梁昆淼 第12章 数学物理方法
梁昆淼教材《数学物理方法》第00章 绪论
机动1 机动1课时
第二篇 数学物理方程
（共30课时） 30课时） 课时 第七章 数学物理定解问题 课时） （5课时） 课时 分离变数（傅立叶级数） 第八章 分离变数（傅立叶级数）法 课时） （6课时） 课时 第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 课时） （4课时） 课时 第十章 球函数 课时） （5课时） 课时 第十一章 柱函数 课时） （4课时） 课时 第十二章 Green函数 解的积分公式 函数 课时） （3课时） 课时 第十三章 积分变换法 课时） （3课时） 课时
《数学物理方法》 数学物理方法》
数学物理方法课程的学习方法
一、对于复变函数部分，学习时注意以下问题： 对于复变函数部分，学习时注意以下问题： 1、注意对定理的理解与实际应用； 注意对定理的理解与实际应用； 2、注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系； 注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系； 二、对于数学物理方程部分，注意以下几点： 对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律以及偏微 注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、 考虑物理系统中涉及到的物理定理 分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法，或能 、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法， 够利用已有的常微分方程知识进行求解的方法； 够利用已有的常微分方程知识进行求解的方法； 3、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。 、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。
《数学物理方法》 数学物理方法》
Methods of Mathematical Physics
（第三版） 第三版）
梁昆淼 编 刘 法 缪国庆 修订
高等教育出版社
《数学物理方法》 数学物理方法》
梁昆淼 数学物理方法教学大纲
本篇还要讨论有关的特殊函数，特别是勒让得函数的理论。特殊函 数的内容十分丰富，在数学中已成为一个独立分支，它在物理学和工程 技术中有着广泛的应用。例如静电势的球坐标解将会出现勒让得函数， 而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数，量子力学中谐振子本征解为厄 密多项式，中心势的角向函数可由球谐函数构成，而库伦势的径向函数 由连带拉盖尔多项式构成等等。本大纲只较详细地涉及一类常见的特殊 函数，即勒让德函数。
本章重点：
留数定理及其计算方法。
习 题：
§4.1．（第71页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2） （3），3。
§4.2．（第81—82页）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4） （6），3（2）（4）（6）（8）。
第五章 傅立叶变换（2+1）
基本要求：
1．了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。 2．掌握傅立叶变换的基本性质与方法。 3．了解提出狄拉克函数过程中的创造性思想。 4．掌握狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。
本篇的教学时间为20课时，另安排1课时作为机动（可以用来复习 傅立叶级数以及学习其他需要的扩展内容）。
第一章 复变函数（6）
基本要求：
1．熟悉复数的基本概念和基本运算； 2．了解复变函数的定义，连续性； 3．了解多值函数的概念；
4．掌握复变函数的求导方法及柯西—黎曼方程； 5．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。 6．了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。
《数学物理方法》课程简介
《数学物理方法》课程简介课程介绍人：缪炎刚本课程选用梁昆淼编写的《数学物理方法》（高等教育出版社第四版）作为教材，郭敦仁编《数学物理方法》（人民教育出版社）作为主要教学参考书。
教材的第一版序言对这门课程作了恰当的介绍。
现（略作修改）摘录于下。
课程面向本校物理学各专业的二年级本科生。
主要内容包括三个部分：复变函数论、积分变换和数学物理方程。
对于物理专业来说，《数学物理方法》不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。
它既是数学课程，又是物理课程。
在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面却也不宜在数学严谨上作过多的要求。
虽然在复变函数、积分变换和数学物理方程方面已有不少专门的著作，但梁昆淼等认为，一本合适的教材应当在数学理论上不花费过多力量，以鲜明的思路引导读者迅速掌握这些数学工具并应用于物理问题。
这个特点在教材中得到体现。
第一篇复变函数论，除基本原理外，着重谈到共轭调和函数、留数定理及其在定积分计算等方面的应用。
第二篇积分变换主要讲傅立叶变换和拉普拉斯变换。
傅立叶变换是为第三篇数学物理方程的分离变数法作准备的。
当然，傅立叶变换的应用并不限于分离变数法，它是分析许多物理过程的有力工具。
第三篇数学物理方程是全书的中心内容。
它研究各种各样的物理过程。
第一个环节在于将物理问题“翻译”为数学问题。
第二个环节则是求解从物理问题翻译出来的数学问题。
在各种解法中，课程突出最基本的方法——分离变数法，将系统地讨论各种不同情况下如何运用分离变数法。
这样有利于学生熟练地利用分离变数法去解数学物理问题。
在教学方法上，将特殊函数与分离变数法熔为一体。
即从分离变数法引出特殊函数，研究了特殊函数的性质之后又回到分离变数法。
这样讲授特殊函数的目的比较明确，也有利于培养学生运用特殊函数解决问题的能力。
泛定方程为非齐次的情况下（强迫振动、有源的导热或扩散问题、有电荷的电场等），从物理的推理引出解题的线索。
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
数学物理方法课件：1-复变函数
f z z f z
lim lim
z0 z z0
z
存在，并且与z → 0的方式无关，则称函数在z点可 导，此（有限的）极限叫做 f (z) 在 z 点的导数，以
f '(z) 或 df / dz 表示。
显然，函数f (z) 必须在点z 连续，才有可能在 z 点 可导.
22
讨论：1) 复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数 的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规 则和公式可用于复变函数.(p9公式)
d
dz d
dz
( (
w1 w1w2
w2 ) )
dw1
dz
dw1 dzw2源自dw2dzw1
dw2 dz
d dz
( w1 w2
)
w'1
w2 w1w'2 w22
dddwz F(1w/)ddwz dF(反d函w (数复的合导函数数)的导数)
dz
dw dz
d
dz d
zn ez
nz n1 ez
因此
u x v
v y
u
x y
称为科西-黎曼 条件:C.R.条件
25
(三) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导的充要条件
u、v在z处满足C.R.条件
u、v在z处有连续的一阶偏微商
证明：
因为u、v在z处有连续的一阶偏微商， 所以u、v 的全微分存在
u
u x
x
u y
y
1 x
2 y
16
i sin 17
16
w1
8
2 cos 9
16
i sin 9
16
w3
数学物理方法教案
物理学院本科生课程教案单位：物理学院学年度：2009——2010课程名称：数学物理方法课程类型：B使用教材名称：数学物理方法作（译）者：梁昆淼出版社/年度：高等教育出版社/1998年6月适用专业：物理学、光信息科学与技术、材料物理、应用物理学授课教师：缪炎刚教授考试方式（比重）：平时作业20%，期末考试80%物理学院本科生课程教案注：一般的每两个课时为一个教案单元。
每次三课时的可按三课时为一个教案单元。
物理学院本科生课程教案注：一般的每两个课时为一个教案单元。
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物理学院本科生课程教案物理学院本科生课程教案注：一般的每两个课时为一个教案单元。
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数学物理方法(梁昆淼)总复习
ut a2uxx 0
ux x0 0 ux xl 0 u (x)
t 0
通解
u( x, t )
C0
n1
C e
n2 2
l2
a2
n
t
cos
n
l
x
系数
C0
1 l
l
( x)dx
0
Cn
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
3. 边界条件为“ 混齐”
F (x)eimxdx
0
2
i{F (z)eimz在上半平面所有奇点留数之和}
1
G(x)sin mxdx
G(x)eimxdx
0Leabharlann 2i {G( z )eimz 在上半平面所有奇点留数之和}
八 奇函数和偶函数的傅立叶级数
奇函数
f
(x)
k 1
bk
sin
k
u f (t) x xa Ys
例2 细杆导热问题 f (t)
xa
u
k
f (t)
x xa
k u f (t) x xa
流出 流入
达朗贝尔公式适用的问题
1 utt a2uxx 0
u (x) t 0
ut t0 (x)
齐次的泛定方程
( x ,t 0)
n
l f (z)dz 2 i Re sf (bj )
.bn
j 1
全平面的留数定理：
函数 f (z) 在全平面上所有各点
的留数之和为零
.
.b1
.b2
.
数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
19
例1.
c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1
y
sin( z ) 4 dz I z 1 z 1 c
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
0 (l不包围 ) 1 l z dz 2 i (l包围 )
z
1 1 1 1 dz ( dz 2 z z 1 z z 1 dz ) z 1 2 1 (2 i 2 i ) 2 0
21
第三章
一、收敛半径
或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或
实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
② u或v 的全微分
③ 求积分
④ 表成 f ( z )
10
例 3：已知解析函数 f (z ) 的实部u( x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u u 2 x y, x 2 y x y
17
4、柯西公式
f ( z) l z dz 2 if ( )
高阶导数的柯西公式
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T
T
vu dS vudV vudV
T
T
上述两式相减得到
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
第二格林公式
表示沿边界
n
的外方向求导数
6
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式 1. 泊松方程的求解：
T K
T K
9
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
T K
T K
应用第二类格林
公式将左边的体 积分化为面积分
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
u(r )乘以 G(r , r0 ) (r r0 ) u(r )G(r , r0 ) u(r ) (r r0 ) (2)
8
(1)—(2)式
G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 ) G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)
第十二章 格林函数法 (Method of Green Function)
Introduction
行波法
无界空间波动问题，有局限性
分离变量法 格林函数法
各种定解问题（有界）， 其解为无穷级数
直接求特解，各种定解问题， 解一个含有格林函数的有限积分
1
格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的
T 而在 中具有连续二阶导数， 应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV
T
单位时间内流体流过 边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头 产生的流体的总量
4
将对曲面 的积分化为体积分
A dS AdV
T
uv dS (uv)dV u2vdV u vdV
n n
T K
(3)上式左端第二项面积分
G(r ,
r0 )
1
4
G u dS ( 1 ) u dS ( 1 ) u 2d
n
4 n
4 n
dS r2d
4
u n
d
u n
0 0
在去掉含有点源的体积 T K 中积分有：
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 )]dV
T K
[G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)]dV T K 0
T
K
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
12
四 泊松方程解的简化： ——具有实际意义的解
T
T
T
( f ) f f
uv dS uvdV u vdV 第一格林公式
T
T
同理有
vu dS vudV v udV 第一格林公式
T
T
5
第一格林公式
uv dS uvdV u vdV
G(r ) ——特殊方程的解，点源的场 （2）点源函数满足的场方程：
G(r , r0 ) 为位于点 r0 ，电量为-ε0的点电荷在点 r产生的场 （电势） 1
G(r , r0 ) (r r0 ) G(r , r0 )= 4 r r0
（3）泊松方程解的积分公式：
G(r , r0 )乘以 u f (r ) G(r , r0 )u G(r , r0 ) f (r ) (1)
n n
n n
T K
1
1
| r r0 | 1
G(r , r0 )= 4
r r0
4
(3)上式右端 0 Gf dV
T
10
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
n n
u G dS n
u
( 1 )dS
4
1
4
u
1
2
2d
u(r0 )
u G
(3)式改写为：
u(r0 )
Gf
T
dV
(G
n
u
n
)dS
11
u(r0 )
T
Gf
dV
(G
u n
u
G )dS n
u(r0 )
讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题
(1) 泊松方程 u f (r )边界条件[u nu]
(r )
(r )是区域边界 上
给定的函数
0
对应第一类边界条件
0
对应第二类边界条件
0, 0 对应第三类边界条件
7
u(r ) ——泊松方程的解，物体的场
1、泊松方程的求解问题，能否化为简单方程求解? 2、实际物体的场能否用点源场的叠加表示出来？ 3、点源的场满足的方程是否为易于求解的方程？ 4、物体的形状毕竟影响场的情况，物体的表面在求解场 的函数中一定有所体现?
3
二、数学上的格林公式
u(r ) 和 v(r ) 在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数,
G(r , r0 )
T
f
(r
)dV
[G(r , r0)
u(r n
)
u(r)
G(r , r0 )]dS n
泊松方程解的基本积分展式
需要知道 u 以及əu/ən 在∑上的表示。而实际问题中，只能知 道它们两者之一。因此，还不能利用上式解决三类边值问题。
怎样解决？让Green函数受边界条件的影响
一个重要概念．
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场．
知道了点源的场，就可以用叠加的方 法计算出任意源所产生的场
格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一
乔治·格林 ( George Green ,1793 —1841) 英国的数学物理学家。
2
12.1 泊松方程的格林函数法 一、解方程的基本思路