梁昆淼 第12章 数学物理方法

G(r , r0 )
T
f
(r
)dV

[G(r , r0)

u(r n
)
u(r)
G(r , r0 )]dS n
泊松方程解的基本积分展式
需要知道 u 以及əu/ən 在∑上的表示。而实际问题中，只能知 道它们两者之一。因此，还不能利用上式解决三类边值问题。
怎样解决？让Green函数受边界条件的影响
在去掉含有点源的体积 T K 中积分有：
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 )]dV
T K
[G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)]dV T K 0
T
K

[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
G(r ) ——特殊方程的解，点源的场 （2）点源函数满足的场方程：
G(r , r0 ) 为位于点 r0 ，电量为-ε0的点电荷在点 r产生的场 （电势） 1
G(r , r0 ) (r r0 ) G(r , r0 )= 4 r r0
（3）泊松方程解的积分公式：
G(r , r0 )乘以 u f (r ) G(r , r0 )u G(r , r0 ) f (r ) (1)

T
T
T
( f ) f f
uv dS uvdV u vdV 第一格林公式

T
T
同理有
vu dS vudV v udV 第一格林公式

T
T
5
第一格林公式
uv dS uvdV u vdV
n n
n n
T K
1
1
| r r0 | 1
G(r , r0 )= 4
r r0

4
(3)上式右端 0 Gf dV
T
10
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
n n
一个重要概念．
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场．
知道了点源的场，就可以用叠加的方 法计算出任意源所产生的场
格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一
乔治·格林 ( George Green ,1793 —1841) 英国的数学物理学家。
2
12.1 泊松方程的格林函数法 一、解方程的基本思路
讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题
(1) 泊松方程 u f (r )
边界条件
[
u n

u]

(r )
(r )是区域边界 上
给定的函数
0
对应第一类边界条件
0
对应第二类边界条件
0, 0 对应第三类边界条件
7
u(r ) ——泊松方程的解，物体的场

u G dS n


u

( 1 )dS
4

1
4

u
1
2

2d


u(r0 )
u G
(3)式改写为：
u(r0 )

Gf
T
dV

(G

n
u
n
)dS
11
u(r0 )


T
Gf
dV



(G
u n

u
G )dS n
u(r0 )

T
T
vu dS vudV vudV

T
T
上述两式相减得到


(u
v n

v
u )dS n


T
(uv

vu)dV
第二格林公式
表示沿边界
n
的外方向求导数
6
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式 1. 泊松方程的求解：
n n
T K
(3)上式左端第二项面积分
G(r ,
r0 )

1
4
G u dS ( 1 ) u dS ( 1 ) u 2d
n
4 n
4 n
dS r2d

4


u n
d


u n
0 0
12
源自文库
四 泊松方程解的简化： ——具有实际意义的解
T 而在 中具有连续二阶导数， 应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV

T
单位时间内流体流过 边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头 产生的流体的总量
4
将对曲面 的积分化为体积分
A dS AdV

T
uv dS (uv)dV u2vdV u vdV
1、泊松方程的求解问题，能否化为简单方程求解? 2、实际物体的场能否用点源场的叠加表示出来？ 3、点源的场满足的方程是否为易于求解的方程？ 4、物体的形状毕竟影响场的情况，物体的表面在求解场 的函数中一定有所体现?
3
二、数学上的格林公式
u(r ) 和 v(r ) 在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数,
T K
T K
9
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
T K
T K
应用第二类格林
公式将左边的体 积分化为面积分


(u
v n

v
u )dS n


T
(uv

vu)dV
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
第十二章 格林函数法 (Method of Green Function)
Introduction
行波法
无界空间波动问题，有局限性
分离变量法 格林函数法
各种定解问题（有界）， 其解为无穷级数
直接求特解，各种定解问题， 解一个含有格林函数的有限积分
1
格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的
u(r )乘以 G(r , r0 ) (r r0 ) u(r )G(r , r0 ) u(r ) (r r0 ) (2)
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(1)—(2)式
G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 ) G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)