高三数列综合复习

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高三数列综合专题复习

高三数列综合专题复习班级姓名探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值．2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．[思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1<c n ，分类讨论，化归为不等式恒成立问题求解．4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．5.已知曲线C ：440xy x -+=，数列{}n a 的首项14a =，且当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上，数列{}n b 满足12n nb a =-.（1）试判断数列{}n b 是否是等差数列？并说明理由；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n c 满足21n n n a b c =，试比较数列{}n c 的前n 项和n S 与2的大小.6.已知函数)(x f 满足：对任意的0,≠∈x R x ，恒有x xf =)1(成立，数列}{}{n n b a 、满足1,111==b a ，且对任意+∈N n ，均有.1,2)()(11nn n n n n n a b b a f a f a a =-+=++ ( I )求函数)(x f 的解析式; ( II )求数列}{}{n n b a 、的通项公式;(III)对于]1,0[∈λ，是否存在+∈N k ，使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由.探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题1.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .2. [2011·陕西卷] 如图,从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.现从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.[点评] 数列与解析几何的综合问题，往往是数列的某几项或数列的通项作为曲线上的点的坐标来建立关系，或者是含数列通项的点在曲线的切线上，这样就会把导数综合在一起．因此此类问题一般是数列的递推关系问题．3.已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ；4.已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为1(,0)n x +(*)n N ∈，其中1x 为正实数．（Ⅰ）用n x 表示1n x +；（Ⅱ）若14x =，记2lg 2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；5.已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程以()0f x =的两个根(α>β)，()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,3,)()n n n n f a a a a n f a +==-='.(1)求α、β的值； (2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln (1,2,3,)n n n a b n a βα-==-求数列{n b }的前n 项和Sn ．6.已知函数()x x x f -+=1ln )(，证明：()x x x ≤+≤+-1ln 1117.已知n 为正整数，曲线n n n n n L y x P nx y C 处的切线在其上一点),(:=总经过定点(1-,0)(1)求证点列：n P P P ,,,21 在同一直线上（2）若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)++ f(n)=∑=n k i i f )(,其中k, n 为正整数且k ≤n 求证：∑=++<<+n i i n y n 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[解答] (1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而t ＝1. (2)由(1)得知a n ＝3n －1，b n ＝log 3a n ＋1＝n ， 1b n ·b n ＋1＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1， T 2011＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2011b 2012＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12011－12012＝20112012.2.[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1. 所以⎝⎛⎭⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的三种方法：方法一：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0. 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法二：因为k >m ，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>m .即2m m 2－2m －1＋1<0，即m 2－1m 2－2m －1<0. 解得－1<m <1－2或1<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法三：因为k >m ≥2，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>2. 即m 2m 2－2m －1＋1<0，即2m 2－2m －1m 2－2m －1<0. 解得1－2<m <1－32或1＋32<m <1＋2，因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2、k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．3.[解答] (1)由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即log m a n ＝2n ＋2，∴a n ＝m 2n ＋2. ∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2. ∵m >0且m ≠1，∴m 2为非零常数，∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝m 2n ＋2log m m 2n ＋2＝(2n ＋2)·m 2n ＋2，当m ＝2时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2. ∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① ①式乘以2，得2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.② ②－①并整理，得S n ＝－2·23－24－25－26－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－[23＋24＋25＋…＋2n ＋2]＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－23[1－2n ]1－2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23＋23(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝n ·2n ＋3. (3)由题意c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·m 2n ＋2lg m ，要使c n －1<c n 对一切n ≥2成立，即n lg m <(n ＋1)·m 2·lg m 对一切n ≥2成立，①当m >1时，有lg m >0，则n <(n ＋1)m 2对n ≥2成立； ②当0<m <1时，有lg m <0，则n >(n ＋1)m 2， ∴n >m 21－m 2对一切n ≥2成立，只需2>m 21－m 2，解得－63<m <63，考虑到0<m <1，∴0<m <63. 综上，当0<m <63或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项． 4.（1）解：当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由于()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）解：由（2）知n a n =，则()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．∵()()11013n n S S n n +-=>++，∴数列{}n S 单调递增．所以()1min 13n S S ==．要使不等式()1log 13n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11log 133a a >-．∵10a ->，∴01a <<．∴1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.解：（1）∵当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上∴11440n n n a a a ---+=-----------------------------------------------1分由12n nb a =-得当2n ≥时，111122n n n n b b a a ---=---111422n n n n n n a a a a a a ----=--+11142244n n n n n a a a a a ----=--+-111222n n n n a a a a ---==--+----5分∴数列{}n b 是公差为12-的等差数列.-------------------------------------------------------6分（2）∵1a ＝4，∴111122b a ==-- ∴111(1)()222n b n n =-+-⨯-=------------------------------------8分由12n n b a =-得1222n n a b n=-=+-----------------------------------------------10分（3）∵21n n n a b c = ∴212(1)n n n c a b n n ==+＝112()1n n -+----------------------12分 ∴12n n S c c c =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+12(1)21n =-<+-----14分 6.解：( I )由x x f =)1(易得)0(,1)(≠=x x x f ----------------------------------------------2分( II )由2)()(1+=+n n n n a f a f a a 得21)(2111+=+=+nn n n n a a f a a a ，所以2111=-+n n a a .所以数列}1{na 是以1为首项，2为公差的等差数列所以12)1(211-=-+=n n a n ，得+∈-=N n n a n ,121.---5分因为.1211-==-+n a b b nn n 所以 113)52()32()()()(112211+++⋅⋅⋅+-+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n b b b b b b b b n n n n n 2212)22)(1(2+-=+--=n n n n .- (III)对于]1,0[∈λ时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，等价于]1,0[∈λ时，⋅-≥+-)1(222λn n)12(-n 恒成立，等价于]1,0[∈λ时，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立，设034)12()(2≥+-+-=n n n g λλ，对于]1,0[∈λ，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立， 10分则有⎩⎨⎧≥≥,0)1(,0)0(g g 解得3≥n 或1≤n --------------------------------------13分由此可见存在+∈N k 使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，其最小值为3. 14分探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题2.[解答] (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k－1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e xk ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1.3.（Ⅰ）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，由b ax x f +=2)('又由26)('-=x x f 得3=a ,2-=b ,∴xx x f 23)(2-=，所以nn S n 232-=，当2≥n 时=-=-1n n n S S a56)]1(2)1(3[)23(22-=-----n n n n n ，当1=n 时，51611213211-⨯==⨯-⨯==S a 也符合，∴)(56*N n n a n ∈-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得)161561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ， ∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni i n ， ∴要使)(20)1611(21*N n m n ∈<+-恒成立，只要20)]1611(21[max mn <+-，又∵21)1611(21<+-n ，∴只要2021m ≤，即10≥m ，∴m 的最小整数为10． 4.（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+．（Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=．故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg32n n n x x -+=-．从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=- 5.解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴β= (2) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(22221111n n n n n nn n n a a a a a a a a ββαα+++⎛+ ⎛⎫--=== ⎪--⎝⎭∴ 12n n b b += 又111l na b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为公比为2的等比数列;∴)()12242112n n n S -==--7.解：（1）设切线L n 的斜率为k n ，由切线过点)0,1(-得切线方程为y=k n (x+1)则方程组⎩⎨⎧≥=+=)0()1(2y nx y x k y n 有解⎩⎨⎧==n ny y x x ， ……1分由方程组用代入法消去y 化简得 0)2(2222=+-+n n n k x n k x k （*）有4044)2(2222222nk n nk k k n k n n n n n =∴=+-=⋅--=∆ ………2分代入方程(*),得01204)42(422=+-=+-⋅+x x nx n n x n 即 n nx y x x n n n ====∴,11即有即n P P P ,,,21 在同一直线x=1上 …………………4分(2) 解：由（1）可知 iy i f n y in 11)( 2==∴=………5分设函数 F(x)=0)0(),,1(),1ln(=+∞-∈+-F x x x 有分时有有最小值即恒成立时有即当时有当恒成立时有即当时有当上为增函数在上是减函数在时当时当.8.......... .)0()(0),0()( )1ln(010)0()(01 . )1ln(100)0()(10),0()0,1()(0)('0;0)(',011111111)('F x F x F x F x x x F x F x x x x F x F x ，x F x ，F x x F x x x x x x x F >≠+><<-=><<-+><<=><<∴+∞-∴>><<<-∴+=+-+=+-=∴分即有取.....11).1ln(]ln )1[ln()2ln 3(ln 2ln 121111)(ln )1ln(1)(,,2ln 3ln )211ln(21)2(,2ln 11)1(ln )1ln()11ln(1)(),,,3,2,1(1)11+=-+++-+>+++==∴-+>=-=+>=>=-+=+>===∑∑==n n n n i i f nn nn f f f i i ii i f n i i x i ni n i1)1ln(1ln )]1ln([ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln 1121111)( )1ln(ln 1)(,,2ln 3ln 31)3(,1ln 2ln 21)2(,111)1()1ln(ln 1ln )1ln()11ln(1),,,3,2(1)11++<+=--++-+-+≤+++==∴--<=-<=-<===--<∴--=->-=-=∑∑==n n n n n ii f n n nn f f f f i i i i i i i n i i x ii ni n i 即有有再取综合上述有∑=++<<+nin yn 121)1ln(1)1ln( …………………14分。

(完整版)高三总复习数列知识点及题型归纳总结

一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ；数列的一般形式：a 1, a 2, a 3,……,a n ,……，简记作a n 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。

(2) 通项公式的定义：如果数列叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _ ， ? ? ?2 3 4 5a n = n ( n 7, n N ),1 a n =(n N)。

n说明:1 n 2k 1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a n = ( 1)n =(k Z);1,n 2k③ 不是每个数列都有通项公式。

例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：456 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ,其图象是一群孤立点。

例：画出数列a n 2n 1的图像•(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a,…例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n 2n 2 3，求数列｛a n ｝的通项公式高三总复习数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就②:数列①的通项公式是数列②的通项公式是①a n 表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = n 表示数列的通项公式;(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a nS 1(n 1)S n A n > 2)练习：1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7……;22 132 1 42 1 52 1(2)234 5 (3)1 1 1 1---1*2*3*44*5(4) 9, 99, 999, 9999 …(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 2 •数列a n 中，已知a n(1)与出a i, , a 2, a 3, a n 1, a n 2 ；2（2） 79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____ ）内。

数列综合题-2023届高三数学一轮复习

数列综合题一．选择题（共5小题）1已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），在等差数列{b n}中，b2=5，且公差d=2．使得a1b1+a2b2+…+a n b n＞60n成立的最小正整数n为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=，则关于x的方程2n f（x）﹣1=0（n∈N*）的所有解的和为（）A．3n2+3n B．3×2n+2+9 C．3n+2+6 D．9×2n+1﹣33已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n+，则S2015的值是（）A． B．C．2015 D．4．在△ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：①b2≥ac；②；③；④．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=（）A．0 B． C．D．二．填空题（共5小题）6．设{a n}是一个公差为d（d＞0）的等差数列．若，且其前6项的和S6=21，则a n= ．7．已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0=0，|a1|=|a0+1|，|a2|=|a1+1|，…，|a2014|=|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为．8．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=1+，若对任意的自然数n≥4，恒有＜a n＜2，则a 的取值范围为．9．定义数列{x n}：x1=1，x n+1=3x n3+2x n2+x n；数列{y n}：y n=；数列{z n}：z n=；若{y n}的前n项的积为P，{z n}的前n项的和为Q，那么P+Q= ．10．如图，n+1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n+1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n= ．三．解答题（共11小题）11．已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．12．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．13．已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．14．数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．15．已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．16．已知{a n}，{b n}，{c n}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+…+a n b n=c n S n，n∈N*，其中S n是数列{a n}的前n项和，{c n}是公差为d（d≠0）的等差数列．（1）若数列{a n}是常数列，d=2，c2=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若a n=λn（λ是不为零的常数），求证：数列{b n}是等差数列；（3）若a1=c1=d=k（k为常数，k∈N*），b n=c n+k（n≥2，n∈N*），求证：对任意的n≥2，n∈N*，数列单调递减．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．18．数列{a n}的前n项和为S n，已知若a1=，S n=n2a n﹣n（n﹣1）（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{a n}的通项；（Ⅲ）设b n=，数列{b n}的前n项的和为T n，证明：T n＜（n∈N*）19．在数列 {a n}中，已知 a1=a2=1，a n+a n+2=λ+2a n+1，n∈N*，λ为常数．（1）证明：a1，a4，a5成等差数列；（2）设 c n=，求数列的前n项和 S n；（3）当λ≠0时，数列 {a n﹣1}中是否存在三项 a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．20．已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{b n}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2成立．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（﹣1）n，求数列{c n}的前n项和T n．21．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a4，a8成公比为a2的等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=．①求数列{b n}的前n项和为T n；②令c2n﹣1=（n∈N+），求使得c2n﹣1＞10成立的所有n的值．。

[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用

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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）

高三二轮复习--数列综合作业用

高台一中2020级二轮复习数列专题作业1.【数列中的方程思想】【2019全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．2.【数列中的最值问题】【2018年全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．3.【分组求和】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（I ）21,3nn n a n b =+=；（II ）()331(2)2n n n -++.【解析】（I ）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（II ）(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++L L2(3521)(333)nn =++++++++L L (321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++.4.【裂项相消求和】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭.1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由()13237n n <+，得9n <.∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.5.【错位相减求和】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前3项和39S =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）(23)23nn T n =-⋅+.【解析】（1）∵()()311129S a a d a d =++++=，∴13a d +=① 又∵125,,a a a 成等比数列，∴()()21114a d a a d +=+，② ∵0d ≠，由①②解得：11a =，2d =， ∴()1121n a a n d n =+-=-. （2）∵()112212n n n n b a n --==-，1231n n n T b b b b b L -=+++++，∴()()01221123252232212n n n T n n L --=⨯+⨯+⨯++-+-()()12312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-L两式相减，得()231222212nnn T n -=++++--L∴()2323nn T n =-⋅+.6.【数列与不等式】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <；（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）时，当时，2≥n是以为首项，为公差的等差数列……………………………(4分)（2），，即2n T <……………………………(8分)（3）由得，当且仅当时，有最大值，……………………………(12分)。

高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法一、数列通项公式的求解类型一：观察法例 1: 写出下列数列的一个通项公式（1）3,5,9,17,33 ，；（2）11,22,33,44, ;2345（3）7,77.777.7777.（4）2, 1,10, 17,26, ;3 7 9 11（5）3,9,25,65, ;2 4 8 16类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式n 1 n m(2)a n a1q n1 a m q n m例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解S1,(n 1)(1)(1) a nn S n S n 1(n 2)例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式(2)S n S n 1的推广例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公3式类型四：累加法形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数)(1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式(2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式(3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式(4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式n 22nn类型五：累乘法形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1例 13：a n n 1a n 1,a11,(n 2) ，求a n的通项公式n类型六：构造数列法(1)形如a n 1 pa n q(其中p,q均为常数且p 0 )型的递推式①若p 1时，数列 { a n} 为等差数列 ;②若q 0时，数列{ a n }为等比数列 ;③若p 1且q 0时，数列 { a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求 .例 14：a1 1,a n 1 3a n 2 ，求a n 的通项公式方法 1：设a n 1p(a n ) ，设a n 1 3(a n ) 方法 2：an 1 3an 2 a n 1 a n 3(a n a n 1)a n 3a n 1 2(2)形如a n 1 pa n f (n) (p 1)型的递推式①当 f ( n)为一次函数类型(即等差数列) 例 15：a1 1,a n 1 3a n 2n ，求a n 的通项公式法 1：设a n An B p a n 1 A(n)1 B ，通过待定系数法确定A、B 的值，转化成以a1 A B 为首项，以p 为公比的等比数列a n An B ，再利用等比数列的通项公式求出a n An B 的通项整理可得a n.法 2：an 1 pan f (n)a n 1a n p(a n a n 1) d ，令b n a n 1a n 得：a n pa n 1 f (n 1)b n pb n 1 d ，可解b n ,继而可解a n②当 f ( n)为指数函数类型(即等比数列) 形如a n 1 pa n q n(p q) 型例 16：a1 1,a n 1 3a n 2n，求a n 的通项公式法 1：设a n f(n) p a n 1 f(n 1) ，通过待定系数法确定的值，转化成以a1 f (1)为首项，以p为公比的等比数列a n f (n) ，再利用等比数列的通项公式求出a n f (n) 的通项整理可得a n.法 2：递推公式为a n 1 pa n q n(其中 p，q 均为常数) 或a n 1 pa n rq n (其中 p，q, r 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q n 1，得：a n n 11 p an n 1，引入辅助数列b n(其中b n an n )，得：b n 1 p b n 1，q q q q q q q可解b n, 继而可解a n法 3：通法 , 在a n 1 pa n f(n) 两边同时除以p n 1可得到ann 11annf (nn1)，令an n b n，则b n 1b n f (n n1)，求出b n之后得a n p n b np p p p p形如a n 1 pa n q n(p q) 型可用法 2、法 3 求解类型七：对数变换法形如a n 1 pa q(p 0,a n 0)型的递推式在原递推式a n 1 pa q两边取对数得lga n 1 qlga n lg p，令b n lg a n 得：b n 1 qb n lg p，化归为a n 1 pa n q型，求出b n 之后得a n10bn.(注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择)。

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法、图象法和 9 解析法．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 8—
常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.

高三数学复习教案：高考数学数列复习教案

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本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【知识图解】【方法点拨】1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.第1课数列的概念【考点导读】1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。

【基础练习】1.已知数列满足，则 = 。

分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2.在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。

3.设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.4.已知数列的前项和，则其通项 .【范例导析】例1.设数列的通项公式是，则(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项? 分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：(1)由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。

高三一轮复习数列的复习

数列的复习【知识整理】：一、等差数列1.等差数列的通项公式：①a n ＝a 1＋____×d②（推广公式）a n ＝a m ＋______×d注意：数列{}n a 是等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，特别地，数列{}n a 是公差不为0的等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，且0≠p .2、等差中项如果b A a ，，成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意：①b 是a 、c 的等差中项的充要条件是a ，b ，c 成等差数列；②若a ，b ，c 成等差数列，那么c b b a b c a b c a b ca b -=--=-+=+=；；；22都是等价的；③若数列{}n a 是等差数列，则()*-+∈≥-=-N n n a a a a n n n n ,211，整理得211+-+=n n n a a a . 3、等差数列的性质{}n a 是等差数列，d 为公差.（1）1123121,+---+=+==+=+=+k n k n n n n a a a a a a a a a a 即（2）若m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则_________________若m, n, p ∈N*，若m ＋n ＝2p ，则__________________ （3）()mn a a d d m n a a mn m n --=⇔-+= （m, n, ∈N*，且m ≠ n ）.（4）序号成等差数列的项又组成一个等差数列，即 ,,,2m k m k k a a a ++仍成等差数列，公差为()*∈Nm k md ,.（5）若{}{}n n b a ，都是等差数列，则数列{}{}{}{}{}2121,,,,,(λλλλλλb k c b a b a b a ka c a n n n n n n n ++++，，，，均为常数)也是等差数列.（6）连续三个或三个以上k 项和依次组成一个等差数列，即)2(,,,232*∈≥--N k k S S S S S k k k k k 且成等差数列，公差为d k 2.（7）①当项数为奇数()12+n 项时，其中有()1+n 个奇数项，n 个偶数项.1-+=n a S S 偶奇；()112++=+n a n S S 偶奇； ()nn S S na S a n S n n 1,,111+=∴=+=++偶奇偶奇. ②当项数为偶数n 2项时，()11,-,,+++=+===n n n n a a n S S nd S S na S na S 奇偶奇偶偶奇 ∴1+=n na a S S 偶奇. 能力知识清单：1、等差数列{}n a 中，若()0,,=≠==+nm n n a n m n a m a 则. 2、等差数列{}n a 中，若()()n m S n m n S m S n m m n +-=≠==+则,, 3、等差数列{}n a 中，若()0,=≠=+nm m n S n m S S 则； 4、若{}n a 与{}n b ，为等差数列，且前1-21-2m m m m n n T S b a T S n =，则与项和为二、等比数列1. 等比数列的通项公式：①a n ＝a 1q n －1 ② a n ＝a m q n －m2、若﹛a n ﹜为等比数列，m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则___________ 3. 等比数列的前n 项和公式： S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q qS n ＝ _________________()1≠q4、等比数列{a n }的前n 项和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列，且公比为________ 7.等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b²=_____________________三、判断和证明数列是等差（等比）数列常有四种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

高三数列综合知识点归纳

高三数列综合知识点归纳数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

在高三数学中，数列是一个非常重要的知识点，掌握好数列的概念和相关性质对于学习其他数学知识以及解题技巧都有着很大的帮助。

本文将对高三数列中的一些重要知识点进行归纳总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

我们用首项为a₁，公差为d的等差数列表示为：a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+3d，......。

1. 等差数列的通项公式：第n项aₙ = a₁ + (n-1)d；2. 等差数列的前n项和公式：前n项和Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2；3. 等差数列的性质：任意两项之和与中间项的和相等，例如a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ...... = a₍ₙ₊₁₎₋₁ + a₍ₙ₊₁₎；4. 等差数列的性质：如果等差数列的首项为a₁，公差为d，那么第n项和第m项的和等于第n+m-1项的两倍，即aₙ + aₙ =2a₁ + (n+m-1)d。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

我们用首项为a₁，公比为q的等比数列表示为：a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，......。

1. 等比数列的通项公式：第n项aₙ = a₁ * q^(n-1)；2. 等比数列的前n项和公式（当q≠1时）：前n项和Sₙ = a₁* (1-q^n) / (1-q)；3. 等比数列的性质：任意两项之比与中间项的比相等，例如a₁ / aₙ = a₂ / aₙ₋₁ = ...... = a₍ₙ₊₁₎ / a₍ₙ₊₁₎₋₁；4. 等比数列的性质：如果等比数列的首项为a₁，公比为q，那么第n项和第m项的比等于第n+m-1项的幂次，即aₙ / aₙ =q^(n-m+1)。

三、数列的变形根据等差数列和等比数列的性质，我们可以对数列进行一些变形，从而得到其他有用的数列形式。

1. 差数列：对于等差数列，相邻两项之差的数列称为差数列。

高三数列文科复习资料

数列【兴趣导入】【知识梳理】(一)数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .Ⅰ.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2.等比数列相关公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. ⑶等差数列判断：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；Ⅱ.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. ⑶等比数列的判定方法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑷),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑸若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；【典型例题】A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n n a b =（）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

数列综合复习课件-2024届高三数学一轮复习

）,38的特
2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=___9__
3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为
（C ）
A.20
B.22
C.24
D.28
4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= （ B ）
例 1.等差数列{an}满足 a3＝8，a7=16，记{an}的前 n 项和为 Sn. (2)令 bn＝Sn＋1 2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(2)因为 Sn＝n(a1＋ 2 an)＝n(2n2定＋6通)＝项n2＋3n，
巧裂项
所以 bn＝Sn＋1 2＝n2＋31n＋2＝(n＋1)1(n＋2)＝n＋1 1－n＋1 2. 消项求和
数列综合复习
年份试卷题号
2023 全国1
7、 20
2022 新高考1 17
2021 全国乙 19
考点
等差的通项公式及前n项和
已知Sn求an，裂项相消求和
应用错位相减法求和
分值难度 5、12 中
10 中 12 中
2020 新高考1 18
等差、等比数列的前n项和
12 中
2019 新高考1 18
分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
9a1
1 2
9 (9

高三数学数列第一轮复习资料

（一）数列的基础知识一、复习要点1、数列的定义：2、数列的前n 项和=n S ；11a S ==-1n S ；=+1n S ；n a = ；=+1n a ；3、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求n a ：二、练习1、已知数列1，4，7，10，……3m+7，求其通项公式n a 及该数列的项数。

2、已知数列{}n a 的前n 项和n S ；求n a（1）n S =3n n -2 （2）232+-=n n S n （3）121-=+n n S3、已知数列2，10，4……)13(2-n ，……，那么8是第项。

4、已知数列{}n a 中，221+=+n n n a a a 且1a =1，求432,,a a a 及n a 5、数列通项9,11=++=n n S nn a ，求n 6、数列{}n a 中，n S =522++n n ，求876a a a ++的值7、数列{}n a 中，1a =1，2321n a a a a n =⋅⋅ ，求53a a +8、写出通项公式（1）3，5，9，17，……n a =（2）n a ,1615,87,43,21= （3）42,30,20,12,6,2---……n a =等差数列1、定义：2、通项公式，则+=m n a a d若q p n m +=+，则，若k n m 2=+，则=k a ，A 是b a ,的等差中项，则A=3、前n 项和n S =（1）0,01<>d a 时{}n a 是数列，n S 有值，满足条件⎩⎨⎧<≥+001n n a a（2）0,01><d a 时{}n a 是数列，n S 有值，满足条件（3）K K K K k S S S S S 232,,--仍是数列4、特殊数列求和：1+2+3+……+n = ；1+3+5+7+……+（)12-n = 练习：1、已知等差数列{}n a 中，255=a ，,10010=S 求3015,S S2、在等差数列{}n a 中，若8124=+a a ，求15S 及8a3、等差数列{}n a 中，12010=S ，求92a a +4、等差数列{}n a 中，公差2-=d ，5097741=++++a a a a ，求=++++99963a a a a5、等差数列{}n a 和{}n b 中前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S n n ，求99b a 6、等差数列{}n a 中，82=a ，01210=+a a ，求n S d a 及,1，并求n S 的最大值。

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n qa a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qq a a qq a S n nn --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n qa a mn m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n nS n T n =+,则n na b =（）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。