等腰三角形三线合一典型题型[1]

等腰三角形三线合一专题训练

姓名

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E

是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。

⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。

(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．

求证：DE=DF．

D C

A

E

(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF

B C

E

A D

M

N

D C

B

A

M

N

D

C

B

A

的中点．求证：BE=CF．

D

B

C

F

A

E

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A 17

B 22

C 17或22

D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12

∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=

13∠ABC ，∠2=1

3∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n

∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等 例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的

大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定

例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。 例3、如图，已知BC=3，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，

求△OEF 的周长。

例4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，

连接DE ，试说明DB=DE 。

A

C

A D

A

B

F

C

O

E

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450

，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形 例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。 （2）直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为； （3）若直角三角形三边为1，2，c ，则c=。

例7、下列说法：①若在△ABC 中a 2

+b 2

≠c 2

，则△ABC 不是直角三角形；

②若△ABC 是直角三角形，∠C=900

，则a 2

+b 2

=c 2

； ③若在△ABC 中，a 2

+b 2

=c 2

，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点

有（ ）

（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个

例9. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）

A ．2

B ．3

C ．22

D ．23

BP=32，

例10. 已知△ABC 为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ）

（A ） 52 （B ）72 （C ）4 （D ）24 三．巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC 中，AB=AC ，∠B=400

，则∠A=。 3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°呢

5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝105o

，直线BD 交AC 于D ， 把直角三角形沿着直线BD 翻折，点C 恰好落在斜边AB 上， 如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于 （ ）

(A)40o

(B) 30o

(C)25o

(D)15

o 6、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2

+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形

7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… （ ）。

A 、有一腰和一角对应相等

B 、有两边对应相等

C 、有顶角和一个底角对应相等

D 、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

9、在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）

D

C

B

A