近世代数 读书报告

题目1：设群G 中每个非幺元的阶都是2，证明G 为Abel 群.

题目1出处：南开大学资源共享课《抽象代数》

题目1的解答：∀a≠e 且a∈G，a 2=e，所以1a -=a，b=1b -，a 2b 2=e 4=b 2a 2=e，另一方面，由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -，，所以abba=baab=e，即ab=（ab）1-=ba=b 1-a 1-，所以ba=ab，由a、b 的任意性，群G 满足交换律，为Abel 群.

选题目1的理由：老师上课提到此题，是群论部分Abel 群的经典例题.

题目2：(1)（群的单边定义）设G 为一个半群，如果：

（a）G 中含左（右）幺元e，即∀a∈G，ea=a；

（b）G 中每个元有左（右）逆元1a -，使1a -a（a 1a -）=e.

（2）（群的除法定义）设G 为半群，若∀a、b∈G，方程xa=b 及ay=b 在G 内有解，则G 为群.

（3）（有限群的另一定义）设G 为有限半群，如果在G 内左、右消去律均成立，则G 为群.题目2出处：冯克勤章璞《近世代数三百题》

题目2的解答：（1）∀a∈G，设（a 1-）1-为a 1-的左逆元，则aa 1-=e （aa 1-）=（a 1-）1-a 1-aa 1-=（a 1-）1-ea 1-=（a 1-）1-a 1-=e，说明a 的左逆元也满足aa 1-=e，故a 1-为a 的逆元.而ae=a （a 1-a）=ea=a，故左幺元e 也是G 的右幺元，即为G 的单位元，所以G 为群.

（2）由于G 非空，所以a∈G，则xa=a 有解e，∀b∈G，存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b，所以e 为G 左单位元，而xb=e 有解则意味着b 有左逆元，所以由b 的任意性及（1）可知G 为群.

（3）设G={1a ，…n a }，由消去律可知，{1a i a ，…，n a i a }={i a 1a ，…，i a n a }，∀i a ∈G，故存在e∈G 使得i a =e i a .于是∀j a ∈G，存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i a k a =j a .这说明e 为左单位元，又因为e ∈G=G j a ，以j a 有左逆元，因此由j a 的任意性知，G 为群.

选题目2的理由：此处将群的几种定义方式进行总结，在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3：令b a ，ϕ：x ax+b（a、b ∈R 且a ≠0）为实直线上的一个仿射变换，将它们的集合记为1A （R ），在1A （R ）中定义乘法b a ，ϕd c ，ϕ=b ad ac +，ϕ，证明1A （R ）为一个群.又设1H （R ）={b 1，ϕ：x x+b，b ∈R }，证明它是1A （R ）的一个子群，并证明1A （R ）/1H （R ）～{*R ；·}.题目3出处：柯斯特利金《代数学引论（第1卷）》第4章习题

题目3的解答：显然，任一伸缩和平移仿射变换都在1A （R ）中，即对于上面定义的乘法，1A （R ）是封闭的，可以验证01，ϕ为1A （R ）的幺元.∀b a ，ϕ∈1A （R ），当a≠0时，其上述定义下的逆元为a b

a 1

-，ϕ，综上所述，1A （R ）为群.

显然01，ϕ∈1H （R ），故1H （R ）中有幺元，∀b 1，ϕ∈1H （R ），其上述定义下的逆元为b 1-，ϕ，所以1H （R ）<1A （R ）.

1A （R ）/1H （R ）={0a ，ϕ：x ax，a ∈R 且a ≠0}，设双射f：1A （R ）/1H （R ）→*R ，

由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素，所以1A （R ）/1H （R ）与*

R 之间的f 可定义为1A （R ）/1H

（R ）中的a 与*R 中相等的元素，为双射.又∀1a ϕ、2a ϕ∈1A （R ）/1H （R ），对上述乘法满足f（21a a ϕϕ）=f（1a ϕ）·f（2a ϕ），故1A （R ）/1H （R ）与{*R ；·}同构.

（附注）在南开大学资源共享课《抽象代数》有与本题类似的题目.

选题目3的理由：本题在几何学上有深刻意义，它反映了几何变换对称性是产生群定义的原因之一，以及用群论方法研究几何变换时产生的许多结果（例如变换群的子群、商群和同构）可以反过来使我们更深入了解几何变换.

题目4：设H 为群G 的一个子群，记()H N G ={g∈G|gHg 1-=H}，（称()H N G 为H 在G 中的正规化子）证明()H N G

题目4出处：南开大学资源共享课《抽象代数》

题目4的解答：显然()H N G 的幺元即为G 中的幺元e 且对G 中的乘法运算满足结合律和封闭性，因为eHe 1-=H 恒成立.∀n ∈()H N G ，由于n∈G，所以n 有逆元n 1-，且若nHn 1-=H，则对于给定的n，n 1-H（n 1-）1-=H=n 1-Hn，，因为∀h ∈H，nhn 1-和n 1-hn 都对应H 中一个确定的元，所以()H N G 中任一元素都存在逆元，()H N G 为群，又∀n ∈()H N G ，n∈G，所以()H N G

题目5：设a,b 分别为群G 中的元素，a 的阶为m，b 的阶为n,且满足ab=ba,∩={e}，证明:ab 的阶为[m,n].

题目5出处：南开大学资源共享课《抽象代数》

题目5的解答：设ab 的阶为d,由于(ab)

],[n m =a ],[n m b ],[n m =e，从而d∣[m,n].另一方面(ab)d =a d b d =e，所以a d =b

d -∈∩，a d =b d

=e，因此m∣d,n∣d,所以[m,n]∣d，故d=[m,n].

（附注）南开大学资源共享课《抽象代数》1.2节的补充题6问及此处阶为[m,n]的元素的存在性，正好与本题结论相符.

选题目5的理由：本题给出了循环群中构造更高阶元素的方法和具体阶数，由此可以构造出有限循环群的元素.题目6：环R 的非零元x 称为幂零的，若存在n∈N ，使得x n

=0，证明：

1）若R 为含幺环，x 为幂零元，则1-x 为可逆元；