第4课时 二次函数(一)

第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
考点二：二次函数的图像和性质 1．二次函数的图像的基本性质
项目
a＞0
a＜0
图象
开口 对称轴 顶点坐标
向上 x＝h (h，k)是最低点
向下 x＝h (h，k)是最高点
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
最值
增 在对称轴左侧 减 性 在对称轴右侧
当x＝h时，有
特殊关系
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个不同交点
与x轴没有交点 y＝a＋b＋c
当x＝1时，__________________
y＝a－b＋c
当x＝－1时，__________________
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所 示，它与x轴的 两个交点分别为(－1，0)，(3，0) ．对于下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a －2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有 (B ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
字母 a
a>0 a<0
b b＝0 ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)
字母的符号
图象的特征
开口向上 开口向下
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
c c＝0 c>0 c<0 b2－4ac b2－4ac＝0 b2－4ac>0 b2－4ac<0
最小值y＝k
y随x的增大而 ___减__小_____
y随x的增大而 ___增__大_____
当x＝h时，有
最大值y＝k
y 随x的增大而 ____增__大____
y随x的增大而 ____减__小____
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
3．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，且对称 轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个 结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞ 0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2.其中正确的个 数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
解：(1)∵抛物线与x轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，可设抛 物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把C(0，－3)代入得：3a＝－3， 解得：a＝－1，故抛物线解析式 为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3， ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标(2，1)；
第三章
函数
第4课时 一元一次不等式（组）
第4课时 二次函数（一）
1 …课…前……小…练..… 2 …考…点……梳…理..… 3 …广…东……真…题..… 4 …中…考……特…训..…
第4课时 一元一次不等式（组） 课前小练
1.抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__(_1_，__2__)__.
2.已知对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交与(1，
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
1. 在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的
是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
2. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且
经过点B(1，0)，求抛物线的函数关系式.
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1， 将B(1，0)代入y＝a(x－2)2＋1得，a＝－ 1，函数解析式为y＝－(x－2)2＋1，展开 得y＝－x2＋4x－3.
下列关系式中错误的是( D ) A．a＜0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
考点一：二次函数的解析式
1. 常用二次函数的解析式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)交点式：y＝a(x－x1) (x－x2)(a≠0)． 2. 顶点式的几种特殊形式.
1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时， 解求：二(1次)∵函二数次的函解数析y＝式x；2－2mx＋
m2－1的图象经过坐标原点O(0，0) ，∴代入得：m2－1＝0，解得：m ＝±1.∴二次函数的解析式为： y＝x2－2x 或y＝x2＋2x.
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，
考点三：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(h＞0，k＞0) 的图像和y＝ax2图像间的平移关系． （平移口诀：上加下减，左加右减）
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移
2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( A )
A．y＝3(x＋2)2＋3
B．y＝3(x－2)2＋3
第4课时 一元一次不等式（组） 中考特训
4.将抛物线y＝x2－4x－4向左平移三个单位，再
向上平移五个单位，得到抛物线为( D )
A．y＝(x＋1)2－13
B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13
D．y＝(x＋1)2－3
5.在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x
＋1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
3．解：由x＝－ ＝－1，得2a＋b＝0，从 而可判断①正确；当x＝－2时，图象在x 轴下方可判断②正确；由图象可得a＜0，c ＞0，从而可判断③是错误的；根据二次函 数对称性可得：当y＜0时，x＜－1或x＞3 ，从而可判断④是错误的．故选B.
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称 轴为直线x＝－1，给出下列结论：①b2＝4ac ；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其 中正确的个数有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物 线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛 物线的解析式. (2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单 位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平 移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x 上．(答案不唯一)
第4课时 一元一次不等式（组） 广东真题
C．y＝3(x＋2)2－3
D．y＝3(x－2)2－3
解决抛物线平移的问题，抓住不变量：平移不 改变抛物线的形状和大小，所以抛物线平移a的 值不变．此类问题通常要把解析式配方转为顶 点式，遵循“括号内左加右减，括号外上加下 减”的平移原则，确定平移后的解析式.
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第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
误；②图象的对称轴为直线x＝3，故②错误； ③其图象顶点坐标为(3，1)，故③错误；④当x
＜3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，
说法正确的有④共1个．故选A.
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
二次函数的图象和性质、图象与系数的关系 及函数的增减性：①二次项系数a决定抛物 线的开口方向，②一次项系数b和二次项系 数a的正、负共同决定对称轴的位置：(左同 右异)，③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于(0，c)，④二次函数的增 减性则由系数a的符号决定。这些都是基本 性质，也是解题的关键．
第4课时 一元一次不等式（组） 课前小练
4.将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这 个平移过程正确的是( A ) A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
5. 若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝ (A ) A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则
6.将抛物线y＝ (x－1)2＋3向左平移1个单位，再向 下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D ) A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2 ＋6 D．y＝x2
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0) ，B(3，0)，且过点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(1)y＝ax2， (3)y＝a(x－h)2，
(2)y＝ax2＋k， (4)y＝a(x－h)2＋k.
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(2)求抛物线的顶点坐标. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
用待定系数法求二次函数的解析式，关 键是根据题意选择合适的二次函数解析 式的形式．
顶点为D，求C、D两点的坐标；
(2) ∵m＝2，∴二次函数为：y＝x2－4x＋3＝ (x－2)2－1.∴抛物线的顶点为：D(2，－1)． 当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：(0，3)．
第4课时 一元一次不等式（组） 中考特训
3．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，下 列说法中错误的是( B ) A．函数图象与y轴的交点坐 标是(0，－3) B．顶点坐标是(1，－3) C．函数图象与x轴的交点 坐标是(3，0)、(－1，0) D．当x＜0时，y随x的增大而减小
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
例2.(1)解：根据图象可得：a＞0，c＜0， 对称轴：x＝ －＞0， ①∵它与x轴的两个交点分别为(－1，0)， (3，0)， ∴对称轴是x＝1，∴－ ＝1，∴b＋2a＝0， 故①错误； ②∵a＞0，∴b＜0，c＜0，∴abc>0，故②错误； ③∵b＋2a＝0，又a－b＋c＝0，∴a＋2a ＋c＝0 ，∴c＝－3a.∵a＞0，∴a－2b＋4c＝a＋4a － 12a ＝－7a＜0，即a－2b＋4c＜0故③正确； ④∴8a＋c＝ 8a－3a＝5a＞0，∴8a＋c＞0；故④ 正确； 故正确为：③④.故选：B.
0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___x_＝__2____.
3.已知二次函数y1＝ax2＋bx＋ c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0) 的图象相交于点A(－2，4)，B(8， 2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的 x的取值范围是___x_＜___－__2_，__x__＞__8____.
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)， 与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之 间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2－4ac<0；②a＋b＋c<0； ③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相 等的实数根，其中正确结论的个数为 ( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.(2014·广东) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误 的是( D ) A．函数有最小值 BC．．对当称x＜轴12是，直y随线xx的＝12增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0
第4课时 一元一次不等式（组） 广东真题
2.(2013·广东) 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
4．C.由抛物线与x轴有两个交点得到b2－4ac＞ 0，故①错误；由抛物线顶点坐标得到抛物线的 对称轴为直线x＝－1，则根据抛物线的对称性得 抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0) 之间，所以当x＝1时，y＜0，则a＋b＋c＜0， 故②正确；由抛物线的顶点为D(－1，2)得a－b ＋c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－1 得b＝2a，所以c－a＝2，故③正确；根据二次 函数的最大值问题，当x＝－1时，二次函数有最 大值为2，即只有x＝1时，ax2＋bx＋c＝2，所 以说方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数 根，故④正确．
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(2)已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x＝－3；
③其图象顶点坐标为(3，－1)；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正
确的有( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故①错