五年级奥数春季班第7讲圆与扇形进阶

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五年级奥数.几何.圆与扇形综合(C级).学生版

圆与球：跨时代、跨文化的数学故事这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。

这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。

三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。

宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。

简单中寓深奥。

在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。

圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。

中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。

刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。

不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。

阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R 是球半径)。

阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。

无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切课前预习圆与扇形综合圆柱计算出正确的球体积公式。

不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。

祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。

至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。

我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。

五年级奥数几何专项一圆与扇形综合

这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。

三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。

宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。

简单中寓深奥。

在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。

圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。

中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。

刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。

不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。

阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R是球课前预习专项一圆与扇形综合半径)。

阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。

无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。

祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。

至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。

我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。

苏科版五(下)奥数教案第11讲~圆和扇形的进阶

五（下）奥数第11讲~圆和扇形的进阶圆=2a π 圆=2a π方=2422a a a =⨯ 方=()22222a a =÷（方中圆）方：圆=4：π （圆中方）方：圆=2：π方中圆的模型：圆的直径=方的边长，圆中方的模型：圆的直径=方的对角线板书总结：方中圆，圆中方方：圆=4：π 方：圆=2：π例1-1、下图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？例1-2、右图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？注意：从最里层讲起，方便推出比。

练1-1、如图，已知正方形的边长是8，求大圆及小圆的面积。

练1-2、已知最外边的大正方形的边长是16厘米，求最小的正方形的面积。

三、方圆套中套衔接：同学们，简单的方圆套中套可以利用方中圆，圆中方的知识就可以解决，那么多次套中套该怎么办呢？无论是方圆方还是圆方圆：最大的图形和最小的图形都是两倍的关系，这个特点在解决方圆套中套的问题时非常有用。

思考：已知图中最大圆的面积是512，以最快的速度算出最小圆和最小正方形的面积么？衔接：在这个图形中最大圆的面积是中型圆的2倍，中型圆的面积是最小圆面积的2倍，也就是最大圆的面积就是最小圆面积的4倍，如果这里套的圆更多，规律还是如此，不停地用两倍计算即可！热身小练习1：1、有一个面积为128的大圆，里面套了一个最大的正方形，正方形里又套了一个最大的圆，如此下去进行了4次，现在共有依次减小的5个圆，那么最小的圆的面积是（），第3小的圆的面积是（）。

2、有一个面积为128的大正方形，里面套了一个最大的圆，圆里又套了一个最大的正方形，如此下去进行了4次。

现在共有依次减小的5个正方形，那么最小的正方形的面积是（），第3大的正方形的面积是（）。

例2、计算下面各图中阴影部分的面积。

（1）下面大长方形长为16厘米，宽为8厘米。

（2）下面大正方形的边长8厘米。

练2、如图，已知长方形的面积是24，则图中阴影部分的面积是多少？思考：观察一下，求出阴影部分的面积四、重叠问题1、常见重叠图形模型1：重点讲解（1）观察发现阴影部分和规则图形的关系：图中的阴影部分即是上面一个扇形的部分，又是下面一个扇形的一部分。

小学五年级奥数圆和扇形的周长与面积(二)

圆和扇形的周长与面积(二)本讲主线1. 不规则图形的求解4. 其他相关扇形:2. 差不变和等积变形弓形＝扇形－△弯角=正方形-扇形.r2. 圆的面积：S=πr2谷子=弓形面积×23. 扇形：在圆的基础上×360120°5 5【例2】(★★★)板块一:不规则图形的常用解法求图中阴影部分的面积。

（π取3）如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。

(π取3.14 ) 45°45°20cm1【例4】(★★★)板块二:差不变和等积变形如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分【例3】(★★★☆)面积是多少？(圆周率取 3.14)DE 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

(圆周率取3 )AC FB【例5】(★★★★)如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。

（π取3）5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三.C△ABC中，∠C＝90°r B【超常大挑战】(★★★★)已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝△ABC的面积. AB C 2知识大总结【今日讲题】1. 公式：圆＝π×r2n扇形＝圆×3602. 基本模型：弓形，弯角，谷子3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称4. 两个考点：⑴同加同减差不变⑵等积变形5. 一个模型：两个月亮换个三角A例1~超常大挑战【讲题心得】____________________________________________________________【家长评价】______________________________________________________________B C3。

小学数学(圆与扇形进阶)

圆与扇形进阶例题一（1）左图和右图中正方形面积为4，中图中圆形面积为π，则从左至右阴影部分面积分别是__________，__________，__________．阴影部分面积与整个图形面积的比分别是_____:_____，_____:_____，_____:_____.（2）以下四个图形的面积比为________：________：________：________（从小到大）（3）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于__________平方厘米．（π取3.14）如图，在3×3方格表中，分别以A、E、F 为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比21:S S 是多少？例题三"斐波那契数列"是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，依次在以1，2，3，5……为边的正方形中画一个90°的扇形，连起来的弧线就是“斐波那契螺旋线”，图中的（π取3.14）则斐波那契螺旋线的长度为？（1）如图，矩形ABCD 中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE 的半径AE=6厘米，扇形CBF 的半径BC=4厘米，求阴影部分的面积.（π取3）（2）如图，两阴影部分的面积分别是1S ，2S ，若321=-S S ,则图中扇形的面积是？例题五如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，∠ABC=60°，此时BC 长5厘米.以点B 为中心，将△ABO 顺时针旋转120°，点A、C 分别到达点B、D 的位置.求AG 边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（π取3）参考附图，1号圆（灰色）的直径是2，2号圆（白色）的直径是4，3号圆（灰色）的直径是6，如此类推，共有19个圆.求阴影部分的面积.（取722=π）例题七（1）图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（2）如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)例题八如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这圆的面积等于多少平方厘米？自我巩固巩固一：.如图，ABCD、EFGH都是正方形，阴影部分的面积为多少？（π取3.14）.巩固二：已知正方形ABCD的边长为10cm，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边的中点做一个小圆，则将对边中点用直线连接起来得下图.那么，图中阴影部分的总面积等于多少平方厘米？（π取3.14）巩固三：已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，求阴影部分的面积．（π取3.14）巩固四如图、直径为6cm的半圆以A点为圆心逆时针转60度,使A到达AC位置,图中阴影部分的面积是多少平方厘米(取3.14)巩固五图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形（如图），在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？（π=3.14）巩固六如图，四个半径为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为？巩固七求右图中阴影部分的面积.（π取3）巩固八图中大圆的面积是120，那么，阴影部分面积是多少？拓展练习拓展一如图，正方形ABCD的顶点分别是正方形BHGF各边的中点，分别以BHGF各边的一半为直径向外作半圆，再分别以正方形.ABCD的各边为直径向外作半圆，形成8个灰色"月牙形".这8个"月平方厘米.牙形"的总面积为5平方厘米.则正方形EHGF的面积是？拓展二如图有1个大圆，1个中圆，3个小圆和1个等边三角形，已知小圆与大圆、小圆与中圆、小圆与三角形、中圆与三角形之间都是相切关系，且大圆的面积为32，那么图中阴影部分的面积为？拓展三下图是一个钟表的圆面，则图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？拓展四奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（π取3.14）。

五年级奥数.几何.圆与扇形包含与排除和旋转对称(B级).学生版

捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，π取3.14）答案提示：地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米；一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。

简直不可思议！圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆知识框架课前预习包含与排除和旋转对称心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180rn π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

圆与扇形的进阶

3、圆与扇形的直接应用

例题1、根据图中给出的数值，求出这个图形的外周长和面积。

6cm
例题2、如图，已知狗被栓在一个边长为4m的正方形建
筑物的一个顶点处，四周都是空地。绳长刚好够狗走到建筑外墙边的任一位置，狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，狗的身长忽略不计，π取面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？

例题2、如图已知最外面的大圆的半径是 8，求正方形及里面小圆的面积。（答案保留π）
2、圆的滚动

例题1、正方形的边长是2cm，圆形的半径是1cm。当圆形绕正方形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积有多大？

例题2、如图等边三角形的边长是6cm,而圆形的半径是1cm。当圆形绕等边三角形一周又回到原来的位置时，其扫过的面积有多大？

例题5、如图，已知猫被栓在一个边长为4m的三角
形建筑物的一个顶点处，周围都是空地。绳长刚好够猫走到建筑外墙边的任一位置，猫的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，猫的身长忽略不计， π取近似值3.14）

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4练习

例题1、如图，途中较小的圆的面积是 3.14，求正方形面积和较大圆的面积.

例题2、如图，每个圆的面积是28.26，求该图形的外周长和面积

例题3、如图，每个圆的面积是12.56，求该图形的周长。

例题4、如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘
米，圆形的半径是1厘米。当圆形绕长方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积有多大？
圆与扇形的进阶
1、方中圆与圆中方 2、圆的滚动 3、圆与扇形的实际应用 4、练习
1、方中圆与圆中方

小学奥数教程：圆与扇形_全国通用(含答案)

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算【例 1】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．例题精讲圆与扇形DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【答案】60度【例 3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒，所以BC弧所对的圆心角是60︒，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以AB CB=，同理CB AC=，则ABC∆是正三角形，同理，有CDE∆是正三角形．有60ACB ECD∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA∠=⨯-=，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n RS=扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC∠=︒，又知四边形ABCO是平行四边形，所以120ABC∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例11】(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC CD DB==，M是CD 的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD∆与ACD∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为()122a a+⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMFS S=△△，所以DCFS S=阴影扇形3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=；阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】连接小正方形AC ,有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)；⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)D BA DB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【答案】3.85【例 21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【答案】72【例 22】如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFEDCB AS图1S 2S 1G HF E DCB A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )， 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)33【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=．因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯=【答案】400【例 29】如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IAB C I【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )，BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6【答案】6【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S =-阴影直角三角形半圆，设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R ，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心O 为顶点，半径R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r -=平方厘米，那么环形的面积为： 2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm ，求圆环的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===，即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228+=，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216⨯=，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．。

(精品word)【小奥】五年级寒假同步课程圆与扇形初步(修改版--公式-割补法-容斥原理--等应用)

圆与扇形初步1. 圆与扇形的定义：平面上到定点的距离为定长的所有点组成的图形叫圆．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．扇形是圆的一部分． 2. 圆与扇形的基本计算：（1）圆形的周长：圆周长C=2r d ππ⨯⨯=⨯ （2）圆的面积：2S r π=⨯圆的面积公式可以由周长公式推导出来，结合此图，想一想这是为什么：（3）扇形的周长或弧长：扇形弧长=2360nr π⨯ （4）扇形的面积：扇形面积=2360nr π⨯⨯ 3. 割补法求不规则图形的面积．【解答】地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米；一般我们可能会想：对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也是极小的，肉眼都看不出来吧；这里我们先不急着下结论，让我们实际算一下：绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），即大约16厘米，还真不小呢！假设地球是一个规整的大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米， π取3.14）试一试：把地球捆起来本讲中题目如不做特殊说明，则π近似取3.14例1.已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为厘米，面积为平方厘米．练习1：已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为厘米．例2.已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是45o，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是厘米．（2）这个扇形面积是平方厘米，占它所在圆的面积的．练习2：（1）已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为6.28厘米，这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是25.12平方厘米，求这个半圆的周长．例3.如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆．已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）例4.求下三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）练习3：分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米．(π取3.14)例题5：夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）练习5：有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？练习6：如图，正六边形的边长为2，以它各顶点为圆心，边长的一半为半径画弧，得到图中实线围城的图形，该图形的周长为。

小学数学思维方法：-圆与扇形

圆与扇形【知识要点】一、跟曲线有关的图形元素。

l、扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分，我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几。

一般的求法是什么呢?关键是n360。

比如：扇形的面积＝所在圆的面积×n360；扇形中的弧长部分＝所在圆的周长×n 360扇形的周长＝所在圆的周长×n360＋2×半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)2、弓形：弓形一股不要求周长，主要求面积。

一般来说，弓形面积＝扇形面积－三角形面积。

(除了半圆)3、“弯角”：如右图：弯角的面积＝正方形－扇形4、“谷子”：如右图：谷子的面积＝弓形面积x2二、常用的思想方法：转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)、等积变形（割补、平移、旋转等)、借来还去(加减法)、外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”)1、代数法将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！例、如图正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

2、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些可直接求面积的规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

例、如图是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，四边形ABCD 为长方形，扇形ADE 为四分之一圆，求阴影部分面积。

3、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、对称等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例、如图，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，求图中由弦AC 、AD 和弧CD 围成的阴影部分图形的面积。

2024版五年级数学《扇形》课件

五年级数学《扇形》课件
contents
目录
• 扇形基本概念与性质 • 扇形在日常生活中的应用 • 绘制扇形方法技巧与步骤 • 扇形相关数学题目解析与讨论 • 拓展知识：其他平面图形简介 • 课堂互动环节
01
扇形基本概念与性质
扇形定义及组成要素
圆心
扇形的中心点，也是所属圆的中心。
弧
圆上两点间的部分。
3
连接两条半径的端点用弧线连接两条半径的端点，即形成扇形的弧。
利用计算机软件绘制扇形
选择合适的绘图软件
如AutoCAD、Microsoft Visio等。
设定扇形的参数
输入扇形的圆心坐标、半径长度以及起始和终止角度。
自动生成扇形图形
软件将根据设定的参数自动计算出扇形的形状并生成图形。
创意手工：制作纸质扇形模型
扇形结构在建筑中具有很好的稳定性，常被用于设计拱门、穹顶等建筑构造，以承受重量和分散压力。
扇形在艺术设计中的应用
扇形构图的美感
艺术家在创作时常常运用扇形构图，通过扇形的对称性和均衡感来营造画面的和谐与美感。
扇形在图案设计中的应用
扇形可以作为图案设计的基本元素之一，通过不同大小、角度和重叠的扇形组合，创造出丰富多样的图案效果。
包含关系
如正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形等。这种关系体现了一种图形的特殊性，同时也揭示了图形之间的联系。
相似关系
两个图形如果形状相同但大小不一定相等，则称这两个图形相似。相似图形具有相同的角和相似的边，这种关系在几何学中非常重要。
平面图形在生活中的应用举例
建筑设计
建筑师在设计建筑时需要考虑各种平面图形的组合和美感，如圆

(小学奥数)圆与扇形(二)

研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規則圖形，通過變動圖形的位置或對圖形進行分割、旋轉、拼補，使它變成可以計算出面積的規則圖形來計算它們的面積．圓的面積2πr =；扇形的面積2π360nr =⨯；圓的周長2πr =；扇形的弧長2π360n r =⨯．一、跟曲線有關的圖形元素：①扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分．我們經常說的12圓、14圓、16圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾．那麼一般的求法是什麼呢？關鍵是360n．比如：扇形的面積=所在圓的面積360n⨯；扇形中的弧長部分=所在圓的周長360n ⨯扇形的周長=所在圓的周長360n ⨯+2⨯半徑(易錯點是把扇形的周長等同於扇形的弧長)②弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積．一般來說，弓形面積=扇形面積-三角形面積．(除了半圓) ③”彎角”：如圖：彎角的面積=正方形-扇形 ④”穀子”：如圖： “穀子”的面積=弓形面積2⨯二、常用的思想方法：①轉化思想(複雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的)例題精講圓與扇形②等積變形(割補、平移、旋轉等) ③借來還去(加減法)④週邊入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關係”)板塊二曲線型面積計算【例 1】如圖，已知扇形BAC 的面積是半圓ADB 面積的34倍，則角CAB 的度數是________．DCBA【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】設半圓ADB 的半徑為1，則半圓面積為21ππ122⨯=，扇形BAC 的面積為π42π233⨯=．因為扇形BAC 的面積為2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度數是60度．【答案】60度【例 2】如下圖，直角三角形ABC 的兩條直角邊分別長6和7，分別以,B C 為圓心，2為半徑畫圓，已知圖中陰影部分的面積是17，那麼角A 是多少度(π3=)【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 內兩扇形面積和為21174-=，根據扇形面積公式兩扇形面積和為2π24360B C ∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度【例 3】如圖，大小兩圓的相交部分(即陰影區域)的面積是大圓面積的415，是小圓面積的35．如果量得小圓的半徑是5釐米，那麼大圓半徑是多少釐米？【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】小圓的面積為2π525π⨯=，則大小圓相交部分面積為325π15π5⨯=,那麼大圓的面積為422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圓半徑為7.5釐米．【答案】7.5【例 4】有七根直徑5釐米的塑膠管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆(如圖)，此時橡皮筋的長度是多少釐米？(π取3)CBA【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由右圖知，繩長等於6個線段AB 與6個BC 弧長之和．將圖中與BC 弧相似的6個弧所對的圓心角平移拼補，可得到6個角的和是360︒，所以BC 弧所對的圓心角是60︒，6個BC 弧合起來等於直徑5釐米的圓的周長．而線段AB 等於塑膠管的直徑，由此知繩長為：565π45⨯+=(釐米)．【答案】45【例 5】如圖，邊長為12釐米的正五邊形，分別以正五邊形的5個頂點為圓心，12釐米為半徑作圓弧，請問：中間陰影部分的周長是多少？(π 3.14=)【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】如圖，點C 是在以B 為中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，則ABC ∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五邊形的一個內角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是說圓弧AE 的長度是半徑為12釐米的圓周的一部分，這樣相同的圓弧有5個，所以中間陰影部分的周長是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】如圖是一個對稱圖形．比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積________灰色部分面積．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】圖中四個小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個小圓的面積等於大圓面積的14，則4個小圓的面積之和等於大圓的面積．而4個小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為黑色部分，所以這兩部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等．【答案】相等【例 7】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為1S ，空白部分面積為2S ，那麼這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】如圖添加輔助線，小圓內部的陰影部分可以填到外側來，這樣，空白部分就是一個圓的內接正方形．設大圓半徑為r ，則222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移動圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關係．【答案】57:100【例 8】用一塊面積為36平方釐米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個同樣大小的圓鋁板．問：所餘下的邊角料的總面積是多少平方釐米？【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積∶大圓面積22π:π1:9r R ==，小圓面積13649=⨯=，7個小圓總面積4728=⨯=，邊角料面積36288=-=(平方釐米)．【答案】8【例 9】如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑都是1．求陰影部分的面積．【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】由於直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮採用增加面積的方法來構造新圖形．由右圖可見，陰影部分面積等於16大圓面積減去一個小圓面積，再加上120︒的小扇形面積(即13小圓面積)，所以相當於16大圓面積減去23小圓面積．而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為小圓的239=倍，那麼陰影部分面積為21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方釐米，空白部分是6個半徑為10釐米的小扇形．(圓周率取3.14)CA【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正六邊形的面積已知，現在關鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60°，那麼120AOC ∠=︒，又知四邊形ABCO 是平行四邊形，所以120ABC ∠=︒，這樣就可求出扇形的面積和為21206π10628360⨯⨯⨯=(平方釐米)，陰影部分的面積1040628412=-=(平方釐米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四屆華杯賽初賽)如下圖所示，AB 是半圓的直徑，O 是圓心，AC CD DB ==，M 是CD 的中點，H 是弦CD 的中點．若N 是OB 上一點，半圓的面積等於12平方釐米，則圖中陰影部分的面積是平方釐米．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】如下圖所示，連接OC、OD、OH．本題中由於C、D是半圓的兩個三等分點，M是CD的中點，H是弦CD的中點，可見這個圖形是對稱的，由對稱性可知CD與AB平行．由此可得CHN∆的面積與CHO∆的面積相等，所以陰影部分面積等於扇形COD面積的一半，而扇形COD的面積又等於半圓面積的13，所以陰影部分面積等於半圓面積的16，為11226⨯=平方釐米．【答案】2【鞏固】如圖，C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，O是圓心，且半徑為6．求圖中陰影部分的面積．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，連接OC、OD、CD．由於C、D是半圓的三等分點，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那麼CD與AO是平行的．所以ACD∆的面積與OCD∆的面積相等，那麼陰影部分的面積等於扇形OCD的面積，為21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例 12】如圖，兩個半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部分的面積之差．(π取3)O【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計算它們的差，但是這樣較為繁瑣．由於是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與面積較小的陰影相同的圖形，再求剩餘圖形的面積．如右圖所示，可知弓形BC或CD均與弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的圖形中，容易看出來AB與CD是平行的，所以BCD∆與ACD∆的面積相等，所以剩餘圖形的面積與扇形ACD的面積相等，而扇形ACD的面積為260π10.5360⨯⨯=，所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為0.5．【答案】0.5【例 13】如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，那麼陰影部分面積是多少？(圓周率取3.14)AFEAFE【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：設小正方形的邊長為a，則三角形ABF與梯形ABCD的面積均為()122a a+⨯÷．陰影部分為：大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不規則部分=大正方形-右上角不規則部分=14圓．因此陰影部分面積為：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：連接AC、DF，設AF與CD的交點為M，由於四邊形ACDF是梯形，根據梯形蝴蝶定理有ADM CMFS S=△△，所以DCFS S=阴影扇形3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【鞏固】如右圖，兩個正方形邊長分別是10和6，求陰影部分的面積．(π取3)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】 (法1)觀察可知陰影部分面積等於三角形ACD 的面積減去月牙BCD 的面積，那麼求出月牙BCD 的面積就成瞭解題的關鍵．月牙BCD 的面積為正方形BCDE 的面積減去四分之一圓：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；則陰影部分的面積為三角形ACD 的面積減去月牙BCD 的面積，為：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)觀察可知AF 和BD 是平行的，於是連接AF 、BD 、DF ．則ABD ∆與BDF ∆面積相等，那麼陰影部分面積等於BDF ∆與小弓形的面積之和，也就等於DEF ∆與扇形BED 的面積之和，為：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】如圖，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圓周的中點，BC 是半圓的直徑．已知10AB BC ==，那麼陰影部分的面積是多少？(圓周率取3.14)DD【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】連接PD 、AP 、BD ，如圖，PD 平行於AB ，則在梯形ABDP 中，對角線交於M點，那麼ABD ∆與ABP ∆面積相等，則陰影部分的面積轉化為ABP ∆與圓內的小弓形的面積和．ABP ∆的面積為：()10102225⨯÷÷=；弓形面積： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=；陰影部分面積為：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】圖中給出了兩個對齊擺放的正方形，並以小正方形中右上頂點為圓心，邊長為半徑作一個扇形，按圖中所給長度陰影部分面積為；(π 3.14=)A【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】連接小正方形AC ,有圖可見ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯= ∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△ ∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】如圖，圖形中的曲線是用半徑長度的比為2:1.5:0.5的6條半圓曲線連成的．問：塗有陰影的部分的面積與未塗有陰影的部分的面積的比是多少？【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】假設最小圓的半徑為r ，則三種半圓曲線的半徑分別為4r ，3r 和r ．陰影部分的面積為：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面積為：()222π45π11πr r r -=，則陰影部分面積與空白部分面積的比為5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城實驗考題)奧運會的會徽是五環圖，一個五環圖是由內圓直徑為6釐米，外圓直徑為8釐米的五個環組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等，已知五個圓環蓋住的面積是77.1平方釐米，求每個小曲邊四邊形的面積．(π 3.14=)【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】 ⑴每個圓環的面積為：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方釐米)；⑵五個圓環的面積和為：21.985109.9⨯=(平方釐米)； ⑶八個陰影的面積為：109.977.132.8-=(平方釐米)； ⑷每個陰影的面積為：32.88 4.1÷=(平方釐米)．【答案】4.1【例 18】已知正方形ABCD 的邊長為10釐米，過它的四個頂點作一個大圓，過它的各邊中點作一個小圓，再將對邊中點用直線連擎起來得右圖．那麼，圖中陰影部分的總面積等於______方釐米．(π 3.14=)【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】填空【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】如圖，ABCD是邊長為a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分別為直徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．(π取3)D CBAaDCBA a【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】這道題目是很常見的面積計算問題．陰影部分是一個花瓣狀的不規則圖形，不能直接通過面積公式求解，觀察發現陰影部分是一個對稱圖形，我們只需要在陰影部分的對稱軸上作兩條輔助線就明瞭了．如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個半圓減去三角形，我們可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a = 【答案】12a【鞏固】如圖，正方形ABCD 的邊長為4釐米，分別以B 、D 為圓心以4釐米為半徑在正方形內畫圓．求陰影部分面積．(π取3)DBADB【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由題可知，圖中陰影部分是兩個扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整體上考慮來求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過作輔助線直接求陰影部分的面積．解法一：把兩個扇形放在一起得到1個正方形的同時還重疊了一塊陰影部分．則陰影部分的面積為=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：連接AC ，我們發現陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，所以陰影部分面積=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考題)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求陰影部分的面積．【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，陰影部分的面積等於兩個半圓的面積和與直角三角形ABC的面積之差，所以陰影部分的面積為：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【答案】3.85【例 21】（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方釐米，蓋住桌面的總面積是144平方釐米，3張紙片共同重疊的面積是42平方釐米.那麼圖中3個陰影部分的面積的和是平方釐米.【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】填空【解析】根據容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方釐米）【答案】72【例 22】如圖所示，ABCD 是一邊長為4cm 的正方形，E 是AD 的中點，而F是BC 的中點．以C 為圓心、半徑為4cm 的四分之一圓的圓弧交EF 於G ，以F 為圓心、半徑為2cm 的四分之一圓的圓弧交EF 於H 點，若圖中1S 和2S 兩塊面積之差為2π(cm )m n -(其中m 、n 為正整數)，請問m n +之值為何？S 2S 1G HFE DCBAS图1S 2S 1G HF E DCBA【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關鍵字】國際小學數學競賽【解析】 (法1)2248cm FCDES=⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDEBCD BFH S S S S S-=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=． (法2)如右上圖，1S S +=BFEA BFHS S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )，24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【鞏固】在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差．(圓周率取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】我們只要看清楚陰影部分如何構成則不難求解．左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一個長方形中的不規則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規則白色部分，那麼它們的差應為大扇形減去小扇形，再減去長方形．則為：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】如圖，矩形ABCD 中，AB =6釐米，BC =4釐米，扇形ABE 半徑AE =6釐米，扇形CBF 的半徑CB =4釐米，求陰影部分的面積．(π取3)A【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：觀察發現，陰影部分屬於一個大的扇形，而這個扇形除了陰影部分之外，還有一個不規則的空白部分ABFD 在左上，求出這個不規則部分的面積就成瞭解決這個問題的關鍵．我們先確定ABFD 的面積，因為不規則部分ABFD 與扇形BCF 共同構成長方形ABCD ，所以不規則部分ABFD 的面積為2164π4124⨯-⨯⨯=(平方釐米)，再從扇形ABE 中考慮，讓扇形ABE 減去ABFD 的面積，則有陰影部分面積為21π612154⨯⨯-=(平方釐米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方釐米)【答案】15【鞏固】求圖中陰影部分的面積．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】陰影部分面積=半圓面積+扇形面積-三角形面積22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【答案】41.04【鞏固】如右圖，正方形的邊長為5釐米，則圖中陰影部分的面積是平方釐米，(π 3.14=)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】觀察可知陰影部分是被以AD 為半徑的扇形、以AB 為直徑的半圓形和對角線BD 分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，我們發現如果能求出左下邊空白部分的面積，就很容易求出陰影部分的面積了，我們再觀察可以發現左下邊空白部分的面積就等於三角形ABD 的面積減去扇形ADE 的面積，那麼我們的思路就很清楚了．因為45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面積為：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方釐米)，那麼左下邊空白的面積為：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方釐米)，又因為半圓面積為：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方釐米)，所以陰影部分面積為：9.8125 2.68757.125-=(平方釐米)．【答案】7.125【例 24】如圖所示，陰影部分的面積為多少？(圓周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】圖中A 、B 兩部分的面積分別等於右邊兩幅圖中的A 、B 的面積．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【鞏固】圖中陰影部分的面積是．(π取3.14)3333【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】如右上圖，虛線將陰影部分分成兩部分，分別計算這兩部分的面積，再相加即可得到陰影部分的面積．所分成的弓形的面積為：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面積為：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以陰影部分面積為：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】已知右圖中正方形的邊長為20釐米，中間的三段圓弧分別以1O 、2O 、3O 為圓心，求陰影部分的面積．(π3=)O3【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】圖中兩塊陰影部分的面積相等，可以先求出其中一塊的面積．而這一塊的面積，等於大正方形的面積減去一個90︒扇形的面積，再減去角上的小空白部分的面積，為：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方釐米)，所以陰影部分的面積為752150⨯=(平方釐米)．【答案】150【例 26】一個長方形的長為9，寬為6，一個半徑為l 的圓在這個長方形內任意運動，在長方形內這圓無法運動到的部分，面積的和是_____．(π取3)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】方法一：圓在長方形內部無法運動到的地方就是長方形的四個角，而圓在角處運動時的情況如左下圖，圓無法運動到的部分是圖中陰影部分，那麼我們可以先求出陰影部分面積，四個角的情況都相似，我們就可以求出總的面積是陰影部分面積的四倍．陰影部分面積是小正方形面積減去扇形面積，所以我們可以得到：每個角陰影部分面積為290111π13604⨯-⨯⨯=；那麼圓無法運動到的部分面積為 1414⨯=方法二：如果把四個角拼起來，則陰影如右上圖所示，則陰影面積為222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】已知半圓所在的圓的面積為62.8平方釐米，求陰影部分的面積．(π 3.14=)B【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由於陰影部分是一個不規則圖形，所以要設法把它轉化成規則圖形來計算．從圖中可以看出，陰影部分的面積是一個45°的扇形與一個等腰直角三角形的面積差．由於半圓的面積為62.8平方釐米，所以262.8 3.1420OA =÷=．因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方釐米)．由於AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面積24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方釐米)．所以，陰影部分的面積等於：15.710 5.7-=(平方釐米)．【答案】5.7【例 28】如圖，等腰直角三角形ABC 的腰為10；以A 為圓心，EF 為圓弧，組成扇形AEF ；兩個陰影部分的面積相等．求扇形所在的圓面積．C【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】題目已經明確告訴我們ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似沒有關係的兩個陰影部分通過空白部分聯繫起來．等腰直角三角形的角A 為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍．而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，則圓的面積為508400⨯= 【答案】400【例 29】如圖，直角三角形ABC 中，AB 是圓的直徑，且20AB =，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7，求BC 長．(π 3.14=)C【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】因為兩塊陰影部分都是不規則圖形，單獨對待它們無法運用面積公式進行處理，而解題的關鍵就是如何把它們聯繫起來，我們發現把兩塊陰影加上中間的一塊，則變成1個半圓和1個直角三角形，這個時候我們就可以利用面積公式來求解了．因為陰影甲比陰影乙面積大7，也就是半圓面積比直角三角形面積大7．半圓面積為：21π101572⨯⨯=，則直角三角形的面積為157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【答案】15【鞏固】三角形ABC 是直角三角形，陰影I 的面積比陰影II 的面積小225cm ，8cm AB =，求BC 的長度．I IABCI【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由於陰影I 的面積比陰影II 的面積小225cm ，根據差不變原理，直角三角形ABC面積減去半圓面積為225cm ，則直角三角形ABC 面積為218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的長度為()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【鞏固】如圖，三角形ABC 是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方釐米，AB 長40釐米．求BC 的長度？(π取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】圖中半圓的直徑為AB ，所以其面積為2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③與①的面積和為628，又②-①28=，所以②、③部分的面積和62828656+=．有直角三角形ABC 的面積為12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =釐米．【答案】32.8【例 30】圖中的長方形的長與寬的比為8:3，求陰影部分的面積．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關鍵字】十三分，入學測試題【解析】如下圖，設半圓的圓心為O ，連接OC ．從圖中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根據畢氏定理可得12BC =．陰影部分面積等於半圓的面積減去長方形的面積，為：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】如圖，求陰影部分的面積．(π取3)【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出它們的面積，那麼我們應該怎麼來解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎麼產生的，觀察發現月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那麼我們就找到瞭解決問題的方法了．陰影部分面積=12小圓面積+12中圓面積+三角形面積-12大圓面積=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【答案】6【例 32】如圖，直角三角形的三條邊長度為6,8,10，它的內部放了一個半圓，圖中陰影部分的面積為多少？68【考點】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】S S S =-阴影直角三角形半圆，設半圓半徑為r ，直角三角形面積用r 表示為：610822r r r ⨯⨯+=又因為三角形直角邊都已知，所以它的面積為168242⨯⨯=，所以824r =，3r = 所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圓半徑為R ，小圓半徑為r ，兩個同心圓構成一個環形．以圓心O 為頂點，半徑R 為邊長作一個正方形：再以O 為頂點，以r 為邊長作一個小正方形．圖中陰影部分的面積為50平方釐米，求環形面積．(圓周率取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關鍵字】華校第一學期，期中測試，第6題【解析】環形的面積應該用大圓的面積減去小圓的面積，但分別求出兩個圓的面積顯然不可能．題中已知陰影部分的面積，也就是2250R r -=平方釐米，那麼環形的面積為：2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方釐米)．【答案】157【鞏固】圖中陰影部分的面積是225cm ，求圓環的面積．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】設大圓半徑為R ，小圓半徑為r ，依題有222522R r -=，即2250R r -=．則圓環面積為：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】已知圖中正方形的面積是20平方釐米，則圖中裏外兩個圓的面積之和是．(π取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【關鍵字】101中學，考題【解析】設圖中大圓的半徑為r ，正方形的邊長為a ，則小圓的直徑等於正方形的邊長，所以小圓的半徑為2a ，大圓的直徑2r 等於正方形的對角線長，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圓的面積與正方形的面積之比為：22π:π:2r a =，所以大圓面積為：202π10π÷⨯=；小圓的面積與正方形的面積之比為：22π():π:42aa =，所以小圓的面積為：204π5π÷⨯=；兩個圓的面積之和為：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方釐米)．【答案】47.1【鞏固】圖中小圓的面積是30平方釐米，則大圓的面積是平方釐米．(π取3.14)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】設圖中大圓的半徑為r ，正方形的邊長為a ，則小圓的直徑等於正方形的邊長，所以小圓的半徑為2a ，大圓的直徑2r 等於正方形的對角線長，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圓的面積與小圓的面積之比為：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===，即大圓的面積是小圓面積的2倍，大圓的面積為30260⨯=(平方釐米)．【答案】60【鞏固】(2008年四中考題)圖中大正方形邊長為a ，小正方形的面積是．【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】設圖中小正方形的邊長為b ，由於圓的直徑等於大正方形的邊長，所以圓的直徑為a ，而從圖中可以看出，圓的直徑等於小正方形的對角線長，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面積為212a ．【答案】212a【鞏固】一些正方形內接於一些同心圓，如圖所示．已知最小圓的半徑為1cm ，請問陰影部分的面積為多少平方釐米？(取22π7=)【考點】圓與扇形【難度】3星【題型】解答。

五年级下册数学奥数试题——圆与扇形进阶

第11讲圆与扇形进阶一、知识点圆与正方形是两个最基本的图形，在计算面积时，圆与正方形也有很大的关系.关于正方形和圆，有以下的关系：方中圆：正方形的边长等于圆的直径；圆中方：圆的直径等于正方形的对角线.利用边长与直径的关系，我们可以得到它们面积的关系.在计算一些不规则图形的面积时，我们可以利用割补的方法，而对于一些比较特殊的图形，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分,利用基本图形的面积求出它们的面积.二、典型例题.3）例1 （1）图中（1）正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取14.3）（2）图中（2）正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取14（1）（2）.3）练习1 如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积.（π取14.3）例2 计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小.（π取14.3）练习2 已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取14.3）例3 如图，求下图中各阴影部分的面积.（π取14例4 图中正方形的边长是4厘米，圆的半径是1厘米.当圆绕正方形顺时针滚动一周又回到.3）原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）例5 如图，求阴影部分的面积.（π取14例6 （1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长是4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地.绳长8米.则小狗的活动范围是多少平方米？（2）如图（2），如果小狗不是拴在A处,而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？三、课后练习1、已知下图中正方形的面积是,16那么阴影部分的面积是多少？（π取14.3）2、如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形顺时针滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）3、如图，求阴影部分的面积.。

五年级奥数专题圆与扇形(学生版)

学科培优数学圆与扇形学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。

学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式,这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法.重点难点1.复杂图形的化简2.带入圆周率时的计算准确度考点1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算2．结合情景的曲线面积计算知识梳理一、圆形的面积与周长(1) 圆的周长2C d r ππ==（d 为直径,r 为半径）(2) 圆的面积212S r Cr π== 【授课批注】公式很简单,主要是如何化为简单的公式运算。

注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半,说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。

二、扇形的面积与弧长(1)扇形的弧长2360l r θπ= (2)扇形的面积213602S r lr θπ==扇例题精讲【试题来源】【题目】如图,有8个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取 3.1416,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构,其中盘A 直径为10厘米,盘B 直径为40厘米,盘C 直径为20厘米．问：A 顺时针方向转动一周时,重物上升多少厘米?( π取3.14．)【试题来源】【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米,问：这卷纸展开后大约有多长?【试题来源】【题目】如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415,是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米?【试题来源】【题目】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径．让A点不动,把整个半圆逆时针转60,此时B点移动到C点,如图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,四分之一大圆的半径为7,求阴影部分的面积,其中圆周率取近似值【试题来源】【题目】如图17-13,三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB 长40厘米．求BC 的长度．(π取3.14)【试题来源】【题目】图中阴影部分的面积是多少平方厘米?π227【试题来源】【题目】如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心,EF 为圆弧,组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.【试题来源】【题目】平面上有7个大小相同的圆,位置如图所示．如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是平方厘米．(π取3．14)【试题来源】【题目】传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下,钟面就会出现奇妙的阴影(如右下图)．那么,阴影部分的面积是多少平方米？【试题来源】【题目】在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.【试题来源】【题目】如下图,AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径为15厘米,是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分面积．【试题来源】【题目】如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,AB弦约等于17厘米,半径为10厘米,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】求图中阴影部分的面积．( 取3.14)【试题来源】【题目】如下图所示,曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米,那么阴影部分是多少平方米？(π取3.14)【试题来源】【题目】右图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点,已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少?(丌取3．14)习题演练【试题来源】【题目】.右图是一个圆心角为45°的扇形,其中直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分面积。

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第七讲圆与扇形进阶
模块一、基本图形面积求法：
方中圆：正方形面积 : 圆面积=4 : π；圆中方：圆面积 : 正方形面积=π : 2.
例1．（1）下图中正方形的边长为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。

(π取
解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积π. 所以圆角①的面积是4−π=；
直角三角形的面积是2，所以弓形②的面积是π−2=.
（2）下图中正方形的面积为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。

(π取
解：正方形的面积是2，所以扇形面积是2
=，所以圆角①的面积是2−=；直角三角形的面积是1，所以弓形②的面积是−1=.
例2．如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为。

（结果保留π）
解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25π，所以阴影中的圆角的面积是100−25π，
有外面的大圆的面积是50π，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一，所以两个弓形的面积是2×14
×(50π−100)=25π−50，于是阴影部分的面积=100−25π+25π−50=50.
例3．（1）如图，阴影部分的面积是多少
解：（1）阴影部分面积=长方形面积−扇形−圆角，
大长方形面积=4×6=24，扇形是四分之一个圆，扇形面积=14
×π×16=4π，圆角面积=正方形面积−四分之一圆=16−4π，
所以阴影部分的面积=24−4π−16+4π=8.
（2）在一个边长为6的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米（π = ）
解：（2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积−半个圆的面积，所以阴影部分的面积半个正方形的面积=12
×62=18.
例4．如图所示，分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分），则这两个阴影面积之和为。

解：两个阴影部分的面积之和等于三角形ABC 面积+AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积−AC 为直径的半圆面积。

三角形ABC 的面积=30，AB 为直径的半圆的面积=21525()228
ππ⨯⨯=， BC 为直径的半圆的面积=216182ππ⨯⨯=，AC 为直径的半圆的面积=2113169()228
ππ⨯⨯=，
所以阴影部分面积=30+25169
18
88
πππ
+-=30.
例5．已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，则阴影部分的面积为cm2。

（π取）
解：如图连结CD，可以看出
阴影部分的面积=两个半圆的面积和−△ADC的面积−△BDC的面积，
AC=4，得以AC为直径的半圆的面积=2π，BC=2，以BC我直径的半圆的面积=1
2π，
三角形ABC的面积=1
2
×4×2=4，
所以阴影部分的面积=2π+1
2
π−4=.
例6．三个半圆，两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10cm，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大cm2。

（π取）
解：小圆的半径为10，大圆的半径为20，
大圆外的阴影部分面积等于两个小圆面积的和−两个月牙部分的面积和，
大圆内的阴影部分的面积等于半个大圆的面积−两个月牙部分的面积和−一个小圆的面积，
于是大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大出一个小圆的面积，
即100π=314cm2.
随堂练习
1．下列图形中阴影部分的面积分别为、、。

（π取）
5
5
5
解：弓形面积=254π⨯−2152⨯=；圆角面积=25−254
π⨯=；月牙面积=2×=.
2．计算图形中阴影部分的面积为平方分米（单位：分米）。

解：如图做辅助线，可以看出，阴影部分是由一个三角形、一个圆角和四分之一个圆组成，
三角形面积=2152
⨯，圆角面积+四分之一的圆的面积=边长为5 的正方形面积=25，所以阴影部分的面积=+25=.
3．如图，直角三角形ABC 中，AB =4，BC =6，分别以三角形三边为直径画三个半圆，则阴影部分是面积为。

解：阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+三角形ABC的面积−以AC为直径的半圆面积，
而由于AB2+BC2=AC2，
所以以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积=以AC为直径的半圆面积，
于是阴影部分的面积=△ABC的面积=1
46
2
⨯⨯=12。

4．图中阴影部分的面积为。

（π取）
D
A
解：如图画出辅助线，看出AE弧的弓形是以AB为直径的圆中的一部分，
三角形ABC内部的阴影部分等于扇形CBF−三角形BCE+BE为弧的弓形，
所以两部分阴影面积的和=扇形CBF的面积−三角形BCE的面积+2×BE为弧的弓形的面积，
∠BCF=45°，所以扇形CBF的面积=
1
8
×122×π=18π，
三角形BCE的面积=
1
2
三角形ABC的面积=36，
BE弧的弓形=AE弧的弓形=四分之一个小圆面积−三角形ADE的面积
=
1
4
×π×36−
1
2
×36=9π−18，
所以阴影部分的面积和=16π−36+18π−36=36π−72=.
5．如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影甲的面积与阴影乙的面积一样大，则BC 的长为。

(π＝）
O D
解：连结BD ，OD ，阴影甲的面积=扇形OAD 的面积−三角形AOD 的面积，
阴影乙的面积=四边形OBCD 的面积−扇形OBD 的面积，
由题意，扇形OAD 的面积−三角形AOD 的面积=四边形OBCD 的面积−扇形OBD 的面积，所以扇形OAD 的面积+扇形OBD 的面积=四边形OBCD 的面积+三角形AOD 的面积，得半圆面积=三角形ABC 的面积，
设BC =x ，则
2102π⨯=1202x ⨯⨯，解得x =.。