2018年四川省高考数学一模试卷
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．R B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（1，2）2．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或44．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．6 C．7 D．95．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（）A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．611．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞）D．（0，1）∪（1，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x 图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，求T n．18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最附：对于一组数据（t小二乘估计公式分别为：=，=．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；（2）是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（其中a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．R B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（1，2）【解答】解：要使y=lg（2﹣x）有意义，则2﹣x＞0得x＜2，即B=（﹣∞，2），∵A={x|x＞1}=（1，+∞），∴A∩B=（1，2），故选：D2．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：=．故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，若y=2，则x=4，或x=1，故选：D4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．6 C．7 D．9【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故选：C．5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．故选：D．6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．【解答】解：由题意可得•=0，则•=（+）•（+）=（+）•（+）=（+）•（+）=•+2+2=0++=1．故选：C．8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，故②正确；在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误．故选：B．9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0），圆心到直线y=k（x﹣2）的距离为；要使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点，则＜1，解得﹣≤k≤；∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==．故选：D．10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（）A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）是奇函数，∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，∴f（﹣1）=2﹣2=0，f（f（﹣1））=f（0）=0，f（﹣2）=2（﹣2）2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f（2），则f（2）=﹣6，则f（f（﹣1））+f（2）=0﹣6=﹣6，故选：B11．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，水秀中华在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C．12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞）D．（0，1）∪（1，3）【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=log a x关于y轴的对称函数为f（x）=log a（﹣x），则log a3＞1，∴1＜a＜3，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，3），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是x﹣2y+2=0．【解答】解：由，得，即直线的交点坐标为（2，2），在直线2x﹣y﹣2=0上取一点A（1，0），设A关于直线x+y﹣4=0的对称点的坐标为（a，b），则满足得得，即对称点（4，3）则l的方程为，整理得x﹣2y+2=0，故答案为：x﹣2y+2=015．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x 图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），y2+y3=2y1，即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）由，有a n﹣a n=n+1，又a1=1，+1所以n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．当n=1时，也满足，则：．所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）知，所以．18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．附：对于一组数据（t，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，则（t i﹣）（y i﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．（t i﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．（2）当t=7时，=3.6×7+62.4=87.6，当t=8时，=3.6×8+62.4=91.2，所以2017年、2018年该市“运动参与”评分值分别87.6，91.2．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；（2）是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）λ=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，所以ED=BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD．又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ．又F是A1A中点，所以EF∥A1D，因为BF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ．因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．（2）连接AQ，BD与FQ，因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD．若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，所以BD⊥平面A1AQ．因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以，AB2=AD•BQ．又AB=1，AD=2，所以，，则，即．21．（12分）已知函数（其中a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．【解答】解：（1）由得，当a＞0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a＞0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．又由（1）知f（x）两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．则，又，两式相减得，则，所以=，令，则单调递减，则h（t）＞h（1）=0，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．（2）m，n∈（﹣1，1），欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，水秀中华因为m，n∈（﹣1，1），所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．所以成立．。
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（22套）2018年四川全省含所有市高考一模一诊试卷汇总2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞22．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣23．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．156．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．18．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．609．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣ C．﹣1 D．110．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣311．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（2，a n），…，简记为{A n}若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列．有下列说法①，为T点列；②若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，则△A k A k+1A k+2可以为锐角三角形；③若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则a q﹣a p≥（q ﹣p）b p；④若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．其中，正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=．14．（5分）已知递减等差数列{a n}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若S n 为数列{a n}的前n项和，则S7的值为．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围[2，+∞）．故选C．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，故选D．3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选：C．4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B．6．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＞4，解得：m＞2，故满足条件的概率是p==，故选：D．7．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1【解答】解：∵已知===，求得m=﹣6，或m=1，故选：A．8．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．60【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==﹣1；i=2，2＜4，是，s==3；i=3，3＜4，是，s==；i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．∴二项式（﹣）6的展开式中的通项是T r+1=•（）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r••（）6﹣2r•x3﹣r；令3﹣r=0，得r=3；∴常数项是T4=（﹣1）3••（）0=﹣20．故选：A．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣ C．﹣1 D．1【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）的周期是4，∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，故选C．10．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B11．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（2，a n），…，简记为{A n}若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列．有下列说法①，为T点列；②若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，则△A k A k+1A k+2可以为锐角三角形；③若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则a q﹣a p≥（q ﹣p）b p；④若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．其中，正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在①中，由题意可知，∴=﹣，∴b n+1＞b n，∴{A n}是T点列，故①正确；在②中，在△A k A k+1A k+2中，=（﹣1，a k﹣a k+1），=（1，a k+2﹣a k+1），•=﹣1+（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1），∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，∴•＜0，∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形，故②错误；在③中，A n（n，a n），A n+1（n+1，a n+1），∴=（1，a n+1﹣a n）．又∵=（0，1），∴b n=a n+1﹣a n．∵1≤m，且m+q=n+p．∴q﹣p=n﹣m＞0．∴a q﹣q p=a q﹣q q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p．∵{A n}为T点列，∴b n+1＞b n．∴b q﹣1+b q﹣2+…+b m=（q﹣p）b p．即a q﹣a p≥（q﹣p）b p．故③正确；在④中，∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0，（1）a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p，（2）同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1，（3）由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，（4）由（1）、（2）、（3）、（4）可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即．故④正确．故选：C．12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a= 2．【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，故答案为：2．14．（5分）已知递减等差数列{a n}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若S n 为数列{a n}的前n项和，则S7的值为﹣14．【解答】解：设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=﹣1．则S7=7﹣=﹣14．故答案为：﹣14．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是6π．【解答】解：由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′=，用余弦定理可得cos∠SO′B=﹣，∴SB=，作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=，如图，BE=O′B÷cos∠O′BS=，也就是D，E，O三点重合，外接圆的半径R=OB=，∴球的表面积是4πR2=6π故答案为：6π．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴，即C=120°．（2）由余弦定理可得，又a＞0，a=2，∴，∴△ABC的面积为．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴，在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则．∴，设平面PAB 的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣），∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO 的一个法向量为=（﹣2，0，0），设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角B﹣AP﹣O 的余弦值为．19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题意完成下面的2×2列联表：解得，故没有95%以上的把握认为二者有关．（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当X=Y=0或X=Y=1时，ξ=0，，当X=1，Y=0或X=0，Y=1时，ξ=1，，当X=2，Y=0或X=0，Y=2时，ξ=2，，∴ξ的分布列为：Eξ==．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．（12分）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有即，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．∴直线l的方程为：，代入椭圆的方程可得：=12，化为=0，t1+t2=，∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=5时，，由f（x）＞2的不等式的解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1处取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞22．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣23．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．156．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．17．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（）A．56 B．336 C．360 D．14408．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．110．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．8πC． D．4π11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣312．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=．14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为．15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0＜f（x1）＜1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围[2，+∞）．故选C．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，故选D．3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选：C．4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B．6．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1【解答】解：∵已知===，求得m=﹣6，或m=1，故选：A．7．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（）A．56 B．336 C．360 D．1440【解答】解：执行程序框图，可得m=8，n=3，k=8，s=1不满足条件k＜m﹣n+1，s=8，k=7，不满足条件k＜m﹣n+1，s=56，k=6，不满足条件k＜m﹣n+1，s=336，k=5，满足条件k＜m﹣n+1，退出循环，输出s的值为336．故选：B．8．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【解答】解：由及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a2=4=a1+d，∴a1=2=d，∴Sn==n2+n，∴，∴=．故选：B．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x （3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．1【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）的周期是4，∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，故选C．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．8πC． D．4π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，∵AB=BC=，∴BD⊥AC，∵SA=SC=2，∴SD⊥AC，AC⊥平面SDB．∴∠SDB为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，∴AC=2．∵平面SAC⊥平面BAC，∴∠SDB=90°，取等边△SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径R=SE==，∴该四面体外接球的表面积S=4πR2=4=．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴em﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=2．【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，故答案为：2．14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为﹣14．【解答】解：设递减等差数列{an}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=﹣1．则S7=7﹣=﹣14．故答案为：﹣14．15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为．【解答】解：=+==+=+=，∵三点M，P，N三点共线，∴．∴λ+2μ=（λ+2μ）（）=．故答案为：16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴，即C=120°．（2）由余弦定理可得，又a＞0，a=2，∴，∴△ABC的面积为．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．∴AM=，取BP的中点T，连结AT，TN，∴由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2，又AD∥BC，∴TN AM，∴四边形AMNT是平行四边形，∴MN∥AT，又AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MNⅡ平面PAB．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，∴N到平面ABCD的距离为=2，取BC的中点E，连结AE，由AB=AC=3，得AE⊥BC，AE==，由AM∥BC，得M到BC的距离为，∴S△BCM==2，∴四面体N﹣BCM的体积：==．19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算速度在70km/h以上的频率为1﹣（0.010+0.020）×5=0.85，估计速度在70km/h以上的概率是0.85；（Ⅱ）这40辆车中，车速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6辆，其中在[65，70）的有5×0.02×40=4辆，记为A，B，C，D，在[60，65）的有5×0.01×40=2辆，记为a，b；从车速在[60，70）的这6辆汽车中任意抽取2辆，可能结果是AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab有15种不同的结果，其中抽出的2辆车车速至少有一辆在[60，65）内的结果是Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db、ab有9种；故所求的概率为P==．20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，因为．即，所以，所以，又因为|AB|=1所以即即所以椭圆的标准方程为（2）由方程组得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以因为直线x=ty+1过点F（1，0）所以△ABE的面积令则不成立，不存在直线l满足题意．21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0＜f（x1）＜1．【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=2ex﹣x2，则f'（x）=2ex﹣2x，令h（x）=2ex﹣2x，h'（x）=2ex﹣2，由于x∈（0，+∞）故h'（x）=2ex﹣2＞0，于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）为增函数，所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f'（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，从而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）为增函数，故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．（2）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f'（x）=kex﹣2x=0的两个根，即方程有两个根，设，则，当x＜0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；当0＜x＜1时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；当x＞1时，φ'（x）＜0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数k的取值范围是．又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由得，∴由于x1∈（0，1），故，所以0＜f（x1）＜1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||。
2018年四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x≤﹣2}，B＝{x|x≥﹣1}，则∁U（A∪B）＝（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，﹣1]C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）D．（﹣2，1）2．（5分）已知平面向量＝（1，1），＝（t+1，1）．若⊥，则实数t的值为（）A．﹣2B．0C．2D．﹣13．（5分）空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图．则下列说法错误的是（）A．该地区在12月2日空气质量最好B．该地区在12月24日空气质量最差C．该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大D．该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关4．（5分）在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．（5分）“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x，y，k的值分别为4，6，1，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）若关于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）已知tanα＝，α∈（0，π），则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0），长方形ABCD的顶点A，B 分别为双曲线E的左，右焦点．且点C，D在双曲线E上，若AB＝6，BC＝，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝60°，P A＝2，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．8πD．12π10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列不等式正确的是（）A．f（log27）＜f（﹣5）＜f（6）B．f（log27）＜f（6）＜f（﹣5））C．f（﹣5）＜f（log27）＜f（6）D．f（﹣5）＜f（6）＜f（log27）11．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+）．若x1x2＜0，且f（x1）+f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）12．（5分）若关于x的方程有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.718为自然对数的底数，则的值为（）A．e B．1﹣m C．1+m D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．14．（5分）若实数x，y满足线性约束条件，则x+2y的最大值为．15．（5分）如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3﹣，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为．16．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足||＝1，若＝m+n，其中m，n∈R ．则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S4＝16，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据．从这些统计数据中随机抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统计结果如表：[70，80）[80，90）[90，100]日用水量（单位：吨）频数36m频率n0.5p（1）求m，n，p的值；（2）已知样本中日用水量在[80，90）内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89．从这六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率．19．（12分）如图，在四面体P ABC中，P A＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面P AC⊥平面ABC；（2）求四面体P﹣OBQ的体积．20．（12分）已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N．若点B（0，1）在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣mx2+2，其中m∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当常数m∈（2，+∞）时，函数f（x）在[0，+∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x2﹣x1＞ln．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2} 2．（5分）若z=1+i，则=（）A．﹣i B．，C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或44．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．105．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f （x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．610．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求满足不等式的最小正整数n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC ⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2}【解答】解：由A={x|x＞1}=（1，+∞），由2﹣x＞0解得x＜2，即B=（﹣∞，2）．所以A∪B=R，A∩B={x|1＜x＜2}．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．2．（5分）若z=1+i，则=（）A．﹣i B．，C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=1+i，∴==，故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，若y=2，则x=4，或x=1，故选：D．4．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【解答】解：（x+y）5的通项公式为：T r+1=•x5﹣r•y r，令5﹣r=1，得r=4；令5﹣r=2，得r=3；∴（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为：×1+（﹣1）×=﹣5．故选：B．5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．故选：D．6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：=•（+）=2+•=2+•=1﹣×1×1×cos60°=1﹣×=．故选：B．7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==18，该三位数能被3整除包含的基本事件个数：m==10，∴该三位数能被3整除的概率为p=．故选：D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f （x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C．11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【解答】解：f′（x）=e x（2x﹣1）+）+（x2﹣x﹣1）e x=e x（x2+x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．作出f（x）的函数图象如图所示：∵，∴f2（x）﹣mf（x）﹣=0，△=m2+＞0，令f（x）=t则，则t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，（1）若t1＜﹣e，则0＜t2＜，此时f（x）=t1无解，f（x）=t2有三解；（2）若t1=﹣e，则t2=，此时f（x）=t1有一解，f（x）=t2有两解；（3）若﹣e＜t1＜0，则t2＞，此时f（x）=t1有两解，f（x）=t2有一解；综上，f2（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为﹣1．【解答】1解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆的直径为2．由于|AB|=2，则：直线l：y=kx+2，经过圆心（1，1）．所以：1=k+2，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），y2+y3=2y1，即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求满足不等式的最小正整数n．【解答】解：（1）由，﹣a n=n+1，又a1=1，则：a n+1所以n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．当n=1时，也满足，所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）知，所以令，解得n≥19，所以满足不等式的最小正整数n为19．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，则（t i﹣）（y i﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．（t i﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．（2）以频率为概率，从这120名市民中随机抽取1人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，X的可能取值为0，1，2，3，4．则，，，．分布列如下：X01234P数学期望或．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC ⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）在棱形ABCD中，可得DB⊥AC，∵平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DB⊥平面AEFC，∵EF⊂平面AEFC，∴BD⊥EF．解：（2）直角梯形AEFC中，由∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，得EA⊥平面ABCD．取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则．∴=（0，2，0），=（1，，2）．设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），由=（﹣1，，4）．设平面DEF的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣，1）．则cos＜＞===，即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．（2）m，n∈（﹣1，1），欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，因为m，n∈（﹣1，1），所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．所以成立．。
2018年四川省成都七中高考数学一模试卷(理科)-教师用卷
2018年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，故选：C．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知i为虚数单位，，若为纯虚数，则A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】解：为纯虚数，，即．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是A. 甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B. 乙型号平板电脑的拍照功能比较好C. 在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D. 消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕【答案】D由上表可知，甲、乙型号平板电脑的综合得分相同，故A正确；乙型号平板电脑的拍照功能比较好，故B正确；在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好，故C正确；甲屏幕得分95，乙屏幕得分90，消费者比较喜欢甲型号平板电脑的屏幕，故D不正确．说法不正确的是D．故选：D．由已知图形列出甲乙型号平板电脑的得分数据表，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查概率统计的基础知识，考查学生的识图能力，是基础题．4.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，即，则，故选：B．由题意利用诱导公式求得，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．5.展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个所求的概率为故选：B．要求展开式中的有理项，只要在通项中，让x的指数为整数，求解符合条件的r，求出有理项的数目，通过古典概率的计算公式可求本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是熟练应用二项展开式的通项公式，找出符合条件的项数．6.函数其中e为自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断的奇偶性，的单调性或变化趋势即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性，单调性判断，属于中档题．【解答】解：，是偶函数，故图形关于y轴对称，排除B，D；又时，，，，排除C，故选A．7.已知平面向量与的夹角为，若，，则A. 3B. 4C.D. 2【答案】A【解析】解：平面向量与的夹角为，若，可得，，即：，，解得．故选：A．利用向量的模的运算法则，转化求解向量的模即可．本题考查向量的模的求法，向量的夹角的应用，考查计算能力．8.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由得或，作出函数和和的图象如图，则由图象可知当时，，当时，，，“”是“”的充分不必要条件，故选：A．根据条件分别作出和和的图象，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键．9.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，函数的图象知，，，，解得；又，解得；，；令，，则，，当时，，的一个对称中心为．故选：C．利用定积分求出a的值，根据函数的图象求出的解析式，再利用三角函数的图象与性质求的对称中心．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．10.已知双曲线C：的离心率，对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意点A所在的渐近线为，设该渐近线的倾斜角为，则，，直线AF的倾斜角为，则，联立方程组，得，即，则的面积，双曲线的离心率，，得，结合，得，，则双曲线的方程为．故选：D．根据条件设出渐近线方程，结合三角形的面积以及离心率公式建立方程求出a，b的值即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据三角形的面积公式和离心率公式建立方程是解决本题的关键．11.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，当时，，在上单调递增，，在上单调递增，，在上单调递增，在上的值域为，，方程在上有两解a，b．作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．若直线过点，则，若直线与的图象相切，设切点为，则，解得．，故选：C．判断的单调性得出在上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．12.如图，在矩形ABCD中，，，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：，．直线的方程为，，，．．令，或．，，时，取等号；，，时，取等号；综上所述，的最小值为，故选：A．由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，表示出，利用基本不等式求最小值．本题考查空间点、线、面距离的计算，考查基本不等式的运算，难度大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足，则的最大值为______．【答案】10【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．故答案为：10．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.执行下面的程序框图，输出的结果为______．【答案】854【解析】解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出s的值为854．故答案为：854．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知圆C：与y轴相切，抛物线E：过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于______．【答案】【解析】解：圆C：化为：与y 轴相切，可得，解得，圆的方程为：，圆心半径为2；抛物线E：过点C，可得，解得，则，CF的方程为：，即，则，可得：，解得，，此时可得，，即弦的端点，直线CF被抛物线所截得的弦长等于：．故答案为：．利用圆与y轴相切求出m，求出圆心，求解抛物线的焦点坐标，求出直线方程，利用直线与抛物线的位置关系求解弦长即可．本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，直线与抛物线以及圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．16.在中，点D在边AB上，，，，，则AD的长为______．【答案】5【解析】解：如图所示：延长BC，过A做，垂足为E，，，，，，解得，在，，由得，在中，，则，故答案为：5．根据题意画出图象，延长BC、过A做、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是递增数列，其前n项和为，，且，．Ⅰ求数列的通项；Ⅱ是否存在m，n，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ由已知可得：，得，，解得，因为，时，．故，整理，得．因为是递增数列，且，故，．则数列是以2为首项，为公差的等差数列．所以．Ⅱ满足条件的正整数m，n，k不存在，证明如下：假设存在m，n，，使得成立，则．整理，得，显然，左边为整数，所以式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．【解析】Ⅰ由已知可得：，得，，解得，因为，时，相减利用数列的单调性、等差数列的通项公式即可得出．Ⅱ满足条件的正整数m，n，k不存在，分析如下：假设存在m，n，，使得成立，则利用通项公式代入得出矛盾即可．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、整数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，等腰直角为梯形ABCD所在的平面垂直，且，，，，，E为AD中点．证明：平面PEC；求二面角的余弦值．【答案】证明：在等腰直角中，，又E为AD中点，，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，．如图，连接BE，在梯形ABCD中，，且，四边形BCDE为平行四边形，又，四边形BCDE为菱形，．又，平面PEC．解：如图，过点E作，交AB于F，，．由知平面ABCD，故以点E为坐标原点，分别以EF，EC，EP所在的直线为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．在中，，又，，．在梯形ABCD中，，，故EC．，．0，，，，即，．故，，0，．设平面PBC的法向量为y，，则令，得平面PBD的法向量为y，．则，取，得2，，．由图可知，二面角为锐二面角，故其余弦值等于．【解析】推导出，从而平面ABCD，进而连接BE，推导出四边形BCDE为平行四边形，从而四边形BCDE为菱形，进而由此能证明平面PEC．过点E作，交AB于F，则，，以点E为坐标原点，分别以EF，EC，EP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销10天两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出90以内含90件的产品，每件产品返利5元，超出90件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利a元，且每卖出一件产品再返利3元经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如图：Ⅰ现从乙品牌试销的10天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率；Ⅱ若将频率视作概率，回答以下问题：记甲品牌的日返利额为单位：元，求X的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【答案】解：Ⅰ记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于90件”为事件A，由题意得抽取的10天中，销售量不低于90件的有7天，销售量低于90件的有3天，则这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率：．Ⅱ设甲品牌的日销售量为t，由茎叶图得t可取86，87，89，90，92，93，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，的所有可能取值为430，435，445，450，464，471，元．依题意，乙品牌的日平均销售量为：，乙品牌的日平均返利额为：元，当，即元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当，即元时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当，即元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售．综上，即元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当元时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售．【解析】Ⅰ记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于90件”为事件A，由题意得抽取的10天中，销售量不低于90件的有7天，销售量低于90件的有3天，由此利用互斥事件概率加法公式能求出这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率．Ⅱ设甲品牌的日销售量为t，由茎叶图得t可取86，87，89，90，92，93，推导出X 的所有可能取值为430，435，445，450，464，471，分别求出相应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．依题意，乙品牌的日平均销售量为，从而乙品牌的日平均返利额为元，由此求出元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当元时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知圆O：，，，点D圆O上一动点，，点C在直线上，且，记点C的轨迹为曲线W．求曲线W的方程；已知，过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为，线段AB的中点为Q点，记与y轴的交点为M，求MQ的取值范围．【答案】解：圆O：，圆心为，半径，，，点D圆O上一动点，，可得D为的中点，点C在直线上，且，可得，连接，可得，且，由椭圆的定义可得，C的轨迹为以，为焦点的椭圆，可得，，，则曲线W的方程为；由题意可知直线l的斜率存在，设l：，，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，，，又，解得，，，所以，所以：，即，化简得，令，得，即，，令，则，所以，所以．【解析】由题意可得D为的中点，由中垂线和中位线定理，结合椭圆定义可得，即可得到所求轨迹方程；设l：，，，，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得Q的坐标，求得直线的方程，可得M的坐标，运用两点距离公式可得，运用换元法，结合二次函数的性质可得所求范围．本题考查轨迹方程的求法，注意运用垂直平分线和中点向量表示、以及三角形的中位线定理，和椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两点距离公式，考查化简整理的运算能力，属于较难题．21.已知函数．当时，判断函数的单调性；当有两个极值点时，求a的取值范围；若的极大值小于整数m，求m的最小值．【答案】解：由题，方法1：由于，，，又，所以，从而，于是为上的减函数分方法2：令，则，当时，0'/>，为增函数；当时，，为减函数．故在时取得极大值，也即为最大值．则由于，所以，于是为上的减函数分令，则，当时，0'/>，为增函数，当时，，为减函数，当x趋近于时，趋近于．由于有两个极值点，所以有两不等实根，即有两不等实数根，，则，解得，可知，由于，，则．而，即所以极大值，于是，令，则可变为，可得，而，则有，下面再说明对于任意，，．又由得，把它代入得，所以当时，恒成立，故为的减函数，所以，所以满足题意的整数m的最小值为3．【解析】求出函数的导数，法一，结合二次函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二：令，根据函数的单调性求出的最大值，判断即可；令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到有两不等实数根，，求出a的范围，求出的极大值，从而确定m的最小值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.已知曲线C的参数方程为，在极坐标系中曲线D的极坐标方程为．求曲线C的普通方程与曲线D的直角坐标方程；若曲线C与曲线D交于AB两点，求．【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，整理为，消去参数t，得，故曲线C的普通方程为．因为，即．所以曲线D的直角坐标方程为．由，消去y，可得，即．所以，，所以．【解析】直接利用转换关系求出结果．利用方程组求出一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根和系数的关系的应用．23.已知函数．解不等式；若对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由题知不等式，即，等价于，或，或；解得或或，原不等式的解集为；由题知，的最小值为3，，解得，实数m的取值范围为．【解析】利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；由绝对值不等式的意义求出的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．。
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)(1)
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2} 2．（5分）若z=1+i，则=（）A．﹣i B．，C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或44．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．105．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f （x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．610．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求满足不等式的最小正整数n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率附：对于一组数据（t和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC ⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2}【解答】解：由A={x|x＞1}=（1，+∞），由2﹣x＞0解得x＜2，即B=（﹣∞，2）．所以A∪B=R，A∩B={x|1＜x＜2}．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．2．（5分）若z=1+i，则=（）A．﹣i B．，C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=1+i，∴==，故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，若y=2，则x=4，或x=1，故选：D．4．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【解答】解：（x+y）5的通项公式为：T r+1=•x5﹣r•y r，令5﹣r=1，得r=4；令5﹣r=2，得r=3；∴（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为：×1+（﹣1）×=﹣5．故选：B．5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．故选：D．6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：=•（+）=2+•=2+•=1﹣×1×1×cos60°=1﹣×=．故选：B．7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==18，该三位数能被3整除包含的基本事件个数：m==10，∴该三位数能被3整除的概率为p=．故选：D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f （x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C．11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【解答】解：f′（x）=e x（2x﹣1）+）+（x2﹣x﹣1）e x=e x（x2+x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．作出f（x）的函数图象如图所示：∵，∴f2（x）﹣mf（x）﹣=0，△=m2+＞0，令f（x）=t则，则t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，（1）若t1＜﹣e，则0＜t2＜，此时f（x）=t1无解，f（x）=t2有三解；（2）若t1=﹣e，则t2=，此时f（x）=t1有一解，f（x）=t2有两解；（3）若﹣e＜t1＜0，则t2＞，此时f（x）=t1有两解，f（x）=t2有一解；综上，f2（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为﹣1．【解答】1解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆的直径为2．由于|AB|=2，则：直线l：y=kx+2，经过圆心（1，1）．所以：1=k+2，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），y2+y3=2y1，即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求满足不等式的最小正整数n．【解答】解：（1）由，﹣a n=n+1，又a1=1，则：a n+1所以n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．当n=1时，也满足，所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）知，所以令，解得n≥19，所以满足不等式的最小正整数n为19．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率附：对于一组数据（t和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，则（t i﹣）（y i﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．（t i﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．（2）以频率为概率，从这120名市民中随机抽取1人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，X的可能取值为0，1，2，3，4．则，，，．分布列如下：数学期望或．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC ⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）在棱形ABCD中，可得DB⊥AC，∵平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DB⊥平面AEFC，∵EF⊂平面AEFC，∴BD⊥EF．解：（2）直角梯形AEFC中，由∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，得EA⊥平面ABCD．取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则．∴=（0，2，0），=（1，，2）．设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），由=（﹣1，，4）．设平面DEF的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣，1）．则cos＜＞===，即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．（2）m，n∈（﹣1，1），欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，因为m，n∈（﹣1，1），所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．所以成立．。
四川省广元市2018届高考一诊(一模)数学试卷(理)(答案+解析)
四川省广元市2018届高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（）A．[﹣3，3）B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3）2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥nC．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（），则k的值是（）A．﹣1 B．或﹣1 C．﹣1或D．5．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种D．144种7．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P（x，y），则点P落在阴影部分BCD内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=10sin x+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则二项式（1+x+ x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（）A．120 B．135 C．140 D．1009．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则（x i+y i）=（）A．8072 B．6054 C．4036 D．201810．（5分）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ= 11．（5分）在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）A．B．C．9 D．﹣912．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2 二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a=．14．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为．15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为．16．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=k（3n﹣1），且a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log3a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附参考公式与：K2=20．（12分）如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N分别是SC，AB的中点．（1）求证：MN⊥AB；（2）D为线段BC上的点，当二面角S﹣ND﹣A的余弦值为时，求三棱锥D﹣SNC的体积．21．（12分）已知函数f（x）=x ln x﹣+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2，或x≥4}，N={x|﹣3≤x＜3}，∴M∩N={x|﹣3≤x≤﹣2}=[﹣3，﹣2]．故选：B．2．A【解析】当x＞3且y＞3时，x+y＞6成立，即充分性成立，若x=6，y=2满足x+y＞6，但x＞3且y＞3不成立，即必要性不成立，故“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的充分不必要条件，故选：A3．D【解析】对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．4．C【解析】∵向量=（3，1），=（2k﹣1，k），∴+=（2k+2，1+k），∵（+）⊥，∴（+）•=0，则（2k﹣1）（2k+2）+k（1+k）=0，即5k2+3k﹣2=0得（k﹣1）（5k+2）=0，得k=﹣1或k=，故选：C．5．B【解析】模拟程序的运行，可得n=5，k=0不满足条件n为偶数，执行循环体后，n=16，k=1，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=8，k=2，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=4，k=3，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=2，k=4，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n=1，k=5，满足退出循环的条件，输出k的值为5．故选：B．6．C【解析】根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果，又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果，根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选：C．7．D【解析】根据题意，利用定积分计算e x d x=e x=e﹣1；∴阴影部分BCD的面积为1×e﹣（e﹣1）=1，∴所求的概率为P==．故选：D．8．B【解析】函数f（x）=10sin x+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则n=f′（0）=10，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n=（1+x+x2）（1﹣x）10 =（1﹣x3）•（1﹣x）9，∵（1﹣x）9的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣x）r，故分别令r=4，r=1，可得展开式中x4的系数为﹣（﹣）=135，故选：B．9．C【解析】∵g（x）的图象是由y=x3的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的，∴g（x）的图象关于点（1，1）对称，又f（x）的图象关于点（1，1）对称，∴f（x）与g（x）的2018个交点中，两两关于点（1，1）对称．∴（x i+y i）=+=+=4036．故选C．10．A【解析】根据题意，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，且在x轴上的投影为，所以T=4×（+）=π，所以ω==2；又因为A（﹣，0），所以sin（﹣+φ）=0，又0＜φ＜，所以φ=．故选：A．11．D【解析】∵•=||•||•cos B=||2，∴||•cos B=||=6，∴⊥，即∠A=，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），则=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45，=3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]，∴当x=2，y=1时取的最小值，此时•=（2，1）•（﹣6，3）=﹣9故选：D．12．D【解析】令y=e a，则a=ln y，令y=ln+，可得b=2，则b﹣a=2﹣ln y，∴（b﹣a）′=2﹣．显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一零点．故当y=时，b﹣a取得最小值为2﹣ln y=2﹣ln=2+ln2，故选D．二、填空题13．1【解析】∵z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1．14．1【解析】z的几何意义为区域内点到点G（0，﹣1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由解得，即A（2，1），则AG的斜率k=，故答案为：115．4π【解析】直观图如图所示的正四面体，构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，∴此三棱锥的外接球的半径为R=三棱锥的外接球的体积为V=．故答案为：4π．16．【解析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正项递增等比数列，则q＞1．数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，则有1=（a4﹣a2）+λq（a5﹣a3）=（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）=（1+λq）（a4﹣a2），则有1+λq=，a8+λa9=a8+λqa8=a8（1+λq）==，令g（q）=，（q＞1）则导数g′（q）==，分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数；当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数；则当q=时，g（q）取得最小值，此时g（q）=，即a8+λa9的最小值为，故答案为：．三、解答题17．解：（1）数列{a n}的前n项和S n=k（3n﹣1），且a3=27．当n=3时，，解得，当n≥2时，=3n，由于：a1=S1=3也满足上式，则：．（2）若，所以：=，所以：．18．解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=，∵，故：f（x）的最大值为：2．要使f（x）取最大值，，即：（k∈Z），解得：（k∈Z），则x的集合为：（k∈Z），（2）由题意，，即：，又∵0＜A＜π，∴，∴，∴．在△ABC中，b+c=2，，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bc cos A=（b+c）2﹣bc，由于：=1，所以：当b=c=1时，等号成立．则：a2≥4﹣1=3，即：．则a的最小值为．19．解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：∴K2===6.060＜6.635．∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关.（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，则题意知：ξ的取值为1，2，3．P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；故ξ的分布列为故ξ的数学期望为：E（ξ）=1×+2×+3×=．20．证明：（1）以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意得A（0，4，0），B（0，0，0），M（1，2，1），N（0，2，0），S（0，4，2），D（1，0，0），∴=（﹣1，0，﹣1），=（0，﹣4，0），∵=0，∴MN⊥AB．解：（2）设平面SND的一个法向量为=（x，y，z），设D（m，0，0），（0≤m≤2），=（0，﹣2，﹣2），=（﹣m，2，0），∴，令y=m，得=（2，m，﹣m），又平面AND的法向量为=（0，0，1），cos＜＞==，解得m=1，即D为BC中点．∴三棱锥D﹣SNC的体积：V D﹣SNC=V S﹣DNC===．21．解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ln x﹣ax，∵函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根即方程ln x﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，令g（x）=ln x﹣ax，则g′（x）=﹣a当a≤0时，由g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）内为增函数，显然不成立当a＞0时，由g′（x）＞0解得，即g（x）在内为增函数，内为减函数，故即可，解得综上可知a的取值范围为；（2）证明：由（1）知：当时，恒成立∴∴上式n个式子相加得：即又∵∴，∴．22．解：（1）曲线C的参数方程为，得曲线C的普通方程：x2+y2﹣4x﹣12=0所以曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ=12（2）设A，B两点的极坐标方程分别为，|AB|=|ρ1﹣ρ2|又A，B在曲线C上，则ρ1，ρ2是ρ2﹣4ρcosθ﹣12=0的两根∴，所以：23．解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即[（a+b）+（b+c）]=1∴+=[（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．。
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．i D．i3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．66．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．192 B．186 C．180 D．1987．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（）A．2018 B．1009 C．4036 D．30279．（5分）在如图所示的边长为1的正方形ABCD中，C1，C2，C3，C4是分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆位于正方形内的部分，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（）A．B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．611．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ+μ=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（）A．B．C．1 D．12．（5分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，+∞），若关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣]D．（﹣，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），那么f（log23）=．14．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a，众数为b，平均数为c，则a、b、c中的最大者是．15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，那么这两条平行直线的斜率是．16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知存在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+）），使函数f（x）在P、Q点处的切线斜率互为倒数，那么cosφ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．19．（12分）为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动．2015年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；2016年初，社区随机抽取了60名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查．已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：附：K2=（1）若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成2×2列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？（2）从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣bx（a，b∈R）．（1）当a=1时，若∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若b=﹣3a2（a＞0）．若函数f（x）的极小值点和极大值点分别为x1，x2．①求f（x 1），f（x2）；②当λ∈（0，1）时，求f（）的值域．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线θ=﹣与曲线C 异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，B=={x|x}，∴A∩B={x|}=[，1]．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．i D．i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），∴z===+i．则z的虚部为．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：根据正弦型函数f（x）=sin（ωx+）的图象与性质知，对∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，∴f（x）的最小正周期是T=2×=π．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B．5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：如图，由题意可知，，且与的夹角为60°，∴=．则，，∴•===．故选：D．6．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A．192 B．186 C．180 D．198【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为2、6、3，下部分为长方体．棱长分别为6、6、3，其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+（2+6）×2×2=192故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得p=4，k=0不满足条件k2≥3k+4，p=4，k=1不满足条件k2≥3k+4，p=8，k=2不满足条件k2≥3k+4，p=32，k=3不满足条件k2≥3k+4，p=256，k=4满足条件k2≥3k+4，退出循环，可得z=故选：D．8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（）A．2018 B．1009 C．4036 D．3027【解答】解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，那么：+++…+=f2（1）+f2（2）+…+f2（1009）=1009．故选：B．9．（5分）在如图所示的边长为1的正方形ABCD中，C1，C2，C3，C4是分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆位于正方形内的部分，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：如图，由对称性可知，阴影部分所占面积为弓形BC1D面积的一半，∵正方形ABCD的边长为1，则扇形ABD的面积为，直角三角形ABD的面积为，∴阴影部分的面积为．又正方形ABCD的面积为1，∴从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于．故选：D．10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF 1F2是直角三角形，S=，∵△PF 1F2的重心为点G．∴S=，∴△GPF1的面积为8，故选：C．11．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ+μ=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵•=（λ+μ）•=λ+μ=λ，=（λ+μ）•=μ+λ=4μ=4﹣4λ，令λ≥4﹣4λ，解得λ≥∴min{•，•}=，设f（x）=，则f（x）在[0，]上递增，在[，1]上递减，∴当x=，f（x）取得最小值，此时=+，∴||2=（16+8•+）=，∴||=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，+∞），若关于x的方程f2（x）+m|f （x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣]D．（﹣，0）【解答】解：，y=|f（x）|，x∈（﹣1，+∞）的图象如下：设|f（x）|=t，则|f（x）|2+m|f（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，①t=0时，代入t2+mt+2m+3=0得m=﹣，即，另一根为只有一个交点，舍去②一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上时，设h（t）=t2+mt+2m+3，解得﹣＜m≤﹣．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），那么f（log23）=4．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣e+1的图象经过点（1，3），∴f（1）=21﹣e+1=3，解得e=0，∴f（x）=2x+1，∴f（log23）=+1=3+1=4．故答案为：4．14．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a，众数为b，平均数为c，则a、b、c中的最大者是c．【解答】解：由频率分布直方图知，众数为b=5；由中位数的定义知是第15个数与第16个数的平均值，将数据从小到大排第15 个数是5，第16个数是6，∴中位数为a==5.5；平均数是c=×（2×3+3×4+5×10+6×6+3×7+2×9+2×10）≈6.0，∴b＜a＜c，即a、b、c中最大者是c．故答案为：c．15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，那么这两条平行直线的斜率是1．【解答】解：作出平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间的距离为：，可得可行域的A（1，2），B（2，1），C（3，3），|AB|==，∴平行线间的距离的最小值为d=，所求直线与x+y﹣3=0垂直，可得：k=1．故答案为：1．16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知存在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+）），使函数f（x）在P、Q点处的切线斜率互为倒数，那么cosφ=±1．【解答】解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），即有f（﹣x）=f（x）﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f（x）﹣2sinxcosφ，①f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，可得f（﹣x）﹣cos（﹣x+φ）+f（x）﹣cos（x+φ）=0，f（﹣x）+f（x）﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0，即为f（﹣x）+f（x）﹣2cosxcosφ=0，②由①②可得f（x）=（sinx+cosx）cosφ，导数为f′（x）=（cosx﹣sinx）cosφ，∃x1，使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，可得f′（x1）•f′（x1+）=1，可得（cosx1﹣sinx1）cosφ•（cos（x1+）﹣sin（x1+））cosφ=1，即为（cosx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣cosx1）cos2φ=1，即为（sin2x1﹣cos2x1）cos2φ=1，即有﹣cos2x1•cos2φ=1，可得cos2φ=1，cos2x1=﹣1，∴cosφ=±1．故答案为：±1．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知{a n}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）{a n}是等差数列，设数列的公差为d，且a1=3，a4=12，则：，所以数列的通项公式为：a n=3+3（n﹣1）=3n．数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列，设公比为q，则：，解得：q=2．所以数列的通项公式为：，整理得：．（2）由于：，则：S n=3（1+2+…+n）+（20+21+…+2n﹣1），=，=．18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．（1）若CD=，AD=2，求AB；（2）求△ABC的周长的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，则：=，所以：=．在△ABC中，利用正弦定理：，解得：=，（2）△ABC 中，利用正弦定理得：=，所以：，=，由于：0＜A＜120°，则：l△ABC==，=2+，=，由于：0＜A＜120°，则：30°＜A+30°＜150°，得到：，所以△ABC 的周长的范围是：19．（12分）为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动．2015年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；2016年初，社区随机抽取了60名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查．已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：附：K2=（1）若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成2×2列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？（2）从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．【解答】解：（1）由题意知积极上网参政的有：8+14+10+6=38人，不积极上网参政的有8+14=22人，2×2列联表为：∴K2=≈7.03，∵7.03＞6.635，∴有99%的把握认为“上网参政与性别有关”．（2）选取男居民人数为6×=4人，选取女居民人数为6×，记4个男居民为A，B，C，D，2个女居民为甲，乙，从选取的6人中选出3人参加政府听证会，基本事件总数有20种，分别为：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，甲），（A，B，乙），（A，C，D），（A，C，甲），（A，C，乙），（A，D，甲），（A，D，乙），（A，甲，乙），（B，C，D），（B，C，甲），（B，C，乙），（B，D，甲），（B，D，乙），（B，甲，乙），（C，D，甲），（C，D，乙），（C，甲，乙），（D，甲，乙），选出的3人恰为2男1女的有12种，∴选出的3人恰为2男1女的概率为：p=．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣bx（a，b∈R）．（1）当a=1时，若∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，求实数b的最小值；（2）若b=﹣3a2（a＞0）．若函数f（x）的极小值点和极大值点分别为x1，x2．①求f（x1），f（x2）；②当λ∈（0，1）时，求f（）的值域．【解答】解：（1）当a=1时，∀x＞0，都有f（x）≤bx2+x成立，⇔+x2﹣bx≤bx2+x⇔b≥（x＞0）．令t=x+1＞1．∴b≥=﹣（t＞1）．∵t＞1，t+=2，当且仅当t=时取等号．∴﹣≤（t＞1）．∴b的最小值为：（t＞1）．（2）b=﹣3a2（a＞0）．f（x）=﹣x3+ax2+3a2x，f′（x）=﹣x2+2ax+3a2=﹣（x﹣3a）（x+a），令f′（x）=0，解得x=3a，或﹣a．∵a＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减；在（﹣a，3a）上单调递增；（3a，+∞）上单调递减．∴f（x）的极小值=f（﹣a）=﹣，f（x）的极大值=f（3a）=9a3．②由①可知：x1=﹣a，x2=3a．∴=x2+（x1﹣x2），λ∈（0，1），（x1﹣x2）∈（x1﹣x2，），故∈⊆（x1，x2）．由①可得：f（x）在（x1，x2）上单调递增，∴f（）的值域是=（f（﹣a），f（a））=．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=﹣ax2+lnx，得f′（x）=﹣2ax+=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得=﹣＜0，=＞0，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=﹣ax2+lnx+a=a（1﹣x2）+lnx＞0，满足题意；当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）max=f（1）=﹣a，﹣a＞﹣a不成立；当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，此时=，由，得1+ln2a＜2a，令g（a）=1+ln2a﹣2a，则g′（a）=，则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，∴0＜a＜．综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a．请考生在22、23二题中任选一题作答．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线θ=﹣与曲线C 异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．【解答】解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x直线的参数方程，转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．（2）当m=0时，求得：A（2，），B（2，﹣），所以：=．23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，可得m=1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．。
(22套)2018年四川全省 含所有市 高考一模试卷汇总 (2)
（22套）2018年四川全省含所有市高考一模一诊试卷汇总2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞22．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣23．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．156．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．18．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．609．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣ C．﹣1 D．110．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣311．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（2，a n），…，简记为{A n}若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列．有下列说法①，为T点列；②若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，则△A k A k+1A k+2可以为锐角三角形；③若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则a q﹣a p≥（q ﹣p）b p；④若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．其中，正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=．14．（5分）已知递减等差数列{a n}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若S n 为数列{a n}的前n项和，则S7的值为．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围[2，+∞）．故选C．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，故选D．3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选：C．4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B．6．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＞4，解得：m＞2，故满足条件的概率是p==，故选：D．7．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1【解答】解：∵已知===，求得m=﹣6，或m=1，故选：A．8．（5分）已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（S﹣）6的展开式中常数项的系数是（）A．﹣20 B．20 C．﹣D．60【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==﹣1；i=2，2＜4，是，s==3；i=3，3＜4，是，s==；i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．∴二项式（﹣）6的展开式中的通项是T r+1=•（）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r••（）6﹣2r•x3﹣r；令3﹣r=0，得r=3；∴常数项是T4=（﹣1）3••（）0=﹣20．故选：A．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣ C．﹣1 D．1【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）的周期是4，∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，故选C．10．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B11．（5分）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（2，a n），…，简记为{A n}若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列．有下列说法①，为T点列；②若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方．任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，则△A k A k+1A k+2可以为锐角三角形；③若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则a q﹣a p≥（q ﹣p）b p；④若{A n}为T点列，正整数若1≤m＜n＜p＜q，满足m+q=n+p，则．其中，正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在①中，由题意可知，∴=﹣，∴b n+1＞b n，∴{A n}是T点列，故①正确；在②中，在△A k A k+1A k+2中，=（﹣1，a k﹣a k+1），=（1，a k+2﹣a k+1），•=﹣1+（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1），∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，∴•＜0，∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形，故②错误；在③中，A n（n，a n），A n+1（n+1，a n+1），∴=（1，a n+1﹣a n）．又∵=（0，1），∴b n=a n+1﹣a n．∵1≤m，且m+q=n+p．∴q﹣p=n﹣m＞0．∴a q﹣q p=a q﹣q q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p．∵{A n}为T点列，∴b n+1＞b n．∴b q﹣1+b q﹣2+…+b m=（q﹣p）b p．即a q﹣a p≥（q﹣p）b p．故③正确；在④中，∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0，（1）a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p，（2）同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1，（3）由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，（4）由（1）、（2）、（3）、（4）可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即．故④正确．故选：C．12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a= 2．【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，故答案为：2．14．（5分）已知递减等差数列{a n}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若S n 为数列{a n}的前n项和，则S7的值为﹣14．【解答】解：设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=﹣1．则S7=7﹣=﹣14．故答案为：﹣14．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体的外接球的表面积是6π．【解答】解：由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′=，用余弦定理可得cos∠SO′B=﹣，∴SB=，作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=，如图，BE=O′B÷cos∠O′BS=，也就是D，E，O三点重合，外接圆的半径R=OB=，∴球的表面积是4πR2=6π故答案为：6π．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴，即C=120°．（2）由余弦定理可得，又a＞0，a=2，∴，∴△ABC的面积为．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴，在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则．∴，设平面PAB 的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣），∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO 的一个法向量为=（﹣2，0，0），设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角B﹣AP﹣O 的余弦值为．19．（12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题意完成下面的2×2列联表：解得，故没有95%以上的把握认为二者有关．（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当X=Y=0或X=Y=1时，ξ=0，，当X=1，Y=0或X=0，Y=1时，ξ=1，，当X=2，Y=0或X=0，Y=2时，ξ=2，，∴ξ的分布列为：Eξ==．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．（12分）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有即，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．∴直线l的方程为：，代入椭圆的方程可得：=12，化为=0，t1+t2=，∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=5时，，由f（x）＞2的不等式的解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1处取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞22．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣23．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．156．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．17．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（）A．56 B．336 C．360 D．14408．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x（3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．110．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．8πC． D．4π11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣312．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=．14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为．15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0＜f（x1）＜1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数y=x2+2x+3与y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2018年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【解答】解：由题意，集合A={x|x＜a}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围[2，+∞）．故选C．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．1 B．i C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵复数z===1﹣2i，故此复数的虚部为﹣2，故选D．3．（5分）“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“直线m∥平面α”，可得“直线m与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选：C．4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．5．（5分）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B．6．（5分）已知．则m=（）A．﹣6或1 B．﹣1或6 C．6 D．1【解答】解：∵已知===，求得m=﹣6，或m=1，故选：A．7．（5分）如图所示的程序框图，若输入m=8，n=3，则输出的S值为（）A．56 B．336 C．360 D．1440【解答】解：执行程序框图，可得m=8，n=3，k=8，s=1不满足条件k＜m﹣n+1，s=8，k=7，不满足条件k＜m﹣n+1，s=56，k=6，不满足条件k＜m﹣n+1，s=336，k=5，满足条件k＜m﹣n+1，退出循环，输出s的值为336．故选：B．8．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=4，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【解答】解：由及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a2=4=a1+d，∴a1=2=d，∴Sn==n2+n，∴，∴=．故选：B．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x （3﹣2x），则f（）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．1【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵函数y=f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．则f（x）的周期是4，∴f（）=f（4×4﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣[]=﹣1，故选C．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．8πC． D．4π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，∵AB=BC=，∴BD⊥AC，∵SA=SC=2，∴SD⊥AC，AC⊥平面SDB．∴∠SDB为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，∴AC=2．∵平面SAC⊥平面BAC，∴∠SDB=90°，取等边△SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径R=SE==，∴该四面体外接球的表面积S=4πR2=4=．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴em﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；故选：B12．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y2=ax（a＞0）上的点到焦点F的距离为2，则a=2．【解答】解：抛物线的标准方程：y2=ax，焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2，解得：a=2，故答案为：2．14．（5分）已知递减等差数列{an}中，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，若Sn为数列{an}的前n项和，则S7的值为﹣14．【解答】解：设递减等差数列{an}的公差d＜0，a3=﹣1，a4为a1，﹣a6等比中项，∴a1+2d=﹣1，=﹣a6×a1，即=﹣（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=﹣1．则S7=7﹣=﹣14．故答案为：﹣14．15．（5分）Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：，点M，N在过点P的直线上，若则λ+2μ的最小值为．【解答】解：=+==+=+=，∵三点M，P，N三点共线，∴．∴λ+2μ=（λ+2μ）（）=．故答案为：16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosC+ccosA）+b=0．（1）求角C的大小；（2）若b=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵2cosC（acosC+ccosA）+b=0，由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴，即C=120°．（2）由余弦定理可得，又a＞0，a=2，∴，∴△ABC的面积为．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（I）证明直线MN∥平面PAB；（II）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．∴AM=，取BP的中点T，连结AT，TN，∴由N为PC的中点知TN∥BC，TN=BC=2，又AD∥BC，∴TN AM，∴四边形AMNT是平行四边形，∴MN∥AT，又AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MNⅡ平面PAB．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，∴N到平面ABCD的距离为=2，取BC的中点E，连结AE，由AB=AC=3，得AE⊥BC，AE==，由AM∥BC，得M到BC的距离为，∴S△BCM==2，∴四面体N﹣BCM的体积：==．19．（12分）交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h），现将其分成六组为[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若对车速在[60，65），[65，70）两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[60，65）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算速度在70km/h以上的频率为1﹣（0.010+0.020）×5=0.85，估计速度在70km/h以上的概率是0.85；（Ⅱ）这40辆车中，车速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6辆，其中在[65，70）的有5×0.02×40=4辆，记为A，B，C，D，在[60，65）的有5×0.01×40=2辆，记为a，b；从车速在[60，70）的这6辆汽车中任意抽取2辆，可能结果是AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab有15种不同的结果，其中抽出的2辆车车速至少有一辆在[60，65）内的结果是Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db、ab有9种；故所求的概率为P==．20．（12分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，因为．即，所以，所以，又因为|AB|=1所以即即所以椭圆的标准方程为（2）由方程组得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以因为直线x=ty+1过点F（1，0）所以△ABE的面积令则不成立，不存在直线l满足题意．21．（12分）已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）（1）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明：0＜f（x1）＜1．【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=2ex﹣x2，则f'（x）=2ex﹣2x，令h（x）=2ex﹣2x，h'（x）=2ex﹣2，由于x∈（0，+∞）故h'（x）=2ex﹣2＞0，于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）为增函数，所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f'（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，从而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）为增函数，故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．（2）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f'（x）=kex﹣2x=0的两个根，即方程有两个根，设，则，当x＜0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；当0＜x＜1时，φ'（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；当x＞1时，φ'（x）＜0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数k的取值范围是．又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由得，∴由于x1∈（0，1），故，所以0＜f（x1）＜1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||。
2018届四川省成都市高三第一次高考模拟理科数学试题(解析版)
绝密★启用前四川省成都市2018届高三第一次高考模拟考试数学（理科）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出集合 ,即可得到.详解：,选A.点睛：本题考查集合的交集运算,属基础题.2.在等差数列中,若,则的值为（）A. 75B. 50C. 40D. 30【答案】D【解析】分析：根据等差数列的性质可得,可求的值.详解：由差数列的性质可得,故,故.故选D.点睛：本题考查等差数列的性质,属基础题.3.设有下面四个命题:若满足,则;:若虚数是方程的根,则也是方程的根::已知复数则的充要条件是:;若复数,则.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据复数的基本概念和复数的几何特征,逐一分析,即可得到答案.详解：对于中若,设,则,所以是正确的；对于中,若虚数是方程的根,则也一定是方程的一个根,所以是正确的；对于中,例如则,此时,所以不正确；对于中,若,则必为实数,所以是正确的,综上正确命题的个数为三个,故选C.点睛：本题主要考查了复数的基本概念,其中熟记复数的基本概念和几何特征是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.4.已知偶函数在单调递增,若,则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合函数的性质脱去符号,求解绝对值不等式即可求得最终结果．详解：由题偶函数在单调递增,若,则,即解得或.故选B.点睛：本题考查函数的奇偶性,函数的单调性等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中档题．5.展开式中的系数为( )A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】A。
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷理科数学试题
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＞1},函数y＝lg(2﹣x)的定义域为B,则()A.A∪B＝{x|1＜x＜2}B.A∪B＝RC.A∩B＝{x|x＞1}D.A∩B＝{x|x＜2}2.(5分)若z＝1＋i,则＝()A.﹣iB.,C.﹣1D.13.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的y＝2,则输入的x＝()A.1B.2C.4D.1或44.(5分)(x﹣y)(x＋y)5的展开式中,x2y4的系数为()A.﹣10B.﹣5C.5D.105.(5分)为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图：根据图中的信息,下列结论中不正确的是()A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生喜欢手机支付D.样本中多数女生喜欢现金支付6.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D在边BC上,且BD＝2DC,则的值为()A. B. C. D.7.(5分)若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为()A. B. C.D.8.(5分)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为()A. B. C. D.9.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(﹣x),当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是()A.1B.2C.4D.610.(5分)已知椭圆的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若,则E椭圆的离心率为()A. B. C. D.11.(5分)已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,若三棱锥S﹣ABC的体积为1,则球O的表面积为()A.4πB.13πC.16πD.52π12.(5分)已知函数f(x)＝(x2﹣x﹣1)e x,设关于x的方程有n 个不同的实数解,则n的所有可能的值为()A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知,则＝.14.(5分)已知直线l：y＝kx＋2与圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0相交于A,B两点,若,则实数k的值为.15.(5分)如图,已知A,B是函数f(x)＝log2(16x)图象上的两点,C是函数g(x)＝log2x 图象上的一点,且直线BC垂直于x轴,若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点),则点A的横坐标为.16.(5分)如图,表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1＝1,且.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为T n,求满足不等式的最小正整数n.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求a；(2)求sinB＋sinC的值.19.(12分)全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中,其中的“运动参与”的评分值进行了统计,制成如图所示的散点图：(1)根据散点图,建立y关于t的回归方程＝t；(2)从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本,其中经常参加体育锻炼的人数为40,以频率为概率,若从这120名市民中随机抽取4人,记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X,求X的分布列和数学期望.附：对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),…,(t n,y n),其回归直线＝t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝,＝.20.(12分)如图,ABCD是菱形,∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O,平面AEFC⊥平面ABCD,且AEFC是直角梯形,∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,CF＝4.(1)求证：BD⊥EF；(2)求二面角B﹣DE﹣F的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)当a≥0时,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明x1＋x2＞2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),其中.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ＋4＝0.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C2与C1交于两点,记点A,B相应的参数分别为t1,t2,当t1＋t2＝0时,求|AB|的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知不等式|2x＋1|＋|x﹣1|＜3的解集M.(1)求M；(2)若m,n∈M,求证：.2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＞1},函数y＝lg(2﹣x)的定义域为B,则()A.A∪B＝{x|1＜x＜2}B.A∪B＝RC.A∩B＝{x|x＞1}D.A∩B＝{x|x＜2}【解答】解：由A＝{x||x|＞1}＝[1,＋∞),由2﹣x＞0解得x＜2,即B＝(﹣∞,2).所以A∪B＝R,A∩B＝{x|1＜x＜2}.观察选项,只有选项B符合题意.故选：B.2.(5分)若z＝1＋i,则＝()A.﹣iB.,C.﹣1D.1【解答】解：∵z＝1＋i,∴＝＝,故选：B.3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的y＝2,则输入的x＝()A.1B.2C.4D.1或4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y＝的值,若y＝2,则x＝4,或x＝1,故选：D4.(5分)(x﹣y)(x＋y)5的展开式中,x2y4的系数为()A.﹣10B.﹣5C.5D.10【解答】解：(x＋y)5的通项公式为：T r＋1＝•x5﹣r•y r,令5﹣r＝1,得r＝4；令5﹣r＝2,得r＝3；∴(x﹣y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为：×1＋(﹣1)×＝﹣5.故选：B.5.(5分)为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图：根据图中的信息,下列结论中不正确的是()A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生喜欢手机支付D.样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知,样本中的男生数量多于女生数量,A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量,B正确；由右图知,样本中多数男生喜欢手机支付,C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多,D错误.故选：D.6.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D在边BC上,且BD＝2DC,则的值为()A. B. C. D.【解答】解：＝•(＋)＝2＋•＝2＋•＝1﹣×1×1×cos60°＝1﹣×＝.故选B.7.(5分)若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为()A. B. C.D.【解答】解：将函数＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度,可得y＝2sin(2x＋＋)＝2sin(2x＋)的图象,令2x＋＝kπ＋,可得x＝﹣,k∈Z,则平移后图象的对称轴方程为x＝﹣,k∈Z,故选：A.8.(5分)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为()A. B. C. D.【解答】解：从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,基本事件总数n＝＝18,该三位数能被3整除包含的基本事件个数：m＝＝10,∴该三位数能被3整除的概率为p＝.故选：D.9.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(﹣x),当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是()A.1B.2C.4D.6【解答】解：定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(﹣x),可得f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,又当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),可得x≥3时的图象,可将f(x)在[1,3]的图象向右平移2k(k为正整数)个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称,作出f(x)的图象和函数y＝|ln|x||的图象,可得它们有4个交点,则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是4.故选：C.10.(5分)已知椭圆的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若,则E椭圆的离心率为()A. B. C. D.【解答】解：如图所示|OM|＝|MF1|＝|OP|,不妨设|OP|＝,则|OM|＝|MF1|＝1,设∠MF1O＝θ,在△MOF1中由余弦定理可得cosθ＝＝＝,∴sinθ＝＝,∴tanθ＝＝＝,∵tanθ＝＝,∴＝,解得c＝1,∴△MOF1为等边三角形,∴M(﹣,),∴＋＝1,①∵a2﹣b2＝c2＝1,②,由①②可得4a4﹣8a2＋1＝0,解得a2＝＜1(舍去),a2＝,∴a2＝＝＝()2,∴a＝＝,∴e＝＝＝﹣1,故选：C.11.(5分)已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,若三棱锥S﹣ABC的体积为1,则球O的表面积为()A.4πB.13πC.16πD.52π【解答】解：∵SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,∴∠SAC＝∠SBC＝90°,cos∠ACB＝＝﹣,∴∠ACB＝120°,∴∠CAB＝∠CBA＝30°,∴∠ASB＝60°,∴SA＝SB＝AB＝,∴SC＝＝2,∴球半径R＝1,∴球O的表面积S＝4πR2＝4π.故选：A.12.(5分)已知函数f(x)＝(x2﹣x﹣1)e x,设关于x的方程有n 个不同的实数解,则n的所有可能的值为()A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6【解答】解：f′(x)＝e x(2x﹣1)＋)＋(x2﹣x﹣1)e x＝e x(x2＋x﹣2),∴当x＜﹣2或x＞1时,f′(x)＞0,当﹣2＜x＜1时,f′(x)＜0,∴f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,f(x)的极大值为f(﹣2)＝,f(x)的极小值为f(1)＝﹣e.作出f(x)的函数图象如图所示：∵,∴f2(x)﹣mf(x)﹣＝0,△＝m2＋＞0,令f(x)＝t则,则t1t2＝﹣.不妨设t1＜0＜t2,(1)若t1＜﹣e,则0＜t2＜,此时f(x)＝t1无解,f(x)＝t2有三解；(2)若t1＝﹣e,则t2＝,此时f(x)＝t1有一解,f(x)＝t2有两解；(3)若﹣e＜t1＜0,则t2＞,此时f(x)＝t1有两解,f(x)＝t2有一解；综上,f2(x)﹣mf(x)＝有三个不同的实数解.故选：A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知,则＝.【解答】解：∵,∴＝＝.故答案为：.14.(5分)已知直线l：y＝kx＋2与圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0相交于A,B两点,若,则实数k的值为﹣1.【解答】1解：圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0,转化为：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2,所以圆的直径为2.由于|AB|＝2,则：直线l：y＝kx＋2,经过圆心(1,1).所以：1＝k＋2,解得：k＝﹣1.故答案为：﹣1.15.(5分)如图,已知A,B是函数f(x)＝log2(16x)图象上的两点,C是函数g(x)＝log2x 图象上的一点,且直线BC垂直于x轴,若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点),则点A的横坐标为.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则y1＝log2(16x1),y2＝log2(16x2),y3＝log2x3,x2＝x3,△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点),可得y2﹣y3＝2(x2﹣x1),y2＋y3＝2y1,即有log2(16x2)﹣log2x3＝2(x2﹣x1),log2(16x2)＋log2x3＝2log2(16x1),化简可得x2﹣x1＝2,log2x2＝2＋log2x1,即为2＋x1＝4x1,解得x1＝,故答案为：.16.(5分)如图,表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对.【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体,如下图：则四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD,AB与GH、EF与GH,共3组.故答案为：3.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1＝1,且.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为T n,求满足不等式的最小正整数n.【解答】解：(1)由,则：a n﹣a n＝n＋1,又a1＝1,＋1)＋(a n﹣1﹣a n﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1＝所以n≥2时,a n＝(a n﹣a n﹣1.当n＝1时,也满足,所以数列{a n}的通项公式为.(2)由(1)知,所以令,解得n≥19,所以满足不等式的最小正整数n为19.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求a；(2)求sinB＋sinC的值.【解答】解：(1)由△ABC的面积为,得.因,所以,所以,得bc＝35,又b﹣c＝2,由余弦定理得：,＝,所以a＝8.(2)法一：由(1)中b﹣c＝2,bc＝35.解得b＝7,c＝5,由正弦定理得：,所以,法二：由(1)有(b＋c)2＝(b﹣c)2＋4bc＝22＋4×35＝144,所以b＋c＝12.由正弦定理得,所以.19.(12分)全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中,其中的“运动参与”的评分值进行了统计,制成如图所示的散点图：(1)根据散点图,建立y关于t的回归方程＝t；(2)从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本,其中经常参加体育锻炼的人数为40,以频率为概率,若从这120名市民中随机抽取4人,记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X,求X的分布列和数学期望.附：对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),…,(t n,y n),其回归直线＝t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝,＝.【解答】解：(1)由题,＝＝3.5,＝＝75,则(t i﹣)(y i﹣)＝(1﹣3.5)(65﹣75)＋(2﹣3.5)(71﹣75)＋(3﹣3.5)(73﹣74)＋(4﹣3.5)(77﹣75)＋(5﹣3.5)(80﹣75)＋(6﹣3.5)(84﹣75)＝63.(t i﹣)2＝(1﹣3.5)2＋(2﹣3.5)2＋(3﹣3.5)2＋(4﹣3.5)2＋(5﹣3.5)2＋(6﹣3.5)2＝17.5,＝＝3.6,＝75﹣3.6×3.5＝62.4,∴运动参与y关于t的回归方程是＝3.6t＋62.4.(2)以频率为概率,从这120名市民中随机抽取1人,经常参加体育锻炼的概率为,由题,X的可能取值为0,1,2,3,4.则,,,.分布列如下：数学期望或.20.(12分)如图,ABCD是菱形,∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O,平面AEFC⊥平面ABCD,且AEFC是直角梯形,∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,CF＝4.(1)求证：BD⊥EF；(2)求二面角B﹣DE﹣F的余弦值.【解答】证明：(1)在棱形ABCD中,可得DB⊥AC,∵平面AEFC⊥平面ABCD,且交线为AC,∴DB⊥平面AEFC,∵EF⊂平面AEFC,∴BD⊥EF.解：(2)直角梯形AEFC中,由∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,得EA⊥平面ABCD.取EF的中点M,以O为坐标原点,以OA为x轴,OB为y轴,OM为z轴,建立空间直角坐标系,则.∴＝(0,2,0),＝(1,,2).设平面BDE的法向量＝(x,y,z),则,取x＝2,得＝(2,0,﹣1),由＝(﹣1,,4).设平面DEF的法向量为＝(a,b,c),则,取a＝1,得＝(1,﹣,1).则cos＜＞＝＝＝,即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为.21.(12分)已知函数.(1)当a≥0时,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明x1＋x2＞2.【解答】解：(1)由,得,当a≥0时,ax＋1＞0,若0＜x＜1,f'(x)＞0；若x＞1,f'(x)＜0,故当a≥0时,f(x)在x＝1处取得的极大值；函数f(x)无极小值.(2)当a≥0时,由(1)知f(x)在x＝1处取得极大值,且当x趋向于0时,f(x)趋向于负无穷大,又f(2)＝ln2﹣2＜0,f(x)有两个零点,则,解得a＞2.当﹣1＜a＜0时,若0＜x＜1,f'(x)＞0；若；若,则f(x)在x＝1处取得极大值,在处取得极小值,由于,则f(x)仅有一个零点.当a＝﹣1时,,则f(x)仅有一个零点.当a＜﹣1时,若；若；若x＞1,f'(x)＞0,则f(x)在x＝1处取得极小值,在处取得极大值,由于,则f(x)仅有一个零点.综上,f(x)有两个零点时,a的取值范围是(2,＋∞).两零点分别在区间(0,1)和(1,＋∞)内,不妨设0＜x1＜1,x2＞1.欲证x1＋x2＞2,需证明x2＞2﹣x1,又由(1)知f(x)在(1,＋∞)单调递减,故只需证明f(2﹣x1)＞f(x2)＝0即可.,又,所以f(2﹣x1)＝ln(2﹣x1)﹣ln(x1)＋2x1﹣2,令h(x)＝ln(2﹣x)﹣lnx＋2x﹣2(0＜x＜1),则,则h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)＞h(1)＝0,即f(2﹣x1)＞0,所以x1＋x2＞2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),其中.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ＋4＝0.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C2与C1交于两点,记点A,B相应的参数分别为t1,t2,当t1＋t2＝0时,求|AB|的值.【解答】解：(1)线C1的参数方程为(t为参数),所以：C1的普通方程：y＝(x﹣2)tanα＋1,其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ＋4＝0.所以：C2的直角坐标方程：(x﹣3)2＋y2＝5.(2)由题知直线恒过定点P(2,1),又t1＋t2＝0,由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点,曲线C2是以C2(3,0)为圆心,半径的圆,且.由垂径定理知：.[选修4-5：不等式选讲]23.已知不等式|2x＋1|＋|x﹣1|＜3的解集M.(1)求M；(2)若m,n∈M,求证：.【解答】解：(1)当时,不等式即为﹣2x﹣1﹣x＋1＜3,解得；当时,不等式即为2x＋1﹣x＋1＜3,解得；当x＞1时,不等式即为2x＋1＋x﹣1＜3,此时无解,综上可知,不等式解集M＝{x|﹣1＜x＜1}.(2)m,n∈(﹣1,1),欲证,需证|m﹣n|＜|mn﹣1|,即证(m﹣n)2＜(mn﹣1)2,即m2＋n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn＋1,即证(m2﹣1)(n2﹣1)＞0,因为m,n∈(﹣1,1),所以(m2﹣1)(n2﹣1)＞0显然成立.所以成立.。
2018年四川省成都七中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤4x}，B＝{x|3x﹣4＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．[0，）C．（，4]D．（﹣∞，0）2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a＝（）A．B．﹣C．2D．﹣23．（5分）某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是（）A．甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B．乙型号平板电脑的拍照功能比较好C．在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D．消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕4．（5分）已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）已知平面向量与的夹角为，若＝（），|﹣2|＝2，则||＝（）A．3B．4C．D．28．（5分）设，则“cos x＜x2”是“cos x＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e＝，对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF＝∠OAF，△OAF的面积为3，则双曲线C的方程为（）A．B．＝1C．D．11．（5分）设函数f（x）＝x2﹣xlnx+2，若存在区间，使f （x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13B．﹣2C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足，则z＝2x﹣y的最大值为．14．（5分）执行下面的程序框图，输出的结果为．15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+m＝0与y轴相切，抛物线E：y2＝2px（p ＞0）过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD ＝2AD，则AD的长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是递增数列，其前n项和为S n，a1＞1，且10S n＝（2a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）＝a k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）如图，等腰直角△P AD为梯形ABCD所在的平面垂直，且P A＝PD，P A⊥P A，AD∥BC，AD＝2BC＝2CD＝4，∠ADC＝120°，E为AD中点．（1）证明：BD⊥平面PEC；（2）求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．19．（12分）甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销10天．两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出90以内（含90件）的产品，每件产品返利5元，超出90件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利a元，且每卖出一件产品再返利3元．经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如图：（Ⅰ）现从乙品牌试销的10天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：①记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，F1（﹣1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2＝+，点C在直线EF1上，且，记点C的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）已知N（4，0），过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB 的中垂线为l′，线段AB的中点为Q点，记l′与y轴的交点为M，求MQ 的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为，在极坐标系中曲线D的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D交于AB两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2；（2）若f（x）+f（x+3）≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2018年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤4x}，B＝{x|3x﹣4＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．[0，）C．（，4]D．（﹣∞，0）【解答】解：∵集合A＝{x|x2≤4x}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|3x﹣4＞0}＝{x|x}，∴A∩B＝{x|＜x≤4}＝（]．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a＝（）A．B．﹣C．2D．﹣2【解答】解：∵＝为纯虚数，∴，即a＝﹣．故选：B．3．（5分）某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是（）A．甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B．乙型号平板电脑的拍照功能比较好C．在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D．消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕【解答】解：由图可得，甲乙型号平板电脑的得分如下表：由上表可知，甲、乙型号平板电脑的综合得分相同，故A正确；乙型号平板电脑的拍照功能比较好，故B正确；在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好，故C正确；甲屏幕得分95，乙屏幕得分90，消费者比较喜欢甲型号平板电脑的屏幕，故D 不正确．∴说法不正确的是D．故选：D．4．（5分）已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（+α）＝﹣sin（+α）＝，∴sin（+α）＝﹣，即cos（﹣α）＝﹣，则cos（﹣2α）＝2﹣1＝﹣1＝﹣，故选：B．5．（5分）展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得二项展开式的通项＝根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝3，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个所求的概率为故选：B．6．（5分）函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝＝f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除B，D；又x→0时，e x+1→2，x（e x﹣1）→0，∴→+∞，排除C，故选：A．7．（5分）已知平面向量与的夹角为，若＝（），|﹣2|＝2，则||＝（）A．3B．4C．D．2【解答】解：平面向量与的夹角为，若＝（），可得||＝2，|﹣2|＝2，即：+4＝52，4||2+4||﹣48＝0，解得||＝3．故选：A．8．（5分）设，则“cos x＜x2”是“cos x＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＝x得x＝0或x＝1，作出函数y＝cos x和y＝x2和y＝x的图象如图，则由图象可知当cos x＜x2时，x B＜x＜，当cos x＜x时，x A＜x＜，∵x A＜x B，∴“cos x＜x2”是“cos x＜x”的充分不必要条件，故选：A．9．（5分）已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解：＝2×x2＝1，函数的图象知，A＝2，＝﹣＝，∴T＝＝π，解得ω＝2；又2×+φ＝，解得φ＝；∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（x﹣）+a＝2sin（2x﹣）+1；令2x﹣＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，当k＝1时，x＝，∴f（x﹣）+a的一个对称中心为（，1）．故选：C．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e＝，对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF＝∠OAF，△OAF的面积为3，则双曲线C的方程为（）A．B．＝1C．D．【解答】解：由题意点A所在的渐近线为bx﹣ay＝0，设该渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝，∵∠AOF＝∠OAF，∴直线AF的倾斜角为2θ，则tan2θ＝＝，联立方程组，得，即A（，），则△AOF的面积S＝c•＝ab＝3，∵双曲线的离心率e＝，∴e2＝＝，得＝，结合ab＝3，得a＝3，b＝，则双曲线的方程为＝1．方法2：∵，∠AOF＝∠OAF，∴△OAF是等腰三角形，过F作FB⊥OA，则焦点到渐近线距离为BF＝b，则OB＝＝a，即OA＝2OB＝2a，则△OAF的面积S＝•2a•b＝ab＝3，又双曲线的离心率e＝，∴e2＝＝，得＝，结合ab＝3，得a＝3，b＝，则双曲线的方程为＝1．故选：D．11．（5分）设函数f（x）＝x2﹣xlnx+2，若存在区间，使f （x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝2﹣，∴当x≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）＝2﹣ln＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴，∴方程f（x）＝k（x+2）在[，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（，+ln2），则k＝，若直线y＝k（x+2）与y＝f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得k＝1．∴1＜k≤，故选：C．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为C2，则的最小值为（）A．6﹣13B．﹣2C．D．【解答】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：y＝kx﹣2k+2，CC2＝．直线CC2的方程为y＝﹣x++6，∴C1（4+6k，0），∴CC1＝6，∴C1C2＝CC2﹣CC1＝6﹣．∴＝﹣1．令|k﹣2|＝t，∴k＝t+2或2﹣t．①k＝t+2，＝3（t++4）﹣1≥6+11，t＝时，取等号；②k＝2﹣t，＝3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t＝时，取等号；综上所述，的最小值为6﹣13，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足，则z＝2x﹣y的最大值为10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，﹣2），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．故答案为：10．14．（5分）执行下面的程序框图，输出的结果为854．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，s＝2满足条件k≤8，执行循环体，s＝1×（2+1）＝3，k＝3满足条件k≤8，执行循环体，s＝3×（3+3）＝18，k＝5满足条件k≤8，执行循环体，s＝5×（18+5）＝115，k＝7满足条件k≤8，执行循环体，s＝7×（115+7）＝854，k＝9此时，不满足条件k≤8，退出循环，输出s的值为854．故答案为：854．15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+m＝0与y轴相切，抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+m＝0化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4﹣m与y轴相切，可得，解得m＝0，圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，圆心C（2，2）半径为2；抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点C，可得4＝4p，解得p＝1，则F（，0），CF的方程为：y﹣0＝（x﹣），即4x﹣3y﹣2＝0，则，可得：2y2﹣3y﹣2＝0，解得y1＝，y2＝2，此时可得x1＝，x2＝2，即弦的端点（2，2），（，）直线CF被抛物线所截得的弦长等于：＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD ＝2AD，则AD的长为5．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD＝5，BD＝2AD，∴，解得AE＝，在RT△ACE，CE＝＝＝，由得BC＝2CE＝5，在RT△BCD中，BD＝＝＝10，则AD＝5，故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是递增数列，其前n项和为S n，a1＞1，且10S n＝（2a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）＝a k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：10a1＝（2a1+1）（a1+2），得﹣5a1+2＝0，a1＞1，解得a1＝2，因为10S n＝（2a n+1）（a n+2），∴n≥2时，10S n+1＝（2a n+1+1）（a n+1+2）．故10a n+1＝10（S n+1﹣S n）＝（2a n+1+1）（a n+1+2）﹣（2a n+1）（a n+2），整理，得（a n+1+a n）[2（a n+1﹣a n）﹣5]＝0．因为{a n}是递增数列，且a1＝2，故a n+1+a n≠0，a n+1﹣a n＝．则数列{a n}是以2为首项，为公差的等差数列．所以a n＝2+＝．（Ⅱ）满足条件的正整数m，n，k不存在，证明如下：假设存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）＝a k成立，则5m﹣1+5n﹣1＝（5k﹣1）．整理，得2m+2n﹣k＝，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．18．（12分）如图，等腰直角△P AD为梯形ABCD所在的平面垂直，且P A＝PD，P A⊥P A，AD∥BC，AD＝2BC＝2CD＝4，∠ADC＝120°，E为AD中点．（1）证明：BD⊥平面PEC；（2）求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）在等腰直角△P AD中，P A＝PD，又E为AD中点，∴PE⊥AD，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BD．如图，连接BE，在梯形ABCD中，AD∥BC，且ED＝BC，∴四边形BCDE为平行四边形，又BC＝CD＝2，∴四边形BCDE为菱形，∴EC⊥BD．又PE∩EC＝E，∴BD⊥平面PEC．解：（2）如图，过点E作EF∥DB，交AB于F，∵BD⊥EC，∴EF⊥BC．由（1）知PE⊥平面ABCD，故以点E为坐标原点，分别以EF，EC，EP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz．在Rt△P AD中，ED＝EA＝2，又P A＝PD，P A⊥PD，∴EP＝2．在梯形ABCD中，∠ADC＝120°，ED＝DC＝2，故EC＝2．EB＝DC＝2，∠BEF＝60°．∴P（0，0，2），C（0，2，0），B（2cos60°，2sin60°，0），即B（1，，0），D（﹣1，，0）．故＝（1，，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，0，0）．设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则．令z＝，得＝（）．平面PBD的法向量为＝（x，y，z）．则，取z＝3，得＝（0，2，），∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角C﹣PB﹣D为锐二面角，故其余弦值等于．19．（12分）甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销10天．两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出90以内（含90件）的产品，每件产品返利5元，超出90件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利a元，且每卖出一件产品再返利3元．经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如图：（Ⅰ）现从乙品牌试销的10天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：①记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）记乙品牌“这三天的销售量中至少有一天低于90件”为事件A，由题意得抽取的10天中，销售量不低于90件的有7天，销售量低于90件的有3天，则这三天的销售量中至少有一天低于90件的概率：P（A）＝＝．（Ⅱ）①设甲品牌的日销售量为t，由茎叶图得t可取86，87，89，90，92，93，当t＝86时，X＝86×5＝430，当t＝87时，X＝87×5＝435，当t＝89时，X＝89×5＝445，当t＝90时，X＝90×5＝450，当t＝92时，X＝90×5+2×7＝464，当t＝93时，X＝90×5+3×7＝471，∴X的所有可能取值为430，435，445，450，464，471，∴X的分布列为：∴E（X）＝430×+＝445.5（元）．②依题意，乙品牌的日平均销售量为：+，∴乙品牌的日平均返利额为：a+90.7×3＝a+272.1（元），当a+272.1＞445.5，即a＞173.4元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当a+272.1＝445.5，即a＝173.4（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当a+272.1＜445.5，即a＜173.4元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售．综上，即a＞173.4元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售；当a＝173.4（元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可；当a＜173.4元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售．20．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，F1（﹣1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2＝+，点C在直线EF1上，且，记点C的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）已知N（4，0），过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB 的中垂线为l′，线段AB的中点为Q点，记l′与y轴的交点为M，求MQ 的取值范围．【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径r＝4，F1（﹣1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2＝+，可得D为EF2的中点，点C在直线EF1上，且＝0，可得CD⊥EF2，连接CF2，可得CE＝CF2，且CF1+CF2＝CF1+CE＝EF1＝2OD＝4，由椭圆的定义可得，C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点的椭圆，可得c＝1，a＝2，b＝＝，则曲线W的方程为+＝1；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l：y＝k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立直线与椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，x1+x2＝，x1x2＝，又△＝（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得﹣＜k＜，x0＝＝，y0＝k（x0﹣4）＝﹣，所以Q（，﹣），所以l'：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），即y+＝﹣（x﹣），化简得y＝﹣x+，令x＝0，得m＝，即M（0，），|MQ|＝（）2+（）2＝256•，令t＝3+4k2，则t∈[3，4），所以|MQ|＝256•＝16•＝16[﹣3（）2﹣+1]＝16[﹣3（+）2+]，所以|MQ|∈[0，5）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞0，a∈R）．（1）当时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，①求a的取值范围；②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．【解答】解：（1）由题f′（x）＝，（x＞0）方法1：由于，﹣e x＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）e x＜﹣，又，所以（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a＜0，从而f'（x）＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）方法2：令h（x）＝（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）＝（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．故h（x）在x＝1时取得极大值，也即为最大值．则h（x）max＝﹣e﹣a．由于，所以h（x）max＝h（1）＝﹣e﹣a＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）（2）①令h（x）＝（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）＝（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）＝0有两不等实根，即h（x）＝0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得﹣3＜a＜﹣e，②可知x1∈（0，1），由于h（1）＝﹣e﹣a＞0，h（）＝﹣﹣a＜﹣+3＜0，则．而f′（x2）＝＝0，即＝（#）所以g（x）极大值＝f（x2）＝，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，下面再说明对于任意﹣3＜a＜﹣e，，f（x2）＞2．又由（#）得a＝（﹣+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）＝（2﹣x2），所以当时，f′（x2）＝（1﹣x2）＜0恒成立，故f（x2）为的减函数，所以f（x2）＞f（）＝＞2，所以满足题意的整数m的最小值为3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为，在极坐标系中曲线D 的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D交于AB两点，求|AB|．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），整理为，消去参数t，得y＝1+2x，故曲线C的普通方程为2x﹣y+1＝0．因为＝，即ρ﹣ρsinθ＝2．所以曲线D的直角坐标方程为x2＝4y+4．（2）由，消去y，可得x2＝4（1+2x）+4，即x2﹣8x﹣8＝0．所以x1+x2＝8，x1x2＝﹣8，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2；（2）若f（x）+f（x+3）≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题知不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2，即|x﹣2|﹣|2x+2|＜2，等价于，或，或；解得x＜﹣2或﹣＜x≤2或x＞2，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（2）由题知f（x）+f（x+3）＝|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|＝3，∴f（x）+f（x+3）的最小值为3，∴m2+2m≤3，解得﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1]．。
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．R B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（1，2）2．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或44．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．6 C．7 D．95．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（）A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．611．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞）D．（0，1）∪（1，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A 的横坐标为．16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，求T n．18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘附：对于一组数据（t估计公式分别为：=，=．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q 是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；（2）是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（其中a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．R B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（1，2）【解答】解：要使y=lg（2﹣x）有意义，则2﹣x＞0得x＜2，即B=（﹣∞，2），∵A={x|x＞1}=（1，+∞），∴A∩B=（1，2），故选：D2．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：=．故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，若y=2，则x=4，或x=1，故选：D4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．6 C．7 D．9【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故选：C．5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．故选：D．6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．【解答】解：由题意可得•=0，则•=（+）•（+）=（+）•（+）=（+）•（+）=•+2+2=0++=1．故选：C．8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，故②正确；在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误．故选：B．9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0），圆心到直线y=k（x﹣2）的距离为；要使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点，则＜1，解得﹣≤k≤；∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==．故选：D．10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（）A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）是奇函数，∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，∴f（﹣1）=2﹣2=0，f（f（﹣1））=f（0）=0，f（﹣2）=2（﹣2）2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f（2），则f（2）=﹣6，则f（f（﹣1））+f（2）=0﹣6=﹣6，故选：B11．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，水秀中华∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C．12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞）D．（0，1）∪（1，3）【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=log a x关于y轴的对称函数为f（x）=log a（﹣x），则log a3＞1，∴1＜a＜3，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，3），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是x﹣2y+2=0．【解答】解：由，得，即直线的交点坐标为（2，2），在直线2x﹣y﹣2=0上取一点A（1，0），设A关于直线x+y﹣4=0的对称点的坐标为（a，b），则满足得得，即对称点（4，3）则l的方程为，整理得x﹣2y+2=0，故答案为：x﹣2y+2=015．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），y2+y3=2y1，即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）由，有a n﹣a n=n+1，又a1=1，+1所以n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．当n=1时，也满足，则：．所以数列{a n}的通项公式为．（2）由（1）知，所以．18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘附：对于一组数据（t估计公式分别为：=，=．【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，则（t i﹣）（y i﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．（t i﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．（2）当t=7时，=3.6×7+62.4=87.6，当t=8时，=3.6×8+62.4=91.2，所以2017年、2018年该市“运动参与”评分值分别87.6，91.2．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q 是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；（2）是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）λ=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，所以ED=BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD．又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ．又F是A1A中点，所以EF∥A1D，因为BF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ．因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．（2）连接AQ，BD与FQ，因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD．若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，所以BD⊥平面A1AQ．因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以，AB2=AD•BQ．又AB=1，AD=2，所以，，则，即．21．（12分）已知函数（其中a＞0）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．【解答】解：（1）由得，当a＞0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a＞0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．又由（1）知f（x）两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．则，又，两式相减得，则，所以=，令，则单调递减，则h（t）＞h（1）=0，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．（2）m，n∈（﹣1，1），欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，因为m，n∈（﹣1，1），水秀中华所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．所以成立．。
【高三数学试题精选】2018年高考数学一模联考试卷(四川名校理科附答案和解释)
2018年高考数学一模联考试卷（四川名校理科附答案和解
释）
5 c 2018年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合={x|x＜2}，，则∩N=（）
A． B．{x|﹣1＜x＜2}c．{x|0＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}
2．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B．=±2xc． D．
3．如图，在正方体ABcD﹣A1B1c1D1中，棱长为a，、N分别为A1B和Ac上的点，A1=AN= ，则N与平面BB1c1c的位置关系是（）A．相交B．平行c．垂直D．不能确定
4．函数f（x）=sinωx（ω＞0），对任意实数x有，且，那么 =（）
A．aB． c． D．﹣a
5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）
A．2B．3c．4D．5
6．已知函数f（x）图象如图，f’（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）
A．0＜f’（2）＜f’（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f’（3）＜f’（2）＜f（3）﹣f（2）
c．0＜f’（3）＜f（3）﹣f（2）＜f’（2）D．0＜f（3）﹣f （2）＜f’（2）＜f’（3）
7．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（）
A． B． c． D．。
2018年四川省内江市高考数学一模试卷理科及答案
2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，那么A∪B=（）A．（0，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，假设是纯虚数，那么a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5分）以下各组向量中，能够作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，4．（5分）以下说法中正确的选项是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，如此的抽样方式是分层抽样法B．线性回归直线不必然过样本中心点C．假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态散布N（10，0.01），那么5．（5分）执行如下图的程序框图，假设输入的a为2，那么输出的a值是（）A．2 B．1 C．D．﹣16．（5分）假设函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，那么φ的值可能是（）A．2π B．πC．D．7．（5分）已知α是锐角，假设，那么cos2α=（）A．B．C． D．8．（5分）设{a n}是等比数列，那么以下结论中正确的选项是（）A．假设a1=1，a5=4，那么a3=﹣2 B．假设a1+a3＞0，那么a2+a4＞0C ．假设a 2＞a 1，那么a 3＞a 2D ．假设a 2＞a 1＞0，那么a 1+a 3＞2a 2 9．（5分）函数f （x ）=x 2﹣2|x|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知实数a ，b 知足，那么当时，的最大值是（ ）A ．5B ．2C ．D ．11．（5分）当x ＞0时，不等式恒成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．[0，1）∪（1，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）12．（5分）设n ∈N *，函数f 1（x ）=xe x ，f 2（x ）=f 1′（x ），f 3（x ）=f 2′（x ），…，f n+1（x ）=f n ′（x ），曲线y=f n （x ）的最低点为P n ，△P n P n+1P n+2的面积为S n ，那么（ ）A ．{S n }是常数列B ．{S n }不是单调数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）甲、乙、丙三位同窗中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．若是这三位同窗中只有一人说的是谎话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同窗是．15．（5分）设函数，那么知足f（x）+f（x﹣1）＜2的x 的取值范围是．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，那么的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（12分）设数列{an }知足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an +log2an}的前n项和．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）假设，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情形，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，假设该项质量指标值落在[100，120）内，那么为合格品，不然为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数散布表，图1是乙套设备的样本的频率散布直方图．表1：甲套设备的样本的频数散布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率散布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并依照列联表判定是不是有90%的把握以为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅱ）依照表1和图1，对两套设备的好坏进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率．假设从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．附：P（K2≥k）0.150.100.0500.0250.010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635．20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM 与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b知足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，那么A∪B=（）A．（0，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，那么A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），应选B．2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，假设是纯虚数，那么a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=1．应选：C．3．（5分）以下各组向量中，能够作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：关于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．关于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．关于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．关于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．应选：B．4．（5分）以下说法中正确的选项是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，如此的抽样方式是分层抽样法B．线性回归直线不必然过样本中心点C．假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的值越接近于1 D．设随机变量X服从正态散布N（10，0.01），那么【解答】解：在A中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，如此的抽样方式是系统抽样法，故A错误；在B中，线性回归直线必然过样本中心点，故B错误；在C中，假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；在D中，设随机变量X服从正态散布N（10，0.01），那么由正态散布性质得，故D正确．应选：D．5．（5分）执行如下图的程序框图，假设输入的a为2，那么输出的a值是（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，知足继续循环的条件，k=1；执行循环a=，知足继续循环的条件，k=2；执行循环a=2，知足继续循环的条件，k=3；执行循环a=﹣1，知足继续循环的条件，k=4；执行循环a=，知足继续循环的条件，k=5；执行循环a=2，不知足继续循环的条件，故输出的结果为2，应选：A6．（5分）假设函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，那么φ的值可能是（）A．2π B．πC． D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，则，可得φ，k∈Z．∴φ=应选：C7．（5分）已知α是锐角，假设，那么cos2α=（）A．B．C． D．【解答】解：∵已知α是锐角，假设，∴cos（α﹣）= =，那么cos2α=sin（﹣2α）=﹣sin（2α﹣）=﹣2sin（α﹣）cos（α﹣）=﹣2××=﹣，应选：D．8．（5分）设{an}是等比数列，那么以下结论中正确的选项是（）A．假设a1=1，a5=4，那么a3=﹣2 B．假设a1+a3＞0，那么a2+a4＞0C．假设a2＞a1，那么a3＞a2D．假设a2＞a1＞0，那么a1+a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1+a3＞0，那么a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确信，因此不正确；C．假设a2＞a1，那么a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确信，因此不正确；D．假设a2＞a1＞0，那么a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，那么a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．应选：D．9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，应选：B当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，∴f′（x）=2x﹣2x ln2，应选：B10．（5分）已知实数a，b知足，那么当时，的最大值是（）A．5 B．2 C．D．【解答】解：当时，=asin2θ+ bcos2θ=sin（2θ+φ），取值tanφ=，作出实数a，b知足的可行域如图：由可行域可知|AO|的距离是最大值，由，解得A（3，1），=，当时，2θ∈[0，]，=，时，tanφ==，因此的最大值是：．应选：B．11．（5分）当x＞0时，不等式恒成立，那么a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，那么f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），令h （a ）=a ﹣1﹣lna ，（a ＞0）， 故h′（a ）=1﹣=，令h′（a ）＞0，解得：a ＞1，令h′（a ）＜0，解得：0＜a ＜1， 故h （a ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故h （a ）≥h （1）=0， 故a ﹣1﹣lna ≥0，故a ＞0时，只要a ≠1，那么h （a ）＞0， 综上，a ∈[0，1）∪（1，+∞）， 应选：A ．12．（5分）设n ∈N *，函数f 1（x ）=xe x ，f 2（x ）=f 1′（x ），f 3（x ）=f 2′（x ），…，f n+1（x ）=f n ′（x ），曲线y=f n （x ）的最低点为P n ，△P n P n+1P n+2的面积为S n ，那么（ ）A ．{S n }是常数列B ．{S n }不是单调数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列 【解答】解：依照题意，函数f 1（x ）=xe x ，其导数f 1′（x ）=（x ）′e x +x （e x ）′=（x+1）e x ，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f 1′（x ）＜0，f 1（x ）为减函数， 在（﹣1，+∞）上，f 1′（x ）＞0，f 1（x ）为增函数， 曲线y=f 1（x ）的最低点P 1，（﹣1，﹣）， 关于函数f 2（x ）=f 1′（x ）=（x+1）e x ，其导数f2′（x）=（x+1）′e x+（x+1）（e x）′=（x+2）e x，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=fn （x）的最低点Pn，其坐标为（﹣n，﹣）；那么Pn+1（﹣n﹣1，﹣），Pn+2（﹣n﹣2，﹣）；∴|Pn Pn+1|==，直线Pn Pn+1的方程为，即为（e﹣1）x+e n+1y+e﹣n=0，故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=，∴Sn =|PnPn+1|•d=，设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，故{Sn}是递减数列，应选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是﹣5 ．（用数字作答）=•（﹣x）r，【解答】解：（1﹣x）6展开式的通项公式为Tr+1∴（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣20+15=﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）甲、乙、丙三位同窗中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．若是这三位同窗中只有一人说的是谎话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙．【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是甲，那么甲和丙说的都是谎话，乙说的是实话，不知足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙，那么甲和丙说的都是实话，乙说的是谎话，知足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是丙，那么甲、乙、丙说的都是谎话，不知足题意．故申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙．故答案为：乙．15．（5分）设函数，那么知足f（x）+f（x﹣1）＜2的x 的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），①假设x＜0，那么x﹣1＜﹣1，由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，即﹣2x2＜2，即x2＞﹣1，现在恒成立，现在x＜0．②假设x≥1，那么x﹣1≥0，由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，即x2﹣2x＜0，即0＜x＜2，现在1≤x＜2，③假设0≤x＜1，那么x﹣1＜0，那么由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，即0＜2，现在不等式恒成立，现在0≤x＜1，综上x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，那么的最小值是．【解答】解：成立平面直角坐标系，如下图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），∴+=（，1﹣2b），∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，当且仅当b=时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（12分）设数列{an }知足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an +log2an}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}知足∴当n≥2时，…（2分）∴当n≥2时，2n﹣1an=1，即…（4分）当n=1时，an=1知足上式∴数列{an}的通项公式…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…（7分）∴（a1+log2a1）+（a2+log2a2）+（a3+log2a3）+…+（an+log2an），=…（9分）=…（12分）18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）假设，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵bcosC+csinB=0∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，∵0＜B＜π∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1，∵0＜C＜π∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，∴c=5，∴，∵在△BCD中，CD=BD∴，∴．19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情形，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，假设该项质量指标值落在[100，120）内，那么为合格品，不然为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数散布表，图1是乙套设备的样本的频率散布直方图．表1：甲套设备的样本的频数散布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率散布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并依照列联表判定是不是有90%的把握以为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅱ）依照表1和图1，对两套设备的好坏进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率．假设从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．附：P（K2≥k）0.150.100.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635k．【解答】解：（Ⅰ）依照表1和图1取得列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…（3分）将列联表中的数据代入公式计算得；…（5分）∵3.053＞2.706，∴有90%的把握以为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…（6分）（Ⅱ）依照表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值要紧集中在[105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相较较为分散；因此，能够以为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳固，从而甲套设备优于乙套设备；…（9分）（Ⅲ）由题知，不合格品的概率为P==，且X～B（3，），…（11分）∴X的数学期望为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，y=0，∴，∵f'（x）=acosx﹣bsinx，∴由切线方程知，，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴g（x）=kx﹣sinx，g'（x）=k﹣cosx，当k≤0时，当时，g'（x）≤0，故g（x）单调递减，∴g（x）在上的最大值为g（0）=0；②当0＜k＜1时，∵g'（0）=k﹣1＜0，，）=0，∴存在，使g'（x当x∈[0，x）时，g'（x）＜0，故g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，故g（x）单调递增．∴g（x）在上的最大值为g（0）或，又g（0）=0，，∴当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0，当时，g（x）在上的最大值为，当k≥1时，当时，g'（x）≥0，故g（x）单调递增，∴g（x）在上的最大值为．综上所述，当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0当时，g（x）在上的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=e x﹣x﹣1，那么h'（x）=e x﹣1，令h'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，∴对任意x∈R，e x≥x+1…（2分）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的概念域为（0，+∞）当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）=e x﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…（6分）当m=1时，g（x）=e x﹣lnx﹣3，∵g'（1）=e﹣1＞0，，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数∴g'（x）有唯一的零点）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（0，x，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增当x∈（x∴g（x）的最小值为…（8分）为g'（x）的零点知，，于是由x∴g（x）的最小值）＜0…（10分）由知，，即g（x又g（2）=e2+ln2﹣3＞0，，2）上有一个零点∴g（x）在上有一个零点，在（x∴g（x）有两个零点…（11分）综上所述，m的最小值为1…（12分）[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM 与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的一般方程为，极坐标方程为．曲线C的一般方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN ﹣ρM|=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b知足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减∴f（x）的最小值为f（）=…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=，∵2ab≤a2+b2，∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等∴2a+b≤…（10分）。
2018年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)
2018年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2-4＜0}，B={x|x2-4x+3＜0}，则A∪B=（）A. {x|-2＜x＜1}B. {x|1＜x＜2}C. {x|-2＜x＜3}D. {x|-2＜x＜2}3.（1，2）A. （2，4）B. （-2，-4）C. （2，-4）D. （2，4）或（-2，-4）4.过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A. 2x-3y=0B. 3x-2y=0或x+y-5=0C. x+y-5=0D. 2x-3y=0或x+y-5=05.学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为（）A. 60B. 35C. 31D. 306.直线l：2x-y+3=0被圆C：x2+y2+4y-21=0截得的弦长为（）A. B. C. D.7.若将函数y=3sin2x则平移后的函数的对称中心为（）A. 0）（k∈Z）B. 0）（k∈Z）C. 0）（k∈Z）D. 0）（k∈Z）8.古希腊数学家欧几里得首先提出用辗转相除法计算两个正整数的最大公约数，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的m=8251，n=6105，则输出的m=（）A. 37B. 111C. 148D. 3339.已知{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a1=5，S4=8，则nS n最大值为（）A. 16B. 25C. 27D. 3210.已知点P是△ABC所在平面内一点，从△ABC内任取一点Q，则点Q在△PBC内部的概率为（）11.已知F1，F2是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左右焦点，F2与抛物线C：y2=4的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|=2，则E的离心率为（）D. 212.已知函数f（x）=（x2-2x）（x-1）+sinπx+2，则f（-3）+f（-2）+f（-1）+…+f（3）+f（4）+f（5）的值为（）A. 16B. 18C. 20D. 22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.6的展开式中，常数项等于______．（用数字填写答案）14.在△ABC中，若AC=2，BC AB=______．15.某商场有五个门供顾客出入，使用这些门需遵守以下操作规则：①如果开启1号门，则必须同时开启2号门并且关闭5号门；②如果开启2号门或者是5号门，那么要关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门．现在已经开启1号门，则还需同时开启的2个门的序号是______．16.已知函数f（x）=（x2+ax+b）e x，当b＜1时，函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=a{b n}的前n项和T n18.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，（a+c）（sin A-sin C）=sin B（b-c）．（1）求A的大小；（2）若f（x）x cosx-cos2f（B）的范围．19.某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等（）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，记这两家评估的分数分别为x，y，求|x-y|≤10的概率．20.已知A为椭圆E a＞0，b＞0）的左顶点，过A作斜率为k的直线交椭圆于另一点M，点N在E上，AM⊥AN．（1）当k=1时，求△AMN的面积；（2）求证：直线MN恒过定点．21.已知函数f（x）=x2e x-a ln x（x＞0，a为常数，a∈R）在x=1处的切线斜率为3e-1．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）＞1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C（其中参数θ∈R）．（1）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）直线l（其中参数t∈R，α是常数），直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l的斜率．23.已知函数f（x）=|2x-3|-|x+a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1复数z=（3m-2）+（m-1）i在复平面上对应的点（3m-2，m-1）位于第四象限．故选：D．m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：集合A={x|x2-4＜0}={x|-2＜x＜2}，B={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|-2＜x＜3}．故选：C．解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设标为（x，y）．∵（1，22x-y=0，则标为（2，4）或（-2，-4）．故选：D．设标为（x，y（1，2本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（2，3）代入所求的方程得：则所求直线的方程为即3x-2y=0．综上，所求直线的方程为：3x-2y=0或x+y-5=0．故选：B．分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，共28+21=49人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人，则应抽取男运动员28×人，女运动员21×人，再从7人中抽取3人代表学校参加比赛，有C73=35种，其中只有男运动员的有C43=4种，只有女运动员则有C33=1种，则这3人中男、女运动员都有的选法有35-4-1=30种；故选：D．根据题意，先由分层抽样方法计算抽取的7人中男、女运动员的人数，再利用组合数公式计算从7人中抽取3人代表学校参加比赛的情况数目，从中排除只有男运动员和只有女运动员的情况数目，即可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及分层抽样方法，注意先计算出抽出男生运动员的人数．6.【答案】D【解析】解：圆C：x2+y2+4y-21=0的圆心C（0，-2），半径，圆心C（0，-2）到直线l：2x-y+3=0的距离∴直线l：2x-y+3=0被圆C：x2+y2+4y-21=0截得的弦长为：故选：D．圆C：x2+y2+4y-21=0的圆心C（0，-2），半径r=5，圆心C（0，-2）到直线l：2x-y+3=0的距离线l：2x-y+3=0被圆C：x2+y2+4y-21=0截得的弦长为本题考查实数值和角的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换求出函数的解析式，结合对称性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．【解答】解：将函数y=3sin2x的图单位，得到y=3sin2（=3sin（即k∈Z，即平移后的对称中心为0），k∈Z，故选D．8.【答案】A【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m=8251，n=6105，由8251÷6105=1…2146，r=2146，m=6105，n=2146，不满足条件r=0，由6105÷2146=2…1813，r=1813，m=2146，n=1813，不满足条件r=0，由2146÷1813=1…333，r=333，m=1813，n=333，不满足条件r=0，由1813÷333=5…148，r=148，m=333，n=148，不满足条件r=0，由333÷148=2…37，r=37，m=148，n=37，不满足条件r=0，由148÷37=4…0，r=0，m=37，n=0，此时，满足条件r=0，退出循环，输出m的值为37．故选：A．模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．9.【答案】D【解析】解：在等差数列中，由S4=4×，得20+6d=8，得6d=8-20=-12，则d=-2，则nS n=n（（-2））=n2（6-n），假设第n项最值，∵∴只有当n=4时，才满足不等式组，即当n=4时，nS n最大，最大值为42（6-4）=16×2=32，故选：D．根据条件求出等差数列的公差，结合最值的求解建立不等式组进行求解即可．本题主要考查数列的函数性质，利用最值法建立不等式组关系是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：点P是△ABC所在平面内一点，满∴AO是△ABC边BC的中线；∴P是△ABC三条中线的交点，如图所示；从△ABC内任取一点Q，则点Q在△PBC内部的概率为故选：B．P是△ABC三条中线的交点，利用重心的性质求出对应三角形的面积比即可．本题考查了平面向量的线性运算与三角形的面积比问题，是基础题．11.【答案】C【解析】解：F2与抛物线C：y2的焦点重合，则F20），即∴|F1F2∵MF2与x轴垂直，|MF2|=2，∴|MF1|=2a+2，∴（2a+2）2=22+（2，解得a=1，∴故选：C．根据抛物线和双曲线的性质可得线的定义可得|MF1|=2a+2，根据勾股定理求出a的值，再根据离心率公式计算即可．本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，以及勾股定理，考查了运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=（x2-2x）（x-1）+sinπx+2，∴f（-x）=（x2+2x）（-x-1）-sinπx+2，∴f（x）+f（-x）=4-6x2∴f（-3）+f（-2）+f（-1）+…+f（3）+f（4）+f（5）=f（0）+f（4）+f（5）+（4-6×12+4-6×22+4-6×32）=2+8×3+2+60+2+（4-6+4-24+4-54）故选：B．推导出f（x）+f（-x）=4-6x2，由此能求出f（-3）+f（-2）+f（-1）+…+f（3）+f（4）+f（5）的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】240【解析】6的展开式的通r=4．∴常数项故答案为：240．写出二项式展开式的通项，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】2【解析】2解：△ABC中，若AC=2，解得：故：所以：则：B=C．故：b=c=2．故答案为：2直接利用正弦定理的等边三角形的性质求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，等边三角形的性质的应用．15.【答案】2和3【解析】解：根据题意知，①开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门；②开启2号门或者是5号门，则关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门；∴现在要开启1号门，则同时开启2号门且关闭5号门，关闭4号门，且开启3号门；即需要同时开启2号和3号门．故答案为：2和3．由题意：要开启1号门，须同时开启2号门，关闭5号、4号门，且开启3号门．本题考查了简单的合情推理应用问题，解题时应注意题设中所给条件的合理运用，是基础题．16.【解析】解：由函数的解析式可得：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+（a+b）]，函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上均为增函数，则在（-∞，-2），（1，+∞）上x2+（a+2）x+（a+b）≥0 恒成立，画出满足条件的平面区域，如图所示：目标标系中的点（a，b）与点（2，-2）之间连线的斜率，数形结合可得，当点（a，b）位于C（-1，-1）时，斜率有最大值，即a=b=-1时故答案为首先利用函数的单调性将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的知识求解最大值即可．本题考查导函数研究函数的单调性，线性规划及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）设数列{a n} 的公差为d，a1a9，即：（2d+1）2=1+8d，解得：d=1，或d=0（舍去），所以：a n=n．（2）由（I）可知b n=n+2n，=（1+2+3+…+n）+（21+22+…+2n），n+1-2．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和．18.【答案】解：（1）由题意和正弦定理可知，（a+c）（a-c）=b（b-c）=b2-bc，∴b2+c2-a2=bc，∴cos A∴A．（2）f（x）x x=sin（2x∴f（B）=sin（2B），∵A0＜B．∴＜2B，∴sin（2B-≤1．∴f（B）的范围是（1]．【解析】（1）根据正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求出cosA；（2）化简f（B），根据B的范围和正弦函数的性质得出f（B）的范围．本题考查了正、余弦定理，正弦函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵最高小矩形下底边的中点值为75，∴估计评估得分的众数为75，频率分布直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为1-0.28-0.16-0.08=0.48，0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=18.2+36+13.6+7.6=75.4．估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4．（2）评估分数在[90，100]的频数为25×0.08=2，评估分数在[80，90）的频数为25×0.16=4，从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，记这两家评估的分数分别为x，y，基本事件总数n，|x-y|≤10包含的基本事件个数m∴|x-y|≤10的概率p【解析】（1）由最高小矩形下底边的中点值为75，能估计评估得分的众数；由频率分布直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为1-0.28-0.16-0.08=0.48，由此能估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数．（2）评估分数在[90，100）的频数为2，评估分数在[80，90）的频数为4，从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，记这两家评估的分数分别为x，y，基本事件总数，|x-y|≤10包含的基本事件个数=7，由此能求出|x-y|≤10的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）椭圆E左顶点A（-2，0），设M（x1，y1），则由题意可知y1＞0，则直线AM的方程y=x+2，7y2-12y=0，解得：y1，由椭圆的对称性可知：S△AMN=2××=（2）证明：由题意可知，直线MN的斜率不为0，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+b，3m2+4）y2+6mby+3b2-12=0，y1+y2y1y2由AM⊥AN，则（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，则x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，（my1+b）（my2+b）+2[m（y1+y2）+2b]+4+y1y2=0，（m2+1）y1y2+mb（y1+y2）+b2+2m（y1+y2）+4b+4=0，（m2+1）×mb（+b2+2m（+4b+4=0，整理得：7b2+16b+4=0，b=-2，b，满足（△＞0），∴直线MN过定点（0）．【解析】（1）求得AM的方程，代入椭圆方程，求得M点坐标，根据对称性质，即可求得△AMN的面积；（2）设MN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得b的值，即可证明直线MN恒过定点．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=（x2+2x）e xf′（1）=3e-a=3e-1，故a=1 ………………（4分）（2）证明：由（1）可知f（x）=x2e x-ln x，令g（x）=f（x）-1=x2e x-ln x-1（x＞0），g′（x）=（x2+2x）e x x＞0）g′′（x）=（x2+4x+2）e x0，故g′（x）单调递增，且g′（0，g0，∴∃x0∈g′（x0）=0，+2x0）8分）∴g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴g（x）min=f（x0）x0x0x0令h（x）x x），h′（x）=-＜0，∴h（x）在（，）递减，∴h（x）min=h＞1，故原不等式成立………………（12分）【解析】（1）求出函数的导数，根据切线斜率求出a的值即可；（2）令g（x）=f（x）-1=x2e x-lnx-1（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．22.【答案】解：（1）曲线C（其中参数θ∈R）．转换为直角坐标方程为：（x-3）2+y2=5所以C的极坐标方程ρ2-6ρcosθ+4=0．（2）直线l（其中参数t∈R，α是常数），转换为直角坐标方程为：y=k（x-1）由（1）知：圆心C（3，0），r所以：d=解得：k=±1．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）首先设直线的方程，进一步利用点到直线的距离公式求出直线的斜率．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.【答案】解：（1）a=2时，f（x）=|2x-3|-|x+2|＜0，当x＜-2时，原不等式化为-（2x-3）+（x+2）＜0，得x＞5，此时解集为∅当-2≤x-（2x-3）-（x+2）＜0，得xx，当x时，原不等式化为（2x-3）-（x+2）＜0，得x＜5，x＜5，综上：原不等式的解集{|x＜5}；（2）∵x∈[0，+∞），f（x）+3＞0恒成立，∴|2x-3|-|x+a|+3＞0，∴|x+a|＜|2x-3|+3，∴-|2x-3|-3-x＜a＜|2x-3|+3-x，令g（x）=-|2x-3|-3-x，x∈[0，+∞）；h（x）=|2x-3|+3-x，x∈[0，+∞），∵g（x）的最大值为h（x∴a【解析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）令g（x）=-|2x-3|-3-x，x∈[0，+∞）；h（x）=|2x-3|+3-x，x∈[0，+∞），根据g（x）的最大值，得到关于h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)1
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或615．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC ⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）11．A．12．A．15．．16．3．20．【解答】证明：（1）在棱形ABCD中，可得DB⊥AC，∵平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DB⊥平面AEFC，∵EF⊂平面AEFC，∴BD⊥EF．解：（2）直角梯形AEFC中，由∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，得EA⊥平面ABCD．取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则．∴=（0，2，0），=（1，，2）．设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），由=（﹣1，，4）．设平面DEF的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣，1）．则cos＜＞===，即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2．。
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2018年四川省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知复数，则的共轭复数是（ ） A ． B ． C ． D ．2.设是等差数列的前项和，，，则（ ） A ．-2 B ．0 C ．3 D ．63.已知向量，，，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ） A ．B ． C. D ． 5.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ． C.20 D ．40 6.已知满足条件，若目标函数的最大值为8，则（ ）A ．-16B ．-6 C. D ．6 7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则21iz i=+z 1i -1i +i i -n S {}n a n 12a =533a a =3a =(1,2)a =- (3,)b m = m R ∈6m =-//()a a b +2()log f x x =(0,5)x ()2f x <15253545203403,x y 020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩3z x y =+k =83-*a b S的值为（ ）A ．B ． C.4 D ．6 8.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④ C. ①② D ．②③④ 9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ） A ．-2 B ．C. 1 D ．2 10.已知是边长为为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．611.已知双曲线的左、右焦点分别为，，1(lg9lg2)294100*(log 8log -•131692S ABCD -,,E M N ,,BC CD SC P MN EP AC ⊥//EP BD //EP SBD EP ⊥SAC 212y x e=ln y a x =(,)P s t a =12ABC ∆EF ABC ∆O M ABC ∆ME FM•2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1(,0)F c -2(,0)F c ,A B是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ） AD ． 12.若对，有，求的最大值与最小值之和是（ ）A ．4B ．6 C.8 D ．10二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．） 13．若复数z=（x 2﹣2x ﹣3）+（x +1）i 为纯虚数，则实数x 的值为 ． 14．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f （x ）=e x （x ＞0）的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2﹣a ﹣2b ﹣2c=0且a +2b ﹣2c +3=0．则△ABC 中最大角的度数是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n +1=λS n +1（λ是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和．18．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示： 222()4x c y c ++=C x 12//F A F B C ,m n R ∀∈()()()3g m n g m g n +=+-()()f x g x =（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．20．已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|﹣|=4．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号．22．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选做题23．设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x+2y﹣3z|≤．2017年四川省数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1-5:AAADB 6-10:BAACA 11、12：CB二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．）13．若复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x+1）i为纯虚数，则实数x的值为3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求得x值．【解答】解：∵z=（x2﹣2x﹣3）+（x+1）i为纯虚数，∴，解得：x=3．故答案为：3．14．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是﹣3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，而=3∴平均数少3，∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．故答案为：﹣3．15．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）e m+me﹣m]t'= [﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2﹣a﹣2b﹣2c=0且a+2b﹣2c+3=0．则△ABC中最大角的度数是120°．【考点】余弦定理．【分析】根据条件可得b=，c=，显然c＞b，假设c=＞a，解得a＜1或a＞3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．【解答】解：把a2﹣a﹣2b﹣2c=0和a+2b﹣2c+3=0联立可得，b=，c=，显然c＞b．比较c与a的大小．因为b=＞0，解得a＞3，（a＜﹣1的情况很明显为负数舍弃了）假设c=＞a，解得a＜1或a＞3，刚好符合，所以c＞a，所以最大边为c．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即（）2=a2+[]2﹣2a cosC，解得cosC=﹣，∴C=120°，故答案为：120°．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．S n为数列{a n}的前n项和，已知S n+1=λS n+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=λS n﹣1+1．与原递推式作差可得a n+1=λa n，即n≥2时．验证a2=λa1，可得数列{a n}是等比数列．结合已知求得λ值，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=na n，整理后利用错位相减法求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）由S n+1=λS n+1可知当n≥2时，S n=λS n﹣1+1．作差可得a n+1=λa n，即n≥2时．又a1=1，故a2=λa1．∴数列{a n}是等比数列．由于a3=a1λ2=4，λ＞0，解得λ=2．数{a n}的通项公式为：；（Ⅱ）由，可知．设数列{b n}前n项和为T n，则，①，②①﹣②得：==2n﹣1﹣n•2n．∴．18．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布表．【分析】（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率．（2）ξ表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量ξ的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望．【解答】解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为=0.2，=0.5和=0.3．（2）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且P（ξ=8）=0.22=0.04，P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（ξ=16）=0.32=0.09．∴ξ的分布列为∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】几何法：（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．（Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．向量法：（Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE 为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣EB﹣C的大小．【解答】（本小题满分12分）几何法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面EAC，…∵BC⊄平面EAC，∴BC⊥AM，又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，…∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH，设EA=AC=BC=2a，得，AB=2a，EB=2a，∴=，∴sin=，∴∠AHM=60°．∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…向量法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），…=（0，1，1），=（0，2，﹣2），，∴，∴AM⊥EC，AM⊥BC，又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（2）设平面EAB的法向量为，则，∴，取y=﹣1，则x=1，则=（1，﹣1，0），…又∵为平面EBC的一个法向量，∴cos＜＞==﹣，设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴θ=60°，∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…20．已知：向量=（，0），O为坐标原点，动点M满足：|+|+|﹣|=4．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由：|+|+|﹣|=4，=（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，求出D，E的坐标，利用△BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即=，从而可得结论．【解答】解：（1）由：|+|+|﹣|=4，=（，0），知动点M的轨迹是以点（，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，∴c=，a=2，∴b=1，∴所求的方程为=1．（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0，∴x1=0，x2=﹣=x D，∵l1⊥l2，∴以﹣代k，得x E=∵△BDE是等腰直角三角形，∴|BD|=|BE|，∴=，∴|k|（k2+4）=1+4k2，①k＞0时①变为k3﹣4k2+4k﹣1=0，∴k=1或；k＜0时①变为k3+4k2+4k﹣1=0，k=﹣1或．∴使得△BDE是等腰直角三角形的直线共有3组．21．已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．【解答】解：（I）当a=1时，，可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为，要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是（2）已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即恒成立．设．即g（x）的最大值小于0.（1）当时，，∴为减函数．∴g（1）=﹣a﹣≤0∴a≥﹣∴（2）a≥1时，．为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号．22．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选做题23．设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x+2y﹣3z|≤．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得M．（Ⅱ）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式．【解答】解：（Ⅰ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣1、1对应点的距离之和，它的最小值为2，故不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M=[﹣1，1]．（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤，|z|≤，∴|x+2y﹣3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×+3×=，∴：|x+2y﹣3z|≤成立．。