天津市部分区高考数学一模试卷(文科)
2019年天津市和平区高考数学一模试卷(文科)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈N|﹣3≤x≤3}，则 A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
cm3． 12．（5 分）已知函数 f（x）＝x3+ax2+bx+c，若 f（1）＝0，f'（1）＝0，但 x＝1 不是函数的
极值点，则 abc 的值为
．
13．（5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，
，AB＝AD＝2．若 M、N 分别是边 AD、
BC 上的动点，满足
，
的值为
．
，其中 λ∈（0，1），若
即 x＞1 满足条件． 故选：A．
第7页（共21页）
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关
键．
6．（5 分）已知 log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．log2（a﹣b）＞0
C．2a﹣b＜1
D．
【考点】7J：指、对数不等式的解法． 菁优网版权所有
A．1
B．﹣1
C．0
【考点】EF：程序框图． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．
D．﹣2
【解答】解：第一次，i＝1，i＞5 不成立，S＝1﹣ ＝ ，i＝2，
第二次，i＝2，i＞5 不成立，S＝1﹣ ＝1﹣2＝﹣1，i＝3，
5．（5 分）不等式
成立的充分不必要条件是（ ）
天津市河东区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知i是虚数单位，x∈R，复数z=（x+i）（2+i）为纯虚数，则2x-i的模等于（）A. 1B.C.D. 22.已知x，y满足不等式组，则z=x+3y的最小值等于（）A. 3B. 6C. 9D. 123.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知偶函数f（x）在[0，2]上递减，试比a=f（1），b=f（），c=f（log2）大小（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. c＞a＞b6.为了得到函数y=3cos2x图象，只需把函数图象上所有点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度7.已知F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （1，）B. （，+∞）C. （，2）D. （2，+∞）8.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A. [2，3]B. [1，3]C. [1，4]D. [2，4]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}，则A∩B=______．10.已知函数f（x）的导函数，满足f（x）=2xf'（1）+x3，则f'（1）等于______．11.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______．12.已知直线y=mx与圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1交于A，B两点，∠ACB=60°，则圆的面积为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是______．14.若实数x，y满足2cos2（x+y-1）=，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cos x+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若a=7且sin B+sin C=，求△ABC的面积．16.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，①列出所有可能的结果；②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，CC1⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．18.在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．20.已知f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=（x+i）（2+i）=（2x-1）+（x+2）i为纯虚数，∴，即x=．∴2x-i=1-i，则2x-i的模等于．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得x，代入2x-i，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+3y得：y=-x+，显然直线过（3，0）时，z最小，z的最小值是3，故选：A．画出满足条件的平面区域，将直线变形为y=-x+，通过图象读出即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．3.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n 值，∵P=1+3+…+（2n-1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．求解：|x-2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x-2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的充分不必要条件．故选A．5.【答案】D【解析】解：∵，∴∵f（x）在[0，2]上递减，∴f（）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（）=f（-）=∴＞f（1）＞，即c＞a＞b故选：D．由对数的定义，可得b=f（2），c=f（-）=f（）．再结合函数函数f（x）在[0，2]上递减，即可得到a、b、c的大小关系．本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：把函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3cos2x=3sin（2x+）图象，故选：D．由题意利用诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x-c），与y=-x联立，可得交点M（，-），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2-a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2-x∈[-，0]，当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）|x-1.5|∈[-1，]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥-t+恒成立，∴≥-t+恒成立．即t2-4t+3≤0，即（t-3）（t-1）≤0，即1≤t≤3，即t∈[1，3]，故选：B．根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．9.【答案】{0，1，2}【解析】解：∵集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】-3【解析】解：∵f（x）=2xf′（1）+x3，∴f′（x）=2f′（1）+3x2，令x=1，则f′（1）=2f′（1）+3×12=2f′（1）+3，即f′（1）=-3．故答案为：-3求函数的导数，让x=1，建立关于f′（1）的方程，即可求解．本题主要考查导数的计算和求值，利用f′（1）为常数，建立关于f′（1）的方程是解决本题的关键，比较基础．11.【答案】16π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则其高为2r．三棱柱的底面是正三角形，内接于圆，如图：连接OA，OB，过O作OD垂直于AB，垂足为D，因为三角形ABC为等边三角形，所以∠OAB=30°，在直角三角形中，AD=OA×cos30°=，∴AB=r，∴三棱柱的体积为=12．解得r=2，所以圆柱的侧面积为：2πr×2r=2π×2×4=16π．故填：16π．根据已知条件求出底面半径，同时得到圆柱的母线长，进而得到圆柱的侧面积．本题考察圆柱侧面积的简单计算，属于基础题．12.【答案】6π【解析】解：根据题意，圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1，则其圆心为（m，1），半径为，直线y=mx与圆C交于A，B两点，且∠ACB=60°，则△ABC为等边三角形，则圆心到直线y=mx的距离d=r，即=×，解可得：m2=7，则圆的半径r==，则圆的面积S=πr2=6π；故答案为：6π．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线y=mx的距离d=r，进而可得=×，解可得m的值，由圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长与圆心到直线的距离，半径的关系，属于基础题．13.【答案】22【解析】【分析】本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中档题.由=3，可得=+，=-，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+=+，=-，又∵AB=8，AD=5，∴=（+）（-）=||2--||2=25--12=2，故•=22，故答案为22．14.【答案】【解析】解：∵，∴2cos2（x+y-1）=∴2cos2（x+y-1）=，故2cos2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x-y+1）+≥2，或（x-y+1）+≤-2，∴2cos2（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y-1）=2，故cos2（x+y-1）=1，即cos（x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，即x=y∴x+y-1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x•x=，当k=0时，xy的最小值，故答案为：配方可得2cos2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+≤2，或（x-y+1）+≤-2，进而可得cos（x+y-1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-A）cos x+sin（B+C）=2（sin x cos A-cos x sin A）cos x+sin A=2sin x cosxcos A-2cos2x sin A+sin A=sin2x cos A-cos2x sin A=sin（2x-A），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（-A）=0，由0＜A＜π，则A=，则f（x）=sin（2x-），由于x∈（0，），则2x-∈（-，），即有-＜sin（2x-）≤1．则值域为（-，1]；（Ⅱ）由正弦定理可得===，则sin B=b，sin C=c，sin B+sin C=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A，即49=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，即有bc=40，则△ABC的面积为S=bc sin A=×40×=10．【解析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到．本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得a=0.03．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为：1-（0.010+0.015）×10=0.75，∴估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为：0.75×640=480．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为：0.010×10×40=4人，设为A，B，C，D，数学成绩在[90，100]的学生人数为：0.005×10×40=2人，设为a，b，数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，所有可能的结果有15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b）∴这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=．【解析】本题考查实数值、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率、列举法，考查运算求解能力，属于中档题．（1）由频率分布直方图能求出a．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为0.75，由此能估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为4人，设为A，B，C，D，数学成绩在[90，100]的学生人数为2人，设为a，b，数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，利用列举法能求出所有可能的结果．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.【答案】证明：（1）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∵AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=1，AA1=t，则D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，t），C（0，1，0），=（1，1，0），=（0，1，t），=（0，1，0），设平面DBC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），平面BDC的法向量=（0，0，1），∵二面角C1-BD-C的大小为60°，∴cos60°==，解得t=，∴B（1，1，0），C1（0，1，），A（1，0，0），C（0，1，0），=（-1，0，），=（-1，1，0），设异面直线BC1与AC所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．【解析】（1）推导出AC⊥BD，CC1⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC1A1．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d=2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22=a1a4，即（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，则a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1=，即b1=8；n≥2时，a n-1=++…+，与，相减可得2=，即有b n=2（3n+1），上式对n=1也成立，可得b n=2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）=n（3n+1），则前n项和T n=（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n=1•3+2•32+…+n•3n，3S n=1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得-2S n=3+32+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1，化简可得S n=，则T n=+n（n+1）．【解析】（Ⅰ）运用等差数列{a n}的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项，可得所求通项公式；（Ⅱ）令n=1可得数列b1，n≥2时，将n换为n-1，作差可得所求通项公式；（Ⅲ）求得=n（3n+1），运用数列的分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.【答案】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（5分）（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty-9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1-y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…（12分）【解析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性的合理运用．20.【答案】解：（1）∵，∴，∴（-∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x-1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证∀x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1-e x＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e-m，先证．令w（x）=2e x-x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2e m-m＞0，再证f（e-m）≥1，∵，∴．…（14分）【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x-1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2e x-x，通过导数求解函数的最值，然后推出．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。
【原创版】天津市南开区高考一模考试数学文科试卷
天津市南开区高三一模数学（文）试题【试卷综述】试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.【题文】第 Ⅰ 卷【题文】一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【题文】（1）i 是虚数单位，复数ii5225+-=（ ）． （A ）–i （B ）i （C ）–2921–2920i （D ）–214+2110i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．B4 【答案】【解析】A 解析：5225522925252529i i ii i ii i,故选A.【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．【题文】（2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y 的最小值是（ ）．（A ）0 （B ）–6 （C ）–8（D ）–12【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】D 解析：由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，作出可行域如图，联立，解得，即C（﹣4，4），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣4﹣2×4=﹣12．故选：D．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题文】（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉(A∩B)，条件q：x∉(A∪B)，则p是q的（）．（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】C 解析：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题文】（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（）．（A）8+42（B）8+43+（D）8+22+23（C）662【知识点】由三视图求面积、体积．B4【答案】【解析】A 解析：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S=4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2，2的三角形，故棱锥的表面积为：4+2×+2×=8+4，故选：A ．【思路点拨】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【题文】（5）已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）． （A ）4x 2–12y 2=1 （B ）4x 2–34y 2=1 （C ）12x 2–4y 2=1 （D ）34x 2–4y 2=1 【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】B 解析：∵双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，∴33a b ，∵双曲线的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线x=1上，∴c=1． 联立33111a ba b,解得1434ab．∴此双曲线的方程为4x 2–34y 2=1．故选B ． 【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得33a b，再利用抛物线的准线x=1=c 及c 2=a 2+b 2即可得出．【题文】（6）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（ ）．（A ）(0，–2]（B ）[–2，+∞)（C ）(–∞，–2] （D ）[2，+∞)【知识点】函数的值域．B1 【答案】【解析】B 解析：；∴有；所以根据对数函数log 0.4x 的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B ．【思路点拨】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．【题文】（7）已知函数f (x )=sin ωx –3cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数y=f (x )的图象向左平移6π个单位得到函数y=g (x )的图象，则y=g (x )是减函数的区间为（ ）．（A ）(–3π，0) （B ）(–4π，4π) （C ）(0，3π) （D ）(4π，3π)【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．B4 【答案】【解析】D 解析：∵函数f （x ）=sin ωx ﹣cos ωx=2sin （ωx ﹣），又∵函数f （x ）=sin ωx ﹣cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f （x ）=2sin （2x ﹣）， 将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位可得y=g （x ）=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x 的图象，令+2k π≤2x ≤+2k π，即+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的减区间为[+k π，+k π]，k ∈Z ，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间， 又∵（，）⊆[，]，故选：D ．【思路点拨】由已知可求出函数f （x ）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g （x ）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．【题文】（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）．（A ）0＜m ≤1 （B ）34≤m ＜23 （C ）1＜m ＜23 （D ）23≤m ＜2【知识点】函数的零点与方程根的关系B4【答案】【解析】B 解析：f （x ）＜0可化为|mx|＜|x ﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x ﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式f （x ）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2； 故只需使，解得，≤m ＜；故选：B ．【思路点拨】f （x ）＜0可化为|mx|＜|x ﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x ﹣1|的图象，由数形结合求解即可．【题文】第 Ⅱ 卷【题文】二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市和平区高考数学一模试卷(文科)(解析版)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！天津市和平区高考数学一模试卷（文科）一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={1，2，3}，B={y|y=x﹣1，x∈A}，则A∪B等于（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2，3} D．{1，2，3，4}2．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．B．C．D．3．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积为（）A．12cm3B．16cm3C．18cm3D．20cm34．已知双曲线的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．“|x﹣2|≤5”是“﹣3≤x≤7”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则下列各区间中，能满足f（x）单调递减的是（）A．（3，6）B．（1，2）C．（﹣1，3）D．（﹣4，﹣1）7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣3，1] C．[﹣1，1] D．[1，3]8．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=2cos（2x+φ）﹣1的图象有相同的对称轴，若，则f（x）的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣3，3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9．已知复数（ai+2）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．10．若过点（1，1）的直线与圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．11．阅读右面的程序框图，当该程序运行后输出的x的值是．12．在同一平面直角坐标系中，函数y=f（x）的图象与y=（）x的图形关于直线y=x对称，而函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于y轴对称，若g（a）=﹣2，则a的值为．13．已知f（x）=x3+3x﹣1，f（a﹣3）=﹣3，f（b﹣3）=1，则a+b的值为．14．若不等式3x2+1≥mx（x﹣1）对于∀x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16．某化肥厂输出甲乙两种混合肥料，需要A、B两种主要原料，生产1吨甲种化肥和生产1吨乙种化肥所需要的原料的吨数如表所示：A B原料肥料甲 3 1乙 2 2每日可用A种原料12吨，B种原料8吨，已知输出1吨甲种化肥可获利润3万元；生产1吨乙种化肥可获利润4万元，分别用x，y表示计划输出甲乙两种化肥的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问每日分别生产甲乙两种化肥各多少吨，能够产生最大利润？并求出此最大利润．17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BA=BD，AD⊥CD，E、F分别为AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；（Ⅱ）求证：平面EFB⊥平面ABD；（Ⅲ）若BC=BD=CD=AD=2，AC=2，求二面角B﹣AD﹣C的余弦值．18．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．2017年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={1，2，3}，B={y|y=x﹣1，x∈A}，则A∪B等于（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2，3} D．{1，2，3，4}【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据并集运算进行求解．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={y|y=x﹣1，x∈A}={0，1，2}则A∪B={0，1，2，3}，故选：C2．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式求解即可．【解答】解：由题意得：==，故选：B．3．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积为（）A．12cm3B．16cm3C．18cm3D．20cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，画出几何体的直观图，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V=×3×4×4﹣××2×3×4=20cm3．故选：D．4．已知双曲线的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程，推出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，a=2，b=2．所求的双曲线方程为：．故选：C．5．“|x﹣2|≤5”是“﹣3≤x≤7”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由|x﹣2|≤5可得﹣5≤x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤7，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|≤5可得﹣5≤x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤7，故“|x﹣2|≤5”是“﹣3≤x≤7”的充要条件，故选：C6．已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则下列各区间中，能满足f（x）单调递减的是（）A．（3，6）B．（1，2）C．（﹣1，3）D．（﹣4，﹣1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据复合函数的单调性判断即可．【解答】解：令x2﹣2x﹣3＞0，即（x﹣3）（x+1）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，故y=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，故选：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣3，1] C．[﹣1，1] D．[1，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵满足==λ，λ∈[0，1]，=+=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）=（，）+（1﹣λ）（2，0）=（﹣2λ，）；=+=﹣+（1﹣λ）=（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）=（﹣﹣λ，（1﹣λ）），则•=（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣λ））=（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）=λ2+λ﹣3=（λ+）2﹣，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故选：A．8．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=2cos（2x+φ）﹣1的图象有相同的对称轴，若，则f（x）的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣3，3]【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=2cos（2x+φ）﹣1的图象有相同的对称轴，其周期T相同，可得ω=2，，求出2x﹣的范围，结合三角函数的图象及性质可知f（x）的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=2cos（2x+φ）﹣1的图象有相同的对称轴，其周期T相同，∴ω=2．可得f（x）=3sin（2x﹣），当时，则2x﹣∈[，]，当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为1×3=3，∴f（x）的取值范围是[，3]；故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9．已知复数（ai+2）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值为 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部互为相反数列式求得a值．【解答】解：∵（ai+2）i=﹣a+2i的实部与虚部互为相反数，∴﹣a=﹣2，即a=2．故答案为：2．10．若过点（1，1）的直线与圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 4 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0的圆心和半径r，再求出点（1，1）与圆心（3，2）间的距离d，|AB|的最小值|AB|min=2．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0的圆心为（3，2），半径r==3，点（1，1）与圆心（3，2）间的距离d==，∴|AB|的最小值|AB|min=2=2=4．故答案为：4．11．阅读右面的程序框图，当该程序运行后输出的x的值是13 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=35时，不满足条件S＜30，退出循环，计算并输出x=13．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1满足条件S＜30，S=3，k=2满足条件S＜30，S=11，k=3满足条件S＜30，S=35，k=4，不满足S＜30，此时k=4，x=13，输出13，故答案为：13．12．在同一平面直角坐标系中，函数y=f（x）的图象与y=（）x的图形关于直线y=x对称，而函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于y轴对称，若g（a）=﹣2，则a的值为﹣4 ．【考点】函数的图象．【分析】由函数y=g（x）的图象与y=3x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=（）x互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程g（a）=﹣2，解方程即可求也a的值．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象与y=（）x的图象关于直线y=x对称∴函数y=f（x）与y=（）x互为反函数则f（x）=log x，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴g（x）=log（﹣x），又∵g（a）=﹣2∴log（﹣a）=﹣2，可得a=﹣4故答案为：﹣4．13．已知f（x）=x3+3x﹣1，f（a﹣3）=﹣3，f（b﹣3）=1，则a+b的值为 6 ．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值．【分析】由已知可得f（x）=x3+3x+1在R上为增函数，且f（﹣x）+f（x）=﹣2，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+3x﹣1，∴f（﹣x）+f（x）=﹣2，又∵f′（x）=3x2+3＞0恒成立，故f（x）=x3+3x+1在R上为增函数，又∵f（a﹣3）=﹣3，f（b﹣3）=1，∴f（a﹣3）+f（b﹣3）=﹣2，∴a﹣3+b﹣3=0，∴a+b=6，故答案为：614．若不等式3x2+1≥mx（x﹣1）对于∀x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣6≤m ≤2 ．【考点】全称命题．【分析】把不等式化为（3﹣m）x2+mx+1≥0，利用判别式列出不等式组，求出m的取值范围．【解答】解：不等式3x2+1≥mx（x﹣1）可化为（3﹣m）x2+mx+1≥0，该不等式对∀x∈R恒成立，当3﹣m=0时，不等式化为3x+1≥0，不满足条件；∴，即，解得﹣6≤m≤2．故答案为：﹣6≤m≤2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．【解答】（Ⅰ）解：在△ABC 中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，∴，，sin2B=2sinBcosB=2××=，==．16．某化肥厂输出甲乙两种混合肥料，需要A、B两种主要原料，生产1吨甲种化肥和生产1吨乙种化肥所需要的原料的吨数如表所示：原料A B肥料甲 3 1乙 2 2每日可用A种原料12吨，B种原料8吨，已知输出1吨甲种化肥可获利润3万元；生产1吨乙种化肥可获利润4万元，分别用x，y表示计划输出甲乙两种化肥的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问每日分别生产甲乙两种化肥各多少吨，能够产生最大利润？并求出此最大利润．【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）利用已知条件列出约束条件，然后画出可行域即可．（2）写出目标函数，利用可行域，推出最优解，然后求解最大值．【解答】解：（1）由已知，x，y满足的关系式为：，不等式组表示的可行域为：．（2）设利润为z万元，则目标函数为：z=3x+4y，平移直线z=3x+4y，可得目标函数经过M时，取得最大值，由，可得M（2，3），所以z的最大值为：3×2+4×3=18．每日分别生产甲乙两种化肥各2，3吨，能够产生最大利润，最大利润为18万元．17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BA=BD，AD⊥CD，E、F分别为AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；（Ⅱ）求证：平面EFB⊥平面ABD；（Ⅲ）若BC=BD=CD=AD=2，AC=2，求二面角B﹣AD﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出EF∥CD，由此能够证明EF∥平面BCD．（Ⅱ）由已知条件推导出EF⊥AD，BF⊥AD，从而得到AD⊥平面EFB，由此能够证明平面EFB⊥平面ABD．（Ⅲ）由已知条件推导出∠BFE即为所求二面角B﹣AD﹣C的平面角，由此能求出二面角B ﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ACD中，∵E，F是AC，AD的中点，∴EF∥CD，∵EF不包含于平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．（Ⅱ）证明：在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD，∴EF⊥AD，∵在△ABD中，BA=BD，F为AD的中点，∴BF⊥AD，∵EF⊂平面EFB，BF⊂平面EFB，且EF∩BF=F，∴AD⊥平面EFB，∵AD⊂平面ABD，∴平面EFB⊥平面ABD．（Ⅲ）解：二面角B﹣AD﹣C即为二面角B﹣AD﹣E，由（Ⅱ）知EF⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFE即为所求二面角B﹣AD﹣C的平面角，在△BEF中，∵BC=BD=CD=AD=2，AC=2，∴BF=，EF=1，BE=，由余弦定理，得cos∠BFE===，∴二面角B﹣AD﹣C的余弦值为．18．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由条件得a n=2S n﹣1+1（n≥2），与条件式相减可得=3，再验证即可得{a n}为等比数列，从而求出通项公式；（II）化简得b n=（3n﹣1）•3n﹣1，使用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+1，∴a n=2S n﹣1+1，（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=2a n，即=3．又n=1时，a2=2a1+1=3，∴，∴{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列．∴a n=3n﹣1．（II）b n=（3n﹣1）a n=（3n﹣1）•3n﹣1，∴T n=2•30+5•31+8•32+…+（3n﹣1）•3n﹣1，①∴3T n=2•31+5•32+8•33+…+（3n﹣1）•3n，②∴﹣2T n=2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）•3n=﹣1﹣（3n﹣1）•3n=（）•3n﹣，∴T n=（﹣）•3n+．19．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意求得2b=a，将点（2，1），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用两点之间的距离公式，求得丨PM丨2=（x﹣2）2+y2，由P在椭圆上，则y2=4﹣，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM|的最小值及P点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=a，将（2，1）代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程；（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2，由P（x，y）在椭圆上，（﹣4≤x≤4）则y2=4﹣，∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣=x﹣4x+8=（x+）+，∴当x=﹣时，丨PM丨取最小值，最小值为，∴当x=﹣，解得：y=±，∴|PM|的最小值，P点的坐标（﹣，±）．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a 的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+，由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，可得2+=，解得a=﹣3；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a＜0时，f′（x）=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x=﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣，由a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0，由x→+∞时，F（x）→﹣∞，可得F（x）存在一个零点．综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．21金榜题名前程似锦。
(优辅资源)天津市部分区高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+24．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=15．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n）﹣f（x n）|=16（n ≤4π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=3﹣i，则z的实部为．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为．11．已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．12．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．13．已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，b=7，sinA﹣sinC=．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求cos（2A﹣B）的值．16．某人欲投资A，B两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A，B两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A股的投资额不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x万元，y万元投资A，B两支股票．（Ⅰ）用x，y列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该人对A，B两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．17．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．18．已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，前n项和S n，且满足+=﹣2（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值．20．已知函数f（x）=x3（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点．（i）当t=1时，求a的取值范围；（ii）当t=a时，设x1，x2，x3是函数g（x）=（x﹣a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x1，x2，x3，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由．2017年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f （a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n）﹣f（x n）|=16（n ≤4π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣f（x n）|=16，﹣1按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16． 则n 的最小值为10． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）=3﹣i ，则z 的实部为 1 ． 【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则z 的实部可求．【解答】解：由z （1+i ）=3﹣i ，得，则z 的实部为：1． 故答案为：1．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 5 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i=6时，满足条件i ≥6，退出循环，输出S 的值即可． 【解答】解：s=﹣2，i=0＜6 第一次循环，s=﹣1，i=2，第二次循环，i=2＜6，s=1，i=4，第三次循环，i=4＜6，s=5，i=6≥6，输出s=5，故答案为：5．11．已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为2．【考点】导数的运算．【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．【解答】解：=；∴．故答案为：2．12．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为（x﹣2）2+y2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．13．已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为2．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图象，由图求解【解答】解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图象如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=60°，b=7，sinA﹣sinC=．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求cos （2A ﹣B ）的值． 【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得a 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA 的值，可得sinA 的值，利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角和差的三角公式求得cos （2A ﹣B ）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC 中，∵B=60°，b=7，sinA ﹣sinC=，由正弦定理可得==，即==，∴a ﹣c=（sinA ﹣sinC ）=•=3 ①．再由余弦定理可得b 2=49=a 2+c 2﹣2ac•cos60°， 即a 2+c 2﹣ac=49=（a ﹣c ）2+ac=9+ac ，∴ac=40 ②． 由①②求得a=8，c=5．（Ⅱ）由于cosA==，∴sinA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos 2A ﹣1=﹣，∴cos （2A ﹣B ）=cos2AcosB +sin2AsinB=﹣•+•=﹣．16．某人欲投资A ，B 两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A ，B 两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A 股的投资额不大于B 股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x 万元，y 万元投资A ，B 两支股票．（Ⅰ）用x ，y 列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问该人对A ，B 两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图， （Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，约束条件为，画出约束条件的可行域如图：（Ⅱ）设利润为z ，则z=0.4x +0.8y ，即y=﹣x +z平移直线y=﹣x +z ，由图象可知当直线y=﹣x +z 经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由，解得x=9，y=6，此时Z=0.4×9+0.8×6=8.4，故对A 股票投资9万元，B 股票投资6万元，才能使可能的盈利最大．盈利的最大值为8.4万元17．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接OG，FG．∵对角线AC与BD的交点为O，∴OG∥DC，OG=，∵EF∥DC，DC=2EF，∴OG∥EF，OG=EF，∴OGFE为平行四边形，∴OE∥FG，∵FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，∴OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，∵FD=FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，∵OF∩OC=O，∴BD⊥平面AFC，∵⊂P⊂平面ABCD，∴平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）解：作FH⊥AC于H．∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，由题意，△BCD为正三角形，OA=，BD=AB=2，∵FD=FB=2，∴△FBD为正三角形，∴OF=．△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF==﹣，∴∠AOF=120°，∴∠FAH=∠FAO=30°，∴AF与平面ABCD所成角为30°．18．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，前n 项和S n ，且满足+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n ）的通项公式；（Ⅱ）记c n =，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：≤T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）整理得（S n +1+S n ﹣1）2=（2S n ）2，结合题意，得S n +1+S n ﹣1=2S n ，可判断出数列{S n }为等差数列，继而可得S n =2n ﹣1，从而可求数列{a n ）的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可得c n ==（﹣），从而可求得数列{c n }的前n 项和为T n ，即可证得：≤T n ．【解答】解：（本小题满分13分）（Ⅰ）由+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）得．+2S n +1S n ﹣1+=4，即（S n +1+S n ﹣1）2=（2S n ）2，由数列{a n }的各项为正数，得S n +1+S n ﹣1=2S n ，…3分 所以数列{S n }为等差数列，…4分由a 1=1，a 2=2，得S 1=a 1=1，S 2=a 1+a 2=3，则数列{S n }的公差为d=S 2﹣S 1=2， 所以S n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1…6分当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n ﹣1）﹣（2n ﹣3）=2，而a 1=1不适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得c n ===（﹣）…8分则T n =c 1+c 2+c 3+…+c n = [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）…11分另一方面，T n =（1﹣）是关于n 的增函数，则T n ≥T 1=，因此，≤T n …13分19．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若点M （，）在椭圆C 上，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求|AB |的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a ﹣c=b ，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C 的离心率；（Ⅱ）将M 代入椭圆方程，求得a 和b 的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k 的值，利用弦长公式即可求得|AB |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由a ﹣c=b ，则（a ﹣c ）2=b 2，由b 2=a 2﹣c 2，整理得：2a 2﹣3ac +a 2=0，由e=， ∴2e 2﹣3e +1=0，解得：e=1或e=， 由0＜e ＜1，∴椭圆得离心率e=，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c ，则b 2=3c 2，将M （，）代入椭圆方程，则，解得：c=1，∴椭圆的方程为：，直线OM 的方程为y=x ，当直线l 的不存在时，AB 的中点不在直线y=x ，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx +m ，则，整理得：（3+4m 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0，则△=64k 2m 2﹣4（3+4m 2）（4m 2﹣12）=48（3+4k 2﹣m 2）＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，则y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=，则AB 的中点N （﹣，），由N 在直线y=x ，则﹣=2×，解得：k=﹣，则△=48（12﹣m 2）＞0，解得：﹣2＜m ＜2，则丨AB 丨=•=•，=•，当m=0，则丨AB 丨最大，且丨AB 丨max =，|AB |的最大值．20．已知函数f （x ）=x 3（2+a ）x 2+（a ﹣1）x ，（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）定义若函数H （x ）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H （x ）的中间零点，设x=t 是函数g （x ）=（x ﹣t ）f′（x ）的中间零点． （i ）当t=1时，求a 的取值范围；（ii ）当t=a 时，设x 1，x 2，x 3是函数g （x ）=（x ﹣a ）f′（x ）的3个零点，是否存在实数b ，使x 1，x 2，x 3，b 的某种排列成等差数列，若存在求出b 的值，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，则f（x）=x3﹣3x，f′（x）=x2﹣3，令f′（x）=0，解得：x=±，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上可知：当x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，f（x）单调递增，当x∈（﹣，）时，f（x）单调递减；（Ⅱ）（i）g（x）=（x﹣t）f′（x）=（x﹣t）[x2+（a+2）x+a﹣1]，由当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则需要h（1）=2a+2＜0，即a＜﹣1，∴a的取值范围（﹣1，+∞）；（ii）假设存在b满足条件，不妨x2=a，x1＜x3，则x1＜x2=a＜x3，则x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，则x1+x3=﹣（a+2），x1x3=a﹣1，则x1=，x3=，①当x1，a，x3，b成等差数列，则x1+x3=2a=﹣a﹣2，解得：a=﹣，则x3﹣x1=b﹣a=，则b=a+=﹣+=，②当b，x1，a，x3成等差数列，同理求得x3﹣x1=a﹣b=，则b=a﹣=﹣﹣=﹣，③当x1，b，a，x3成等差数列，同理求得x3+x1=a+b=﹣（a+2），则a=﹣b﹣1，x1=2b﹣a=2b++1=+1，x3=2a﹣b=﹣b﹣2﹣b=﹣2b﹣2，∴x1x3=（+1）（﹣2b﹣2）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，整理得：5b2+b=0，解得：b=0或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，④当x1，a，b，x3成等差数列，x1+x3=a+b=﹣（a+2），则2a=﹣b﹣2，x1=2a﹣b=﹣2b﹣2，x3=2b﹣a=2b++1=+1，则x1x3=（﹣2b﹣2）（+1）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，解得：b=0，或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，综上所述：b的取值为，﹣，0或﹣．2017年4月14日。
2023年天津市市区重点中学高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年天津市市区重点中学高考数学一模试卷1. 设集合，，，则( )A. B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C.，D.，3. 国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是( )A. 众数为7和9B. 方差为s ²C. 平均数为7D. 第70百分位数为84. 函数为自然对数的底数的部分图象大致为( )A. B.C. D.5. 设，则( )A.B.C.D.6. 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，若实数a 满足，则a 的最小值是( )A. B. 1 C. D. 27. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A. B. C. D.8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B. 5 C. D.9. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 若复数，则______.11. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是______.12. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是______ ，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则______ .13. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则______.14. 如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则__________ ，若，则__________.15. 已知函数，则__________；若在既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为__________.16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且：：：1：，求a的值；求的值；求的值.17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，平面ABCD，求证：平面ADE；求直线AE与平面EFC所成角的正弦值；求平面AEF和平面EFC的夹角的余弦值．18. 已知函数求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若对于任意，都有，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆过点，且离心率为求椭圆C的标准方程；点A是椭圆C与x轴正半轴的交点，点M，N在椭圆C上且不同于点A，若直线AM、AN 的斜率分别是、，且，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.20. 已知数列中，，，，数列的前n项和为求数列的通项公式；若，求数列的前n项和；在的条件下，设，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，所以故选：直接进行集合的运算即可得解本题考查集合的基本运算．2.【答案】C【解析】解：命题“，”的否定是，故选：存在改任意，将结论取反，即可求解．本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：结合数据得众数为7和9，故A正确，平均数是，故C正确，，故B正确，10次射击成绩从小到大排列分别是：4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，，第70百分位数为，故D错误，故选：由众数，方差，平均数的求法判断ABC，再由第70百分位数的定义判断本题考查了众数，方差，平均数以及第70百分位数的定义，是基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，属于中档题．根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项．【解答】解：函数的定义域为，，则是奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当时，，排除C，故选：5.【答案】B【解析】解：，，，，即，，，故选：根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．6.【答案】A【解析】解：是偶函数，，等价为，即，即，即，函数在上是增函数，，即，即，即a的最小值是，故选：根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：底面边长为4，底面的对角线长为，设正四棱柱和正四棱锥的高为h，外接球的半径为R，则根据题意可得，解得，，外接球的表面积为故选：结合勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积．本题考查几何体的外接球问题，球的表面积公式，方程思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，作出如下所示的图形，设点关于直线的对称点为，则，解得，，“将军饮马”的最短总路程为故选：设点关于直线的对称点为，根据该直线是的中垂线可列出关于m和n的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出即可．本题考查点关于直线的对称问题，还包含两点间的距离公式，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意得，且，，解得，，对于①，的图象向右平移个单位长度后得，显然不是奇函数，故①错误，对于②，，故点为图象的一个对称中心，故②正确，对于③，，故③错误，对于④，当时，，故在区间上单调递增，故④正确，故选：由三角函数的性质列式得出的解析式，再由其性质与图象变换对结论逐一判断，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式以及利用三角函数的性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】【解析】解：因为复数，所以，则故答案为：由已知结合复数的模长公式可求．本题主要考查了复数的模长公式的应用，属于基础题．11.【答案】60【解析】解：由二项式系数的性质，可得，解可得，；的展开式为为，令，可得，则展开式中常数项为故答案为：根据题意，的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得，解可得，；进而可得二项展开式，令，可得，代入二项展开式，可得答案．本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．12.【答案】【解析】解：根据题意，从4个红球和2个白球中任取3球，有种取法，其中恰有1个白球的取法有种，其恰有一个白球的概率；事件A，即第一次取到红球后，有3个红球和2个白球，则故答案为：；对于第一空：由排列组合公式计算“从4个红球和2个白球中任取3球”和“取出3球恰有1个白球”的取法，由古典概型公式计算可得答案；对于第二空：分析第一次取到红球后，红球和白球的数目，计算可得答案．本题考查条件概率和古典概型的计算，注意排列组合的应用，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：双曲线，双曲线的渐近线方程是又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，x轴是角AOB的角平分线，得故答案为：求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．14.【答案】【解析】解：以点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，，，，，解得，故答案为：可以点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可求出，，，进行数量积的坐标运算即可求出的值，根据向量坐标的加法和数乘运算即可得出：，然后解出，的值即可．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：根据分段函数的性质，可得；由已知函数解析式，可得，，，且当时，由正弦函数性质和周期定义，可得函数的周期为2，函数的图象如图所示：由图可知要在区间取得最大值和最小值，则a的范围是故答案为：；根据分段函数的性质即可求解第一问，而第二问需画出函数的图象，根据图象即可得实数a的取值范围．本题考查了分段函数的性质以及求最值问题，考查数形结合思想，属于基础题．16.【答案】解：在中，：：：1：，：b：：1：，，，在中，，，，由余弦定理可得由可知，又，则，，，则【解析】本题主要考查正、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题．由题意利用正弦定理，求得a的值．由题意利用余弦定理计算求得结果．先用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值．17.【答案】证明：在平面BCF和平面ADE中，，面ADE，面ADE，面ADE，又，面ADE，面ADE，面ADE，，平面平面ADE，又平面BCF，平面ADE；解：取AB中点M，则，如图建立空间直角坐标系，，，，设平面EFC的一个法向量为，，直线AE与平面EFC所成角的正弦值为；设平面AEF的法向量为，，设二面角平面角为，二面角的余弦值为【解析】由线面平行的判定可证面ADE、面ADE，再由面面平行的判定可得平面平面ADE，最后由面面平行的性质可得平面ADE；构建空间直角坐标系，求面EFC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角正弦值；求面AEF和面EFC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值．本题考查了线面平行的证明和线面角与二面角的计算，属于中档题．18.【答案】解：因为函数，所以，，又因为，则所求切线斜率为1，切点坐标为，所以在点处的切线方程为；函数的定义域为，由可知，，由，解得，由，解得，所以的单调递增区间是，的单调递减区间是；当时，恒成立，等价于恒成立，令，，，当时，，所以在区间单调递减；当时，，所以在区间单调递增．而，所以在区间上的最大值为，所以当时，对于任意，都有实数a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题.求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；求出函数的导数，根据导数和函数单调性的关系，求出函数的单调区间即可；问题等价于“”．构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a的范围即可．19.【答案】解：由题知，即，又因为，所以椭圆的方程可化为，又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为由题可知，直线AM，AN的斜率一定存在且不为0，设直线：，因为，所以直线：，联立，得，所以，所以，因为，所以，代入，得，即，用代换k，即得，所以，所以直线MN的方程为，即，所以直线MN恒过定点【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．由椭圆C过，且离心率为，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．设直线：，由，得直线：，联立直线AM与椭圆的方程，得，，解得M点坐标，同理可得N点坐标，写出直线MN的方程，即可得出答案．20.【答案】解：，，，当，时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，则；当，时，数列的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，则，；由得，，，；证明：由得，则，时等号成立，由不等式的性质得，令，数列的前n项和为，①，②，由①-②得，，由不等式的性质得，故，令，数列的前n项和为，③，④，由③-④得，，由不等式的性质得，故【解析】根据题意分类讨论n是奇数，n是偶数，利用等差数列的定义和通项公式，即可得出答案；由得，，利用等差数列的求和公式可得，可得，利用裂项相消法，即可得出答案；由得，则，利用不等式的基本性质可得时等号成立，即，令，数列的前n项和为，利用错位相减法可求出，即可证明结论．本题考查等差数列的定义和通项公式、裂项求和法和错位相减法，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷含解析
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21B ．22C ．23D ．244．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．06．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．510．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23πB ．3π C ．6π D ．56π 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．6312．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年天津市和平区高考数学一模试卷(文科)-普通用卷
2019年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则A∩B=（）A. 2，3，B. 0，1，2，3，C. 2，D.2.设变量x，y满足约束条件，，，则z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 6C. 5D. 43.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B.C. 0D.4.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A. B. 1 C. D. 25.不等式＞成立的充分不必要条件是（）A. B.C. 或D. 或6.已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.7.设双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. 2B.C.D.8.已知函数f（x）=|ln x|，若关于x的方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a∈R，且复数是纯虚数，则a=______．10.直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2-4x+2y+1=0相交于A、B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=______．11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm3．12.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（1）=0，f'（1）=0，但x=1不是函数的极值点，则abc的值为______．13.如图，在直角梯形ABCD中，，AB=AD=2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为______．14.已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．16.为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．17.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直？并说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆：（a＞b＞0）经过点，，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．20.已知函数f（x）=x lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={0，1，2，3}；∴A∩B={1，2，3}．故选：C．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内A（2，1）的时候z最大，最大值为5，故选：C．先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点A时，z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．3.【答案】B【解析】解：第一次，i=1，i＞5不成立，S=1-=，i=2，第二次，i=2，i＞5不成立，S=1-=1-2=-1，i=3，第三次，i=3，i＞5不成立，S=1-（-1）=2，i=4，第四次，i=4，i＞5不成立，S=1-=，i=5，第五次，i=5，i＞5不成立，S=1-=1-2=-1，i=6，第六次，i=6，i＞5成立，重新终止，输出S=-1，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cosA==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA=，故选：C．利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A 的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由得＜1，即x＜0或x＞1，则不等式成立的充分不必要条件应该是{x|x＞1或x＜1}的真子集，即x＞1满足条件．故选：A．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为对应集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0，所以0＜，2a-b＞20=1，故A、C不正确；当a-b＞1时，log2（a-b）＞0，当0＜a-b≤1时，log2（a-b）≤0，故B不正确；∵，∴选项D正确；故选：D．由题意可得a＞b＞0，依次比较即可．本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2）∴mx2+ny2=1的一个焦点为（0，2）∴焦点在y轴上∴a2=，b2=-，c=2根据双曲线三个参数的关系得到4=a2+b2=-又离心率为2即=4解得n=1，m=-∴此双曲线的方程为．b=，渐近线方程：x+=0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离：=．故选：B．利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离．解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2．8.【答案】C【解析】解：设h（x）=f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）=f（1）+m=ln1+m=m，A点的纵坐标为g（2）=-2，当x=2时，h（2）=ln2+m，g（1）=0，要使方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即-2-ln2＜m≤0，即实数m的取值范围是（-2-ln2，0]，故选：C．设h（x）=f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】-2【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=-2．故答案为：-2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】1或-3【解析】解：圆C：x2+y2-4x+2y+1=0，圆心坐标为：（2，-1），半径为2，因为△ABC为等腰直角三角形，所以=2×，所以m=1或-3．故答案为：1或-3．确定圆心坐标与半径，利用△ABC为等腰直角三角形，可得=2×，即可求出m．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：=36-．故答案为：36-．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】9【解析】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（1）=3+2a+b=0①，又f（1）=1+a+b+c=0②，由x=1不是f（x）的极值点，得f′（x）=0有一个根，∴△=4a2-12b=0③，由①②③解得：a=-3，b=3，c=-1，∴abc=9，故答案为：9．先求出函数的导数，再由题意得方程组，解出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，是一道基础题．13.【答案】【解析】解：由图可知：=+=+（1-λ），==，又，所以[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．由平面向量的线性运算得：=+=+（1-λ），==，由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，得解．本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．14.【答案】3【解析】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，∴2x+y=2x+==≥2=3．当且仅当即x=1时取等号．故答案为：3．用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.【答案】（Ⅰ）解：由A=2B，知sin A=sin2B=2sin B cosB，…………（1分）由正、余弦定理得．………………（3分）因为b=3，c=1，所以a2=12，则．………………（5分）（Ⅱ）解：由余弦定理得．……（6分）由于0＜A＜π，所以………（8分）故，…………（11分）………（13分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式进行求解本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．16.【答案】解：（I）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．∴，∴x=660，（II）C组样本个数是y+z=2000-（673+77+660+90）=500用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，应在C组抽取的个数为360×．（III）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设测试不能通过事件为M，C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个根据等可能事件的概率知P=．【解析】（I）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到要求的数字与样本容量之间的比值等于0.33，做出结果．（II）做出每个个体被抽到的概率，利用这一组的总体个数，乘以每个个体被抽到的概率，得到要求的结果数．（III）本题是一个等可能事件的概率，C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个，得到概率．本题考查分层抽样方法，考查在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目．17.【答案】（本题满分为14分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，…（2分）∵CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又∵BC∩CC1=C，∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，…（3分）又∵B1C⊂平面BCC1B1，∴B1C∥平面ADD1A1．…（4分）（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC，…（5分）又∵AC⊥BD，BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，…（7分）又∵B1D⊂底面BB1D，∴AC⊥B1D；…（9分）（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直，…（10分）证明：假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，…（11分）由棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，可得：A1B1⊥AA1，A1B1⊥A1D1，又∵AA1∩A1D1=A1，∴A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，…（12分）又∵A1B1∩B1D=B1，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥A1D，…（13分）这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故直线B1D与平面ACD1不垂直．…（14分）【解析】（Ⅰ）先证明BC∥平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又BC∩CC1=C，即可证明平面BCC1B1∥平面ADD1A1，从而可证B1C∥平面ADD1A1．（Ⅱ）先证明BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB1D，从而可证AC⊥B1D；（Ⅲ）用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，再证明A1B1⊥AD1，即可证明AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥A1D，这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故得证．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n-1=b n-1+b n，∴a n-a n-1=b n+1-b n-1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n-1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①-②可得-T n=6[2•2+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1]=12+6×-6（n+1）•2n+1=（-6n）•2n+1=-3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【解析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．19.【答案】（本题14分）（Ⅰ）解：由题知……………………………（2 分）解得……………………………（3 分）则椭圆C的标准方程为．……………………………（4 分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，…………………………（5 分）设直线OQ：x=my，则直线：………………………（6 分）联立得，所以………………………（8 分）由得．………（9 分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．…（10 分）所以………（11 分）==．……………………（13 分）所以……………………（14分）【解析】（Ⅰ）由题知求出a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线OQ：x=my，则直线与椭圆联立，求出OQ，MN，然后求解比值即可．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=ln x+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0ln x0，…（6分）切线的斜率为ln x0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=x lnx-a（x-1），则g'（x）=ln x+1-a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a-1，所以，在区间（0，e a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a-1）=a-e a-1．…（13分）当e a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．【解析】（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e a-1，得出在区间（0，e a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a-1≤1，当1＜e a-1＜e，当e a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．。
天津部分区联考2019届高三一模数学(文)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分。
2021-2021年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2021-2021年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}2．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件3．函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．该试题已被管理员删除5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤86．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象如图所示，则f（）等于（）A．1 B．C．D．7．已知抛物线y2=4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1] C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．复数=．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是．11．在等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则=．12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=8，DC=4，则AE=．13．已知圆C：x2+（y﹣2）2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为．14．在直角梯形中ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，动点E，F分别在线段BC和CD 上，且，，则的最小值为．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为钝角，sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2且b＞c，△ABC的面积为2，求边b和c．16．福州市某家电超市为了使每天销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某天即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）每天资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本30 10 90工人工资 5 10 40每台利润 2 3问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定每天空调和冰箱的供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=AB=1，点P为CE中点．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求DE与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求三棱锥D﹣ABP的体积．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）在直线y=2x+2上，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣3，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为A n，求证：A n≥．19．椭圆C：=1（a＞b＞0），A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2=﹣（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），交椭圆于P、Q两点，且满足=3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x0，y0）为线段AB 的中点，求证：kx0＞1．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出C U A，再根据两个集合的交集的定义求出（C U A）∩B．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，∴C U A={0，2，4，6}，∴（C U A）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．故选D．2．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞b，取a=2，b=﹣3，推不出a2＞b2，若a2＞b2，比如（﹣3）2．＞22，推不出a＞b．所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不不要条件．故选D3．函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=e x﹣+2，可知：x→0+时，f（x）→﹣∞；f（1）=e+1＞0．即可判断出函数的零点所在的情区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣+2，可知：x→0+时，f（x）→﹣∞；f（1）=e﹣1+2=e+1＞0．∴函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（0，1）．故选：B．4．该试题已被管理员删除5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=10时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S=+=，n=6满足条件，S=++=，n=8满足条件，S=+++=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤8，故选：D．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象如图所示，则f（）等于（）A．1 B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得求f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象，可得A=1，=+，求得ω=2，再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=0，求得φ=，故f（x）=sin（2x+），f（）=sin（+）=cos=，故选：B．7．已知抛物线y2=4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a=b，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），双曲线的一条渐近线为y=x，由题意可得d==，即有a=b，c==a，可得e==．故选：C．8．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1] C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】绘出函数f（x）的图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．【解答】解：作出f（x）的图象，如右．由图象可知：要使f（x）≥ax恒成立，只需函数g（x）=ax的图象恒在图象f（x）的下方，可得a≤1显然成立，设g（x）=ax与函数f（x）=x2+2x+2（x≤0）相切于点P（m，n），由f（x）的导数为2x+2，可得切线的斜率为2m+2，即有a=2m+2，am=m2+2m+2，解得m=﹣，a=2﹣2，由图象可得a≥2﹣2，综上可得a的范围是[2﹣2，1]．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．复数=﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：===﹣i，故答案为：﹣i．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是128 ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由=，得R=4，所以a=8，⇒a=，表面积为6a2=128．故答案为：128．11．在等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则= 3 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由3a1，成等差数列，可得2×=3a1+2a3，化为q4﹣2q2﹣3=0，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a3，∴=，化为q4﹣2q2﹣3=0，解得q2=3．则==q2=3．故答案为：3．12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=8，DC=4，则AE= 6 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知条件，利用圆的性质和弦切角定理及30°角所对直角边等于斜边长一半，推导出△DCE是∠DEC=90°，∠DCE=30°的直角三角形，由此能求出结果．【解答】解：如图，∵AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，∴CE⊥AD，∵AB=8，DC=4，∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，∴DE=DC=2，AD=2DC=8，∴AE=8﹣2=6．故答案为：6．13．已知圆C：x2+（y﹣2）2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆C：x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2），半径r=2，再求出圆心到直线的距离，从而得到直线被圆C所截得的弦的长度，由此能求出k的值．【解答】解：∵圆C：x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2），半径r=2，圆心C（0，2）到直线l1：y=x的距离d1==，l1被圆C所截得的弦的长度l1=2=2=2，圆心C（0，2）到直线l2：y=kx﹣1的距离d2==，l2被圆C所截得的弦的长度l2=2=2，∵l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，∴：2=，∴=1，解得k=．故答案为：．14．在直角梯形中ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，动点E，F分别在线段BC和CD上，且，，则的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系，过点C作CK⊥AB，垂足为K．由∠KBC=60°，BC=2，可得BK=1，CK=．DC=AK=3﹣1=2，利用，，（0≤λ≤1）．可得=+，=+．再利用数量积运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过点C作CK⊥AB，垂足为K．∵∠KBC=60°，BC=2，∴BK=1，CK=．∴DC=AK=3﹣1=2，∴A（0，0），B（3，0），C（2，），D（0，），∵，，（0≤λ≤1）．∴=+=，=+=．∴=+3λ=3λ+﹣1≥3×﹣1=5，当且仅当λ=1时取等号．故答案为：5．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为钝角，sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2且b＞c，△ABC的面积为2，求边b和c．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=，又A为钝角，即可解得A的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得bc=8，由余弦定理（b+c）2﹣bc=28，从而解得b+c=6，联立即可解得b，c的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinBcosC+cosBsinC=，∴sin（B+C）=，…．∵A+B+C=π，∴sinA=，…又∵A为钝角…．∴A=．…．（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=．由S=2，得bcsin =2，∴bc=8．①…．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（2）2=b2+c2﹣2bccos，…．即b2+c2+bc=28．∴（b+c）2﹣bc=28．②，…．将①代入②，得（b+c）2﹣8=28，∴b+c=6．…．∵b＞c，∴b=4，c=2．…．16．福州市某家电超市为了使每天销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某天即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）每天资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本30 10 90 工人工资 5 10 40每台利润 2 3问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定每天空调和冰箱的供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【考点】简单线性规划．【分析】设每天调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元），建立约束关系，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设每天调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元）则由题意，得…．则，化简得…．目标函数是z=2x+3y，…．把直线l：2x+3y=0向右上方平移，直线经过可行域上的点M，此时z=2x+3y取最大值解方程得M的坐标为（2，3）…．此时最大利润z=2×2+3×3=13百元…．答：空调和冰箱的供应量分别为2，3台，总利润为最大，最大为13百元．…．17．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=AB=1，点P为CE中点．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求DE与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求三棱锥D﹣ABP的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OD，OE，由已知可得AB⊥OE，结合四边形ABCD是直角梯形，得到OD∥CB，然后利用线面垂直的判定可得AB⊥平面ODE，从而得到AB⊥DE；（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，结合面面垂直的性质可得OE⊥AB，进一步得到OE⊥平面ABCD．得到∠ODEDE与平面ABCD所角，然后求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由P为CE中点，得V D﹣ABP=V P﹣ABD=，则三棱锥D﹣ABP的体积可求．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，∵△ABE是正三角形，∴AB⊥OE．∵四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，∴四边形OBCD是平行四边形，OD∥CB，又AB⊥BC，∴AB⊥OD．∵OD、OE⊂平面ODE，且OD∩OE=O，∴AB⊥平面ODE，∵DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE；（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊥AB，OE⊂ABE，∴OE⊥平面ABCD．∴∠ODE即为所求，在△ODE中，OD=1，OE=，∠DOE=90°，∴．又∵∠ODE为锐角，∴∠ODE=60°；（Ⅲ）解：∵P为CE中点，∴V D﹣ABP=V P﹣ABD=，∵OE⊥平面ABCD，∴=，∴．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）在直线y=2x+2上，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣3，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为A n，求证：A n≥．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分别根据递推公式和求和公式，即可求出数列{a n}，{b n}的通项公式，（2）求出c n==（﹣），根据列项求和和函数的单调性即可证明．【解答】解：（1）∵点（n，）在直线y=2x+2上，∴=2n+2，∴S n=2n2+2n，∴S n﹣1=2（n﹣1）2+2（n﹣1），∴a n=S n﹣S n﹣1=4n，∵T n=2b n﹣3，∴T n﹣1=2b n﹣1﹣3，∴T n=T n﹣1=b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，∵b1=T1=2b1﹣3，∴b1=3，∴{b n}是以3为首项，以2为等比的等比数列，∴b n=3×2n﹣1，（2）∵c n===（﹣），∴A n=c1+c2+…+c n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∵f（n）=﹣为增函数，∴f（n）≥f（1）=，∴A n≥（1﹣）=．19．椭圆C：=1（a＞b＞0），A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2=﹣（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），交椭圆于P、Q两点，且满足=3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知e==，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣，直线l与椭圆交于P，Q两点，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．k1=，k2=﹣k1k2=﹣=﹣，b=a，可得e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知e==，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣，直线l与椭圆交于P，Q两点得（2m2+3）y2﹣4my+6﹣6c2=0，因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，由韦达定理：y1+y2=，y1y2=．又=3，所以y1=﹣3y2，代入上述两式有：6﹣6c2=﹣，所以S△OPQ=|OD|•|y1﹣y2|=||=12•=12•≤12•=，当且仅当m2=时，等号成立，此时c2=，代入△，有△＞0成立，所以椭圆C的方程为：+=1．20．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x0，y0）为线段AB 的中点，求证：kx0＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，根据切线和直线平行，建立方程关系进行求解即可．（2）求函数φ（x）的解析式和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行证明即可．（3）根据中点坐标公式进行转化，构造函数，利用导数证明不等式即可．【解答】解：（1）g（x）=f（x）+=lnx+，（x＞0），则g′（x）=﹣，…g′（2）=，…解得a=3，…（2）φ（x）=f（x）﹣=（x＞0），函数的导数φ′（x）=﹣=≥0 …则函数函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；…（3）设点A（m，lnm），B（n，lnn），不妨设m＞n＞0，则，要证kx0＞1，即•＞1 …即证证＜．只需证，即证，只需证，…，设h（x）=lnx﹣（x＞1），由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，即，即．∴所以不等式kx0＞1．成立．…。
天津市河西区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合S={x|x＞-2}，T={x|x2+3x-4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A. （-2，1]B. （-∞，-4]C. （-∞，1]D. [1，+∞）2.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A. B. 0 C. D.3.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.4.设x∈R，则“|x|＜2”是“＜4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设a=log3e，b=e1.5，c=log，则（）A. b＜a＜cB. c＜a＜bC. c＜b＜aD. a＜c＜b6.以下关于函数f（x）=sin2x-cos2x的命题，正确的是（）A. 函数f（x）在区间上单调递增B. 直线是函数y=f（x）图象的一条对称轴C. 点是函数y=f（x）图象的一个对称中心D. 将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象7.值是( ).A. B. C. D.8.如图梯形ABCD，AB∥CD且AB=5，AD=2DC=4，•=0，则•的值为（）A. B. 10 C. 15 D. -二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.i是虚数单位，若复数z满足（3-4i）z=5，则z=______．10.己知函数f（x）=x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（e）的值为______．11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为______cm3．12.已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上．则C的方程为______．13.已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，则xy的最小值为______．14.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，60件，30件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调査，其中从乙车间的产品中抽取了2件．（Ⅰ）应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本容量n为多少？（Ⅱ）设抽出的n件产品分别用A1，A2，…，A n表示，现从中随机抽取2件产品．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间”，求事件M发生的概率．16.在△ABC中，A，B，C对应的边为a，b，c，已知a cos C+c=b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b=4，c=6，求cos B和cos（A+2B）的值．17.如图，己知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD=3，AD=1，AC=BC，M为线段AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线MD与BC所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线MD与平面ACD所成角的余弦值．18.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．20.已知函数f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a=1，b=3．①求函数f（x）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合S={x|x＞-2}，∴∁R S={x|x≤-2}，T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}，故（∁R S）∪T={x|x≤1}故选：C．先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范围．2.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（-，-1），B（，），C（2，-1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：当k=4时，k＞4不成立，当k=5时，k＞4成立，即程序功能是计算S=1+=1+1-+…+-=2-=，故选：A．根据程序框图了解程序功能，利用模拟运算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由|x|＜2得-2＜x＜2，由＜4得0≤x＜16，即“|x|＜2”是“＜4”的既不充分也不必要条件，故选：D．求出不等式的等价关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：0=log31＜log3e＜log33=1，e1.5＞e＞2，；∴a＜c＜b故选：D．容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，对数的运算，增函数和减函数的定义．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），在区间上，2x-∈（-，），故函数在区间上不单调，故排除A；令x=，求得f（x）=0，不是函数的最值，故直线不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故排除B；令x=，求得f（x）=1≠0，故点不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故排除C；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到y=sin[2（x+）-]═sin2x的图象，故D正确．故选：D．7.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线-y2=1的左顶点为A（-，0），渐近线方程为y=±x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选：A．求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：•=（+）（-）=（+）（-）=-•-=0，∴-•=10∴•=•（-）=•（+-）=（-）=-•=10，故选：B．根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可．本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由（3-4i）z=5，得z=．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.【答案】2【解析】解：f（x）=x lnx，则f′（x）=1+ln x，∴f′（e）=1+ln e=2故答案为：2先求导，再代值计算即可本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题11.【答案】6【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A-BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．12.【答案】（x-2）2+y2=10【解析】解：由A（5，1），B（1，3），得到直线AB的方程为：y-3=（x-1），即x+2y-7=0，则直线AB的斜率为-，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，又设线段AB的中点为D，则D的坐标为（，）即（3，2），所以线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为（2，0），而圆的半径r=|AC|==，综上，圆C的方程为：（x-2）2+y2=10．故答案为：（x-2）2+y2=10.根据题意可知线段AB为圆C的一条弦，根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，又因为圆心在x轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．13.【答案】64【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．利用基本不等式构建不等式即可得出【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y-xy=0，∴xy=2x+8y≥2=8，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x=4y=16时取等号．故xy的最小值为64．故答案为64.14.【答案】-7【解析】【分析】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（-2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察[-5，1]上的交点的横坐标的特点，求出它们的和．【解答】解：由题意知，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[-5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[-5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为-3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为-4-t，所以方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实数根之和为-3+（-4-t）+t=-7．故答案为：-7．15.【答案】解：（Ⅰ）由已知甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4：2：1，由于采用分层抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和1件，∴样本容量n=7．（Ⅱ）（i）从抽出的7件产品中随机抽取两件产品的所有可能结果为n=，分别为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A1，A7}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A2，A7}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A3，A7}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A4，A7}，{A5，A6}，{A5，A7}，{A6，A7}．（ii）设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间”，则事件M包含的基本事件有14种，分别为：{A1，A5}，{A1，A6}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A2，A7}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A3，A7}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A4，A7}，{A5，A7}，{A6，A7}．∴事件M发生的概率P（M）==．【解析】（Ⅰ）由已知甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4：2：1，由于采用分层抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，由此能求出样本容量．（Ⅱ）（i）利用列举法能法度出从抽出所有可能的抽取结果．（ii）设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间”，利用列举法求出事件M包含的基本事件有14种，由此能求出事件M发生的概率P（M）．本题考查分层抽样、随机事件所包含的基本事件、古典概型及期概率计算公式等等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵a cos C+c=b．∴由正弦定理可得：sin A cos C+sin C=sin B，又∵sin B=sin（A+C），可得：sin A cos C+sin C=sin A cos C+cos A sin C，∵sin C≠0，∴可得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=…6分（Ⅱ）∵b=4，c=6，A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×=28，可得：a=2，∴由b sin A=a sin B，可得：sin B=，∵b＜a，∴cos B==，∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=2cos2B-1=，∴cos（A+2B）=cos A cos2B-sin A sin2B=-…13分【解析】（Ⅰ）由正弦定理，和角的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得a的值，利用正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，利用二倍角公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos （A+2B）的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，和角的正余弦函数公式以及正弦定理等基础知识的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC=AB，AD⊂平面ABD，∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC=A，AD,AC平面ACD，∴BC⊥平面ACD．（Ⅱ）解：取AC中点N，连接MN，DN，∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴∠DMN为异面直线DM于BC所成的角或其补角，由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴MN⊥平面ACD，又DN⊂平面ACD，∴MN⊥DN，∵AB==2，∴AM=AB=，∴DM==，∵AC=BC，BC⊥AC，∴BC==2，∴MN=BC=1，∴cos∠DMN==．∴异面直线MD与BC所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN⊥平面ACD，∴∠MDN为直线MD与平面ACD所成角，又DN==，∴cos∠MDN==．【解析】（Ⅰ）根据BC⊥AC，BC⊥AD可得BC⊥平面ACD；（Ⅱ）取AC的中点N，则∠DMN为异面直线MD与BC所成角，在Rt△DMN中计算cos∠DMN；（Ⅲ）在Rt△DMN中计算cos∠MDN．本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n-1=b n-1+b n，∴a n-a n-1=b n+1-b n-1．∵数列{b n}为等差数列，设公差为d，∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n-1）=3n+1.（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①-②可得-T n=6[2•2+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1]=12+6×-6（n+1）•2n+1=（-6n）•2n+1=-3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．19.【答案】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（-c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=-x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2-=0，解得x=0，或x=，∵A（，-），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=-=，∵F1C⊥AB，∴×（）=-1，由b2=a2-c2得，即e=．【解析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．20.【答案】解：（1）因为a=1，b=3，所以f（x）=x3+3x2+4，从而f'（x）=3x2+6x．①令f'（x）=0，解得x=-2或x=0，列表：所以，f（x）max=f（2）=24，f（x）min=-12．…………（4分）②设曲线f（x）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g'（x0）＞0，此时g（x0）单调递增，当x0∈（-1，1）时，g'（x0）＜0，此时g（x0）单调递减，所以g（x0）极小值=g（1）=t-8，g（x0）极大值=g（-1）=t，要使过点（1，t）可以作函数f（x）的三条切线，则需，解得0＜t＜8．…………（9分）（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2等价于，………（11分）令，则，所以，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（2，4）时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，故h（x）min=3，h（x）max=5．…………（13分）若a=0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b=2（3a+b）-（5a+b）∈[-4，8]；综上可得-4≤a+b≤8．…………（16分）【解析】（1）①代入a，b的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2019年天津市和平区高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈N|﹣3≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4} C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）设变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．6C．5D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．﹣1C．0D．﹣24．（5分）在△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．25．（5分）不等式成立的充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＞﹣1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜1或x＞16．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（a﹣b）＞0C．2a﹣b＜1D．7．（5分）设双曲线mx2+ny2＝1的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A．2B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若关于x的方程f（x）+m ＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，ln2]B．（﹣2﹣ln2，0）C．（﹣2﹣ln2，0]D．[0，2+ln2）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．（5分）已知a∈R，且复数是纯虚数，则a＝．10．（5分）直线l：x+y+m＝0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+1＝0相交于A、B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m＝．11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（1）＝0，f'（1）＝0，但x＝1不是函数的极值点，则abc的值为．13．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为．14．（5分）已知正数x，y满足x2+2xy﹣3＝0，则2x+y的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．16．（13分）为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD ＝90°，AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD＝2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直？并说明理由．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2019年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：B＝{0，1，2，3}；∴A∩B＝{1，2，3}．故选：C．2．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z＝2x+y，∵直线z＝2x+y过可行域内A（2，1）的时候z最大，最大值为5，故选：C．3．【解答】解：第一次，i＝1，i＞5不成立，S＝1﹣＝，i＝2，第二次，i＝2，i＞5不成立，S＝1﹣＝1﹣2＝﹣1，i＝3，第三次，i＝3，i＞5不成立，S＝1﹣（﹣1）＝2，i＝4，第四次，i＝4，i＞5不成立，S＝1﹣＝，i＝5，第五次，i＝5，i＞5不成立，S＝1﹣＝1﹣2＝﹣1，i＝6，第六次，i＝6，i＞5成立，重新终止，输出S＝﹣1，故选：B．4．【解答】解：∵△ABC中，a2＝b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，∴A＝60°，∵bc＝4，∴S△ABC＝bc sin A＝，故选：C．5．【解答】解：由得＜1，即x＜0或x＞1，则不等式成立的充分不必要条件应该是{x|x＞1或x＜0}的真子集，即x＞1满足条件．故选：A．6．【解答】解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0，所以0＜，2a﹣b＞20＝1，故A、C不正确；当a﹣b＞1时，log2（a﹣b）＞0，当0＜a﹣b≤1时，log2（a﹣b）≤0，故B不正确；∵，∴选项D正确；故选：D．7．【解答】解：∵抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）∴mx2+ny2＝1的一个焦点为（0，2）∴焦点在y轴上∴a2＝，b2＝﹣，c＝2根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2+b2＝﹣又离心率为2即＝4解得n＝1，m＝﹣∴此双曲线的方程为．b＝，渐近线方程：x+＝0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离：＝．故选：B．8．【解答】解：设h（x）＝f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）＝f（1）+m＝ln1+m＝m，A点的纵坐标为g（2）＝﹣2，当x＝2时，h（2）＝ln2+m，g（1）＝0，要使方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即﹣2﹣ln2＜m≤0，即实数m的取值范围是（﹣2﹣ln2，0]，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 9．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．10．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+1＝0，圆心坐标为：（2，﹣1），半径为2，因为△ABC为等腰直角三角形，所以＝2×，所以m＝1或﹣3．故答案为：1或﹣3．11．【解答】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：＝36﹣．故答案为：36﹣．12．【解答】解：∵f′（x）＝3x2+2ax+b，∴f′（1）＝3+2a+b＝0①，又f（1）＝1+a+b+c＝0②，由x＝1不是f（x）的极值点，得f′（x）＝0有一个根，∴△＝4a2﹣12b＝0③，由①②③解得：a＝﹣3，b＝3，c＝﹣1，∴abc＝9，故答案为：9．13．【解答】解：由图可知：＝+＝+（1﹣λ），＝＝，又，所以[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，又＝2，＝||2＝3，可得：3λ2﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．14．【解答】解：∵x2+2xy﹣3＝0，∴y＝，∴2x+y＝2x+＝＝≥2＝3．当且仅当即x＝1时取等号．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（Ⅰ）解：由A＝2B，知sin A＝sin2B＝2sin B cos B，…………（1分）由正、余弦定理得．………………（3分）因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，则．………………（5分）（Ⅱ）解：由余弦定理得．……（6分）由于0＜A＜π，所以………（8分）故…………（11分）………（13分）16．【解答】解：（I）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．∴，∴x＝660，（II）C组样本个数是y+z＝2000﹣（673+77+660+90）＝500用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，应在C组抽取的个数为360×．（III）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设测试不能通过事件为M，C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个根据等可能事件的概率知P＝．17．【解答】（本题满分为14分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，…（2分）∵CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又∵BC∩CC1＝C，∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，…（3分）又∵B1C⊂平面BCC1B1，∴B1C∥平面ADD1A1．…（4分）（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC，…（5分）又∵AC⊥BD，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D，…（7分）又∵B1D⊂底面BB1D，∴AC⊥B1D；…（9分）（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直，…（10分）证明：假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，…（11分）由棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，可得：A1B1⊥AA1，A1B1⊥A1D1，又∵AA1∩A1D1＝A1，∴A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，…（12分）又∵A1B1∩B1D＝B1，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥A1D，…（13分）这与四边形AA1D1D为矩形，且AD＝2AA1矛盾，故直线B1D与平面ACD1不垂直．…（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）S n＝3n2+8n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n+5，n＝1时，a1＝S1＝11，∴a n＝6n+5；∵a n＝b n+b n+1，∴a n﹣1＝b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1＝b n+1﹣b n﹣1．∴2d＝6，∴d＝3，∵a1＝b1+b2，∴11＝2b1+3，∴b1＝4，∴b n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（Ⅱ）c n＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，∴T n＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，∴T n＝3n•2n+2．19．【解答】（本题14分）（Ⅰ）解：由题知……………………………（2 分）解得……………………………（3 分）则椭圆C的标准方程为．……………………………（4 分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，…………………………（5 分）设直线OQ：x＝my，则直线………………………（6 分）联立得，所以………………………（8 分）由得．………（9 分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．…（10 分）所以………（11 分）＝＝．……………………（13 分）所以……………………（14分）20．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）＝0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0＝x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0＝1，y0＝0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．…（9分）（Ⅲ）g（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）＝lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）＝0，得x＝e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）＝0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）＝a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）＝a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．。
2019年天津市南开区高考数学一模试卷(文科)
2019 年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共 40.0分）1. 已知集合A={ x|-2≤x≤ 2} B={ x|y=1-}，那么A∩B=（），A. { x|-2≤x≤1}B. { x|-2≤x＜1}C. { x|x＜-2}D. { x|x≤2}2. 设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=x-y 的最大值为（）A. 1B. -1C.D. -33. 执行如图所示的程序枢图，输入的 a 的值为3，则输出的 i=（）A. 4B. 5C. 6D. 74.设a b R a b”是“（a-b）a2＜ 0”的（），∈，则“＜A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数y=2sin（-2x x [0π]））（∈，）为增函数的区间是（A. [0，]B. []C. [0，]D. []6.函数 f （ x）是奇函数，且在（ 0， +∞）内是增函数， f（-3） =0 ，则不等式 xf（ x）＜ 0 的解集为（）A. C.（-3， 0）∪（3， +∞）（-∞， -3）∪（ 3，+∞）B.D.（-∞， -3）∪（ 0， 3）（-3， 0）∪（ 0， 3）7.过双曲线的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于A， B两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA ，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.8.如图，在△ABC 中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC 的面积为，则的最小值为（）A. B. C. 3 D.二、填空题（本大题共 6 小题，共30.0 分）9. 己知复数 z=，则 z 的实部为 ______ ．10.已知函数 f（ x） =（ax2+x-1） e x+f′（ 0），则 f′（ 0）的值为 ______．11.如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段AA1， B1C 上的点，则三棱锥D1- EDF 的体积为 ______．12.已知P为抛物线C：y2=4x上一点，点M（0|PM|=4POM（O，），若，则△为坐标原点）的面积为 ______．13.已知 x， y 均为正实数，且x+3 y=2，则的最小值为 ______．14.设函数f x =，若函数g x）=x+a-f x）有三个零点，则这三个零（）（（点之和的取值范围是______．三、解答题（本大题共 6 小题，共80.0 分）15.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月 1日3月 2日3月 3日3月4日3月 5日温差 x（℃）101113128发芽数 y（颗）2325302616（Ⅰ）求这 5 天的平均发芽率；（Ⅱ）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为m，n ，用（ m，n）的形式列出所有的基本事件，并求满足“m， n∈[25 ， 30] ”的事件 A 的概率．16. 已知 △ABC 中， a 、 b 、c 分别是角 A 、 B 、C 的对边， ∠B=2 ∠C ， sinC=（ 1）求 cosB ，cosA 的值；（ 2）设 bc=24，求边 a 的长．17. 如图，在三棱锥 S-ABC 中， SA ⊥底面 ABC ，AC=AB=SA=2， AC ⊥AB ， D ， E 分别是 AC ， BC 的中点， F 在 SE 上，且 SF=2FE ．（ Ⅰ）求异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值； （ Ⅱ）求证： AF ⊥平面 SBC ；（ Ⅲ）设 G 为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值．18. 已知数列 { a n } 是等差数列， S n 为其前 n 项和，且 a 5=3a 2， S 7=14a 2+7．（ Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式；（ Ⅱ）设数列 { a n +b n } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{ b n （ a n +b n ）} 的前n 项和 T n ．19. 已知椭圆C =1 a b 0，两焦点与短轴的一个端点的连： （ ＞ ＞ ）的离心率为线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设与圆 O：x2 +y2= 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点（ O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．20.已知函数 f（ x） =．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（ e， f（ e））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（ x）在区间（ m，m+ ）（ m＞ 0）上存在极值，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设 g（ x）=[xf（ x） -1] ，对任意x∈（0， 1）恒有 g（ x）＜ 2x-2，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵B={x|x ≤1}；∴A∩ B={x|-2≤ x ≤．1}故选：A．可求出集合 B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，函数定义域的求法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：变量 x，y满足约束条件条件的可行域如图：目标函数 z=x-y 经过可行域的 B 点时，目标函数取得最大值，由标可得 B（0，1），目函数 z=x-y的最大值为：-1．故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得a=3，M=100，N=1，i=1满足条件 M ＞N，M=103，N=3，i=2满足条件 M ＞N，M=106，N=9，i=3满足条件 M ＞N，M=109，N=27，i=4满足条件 M ＞N，M=112，N=81，i=5满足条件 M ＞N，M=115，N=243，i=6不满足条件 M ＞ N，退出循环，输出 i 的值为 6．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 M ，N，i 的值，当M=115，N=243 时，不满足条件 M ＞N，退出循环，输出 i 的值为 6．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的 M ，N，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：若a=0，b=1，满足 a＜ b，但（a-b）a 2＜ 0 不成立，若“（a-b）a 2＜ 0，则 a＜ b 且 a≠0，则 a＜ b 成立，2故“a＜b”是“（a-b）a ＜ 0”的必要不充分条件，根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．5.【答案】B【解析】解：y=2sin（）=-2sin（2x-），求 y=2sin（递增区间，等价于求 y=2sin（2x-递间，）的）的减区由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+，k∈Z，得 2kπ+ ≤2x≤2kπ+，k∈Z，得 kπ+ ≤x≤kπ+，k∈Z，当 k=0 时，≤x≤，即函数 y=2sin（2x-递间为[]，）的减区则函数 y=2sin（），x∈[0，π]的单调递增区间为 [] ，故选：B．根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可．第6页，共 16页本题主要考查三角函数 单调性以及单调区间的求解，利用复合函数 单调性之间的关系以及三角函数的 单调性是解决本 题的关键．6.【答案】 D【解析】解：根据题意，函数 f （x ）为奇函数，则 f （3）=-f （-3）=0，函数 f （x ）在（0，+∞）内是增函数，且f （-3）=0，在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，+∞）上，f （x ）＞0，又由 f （x ）为奇函数，则在（-3，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-3）上，f （x ）＜0，xf （x ）＜0? 或则或 0＜x ＜3，， 有-3＜ x ＜ 0 即不等式的解集 为（-3，0）∪（0，3）；故选：D ．根据题意，由奇函数的性质可得 f （3）=0，结合函数的 单调性可得在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，+∞）上，f （x ）＞0，又由 f （x ）为奇函数，则在（-3，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-3）上，f （x ）＜0，又由 xf （x ）＜0? 或，分析可得答案．本 题 考 查 函数的奇偶性与 单调 性的 综 合 应 键 用，关 是分析得到关于 x 的不等式，属于基础题．7.【答案】 C【解析】解：双曲线的渐近线方程 y=± x ，由题意可知：设 A （m ，n ），由B 为 FA 的中点，且 OA=c ，则 △AOF 为等腰三角形，且 OB ⊥AF ，∴∠BOA= ∠xOA ，即tan ∠BOx=tan2∠AOx ．∴，整理得 b 2=3a 2，双曲线的离心率 e==2，∴双曲线的离心率 e=2，故选：C ．由题意可知：则△AOF 为等腰三角形，且 OB ⊥AF ，根据对称性求得 B 和 A 点坐标，代入渐近线方程，即可求得 b 2=3a 2，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程及离心率公式，考 查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．8.【答案】 B【解析】解：∵ =m+，又，∴= ，∴=m，又因为 C ，P ，D 三点共线，则 m=1，即 m= ，∴，∴=，∵=2 ，∴||=8，∴ ，∴，故选：B ．首先利用 C ，P ，D 三点共 线 求得 m 值 过结 合不等式找到其最小 值．，再通此 题 考 查 了向量之 间 的 转 积综 较强 难 化，数量 ，向量的模，不等式等， 合性 ， 度适中． 9.【答案】 0【解析】解：∵z== ，∴z 的实部为 0．故答案为：0．直接利用复数代数形式的乘除运算化 简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的基本概念，是基 础题．10.【答案】 0【解析】解：∵f （x ）=（ax 2+x-1）e x+f ′（0），∴f （′x ）=（2ax+1）e x +（ax 2+x-1）e x =（ax 2+x+2ax ）e x，∴f （′0）=0×e 0=0故答案为：0根据函数的 导数公式求得函数的 导数，即可得到结论．本题主要考查导数的计算，利用函数的导数公式求 导是解决本 题的关键，比较基础．11.【答案】【解析】锥 D1-EDF 选择△D1ED为底面，F为顶则=，解：将三棱点，其==，F 到底面 D1ED 的距离等于棱长 1，所以=× ×1=S故答案为：将三棱锥 D1-EDF 选择△D1ED 为底面，F 为顶点，进行等体积转化 V D1-EDF =V F-D1ED 后体积易求．本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．12.【答案】【解析】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=-，焦点F（，0），与M 重合，又 P为C上一点，|PF|=4， x，∴P=3代入抛物线方程得：|y P|=2，∴S△=×|0M| ×|y |=2．POM P故答案为：2 ．根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=4求得 P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．本题考查了抛物线的定义及几何性质练线上的点所满足的条件，熟掌握抛物是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵x，y 均为正实数，且 x+3y=2，则==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴的最小值为，故答案为：．利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】[，6]【解析】解：函数f （x）=，函数 g（x）=x+a-f （x）有三个零点，函数 g（x）=x+a-f （x）=0，可得 y=与y=a有3个交点，由函数的图象可得：x≥0时由 2 个解，并且关于 x=3 对称，函数的最小值为 -3；3x+4=-3 ，解得 x=，所以：这三个零点之和的取值范围：[，6]．故答案为：[，6]．求解函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数有 3 个，通过数形结合，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点以及零点和的范围的求法，考查数形结合以及计算能力．15.【答案】解：（Ⅰ）这5天的平均发芽率为：（23+25+30+26+16 ）×100%=24% ．（Ⅱ）从 3月 1日至 3月 5日任中选 2天，记发芽的种子数分别为 m， n，用（ m， n）的形式列出所有的基本事件有10 个，分别为：（23，25），（ 23，30），（ 23，26），（ 23，16），（ 25，30），（ 25，26），（ 25，16），（ 30， 26），（ 30， 16），（ 26， 16）．满足“ m， n∈[25 ，30]”的事件A 包含的基本事件有：（ 25， 30），（ 25， 26），（ 30， 26），共 3 个．∴满足“ m， n∈[25，30] ”的事件A 的概率 P（ A） =．【解析】（Ⅰ）利用平均数公式能求出这 5 天的平均发芽率．（Ⅱ）从3 月 1 日至 3 月 5 日任中选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，利用列举法能求出满足“m，n∈[25，30] ”的事件 A 的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查平均数公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：（1）∵B=2C，∴0＜C＜90°，cosB=cos2C=1-2sin2C=1-2 ×（）2∴=1-∴sinB=，∵sinC=∴cosC= ，故 cosA=cos（180°-B-C） =-cos（ B+C）=sin BsinC-cosBcosC=× -× =．（ 2）由正弦定理得，即 b=2 RsinB， c=2RsinC．∵bc=4R2sinBsinC=4R2× =R2 =24，∴R2=，即R=，∵cosA=，∴sinA=，∴a=2RsinA=2 ××=5．【解析】（1）根据同角的关系式以及两角和差的三角公式即可求cosB，cosA 的值；（2）根据bc=24 利用正弦定理建立条件关系即可边a的长．本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，考查学生的运算能力，要求熟练掌握相应的公式．17.【答案】（I）解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE ∥AB，∴∠BAF 为 AF 与 DE 所成的角．∵AB=AC，∴BC ⊥AE，又 AS⊥平面 ABC， BC? 平面 ABC．∴AS⊥BC ，又 AE∩AS=A，∴BC ⊥平面 SAE，∴BC⊥SE．∵AB=AC=AS=2 ， AB⊥AC，∴AD =DE =1， AE=BE=，SE=，∴EF= SE=，BF==．又 cos∠AES= = ，∴AF==，∴cos∠BAF==．∴异面直线AF 与 DE 所成角的余弦值为．（II ）证明：由（ I ）可知 BC ⊥平面 SAE，又 AF? 平面 SAE，∴BC ⊥AF ，由（ I）知 AE=，EF=，AF =，∴EF2+AF2=AE2，∴AF ⊥EF，又 BC∩EF=E， BC? 平面 SBC， EF? 平面 SBC，∴AF ⊥平面 SBC．（ III ）解：延长AG 交 BC 于 M ，连接 FM ，∵AF ⊥平面 SBC，∴∠AMF 为 AG 与平面 SBC 所成的角．∵G 是 DE 的中点，∴DG= DE = ，∴AG==，∴sin∠DAG= =，cos∠DAG =，又∠ACM =45°，∴sin∠AME=sin （∠DAG +∠ACM ） =+=．又 sin∠AME=，∴AM ==．∴cos∠AMF = =．∴直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为．【解析】（I）利用勾股定理和余弦定理计算△ABF 的边长，再计算 cos∠BAF ；（II ）利用勾股定理得出 AF ⊥EF，AF ⊥BF，故而 AF ⊥平面 SBC；（III ）延长 AG 交 BC 于 M ，计算 AM 得出 cos∠AMF 的值．本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）数列{ a n}是公差为d的等差数列，且a5=3a2，S7=14a2+7，可得 a1+4d=3（ a1+d）， 7a1+21d=14 （ a1+d） +7，解得 a1=1，d=2，则 a n=2n-1；（Ⅱ）数列 { a n+b n} 是首项为1，公比为 2 的等比数列，n-1n-1可得 a n+b n=2，可得b n=2-（ 2n-1），则 b n（ a n+b n） =4n-1 -（ 2n-1）?2n-1，设 K n=1?20+3?2+ +（2n-1）?2n-1，2K n=1?2+2?22+ +（ 2n-1）?2n，相减可得 -K n=1+2 （ 2+22++2n-1） -（ 2n-1）?2n=1+2-n，?（）?化简可得 K n=3+ （2n-3）?2n，则前 n 项和 T n=-3- （2n-3）?2n=-（2n-3）?2n．【解析】（Ⅰ）数列{a n} 是公差为 d 的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（Ⅱ）a n-1，可得 b n-1（），运用数列的分组求和和错位相减法求n+b n=2n=2- 2n-1和，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．19. 2 2 2， bc=，， a -b =c【答案】解：（ 1）由题意可得， e=解得 a= ，b=1 ， c= ，即有椭圆的方程为2+y =1；（ 2）当 k 不存在时， x=±，可得 y=±，S△OAB= ×× =；当 k 存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（ x1，y1）， B（ x2，y2），将直线 y=kx+m 代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0 ，x1+x2=-，x1x2=，由直线 l 与圆 O： x2+y2= 相切，可得，即有 4m2=3（ 1+k2），|AB|=?== ?= ?= ?≤?，当且仅当9k2=，即k=± 时等号成立，可得 S△OAB =|AB|?r ≤ ×2× =，即有△OAB 面积的最大值为．此时直线方程y=± ±1．【解析】（1）由已知可得关于 a，b，c的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当k 不存在时，求出△AOB 的面积；当k 存在时，设直线为 y=kx+m ，A （x1，y1），B（x2，y2），将直线 y=kx+m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得 m 与 k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线 l 的方程．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（ x） ===，则 f′（ e） ==-，即在点（e，f（e））处的切线斜率k=-，f （e） == ，则在点（ e，）处的切线方程为y- =-（x-e），即y=-x+ ．（Ⅱ）由 f ′（ x） =得，当 0＜ x＜1 时， f′（ x）＞ 0，当 x＞l 时， f′（ x）＜ 0，∴f（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（1， +∞）上单调递减，故f（x）在 x=1 出取得极大值．∵f（x）在区间（ m，m+ ）（ m＞ 0）上存在极值，∴，即，得＜m＜1，即实数 m 的取值范围是（，1）．（Ⅲ） g（ x） =[xf（ x） -1]=[x?-1]=，若任意 x∈（ 0， 1）恒有 g（x）＜ 2x-2，即任意 x∈（ 0， 1）恒有＜ 2x-2，即＜ -2，当 x∈（ 0，1）时，?ln x＜ 0，当 a＜ 0 时，＞0，则＜-2不成立，当 a＞ 0 时，由＜-2得（1+x）lnx＜-2a（1-x），即 lnx＜，即lnx+＜0，设 h（ x）=ln x+，则h′（x）=，2设 m（ x） =x +（ 2-4a）x+1，判别式△=（ 2-4a）2-4=16 a（ a-1），①若 0＜ a≤1，则△≤0， h′（ x）＞ 0，则 h（ x）在（ 0， 1]上为增函数，又 h（ 1）=0，∴h（ x）＜ h（ 1） =0，此时 0＜a≤1满足条件．②若 a＞ 1，△＞ 0， m（ 0）=1＞ 0， m（ 1） =4（ 1-a）＜ 0，∴存在 x0∈（ 0， 1），使得 m（x0） =0， h（x）在（ x0， 1）内单调递减，又 h（ 1）=0，∴当 x∈（ x0， 1）时， h（ x）＞ 0，不合乎要求，综上实数 a 的取值范围是0＜a≤1．【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程即可．（Ⅱ）求函数的导数确定 f（x）在x=1 处取得极值，则 1 在区间（m，m+）内，建立不等式关系进行求解即可．（Ⅲ）构造函数h（x）=lnx+，求函数的导数h′（x），利用函数极值和最值的关系进行讨论求解即可．本题主要考查导数的几何意义，函数的极值以及不等式恒成立问题，求函数的导数，构造函数，利用函数与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。
天津市河东高考数学一模试卷(文科)有答案
天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．226．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点相同．则双曲线的方程为．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．天津市河东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．【点评】本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题．2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m的界点来．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得a=2，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．22【考点】循环结构；程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞5，退出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行i=2，S=2×（1+1）=4；第二次运行i=2+1=3，S=2×（4+1）=10；第三次运行i=3+1=4，S=2×（10+1）=22；第四次运行i=4+1=5，S=2×（22+1）=46；第五次运行i=5+1=6，S=2×（46+1）=94．满足条件i＞5，退出循环体，输出S=94．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，一次函数的单调性，及增+增=增，可得函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，结合常数a，b满足0＜b＜1＜a，可得f（﹣1）＜0，f（0）＞0，进而可得n值．【解答】解：∵函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，常数a，b满足0＜b＜1＜a，∴f（﹣1）=﹣1﹣b＜0，f（0）=1﹣b＞0，∴函数f（x）=a x+x﹣b在（﹣1，0）内有一个零点，故n=﹣1，故选：D【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化，函数f（x）=a x+x﹣b是增函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键，属中档题．7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】当x≥0时，f（x）=f（x﹣2），可得当x≥0时，f（x）在[﹣2，0）重复的周期函数，根据x∈[﹣2，0）时，y=a﹣x2﹣4x=4+a﹣（x+2）2，对称轴x=﹣2，顶点（﹣2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，2）时，x﹣2∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=a﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）当x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=f（x﹣4）=a﹣（x﹣4）2﹣4（x﹣4）依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4，在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4在区间[﹣2，0）上的部分．二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4顶点为（﹣2，a+4），y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4∴﹣4≤a≤0或a＞0综上可得a≥﹣4故选C【点评】本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出|a+bi|的值．【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础的计算题．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题；综合法．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．【点评】本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2﹣log23．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为：2﹣log23【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为13．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】画出图形，结合图形，先求出•的值，再利用•=15，求出•的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵=++=+，=++=+，两式相加得=；∵AB=1，EF=，CD=，平方得2=；∴•=2；又∵•=15，即（﹣）•（﹣）=15；∴•﹣•﹣•+•=15，∴•+•=15+•+•，∴•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+•=（15+•+•）﹣•﹣•=15+•（﹣）+•（﹣）=15+•+•=15+•（﹣）=15+•=15﹣•=15﹣2=13．故答案为：13．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；从而可得，z=6x+10y；利用线性规划求解．【解答】解：由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；则，z=6x+10y；做其平面区域如下，则由y=800﹣2x，x=700﹣3.5y得，x=350，y=100；答：应生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润总额达到最大，利润最多3100元．【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【点评】本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）推导出PE⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥平面ABCD．（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，则MH∥PE，从而∠MBH即为BM与平面ABCD 所成角，由此能求出直线BM与平面ABCD所成角的正切值．（3）由CD∥BE，得直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，由此能求出直线BM与CD 所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．解：（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH∥PE，由（1）知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，∴HB是BM在平面ABCD内的射影，∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成角，∵AD∥BC，BC=AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=，又∵MH=PE=，∴△MHB中，tan=，∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为．（3）由（2）知CD∥BE，∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角连接ME，Rt△MHE中，，Rt△MHB中，，又，∴△MEB中，，∴直线BM与CD所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值和线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n= （n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），进而计算可得结论；（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{a n}是以为公差的等差数列，又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2016，∴最小正整数m=2016．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x 对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2﹣bx∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，∴b的取值范围为（﹣∞，2]；（II）证明：由已知得，即，两式相减，得：⇒，由f′（x）=﹣2ax﹣b及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b===，令t=∈（0，1），且φ（t）=，∵φ′（t）=，∴φ（t）是（0，1）上的减函数，∴φ（t）＞φ（1）=0，又x1＜x2，∴f'（x0）＜0．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。
参考公式：·如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()z 1-i =1+，则z =（）A ．1i-B ．1i+C ．22i-D ．22i+2．已知,a b ∈R ，则“b a >”是“22a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin522x xx f x -=-B ．()cos522x xx f x -=+C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知函数()1x f x x e =-，若0.61212,log 29a f b f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，134c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n N ==+∈，则5a =（）A ．6B ．9C ．11D ．146．下列说法正确的是（）A ．一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；B ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D ．若随机变量,ξη满足32ηξ=-，则()()32D D ηξ=-．7．如图是函数()()sin 0,0,22f x K x K ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，,B C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -△的面积等于2π，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；B ．函数()f x 的最小正周期为2π；C ．函数()f x 的图象可由()2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；D ．函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，3}，B={x∈R|-1＜x＜3}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {1，3}C. {2，3}D. {1，2，3}2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 5D. 73.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值为（）A. 3B. 2C.D.4.设m，n∈R，则“m＜n”是“（）m-n＞1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c的大小关系为（）A. c＞b＞aB. a＞b＞cC. c＞a＞bD. b＞c＞a6.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线的渐近线上点P（3，4）满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程为（）A. =1B. =1C. =1D. =17.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程为（）8.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），其中c＞b＞a，则（a+b）f（c）的取值范围是（）A. （24，36）B. （48，54）C. （24，27）D. （48，+∞）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.i是虚数单位，复数=______．10.已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（1）=1，则a=______．11.圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________.12.已知圆心在直线x-y-1=0上的圆与y轴的两个交点坐标分别为（0，4），（0，-2），则该圆的方程为______．13.已知a＞0，b＞0，c＞0，若点P（a，b）在直线x+y+c=2上，则+的最小值是______．14.在△ABC中，D为AB的中点，点O满足=2，OA⊥OB，若AB=10，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=3，cos A=，B=A+．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求cos2C的值．16.“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”．他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（Ⅱ）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”．将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为A i（i=1，2，3…），属于“懈怠型”的人依次记为B i（i=1，2，3，…），现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率．17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAD=90°，BC=CD=AD=1，PA=2，M为PD的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥AB；（Ⅱ）求证：CM∥平面PAB；（Ⅲ）求直线CM与平面PAD所成的角．18.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=1，a3+a4=12，b1=a2，b2=a5．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（-1）n a n b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k≠0）直线l与C交于A，B两点，交OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为，求k的值．20.已知函数f（x）=x3+ax2-b2x，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-3=0平行，求a与b满足的关系；（Ⅱ）当b=0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=0，b=1时，对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）＜x（e x+k）成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈R|-1＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，-1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3-1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3.【答案】A【解析】解：i＞3不成立，a=1-=，i=2，i＞3不成立，a=1-=1-=，i=3，i＞3不成立，a=1-=1+2=3，i=4，i＞3成立，输出a=3，故选：A．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由（）m-n＞1得m-n＜0，得m＜n，则“m＜n”是“（）m-n＞1”充要条件，根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得f（x）在R上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log25，分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及指数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数f（x）=（）x，则f（x）在R上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log25，则a＞b＞c；故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由渐近线方程可得a，b的关系，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，可得=，PF1⊥PF2，可得·=-1，解得c=5，即a2+b2=25，解得a=3，b=4，则双曲线的方程为-=1．故选C.7.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），∴sin（+φ）=0，结合图象求得φ=，故f（x）=sin（2x+）．若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-+）=sin （2x+）的图象．令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，先根据函数图象过点（，0），求出φ，可得f（x）的解析式，再函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）得解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：作出函数f（x）的图象，可得x＜4时，f（x）=-（x-3）2+9，其最大值为9，对称轴为x=3，可得a+b=6，由x＞4时，f（x）=2x-1递增，即f（x）＞8，可得3＜c＜4，即有f（c）∈（8，9），则（a+b）f（c）=6f（c），即6f（c）∈（48，54）．故选：B．作出f（x）的图象，求得a+b=6，3＜c＜4，以及f（c）的范围，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：=，故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.【答案】e【解析】解：f（x）=log a x（a＞0且a≠1），则f′（x）=，∴f′（1）==1，∴a=e，故答案为：e先求导，再代值计算即可本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题11.【答案】【解析】【分析】本题考查圆柱外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．由已知求出圆柱的高，进一步求得圆柱外接球的半径得答案．【解答】解：设圆柱的高为h，由圆柱的体积为π，底面半径为，又圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，∴球心为圆柱高的中点，则球的半径r=，∴该球的体积为V=．故答案为：．12.【答案】（x-2）2+（y-1）2=13【解析】解：∵圆心在直线x-y-1=0上，可设圆心为（a，a-1），∵圆与y轴的两个交点坐标分别为（0，4），（0，-2），∴a-1=1，∴a=2，故圆心为（2，1），故圆的半径为=，故圆的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=13，故答案为：（x-2）2+（y-1）2=13．设圆心为（a，a-1），由题意利用圆和直线相交的性质求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．本题主要考查圆和直线相交的性质，求圆的标准方程的方法，属于基础题．13.【答案】2+2【解析】解：点P（a，b）在直线x+y+c=2上，∴a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∵a＞0，b＞0，c＞0，∴+=+=2++≥2+2=2+2，当且仅当=时，即a+b=c时取等号，故+的最小值是2+2，故答案为：2+2由题意可得a+b+c=2，则+=+=2++，根据基本不等式即可求出本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题14.【答案】200【解析】解：以D为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，设C（x，y）则A（-5，0），B（5，0），由题意可知O为△ABC的重心，O（，）=（-5-，-），=（5-，-），∵OA⊥OB∴=∵=（x+5，y），=（x-5，y）∴=x2+y2-25=200建立坐标系，结合三角形重心性质及向量数量积的性质的坐标表示即可求解本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示的应用，属于基础试题．15.【答案】解：（Ⅰ）由cos A=，可得sin A=．∵B=A+．正弦定理：可得：a sin（A+）=3sin A那么a cos A=×可得a=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=3，那么sin B=；∴cos B=sin C=sin（A+B）=，可得cos2C=1-2sin2C=．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理即可求解A（Ⅱ）和与差公式，结合三角形内角和定理，即可求解cos2C的值．本题考查了正弦定理的应用和计算能力．属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）采用样本估计总体的方式，估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率：p==．（Ⅱ）（i）将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，抽到“积极型”的人有=2人，依次记为A i（i=1，2），抽到“懈怠型”的人有5×=3人，依次记为B i（i=1，2，3），再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查，所有可能的抽取结果有10种，分别为：（），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，事件M包含的基本事件有6种，分别为：则事件M发生的概率p=．【解析】（Ⅰ）采用样本估计总体的方式，利用古典概型能估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率．（Ⅱ）（i）将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，抽到“积极型”的人有=2人，依次记为A i（i=1，2），抽到“懈怠型”的人有5×=3人，依次记为B i（i=1，2，3），再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查，能够列举出所有可能的抽取结果．（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，利用列举法能求出事件M发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】（I）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．（II）证明：取PA的中点N，连接MN，BN，∵MN是△PAD的中位线，∴MN AD，又BC AD，∴MN BC，∴四边形BCMN是平行四边形，∴CM∥BN，又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，∴CM∥平面PAB．（III）解：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴∠CMD为直线CM与平面PAD的夹角，∵PD==2，∴DM=PD=，∴tan∠CMD==，故∠CMD=30°．∴直线CM与平面PAD所成的角为30°．【解析】（I）证明PA⊥平面ABCD得出PA⊥AB；（II）取PA的中点N，连接MN，BN，证明四边形BCMN是平行四边形得出CM∥BN，故而CM∥平面PAB；（III）证明CD⊥平面PAD，在Rt△CDM中计算∠CMD．本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}是等差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，且a1=1，a3+a4=12，b1=a2，b2=a5．则：1+2d+1+3d=12，解得：d=2，所以：b1=3，b2=9，解得：q=3，所以：．（Ⅱ）c n=（-1）n a n b n，=（2n-1）•（-3）n，所以：①，-3②，①-②得：4，解得：．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，∴椭圆C的方程为+=1;（Ⅱ）易知椭圆左顶点A（-2，0），设直线l的方程为y=k（x+2），则E（0，2k），H（0，-2k），由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0,设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），∴△=64k4-4（8k2-4）（1+2k2）=16则有x1+x2=-，x1x2=，∴x0=（x1+x2）=-，y0=k（x0+2）=，∴k OP==-，∴直线EM的斜率k EM=2k，∴直线EM的方程为y=2kx+2k，直线AH的方程为y=-k（x+2），∴点M（-，-k），∴点M到直线l：kx-y+2k=0的距离d=，∴|AB|==，∴|AP|=|AB|=，∴S△APM=|AP|d===，解得k=±.【解析】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，即可求出椭圆方程;（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），根据韦达定理和中点坐标公式，斜率公式，求出直线EM，AH的方程，可得M的坐标，根据点到直线距离公式和弦长公式，以及三角形的面积公式即可求出k的值.20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-b2x，得f′（x）=3x2+2ax-b2，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-3=0平行，得f′（1）=0，即3+2a-b2=0；（Ⅱ）当b=0时，f′（x）=3x2+2ax，由f′（x）=0，知△=4a2≥0．①当a=0时，f′（x）≥0在R上恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-，由f′（x）＜0，解得-＜x＜0．∴函数f（x）在（-∞，）和（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞-或x＜0，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-．∴函数f（x）在（-∞，0）和（-，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减；（Ⅲ）当a=0，b=1时，f（x）=x3-x，由f（x）＜x（e x+k）成立，得x3-x＜x（e x+k）对任意x∈（0，+∞）恒成立，∵x＞0，∴x2-1＜e x+k，∴k＞x2-1-e x在（0，+∞）上恒成立．设g（x）=x2-1-e x（x＞0），g′（x）=2x-e x，令h（x）=2x-e x，则h′（x）=2-e x，由h′（x）=0，得x=ln2，由h′（x）＞0，解得0＜x＜ln2，由h′（x）＜0，解得x＞ln2，∴g′（x）在（0，ln2）上单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减．∴g′（x）≤g′（ln2）=2ln2-2＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g（x）＜g（0）=-2．则k≥-2．即实数k的取值范围是[-2，+∞）．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-3=0平行，得f′（1）=0，由此可得a与b满足的关系；（Ⅱ）当b=0时，f′（x）=3x2+2ax，然后对a分类讨论可得原函数的单调区间；（Ⅲ）当a=0，b=1时，f（x）=x3-x，把f（x）＜x（e x+k）成立，得转化为k＞x2-1-e x 在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=x2-1-e x（x＞0），利用导数求其最大值，由此可得实数k的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属难题．。