2020届天津市南开中学2017级高三上学期12月月考数学试卷及解析

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2020届天津市南开区南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷及解析

2020届天津市南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.设集合{}11A x x =-<,{}1B x x =<,则() R B A 等于（） A. {}1x x ≥ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}12x x <≤【答案】C【解析】解出集合A ,B ,然后进行补集、交集的运算即可．【详解】{}02A x x =<<,{}1B x x =<；{|1}R B x x ∴=≥； (){} 12R B A x x ∴⋂=≤<．故选：C ．2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（） A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先由两直线垂直求出m 的值,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直,则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =；因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出,所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件.故选B3.已知直线l m 、,平面αβ、,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题：（1）若//αβ,则l m ⊥ （2）若l m ⊥,则//αβ（3）若αβ⊥,则//l m （4）若//l m ,则αβ⊥其中正确命题的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对四个命题逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于命题（1）,由于,//l ααβ⊥,所以l β⊥,进而l m ⊥,故（1）正确.对于命题（2）,如图所示,,l m αβ⊥⊂,l m ⊥,但α与β相交,故（2）错误。

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--，集合{}2|4B x Z x x =∈≤，则R A B ⋂=ð（）A. {}|03x x ≤≤B. {}0,1,2,3C. {}10,1,2,3-，D. {}1,2 【答案】B【解析】因为{}()()()2230={|(310},13,A x x x x x x =---+>=-∞-⋃+∞，{}(){}2|4{Z |40}0,1,2,3,4B x Z x x x x x =∈≤=∈-≤=，所以()1,3R A =-ð，{}0,1,2,3R A B ⋂=ð；故选B.点睛：在利用描述法表示集合时，要注意代表元素的限制条件，以免导致错误，如本题中{}(){}2Z|4{Z |40}0,1,2,3,4B x x x x x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的整数解， {}()[]2R|4{|40}0,4B x x x x R x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的实数解.2．设变量,x y 满足约束条件20{2360,3290x y x y x y -+≥+-≥+-≤则目标函数2z x y =-的最大值是（）A. -2B. 2C. -6D. 6 【答案】D【解析】将2z x y =-化为2y x z =-，作出可行域和目标函数基准直线2y x =，当直线2y x z =-向左上方平移时，直线2y x z =-在y 轴上的截距z -增大，即z 减小，由图象，得当直线2y x z =-过点()3,0A 时， z 取得最大值236⨯=；故选D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】试题分析：输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B. 【考点】算法与程序框图4．在6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中， 3x 项的系数为（）A. 540B. -540C. 20D. -20【答案】B 【解析】6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()6216123166313kk kkkk k k T C xx C x----+=⋅-=-⋅，令1233k -=，得3k =，则3x 项的系数为()333613540C -⋅=-；故选B.5．已知,m n 是两条互相垂直．．．．的直线， α是平面，则//n α是m α⊥的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】若,//m n n α⊥，则,m α可能垂直、平行、在面内或相交，即n // α不是m⊥ α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行、线在面内，即n // α不是m ⊥ α的必要条件，即n // α是m ⊥ α的既不充分也不必要条件；故选D.6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，， ,A B 为双曲线的左右顶点，若点M 在双曲线上，且满足ABM ∆为一个顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（）A. =y x ±B. =yC. =2y x ±D. =y x ± 【答案】A【解析】由题意，设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，则0tan 30{tan 60AM BM y k x ay k x a==+==-，则2221y x a=-，即双曲线的方程为222x y a -=，其渐近线方程为y x =±；故选A.7．设实数,,a b c 分别满足2322,log 1a a b b +==， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >> 【答案】C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.8．若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（） A. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. ()0,+∞ C. ()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】显然，当1x =时，()3112x k x x -=-+成立，若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则()3112x k x x -=-+有且只有一个不为1的根，当1x >时， ()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x -=-+，即()()2112x x k=-+，令()()()212h x x x =-+，则()()()3110h x x x =+->'在()1,+∞成立，即10k->，解得0k >；当1x <时，()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x --=-+，即()()2112x x k-=-+，令()()()212h x x x =-+，令()()()3110h x x x =+->'，则1x <-或1x >，则()()()212h x x x =-+在(),1-∞-单调递增，在()1,1-上单调递减，则()114h k-<-=，解得14k <-，即实数k 的取值范围是()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；故选C. 点睛：处理两函数图象的交点个数问题，往往将函数的零点、方程的解联系在一起进行处理，如本题中将问题转化为()3112x k x x -=-+的根的个数问题.二、填空题9．设i 为序数单位，则()211ii i+--=-__________．【答案】1522i -+ 【解析】()()()()(2i)1i 2i 13151i 1i i 1i=i 1i (1i)1i 2222+++--=--=+-+-+--+. 10．已知抛物线的参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =，点M 横坐标为6，则p =__________．【答案】4【解析】参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数）的抛物线的标准方程为22y px =（如图所示），设(M ，因为EF MF =62p=+，截得4p =.点睛：在处理涉及抛物线的焦点弦或焦半径的大小时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.【答案】1π【解析】由三视图，可知该几何体是由两个共底面的正四棱锥组合而成的正八面体，其底面边长为1，四棱锥的高为2，则该几何体的体积为121323V =⨯⨯=，而该几何体的外接球的球心为底面的中心，半径为2，体积为324π3V =⨯=⎝⎭则这个几何体的体积与其外接球体积之比为121:πV V =.12．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a =__________．【答案】3【解析】设等差数列的公差为()0d d ≠，则112141,2,46S a S a d S a d==+=+，因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111246a d a a d +=+，即()120d d a -=，解得12d a =，则211111123a a d a a a a a ++===. 13．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________．【答案】43【解析】因为()321f x x x x =-++，所以()2321f x x x '=-+， ()12f '=，则函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线为()221y x -=-，即2y x =，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为()2223200142d |33S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.14．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则co s C =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，则222162540c o s 36R R R A O B R ++∠=，即8c o s A O B ∠=-，即()282cos 11C -=-，解得cos C =.三、解答题15．已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点,0.12M π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求()f A 的取值范围.【答案】（Ⅰ）12m =; （Ⅱ）1,1]2-（. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，代点求m 值；（Ⅱ）利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，进而求出π3B =，再利用角A 的范围和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）由()()111cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即sin 2sin cos A A B = 又因为()0,,A π∈所以sin 0A ≠ ,所以1cos 2B = 又因为()0,,B π∈所以2,33B A C ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<；令2623A A πππ-==，得()0,,3f A π⎛⎤∴↑ ⎥⎝⎦， ()2,,33f A ππ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭， ()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1sin 2,162A f A π⎛⎫⎛⎤-∈-∴ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 16．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【答案】（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率来估计概率即可；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式进行求解，再列表得到分布列；（Ⅲ）利用二项分布的特点和期望公式进行判定. 试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级， ()51153P B == （Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==，一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫- ⎪⎝⎭， 13601203E η∴=⨯=（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 11,1,2AC BC AC BC AA D ⊥===是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由【答案】（Ⅰ）见解析; （2；（3）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用共线向量进行判定；（Ⅱ）求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用夹角公式进行求解；（Ⅲ）先根据题意设出点的坐标，再利用该直线的方向向量和平面的法向量平行进行求解.试题解析：（1）根据题意以1,,AC BC CC 所在直线为,,x y z 轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-11cos ,BC n ∴==（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=-2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=-M ∴不存在18．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(),P a b 满足212PF F F =．(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于M ，N 两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．【答案】(Ⅰ) 12e =(Ⅱ) 2211612x y +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF 2|=|F 1F 2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）先把直线PF 2与椭圆方程联立求出A ，B 两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程试题解析：(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ．因为212PF F F =2c =，222240a ac a c -+-=，由c e a =，有24220e e +-=，即2210e e +-=，1e =-（舍去）或12e =．所以椭圆的离心率为12e =．(Ⅱ) 解．因为12e =，所以2a c =，b =．所以椭圆方程为2223412x y c +=．直线2PF 的斜率bk a c==-，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,A B 两点的坐标满足方程组)2223412,.x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2580x cx -=．则10x =，285x c =．于是110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,B ．所以165AB c ==．于是528MN AB c ==．圆心()1,3-到直线2PF的距离d ==，因为22242MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=，解得2607c =-<（舍去），或2c =．于是24a c==，b ==．所以椭圆的方程为2211612x y +=．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质19．记{}1,2,100U = ，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,,,k T t t t = 定义12k T t t t S a a a =++ 例如： {}1,3.66T =时，1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆ 求证： 1T k S a +<；（Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,T k = ，记数列1T S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为H ，求证： 32H <【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈; （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由数列为等比数列和当{}2,4T =时, 30T S =求出1a ，再进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的通项公式和前n 项和公式以及放缩法进行证明；（Ⅲ）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈，于是当{}2,4T =时， 2411132730.T S a a a a a =+=+=又30,T S =故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈ ，所以()11211333132k kk T k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此， 1T k S a +＜. （3）1312kT k S a a -=++=()()()1123112313131k k k k T S ++-⇒==--- ()()1112311331313131k k k k k +++⋅⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭1111111332882631312k k H +⎛⎫∴-+-++-< ⎪--⎝⎭ ＜法二： ()()111112123312310313331331k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<---11311212313k T k k k T S a a S --=++=⇒=<- 111331213k H ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭∴<<-点睛：对于新定义型数列问题，首先要理解所给新定义和所学知识的联系，能准确利用所学知识解释新定义，是解决此类问题的关键. 20．已知函数32(),()ln f x x x b g x a x =-++=. （1）若()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(文)试题(解析版)

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。

4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。

2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析

2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题1．设U ∈R ，{}2,1,0,1,2A =--，{}1B x x =≥，则U A B =I ð（） A ．{}1,2 B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,0--D ．{}2101--,,, 【答案】C【解析】先根据补集的定义求出U B ð，再由交集的定义可得结果. 【详解】因为{}1U R B x x ∈=≥，，{}|1U B x x ∴=<ð，又因为{}2,1,0,1,2A =--，(){}2,1,0U A B ∴=--I ð，故选C ．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2．若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中(4,4),(2,2)B C ，所以直线2z x y =+过点C 时取最小值6，选B.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设0.10.3a =，131log 5b =，4log 25c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 . 【详解】因为0.100.3100.3a <==<，113333111log log log 592,og 53l b =<==<= 244log 25log 42c =>=，c b a ∴>>，故选D. 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间()()()0,1,1,2,2,+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（）A ．若非零向量a r ，b r 满足0a b ⋅>r r ，则a r 与b r的夹角为锐角B ．“0x ∃∈R ，2000x x -≤”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≥”C ．直线1:210l ax y ++=，2:220l x ay ++=，12l l //的充要条件是12a =D ．在ABC ∆中，“若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题是真命题【答案】D【解析】利用a v ，b v同向的情况判断A ；利用特称命题的定义判断B ；利用12//l l 等价于12a =±判断C ；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D . 【详解】对于A ，a v ，b v 同向时， a v 与b v 的夹角为0，不是锐角，故不正确；对于B ， “0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定应该是“x R ∀∈，20x x ->”，故不正确；对于C ， 12//l l 等价于241a =，即12a =±，得12//l l 的充要条件是12a =± ，故不正确；对于D ，Q sin sin A B >，∴由正弦定理可得ab >，由于大边对大角，A B ∴>，即原命题正确，∴逆否命题是真命题，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和. 【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆5O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）A ．22415y x -= B ．222125x y -= C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a b c 的关系，解得,a b ，即可求出双曲线方程．【详解】由题意可得 32c e a ==①，可得2251b c a a =-= ，设 (),0F c ，渐近线为by x a=，可得 F 到渐近线的距离为22MF b a b==+ ，由勾股定理可得 2222||||OM OF MF c b a =-=-= ，因为FOM ∆的面积为5，所以152ab = ② ，又 222+=a b c ③，由①②③ 解得5,2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】作出的函数图象如图所示：令得或或设直线与在上从左到右的第4个交点为，第5个交点为，、则∵方程在（上有且只有四个实数根，即解得.故选B ．8．已知定义在R 上的函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,若方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．1111,,3443⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】C【解析】由()()2f x f x +=可得函数周期为2，结合函数在[]1,1-上的解析式，利用周期作出()f x 的函数图象,根据()y f x =和2y kx =+图象交点个数判断k 的范围. 【详解】方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，等价于()y f x =和2y kx =+图象有三个不同交点，因为()()2f x f x +=,所以()f x 的周期为2，由函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，利用周期性作出()f x 的函数图象，如图所示: 不妨设0,k >当直线2y kx =+过()()3,1,1,1--时，k 的值分别为13与1，由图可知，113k <<时直线2y kx =+与()f x 的图象有三个交点，113k ∴<<时, 方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根, 同理,若k 0<,可得113k -<<-时，方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根,所以实数k 的取值范围是111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题 9．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i =，利用复数模的计算公式即可得结果. 【详解】Q 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=，则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在()621x -的展开式中，含3x 项的系数是________（请用数字作答）. 【答案】160-【解析】先求出二项式()621x -的展开式的通项公式，令x 的指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数. 【详解】6(21)x -的展开式的通项公式为666166(2)(1)2(1)r r r r r r r r C x C T x ---+⨯=-=⨯-，令633r r -=⇒=，所以含3x 的项是3336(2)(1)C x ⨯-336542(1)321x ⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯3160x =-，∴含3x 项的系数是160-，故答案为160-.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为则ab 的最大值为________. 【答案】92【解析】再由弦长为,可得到a 与b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论. 【详解】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=,则圆心为()1,2,半径为r =又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =,所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=, 化为26,0,0a b a b +=>> ,62a b ∴=+≥当且仅当2a b =时取等号,9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92,故答案为92.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 【答案】20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积。

2017年高三天津市南开中学数学(理)试卷

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科） 1-5 7.8 15-19一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{，2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x 的零点所在区间为（）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数x x x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数i z -=1，则=-22z z .10. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 . 11. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 . 12. 函数2x y =与函数x y 2=的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-的最小值是 .14. 若函数a x a x x x f --+=)2(2)(2在区间[)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共80分）15. 在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对应的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小；（2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为525354，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,1=AB ,31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围.20. 设函数.21ln )(2bx ax x x f --= （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）令),30(21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率81≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0==b a 时，令,)(,1)()(mx x G xx f x H =-=若)(x H 与)(x G 的图象有两个交点),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.i +1 10.]3,1()1,21[ - 11.2 12.3413.16- 14.)2,6(-15.解：（1）根据正弦定理，2sin c A =2sin sin A C A =，于是sin 2C =，由于是锐角三角形，故3C p =（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==，故5a b +=。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷(五)及解析

2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷（五）★祝考试顺利★一、选择题1.设命题2:,2n P n N n ∃∈>,则P ⌝为（）A. 2,2n n N n ∀∈>B. 2,2n n N n ∃∈≤C. 2,2n n N n ∀∈≤D. 2,2n n N n ∃∈= 【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤,即本题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y z k k ===>,则2log x k =,3log =y k ,5log =z k ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>,则23x y >, 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<,则25x z <,故选D. 点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,,x y z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ,y ,z ,且x y z <<,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ,b ,c ,且a b c <<．在不同的方案中,最低的总费用（单位：元）是（）A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D. ay bx cz ++【答案】B【解析】由x y z <<,a b c <<,所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->,故ax by cz az by cx ++>++；同理,()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<,故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<,故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.4.已知函数32()1f x x ax bx =+++,函数(1)1y f x =+-为奇函数,则函数()f x 的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++Q 为奇函数,3a ∴=-,2b =,32()321f x x x x ∴=-++,2()362f x x x '∴=-+,则()0f x '=的两根为131x =-,231x =+,所以,()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>Q ,(1)50f -=-<,∴存在0(1,0)x ∈-,使0()0f x =．综上,函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先求出函数的解析表达式,运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数,求出函数解析式中的参数的值,进而运用导数求得函数的两个极值点,通过计算分析算得2()0f x >和,(1)50f -=-<,从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何判定函数的图象的走向,这里求导计算分析函数。

天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。

2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷(八)及解析

2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷（八）★祝考试顺利★一、选择题（共9小题）1.已知全集U =R ,集合A ={x |x +1＜0},B ={x |x -4≤0},则∁U （A ∩B ）=（）A. {|1x x ≤-或4}x >B. {|1x x ≥-或4}x <C. {|1}x x ≥-D. {}4x x【答案】C【分析】可求出集合A,B,然后进行交集、补集的运算即可．【详解】解：A={x|x ＜-1},B={x|x≤4}；∴A∩B={x|x＜-1}；∴∁U （A∩B）={x|x≥-1}．故选C ．2.设a ,R b ∈,则“a b <”是“2()0a b a -<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．【详解】解：若a ＝0,b ＝1,满足a ＜b ,但（a ﹣b ）a 2＜0不成立,若“（a ﹣b ）a 2＜0,则a ＜b 且a ≠0,则a ＜b 成立,故“a ＜b ”是“（a ﹣b ）a 2＜0”的必要不充分条件,故选B ．3.已知函数()x f x e = ,令3123(sin ),(2),(log 3)4a f b f c f π-===,则,,a b c 的大小关系为() A. b a c << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在[)0,+∞上单调递增；将,,a b c 的自变量都转化到[)0,+∞内,通过比较自变量大小得到,,a b c 的大小关系.【详解】()f x Q 定义域为R 且()()x x f x e e f x --===()f x ∴为R 上的偶函数当0x ≥时,()x f x e =,则()f x [)0,+∞上单调递增3sin 428a f f f π⎛⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3128b f f -⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()1222log 3log 3log 3c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2101log 388<<<<Q()21log 388f f f ⎛⎛⎫∴>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即c a b >> 本题正确选项：A4.已知抛物线()221,,0y ax x a a R a =+--∈≠,恒过第三象限上一定点A ,且点A 在直线3mx ny ++()100,0m n =>>上,则11m n+的最小值为（） A. 4B. 12C. 24D. 36 【答案】B【分析】由题意可知()1,3A --,代入直线310mx ny ++=,变形整理得331m n +=与11m n+相乘变形整理,再利用均值不等式,求解即可. 【详解】由抛物线()()2221121,,0y ax x a a x x a R a =+--=-+-∈≠,令210x -=即1x =±,根据定点A 在第三象限,可知()1,3A --,Q 点A 在直线3mx ny ++()100,0m n =>>上()()31310m n ∴⨯-+⨯-+=,即331m n +=。

2017届天津市南开中学高三第四次月考文科数学试题及答案

天津市南开中学2017届高三第四次月考数学（文）试题说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请．将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．!)1.复数143i i++的虚部是（）.A 125i.B125.C125i-.D1 25 -2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A若m⊥β，m∥α，则α⊥β.B若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.C若m⊂β，α⊥β，则m⊥α.D若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3. 已知变量,x y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则5z x y =+的最小值为（）.A 0 .B 1 .C 2.D 44.设,R x y ∈，则“922≥+y x ” 是“3>x 且3≥y ”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 即不充分也不必要条件5.将函数cos 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到cos(2)y x =+ϕ，(π,π]∈-ϕ的图象，则ϕ的值为（）.A π6 .B π6- .C π3.D π3-6.设112450.8,0.7,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（） .A b c a >> .B b a c >> .C c a b >> .D c b a >>7. 已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）.A 2233110025x y -= .B 221205x y -= .C 2233125100x y -= .D 221520x y -= 8.设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =( )..A 2 .B 4或 6 .C 2或 6.D 6第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请．将答案填在答题纸上．．．．．．．．．!) 9.在如图的程序框图中，输出的值为x，则123log x x += .10.已知等差数列,6,2},{31==a a a n 若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .11.已知01x <<，则141xx+-的最小值为 .12.如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2PB ＝．13.在圆722:22=---+y x y x C 上总有四个点到直线43:=++m y x l 的距离是1，则实数m的取值范围是____________.14. 已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC AB AC +⋅=，且||AB AC -=|AB + |AC = 点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB BD ⋅=_______. 三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分13分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。

2017届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答案

天津市南开中学2017届高三第四次月考数学（理）试题I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是( ).A. 125ln5+B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+2. 若921x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭()a R ∈的展开式中9x 的系数是212-，则0sin a xdx ⎰的值为 ( ). A. 1cos 2-B. 2cos1-C. cos 21-D. 1cos 2+3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123a =-，且满足12n n nS a S ++=()2n ≥，则2015S 等于 ( ). A. 20132014- B. 20142015- C. 20152016- D. 20162017-4. 若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ( ).A. 0B. 12C.25. 关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则11b a -+的取值范围是 ( ).A. ()2,0-B. ()0,2C. ()1,0-D.()0,16. 如图，在ABC ∆中，2CM MB =，过点M的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ，若AP mAB = ，AQ nAC =，则()1m n +的最小值为( ).A.C.6 D. 27. 函数()[]()()1|1|,0,212,2,2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则下列命题中正确命题的个数是 ( ).①函数()()ln 1y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值； ④()()22k f x f x k =+ ()k N ∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立.A. 1B. 2C. 3D.4 8. 已知不等式()2227a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是 ( ). A.()3,2- B. ()2,3- C. ()1,2- D. ()1,4-II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．) 二、填空题：(每小题5分，共30分．) 9. 已知复数2i z =+（i 是虚数单位），则13i z+的虚部为__________.10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C ：2sin 8cos ρθθ=与直线l：12,2,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）相交于,P Q 两点，则||PQ = __________. 11. 如图，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交O于,B C 两点，弦//CD AP ，,AD BC 相交于点E ，点F 为CE 上一点，且P EDF ∠=∠，若:3:2CE BE =，3DE =，2EF =，则PA = __________. 12.已知实数,x y 满足1,1,5,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，x yz a b =+()0a b ≥>的最大值为1，则a b +的最小值为 __________.13. 已知定义域是R 的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，若1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()271log 7log 2f x a f x +⋅≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 __________. 14. 已知函数()2,01,02x kx x f x x +≥⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()32y f f x =-⎡⎤⎣⎦有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是 __________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 设()4sin sin cos 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =，2a =，b =C 及边c .16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直,直角梯形1ABB N 中AN //1BB ,AB AN ⊥，2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；（Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；（Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与,并求线段1B P 的长.18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =． (Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．19.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.20. 设函数()1e x f x -=-．（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围．天津南开中学2017届高三理科数学第四次月考试卷参考答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：21. 15. 设()4sin sin cos63f x xx x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =2a =，b =C 及边c .解：(Ⅰ)()4sin sin cos 6311sin sin cos cos sin 22sin cos 4f x x x x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫=++--+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期2T π=. 由322242k xk πππππ+≤+≤+()k Z ∈解得52244k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，故()f x 的单调递减区间是52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.(Ⅱ) ∵在锐角ABC ∆中，()f A =，∴4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 14A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由02A π≤≤，得4A π=.∵2a =，b =sin sin a bA B =，得sin sin b A B a ==.由02B π≤≤，得3B π=.故54312C A B πππππ=--=--=.由余弦定理，22252cos 4622cos104124c a b ab C π=+-=+-⋅=-=+ 故1c =.22. 16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．解：(Ⅰ)从10个场馆中选三个，基本事件的总数为310120C =个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为11143336C C C =，故小红每个区都参观1个场馆的概率为36312010=. （Ⅱ）X 的取值可能是3,4,5,6，分别对应没有事件参观A 区场馆，参观一个A 区场馆，参观两个A 区场馆，参观三个A 区场馆，3123333102C 21(3)C 6C C P X +===， 1246310C C 1(4)C 2P X ===， 2146310C C 3(5)C 10P X ===， 34310C 1(6)C 30P X ===．所以X 的分布列为：()34566210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．23. 17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直,直角梯形1ABB N 中 24. AN //1BB ,AB AN⊥，25.2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；26. （Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；27. （Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与所成角的余弦值为51,并求线段1B P 的长. （Ⅰ）证明矩形11BBCC 所在平面与底面1ABB N垂直，则1CB ABB N ⊥底面AN //1BB ,AB AN⊥，则1AB BB ⊥()()()()112,2,00,4,20,4,00,0,2N C B C ，，,1440B N BN ⋅=-=,则11B N BN BN ⊥⊥，且1111B N B C B = ，则11BN C B N ⊥平面.（Ⅱ）()11,,C B N m x y z =设平面法向量为，(2,2,0)BN = ∴设2BN m = ,则求得(1,1,0)m = .设二面角11C C N B --的平面角为θ，()1,,C CN n x y z =设平面法向量为，则1CC 0,C 0n n N ⋅=⋅= ，由00y x z =⎧⎨-=⎩.得(1,0,1)n =||1cos 2||||m n m n θ⋅==，sin θ∴=.（Ⅲ）设),0,0(a P 为BC 上一点，则1(0,4,)B P a =- ，(2,2,2)CN =-11B P CN B P CN⋅=⋅ ，则217160a a -+=,解得1a =. ∴(0,0,1)P ，则线段1B P的长度为.28. 18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得11121122+-+++⋅+⋅=⇒⎩⎨⎧⋅=+=n n n n n n n n n n n b b b b b b b a a a b ，即112+-+=n n n b b b ，由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252，由a 22=b 1b 2，得b 2=18，∴{nb }是以225为首项，22为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()422+=n b n ， ∴()242n n b +=，()()243++=n n a n ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=413124321n n n n a n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=41412n S n 原式化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即f (n )=()()086312<--+-n a n a 恒成立，当a –1＞0即a ＞1时，不合题意；当a –1=0即a=1时，满足题意；当a –1＜0即a ＜1时，f (n )的对称轴为()()01223<---=a a x ，f (n )单调递减，∴只需f (1)=4a –15＜0Þ a ＜415，∴a ＜1；综上，a ≤1． 29.19.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.解：（Ⅰ）由题设可知：因为抛物线2y =的焦点为，所以椭圆中的c =又由椭圆的长轴为4得2,a = 故2222b a c =-=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（Ⅱ）方法一：设直线:l 2-=my x ，代入椭圆方程得()0222222=--+my y m，设()()2211,,y x D y x C ，()()0,20,2B A -222221+=+m my y 于是2121212421y y y y S S +⨯=-⨯⨯=-=222222=+⨯m m所以2±=m故直线l 的方程为022=+±y x方法二：当直线l 斜率不存在时,直线方程为2-=x ，此时,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -=当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为)0)(2(≠+=k x k y设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(12422x k y y x ,消掉y 得 04424)21(2222=-+++k x k x k显然0∆>，方程有根，且22212124k k x x +-=+此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+=|)2()2(|221+++x k x k=22121||22|22)(|2kk k x x k +=++ 因为0k ≠,上式221||222=+k k ，解得22±=k ，所以直线方程为022=+±y x .（Ⅲ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+可得： 12122.............2P P x x x y y y =+⎧⎨=+⎩①022121=+y y x x ②,M N 是椭圆上的点，故2222112224,24x y x y +=+=由①②可得：222212122(2)2((2)p p x y x x y y +=+++22221122(2)4(2)x y x y =+++故22220P Px y +=，即点P 的轨迹方程是2212010P Px y +=.30. 20. 设函数()1e x f x -=-． 31. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）证明：注意到1x >-时，10x +>，于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1 x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =．当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]1 0-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时，()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． 32. （Ⅱ）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，，则()()()2211ee 11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+．设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，，则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1xe≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测(二)数学试题(含答案解析)

天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--，则S T S ð等于（）．A ．{3,2}-B ．{2,1}-C ．{1,3}-D ．{2,1,1,3}--2．函数1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．3．“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为（）．A ．0.2B ．0.8C ．0.02D ．0.085．已知0.154log 2,log 3,2a b c ===，则（）．A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．a c b<<6．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则下列区间中()f x 单调递增的是（）．A ．ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．用底面半径为3cm 的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（）．A ．227B ．427C ．727D ．14278．已知双曲线22:1124x y C -=，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．109．定义{},,max ,,.p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩已知函数{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=．若方程3(())2f g x ax =+有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）．A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-二、填空题10．若复数1ii iz a +=-+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________________．11．在53x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______________．12．在平面直角坐标系中，经过直线20x y +-=与两坐标轴的交点及点(0,0)的圆的方程为___________．三、双空题13．一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为____________；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为______________．四、填空题14．已知0,0,3a b a b >>+=______．五、双空题15．已知平行四边形ABCD 中，2,45AB DAB ==∠=，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则||PD =________；PE PD ⋅=__________．六、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．(1)求角C ；(2)若cos 4A =，求cos(2)A C +的值；(3)若c ABC =△的面积为2，求ABC 的周长．17．在如图所示的多面体中，,,AB CD AB AD AE ⊥⊥∥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，1,2AB AE CF AD CD =====，M ，N 分别是,BF DE 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDF ；(2)求DF 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)设平面BEF I 平面CDF l =，求二面角B l C --的正弦值．18．已知数列{}n a 是公差不等于0的等差数列，其前n 项和为n S ，且11241,,,a S S S =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12n n n b n a a *+=∈⋅N ，其前n 项和为n T ．（ⅰ）若222,,m T T T 成等差数列，求m 的值；（ⅱ）求121ia ni iT =-∑．19．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到(2,1)P．(1)求椭圆E 的方程；(2)椭圆E 的右顶点为D ，直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），若其满足0DA DB ⋅= ，且直线l 与以原点为圆心，半径为17的圆相切；求直线l的方程．20．已知函数()e xx f x =．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点．（ⅰ）证明：2ln 20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数．参考答案：1．C【分析】求出{3,2,1,1,2,3}S T =--- ，再根据补集的定义即可求得答案.【详解】由集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--可得{3,2,1,1,2,3}S T =--- ,故{1,3}S T S =- ð，故选：C 2．D【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A 、B 、C 选项，分析D 选项符合函数的性质.【详解】令1()ln 0f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝得11x x -=即210x x --=，此有方程有两根，故()f x 有两个零点，排除A 选项；函数1()ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有意义满足10x x->解得1x >或10x -<<，当1x <-时函数无意义，排除B 、C 选项；对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当10x -<<与及1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故单调性也符合，所以()f x 的图象可能是D ；故选：D 3．B【分析】求得22R,20x x x a ∃∈-+<时的a 的取值范围，判断和“1a <”的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知22R,20x x x a ∃∈-+<，即方程2220x x a -+=的判别式2440a ∆=->，即11a -<<，故1a <时推不出11a -<<，但11a -<<时，一定有1a <成立，故“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件，故选：B 4．A【分析】利用频率分布直方图，结合频率之和为l ，求出样本中测试值在区间(0,10]内的频率，由频率估计概率，即可得到案.【详解】根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为:1(0.060.080.02)510.80.2-++⨯=-=,以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2,故选：A 5．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为55441log 2log log 2log 312a b =<==<=<，又因为0.10221c =>=，所以c b a >>，故选：C .6．B【分析】求出最小正周期，进而得到2π23T ω==，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.【详解】设π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由题意得：13π44T =，解得3πT =，因为0ω>，所以2π23T ω==，所以2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2πππ2π,2π,Z 3226x k k k ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3π,π3π,Z 2x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，B 正确；当1k =-时，7π,2π2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，当1k =时，5π4π2,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故其他选项，均不满足要求.故选：B 7．D【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】设球形木珠的半径为r ，圆柱形木料的底面半径为R ,由截面图可知26,3R r R r =∴=，圆柱形木料的高为2r ，故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为3322447π7π1433π2π(3)227r r R r r r ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，故选：D 8．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++'，利用当,,P F E '三点共线时，2F a PE P ++'取得最小值，即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b ==，(40)F ，,设双曲线左焦点为(40)F '-，，不妨设一条渐近线为:3b l y x a =-=-，即0x =，作PE l ⊥，垂足为E ，即||PE d =，作F H l '⊥,垂足为H，则||2F H '=，因为点P 为C 左支上的动点，所以2PF PF a '-=，可得2PF a PF '=+，故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'，由图可知，当,,P F E '三点共线时，即E 和H 点重合时，2||a PE F P ++'取得最小值，最小值为2||2F H '⨯=，即||d PF +的最小值为2，故选：A ．9．B【分析】根据新定义确定函数()()f g x 的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出a 的取值范围.【详解】因为{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=，所以{}2(())max ,32f g x x x =-，由232x x ≤-，可得2230x x +-≤，又0x ≥，所以01x ≤≤，即11x -≤≤，所以，(){}222,1max ,3232,11,1x x f x x x x x x x ⎧<-⎪=-=--≤≤⎨⎪>⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：因为方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根，则3120a a ⎧-+>⎪⎨⎪>⎩或3120a a ⎧+>⎪⎨⎪<⎩或0a =，解得1122a -<<，所以a 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.10．1-【分析】根据复数的除法运算化简1ii iz a +=-+，再根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不等于0，即可求得答案.【详解】由题意得复数22221i (1i)(i)12i=i=i i 111a a a a z a a a a ++-+--=--+++++，因为复数1i i i z a +=-+为纯虚数，故令2101a a +=+且22201a a a --≠+，解得1a =-，即实数a 的值为1-，故答案为：1-11．15-【分析】在二项展开式的通项公式()53215C 3rr r r T x-+=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中含x 项的系数．【详解】53x ⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为()53521553C C 3rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r-=，求得1r =，可得展开式中含x 项的系数()15C 315⨯-=-，故答案为：15-．12．22220x y x y +--=【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令0y =，得020x +-=，解得2x =，所以直线20x y +-=与x 轴的交点为()2,0A ,令0x =，得020y +-=，解得2y =，所以直线20x y +-=与y 轴的交点为()0,2B ,设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则因为()2,0A ，()0,2B ，(0,0)O 三点都在圆上，所以222202200D F E F F ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩,解得2,2,0,D E F =-=-=故所求圆的方程为22220x y x y +--=故答案为：22220x y x y +--=.13．35##0.6310##0.3【分析】根据先分类再分步的思想，古典概型的概率公式解决概率问题即可.【详解】由题知，现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，所以摸球两次停止是指第一次摸得白球且第二次摸得黑球，或第一次摸得黑球且第二次摸得白球两种情况，所以摸球两次停止的概率为111132231154C C C C 123C C 205P +===；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数，说明至少得摸球3次，包括第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得黑球，或第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得白球且第四次摸得黑球，所以停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为1111111322321211111115435432C C C C C C C 12123C C C C C C C 6012010P =+=+=，故答案为：35；31014．【分析】由柯西不等式求解即可.【详解】解：由柯西不等式可得()222221112+⎡⎤⎢+⎥⎣⎦≤=，2a =，1b =时，等号成立，故答案为：15．5【分析】利用向量的线性运算得2A A P B =，将PD PE，都用AB AD ，表示，计算||PD 与PE PD ⋅即可.【详解】由题意知245AB AD DAB =∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB--⋅+= ＝2242cos 454210-⨯+⨯==，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；516．(1)π3(3)5【分析】（1）结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可；（2）由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；（3）由余弦定理及面积公式化简求得a b +，即可求得周长.【详解】（1）由正弦定理得，()2cos (sin cos sin cos )2cos sin sin C A B B A C A B C +=+=，即()2cos sin π2cos sin sin C C C C C -==，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2C =，∴π3C =；（2）()0,πA C Î、、∴221sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 4C A A A A A A A =====-=-，∴()11cos 2cos 2cos sin 2sin 42A C A C A C +=-=-⨯-（3）由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-Þ=+-，由面积公式得1sin 62ab C ab =Þ=，则()2223736255a b a b ab ab a b +=+-+=+´=Þ+=，∴ABC的周长为5a b c ++=+.17．(1)详见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法证明线线平行从而证明线面平行（2）运用空间向量求取线面夹角和二面角.通过解方程求得平面BEF 的法向量m，利用sin cos DF θ=< ，m > 得解;（3）通过求解cos n <，m >=，然后利用sin ,m n <>= 即可得二面角的正弦值.【详解】（1）⊥AE 平面ABCD ，且AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图;则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,1F ，31,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(,0,0)2MN =- ,(2,0,0)CD =- ,由34MN CD = ,可得MN CD ∥，又CD ⊂平面CDF ，MN ⊄平面CDF ，所以MN ∥平面CDF .（2）设平面BEF 的法向量(),,m x y z = ,(2,2,0)EF = ,(1,0,1)EB =- 则·0·220m EB x z m EF x y ⎧=-=⎨=+=⎩取1,x =()1,1,1m =- ，设求DF 与平面BEF 所成角为θ，则sin cos DF θ=<，m >=所以DF 与平面BEF所成角的正弦值为5.（3）由（2）知平面BEF 的法向量()1,1,1m =- ，平面ABE ∥平面CDF ,且平面ABE 的一个法向量为()0,1,0n = ，所以平面CDF 的一个法向量为()0,1,0n = ，故cos n <，3m >=-；sin ,3m n <>= ，平面ABE 与平面CDF所成的二面角的正弦值等于3.18．(1)21n a n =-(2)（ⅰ）4；（ⅱ）1261(4918n n ++-+⨯【分析】（1）设出等差数列{}n a 的公差，根据给定条件列式计算即可作答.（2）由（1）的结论求出n b ，借助裂项相消法求出n T ，利用222,,m T T T 成等差数列建立m 方程求解，再利用错位相减法求121ia ni i T =-∑..【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为124,,S S S 成等比数列，且11a =，所以4221S S S =⨯，所以2(2)1(46)d d +=⨯+，解得2d =，于是有()11221n a n n =+-⨯=-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由(1)知，()()1221121212121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，因此，11111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）因为2T ，m T ，22T 成等差数列，则2222m T T T +=，即11111214144121m ⎛⎫-+-=- ⎪+++⎝⎭，整理得11219m =+，解得4m =；（ⅱ）由（ⅰ）知2121221(21)2()41121(1)21i a i i ii i i T i --==+⨯=+⨯---+，记11221()412i a nn i n i i i i M T ==+==⨯-∑∑，则2313572121444()4()422222n nn n n M --+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以234135721214444(4()422222n n n n n M +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 两式相减得23132134(444)()422n n n n M ++-=⨯++++-⨯ 211144212616()4()414236n n n n n +++-++=+-⨯=-⨯-，所以1261()4918n n n M ++=-+⨯，即112261()41918i a n n i in T +=+=-+⨯-∑.19．(1)22143x y +=(2)321y x =-或321y x =-+【分析】（1）利用两点间的距离公式和椭圆的离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系即可求解.（2）根据椭圆方程得出D 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及点在直线上，结合向量的数量积的坐标运算及直线与圆相切的条件即可求解.【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点位于x 轴上，即椭圆的左焦点为()1,0F c -，因为左焦点到(2,1)P，所以1PF ==()229c +=，解得1c =或5c =-（舍），又因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，即112a =，解得2a =，所以2223b a c =-=，故所求椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）由题可得()2,0D ，设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2223484120k x mkx m +++-=，所以()()()22284344120mk k m ∆=-+->，即22340k m +->，所以21212228412,3434mk m x x x x k k-+=-=++，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128343123344m mk k k m k k k km m -⎛⎫=⋅+-+= ⎝⎭-+++，因为0DA DB ⋅= ，所以()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y -⋅-=-+++=，所以2222224128343431224430m mk k k k m k -⎛-+++⎫-⋅-++= ⎪⎝⎭，即2271640m mk k ++=，解得2m k =-或27k m =-，满足22340k m +->，当2m k =-时，:2l y kx k =-过点D ，不合题意，所以27k m =-①，又直线l 与以原点为圆心半径为17的圆相切，17=②，联立①②，解得3k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l的方程为321y x =-或321y x =-+.20．(1)函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值1e，无极小值.(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，()0,πx ∈三种情况，构造()e sin x F x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【详解】（1）()e x x f x =，1()e x x f x -'=，取1()0e xx f x -'==得到1x =，当1x <时，()0f x ¢>，函数单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数单调递减.故函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值()11e f =，无极小值.（2）（ⅰ）()()()sin sin e e a x a x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<.（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g ''<=-+=，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当()0,πx ∈时，()1()sin e sin e e x x xx g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()e sin cos 1x F x x x '=+-，设()()e sin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当()00,x x ∈时，()0k x >，()F x 单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，()F x 单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.。

天津市南开中学高三第五次月考——数学理数学(理)

天津市南开中学 2017届高三第五次月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =-->，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2.设变量满足约束条件202360,3290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数的最大值是（）A ．-2B ．2C ．-6D ．63.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44.在的二项展开式中，项的系数为（）A ．540B ．-540 C.20 D ．-20 5.已知是两条互相垂．．．直．的直线，是平面，则是的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充要 D ．既不充分也不必要6. 已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，，为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（）A ．B ． C. D ． 7.设实数分别满足，则的大小关系为（） A ． B ． C. D ．8.若函数与的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（） A ． B ． C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.设为序数单位，则．10.已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点横坐标为6，则．11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为．12.设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则． 13.函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于． 14.已知是外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点（1）求的值；（Ⅱ）在中，角的对边分别是若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求的取值范围.16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 17. 如图，直三棱柱中， 111,2AC BC AA ===是棱上的点，（Ⅰ）求证：为中点；（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值大小；（Ⅲ）在边界及内部是否存在点使得面存在，说明位置，不存在，说明理由18. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为，点满足.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，若直线与圆()(22116x y ++=相交于、两点，且，求椭圆的方程.19. 记，对数列和的子集若，定义，若定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数若求证：；（Ⅲ）对任意正整数若，记数列的前项和为，求证： 20. 已知函数.（Ⅰ）若在上的最大值为求实数的值；（Ⅱ）若对任意，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()(),1,1f x x F xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.参考答案一、选择题1-5: BDBBD 6-8: ACC二、填空题9. 10. 4 11. 12. 3 13. 14.三、解答题15.（Ⅰ）由()()1121cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点在函数的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B += 所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即又因为所以所以又因为所以所以270,23666A A ππππ<<-<-<； 2623A A πππ-=⇒=，，()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()12,1]62sin A f A π⎛⎫-∈-∴ ⎪⎝⎭（的取值范围是 16.（Ⅰ）设这天空气质量为1级，1553N M n ===，，，的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为则，（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. 17.（1）.根据题意以所在直线为轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒=为中点.（2）. 设面法向量111110000n CB x z y n CD ⎧⋅=+=⎧⎪∴⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，设11cos ,BC n ∴<>==所求角正弦值为（3）设(,,0),01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤111(,1,2)(1,0,1)B M x y B M BDCB M λ∴=--⊥∴=-210112x x y x y λλ=⎧=⎧⎪⇒-=⇒⇒>⎨⎨=⎩⎪-=-⎩不存在18.解：（1）设、因为，22,210c cc a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得（舍），或所以（2）由（1）知，椭圆方程的方程为 .两点的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去并整理，得解得得方程组的解110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.不妨设8(),(0,)5A c B，则165AB c ==. 于是.圆心到直线的距离d ==.因为，所以，整理得得（舍），或所以椭圆方程为 19.（1）由已知得，于是当时， 2411132730.T S a a a a a =+=+= 又故，即.所以数列的通项公式为. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈，所以1121133(31)32k kk T k S a a a -≤+++=+++=-<. 因此，. （3）1312k T k S a a -=++=11122(31)31(31)(31)k k kk T S ++-⇒==---11123113()(31)(31)3131k k k k k +++⋅<=----- 111111133()2882631312k k H +∴-+-++-<--＜法二：1111121233123103133(31)3(31)k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<--- 11311212313kT k k k T S a a S --=++=⇒=<-11(1)33213kH ⋅-∴<<- 20.（1）由，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--.令，得或.函数在上的变化情况如下表：132412,,2832723f b f b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+∴-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即最大值为133,0288f b b ⎛⎫-=+=∴= ⎪⎝⎭. （2）由2()(2),g x x a x ≥-++得. ，，且等号不能同时取得，，即.. 恒成立，即.令[]22(),1,ln x x t x x e x x -=∈-，则2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-，当时， 10,ln 1,22ln 0x x x x -≥≤+->，从而. 在区间上为增函数， ()(1)1,1min t x t a ∴==-≤. （3）由条件.假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴的两侧，不妨设，则. 是以（是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，.232()()0,t F t t t ∴-++=是否存在等价于该方程且是否有根.当时，方程可化为23232()()0t t t t t -+-++=，化简得，此时方程无解；当时，方程为232ln ()0t a t t t -++=，即. 设，1()ln 1()h t t t t'=++>1，显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即.当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.。

2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析

1．设 U ∈ R ， A = {-2, -1,0,1,2}， B = {x x ≥ 1}，则 A I ð B = （2．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x + y - 4 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（）⎪ x - y ≥ 02020 届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题U）A ． {1,2}C ． {-2, -1,0}B ． {-1,0,1}D ． {-2,-1,0,1}【答案】C【解析】先根据补集的定义求出 ðU B ，再由交集的定义可得结果.【详解】因为 U ∈ R ，B = {x x ≥ 1}，∴ð B = {x | x < 1}，U又因为 A = {-2, -1,0,1,2 }，∴ A I (ð B )= {-2, -1,0}，故选 C ．U【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且不属于集合 B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.⎧ y ≤ 4⎪ ⎩A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中 B(4,4), C(2,2) ，所以直线 z = 2x + y 过点 C 时取最小值 6，选 B.5，c=log25，则a,b,c的大小关系是（）【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设a=0.30.1，b=log13 A．a>b>cC．b>c>a 14B．a>c>bD．c>b>a【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果.【详解】因为0<a=0.30.1<0.30=1，1=log1311<b=log3153=log5<log9=2,33c=log25>log42=2，44∴c>b>a，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间B．“∃x∈R，x2-x≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x≥0”2r r2，得l1//l2的充要条件是a=±(0,1),(1,2),(2,+∞)）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（）r r r rA．若非零向量a，b满足a⋅b>0，则a与b的夹角为锐角000C．直线l:2ax+y+1=0，l:x+2ay+2=0，l//l的充要条件是a=11212D．在∆ABC中，“若sin A>sin B，则A>B”的逆否命题是真命题【答案】Dv v【解析】利用a，b同向的情况判断A；利用特称命题的定义判断B；利用l1//l2等价于a=±判断C；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D.【详解】v v v v对于A，a，b同向时，a与b的夹角为0，不是锐角，故不正确；对于B，“∃x0∈R，x-x≤0”的否定应该是“∀x∈R，x2-x>0”，故不正确；12对于C，l1//l2等价于4a2=1，即a=±1122，故不正确；对于D，Q sinA>sinB，∴由正弦定理可得a>b，由于大边对大角，∴A>B，即原命题正确，∴逆否命题是真命题，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则A．的值为（）B．C．D．【答案】D= 1(a > 0, b > 0 ) 的离心率为，过右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 M ，B ． -C ． - = 1D ． - = 1由题意可得 e = = ①，可得 = 1 - = ，+ b【解析】试题分析：又因为是与的等比中项,所以，即 ,，解之得，所以，故选 D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和.【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线 x 2 y 2- a 2 b 2 3 2若 ∆FOM 的面积为 5 ，其中 O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）A ． x 2 - 4 y 2 5= 1x 2 2 y 2 2 5= 1x 2 y 24 5 x 2 y 216 20【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 F 到渐近线的距离为 b ，由勾股定理可得 OM = a ，运用三角形的面积公式，结合 a , b , c 的关系，解得 a, b ，即可求出双曲线方程．【详解】c 3 b c 2 a 2 a a 2设F (c,0 )，渐近线为 y = bx， a52可得F 到渐近线的距离为 MF =bca 2 2= b ，由勾股定理可得O M = | OF |2 - | MF |2 = c 2 - b 2 = a，所以双曲线的方程为 - = 1 ,故选 C.1因为 ∆FOM 的面积为 5 ，所以 ab = 5② ，2又a 2 +b 2 =c 2 ③，由①②③ 解得 b = 5, a = 2, c = 3，x 2 y 24 5【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】作出的函数图象如图所示：令得或或⎧⎪ x 2 + 2, x ∈ [0,1)8．已知定义在 R 上的函数 f (x ) = ⎨⎪⎩2 - x 2 , x ∈ [-1,0 ) ，且 f x + 2 = f x ,若方程 f (x ) - kx - 2 = 0A ． ,1⎪B ． - , - ⎪C ． -1,- ⎪ U ,1⎪D ． - , - ⎪ U , ⎪3设直线与在上从左到右的第 4 个交点为，第 5 个交点为，、则∵方程在（上有且只有四个实数根，即解得 .故选 B ．( ) ( )有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）⎛ 1 ⎫⎝ 3 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭ ⎝ 4 3 ⎭【答案】C【解析】由 f (x + 2) = f (x )可得函数周期为 2，结合函数在 [-1,1]上的解析式，利用周期作出f (x )的函数图象,根据 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象交点个数判断 k 的范围.【详解】方程 f (x )- kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根，等价于 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象有三个不同交点，由函数 f (x ) = ⎨ ，利用周期性作出 f (x )的函数图象，如图所示:当直线 y = kx + 2 过 (-3,1), (-1,1)时， k 的值分别为与 1，由图可知， < k < 1 时直线 y = kx + 2 与 f (x )的图象有三个交点，∴ < k < 1 时, 方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,同理,若 k < 0 ,可得 -1 < k < - 时，方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,所以实数 k 的取值范围是 -1,- ⎪ U ,1⎪ ，故选 C.⎪3因为 f (x + 2) = f (x ),所以 f (x )的周期为 2，⎧ x 2 + 2, x ∈ [0,1) ⎪⎩2 - x 2, x ∈ [-1,0 )不妨设 k > 0,13131313⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝⎭ ⎝ 3 ⎭【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数 y = f ( x ) - g ( x ) 的零点 ⇔ 函数 y = f ( x ) - g ( x ) 在 x 轴的交点 ⇔ 方程 f ( x ) - g ( x ) = 0 的根 ⇔ 函数 y = f ( x ) 与y = g ( x ) 的交点.二、填空题9．已知复数 z 满足 1 - z 1 + z= -i ，则 z = ________.【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得 z = i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】Q 复数 z 满足1 - z 1 + z= -i ，∴ (1- i) z = 1 + i ，∴ (1+ i)(1- i) z = (1+ i)(1+ i) ，即2z=2i，∴z=i，则z=1，故答案为1.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．在(2x-1)6的展开式中，含x3项的系数是________（请用数字作答）.【答案】-160【解析】先求出二项式(2x-1)6的展开式的通项公式，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的项的系数.【详解】(2x-1)6的展开式的通项公式为Tr+1令6-r=3⇒r=3，所以含x3的项是C3(2x)3⨯(-1)36=C r(2x)6-r⨯(-1)r=C r26-r x6-r⨯(-1)r，66=6⨯5⨯43⨯2⨯1⨯23⨯x3⨯(-1)=-160x3，∴含x3项的系数是-160，故答案为-160.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr+1=C r a n-r b r；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查n各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25，则ab的最大值为________.【答案】9 22几何关系，可求得外接球 O 的半径 R = r + ⎪ =2 + 1 = 5，，代入公式即可求球 O 的2【解析】由圆的方程得到圆的半径为 5 ,再由弦长为 2 5 得到直线过圆心,可得到 a 与 b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论.【详解】圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 可化为 ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 5 ,则圆心为 (1,2 ) ,半径为 r = 5 ,又因为直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 截得的弦长为 2 5 = 2r ,所以直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)过圆心,即 a + 2b - 6 = 0 ,化为 a + 2b = 6, a > 0, b > 0 ,∴ 6 = a + 2b ≥ 2 2ab ,当且仅当 a = 2b 时取等号,9 9 9∴ a b ≤ ,∴ a b 的最大值为 ,故答案为 .2 2 2【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P - ABC 为鳖臑， P A ⊥ 平面 ABC ，P A = AB = 2, AC = 4 ，三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为__________.【答案】 20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且 P A ⊥ 平面 ABC ，可得 PC = 2 5 ，PB = 2 2 ．因为 V P BC 为直角三角形，可得 BC = 2 3 ，所以 PB ⊥ BC ，因此 AB ⊥ BC ，结合⎛ P A ⎫2⎝ 2 ⎭ 表面积。

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学文试题含答

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试题（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i + 2、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 3、若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4、若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 A ．23 B ．1 C ．12 D ．345、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为6、如图，12,F F 是椭圆2214:1x C y a+=与双曲线2C 的公共点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A ．32 D7、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y+ 最大值为A ．2B ．32 C ．1 D ．128、设()32log (f x x x =+，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知全集,{|21},{|12}x U R A y y B x x ===+=-<，则()U C A B = 10、下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是11、设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，现产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,3,,)i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,,)i i y f x i N ≤= 的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为12、已知{}m a 是首项为的对边数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项的和为13、如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为14、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式12()()1f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若()2,1,22Af b c ===，求a 的值.18、（本小题满分13分）某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.13m ，五合板22m ；生产每个书橱需要方木料0.23m 、五合板12m ，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产科获所得利润最大？最大利润为多少？17、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥. （1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18、（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点2F ，离心率12e =，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知数列{}n a 的前n 项和11()2(2n n n S a n -=--+为正整数）.（1）令2n n n b a =，证明数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++ ，是否存在最小的正整数m ，使得对于n N +∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20、已知函数()2ln ()f x x x ax a R =+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1(0,1]x ∈，证明：123()()ln 24f x f x -≥-+.。

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试卷及答案--(文科)

C． D．
4. 若，则直线被圆所截得的弦长为（）
A．
B． C.
D．
5. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）
A．
B．
C.
D．
6. 如图，是椭圆
与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形
为矩形，则的离心率是（）
A． B． C. D．
19. 已知数列的前项和
为正整数） . （ 1）令
，证明数列是等差数列；
（ 2）求数列的通项公式；
（ 3）令
. 是否存在最小的正整数，使得对于都有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 .
20. 已知函数 .
（ 1）当时，求函数的单调区间；
（ 2）若函数有两个极值点，且，证明
20. 解：
. (1) 当
时，
，令，有
或，当
或时，；当
时， . 所以
的单调递增区间为和，单调递减区间为 .
(2) 由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即，
，设，则，在
上单调递减，所以，即 .
（ 2）求二面角的大小 .
18. 椭圆
的左焦点为，右焦点为，离心率
，过直线椭圆于两点，且的周长为 .
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点 . 试探宄：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 .
7. 设，，若，则最大值为（）
A． B．
C. D．

2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

因为
所以，即，解得 .
故选该艺术课程的共有人.
(2)因为，
所以的概率分布列为
所以
【点睛】
本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题
17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
二、填空题
10．已知，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】可采用拼凑法，令，再结合基本不等式求解即可
【详解】
因为，所以，
，当且仅当时取到“=”号
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题
11．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_______.
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理，将当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出，结合，化简得，将表示成的关系式，再结合基本不等式求解即可
【详解】
，
，
由，化简得，
则，
当且仅当时取“=”号
故选：A
【点睛】

2020届天津市南开区南开中学2017级高三下学期第六次月考数学试卷及解析

2020届天津市南开中学2017级高三下学期第六次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题（共9小题；共45分）1.设集合{}1,1,2,3,5A =-,{}2,3,4B = ,{|13}C x R x =∈< ,则()A C B =A. {2}B. {2,3}C. {-1,2,3}D. {1,2,3,4}【答案】D【解析】先求A C ,再求()A C B ．【详解】因为{1,2}A C =,所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．2.设R x ∈,则“11||22x -<”是“31x <”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A分析：首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<, 由31x <⇔1x <. 据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.3.若a >b ,则A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │ 【答案】C【解析】本题也可用直接法,因为a b >,所以0a b ->,当1a b -=时,ln()0a b -=,知A 错,因为3x y =是增函数,所以33a b >,故B 错；因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,知C 正确；取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D 错．【详解】取2,1a b ==,满足a b >,ln()0a b -=,知A 错,排除A ；因为9333a b =>=,知B 错,排除B ；取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D 错,排除D,因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,故选C ．4.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（） A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】()()()()()22log 121log 622221log 223,log 12226,2log 129f f f f -⎡⎤-=+--====∴-+=⎣⎦.故选C.5.函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为（）A. 13(,),44k k k Z ππ-+∈B. 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈。

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试卷及答案--(文科)

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足：(z -i )(2-i )5=，则z =（）A ．22--iB ．22-+iC ．22-iD ．22+i 2. 函数()21log =-+f x x x的一个零点所在区间为（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3. 若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4. 若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（）A ．23 B ．1 C.12 D ．345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A ．B ． C. D ．6. 如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）A 32 D7. 设,x y ∈R ，1,1>>a b ，若3,x y a b a b ==+=，则11x y+最大值为（） A ．2 B ．32 C.1 D ．128.设()(32log f x x x =++，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知全集U R =，{}{}|21,|12==+=-<xA y yB x x ，则()= UC A B ．10. 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．11.设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,...,n x x x 和12,,...,n y y y ，由此得到N 个点()(),1,2,...,i i x y i N =，再数出其中满足()()1,2,...,i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为．12.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为．13.如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为．14.已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2,1,22A f b c ⎛⎫===⎪⎝⎭，求a 的值. 16. 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木枓30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？ 17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =，过1F 直线椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .试探宄：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和112(2n n n S a n -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭为正整数）.（1）令2nn n b a =，证明数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）令121,....n n n n n c a T c c c n+==+++.是否存在最小的正整数m ，使得对于n N *∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明()()123ln 24f x f x -≥-+.天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA二、填空题9.(]1,1- 10. 10 11.1N N 12.3116 13.7214. [),e +∞ 三、解答题15. 解：(1)()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,2T ππω==,由222262k x k πππππ-≤-≤+，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)22,2sin 22,2,26623A f A A k A k k Z ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=⇒-=+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又0A π<<，23A π∴=，2222cos 7,a b c bc A a ∴=+-==16. 解：设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元.则0.10.2902600,8012000x y x y z x y x y +≤⎧⎪+≤⎪=+⎨≥⎪⎪≥⎩，可行域如图.由图可知：当直线23120z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距120z 最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M的坐标为()100,400，max 801208010012040056000z x y ∴=+=⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.17. 解：(1)依题设条件，在Rt DAC ∆中，由AD AC =，易知45ADC ∠=，同理可得11145,90A DC CDC ∠=∴∠= ，从而可得1DC DC ⊥.又依题设11,DC BD DC ⊥∴⊥平面BCD ，于是有1DC BC ⊥.(2)如图，取11A B 的中点E ，连接1C E .由AC BC =知1111AC B C =，从而有等腰三角形三线合一定理，即知111C E B A ⊥，又平面111A B C ⊥平面11ABB A ，则1C E ⊥平面11ABB A .从而有1C E ED ⊥，而已知1C D BD ⊥，连结ED ，由可知ED DB ⊥，则1C DE ∠即是二面角11A BD C --的平面角,设AC a =，则1DC =；由（1）知有1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥，故BC ⊥平面11A ACC ，于是BC AC ⊥，求得12C E a =.在1Rt C EH ∆中，11111sin ,26C E C DE C HE C D π∠==∴∠=，即二面角11A BD C --的大小为6π. 18. 解：(1)设c =2221234,2c e a c a b ABF a ==⇔=⇔=∆的周长为 221221288AB AF BF AF AF BF BF ++=⇔+++=482,1a a b c ⇔=⇔===.故椭圆E 的方程为22143x y +=. (2)由对称性可知设()()000,0P x y y >与(),0M x ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，则0.0m ≠∆=，得()22430k m -+=*，此时0002443,43km k x y kx m k m m =-=-=+=+，即43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()4,4Q k m +，若存在定点M 满足条件，则当PQ 平行x 轴时，圆也过定点M，此时得(P或(0,P ，由图形对称性知两圆在x 轴过相同的交点，点M 必在x 轴上.设()1,0M x ，则0MP MQ ⋅=对()*式的,m k 恒成立.易得()211144430kx x x m-+-+=，得11x =，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .参考：220031'434x x y y y k y +=⇒==⇒=-，直线()()200000313:4,4x x l y y x x Q y y -⎛⎫-=--⇒ ⎪⎝⎭，()()()()()()()0000031040113x MP MQ x x x y x x x x y -⋅=⇔--+⨯=⇔-=--* ，()*对()02,2x ∈-恒成立1x ⇔=，得()1,0M .19. 解：(1)在1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1n =，可得11112S a a =--+=，即112a =.当2n ≥时，211111112,22n n n n n n n n n S a a S S a a ------⎛⎫⎛⎫=--+∴=-=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11122n n n a a --⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即111221,2,1n n n n n n n n n a a b a b b ---=+=∴=+ ，即当2n ≥时，11n n b b --=. 又1121b a ==，所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.(2)于是()1112,2nn n n nn b n n a a =+-⋅==∴=. （3）由（2）得()1112nn n n c a n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()231111234...12222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234...122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）-(2)得()231111111...122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111334211122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎣⎦=+-+=- ⎪⎝⎭-3373,3324,222n n n n n n T T m m ++∴=-=-<≤-≥ ，故m 的最小值是4. 20. 解：()()2121'20x ax f x x a x x x-+=+-=>. (1)当3a =时，()2231'x x f x x-+=，令()'0f x =，有12x =或1x =，当102x <<或1x >时，()'0f x >；当112x <<时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. (2)由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x ax -+=有两个不相等的实根，所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==，()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+ ()()()21121211121111ln ln2ln ln 201224a x x x a x x x x x x x =-+---=-++<≤，设()()22112ln ln 2014F x x x x x =-++<≤，则()()22332121'2022x F x x x x x-=--=-<， ()F x ∴在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ≥=-+，即()()123ln 24f x f x -≥-+ .。

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