t M ∉，所以S 为负整数， 设V s =-，则*v N ∈，且067t u v =-，0u N ∈，06u ，*v N ∈， 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉，假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈． 则对于整数t ，存在n N ∈，m N ∈，u N ∈，6u ，*v N ∈，使6767t u v n m =-=+成立， 整理，得6()7()u n m v -=+， 又因为m N ∈，*v N ∈，所以7()06u n m v -=+>且u n -是7的倍数，因为u N ∈，6u ，所以6u n -，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉， 又由第二问，对于整数t M ∉，则*t M ∈， 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值， 又因为67t u v =-，u N ∈，*v N ∈，6u ， 所以(*)667129max max t M ==⨯-⨯=．【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，数列的综合应用 8．（2020·北京牛栏山一中高三月考）给定数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅．对，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：121,,,n d d d -⋅⋅⋅是等比数列． （3）设121,,,n d d d -⋅⋅⋅是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列． 【解析】（1）1232,3,6d d d ===．（2）因为10a >，公比1q >，所以12,,,n a a a ⋅⋅⋅是递增数列． 因此，对，1,i i i i A a B a +==，于是对，111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-．因此，0i d ≠，且1i id q d +=()1,2,,2i n =⋅⋅⋅-，即121,,i d d d -⋅⋅⋅成等比数列． （3）设d 为121,,n d d d -⋅⋅⋅的公差． 对12i n ≤≤-，因为1,0i i B B d +≤>，所以111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=， 又因为{}11max ,i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=>≥． 从而121,,,n a a a -⋅⋅⋅是递增数列．因此()1,2,,1i i A a i n ==⋅⋅⋅-． 又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<<⋅⋅⋅<． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋅⋅⋅==． 所以1.i i i n i a A B d a d ==+=+因此，对于1,2,,2i n =⋅⋅⋅-都有11i i i i a a d d d ++-=-=， 即121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列．【押题点】数列的单调性、最值，等差数列、等比数列的证明 9．（2020·北京高三东城区一模）已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ．（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由．（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值．【解析】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =．（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同． 又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾．故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立．（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2tm b ≠，*t N ∈．若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立．其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和．若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈．当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++此时结论成立．当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++，此时结论成立．对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项．由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数列的递推公式的应用，数列的综合应用 10．（2020北京密云区一模）设数组1221(,,,)n G a a a +=，2n ≥，*i a N ∈(1221)i n =+,,,，数i a 称为数组G 的元素．对于数组G ，规定： ①数组G 中所有元素的和为1221(),n S G a a a +=+++；②变换f ，f 将数组G 变换成数组2112111()222n a a a f G ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭[],[],,[]，其中[]x 表示不超过x 的最大整数；③若数组1221(,,,)n M b b b +=，则当且仅当i i a b =(1221)i n =+,,,时，G M =．如果对数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n 个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G 具有性质P ．（Ⅰ）已知数组(1,1,1,1,1)A =，(1,4,7,10,13)B =，计算(A)f ，()f B ，并写出数组,A B 是否具有性质P ； （Ⅱ）已知数组G 具有性质P ，证明：()f G 也具有性质P ； （Ⅲ）证明：数组G 具有性质P 的充要条件是1221n a a a +===．【解析】（Ⅰ）()(1,1,1,1,1)f A =，()(1,2,4,5,7)f B =； 数组A 是具有性质P ，数组B 不具有性质P ． （Ⅱ）证明：当元素1221n a a a +,,,均为奇数时，因为1122i i a a ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1221i n =+,,,，所以2112111()(,,,)222n a a a f G ++++=． 对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212111,,,222n i i i a a a +++． 因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a ，存在一种分法：将其分为两组，每组n 个素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用12k i a +替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =），就可以得到对于212111,,,222n i i i a a a +++的一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等． 所以此时()f G 也具有性质P ． 当元素1221n a a a +,,,均为偶数时，因为112222i i ia a a +⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1221i n =+,,,，所以2112()(,,,)222n a a a f G +=．对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212,,,222n i i i a a a ．因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a ，存在一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用2k i a 替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =），就可以得到对于212,,,222n i i i a a a 的一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等． 所以此时()f G 也具有性质P ．综上所述，由数组G 具有性质P 可得()f G 也具有性质P ． （Ⅲ）证明：（1）充分性：显然成立． （2）必要性：因为数组G 具有性质P ，所以对于数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法： 将2n 个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数， 所以()i S G a -均为偶数，从而元素(1221)i a i n =+,,,的奇偶性相同． 由（Ⅱ）可知，如果数组G 具有性质P ， 那么2112111()(,,,)222n a a a f G ++++=仍具有性质P ． 又因为，当(1221)i a i n =+,,,为奇数时，111[]22i i i a a a ++=≤≤，当且仅当1i a =时等号成立， 当(1221)i a i n =+,,,为偶数时，111[][]2222i i i i a a aa +=+=<≤， 由此得到()f G G =的充要条件是(1,1,1,1,1)G =． 易知2112122111121[][][]222n n a a a n a a a ++++++++++++≤≤，当且仅当12211n a a a +====时等号成立．即21(())()n S f G S G +≤≤，当且仅当12211n a a a +====时等号成立．令1G G =，1()k G f G +=，*k N ∈．假设对于任意的*k N ∈，有()k k f G G ≠，则(())()k k S f G S G <， 又1*a N ∈，1[]*2i a N +∈，得(())()1k k S f G S G -≤，即1()()1k k S G S G +-≤． 得21()()1S G S G -≤，…，1()()1k k S G S G --≤，所以1()()(1)()(1)k S G S G k S G k --=--≤，且()k S G 单调递减． 又因为()21k S G n +≥，矛盾． 所以存在0*k N ∈，有00()k k f G G =． 又由结论1，得此时0(1,1,1,1,1)k G =． 上述过程倒推回去， 因为数组0(1,2,,)k G k k =均具有性质P ，即数组k G 中元素(1221)i a i n =+,,,的奇偶性相同，可得数组k G 中的所有元素都相同， 所以，数组1G G =中的元素均相同，即1221n a a a +===．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数列的综合应用 11．（2020北京人大附中4月模拟）对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”．记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g ． (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”；(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值；(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值．(注：对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．)【解析】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4．(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=．(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤． 综上所述：n n f g ≤．当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <．综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =． 【押题点】数列与集合的新定义的理解与应用12．（2020北京适应性测试）设数阵111202122aa A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆，其中12l e e e <<<，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、、l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、，以此类推，最后将1l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．（1）若01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（2）若01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,3S =，求()0S T A 的值；（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．【解析】（1）01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A 经过2ϕ变换后得到的数阵11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）01336A ⎛⎫=⎪⎝⎭经s ϕ变换后得1336⎛⎫ ⎪--⎝⎭，故()013365s T A =+--=-；（3）若1112a a ≠，在{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -； 同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ； 不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ． 所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()()()()44441112111211121112111222221a a a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+=--．若1112a a =，则{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()()55111211*********a a a a a a ⨯--+-⨯+=--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以()0s T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈，所以()0s T A 的所有可能取值的和不超过4-．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数阵变换的求法 13．（2020北京东城区一模）数列n A ： ()12,,,2n a a a n ≥满足： ()11,2,,k a k n <=．记n A 的前k项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k N =∈，|k n ≤ k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合{}12,,,(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明： ()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， 所以{}52,4,5E =．（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ， 所以11i i k k S S +-≤．又因为 11i k a +<，所以1111 1.i i i i k k k k S S a S +++-=+<+所以11i i k k S S +-<． （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空． 设集合{}12,,,n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤． 所以()()()()12110m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+- 101111m m<+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C ≥+．取常数数列n A ： ()11,2,,12i C a i C C +==++，并令1n C =+，则()2212122nC C C S C C C +++==>++，适合题意，且{}1,2,,1n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．【押题点】集合新定义的理解与应用，数列的前n 项和14．（2020北京石景山区4月模拟）有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =．定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P ．（1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．【解析】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ．{}2,5,8,11,14A A +=，()()33152card A A ++=≠不具有性质P ； {}4,6,8,10,12,16B B +=，()()33162card B B ++==具有性质P ． （2）若三个数a ，b ，c 成等差数列，则{},,A a b c =不具有性质P ，理由是2a c b +=．因为1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)所以32019a ≤，要使123a a a ++取最大，则32019a =；22018a ≤，易知{}2018,2019,2020不具有性质P ，要使123a a a ++取最大，则22017a =；12016a ≤，要使123a a a ++取最大，检验可得12014a =；()123max 6050a a a ++=（3）集合A 具有性质P ．设等比数列的公比为为q ，所以11n n a a q -=(10a >)且q 为有理数，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有1j i k i l i q q q ---=+-因为q 为有理数，设mq n=(m ，n *∈N )且(m ，n 互质)，因此有 1j ik il im m m n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即j i k i j k l i j l j i m m n m n n ------=+-（1）， （1）式左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，又m ，n 互质，。
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一道典型的集合新定义问题解析
对于非空实数集A ，记{}
*,A y x A y x =∈≥任意的对。
设非空实数集合M P ，满足M P ⊆，且若1x >，则x P ∉。
现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有**
P M ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有*
M P ≠∅I ； ③对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有*
M P =∅I ；
④对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必存在常数a ，使得对于任意的*
b M ∈， 恒有*
a b P +∈。
其中正确命题的序号为 。
解析：因为对于任意的x A ∈，y x ≥，说明y x ≥的最大值。
所以集合*
A 是由所有大于或等于集合A 中最大元素的一切实数组成。
依题设，M P ⊆，若1x >，则x P ∉，可得集合P 是由小于或等于1的实数组成的集合， 集合M 是集合P 的子集。
下面分别讨论：
①对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有**
P M ⊆；
因为P 中的最大元素大于或等于M 中的最大元素，所以**
P M ⊆，①对。
②对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有*
M P ≠∅I ；
因为M 中的最大元素小于或等于P 中的最大元素，所以*
M P ≠∅I ，②对。
③对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必有*
M P =∅I ；
因为若M 中的最大元素等于P 中的最大元素，则可得*
M P ≠∅I ，所以③错。
④对于任意给定符合题设条件的集合M P ，，必存在常数a ，使得对于任意的*
b M ∈， 恒有*
a b P +∈。
因为**
P M ⊆，所以必存在常数a ，使得对于任意的*b M ∈，恒有*
a b P +∈。
④对。
例如，取[1,2],[1,3]M P ==，则*
*
[2,),[3,)M P =+∞=+∞，存在常数1满足题意。