与圆有关的概念及定理
圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全半径相等的圆叫做等圆.弦和弧连结圆上任意两点的线段叫做 弦.经过圆心的弦叫做 直径，并且直径是同一圆中最 长的弦，直径等于半径的 2倍.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 、B 为端点的弧记作A B ，读作弧在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做 优弧，小于半圆的弧叫做 劣弧.由弦及其所对的弧组成的图形叫做 弓形.顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角, 我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的1. 2. 3. 1. 2. 圆的定义在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A 所形成的 图形叫圆.这个固定的端点0叫做圆心，线段0A 叫做半径.以0点为圆心的圆记 作O 0,读作圆0圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.同圆、同心圆、等圆圆心相同且半径相等的圆叫做 同圆; 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆;1. 2. AB4. 从圆心到弦的距离叫做 弦心距.四. 与圆有关的角及相关定理1.2.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.一半.推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3.顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角.圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半.4.顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角.圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半.5 .圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.6.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.7.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.五.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;2.其它正确结论:⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等.3.知二推三:⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧.以上五个条件知二推三•注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径.4.常见辅助线做法:⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT A，用勾股，求长度;⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.相关题目:1.平面内有一点到圆上的最大距离是6,最小距离是2,求该圆的半径2. （08郴州）已知在O O中，半径r=5 , AB , CD是两条平行弦，且AB =8, CD =6 ,则弦AC的长为______________ .解：湮,5^2, A/2 .六.点与圆的位置关系1.点与圆的位置有三种:⑴点在圆外二d >r ;⑵点在圆上 u d =r ;⑶点在圆内 u d <r.2.过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.⑵经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点 A B的圆，这样的圆也有无数个.⑶过三点的圆：若这三点A B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.⑷过n（n > 4 ）个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.3 .定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定” 一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”.4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.⑵三角形外心的性质:①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）;直角三角形外接圆的圆心在斜边中占I八、、处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）;钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.五.直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O的半径为r，圆心0到直线I的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长. ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角.五.三角形内切圆1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆, 的外切多边形.六•圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设OO i 、OO 2的半径分别为R 、r （其中R>r ），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如 F 表：1. 切线的性质:2. 切线的判定3. 切线长和切线长定理:该多边形叫做圆说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公 共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种 情况.七. 正多边形与圆1.正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形的相关概念:中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形;正多边形的正多边形的 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的⑵正多边形都是轴对称图形，正 n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴; ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心.八、圆中计算的相关公式设O O 的半径为R ，n 。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d ，那么：（1）点在圆外⇔d ＞r ； （2）点在圆上⇔d ＝r ； （3）点在圆内⇔d ＜r ； 2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ；典例精析例1：已知直线l ：y ＝x －3和点A （0，3），B （3，0），设P 点为l 上一点，试判断P 、A 、B 是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（ ）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l 到⊙O 的圆心的距离为d ，⊙O 的半径为R，并使20x R -+=，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙O 的位置关系.3、圆和圆的位置关系⎧⎨⎩外离(没有公共点)(1)相离内含(包括同心圆) ()⎧⎨⎩外切(2)相切有一个公共点内切(3)相交(有两个公共点)注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 （1）两圆外离⇒d ＞R ＋r （2）两圆外切⇒d ＝R ＋r （3）两圆相交⇒R －r ＜d ＜R +r（4）两圆内切⇒d ＝R －r （5）两圆内含⇒d ＜R －r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则d 的取值范围为______. 例2：已知⊙O 1和⊙O 2内切，圆心距为7cm ，⊙O 1的半径为8cm ，求⊙O 2的半径.DC BA例4：如图：⊙M 的半径为8cm ，⊙N 的半径为6cm ，MN ＝10cm ，两圆相交于A 、B 两点，连接AB 与MN 交于点C ，求AB 的长为多少？与相切有关的性质 定理 1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心. 2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度） （3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度） 两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
圆的定理初中
圆的定理初中
在初中数学中，有一些与圆有关的定理，其中最基本和常见的是：
1. 圆的直径定理：圆的直径是圆上最长的线段，且直径的两个端点都在圆上。
圆的直径等于其半径的两倍。
也就是说，如果一个圆的半径为r，那么它的直径就是2r。
2. 圆的半径定理：圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径。
这个定理表明，无论圆上的点在哪里，只要与圆心连线的长度等于圆的半径r，那么这个点就位于圆上。
3. 圆的圆周定理：圆的周长（也称为圆周）等于圆的直径与π（圆周率）的乘积，即C = 2πr，其中C代表圆的周长，r代表半径。
4. 圆的面积定理：圆的面积等于π（圆周率）与半径的平方的乘积的一半，即A = πr^2，其中A代表圆的面积，r代表半径。
这些基本的圆定理是初中数学中关于圆的重要概念，它们为解决与圆有关的各种几何问题提供了基础。
在学习圆相关的内容时，这些定理通常是学生首要掌握的知识点。
圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全一．圆的定义1．在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O．2．圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径,其中圆心确定圆的位置,半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径,并且直径是同一圆中最长的弦,直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B、为端点的弧记作AB,读作弧AB．在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径．在同圆中,半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角3．顶点在圆内,两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外,两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时,要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心,作垂线,连半径,造RT △,用勾股,求长度； ⑵有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6,最小距离是2,求该圆的半径2．08郴州已知在O ⊙中,半径5r =,AB CD ，是两条平行弦,且86AB CD ==，,则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A 的圆,这样的圆有无数个．⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A B 、的圆,这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时,过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时,圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点,而这个交点O 是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部如图1；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,如图2；钝角三角形外接圆的圆心在 它的外部如图3.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O⊙的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、其中R r >,两圆圆心距为d ,则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r >+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点之外,每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r =+⇔两圆外切相交两个圆有两个公共点．R r d R r -<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点之外,一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部,两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系,又可分为三大类：相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形的定义：各条边相等,并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形,正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O⊙的半径为R,n︒圆心角所对弧长为l,1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+l 为母线 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
圆的定义和有关概念
圆的定义和有关概念一、圆的定义和有关概念1、圆的有关概念（1）圆的定义：在一个平面内，线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周，另一个端点$A$ 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点$O$叫做圆心，线段$OA$叫做半径。
以点$O$为圆心的圆，记作“$⊙O$”，读作“圆$O$”。
此外，圆心为$O$，半径为$r$的圆可以看成是所有到定点$O$的距离等于定长$r$的点的集合。
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以$A$，$B$为端点的弧记作$\overset{\frown} {AB}$，读作“圆弧$AB$”或“弧$AB$”。
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧。
（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
2、垂直于弦的直径（1）圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆有无数条对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆还具有旋转不变性。
（2）垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还可以得到：① 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
② 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆的基本概念和垂径定理
【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的 距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请 你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求 工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】 【例 1】 如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、 如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2， 则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．
初三《圆》知识点及定理(1)
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；(补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（1)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
初三《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
(完整版)圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r >+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
与圆有关的概念和定理
与圆有关的概念和定理1、圆是到定点的距离等于定长的的点的集合。
2、直径和弦：直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径；弧与优弧、劣弧：优弧、劣弧都是弧，但优弧大于半圆，劣弧小于半圆。
3、圆既是中心对称图形又是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
（不是直径）4、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线若满足：（1）过圆心；(2)垂直于弦；（3）平分弦（不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧；已知以上的两个条件可求其他三个条件。
注：在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可,将线段的问题转化为直角三角的问题。
垂径定理与勾股定理的结合看教材赵州桥的例题。
5、弧、弦、圆心角：这三者之间的关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据。
等弧（能够重合的弧）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等。
注：等弧对等弦，弦（不是直径）对的是两条弧(优弧和劣弧)6、圆周角的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（注：同弦或等弦所对的圆周角在弦同侧的相等，两侧的互补。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角（直角）所对的弦是直径。
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
注：（！）在圆中连接同弧或等弧所对的圆周角时常用的辅助线。
（2）见直径，构造直径所对的圆周角是常作的辅助线。
（3）在已知条件下，若有与半径或直径垂直的线段，常延长此线段与圆相交，这样可利用垂径定理得线段相等、弧相等。
圆知识点公式总结
圆知识点公式总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上到一个定点的距离等于一个常数的点的集合称为圆。
2. 圆的元素：圆的元素包括圆心、半径、直径、弧、圆周和扇形等。
3. 圆的面积：圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14159。
4. 圆的周长：圆的周长公式为C=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14159。
5. 圆心角和弧度：圆心角是以圆心为顶点的角度，用弧度来表示，弧度制是角度制的另一种形式，1弧度=180°/π。
6. 弧长：圆的弧长公式为L=αr，其中α为圆心角的大小（弧度制），r为圆的半径。
7. 扇形的面积：扇形的面积公式为S=0.5r²α，其中r为圆的半径，α为圆心角的大小（弧度制）。
8. 弦长：圆的弦长公式为L=2rsin(α/2)，其中r为圆的半径，α为圆心角的大小（弧度制），sin为正弦函数。
9. 圆内切正多边形的面积：圆内切正n边形的面积公式为S= n/2 × （r² × sin(2π/n)）；其中n为正多边形的边数，r为圆的半径。
10. 圆外接正多边形的面积：圆外接正n边形的面积公式为S= n/2 × （r² × tan(π/n)）；其中n为正多边形的边数，r为圆的半径。
二、圆的相关定理1. 圆的切线定理：切线和半径的关系是切线为半径的垂直平分线。
2. 圆心角定理：圆周角的度数是其对应的圆心角的一半。
3. 弧长定理：相等圆周角所对应的的弧长也相等。
4. 直径定理：半径、弦和直径构成直角三角形，其中直径是斜边。
5. 弦切圆定理：切线与弦的交点是正切分比例臂所对应的弦。
6. 圆心角的度数：一个圆心角的度数等于其所对应的弧的度数。
7. 弦分割圆定理：连接切点与圆心之间的直线也是正切分比例臂所对应的弦。
三、圆的相关问题1. 圆的位置关系：包括相离、内切、相切、内含、相交和重合等。
圆相关的知识点总结
圆相关的知识点总结
一、圆的定义
圆是一个平面上所有点到圆心的距离相等的图形，这个距离被称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆内部的部分称为圆的内部，圆外部的部分称为圆的外部。
在数学中，圆通常用一个大写字母表示，例如“O”。
二、圆的性质
1. 圆的所有直径相等，且都等于圆的直径的两倍。
2. 圆的所有弧相等，且都等于圆的周长的一半。
3. 圆的所有半径相等。
4. 圆的直径是圆周的两倍，即圆周长等于直径乘以π。
5. 圆的内角和为360度。
三、圆的公式
1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于
3.14159。
四、与圆相关的定理和定律
1. 弧长定理：在同一个圆上，夹在同一个弧上的两个圆周角相等。
2. 圆心角定理：在同一个圆上，夹在同一个圆心角上的两个弧相等。
3. 正切定理：过圆外一点，有且只有一条直线与圆相切。
4. 弦的性质：在同一个圆上，垂直于弦的直径将这个弦分成两段，相互成比例。
5. 等腰三角形定理：在同一个圆内，以直径为底的三角形是等腰三角形。
以上是关于圆的定义、性质、公式以及一些相关的定理和定律的总结。
圆是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
希望这篇文章能帮助读者更好地理解和掌握圆的相关知识。
圆的有关知识点
圆的定义与有关概念（知识点） 圆的定义： 1、形成性定义:在一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径．记作“⊙O”,读作“圆O"．2、集合性定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径． 与圆有关概念3、弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．直径：经过圆心弦，称为直径．注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．4、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧，以A 、B 为端点的弧用“"表示．读作“弧AB”．能够重合的两条弧叫做等弧．小于半圆周的弧叫做劣弧,大于半圆周的弧叫做优弧．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等．5、半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．7、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心．注意:圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．圆具有旋转对称性。
特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心,围绕圆心任意旋转一个角度α，都能够与原来的图形重合。
注意：①圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。
②实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
8、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 9、垂径定理推论：平分弦(不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.10、弓高（拱高），弦心距：一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距.11、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系：设圆的半径为R ,弦长为a ,弦心距为d ，弓高为h ，则d +h =R ；d 2+（2a )2=R 2,在R 、a 、d 、h 这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。
初中《圆》知识点及定理
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。
2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。
二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。
2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。
3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。
4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。
5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。
6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。
7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。
8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。
三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。
2、圆上，任意两点之间的距离相等。
3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。
4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。
5、圆的面积A=πr²。
6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。
四、圆的有关定理。
圆的特点和性质
圆的特点和性质1 概念：圆是一种有向的平面图案，它是由焦点轴组成的，它主要由半径组成，半径决定了圆的大小，而圆上所有点到圆心的距离是相等的。
2 性质：1. 圆周角定理：任何一个三角形的内部角加起来等于180度；2. 圆心角定理：围绕一个圆心的圆上任意两点之间的圆心角一定相等；3. 同切圆定理：两个圆之间及任意一点到另一圆上任意一点的距离相等；4. 内切圆定理：以一个圆的外接正多边形的逆时针方向的内角的一条边所经过的点，这条边的经过的所有点的距离都是和圆心的距离一致的；5. 外共线圆定理：两个外共线圆的外接正多边形一定是相等的；6. 四等腰圆定理：四等腰圆的四个角夹角的个数就是其他圆的个数；7. 最大圆定理：在一个给定的空间中，其半径最大的圆必定和该空间的边界有关。
3 特点：1. 圆是任何多边形中节点数最少的图形，圆的不变性将被多边形结构的几何形式约束；2. 圆是所有空间与表面形状中最平滑、最美的图形，它的精美的外观让它常用于装饰元素；3. 圆有两个明显的性质：选定一个圆心点后，圆上任意一点到圆心的距离都一致；每个夹角都是相等的，而且角度都是180度；4. 这两个特点使得圆具有平等性与和谐性，它代表着统一、完善、无缝连接；5. 圆形几乎没有任何空隙，几乎是自身位置确定，虽然它没有多余的条纹和特殊的物体，但却具有恒久不变的美；6. 圆也极大的实用性，它是最鼓舞人心的形状，几乎所有的设计布局都采用了圆形，无论是圆柱、圆锥等，圆都深受 ' 音乐、舞蹈、行事历等各类图形的喜爱。
4 应用：圆的特点使它可以用于各种尺寸的雕塑、绘画、金属雕刻、建筑、设计布局等，极大的丰富了设计空间。
由于圆周率等数学知识的发现，可以使得圆更精确，因而在机械精密制造方面它也有很强的实际功能。
它在既实用又美观的设计方面发挥着重要作用，具有重要意义。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
圆知识点汇总
圆知识点汇总（一）一、圆、垂径定理1、圆的定义及表示法（1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
线段OA叫做半径（如图1-1）。
（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
（3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。
（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分）确定一个圆的要素是圆心和半径。
2、与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦是直径。
注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。
（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。
（画图判断带弦的不叫弧，叫弓形）（5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
优弧CAB，记作“⌒CAB”，如图1-2。
（6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
劣弧表示时只需两个字母。
（7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
（9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
判断：长度相等的弧叫做等弧。
（×）3、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）错误说法：圆的对称轴是直径。
因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。
应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。
4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。
关于圆的所有定义【很全】
圆的定义：1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
3、连接圆上任意两点间的线段叫做弦。
4、经过圆心的弦叫做直径。
5、在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
圆上任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧。
每一条弧都叫做半圆。
6、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
7、圆具有旋转对称性。
特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
8、在同圆或等圆中，相等得圆心角所对的弧相等。
9、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别等。
圆周角定理：1、圆周度数与它所对的弧得度数相等。
2、圆周角的度数等于他所对弧得度数一半。
3、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
5、直径所对的圆周角是直角；直角所对的弦是直径。
6、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
7、因此，三角形的三个顶点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
8、一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。
9、圆内接四边形的对角互补。
10、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角切线的定理：1、当直线和圆有两个公共点时，我们说直线和圆相交，两个公共点叫做交点。
2、当直线和圆有唯一公共点时，我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
3、当直线和圆没有公共点时，我们说直线和圆相离。
4、圆的切线垂直于过切点的半径。
5、判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线叫做圆的切线。
6、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
7、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
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3、如图，⊙O半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的 最小值为___3____,最大值为____5_____.
4、如图，OE,OF分别为⊙O的弦AB,CD的弦心距，如果OE=OF,
那么_A_B_=_C_D_或__∠__A_O_B_=_∠__BO_C_或__⌒_A_B_=__⌒ C_D.(只需写一个正确结论即可)
路面AB=8m，净高CD=8m，则此圆的半径__5_m___ C
O
A
C
B
第1题
O A 第2题 B
O
A
D
B
第3题
定义： __顶__点_在__圆__心__的__角____叫做圆心角。
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定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相_等__,所对的弦_相_等___
o
③∵∠__A_O_B_=_∠__C_O_D_ ，∴_A_B_=_C_D___⌒,A_B_=__⌒ C_D___；
当堂训练 1、在⊙O中,一条弦AB所对的劣弧为圆周的 1 ，则弦AB所对的圆
4 心角为度数为____9_0__°
2、在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆
心角度数为___1_2_0__° 3、如图，在⊙O中,⌒AB = ⌒AC ，∠B=70°，则∠A=___4_0_°
2、如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°,则AC=_2____ 3、如图，在⊙O中∠CBD=30°，∠BDC=20°，则∠A=__5_0__°
O
A
B
C
第1题
O
A
C
第2题
A
O
B
B
D
C
第3题
1、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC中点，
若AC=10cm,则OD=____5_c_m_ 2、在⊙O中,直径为10cm，弦AB=8cm，则圆心O到AB的距离为_3_c_m__
B
D
C
A
B
D 第5题
O
A D
第6题OA CBC第7题
8、如图，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D， 求四边形ABCD的面积。
解： ∵AB是⊙O的直径； ∴∠ACB=∠ADB=90°
在Tt△ABC中，BC= AB2-AC2= 102-62=8
∵CD平分∠ACB ∴ ⌒AB = ⌒CD ∴AD=BD
的弦是_直__径___,在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_相__等__
A
②：圆内接四边形的对角__互__补______ C
如图，几何语言表示：
①∵AB是⊙O的直径 ②∵∠ACB=9A0°
O
BB
O
D
∴∠ACB=90°
∴AB是⊙O的直径
C
③∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°
当堂训练 1、如图，∠BOC=100°,则∠BAC=__5_0___°
∵ ⌒BC = ⌒BC ∴∠BAC=∠CPB=60° ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60° ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB ∴△ABC为等边三角形
A P
O
B
C
通过本节课的学习，对于与圆有关的概念还 有何疑惑？请小组讨论
叫做等弧。
当堂训练 1、⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是_等__边__三__角_形_ 2、⊙O中，若半径为2cm，则弦长d的取值范围__0_<_d_≤__4_c_m 3、一点和⊙O上的点最近距离为4cm，最长距离为10cm，则这个 圆的半径长为_3_c_m_或__7_c_m_
O
A
知识回顾
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1、圆可以看成是_所__有__到__顶__点__的__距__离__等__于__定__长__的__点__的__集合。 2、连接圆上任意两点的_线__段___叫做弦，经过圆心的弦叫做_直__径___
圆上_任__意__两__点__间__的__部__分___叫做弧；圆上任意一条直径的两个端点
在Tt△ABD中,AD2+BD2=AB2
∴AD=BD= 2 AB= 2 ×10=5 2
2
2
∴SACBD=S△ACB+S△ADB=49cm2
C
A
O
B
D
9、如图、A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状，
并证明你的结论。
解：△ABC为等边三角形
理由：∵ ⌒AC = ⌒BC ∴∠ABC=∠APC=60°
A
O
A
B
第1题
O
A
C
B
第2题
O
B
C
第3题
定义： _顶__点__在__圆__上__，__并__且__两__边__都__与__圆__相__交__的__角__心__的__角__叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_相__等___,都等于
这_条__弧__所__对__的__圆__心__角__的__一__半__。___ 推论①：半圆(或直径)所对的圆周角是__相__等__,90°的圆周角所对
B
第1题
垂径定理： 垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图，几何语言表示：
C_D_为__⊙__O_直__径__
_C_D_⊥__A_B_____
推论：
___A_E_=_B_E____ __⌒A_D__=__⌒ B_D___
__⌒A_C_=__⌒B_C____
C
E
A
B
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
把圆分成两条弧，每条弧叫做__半__圆___，大于__半__圆____的弧叫做
__优__弧____,小于__半__圆____的弧叫做__劣__弧_____。
3、_能__够__完__全__重__合_的__两__个__圆__叫做等圆，在同圆或等圆中能够完全
____________________
重合的弧
如图，几何语言表示：
_C_D_为__⊙__O直__径__
_A_E_=_B_E______
_C_D_⊥__A_B_____
_⌒A_D__=__⌒ B_D____ _⌒A_C_=__⌒B_C_____
当堂训练 1、在⊙O中,直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，
则弦AB的长为_8_c_m_ 2、在直径为20cm的⊙O中，∠AOB=60°,则圆心O到弦AB的距离为5__3_c_m__ 3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，
BDC
B
E
O
A
O
O
第1题 A
AM
B
第3题
C
F
D
第4题
13
5、弓形的弦长为6cm，高为2cm，则这个弓形所在圆的半径为_4__c_m
6、如图所示，点A,B,C在圆周上，∠A=65°，则∠D=__6__5_°
7、如图所示，A,B,C,D是⊙O上顺次四点,若∠AOC=160°， 则∠D=___8_0_°__,∠B=___1_0_0_°___.
推论：在同圆或等圆中，两个_圆__心__角__,两条__弦___,两条__弧___中
有一组量相等，它们所对应的的其余各组量也_相__等____
如图，几何语言表示：
①∵AB=CD，∴_⌒A_B__=__⌒ C_D___∠,_A_O_B_=_∠__C_O_D__；
②∵⌒ AB = ⌒CD ，∴__A_B_=_C_D__∠,_A_O_B_=_∠__C_O_D__；