锐角的三角函数值(1)

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锐角三角函数(1)

锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；（3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。

每一个角度的三角函数值表

（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。

初中三角函数公式表,30°,45°,60°角的三角函数值

初中三角函数公式表，30°,45°,60°角的三角函数值初中三角函数入门知识三角函数在初中数学中占有非常重要的地位。

你必须精通并准备掌握初中常用的三角函数的公式，才能更好的解决数学问题。

接下来给大家分享一下初中常用的三角函数公式，希望同学们能牢记在心。

三角函数基本公式三角函数半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√做粗数((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)三角函数三倍角公式sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A) cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A) tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化凳拆积sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数关系公式三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系纯首公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2初中的三角函数的口诀三角函数是初中数学的重要组成部分。

锐角三角函数的增减性锐角三角函数的关系式锐角三角函数特殊公式

一、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时：1.正弦值随着角度的增大而增大；2.余弦值随着角度的增大而减小；3.正切值随着角度的增大而增大。

4.锐角三角函数值都是正值.5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

二、锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。

所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。

初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。

正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

三、锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2] cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2] sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）] sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。

1.2_30度_45度_60度角的三角函数值(1)课件

咋办
驶向胜利的彼岸
?
将实际问题数学化
B
C A
D
1 0 0 ∠AOD 60 30 , OD=2.5m, 2.5 2 在Rt△O C D 中， C D B O C 0 cos 30 , A OD 3 0 O C O Dcos 30 2.5 2.165(m). 2
a 2 b 2 a 2 b2 a 2 b2 ( ) ( ) 2 2 2 c2 c c c c
c
b
a B
C
问题: 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝a,∠A＝ 30°,求BC.
2x
B x C
分析:
A
30°
a
┌
1.由∠C＝90°,∠A＝30°,我们想到了什么?
2.假设BC＝x,那么AB等于多少? 3.接下来如何求出BC?
0
60
0
特殊角的三角函数值的计算
1. sin 60 2 sin 30 cos 30
3 1 3 解：原式 2 2 2 2
例：计算下列各值：
3 3 2 2
0
例：计算下列各值：
2. sin 60 cos 60
2 2
3 2 1 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
(互余角的三角函数关系）
小结

拓展
回味无穷
直角三角形中的边、角关系
驶向胜利的彼岸
看图说话:
B
c a A b ┌ C
300
450
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系

锐角三角函数

关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下：注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：

1.1锐角三角函数(1)

2 3
A
.
C 3 D 2 B
谈谈今天的收获
B
∠A的对边 ∠A的对边 sinA 斜边
斜边 ∠A的对边 ∠A的
cosA
∠A的邻边 ∠A的邻边斜边
A
∠A的 ∠A的邻边
C
tanA
∠A的 ∠A的对边 ∠A的 ∠A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题: 定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:
(铜岭山山顶) B H 西坡 30° °
当锐角为30°时，上升高度当锐角为30° 30
1 与所走路程的比值是． 2
C
A
D B(铜岭山山顶)
E
东坡
当锐角为45° 当锐角为45°时，上升高度 45 与所走路程的比值是
2 2
．
C
F
D
B (铜岭山山顶)
当锐角为50° 当锐角为50°时，这个比值 50
G C
B 3 C
BC 3 AC 4 sinA = = , sinB = = , AB 5 AB 5 AC 4 BC 3 cosA = = , cosB = = , AB 5 AB 5 BC 3 tanA = = . tanB = AC = 4 . AC 4 BC 3
A+∠B=90° 当∠A+∠B=90°时,
如果∠ 如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有 Rt△ABC的一个锐角（如图），则有的一个锐角），
∠ A 的对边 sinA= 斜边
∠A的邻边 cosA= 斜边
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
你能求出sinA与你能求出sinA与cosA sinA 0<sinA<1， 0<sinA<1，0<cosA<1. 的取值范围吗？的取值范围吗？

1锐角三角函数

前提是在直角三角形中找边比：
五种表示方式：
sinA、sin56°、sinα（sinβ， sinθ）；sin∠1、sin∠DEF，角的表示为数或三个大写字母时不能省略角的符号“∠”；
小资料三角函数符号最早的使用
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”， 1“9c4s9c年”至。便今直，到由1于74受8年前，苏经联过教数材学的家影欧响拉的，引我用国后数，学才书逐籍渐中通“用c起o t来”。改为 “ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。
铅
直
高ห้องสมุดไป่ตู้
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
有什么关系?
相等
C
(3)如果继续改变 B2C2的位置呢?
想一想
B3
当固定不变时
B
(1)Rt△AB3C3和Rt△ABC 有什么关系? 相似
(2) BC 和 B3C3 , AC 和 AC3 ,
AB
AB3 AB AB3

BC 和
AC
BA3CC33有什么关系?

初中三角函数值表

文案大全初中三角函数值表特殊角三角函数值sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071=22sin60=23=0.866 sin90=1 cos0=1 cos30=23=0.866 cos45=22=0.70 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=33=0.577 tan45=1 tan60=3=1.732 tan90=无 cot0=无cot30=3=1.732 cot45=1 cot60=33=0.577cot90=0 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i ）锐角三角函数值都是正值（ii ）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,文案大全sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0文案大全sin1=0.01745 sin2=0.034899 sin3=0.052335 sin4=0.069756sin5=0.087155文案大全sin6=0.104528 sin7=0.121869sin8=0.139173sin9=0.156434sin10=0.17364sin11=0.19080sin12=0.20791 sin13=0.22495sin14=0.24192sin15=0.25881 sin16=0.27563sin17=0.29237sin18=0.30901sin19=0.32556sin20=0.34202sin21=0.35836 sin22=0.37460 文案大全sin23=0.39073sin24=0.40673 sin25=0.42261sin26=0.43837 sin27=0.45399sin28=0.46947 sin29=0.48480sin30=0.49999sin31=0.51503sin32=0.52991sin33=0.54463 sin34=0.55919sin35=0.57357sin36=0.58778 sin37=0.60181sin38=0.61566sin39=0.62932sin40=0.64278sin41=0.65605文案大全sin42=0.66913 sin43=0.68199sin44=0.69465sin45=0.70710 sin46=0.71933 sin47=0.73135 sin48=0.74314 sin49=0.75470sin50=0.76604sin51=0.77714 sin52=0.78801sin53=0.79863sin54=0.80901sin55=0.81915sin56=0.82903sin57=0.83867sin58=0.84804sin59=0.85716sin60=0.86602文案大全sin61=0.87461sin62=0.88294sin63=0.89100 sin64=0.89879sin65=0.90630sin66=0.91354 sin67=0.92050sin68=0.92718sin69=0.93358sin70=0.93969sin71=0.94551sin72=0.95105 sin73=0.95630sin74=0.96126sin75=0.96592 sin76=0.97029sin77=0.97437sin78=0.97814 sin79=0.98162 文案大全sin80=0.98480sin81=0.98768 sin82=0.99026sin83=0.99254sin84=0.99452 sin85=0.99619sin86=0.99756sin87=0.99862 sin88=0.99939sin89=0.99984sin90=1cos1=0.99984cos2=0.99939cos3=0.99862 cos4=0.99756cos5=0.99619cos6=0.99452cos7=0.99254文案大全cos8=0.99026cos9=0.98768 cos10=0.9848cos11=0.9816cos12=0.97814 cos13=0.9743cos14=0.9702cos15=0.9659 cos16=0.9612cos17=0.9563cos18=0.9510 cos19=0.9455cos20=0.9396cos21=0.9335 cos22=0.9271cos23=0.9205cos24=0.9135cos25=0.9063文案大全cos26=0.8987cos27=0.8910 cos28=0.8829cos29=0.8746cos30=0.8660cos31=0.8571cos32=0.8480cos33=0.8386 cos34=0.8290cos35=0.8191cos36=0.8090 cos37=0.7986cos38=0.7880cos39=0.7771 cos40=0.7660cos41=0.7547cos42=0.7431cos43=0.7313文案大全cos44=0.7193cos45=0.7071cos46=0.6946cos47=0.6819cos48=0.6691cos49=0.6560cos50=0.6427cos51=0.6293 cos52=0.6156 cos53=0.6018 cos54=0.5877 cos55=0.5735cos56=0.5592 cos57=0.5446 cos58=0.5299cos59=0.5150cos60=0.5000 cos61=0.4848cos62=0.4694cos63=0.4539文案大全cos64=0.4383cos65=0.4226cos66=0.4067cos67=0.3907cos68=0.3746cos69=0.3583cos70=0.3420cos71=0.3255cos72=0.3090 cos73=0.2923cos74=0.2756cos75=0.2588cos76=0.2419cos77=0.2249cos78=0.2079文案大全cos79=0.1908cos80=0.1736cos81=0.1564 cos82=0.1391cos83=0.1218 cos84=0.1045cos85=0.0871cos86=0.06973cos87=0.052 cos88=0.0348cos89=0.0174cos90=0 tan1=0.017455tan2=0.034920tan3=0.052407 tan4=0.069926tan5=0.087488tan6=0.105104 tan7=0.122784tan8=0.140540文案大全tan9=0.158384 tan10=0.17632tan11=0.19438tan12=0.21255 tan13=0.23086 tan14=0.24932 tan15=0.26794 tan16=0.28674tan17=0.30573 tan18=0.32491 tan19=0.34432 tan20=0.36397tan21=0.38386 tan22=0.40402tan23=0.42447tan24=0.44522 tan25=0.46630tan26=0.48773an27=0.50952 tan28=0.53170tan29=0.55430tan30=0.57735文案大全tan31=0.60086tan32=0.62486 tan33=0.64940 tan34=0.67450 tan35=0.70020tan36=0.72654tan37=0.75355tan38=0.78128tan39=0.80978 tan40=0.83909tan41=0.86928tan42=0.90040 tan43=0.93251tan44=0.96568tan45=0.99999tan46=1.03553tan47=1.07236tan48=1.11061 tan49=1.15036文案大全tan50=1.19175tan51=1.23489 tan52=1.27994tan53=1.32704tan54=1.3763tan55=1.42814 tan56=1.48256tan57=1.53986 tan58=1.60033tan59=1.66427 tan60=1.73205tan61=1.80404tan62=1.88072tan63=1.96261tan64=2.05030tan65=2.14450tan66=2.24603 tan67=2.35585tan68=2.47508文案大全tan69=2.60508 tan70=2.74747tan71=2.90421tan72=3.07768tan73=3.27085tan74=3.48741tan75=3.73205 tan76=4.01078tan77=4.33147tan78=4.70463 tan79=5.14455tan80=5.67128tan81=6.31375tan82=7.11536tan83=8.14434tan84=9.51436tan85=11.4300文案大全tan86=14.3006tan87=19.0811 tan88=28.6362tan89=57.2899tan90=无取值文案大全。

锐角的三角函数值

锐角的三角函数值汇报人：目录•锐角三角函数的基本概念•锐角三角函数的性质•锐角三角函数的实际应用•锐角三角函数的特殊情况•锐角三角函数的图表表示•习题与答案解析01锐角三角函数的基本概念在直角三角形中，正弦函数是锐角的对边与斜边的比值。

定义正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因为当锐角增加时，正弦函数的值也增加，但最大不超过1。

取值范围正弦函数是周期性的，它的周期是2π，即每隔2π弧度，函数的值重复。

周期性取值范围余弦函数的取值范围是[-1, 1]，因为当锐角增加时，余弦函数的值减小，但最小不低于-1。

定义在直角三角形中，余弦函数是锐角的邻边与斜边的比值。

周期性余弦函数也是周期性的，它的周期也是2π，即每隔2π弧度，函数的值重复。

在直角三角形中，正切函数是锐角的对边与邻边的比值。

定义取值范围周期性正切函数的取值范围是负无穷到正无穷，因为正切函数在每一个象限内都是单调递增的。

正切函数不是周期性的，它的图像是一条不断上升的直线。

03020102锐角三角函数的性质周期性正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的周期性对于任何实数x，sin(x + 2kπ) = sin x 和 cos(x + 2kπ) = cos x，其中k是整数。

这意味着正弦和余弦函数在每隔2π的间隔上重复它们的值。

正切函数（tan）的周期性tan(x + kπ) = tan x，其中k是整数。

正切函数的周期是π，也就是说，每隔π的角度，正切函数的值会重复。

1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。

角度与弧度的定义角度转弧度：θ = θ × π/180；弧度转角度：θ = θ × 180/π。

转换公式角度与弧度的转换1 2 3sin x 在区间 [2kπ - π/2, 2kπ + π/2] （k是整数）内递增，在区间 [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2] 内递减。

正弦函数（sin）的单调性cos x 在区间 [2kπ - π, 2kπ] （k是整数）内递增，在区间 [2kπ, 2kπ + π] 内递减。

锐角的三角函数值(1)

锐角的三角函数值第一课时教学目标：1、运用三角函数的概念，自主探究求出角的三角函数值2、熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确的加以运用，即给出特殊角能说出它的三角函数值，反过来，给出特殊角的数值，能说出相应的锐角的度数。

教学重难点：1、重点：三个特殊角的三角函数值极其运用2、难点：特殊角三角函数值的应用教学过程： 1、复习回顾：直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定2、探究新知：观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度? (1)sin30°，sin45°,sin60° 等于多少?(2)cos30°，cos45°,cos60° 等于多少?(3)tan30°，tan45°,tan60° 等于多少?你能对一直伴随我们学习的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价？根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>特殊角的三角函数值表Ca B,sin c aA =,cos caB =,cos c bA =b a A =tan a bB =tan ,sin cbB =3、例题: 例1 计算:(1)sin30°+cos45°;(2) sin 260°+cos 260°-tan45°. 解: (1)sin30°+cos45° (2) sin 260°+cos 260°-tan45°♦ 老师提示:sin 260°表示(sin60°)2,cos 260°表示(cos60°)2,其余类推.4、练习 1.计算:(1)sin60°-cos45°; (2)cos60°+tan60°; 2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?5、小结：（以提问抢答的方式回忆）♦ 特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.6、作业：课本106页 1，41）如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的2221+=.221+=1212322-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=014143=-+=().45cos 260sin 45sin 223000-+().45cos 260cos 30sin 224020202-+高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?2）如图,河岸AD,BC 互相平行,桥AB 垂直于两岸.桥长12m,在C 处看桥两端A,B,夹角∠BCA=600.求B,C 间的距离(结果精确到1m).思考问题：如果∠A,∠B 互余，那么sinA 和cosB 有什么关系?7、个性化设计与反馈：B CA┐。

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后在计算器或计算机软件中选择对应的三角函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们就可以得到一个关于角度的函数值。将这些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用勾股定理推导得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意两边长度的比值等于这两边所夹角的正切值与第三边所对应角的正切值的比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三边相对应的角度，a、b、c 分别代表三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积之比。

《锐角三角函数》(解析版)

《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。

而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。

可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。

2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。

3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。

4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。

2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。

四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。

2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。

例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。

3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。

锐角三角函数公式

锐角三角函数公式
锐角三角形函数公式如下：
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到直角三角形中，则锐角三角函数可表示如下：
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。

所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。

变化情况
1.锐角三角函数值都是正值。

2.当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。

特殊三角函数值

sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378

25.2 30度,45度,60度角的三角函数值(1)-

A
B
c
a ┌ C
sinA=cosB或cosA=sinB. tanA=cotB或cotA=tanB.
b
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦 (或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切 (或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
B c a b
┌ C
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
驶向胜利的彼岸
一般地,∠α的余角为900-∠α,即∠α和900∠α角互为余角.
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
1
1
做一做P11 4
洞察力与内秀
驶向胜利的彼岸
特殊角的三角函数值表
三角函数正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 余切cotα 锐角α
300
要能记住有多好
450
600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
1
3
3 3
这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢?
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少 ? (7)tan450,tan600等于多少? (8)cot450,cot600等于多少?
驶向胜利的彼岸
300
2
450
450
2 1
600
3
┌
┌

锐角的三角函数值

锐角的三角函数值212锐角的三角函数值一、教法设想：通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°, ∠A=4°, 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是和，这是为什么呢？由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0< sinA < 1, 0< sA< 1（∠A为锐角）再分别求出30°，4°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系根据30°，4°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在0°—90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）适时介绍正弦和余弦表的构造结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然正确处理好修正值对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+ s2A = 1”这一重要关系式在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授这些重要关系式在教学中对0°，30°，4°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记表I：三角函数30°4°60°Sinαsαtgα口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七表II三角函数0°30°4°60°90°Sinαsαtgα01──tgα──口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢第二行左右倒，三，四行靠推导【指点迷津】本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用用其法解决生活中的实际问题达到得心应手二、学海导航：【思维基础】1 锐角三角函数定义Rt△AB中，∠= 90°，AB= ，B= a，A= b，则∠A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA = ________ sA =_______ tgA =________ tgA= ________ 它们统称为∠A的锐角三角函数（1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，sA均在______~ ______内取值2 特殊角的三角函数值（完成下表）0°30°4°60°90°增减值Sinαsαtgα3 互余角间的三角函数关系，△AB中，∠= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，则有：Sin(90°－A) = ___________s(90°－A) = ___________tg (90°－A) = ___________tg(90°－A) = ___________4 同角三角函数关系公式：（∠A为锐角）（1）Sin2A + s2A = ___________; s2A = ___________, Sin2A = ____________【学法指要】例1 如果∠A为锐角，sA= ，那么（）A 0°< A ≤30°B 30°< A≤4°4°< A ≤60° D 60°< A < 90°思路分析：当角度在0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）∴60°< A < 90°应选D例2 当4°< X < 90°时，有（）A Sin x > s x > tg xB tg x > s x > Sin xs x > Sin x > tg x D tg x > Sin x > s x思路分析：∵4°< x < 90°∴取A = 60°，∴tg x > Sin x > s x∴应选D解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x = 60°在4°< x < 90°的范围内，很快可知Sin 60°,s 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工例3 计算：思咯分析：若a≠0时, a0 = 1对此项中的Sin36°是一项干扰支迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出，至使解题陷入僵局，其实不然不需要求Sin36°之值，只需要知道即可因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一要准确无误代入三角函数值；二要按照实数的运算法则进行运算；三运算的结果必须是最简关系式于是对上式便一目了然了例4 已知方程的两根为tgθ, tgθ,求和θ，（θ为锐角）思路分析：∵tgθ, tgθ为二次方程的二根，根据与系数关系式，得∵tgθ• tgθ=1 ∴= 1∴原方程为即tgθ= , tgθ= 或tgθ= , tg =故θ&nt;1=30° θ2 = 60°锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出，又回到解一元二次方程，解出二根，从中求出tgθ,tgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了例在△AB中，三边之比a：b：= 1：：2，则SinA + tgA等于（）A BD思路分析：∵a：b：= 1：：2∴可设a = , b = , = 2 ( > 0 )∴a2 + b2 = 2 + ( )2= 42 = (2)2 = 2∴△AB是直角三角形，且∠= 90°根据三角函数定义，可知：∴△AB是直角三角形，且∠= 90°根据三角函数定义，可知：∴SinA + tg A∴应选（A）对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”【思维体操】例1 已知AD是直角△AB的斜边B上的高，在△ADB 及△AD中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及D，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，A上，求证：AE= AF揭示思路1：设∠AB= α 正方形EDG与正方形DNFH的边长分别为a , b∵AD = AG + DG = a•tgα + aAD = AH + DH = b•tgα+b∴a tgα + a = b tgα+b∴= b•tgα= AH∴AE = AF揭示思路2：设B = a , 且∠AB=α，则有AB = a sα同理：∴AE = AF由上两种思路证得AE= AF，可发现用三角法研究几何问题，开门见，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道为数与形结合提供了新的条，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果现沿这思路继续扩散扩散一：如图，Rt△AB中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，A上，E，F 在斜边B上，求证：EF2 = BE•F揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅在Rt△BDE中，在Rt△GF中，∵∠B + ∠=90°，∴tgB = tg(90°－) = tg∴∵DE = GF = EF∴EF2 = BE•F扩散二：在△AB外侧作正方形ABD和AEN，过D，E向B作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：B = DF + EG提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EG 便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散设法作AH⊥B再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！在Rt△EG中，∴EG = b sβ在Rt△DBF中，同理，DF = sα（设b, , α,β如图）∴EG + DF = b sβ +sα在Rt△ABH中，BH = sα在Rt△AH中，H = b sβ∵B = BH + H , ∴B = b sβ + sα∴B = EG + DF扩散三：设顶角A = 108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：揭示思路：从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条，不要犹豫，不然，将会失去良机如图，设△AB的底边上的高AH = h , ∠A的三等分线AD= P1，∠A的外角四等线AE = P2，∠BA= 108°，AB = A，∴∠DAH = 18°在Rt△ADH中，s18°=∵∠AE = (180°－108°)= 18°∠AB = (180°－108°)= 36°∴∠AE = 18°在Rt△AHE中，Sin18°= 扩散四：已知：如∠BA=90°，AD⊥B，DE ⊥AB，DF⊥A，垂足分别为D、E、F求证：揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论设∠AB = α，则∠DAF = ∠DF= α扩散五：在正方形ABD中，AE平分∠BA交B于E，交B于F，求证：E = 20F 揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地∠BEF = ∠AB + ∠EA = 4°+∠BAE∵∠BFE= ∠AE, ∴∠BEF = ∠BFE,∴BE = BF进而可知AD = DF设正方表ABD边长为1，又设∠BAE = ∠AE =α则A= B =在Rt△ABE中，BE = AB•tgα= BFBF = B－F = B －A•tgα∴ABtgα= B －Atgα∴F = A•tgα= ( －1)E= B－BE = 1－1•tgα= 1－+1 = 2 －= ( －1)∴E = 20F应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路三、智能显示【动脑动手】1 在Rt△AB中，∠= 90°，则SinB + sB的值（）（A）大于1 （B）小于1（）等于1 （D）不确定2 在△AB中，它的边角同时满足下列两个条；（1）Sin=1；（2）SinA,sB 是方程4x2－x + 1 = 0的两个根，求a，b，及S△AB3证明：“从平行四边形ABD的顶点A，B，，D向形外的任意直线N 引垂线AA＇BB＇＇DD＇垂足是A＇B＇＇D＇（如下图）求证：AA＇+ ＇=BB＇+ DD＇，现将直线N向上移动，使得A点在直线的一侧，B、、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、、D向直线N作垂线，垂足为A＇B＇＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇＇DD＇之间存在什么关系？如将直线N再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）从A，B，，D向直线N作的垂线放AA＇BB＇＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明揭示思路：1 在Rt△AB中，∠= 90°由锐角三角函数定义，得∵a + b > ∴SinB + sB > 1 , 应选A2 ∵Sin = 1 , ∴∠= 90°∵SinA + sB = ,SinA sB =又A + B = 90°, ∴B = 90°－A∴sB = s(90°－A ) = SinA∴= 4 , A= 30°, a = 2 , b =3 猜想如下：对于中图有：＇－AA＇= BB＇+ DD＇对于右图有：＇－AA＇= DD＇－BB＇证法1 如图,设∠AEA＇= α,则AA＇= AESinα= (A－E)Sinα= ASinα－ESinα，又＇= ESinα= ( + E ) Sinα= (A + E ) Sinα = ASinα+ ESinα∴＇－AA＇= 2ESinα∵＇= ESinα, ∴＇－AA＇= 2＇由题设知，’为梯形BB’D’D的中位线∴BB＇+ DD＇= 2＇∴＇－AA＇= BB＇+ DD＇（2）如图，仿（1）证法可得＇－AA＇= 2ESinαDD＇－BB = 2FSinβ∵ESinα= FSinβ,∴＇－AA＇= DD＇－BB＇证法二：（1）延长B交N于E，设AD 与N交于F，又设∠AFA＇= α，则∠BEB＇= α，在Rt△EBB＇中，∵BE= E－B∴BB＇= BESinα－BSinα在R t△E＇中，Sinα= ,∴’= ESinα∵＇－BB＇= BSinα在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中AA＇= AFSinα, DD＇= DFSinα∵DF= AD －AF∴DD＇= ADSinα－AFSinA＇∴DD＇= ADSinα－AA＇∴DD＇+ AA＇= ADSinα∵AD= B, ∴＇－BB＇= DD＇+ AA＇∴＇－AA＇= BB＇+ DD＇（2）仿证法（1）同样可证得＇+ BB＇= BSinαAA＇+ DD＇= ADSinα∴＇+ BB＇= AA＇+DD＇，∴＇－AA＇= DD＇－BB＇证法三：（1）如图，作DE⊥＇，则DD＇＇E为矩形，∴E= ＇－DD＇设∠AFA＇= α，则易知∠DE= α 在Rt△DE中，∴＇－DD＇= DSinα在Rt△AFA＇中，AA＇= AFSinα在Rt△FBB＇中，BB＇= BFSinα∴BB＇= (AB－AF)Sinα= ABSinα－AFSinα∴AA＇+ BB＇= ABSinα∵AB = D, ∵AA＇+ BB＇= ＇－DD＇∴＇－AA＇= DD＇+ BB＇（2）如图，仿（1）同法可证：＇－AA＇= DD＇－BB＇【创新园地】已知△AB中，∠BA= 120°，∠AB=1°，∠A，∠B，∠的对边分别为a, b ,那么a：b：= _________ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）解法一：过点B作BD⊥A交A的延长线于点D∴∠BA=120°，∠AB= 1°, ∴∠AB= ∠DB=4°,∠ABD= 30°在Rt△ABD中，Sin30°= ∴AD=s30°= ，∴BD =∴b －BD －AD =a =∴a：b：== 解法二：如图，作AD⊥B，交B于D，在AB上取AE = A，连E，作AF⊥E，交E于F，则∠AE = ∠AE= ，∠BE= ∠AB－30°= 4°－30° = 1°∴△BE为等腰三角形，∴BE= E设AD = D = 1，则A = ，即b =∴E = 2 A s30°=∴AB= AE + EB = + ，即= +∴BD =∴B = BD + D = 3 + ，即a = 3 +∴a：b：= （3+ ）：：（+ ）= 解法三：如图，作AD⊥B, 交B于D, 在B上取点E，使∠BAE = ∠B = 1°,那么，连接AE，得：∠AE = 30°，AE = BE 设AD = D = 1，则A = ，即b = ，AE= BE = 2AD = 2，DE = AE•s30° =∴即= +∴a：b：= (3+ ) ：：( + )= 解法四：如图，BD = x，则2x2 = a2，∴x = = （参照解法一图）解法五：以B为直径作⊙，延长A交⊙于在，连BD，设a =2r，则BD = r , AD==解法六：建立如图坐标系，则可求：解法七：建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则解法八：建立如图坐标系，设(－1，0)，B(1，0)，延长A交轴于点D，连结BD，则D点坐标是(0，1) ，那么|BD|= |D| =本例还可用面积法证明，如S△BD= a•BD，Sin4°= BD2 ∴BD= ……。

锐角三角函数 (1)

B' B 35m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100(m) 斜边 AB' 2
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2
A 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A ＝45°，∠A的对边与斜边的比值是一个定值吗？ C
AB AC2 BC2 42 32 5
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
B 3 A 4 C
求sinA就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求 sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
因此
BC 3 sin A AB 5
sin B
AC 4 AB 5
B 13 5 C
（2）在Rt△ABC中，
sin A BC 5 AB 13
A
AC AB2 BC2 132 52 12 AC 12 sin B 因此 AB 13
练一练
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B
境
探究
A
C
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 A的对边 BC 1
斜边

AB

2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 ∠A=300时，我们有