第4课时 二次函数(一)
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
华东师大版九年级数学下册同步教案 第26章二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．2．会利用对称性画出二次函数的图象．重点通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．一、创设情境,引入新课我们已经发现,二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象,可以由函数y＝2x2的图象先向________平移________个单位,再向________平移________个单位得到,因此,可以直接得出：函数y＝2(x－3)2＋1的开口________,对称轴是____________,顶点坐标是________．那么,对于任意一个二次函数,如y＝－x2＋3x －2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗？二、探究问题,形成概念例1 通过配方,确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图．解y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x2－2x＋1－1)＋6＝－[2(x－1)2－2]＋6＝－2(x－1)2＋8因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x＝1,顶点坐标为(1,8)．由对称性列表：x …－2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－2x 2 ＋4x ＋6… －10 0 6 8 6 0 －10 …描点、连线,如图所示． 回顾与反思：(1)列表选值时,应以对称轴直线x ＝1为中心,函数值可由对称性得到．(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点．探索：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴____________,顶点坐标____________．例2 已知抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上,求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0；(2)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0.解 y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9＝(x －a ＋22)2＋9－（a ＋2）24,则抛物线的顶点坐标是[a ＋22,9－（a ＋2）24],当顶点在y 轴上时,有a ＋22＝0,解得a ＝－2；当顶点在x 轴上时,有9－（a ＋2）24＝0,解得a ＝4或a ＝－8.所以,当抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是－2,4,8.三、练习巩固1．函数y ＝x 2－2x ＋3的图象的顶点坐标是( )A ．(1,－4)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,3)2．抛物线y ＝－14x 2＋x －4的对称轴是( ) A ．直线x ＝－2 B ．直线x ＝2C ．直线x ＝－4D ．直线x ＝43．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )A ．ab>0,c>0B ．ab>0,c<0C ．ab<0,c>0D ．ab<0,c<04．把抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( )A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6 C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6四、小结与作业小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－b2a,顶点坐标是(－b2a,4ac－b24a)．作业1．布置作业：教材P18“练习”中第1,2,3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法,教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成,并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．。
第04课二次函数与一元二次方程不等式(课件)
| 综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为 x
a－ a2－4≤x≤a＋ a2－4
2
2
；当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；当
a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2 时，原不等式的解集为∅. 【反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数．
＝－1－t2. 4
③当 t ≤－1，即 2
t≤－2
时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以
f(x)min＝f(－1)＝t.
t，t≤－2，
综上，g(t)＝ －1－t2，－2＜t＜4， 4 3－2t，t≥4.
【反思】闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
解得－2<a<2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
【反思】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分 离参数求最值或分类讨论．
一、【考点逐点突破】
故选 C.
【反思】注意二次项的系数是正还是负.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法
【典例】解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法 【解析】由题意知，Δ＝a2－4，①当 a2－4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a2－4，
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.
到
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
小练习: 抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
y 2(x 1)2
y (x 1)2 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数 式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函 数式是 y=-5x2-4 。
回顾:
(1)怎样的抛物线可以通过平移得到? 二次项系数a值相同的抛物线可以通过平移得到
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
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思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与
y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的
二次函数.
2. 若函数 y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数， 那么 m 的取值范围是什么？
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
思考： 1. 已知二次函数 y＝－10x2＋180x＋400，自变量 x 的取 值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y＝－10x2 ＋180x＋400，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际 情况，使实际问题有意义.
解：（1）由题意知
m2 7 1，Βιβλιοθήκη m30，解得
m=
2
2.
（2）由题意知
m2 7 2，
m
3
0，
解得 m = 3.
注意 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，
从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
变式训练
y1. 已(k 知 2)x k
华东师大版数学九年级下册 26.2.2 第4课时 二次函数y=ax2-bx+c的图象与性质 教案
6.2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与性质教学目标 【知识技能】1.经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的过程.2.能通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次函数的性质. 【数学思考与问题解决】通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程，让学生从中学会探索新知识的方式、方法. 【情感态度】经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合的数学思想方法. 【重点难点】重点：通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k(a ≠0)的形式，求对称轴和顶点坐标.难点：二次函数性质的综合应用. 教学过程 一、复习回顾1.写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴. (1)y=2x 2；(2)y=3(x-1)2；(3)y=-x 2+1；(4)y=3(x-2)2+3.2.填空：(1)x 2+6x+______=(x+______)2； (2)x 2-25x+______=(x-______)2； (3)x 2+6x-9=(x+______)2+______； (4)x 2-5x+8=(x-25)2+______. 二、情境引入不画出图象，你能直接说出函数y=-21x 2+x-25的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?三、问题探究问题1 (1)将函数y=x 2-12x+42写成y=a(x-h)2+k 的形式，并确定这个抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.说明：①复习回顾第2题学生不难完成，对有困难的学生要给予引导. ②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫做配方法.并指出与用配方法解一元二次方程的异同点.(2)根据解题方法，解决情境引入中的问题.问题2 你能根据上面的方法写出抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗?说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识.最后教师给出解答.y=ax 2+bx+c=a(x 2+a b x)+c=a(x 2+a b x+(a b 2)2-(a b 2)2+c=a(a b 2)2+ab ac 442-.所以顶点坐标为(-a b 2，a b ac 442-)，对称轴为直线x=-a b2；若a>0，则抛物线的开口向上，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x=-a b 2时，函数值y 取最小值a b ac 442-；若a<0，则抛物线的开口向下，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x=-a b 2时，函数值y 取最大值abac 442-.这就是二次函数y= ax 2+bx-c 的图象特征与性质.问题3 请你画出二次函数y=-2x 2+4x+6的图象. (学生讨论合作完成)解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2-2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-2［(x-1)2-1］+6=-2(x-1)2+8.因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 由对称性列表：描点、连线，如图所示.说明：(1)列表选值时，应以对称轴直线x=1为中心，间距要适当，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.思考：画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，应注意什么?四、巩固练习1.基础练习.(1)抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是直线x=______.(2)二次函数y=2x2-2x-1的图象的顶点是______，当x______时，y随x的增大而减小.(3)教材第18页练习第1、2题(1)(3).(4)教材第18页练习第3题(2)(4).2.拓展练习.(1)开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点(-1，3)，则m=______.(2)已知抛物线y=x2-(a+2)x-9的顶点在坐标轴上，求a的值.五、本课小结本节课你有哪些收获?(1)教师引导学生从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值及平移规律等总结.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的画法.六、作业必做题1.教材第18页练习第2题(2)(4).2.教材第18页练习第3题(1)(3). 选做题3.当a>0时，求抛物线y=x 2+2ax+1+2a 2的顶点所在的象限.4.已知抛物线y=x 2-4x+h 的顶点在直线y=-4x+1上，求抛物线的顶点坐标. 板书设计二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 说出抛物线y=-21x 2+x-25的开口方向、对称轴和顶点坐标. y=ax 2+bx+c=a(x 2+a bx)+c =a ［x 2+a b x+(a b 2)2-(ab 2)2］+c=a ［(x+a b 2)2-224a b］+c=a(x+a b 2)2+a b ac 442二次函数y=ax 2+bx+c 的图象特征： 1.开口方向： 2.对称轴： 3.顶点坐标： 4.升降：二次函数y=ax 2+bx+c 的性质：。
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4课时二次函数与幂函数教案(1)
二次函数与幂函数1.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x ）＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n（a≠0）。
③零点式:f（x)＝a（x－x1）（x－x2)(a≠0）。
（2）二次函数的图像和性质解析式f（x)＝ax2＋bx＋c（a>0)f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0)图像定义域（－∞，＋∞)（－∞,＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增;在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x＝－错误!对称2.幂函数（1）定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图像比较（3)幂函数的性质①幂函数在（0,＋∞）上都有定义;②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点（1，1）和（0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α〈0时，幂函数的图像都过点（1,1）,且在（0，＋∞)上单调递减。
【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!。
（×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈R，不可能是偶函数.( ×）(3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.（√)(4)函数y＝2x 12是幂函数。
( ×)（5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
( √)（6）当n〈0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数。
（×）1.已知a，b，c∈R，函数f（x)＝ax2＋bx＋c。
若f（0)＝f（4)〉f(1），则（）A.a>0,4a＋b＝0B.a〈0，4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D。
a〈0，2a＋b＝0答案A解析因为f（0）＝f(4)〉f（1)，所以函数图像应开口向上，即a>0,且其对称轴为x＝2，即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A.2.已知函数f(x）＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是（）A.错误!B.错误!C。
北师大版数学九年级下册 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质教案与反思
第4课时二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象与性质满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k 这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a>0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向对称轴、顶点坐标分别为（）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x =向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)+k中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
第4课时_二次函数y=a(x-h)2的图象与性质_导学案
5.6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质（1）学习目标：1．会画二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；学习重点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质学习难点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质教学过程：一．自主探究探究点一：二次函数y=ax2+k的图象与性质自主探究：在同一直角坐标系画出二次函数y＝－12x2,y＝－12x2＋1，y=-12x2－1的图象，并通过观察图象探究以下问题：（1）它们的开口方向与开口大小相同吗？（2）它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？（3）它们之间能通过平移得到吗？有什么平移规律吗？（1）列表：x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝－12x2……y＝－12x2+1y＝—12x2-1 ……根据它们的图象，填写下表：小结：（1）抛物线y=ax 2+k 与y=ax2有什么位置关系？与同学交流。
（22探究点二：二次函数y ＝a （x-h ）2的图象性质自主探究：请你在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2， y ＝ (x ＋1)2 ，y ＝ (x －1)2，通过图象探究以下问题：（1） 三个函数图象的开口方向与大小相同吗？（2） 三个函数图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？ （3） 函数y ＝ (x ＋1)2 与y ＝ (x －1)2的图象能否通过y ＝x 2的图象平移得到？如果能，该怎样平移？你能总结出从函数y ＝x 2的图象到函数y ＝ (x-h)2的图象的平移规律吗？描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y＝x2y＝ (x＋1)2y＝ (x－1)2适时小结：二次函数y=a（x-h）2有哪些性质？二、整理知识点1.函数图象开口方向顶点对称轴最值增减性y=ax2+ka﹥0a﹤0 y=a(x-h)2a﹥0a﹤02．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是________不同．三、巩固训练1．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．2．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．3．将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．4．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．昌乐外国语学校九年级数学导学案设计人：张玉进审核人：杜荣国审批人：四、达标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
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第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
3．解：由x＝－ ＝－1，得2a＋b＝0，从 而可判断①正确；当x＝－2时，图象在x 轴下方可判断②正确；由图象可得a＜0，c ＞0，从而可判断③是错误的；根据二次函 数对称性可得：当y＜0时，x＜－1或x＞3 ，从而可判断④是错误的．故选B.
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
6.将抛物线y＝ (x－1)2＋3向左平移1个单位，再向 下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D ) A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2 ＋6 D．y＝x2
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0) ，B(3，0)，且过点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时， 解求：二(1次)∵函二数次的函解数析y＝式x；2－2mx＋
m2－1的图象经过坐标原点O(0，0) ，∴代入得：m2－1＝0，解得：m ＝±1.∴二次函数的解析式为： y＝x2－2x 或y＝x2＋2x.
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，
(1)y＝ax2， (3)y＝a(x－h)2，
(2)y＝ax2＋k， (4)y＝a(x－h)2＋k.
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(2)求抛物线的顶点坐标. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
用待定系数法求二次函数的解析式，关 键是根据题意选择合适的二次函数解析 式的形式．
第4课时 一元一次不等式（组） 中考特训
4.将抛物线y＝x2－4x－4向左平移三个单位，再
向上平移五个单位，得到抛物线为( D )
A．y＝(x＋1)2－13
B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13
D．y＝(x＋1)2－3
5.在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x
＋1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
1. 在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的
是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
2. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且
经过点B(1，0)，求抛物线的函数关系式.
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1， 将B(1，0)代入y＝a(x－2)2＋1得，a＝－ 1，函数解析式为y＝－(x－2)2＋1，展开 得y＝－x2＋4x－3.
0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___x_＝__2____.
3.已知二次函数y1＝ax2＋bx＋ c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0) 的图象相交于点A(－2，4)，B(8， 2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的 x的取值范围是___x_＜___－__2_，__x__＞__8____.
解：(1)∵抛物线与x轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，可设抛 物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把C(0，－3)代入得：3a＝－3， 解得：a＝－1，故抛物线解析式 为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3， ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标(2，1)；
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
3．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，且对称 轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个 结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞ 0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2.其中正确的个 数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)， 与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之 间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2－4ac<0；②a＋b＋c<0； ③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相 等的实数根，其中正确结论的个数为 ( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
4．C.由抛物线与x轴有两个交点得到b2－4ac＞ 0，故①错误；由抛物线顶点坐标得到抛物线的 对称轴为直线x＝－1，则根据抛物线的对称性得 抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0) 之间，所以当x＝1时，y＜0，则a＋b＋c＜0， 故②正确；由抛物线的顶点为D(－1，2)得a－b ＋c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－1 得b＝2a，所以c－a＝2，故③正确；根据二次 函数的最大值问题，当x＝－1时，二次函数有最 大值为2，即只有x＝1时，ax2＋bx＋c＝2，所 以说方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数 根，故④正确．
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
例2.(1)解：根据图象可得：a＞0，c＜0， 对称轴：x＝ －＞0， ①∵它与x轴的两个交点分别为(－1，0)， (3，0)， ∴对称轴是x＝1，∴－ ＝1，∴b＋2a＝0， 故①错误； ②∵a＞0，∴b＜0，c＜0，∴abc>0，故②错误； ③∵b＋2a＝0，又a－b＋c＝0，∴a＋2a ＋c＝0 ，∴c＝－3a.∵a＞0，∴a－2b＋4c＝a＋4a － 12a ＝－7a＜0，即a－2b＋4c＜0故③正确； ④∴8a＋c＝ 8a－3a＝5a＞0，∴8a＋c＞0；故④ 正确； 故正确为：③④.故选：B.
第4课时 一元一次不等式（组） 课前小练
4.将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这 个平移过程正确的是( A ) A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
5. 若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝ (A ) A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
考点二：二次函数的图像和性质 1．二次函数的图像的基本性质
项目
a＞0
a＜0
图象
开口 对称轴 顶点坐标
向上 x＝h (h，k)是最低点
向下 x＝h (h，k)是最高点
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
最值
增 在对称轴左侧 减 性 在对称轴右侧
当x＝h时，有
特殊关系
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个不同交点
与x轴没有交点 y＝a＋b＋c
当x＝1时，__________________
y＝a－b＋c
当x＝－1时，__________________
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所 示，它与x轴的 两个交点分别为(－1，0)，(3，0) ．对于下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a －2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有 (B ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
下列关系式中错误的是( D ) A．a＜0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
考点一：二次函数的解析式
1. 常用二次函数的解析式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)交点式：y＝a(x－x1) (x－x2)(a≠0)． 2. 顶点式的几种特殊形式.
顶点为D，求C、D两点的坐标；
(2) ∵m＝2，∴二次函数为：y＝x2－4x＋3＝ (x－2)2－1.∴抛物线的顶点为：D(2，－1)． 当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：(0，3)．
第4课时 一元一次不等式（组） 中考特训
3．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，下 列说法中错误的是( B ) A．函数图象与y轴的交点坐 标是(0，－3) B．顶点坐标是(1，－3) C．函数图象与x轴的交点 坐标是(3，0)、(－1，0) D．当x＜0时，y随x的增大而减小
1.(2014·广东) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误 的是( D ) A．函数有最小值 BC．．对当称x＜轴12是，直y随线xx的＝12增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0
第4课时 一元一次不等式（组） 广东真题
2.(2013·广东) 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－
考点三：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(h＞0，k＞0) 的图像和y＝ax2图像间的平移关系． （平移口诀：上加下减，左加右减）
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移
2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( A )
A．y＝3(x＋2)2＋3
B．y＝3(x－2)2＋3
字母 a
a>0 a<0
b b＝0 ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)
字母的符号
图象的特征
开口向上 开口向下
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
第4课时 一元一次不等式（组） 考点梳理
c c＝0 c>0 c<0 b2－4ac b2－4ac＝0 b2－4ac>0 b2－4ac<0
第三章
函数
第4课时 一元一次不等式（组）
第4课时 二次函数（一）
1 …课…前……小…练..… 2 …考…点……梳…理..… 3 …广…东……真…题..… 4 …中…考……特…训..…
第4课时 一元一次不等式（组） 课前小练
1.抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__(_1_，__2__)__.
2.已知对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交与(1，