天津市部分区高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合A={1，2，3}，B={x∈R|-1＜x＜3}，则A∩B=（）

A. {1，2}

B. {1，3}

C. {2，3}

D. {1，2，3}

2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的

值为（）

A. 3

B. 2

C.

D.

4.设m，n∈R，则“m＜n”是“（）m-n＞1”的（）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c

的大小关系为（）

A. c＞b＞a

B. a＞b＞c

C. c＞a＞b

D. b＞c＞a

6.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线的渐近线

上点P（3，4）满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程为（）

A. =1

B. =1

C. =1

D. =1

7.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）

（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个

单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一

条对称轴的方程为（）

8.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），

其中c＞b＞a，则（a+b）f（c）的取值范围是（）

A. （24，36）

B. （48，54）

C. （24，27）

D. （48，+∞）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.i是虚数单位，复数=______．

10.已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（1）

=1，则a=______．

11.圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，

则该球的体积为____________.

12.已知圆心在直线x-y-1=0上的圆与y轴的两个交点坐标分别为（0，4），（0，-2），

则该圆的方程为______．

13.已知a＞0，b＞0，c＞0，若点P（a，b）在直线x+y+c=2上，则+的最小值

是______．

14.在△ABC中，D为AB的中点，点O满足=2，OA⊥OB，若AB=10，则=______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=3，cos A=，B=A+．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求cos2C的值．

16.“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好

友参加了“微信运动”．他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：

（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；

（Ⅱ）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”．将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为A i（i=1，2，3…），属于“懈怠型”的人依次记为B i（i=1，2，3，…），现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M发生的概率．

17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，

∠ADC=∠PAD=90°，BC=CD=AD=1，PA=2，M为PD

的中点．

（Ⅰ）求证：PA⊥AB；

（Ⅱ）求证：CM∥平面PAB；

（Ⅲ）求直线CM与平面PAD所成的角．

18.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=1，a3+a4=12，b1=a2，b2=a5．

（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；

（Ⅱ）设c n=（-1）n a n b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．

19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k≠0）直线l与C交于A，B两点，交

OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为，求k的值．

20.已知函数f（x）=x3+ax2-b2x，其中a，b∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-3=0平行，求a与b满足的关系；

（Ⅱ）当b=0时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅲ）当a=0，b=1时，对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）＜x（e x+k）成立，求实数k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈R|-1＜x＜3}，

∴A∩B={1，2}．

故选：A．

利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C

【解析】解：作出变量x，y满足约束条件

对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x+y得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线

y=-2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即A（3，-1），

代入目标函数z=2x+y得z=2×3-1=5．

即目标函数z=2x+y的最大值为5．

故选：C．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3.【答案】A

【解析】解：i＞3不成立，a=1-=，i=2，

i＞3不成立，a=1-=1-=，i=3，

i＞3不成立，a=1-=1+2=3，i=4，

i＞3成立，输出a=3，

故选：A．

根据程序框图进行模拟运算即可．

本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：由（）m-n＞1得m-n＜0，得m＜n，

则“m＜n”是“（）m-n＞1”充要条件，

根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．

5.【答案】B

【解析】【分析】

根据题意，由指数函数的性质分析可得f（x）在R上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log25，分析可得答案．

本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及指数函数的单调性，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，函数f（x）=（）x，则f（x）在R上为减函数，

又由20.3＜21＜2＜log25，

则a＞b＞c；

故选：B．

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

由渐近线方程可得a，b的关系，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．

【解答】

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

可得=，

PF1⊥PF2，可得·=-1，

解得c=5，即a2+b2=25，

解得a=3，b=4，

则双曲线的方程为-=1．

故选C.

7.【答案】D

【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点

（，0）（如图所示），

∴sin（+φ）=0，结合图象求得φ=，故f（x）=sin（2x+）．

若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-+）=sin （2x+）的图象．

令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，

则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，

先根据函数图象过点（，0），求出φ，可得f（x）的解析式，再函数y=A sin（ωx+φ）

的图象变换规律，可得g（x）得解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

8.【答案】B

【解析】解：作出函数f（x）的图象，

可得x＜4时，f（x）=-（x-3）2+9，其最大值为9，

对称轴为x=3，可得a+b=6，

由x＞4时，f（x）=2x-1递增，即f（x）＞8，

可得3＜c＜4，

即有f（c）∈（8，9），

则（a+b）f（c）=6f（c），即6f（c）∈（48，54）．

故选：B．

作出f（x）的图象，求得a+b=6，3＜c＜4，以及f（c）的范

围，可得所求范围．

本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：=，

故答案为：．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

10.【答案】e

【解析】解：f（x）=log a x（a＞0且a≠1），则f′（x）=，

∴f′（1）==1，

∴a=e，

故答案为：e

先求导，再代值计算即可

本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题

11.【答案】

【解析】【分析】

本题考查圆柱外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．

由已知求出圆柱的高，进一步求得圆柱外接球的半径得答案．

【解答】

解：设圆柱的高为h，由圆柱的体积为π，底面半径为，

又圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，

∴球心为圆柱高的中点，则球的半径r=，

∴该球的体积为V=．

故答案为：．

12.【答案】（x-2）2+（y-1）2=13

【解析】解：∵圆心在直线x-y-1=0上，可设圆心为（a，a-1），

∵圆与y轴的两个交点坐标分别为（0，4），（0，-2），∴a-1=1，∴a=2，故圆心为（2，1），

故圆的半径为=，

故圆的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=13，

故答案为：（x-2）2+（y-1）2=13．

设圆心为（a，a-1），由题意利用圆和直线相交的性质求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．

本题主要考查圆和直线相交的性质，求圆的标准方程的方法，属于基础题．

13.【答案】2+2

【解析】解：点P（a，b）在直线x+y+c=2上，

∴a+b+c=2，

∴2a+2b+2c=4，

∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴+=+=2++≥2+2=2+2，

当且仅当=时，即a+b=c时取等号，

故+的最小值是2+2，

故答案为：2+2

由题意可得a+b+c=2，则+=+=2++，根据基本不等式即可求

出

本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题

14.【答案】200

【解析】解：以D为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，设C（x，y）

则A（-5，0），B（5，0），

由题意可知O为△ABC的重心，O（，）

=（-5-，-），=（5-，-），

∵OA⊥OB

∴=

∵=（x+5，y），=（x-5，y）

∴=x2+y2-25=200

建立坐标系，结合三角形重心性质及向量数量积的性质的坐标表示即可求解

本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示的应用，属于基础试题．

15.【答案】解：（Ⅰ）由cos A=，

可得sin A=．

∵B=A+．

正弦定理：

可得：a sin（A+）=3sin A

那么a cos A=×

可得a=3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=3，

那么sin B=；

∴cos B=

sin C=sin（A+B）=，

可得cos2C=1-2sin2C=．

【解析】（Ⅰ）利用正弦定理即可求解A

（Ⅱ）和与差公式，结合三角形内角和定理，即可求解cos2C的值．

本题考查了正弦定理的应用和计算能力．属于中档题．

16.【答案】解：（Ⅰ）采用样本估计总体的方式，

估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率：

p==．

（Ⅱ）（i）将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，

抽到“积极型”的人有=2人，依次记为A i（i=1，2），

抽到“懈怠型”的人有5×=3人，依次记为B i（i=1，2，3），

再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查，所有可能的抽取结果有10种，分别为：（），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），

（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），

（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，

事件M包含的基本事件有6种，分别为：

则事件M发生的概率p=．

【解析】（Ⅰ）采用样本估计总体的方式，利用古典概型能估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率．

（Ⅱ）（i）将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽

取5人，抽到“积极型”的人有=2人，依次记为A i（i=1，2），抽到“懈怠型”的人有5×=3人，依次记为B i（i=1，2，3），再从这5人中随机抽取2人接受问卷

调查，能够列举出所有可能的抽取结果．

（ii）设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”，利用列举法能求出事件M发生的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

17.【答案】（I）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，

又PA⊥CD，AD∩CD=D，

∴PA⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，

∴PA⊥AB．

（II）证明：取PA的中点N，连接MN，BN，

∵MN是△PAD的中位线，

∴MN AD，又BC AD，

∴MN BC，

∴四边形BCMN是平行四边形，∴CM∥BN，

又CM?平面PAB，BN?平面PAB，

∴CM∥平面PAB．

（III）解：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴∠CMD为直线CM与平面PAD的夹角，

∵PD==2，∴DM=PD=，

∴tan∠CMD==，故∠CMD=30°．

∴直线CM与平面PAD所成的角为30°．

【解析】（I）证明PA⊥平面ABCD得出PA⊥AB；

（II）取PA的中点N，连接MN，BN，证明四边形BCMN是平行四边形得出CM∥BN，故而CM∥平面PAB；

（III）证明CD⊥平面PAD，在Rt△CDM中计算∠CMD．

本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}是等差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，

且a1=1，a3+a4=12，b1=a2，b2=a5．

则：1+2d+1+3d=12，

解得：d=2，

所以：b1=3，b2=9，

解得：q=3，

所以：．

（Ⅱ）c n=（-1）n a n b n，

=（2n-1）?（-3）n，

所以：①，

-3②，

①-②得：4，

解得：．

【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出数列的通项公式．

（Ⅱ）利用乘公比错位相减法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，

∴椭圆C的方程为+=1;

（Ⅱ）易知椭圆左顶点A（-2，0），

设直线l的方程为y=k（x+2），则E（0，2k），H（0，-2k），

由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0,

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

∴△=64k4-4（8k2-4）（1+2k2）=16

则有x1+x2=-，x1x2=，

∴x0=（x1+x2）=-，y0=k（x0+2）=，

∴k OP==-，

∴直线EM的斜率k EM=2k，

∴直线EM的方程为y=2kx+2k，直线AH的方程为y=-k（x+2），

∴点M（-，-k），

∴点M到直线l：kx-y+2k=0的距离d=，

∴|AB|==，

∴S△APM=|AP|d

=

==，

解得k=±.

【解析】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．

（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，即可求出椭圆方程;

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），根据韦达定理和中点坐标公式，斜率公式，求出直线EM，AH的方程，可得M的坐标，根据点到直线距离公式和弦长公式，以及三角形的面积公式即可求出k的值.

20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-b2x，得f′（x）=3x2+2ax-b2，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-3=0平行，得f′（1）=0，

即3+2a-b2=0；

（Ⅱ）当b=0时，f′（x）=3x2+2ax，

由f′（x）=0，知△=4a2≥0．

①当a=0时，f′（x）≥0在R上恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增；

②当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-，由f′（x）＜0，解得-＜x＜0．∴函数f（x）在（-∞，）和（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；

当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞-或x＜0，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-．∴函数f（x）在（-∞，0）和（-，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减；

（Ⅲ）当a=0，b=1时，f（x）=x3-x，

由f（x）＜x（e x+k）成立，得x3-x＜x（e x+k）对任意x∈（0，+∞）恒成立，

∵x＞0，∴x2-1＜e x+k，

∴k＞x2-1-e x在（0，+∞）上恒成立．

设g（x）=x2-1-e x（x＞0），g′（x）=2x-e x，

令h（x）=2x-e x，则h′（x）=2-e x，

由h′（x）=0，得x=ln2，

由h′（x）＞0，解得0＜x＜ln2，由h′（x）＜0，解得x＞ln2，

∴g′（x）在（0，ln2）上单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减．

∴g′（x）≤g′（ln2）=2ln2-2＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减．

∴g（x）＜g（0）=-2．

则k≥-2．

即实数k的取值范围是[-2，+∞）．

【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线

（Ⅱ）当b=0时，f′（x）=3x2+2ax，然后对a分类讨论可得原函数的单调区间；（Ⅲ）当a=0，b=1时，f（x）=x3-x，把f（x）＜x（e x+k）成立，得转化为k＞x2-1-e x 在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=x2-1-e x（x＞0），利用导数求其最大值，由此可得实数k的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属难题．