积化和差与和差化积同步练习(教师版)

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2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修

2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.14B.32C.12D.343．在△ABC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－12，12] C ．[－14，34] D ．[－34，14] 4．计算sin105°cos75°的值是 A.12 B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________. 知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)B ．cos(x ＋y)cos(x －y)C ．sin(x ＋y)cos(x －y)D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是 A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________． 9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－co s23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]．其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3的最小正周期是__________．15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cosα＋sinα，2 009)，b ＝(cosα－sinα，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________． 18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tanα－cotα－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析 1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β) ＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C )≤1，∴cosAsinC∈[－14，34]． 4．B5．π6．B7．C y ＝1＋cos2x ＋π62＋1－cos 2x ＋π62－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin122°＋36°2·co s 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22； (3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°. 能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x －π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2.13．C 原式＝cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7sin π7sin π7＝ 12sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sinπ－sin 5π7sin π7＝－12sin π7sin π7＝－12. 14.π2 sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2x cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝332sin2x ＋12cos2x 332cos2x －12sin2x ＝sin2x ＋π6cos 2x ＋π6＝tan(2x ＋π6)， ∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2. 15．证明：左边＝sinα·(－12)(cos120°－cos2α) ＝14sinα＋12sinαcos2α ＝14sinα＋14[sin3α＋sin(－α)] ＝14sinα＋14sin3α－14sinα ＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A 2， ∴sinBsinC＝1＋cosA 2，即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C ＝0，即B ＝C.17．2 010 ∵a ∥b ，∴cosα＋sinα－2 009(cosα－sinα)＝0，即cosα＋sinαcosα－sinα＝2 009. 又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1 ＝1＋sin2αcos2α＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosαcos 2α－sin 2α＋1 ＝cosα＋sinαcosα－sinα＋1＝2 009＋1 ＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22， ∴1cosA ＋1cosC ＝－2 2.∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C 2＝－2(－12＋2cos 2A －C 2－1)，化简得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0，又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C 2＋3)＝0， ∵22cos A －C 2＋3≠0， ∴cos A －C 2＝22. 19．解：由已知，得－12(cos π2－cos4α)＝14， ∴cos4α＝12. ∵α∈(π4，π2)， ∴4α∈(π，2π)． ∴4α＝5π3. ∴2α＝5π6. ∴2sin 2α＋tanα－cotα－1＝2sin 2α＋sinαcosα－cosαsinα－1 ＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsinαcosα－1＝－cos2α－cos2α12sin2α ＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝32＋2×3212＝532. 拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsinθ＝3. ∴bc＝6sinθ.① 由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccosθ≤6，②将①代入②得0≤6cosθs inθ≤6，即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC 的内角，∴θ∈[π4，π2]． (2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)，由(1)知π4≤θ≤π2，∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6. ∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32. ∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3，当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。

积化和差和和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=-1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin θ+sin φ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修

2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )A． B． C． D．2．直角三角形的两个锐角分别为A和B，则sin A sin B( )A．有最大值和最小值0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值，也无最小值D．有最大值1，但无最小值3．化简的结果为( )A． B．C． D．4．已知α－β＝，且cos α－cos β＝，则cos(α＋β)等于( )A． B． C． D．5．如果，那么等于( )A． B．C． D．6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x为锐角三角形的内角，则函数y＝＋sin x的值域为________．9．求的值．10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，，求的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝ (cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β，∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，∴cos 2α－sin 2β＝.答案：C2．解析：因为A ＋B ＝，sin A sin B ＝[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝cos(A －B )，又＜A －B ＜，则0＜cos(A －B )≤1，故0＜cos(A －B )≤，即sin A sin B 有最大值，无最小值．答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝得12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝， ∴，∴cos(α＋β)＝1－2 ＝1－2×＝.答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅= ＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m n m n αββααββα+-+=---. 答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.答案：7．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(cos 2α－cos 2β)＝[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝－m .答案：－m8．解析：y ＝＋sin x ＝2＝，由已知得，所以＜≤1.所以y ∈.答案：9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒ ＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°＝2sin 40°－2(cos 50°－cos 30°)＝.10．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴cos cos60B -=-=-︒，∴. 将上式化简为cos A ＋cos C ＝cos A cos C ，则＝[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]．将＝cos 60°＝，cos(A ＋C )＝cos 120°＝代入上式，得＝－cos(A －C )．将cos(A －C )＝2－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵＋3≠0，∴.∴.。

数学人教B版必修4课后训练：3.3三角函数的积化和差与

三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1，故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值．答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )．将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版) 积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复课一、基本公式复1、两角和与差公式及规律sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)2、二倍角公式及规律sin2α=2sinαcosα。

cos2α=cos²α-sin²α。

tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)二倍角公式的推导可以通过和角公式推导而来，例如cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α3、积化和差与和差化积公式sinαcosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2cosαsinβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2sinαsinβ=-(cos(α+β)-cos(α-β))/2生动的口诀：（和差化积）正加正，正在前，___，___正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式。

要注意：①前两个公式可以合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。

如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解。

因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

1、在三角函数的解题中，积化和差与积差化积是密不可分的孪生兄弟。

为了化简或计算，我们要注意交替使用这两个公式。

例如，在处理正、余弦函数的平方时，我们应先考虑降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式进行化简或计算。

积化和差和差化积公式练习

积化和差和差化积公式练习1.删除问题段落2.改写每段话：1.正确答案为D，cos(A+B)-cos(A-B)=2sinA*sinB为差化积公式。

2.sin15°sin75°=1/2*sin(75°-15°)-1/2*sin(75°+15°)=1/4-1/4*cos(90°)=1/4.3.sin105°+sin15°=2sin60°cos45°=√3.4.sin37.5°cos7.5°=1/2(sin45°+sin30°)=√6-√2/4.5.cos2α-sin2β=cos2α-cos(π/2-2β)=2sin(α+2β)sin(α-2β)=-3/4.6.y=sinx-sinx/2=1/2*sinx的值域为[-1/2,1/2]。

7.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=cos(360°-85°)+cos(360°-35°)+1/2(cos(90°+60°)+cos(90°-60°))=-1/2.8.cos(α+β)=(cosαcosβ-sinαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2.9.y=2cosx/√3的最大值为√3.10.(1) 化简得(cosA+cosB+cosC)/2+(sinA+sinB+sinC)/2+(sin3A+sin3B+sin3C) /2；(2) 化简得 3sinAcosBcosC。

11.cosAsinC=sin(90°-AsinC)=sinB，由B=30°可得sinB的取值范围为[1/2,√3/2]。

12.(1) f(x)=-1/2cosx+1/2cos2x；(2) f(x)的最小值为-1/2.11.解析：$y=\sin 215^\circ+\cos 215^\circ+\cos 75^\circ\cdot \cos 15^\circ$sin 35^\circ+\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$2\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$答案：$2\cos 35^\circ+\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$12.解析：$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3 }}{2}$frac{1}{2}$答案：$-\frac{1}{2}$13.解析：$y=\frac{\cos(2x+\pi)+\cos(\frac{-\pi}{3})}{2}$frac{1}{2}\cos 2x$因为$-1\leq\cos 2x\leq 1$，所以$y_{\max}=\frac{1}{2}$答案：$\frac{1}{2}$14.原式$=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$frac{\frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)}}{1-\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}$frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)-\sin A\sin B}$答案：$\frac{2\sin A\cos B}{\cos(A-B)-\sin A\sin B}$。

数学人教B版必修4优化训练：3.3三角函数的积化和差与

3.3 三角函数的积化和差与和差化积5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列等式错误的是（）A.sin （A+B ）+sin （A-B ）=2sinAcosBB.sin （A+B ）-sin （A-B ）=2cosAsinBC.cos （A+B ）+cos （A-B ）=2cosAcosBD.cos （A+B ）-cos （A-B ）=2sinAcosB 提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确. 答案:D 2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为( ) A.41 B.23 C.21 D.43解析：sin20°cos70°+sin10°sin50°=21（sin90°-sin50°)21-（cos60°-cos40°) =2121-sin50°-41+21cos40°=41. 答案:A3.函数ｙ=sin （x+3π）-sin ｘ(x ∈［0，π］)的值域是（） A.［-2，2］ B.［21-，23］ C.［21，1］ D.［21，23］解析：由和差化积公式可得y=cos(x+6π)，再由x ∈［0，π］，可得6π≤x+6π≤32π，y ∈［21-,23］. 答案:B4.2sin55°cos35°=_________________； sin75°-sin15°=___________________. 解析：2sin55°cos35°=sin （55°+35°)+sin （55°-35°)=1+sin20°, sin75°-sin15°=2cos21575sin 21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=22. 答案:1+sin20°22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.有下列关系式：①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ；③sin 3θ-sin 5θ=21-cos 4θcos θ；④sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ；⑤sinxsiny=21［cos （x-y ）-cos （x+y ）］. 其中正确等式的个数是（）A.0B.1C.2D.3 解析：①②③④均不正确，⑤正确. 答案:B2.若cos （α+β）cos （α-β）=31，则cos 2α-sin 2β等于( ) A.32- B.31- C.31 D.32解析：cos （α+β)cos （α-β)=21（cos2α+cos2β)=21［（2cos 2α-1)+（1-2sin 2β)］ =cos 2α-sin 2β，∴cos 2α-sin 2β=31.答案:C3.化简：)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的结果为( )A.tan2xB.tan2xC.tanxD.-tanx 解析：原式=)cos(4sin 2)sin(4cos 2)4sin()4sin()4sin()4sin(x x x x x x --=++-+--ππππππ=-tanx. 答案:D4.函数y=sin （x-6π）cosx 的最小值是_____________. 解析：y=sin （x 6π-)cosx=21［sin （2x 6π-)+sin （6π-)］=21［sin （2x 6π-)21-］=21sin （2x 6π-)-41，当sin （2x 6π-)=-1时，y 取得最小值43-.答案: 43-5.化简：AA A AA A 7sin 5sin 23sin 5sin 3sin 2sin ++++.解：原式=AA A AA A A A A A A A 5sin 22cos 5sin 23sin 22cos 3sin 25sin 2)7sin 3(sin 3sin 2)5sin (sin ++=++++ AAA A A A 5sin 3sin )12(cos 5sin 2)12(cos 3sin 2=++==csc5Asin3A. 6.求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值.解：原式=2100cos 1240cos 1︒++︒-+sin20°cos50° =121-（cos40°-cos100°)+21［sin70°+sin （-30°)］=121-·（-2)sin70°sin （-30°)+21sin70°-41=121-sin70°+21sin70°-41=43.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（） A.21 B.23 C.22D.1 提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等. 答案:B 2.如果nm=-+)sin()sin(βαβα，那么αβtan tan 等于（）A.n m n m +- B.n m n m -+ C.n m m n +- D.mn nm -+ 解析：n m n m -+=--+-++==∙=)]sin()[sin(21)]sin()[sin(21sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan αββααββααβαβααββαβ. 答案:B3.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （） A.有最大值21和最小值0 B.有最大值21但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值解析：因为A+B=2π，sinAsinB=21［cos （A-B)-cos （A+B)］=21cos （A-B). 又2π-＜A-B ＜2π，而0＜cos （A-B)≤1，故sinAsinB 有最大值无最小值. 答案:B 4.化简cos72π+cos 74π+cos 76π所得结果为（）A.sin 7πB.21sin 7πC.21- D.7cos 21π-解析：原式=7sin 7sin)7cos 74cos 72(cos πππππ6++ =217sin 7sin217sin )75sin sin 73sin 75sin 7sin 73(sin 21-=-=-+-+-πππππππππ. 答案:C5.已知α-β=3π且cos α-cos β=31，则cos （α+β）等于（）A.31B.32C.97 D.98 解析：由cosα-cosβ=31，得-2sin 2βα+·sin 2βα-=31，即sin 2βα+=31-，∴cos （α+β)=1-2sin 2 2βα+=1-2×（31-)2=97.答案:C6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________. 解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°=cos20°+21+2cos120°cos20° =cos20°+21-cos20°=21.答案: 217.若cos 2α-cos 2β=m ，则sin （α+β）·sin （α-β）=________________. 解析：sin （α+β)·sin （α-β)=21-［cos2α-cos2β］ =21-［（2cos 2α-1)-（2cos 2β-1)］=cos 2β-cos 2α=-m. 答案:-m8.若x 为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+3π)+sinx 的值域为______________. 解析：y=2sin(x+6π)cos 6π=3sin(x+6π)，由条件知6π＜x+6π＜32π，所以21＜sin(x+6π)≤1. 所以y ∈(23,3］. 答案:(23,3］ 9.已知cos α=cos β·cosA ，求证：tan 22A =tan 2βα+·tan 2βα-.证法一：欲证tan 2 2A =tan 2βα+·tan 2βα-，只需证2cos2cos 2sin2sin 2cos 2sin 22βαβαβαβα-+-+=A A αβαββαβαcos cos cos cos cos 1cos 1)cos (cos 21)cos (cos 212cos 12cos 1+-=+-⇔+--=+-⇔A A A A ⇔cosA=βαcos cos ⇔cosAcosβ=cosα.故原式成立.证法二：∵tan2βα+·tan2βα-=A A A A cos 1cos 1cos cos cos )cos cos (cos )cos (cos 21)cos (cos 212cos 2cos 2sin 2sin +-=+--=+--=-∙+-∙+βββββαβαβαβαβαβα 2tan 2cos 22sin 2222A A A ==，∴原式成立. 10.化简:cos 2α+cos 2（α+β）-2cos α cos β cos （α+β）-sin 2β. 解：原式=cos 2α+cos （α+β)［cos （α+β)-2cosαcosβ］-sin 2β =cos 2α+cos （α+β)（-cosαcosβ-sinαsinβ)-sin 2β=22cos 1α+-cos （α+β)cos （α-β)- 22cos 1β- =21（cos2α+cos2β) 21-（cos2α+cos2β)=0.。

高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积同步训练

3.3 三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于 A ．－m B ．m C ．－m 2 D.m22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为 A.14 B.32 C.12 D.34 3．在△A BC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是 A ．[－1,1] B ．[－12，12]C ．[－14，34]D ．[－34，14]4．计算sin105°cos75°的值是A.12B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________.知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是 A ．－sin(x ＋y)sin(x －y) B ．cos(x ＋y)cos(x －y) C ．sin(x ＋y)cos(x －y) D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________．9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式： (1)sin122°＋sin36°； (2)sin75°－sin15°； (3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]．其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋＋π3cos2x ＋＋π3的最小正周期是__________．15．求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则△ABC 是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cos α＋sin α，2 009)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tan α－cot α－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β)＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m.2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°)＝12－12sin50°＋12cos40°－14 ＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)，∵－1≤sin(A－C)≤1， ∴cosAsinC∈[－14，34]．4．B 5．π 6．B7．C y ＝1＋cos 2x ＋π62＋1－cos 2x ＋π62－1＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数． 8．－sin θ9．解：原式＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x) ＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2)＝4cos 52x·cosx·cos x 2.10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin 122°＋36°2·cos 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22；(3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°. 能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x－π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2. 13．C 原式＝2π7＋cos 4π7＋cos 6π7π7sinπ7＝123π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sin π－sin 5π7sinπ7＝－12sin π7sinπ7＝－12.14.π2sin2x ＋＋π3cos2x ＋＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2xcos2x ＋12cos2x －32sin2x＝332sin2x＋12332cos2x －12＝＋π6＋π6＝tan(2x ＋π6)，∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2.15．证明：左边＝sin α·(－12)(cos120°－cos2α)＝14sin α＋12sin αcos2α ＝14sin α＋14[sin3α＋sin(－α)] ＝14sin α＋14sin3α－14sin α ＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立． 16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A2，∴sinBsinC＝1＋cosA2，即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)． ∴cos(B－C)＝1. ∴B－C ＝0，即B ＝C. 17．2 010 ∵a ∥b ，∴cos α＋sin α－2 009(cos α－sin α)＝0，即cos α＋sin αcos α－sin α＝2 009.又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1 ＝1＋sin2αcos2α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＋1 ＝cos α＋sin αcos α－sin α＋1＝2 009＋1＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22，∴1cosA ＋1cosC＝－2 2. ∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC. 利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]，∴cos A －C 2＝－2(－12＋2cos 2A －C 2－1)，化简得42cos2A －C 2＋2cos A －C2－32＝0，又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C2＋3)＝0，∵22cos A －C2＋3≠0，∴cos A －C 2＝22.19．解：由已知，得－12(cos π2－cos4α)＝14，∴cos4α＝12.∵α∈(π4，π2)，∴4α∈(π，2π)． ∴4α＝5π3.∴2α＝5π6.∴2sin 2α＋tan α－cot α－1 ＝2sin 2α＋sin αcos α－cos αsin α－1＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α－1＝－cos2α－cos2α12sin2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin5π6＝32＋2×3212＝532. 拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsin θ＝3.∴bc＝6sin θ.① 由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccos θ≤6，② 将①代入②得0≤6cos θsin θ≤6，即0≤cot θ≤1，又θ为△ABC 的内角， ∴θ∈[π4，π2]．(2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)，由(1)知π4≤θ≤π2，∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6. ∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12.∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32.∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3，当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。

积化和差与和差化积公式教师版

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin(a ± P ) = sin a cos P ± cos 。

sin P . cos(a ± P ) =cos a COS P fsin ot sin P . ,，丄tan a ±tan Ptan © ± P )= --------- .1 +tan a tan P2二倍角公式及规律.c■ c c •sin2a .sin 2a =2si n a cos a . = cos a = ------- ,sin a2cos acos2a =co sa -Sin 2 a = 2cos a —1 = 1 ±cos a = = 1-2si n 2a .bcos 2^ '2I 2 Ot2si n 2 — I 22ta n a tan 2J = 2 1 一 ta n a 3、积化和差与和差化积公式 1= -[si n （a + P 冷si 出 cbs d^）].< sin a cosP cos^sin P 2«2cos 2 =1 [sin(a + P)-sin(a -P)]. ' 2b si n 2 2o t 2口 1 +cos — ------ 2 2 .2a 1 -cosa Sin2 2 2* 1-cosa tan — ------2 1 + cosa 2口 1 + coset cos —2 2 2« 1 — Sin —2 2 2口 1-cosatan2 1 +=沁.1±sin — (si 』±cos=2.2cos a 2 2=—[cos(a + P) + cos(acosot cos P- P)]. 21sin Ct sin P = -一[cos(a + P) -cos(a —P)].2P, a + P a - Psin a +sin P =2sin --- cos ----- .2 2COS a +cos P =2cos ---- cos ----2 2n a + p a 一psin a -sin P =2cos --- sin ----- .2 2sin a +si n p =2s in[(因为sin( a +a + p )/2] • cos[( a a cos p +cos a sin a cos p - cos a将以上两式的左右两边分别相加，得sin( a + p )+sin( a - p )=2sin a cos设 a + p =0 , a - p =© 那么a =( 0 +© )/2, p = (0 - ©) /2sin 0 +si np 的值代入，即得 © =2sin[ ( 0 + cos( a - p )-cos( =[(COS a cos =2sin a sinp-P )/2] 的证明过程 B,0 - ©)a + p )p +sin a sin p )-(cos a cos p a sin p )]sin a sin p =-1/2[-2sin a sin p ]=-1/2[(cos a cos p -sin a sin p )-(cos a cos p=-1/2[cos( a + p )-cos( a - p )] +sin a sin p )] 4、万能公式和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是:e +e① 其中前两个公式可合并为一个： sin 0 +sin © =2sin ? cos② 积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

人教B版高中数学必修四第三章+3.3三角函数的积化和差与和差化积+++同步测试().docx

3.3 三角函数的积化和差与和差化积同步测试试卷（数学人教B版必修4）1A0 C2AC3ACABCD10.（15分）已知sinα+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan （α+β）的值．3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B 版必修4）答案一、选择题1. B 解析：原式=cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=12．故选B. 2. C 解析：sin 15°cos 165°=sin 15°cos （180°-15°）=-sin 15°cos 15°=-12sin30°=-14，故选C .3.C 解析：cos Asin C=12 [sin （A+C ）-sin （A-C ）]= 12 [sin （π-B ）-sin （A-C ）]= 14- 12sin （A-C ）.因为-1≤sin （A-C ）≤1，所以-14≤14-12sin （A-C ）≤34，即cos Asin C 的取值范围为[-14，34],故选C.4.D 解析：sin αsin(π2-β)=sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].故选D.二、填空题5. (0，) 解析：：∵α-β=π6, ∴sin αsin β=-12[cos （α+β）-cos （α-β）]=-12[cos （α+β）-2]=- 12 [cos （2β+π6）- 2]. ∵β为锐角，即0＜β＜π3,∴π6＜2β+π6＜5π6.∴-2＜cos （2β+π6）＜2. ∴0＜-12[cos （2β+π6）-2]＜2. 6. m 解析：由已知得sin （α+β）•sin （β-α）=cos2cos22αβ-=22(2cos 1)(2cos 1)2αβ---=cos2α-cos 2β=m.三、解答题7.解：（1）f （x ）=4cos xsin （x+π6）-1=4cos x （2sin x+12cos x ）-12sin 2x+cos 2x=2sin （2x+π6），令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得：k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ，则f （x ）的单调递减区间为[k π+π6，k π+2π3],k ∈Z ；（2）∵x ∈[-π6，π4]，∴2x+π6∈[-π6，2π3]，∴sin （2x+π6）∈[-12，1]，则f （x ）的值域为[-1]．8．解：f （θ）=-12+5sin 22sin 2θθ=-12+ 5sin cos 222sin cos 22θθθθ=-12+sin 3sin 22sin θθθ+ =-12+sin cos 2cos sin 22sin cos 2sin θθθθθθθ++ =-12+22sin (2cos 1)2sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθθ-++=-12+22cos 4cos 12θθ+-=2cos 2θ+cos θ-1.9. 解：由题设条件知B=60°，A+C=120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22．将上式化简为cos A+cos C=－22cos Acos C ，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］，将cos 2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2C A -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2C A -－32=0，即［2cos 2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0．∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos 2C A -－2=0．∴cos 2C A -=22．10. 解：322cos cos sin sin =++βαβα，由和差化积公式得2-2+2-2+βαβαβαβαcos cos 2cossin2=3， ∴tan2+βα=3，从而tan （α+β）=433132tantan222-=-⨯=2+-12+βαβα．。

数学人教B版必修4作业：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析(数理化网)

一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】 C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10°B．tan 10°C．sin 20°D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)] ＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2. 【答案】 A4．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22 C.32D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32. 【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29 B ．－29 C.79D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13， ∵α－β＝23π， ∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________．【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12{cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14. 【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )] ＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A2＋2cos A 2sin A2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π， A 2＝π2－B ＋C 2.∴y ＝tan A2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2(sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 2)2cos B 2cos C2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2.因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变．10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)] ＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin (α－π12)cos (α－π12)＝sin (α＋π12)cos (α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。

高一数学人教B版必修4同步训练：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析

§3.3 三角函数的积化和差与和差化积一、基础过关1．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是( )A ．2B. 3C.32 D.33 2．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( ) A ．cot 2α B ．tan 2α C ．cot αD ．tan α3．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13C.13D.23 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为( ) A.14B.32C.12D.345.sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________．6．给出下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________． 7．化简：sin 40°(1＋2cos 40°)2cos 240°＋cos 40°－1.8．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C＝4cos A 2cos B 2cos C2.二、能力提升9． cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( )A.12B.32C.34D.1410．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________. 11．化简：tan 20°＋4sin 20°.12．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cosA －C 2的值．答案1．B 2.B 3.C 4.A 5.－3 6.⑤ 7．解方法一原式＝sin 40°＋2sin 40°cos 40°cos 40°＋(2cos 240°－1)＝sin 40°＋sin 80°cos 40°＋cos 80° ＝2sin 60°cos 20°2cos 60°cos 20°＝tan 60°＝ 3.方法二原式＝sin 40°＋2sin 40°cos 40°cos 40°＋(2cos 240°－1) ＝sin 40°＋sin 80°cos 40°＋cos 80°＝sin (60°－20°)＋sin (60°＋20°)cos (60°－20°)＋cos (60°＋20°)＝2sin 60°cos 20°2cos 60°cos 20°＝tan 60°＝ 3.8．证明 sin A ＋sin B ＋sin C＝2sinA ＋B 2cos A －B2＋ 2sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2 ＝2cos C 2·2cos A2cos ⎝⎛⎭⎫－B 2 ＝4cos A 2cos B 2cos C2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝4cos A 2cos B 2cos C2成立．9． C 10.－m 11. 3 12．解 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，由①②得－tan α＋β2＝－32.即tan α＋β2＝32，∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2·cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×321＋94＝1213.13．解由题设条件知，B ＝60°，A ＋C ＝120°.∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C ＝－2 2.将上式化为cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C .利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]．将cos A ＋C 2＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝－12，代入上式得cosA －C 2＝22－2cos(A －C )．将cos(A －C )＝2cos 2A －C2－1代入上式并整理得42cos 2A －C 2＋2cos A －C2－32＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A －C 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos A －C 2＋3＝0，∵22cos A －C2＋3≠0.∴2cosA －C2－2＝0. 从而得cos A －C 2＝22.。

数学人教B版必修4课后导练：3.3三角函数的积化和差与

课后导练基础达标1.在△ABC 中，若AB B A cos cos sin sin =,则△ABC 是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由题意,知sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.∴sin2A-sin2B=0.用和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,A+B=2π或A=B.故选D. 答案：D2.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos 2α-cos 2β等于…（）A.-mB.mC.-4mD.4m解析：cos 2α-cos 2β=(cosα-cosβ)(cosα+cosβ) =-2sin 2βα+sin 2βα-·2cos 2βα+cos 2βα-=s in(α+β)sin(β-α)=m.答案：B3.若tanθ=21,tan(θ-φ)=52-,则tan(φ-2θ)的值为（） A.41 B.89- C.81 D.81- 解析：tan(φ-2θ)=-tan ［θ-(φ-θ)］=89522115221)tan(tan 1)tan(tan -=⨯-+-=-+---θϕθθϕθ. 答案：B4.α、β为锐角，sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=-3[]5,则y 与x 的函数关系式为（） A.y=541532+--x x(53<x<1) B.y=541532+--x x(0<x<1) C.y=541532---x x(0<x<53) D.y=541532---x x(0<x<1) 解析：cosβ=cos ［（α+β）-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=541532+--x x, ∵541532+--x x>0,∴x>53.∴53<x<1. ∴应选A.答案：A5.α、β为锐角，且α+β=32π,则cos 2α+cos 2β的取值范围是（）A.［21，23］ B.［21，23） C.［21，45］ D.［21，43）解析：cos 2α+cos 2β=22cos 122cos 1βα+++ =1+21(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-21cos(α-β), ∵α,β∈(0,2π),α+β=32π, ∴α-β∈（-3π,3π）. ∴cos (α-β)∈(21,1］. ∴cos 2α+cos 2β∈［21,43）. 答案：D6.在直角坐标系中，已知两点A （cos80°,sin80°）,B(cos20°,sin20°),则|AB|的值是_________. 解析：|AB|2=（cos80°-cos20°）2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin20°sin80°)=2-2cos60°=2-2×21=1.答案：17.若在［0，2π］内有两个不同的实数值，满足等式cos2x+3sin2x=k+1,则k 的范围是________.解析：cos2x+3sin2x=2(21cos2x+23sin2x) =2sin(2x+6π), ∵x ∈［0,2π］, ∴2x+6π∈［6π,67π］. ∴2sin(6π+2x)∈［-1,2］. ∴k+1∈［-1,2］.∴k ∈［-2,1］.答案：［-2,1］8.设sin(4π-x)=135,x ∈(0,4π),则)4cos(2cos x x +π=______________.解析：cos2x=sin(2π-2x)=2sin(4π-x)·cos(4π-x)=2×135×1691201312=.cos(4π+x)=cos ［2π-(4π-x)］=sin(4π-x)=135, ∴132413169120)4cos(2cos ==+x x . 答案：1324 综合运用9.化简:αααααααα7sin 5sin 3sin sin 7cos 5cos 3cos cos ++++++. 解:原式=)5sin 3(sin )7sin (sin )5cos 3(cos )7cos (cos αααααααα++++++ )cos 3(cos 4sin 2)cos 3(cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2cos 4cos 23cos 4cos 2αααααααααααααα++=+∙+==cot4α. 10.在△ABC 中,求证:sin 2A+sin 2B-sin 2C=2sinAsinB·cosC. 证明:左边=22cos 122cos 1B A -+--sin 2C =1-21(cos2A+cos2B)-1+cos 2C =cos 2C-cos(A+B)·cos(A-B)=cos 2C+cosC·cos(A-B)=cosC ［cosC+cos(A-B)］=cosC ［cos(A-B)-cos(A+B)］=2cosC·sinA·sinB=右边.11.已知α,β均为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=2π. 证明：利用sin(α+2β)=1,证α+2β=2π. ∵⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.2sin 2sin 23,2cos sin 3,02sin 22sin 3,1sin 2sin 3222βαβαβαβα 平方相加，9sin 4α+49sin 22α=1, ∴sin 2α=91. ∴sinα=31(α为锐角). ∴sin(α+2β)=sinαcos ２β+cosαsin2β=3sin 3α+cosα·23sin2α=3sinα=1.∵0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+2β<23π. ∴α+2β=2π. 拓展探究12.在△ABC 中，sinA+cosA=22,AC=2,AB=3,求tanA 的值和△ABC 的面积. 解：∵sinA+cosA=2cos(A-45°)=22,∴cos(A-45°)= 21.又0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°.∴tanA=tan(45°+60°)=323131--=-+.sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°·cos60°+cos45°sin60°=462+,∴S △ABC =21AC·ABsinA=21×2×3×462+ =43(62+).。

24.积化和差与和差化积【教师版】(正式版)

积化和差与和差化积 (教师版) (正式版)【课前预习】一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ=1[sin()sin()]2αβαβ++-，cos sin αβ=1[sin()sin()]2αβαβ+--， cos cos αβ=1[cos()cos()]2αβαβ++-，sin sin αβ=1[cos()cos()]2αβαβ-+--. 2.和差化积sin sin αβ+=2sincos22αβαβ+-，sin sin αβ-=2sincos22αβαβ-+，cos cos αβ+=2coscos22αβαβ+-，cos cos αβ-=2sinsin22αβαβ+--.二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= .122.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .247-3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .144.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .1021π 解：410cos cos cos 2sin sin()sin cos7216424221ππππππθ=-=--== 6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .π7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .34- 解：1sin()cos [sin(2)sin()]6266x x x πππ-=-+-8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.解：33447sin sin[()]555525βααβ=--=⨯-⨯=-【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期.(2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.解：(1)min T π= (2)max 2cos()sin(),166y x y ππ=+-= 例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值.(2)求22sin sin αβ+的取值范围.解：(1) cos cos 2cos cos()cos()3παβαβαβ+=-=-cos cos αβ⇒+最大值为1 (2)221cos21cos21sin sin 1(cos2cos2)222αβαβαβ--+=+=-+11cos()cos()1cos()2αβαβαβ=-+-=+-又1cos()1αβ-≤-≤，所以22sin sin αβ+的取值范围是13[,]22。

积化和差与和差化积同步练习(教师版)

三角函数的积化和差与和差化积同步练习1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．2．sin15°sin75°＝( )D ．1解析：选°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.3．sin105°＋sin15°等于( )解析：选°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62.4．°°＝________.解析：°°＝12[sin°＋°)＋sin°－°)]＝12(sin45°＋sin30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋12＝2＋14. 答案：2＋14一、选择题1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )解析：选°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°) ＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34. 2．cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3C ．－12D ．3＋23解析：选C.原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72° ＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12，故选C.3．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形解析：选 B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )，又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故选B.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )C ．1解析：选＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －π6－12 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴y max ＝12－14＝14.5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13解析：选(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )A ．[－2,2]解析：选＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝cos(x ＋π6)．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∴y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，32. 二、填空题7．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值等于________．解析：y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos75°·cos15° ＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54.答案：548．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．解析：cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2＝2cos π3cosα＋β2＝cosα＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×19－1＝－79.答案：－799．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的最大值是______．解析：y ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2x ＋π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos2x ＋cos π3＝14－12cos2x ，因为－1≤cos2x ≤1，所以y max ＝34.答案：34三、解答题 10．化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A.解：(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos Bsin B ＋2cos120°sin A＝cos A －cos B sin B －sin A＝2sinA ＋B 2sin B －A22cos A ＋B 2sinB －A 2＝tan A ＋B2.(2)原式＝sin A ＋sin5A ＋2sin3Asin3A ＋sin7A ＋2sin5A＝2sin3A cos2A ＋2sin3A 2sin5A cos2A ＋2sin5A ＝2sin3A cos2A ＋12sin5A cos2A ＋1＝sin3A sin5A. 11. 在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围．解：由题意得cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝12[sin(π－B )－sin(A －C )] ＝14－12sin(A －C )． ∵－1≤sin (A －C )≤1， ∴－14≤14－12sin(A －C )≤34，∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.12．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sinx 2，x ∈(0，π)．(1)将f (x )表示成cos x 的多项式； (2)求f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝sin 5x 2－sinx 22sinx 2＝2cos 3x 2sin x2sinx2＝2cos 3x 2cos x 2＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1. (2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98，且－1＜cos x ＜1.∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98.。