几何画板---迭代与深度迭代

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几何画板制作深度迭代的方法探究

5、深度迭代：选中点A和参数n→“变换”→按SHIFT键的同时选“深度迭代”。
对应规则：A→A'。
6、选中参数用加减键调整参数，可得到变化的多边形。
7、对参数创建“动画”。
温馨提示：最好在制作之前将精确度精确到个位。
最后制作的效果图：
二、正方形深度迭代
先看最终效果图，如何制作呢?
制作方法：
1、构造正方形、确定原象：
从左至右画线段AB（A、B即为原象）；
双击A点→选中AB→变换→旋转→逆时针旋转90°→得C；
双击C点→选中CA→变换→旋转→逆时针旋转90°→得D；
连续BD。
2、构造初象：
在线段AB上任取一点E（其中一个初象），按顺序选中A、B、E→度量→比→标记比；
双击B→将D按标记比进行缩放得另一初象F。
3、新建参数：n=25；
制作方法：
1、构造下图：
构造线段AB→以B为中心将A顺时针旋转90°得点C→以C为中心将B顺时针旋转90°得点D，连结BC、CD、DA得正方形ABCD。
2、以O为中心，分别将E、F、G、H按1：2的缩放比缩放得E’、F’、G’、H’，连结EE’、FF’、GG’、HH’和E’F’G’H’。
3、新建参数n=2
3、构造初象：
选中DC→按ctrl+M得DC的中点E→顺次选定E、C、D→构造→圆上的弧→在弧上构造点
F，连结DF、CF→隐藏弧。
4、新建参数n=3
5、深度迭代：
选中原象A、B和参数→变换→按住shift键→深度迭代；
对应规则：A对D，B对F；（新添映射）A对F，B对C。
6、设置F的“动画”；
7、系列按钮的创建：
4、深度迭代：选定A、B和n，按如下方式进行深度迭代。（注意：在下图显示中一定要选“最终迭代”）

利用几何画板制作数学课件(六)

• 单击工作区的计算值a2＝4，来映射 a a2，工作区显示如（图2）；
• （3）单击【迭代】按钮后，最后效果参数a 的值，初象a2 的值相应改变，如（图4）；
• 选中迭代产生的表格，按小键盘上的“＋” 号键可以 • 增加迭代的次数，如（图5），按“－”键则减少迭代的次数。
• （5）依次选中参数a 和b，从【变换】菜单选择【迭代】命令，打开迭代对话框，如（图18）；
• （6）在对话框中，a 映射的初象反白显示时，单击工作区中的a+1 的计算值;b 映射的初象反白时，单击工作区中b+2 的计算值。工作区如（图19）；
• （7）单击迭代完成，最后效果如（图20）。
• 4.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M， N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。
• （2）依次单击a＋1 和b＋2 两个计算值，选择【图表】菜单下的【绘制（x，y）】命令，如（图15）；
• （3）单击该命令后系统自动调出坐标系，并绘制出以所选计算值为坐标的点，如（图16）；
• （4）用同样方法绘制出以参数a、b 为坐标的点，选中绘制的两个点构造线段，如（图17）；
• 【例6】画圆的内接正7边形。 • 【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。 • 【步骤】 • 1.新建圆O，在圆O上任取一点A。 • 2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。

几何画板迭代全解谢辅炬

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【分析】由数列的表达式可知，(n,an)是直线y=1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，
一个是作为横坐标的数列1,2,3……，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
【步骤】
1.新建函数y=1+0.5x。
2.新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
(计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5,a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。)
【例1】画圆的内接正7边形。
【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转色0，抓住
7这个规律，我们可以用迭代功能来解决。
【步骤】
1.新建圆0,在圆0上任取一点A。
2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB
3.选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。
4.单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘ + '或‘—’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。
【例2】画圆的任意n边形
【步骤】
1.新建圆0并在圆上任取一点A。双击圆心0作为旋转中心。
2.新建参数n=7,计算360,注意这时要带单位‘度’。

从矩形网格的制作谈几何画板的迭代深度与应用技巧

从矩形网格的制作谈几何画板的迭代深度与应用技巧
鄞州区钟公庙中学
从理论上讲，矩形网格可按如下方法制作：在平面上任意画一个自由点 A，按给定的小矩形边长作矩形 ABCD，选定点 A 和参数 n=6，作带参数迭代,让 A B,添加迭代 A C,再添加迭代 A D,如图 1 所示，制作完成。
注：几何画板版本不同，迭代的深度也各不相同。
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图 15
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图 16
上述 3 个 2 次映象，迭代深度可先预设为 n/3，经过测试当 n=7 时迭代深度还欠 1 次，修正为 round((n+1)/3)后，对于 n≤30 时都正确。如图 16 所示是当 n=30 时图象，可以看出此时线条已十分稠密，再增加边数时图象变化已不十分明显。还有一种一劳永逸的方法是，作参数 n=80, 计算 n-1 和3600 /n，象图 10 哪样先不厌其烦地作出一组对角线（共 79 条），然后再作单次映象的迭代，这样作出的图象对于 n≤80 都正确，但没有什么技术含量，图 16 是 n=60 时情形，显然线段稠密，没有什么美感。
图 17
图 18
为了不致太稠密，我们把对角线换成一组平行弦，再作带参数的深度迭代 A B，如图 18 所示。可得如图 19（平行弦间距相等）、图 20（平行弦间距不相等）所示精美图案。
图 19
Байду номын сангаас
图 20
至此，相信读者已经了解几何画板迭代运算随着映象的增加，电脑的运算量将是急剧增加，以致电脑可能出现半死机状态，所以我们学会一些降低映象深度的方法和技巧是十分必要的，希望此文能对广大几何画板爱好者有所帮助。
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同样方法：当 n=48 时，如图 12 所示。
图 11

几何画板迭代全解

第二章：迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支，从诞生的那天起，就有着独特的魅力。分形的特点是整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,)，(G,H,I)表示 A 映射到 D，B 映射到 E，C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今，几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》

图 1.1
图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。

几何画板中的迭代和带参数的迭代实验报告：圆的面积公式转化

几何画板中的迭代和带参数的迭代实验报告一、实验目的1、新建参数以及参数动画按钮的制作2、掌握带参数的迭代思想和操作步骤3、学会通过了解父对象和子对象的关系来逆向分析已有的几何画板课件二、实验原理通过带参数的迭代建立参数与图形之间的关系。

制作参数动画按钮时，参数的变化引起图形个数的变化。

三、实验内容运用几何画板逆向分析圆的面积公式推导课件，并将课件还原制作出来。

四、实验课时：8课时五、实验步骤（略）一、方法：分割拼凑法、划曲为直展开法（等腰三角形）、划曲为直展开法（直角三角形）。

二、实施步骤方法一：分割拼凑法1.新建文件新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：圆的面积推导分割拼凑法。

2.构建参数：【数据】—【新建参数】—构建两个参数：半径r=3厘米，t1=6。

【数据】—【计算参数】—【计算2个数据：分别是2*trunc(t1) 和360度/ 2*trunc(t1) 】。

3.做圆和分割圆：选择【点工具】—在空白处做点A—（保持A为选中状态）+选中r—【构造】—【以圆心和半径作圆】—（保持圆为选中状态）【构造】—【圆上的点】（为点B）。

选中参数360度/ 2*trunc(t1) —鼠标右击—【标记角度】，【双击点A+选中点B】—【变换】—【旋转】—【确定】（得到点B’）。

依次选中点A，点B，点B’—【构造】—【圆上的弧】—（保持弧选中状态）【构造】—【弧内部】—【扇形内部】。

选中点B+选中参数2*trunc(t1)—【按住shift 键】—【变换】—【深度迭代】—【将点B迭代到点B’】—【确定】(得到一个分割好扇形的圆)。

4.做分割后的一个扇形：选中点B+选中点B’—【度量】—【距离】—（保持参数选中状态）鼠标右击【标记距离】。

选择【点工具】—在空白处作点C—【变换】—【平移】（按标记距离平移，得到点C’）。

选中点C和点C’+选中参数r —【构造】—【以圆心和半径作圆】—取两圆上面交点D.。

例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件.docx

例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。

关键词：几何画板；深度迭代；数学课件几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。

笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。

现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。

•深度迭代功能在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。

这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。

几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。

原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。

几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。

•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术"，其体现了朴素的极限思想。

在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。

(2)制作步骤①画一个圆，在圆上取一点A,圆心标记为0。

将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n,参数值为6,计算和的值。

②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。

在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题

在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中，以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段，特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用；“迭代”构图要弄清以下几个方面问题：1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思，简单点说“迭代”就是一种重复操作，将上一步的参数保持不变，再执行一次的意思. （“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变）. 迭代分为两种类型：第一种类型是简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点） → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点） → 最后按迭代按钮，即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.（后面的图②③④都是简单迭代）第二种类型是深度迭代：按照设定参数确定迭代次数，不用进入迭代菜单，直接控制参数的增减就能控制迭代的深度（次数的多少）.①.构造方法：选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.（见下面的截图①） ②.作用：简化重复作图过程，选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键，按“＋”号增加迭代，选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象：产生迭代序列的初始对象（起点的位置），通常称为“种子”.原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件，原象点必须是自由的点或自由路径上的点（主要不受其它路径控制的端点！“自由”是个关键词，即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点）. 如：正方形ABCD 是由线段AB “变换”（这里是旋转）和“构造”方式得到的，所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点（见组图②）；而线段BC CD DA 、、以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后，点B 可以作为建立迭代关系的后原象点，而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点（不受其它路径控制，比如起始线段的端点）才是原象点，而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象：原象经过一系列变换操作而得到的象（第二个点的位置），与原象是相对概念. 初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立，不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点，只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点（因为它是以正方形的边为基础），但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点，抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注：通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点，此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点，也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②：选定A B 、作为原象点，而边的中点E F 、作为初象点来迭代构图.组图③：直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====；此时选定A B C D E 、、、、作为原象点，截取的得到点H I J K L 、、、、作为初象点进行迭代构图.组图④：以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ，再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点，以A C 、为初象点迭代构图，不但可以构造一个正五边形，还可以把其中点五边形同时构造出来，残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的？②④③利用几何画板的“迭代”功能构图，关键是映射点（初象点）与原象点的“迭代”对应关系，在选择对应的初象点是要注意方向；“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明：例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点，点C 为初象点，则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……，依次类推！.（见截图⑤） ⑫.若以点A 为原象点，点C 为初象点，则点C 会成了下一个旋转中心，……； “迭代”出来的图形，点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.（见截图⑥）⑬.若以点B A 、为原象点，点A C 、分别对应为初象点，则点C 成了下一个旋转中心，则“迭代”出来的图形，会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来，后面迭代出来图形依然如此.（见截图⑦，因为默认迭代次数为3次，所以恰好为正五边形.）注：若在线段AB AC 、取点连线，会把“连线”同时进行“迭代”，也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形，依次类推！如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ；以A C 、为原象点，分别以D B 、为初象点，会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”，但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .（见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的，有点近似“勾股螺”图案.）⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念，是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素，在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射，初象点就是映射点；因此只要还有新的初象点，那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明：例：画勾股树.⑪.画一条线段（见图⑨隐藏了字母标签），并且构造一个矩形，以一边（本例取起始线段的对边）为直径作一个半圆，在半圆上取两点，隐藏半圆和圆心点；进行第一次映射点的添加（操作和前面一样，见迭代对话框和图中标示）.⑫.添加新的映射：在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑩标示）. ⑬.继续添加新的映射：在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑪中的标示）.⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图，中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理，右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定，对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来（前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的）.下面是其它一些迭代构图的效果图：注：昨天在几何画板上画的，比较漂亮！几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。

几何画板的迭代功能(3讲)

《几何画板》新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代（Iterate）与带参数的迭代(Iterate To D epth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】（带参数的迭代）功能。

情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。

二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。

例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。

还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。

但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。

1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。

新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。

下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。

例1：制作Koch曲线（源文件）（1）画线段AB，以A为中心，缩放点B(固定比为13)，得到'B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A，得到'A，把它改为D，隐藏线段AB；（2）双击C点（标记中心），选择点D，旋转60°，得到点E；（3）连接线段AC、CE、ED；（4）【图表】→[新建参数]t，把它的值该为2；（5）依次选择点A、B，t，按Shift键，，选择【变换】→[带参数的迭代]，弹出对话框如图1图1（6）依次选择A、C，按Ctrl＋A，增加一列（对应点），依次选择C、E，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择E、D，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择D、B，选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；图2（7）选择参数t，按键盘上的“－”、“＋”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。

几何画板的迭代功能(3讲)

情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。

二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。

例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。

但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。

新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。

下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。

几何画板迭代详解之：函数迭代

几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学谢辅炬【多项式432()f x ax bx cx dx e =++++求根】【分析】多项式求根的迭代式是1()()n n n n f x x x f x +=-'。

【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n ＝5。

2. 新建函数432()f x ax bx cx dx e =++++，画出它的图像。

3. 在图像上任取一点A ，度量A 的横坐标A x 。

4. 计算()()A A A f x x f x -'；计算()()()A A A f x f x f x -'。

5. 依次选择()()A A A f x x f x -'，()()()A A Af x f x f x -'单击【图表】【绘制点】。

得到点B 。

6. 度量B 的横坐标B x 。

7. 选中点A ，和参数n ，按住Shift 键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B 。

结果如图1所示。

图 1图 28. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C ，度量C点的横坐标C x 。

9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10. 拖动A 点，改变它的位置。

观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。

如图2所示。

【MIRA 】【步骤】1. 在平面上取一点A ，度量A 的横坐标A x 和纵坐标A y 。

2. 新建参数a ＝0.4，b=0，99875。

（b 取得尽量接近1）3. 新建函数22(1)()1a x f x ax x-=++。

4. 计算f(A x )＋b A y ,f(f(A x )＋b A y )-A x 。

注意这里用的是函数嵌套。

顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x ，y ）】。

得到点B 。

5. 顺次选择点B 和三个计算结果：f(A x )＋bA y ,f(f(A x )＋b A y )-A x ，A x 。

几何画板及分形

几何画板迭代与深度迭代迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。

通俗的讲确实是用自身的结构来描述自身。

递归算法的特点是书写简单，容易明白得，可是运算消耗内存较大。

迭代：按必然的迭代规那么，从原象到初象的反复映射进程。

原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象通过一系列变换操作而取得的象。

与原象是相对概念。

更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。

咱们明白12n n a a ，因此迭代的规那么确实是后一项等于前一项加2。

以1作为原像，3作为初像，迭代一次后取得5，再迭代一次取得7，以此类推。

在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。

上图中A 、B 、C 、D 、E 、F ，各点相距1.88cm ，那么怎么由A 点和B 点取得其它各点呢？咱们能够发觉其中的规律确实是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm 。

因此咱们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次取得B 点，二次为C 点，以此类推。

迭代像确实是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。

利用几何画板的深度迭代功能能够画出许多美好的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的转变。

一、谢尔宾斯基三角形利用几何画板画法流程：（1）先任意画好一个三角形ABC ，接着构造线段AB ，BC ，CA 的中点D ，E ，F ，选择点D ，E ，F ，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。

(2)在“图表”中“新建参数”为n=3．依次选择点A ，8，C 和参数n ，按住shift 键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。

FEDCA(3)在初象中依次选A ，D 和F 点，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次选D ，B 和E 点，再按Ctrl+A ，依次选F ，E 和C 点。

最后选“迭代”，取得谢尔宾斯基三角形。

选择n 按“+”或“一”，三角形就进行了迭代转变。

几何画板迭代详解之：函数迭代[共五篇]

几何画板迭代详解之：函数迭代[共五篇]第一篇：几何画板迭代详解之：函数迭代几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学谢辅炬【多项式f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e求根】【分析】多项式求根的迭代式是xn+1=xn-【步骤】1.新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。

2.新建函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，画出它的图像。

3.在图像上任取一点A，度量A的横坐标xA。

4.计算xA-f(xA)f(xA)；计算f(xA-)。

f'(xA)f'(xA)f(xA)f(xA)，f(xA-【图表】【绘制点】。

得到点B。

)单击''f(xA)f(xA)f(xn)。

'f(xn)5.依次选择xA-6.度量B的横坐标xB。

7.选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。

结果如图1所示。

图 1图 28.选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标xC。

9.观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10.拖动A点，改变它的位置。

观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。

如图2所示。

【MIRA】【步骤】1.在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标yA。

2.新建参数a＝0.4，b=0，99875。

（b取得尽量接近1）(1-a)x23.新建函数f(x)=ax+。

1+x24.计算f(xA)＋byA,f(f(xA)＋byA)-xA。

注意这里用的是函数嵌yA,f(f(xA)＋byA)-xA，B点的颜色套。

顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。

得到点B。

5.顺次选择点B和三个计算结果：f(xA)＋bxA。

单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。

发现变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。

6.新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。

11_几何画板---迭代与深度迭代

• 7、同时选取点B、“n－1＝5”；
• 8、按住Shift键不放，单击菜单“变换”→“深度迭代”弹出迭代对话框；
• 9、单击工作区中的点B’，使 “初象”下面框中的问号变成B’，单对话框中的“迭代”按钮
几何画板---迭代与深度迭代
• 我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”
例1、正十七边形的画法
操作步骤：
• 1、画两个点，让B点围绕点A旋转得B’ ，连接B’B 。
• 2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭代”，出现下面对话框
迭代变换使用的前提条件：
• 1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。
• 2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点
迭代的深度（即重复的次数）， 1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中
心。另一个点为最基本的第一顶点； • 2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆
心角； • 3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心
按“标记的角度”旋转,得第二顶点； • 4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度
迭代”； • 5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以改
变参数，得到动态的正n边形。
操作步骤：
• 1、按“alt＋＝”键，调出计算器，输入 “360°÷”（“°”由单位按钮输入）
• 2、单击计算器的“数值”按钮 • 3、单击“新建参数”按钮
• 6、让B点，绕点A旋转“ 接BB’。

在几何画板中,如何用“迭代法”构造二次函数的轨迹及动态演示函数图象的生成过程

在几何画板中，如何用“迭代法”构造二次函数轨迹及动态演示函数图象的生成过程？下面以二次例函数.2y 05x x 6=-++为例（见最后的截图）：1.定义直角坐标系，绘制函数.2y 05x x 6=-++的图象；2.描图象“轨迹”的起点：新建参数=.1x 37-→计算().1y x 455=-（计算过程：数据→计算→点击.2y 05x x 6=-++→点击=.1x 37-→确定即可完成）→同时选定=.1x 37-和().1y x 455=-绘图绘制点即可完成（也可分别点选输入绘制）；3.新建.b 02=，计算.1x b 350+=-；4.新建反映迭代次数的参数n 47=（注意数据设置成整数，并注意迭代范围和速度时间和单位的设置）；5.迭代：同时选定=.1x 37-、n 47=→按住Shift →变换→深度迭代→=.1x 37- →+.1x b 350=-（点击+.1x b 350=-即可）→迭代.见上面的示意图，若不需要标示的迭代，只需选定=.1x 030和n 22=来进行迭代（见反比例函数的示意图）；6.在x 轴上构造控制轨迹线段，线段的终点(如图的M )：建立参数+.1x n b 564⋅=，通过“绘图”的绘制点点击和输入的方式（+.1x n b 564⋅=，0）完成；线段起点(如图的N )可以点选完成，落在迭代轨迹的起点的区间内，这样动画的效果更好；构造线段MN .7.在x 轴上构造控制轨迹线段的控点和构造轨迹：选定线段→线段上的点→平移点→过线段上的点→作射线或直线（若轨迹在正半轴和负半轴则作直线）或作垂直于x 轴的直线（道理是一样的）→构造此射线或直线与函数图象的交点→选择线段上的构造的点和交点→构造→轨迹.8.隐藏不需要的点、线、迭代等（包括隐藏原反比例函数的图象、动画参数表）；9.选定迭代次数的按钮n 47=，制作动画按钮（设置范围和速度等）.补充说明：①、构造轨迹的辅助平移点的环节可以舍去，直接过“线段上的点”作轴的垂线（直线、射线），再构造交点，构造轨迹；②、要使动画不显得那么慢，除了速度设置，还可以把作为迭代平移的+.1x b 350=-中平移距离参数b 值设置大一些；③、要使轨迹动画全覆盖，除了构造轨迹的线段的端点注意设置，还要注意迭代次数的参数范围比轨迹参数实际的设置大一些来解决.④.若在动画演示中显现坐标，设计还要多一些步骤.动画参数的范围的范围要反映迭代次数的范围.⑤.比如本例输入在0～47之间.见截图（截图上的的一些点线还没有作隐藏，课件完成后根据需要作隐藏）：郑宗平 2015/7/29。