数学专业 多项式二次型例题
二次型复习
所以 2 (0,1, 0)T , 3 (2, 0,1)T 。
1 5 由此得正交矩阵为： Q 0 2 5 0 1 0 2 5 0 ，正交变换为： X QY ， 1 5
次型矩阵 A 的秩。
7、化二次型为标准型的方法：
(1) 正交变换法：对任一个 n 元二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，一定存在一个正交变换
X QY ，使得
2 2 X T AX Y T Q T AQY 1 y12 2 y2 n yn
B C T AC ，则称矩阵 A、B 是合同的，记作 A ~ B 。
9、矩阵合同的有关结果
(1) 二个实对称矩阵合同的充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数。 (2) 二个实对称矩阵合同的充分条件是这二个矩阵相似。 (3) 一个实对称矩阵与一对角矩阵合同，即二次型一定可以化成标准型。 注意合同与相似的区别! 在实对称矩阵下相似比合同要求高。
2、二次型的矩阵表示
a11 a12 a a22 记 A 21 an1 an 2 a1n a2 n T (aij a ji ) ， X x1 , x2 ,, xn ，则二次型可以表示为： ann
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，称 A 为二次型的矩阵。
1 2 1 2 0
0 0 。 1
y2 0 (3) 由 f ( x1 , x2 , x3 ) 0 得： 。 y3 0
x1 x2 0 而 Y Q X ，由此得 。 x3 0
第4章 二次型 练习题
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。 ）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ， （1） 用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换 的矩阵 C ； （2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。 （规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。 求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型 ）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ， 求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ； （2）写出二次型的规范性； （3）写出二次型的负惯性指数及符号差。 （
线性代数 第六章 二次型 例题
2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3， （1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 ������ 1 0 1 2
������
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 ������ 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换 （1） （2） （3） （4） （5） f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +2������1 ������2 -2������1 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +4������3 2 + 2������1 ������2 +4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=2������1 2 +5������2 2 +4������3 2 + 4������1 ������2 -4������1 ������3 -8������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 ������2 -4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +4������2 2 +4������3 2 − 4������1 ������2 + 4������1 ������3 -4������2 ������3
二次型习题 (2020级)(1)
二次型习题一、填空1已知设二次型32312123222132144442),,(x x x x x x ax x x x x x f +++++=的秩为2，则a= .2.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .3.实数域上一切元二次型可以分成 类,属于同一类的二次型彼此等价.二、选择1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111111111111A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B . 则A 与B . A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似2. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（ ）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++3.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .A 24232221y y y y +++ B 24232221y y y y -++ C 24232221y y y y --+ D 24232221y y y y --- 4.实数域上秩为3的一切元二次型按其典范形式共可分为（ ）个等价类. A 3 B 4 C 6 D 2)1(+n n5.二次型323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++=的规范形为( )A 232221y y y ++B 232221y y y -+C 232221y y y --D 2221y y - 6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100012021A ,则下列矩阵中与A 合同的是（ ）. A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001 D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100017. 设实二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=,则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为( ) R n R nA 2322212y y y +-B 2322212y y y -+C 2322212y y y --D 2322212y y y ++8. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（ ）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++三、解答、证明1.二次型3231212322213212822),,(x x x x x x ax x x x x x f +-++-=在正交变换QYX =下的标准型为222211y y λλ+求正交矩阵Q 及a . 2. 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+=m x mx x x kx x x x f ，其中二次型的矩阵A的迹为1，12det -=A .(1) 求m k ,.（2）用正交变换化二次型为标准型，并求所作的正交变换.3. 分别用配方法、合同变换法、正交变换法化下列二次型为标准型,并写出所用的非退化线性替换.最后写出其规范型.(1)32312123213212423),,(x x x x x x x x x x x f ++++= (2) 323121321),,(x x x x x x x x x f ++=（3）323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++= （4）32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+= 4.用正交线性替换将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+4x 22+x 32–4x 1x 2–8x 1x 3–4x 2x 3化为标准形．。
线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
二次多项式难题集锦
二次多项式难题集锦本文档旨在提供一系列关于二次多项式的难题，以帮助读者更好地理解和应用二次多项式的概念和解法。
本文档包含了以下几个难题及其解析。
难题一已知二次多项式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像经过点 $A(2, 5)$ 和点 $B(1, 1)$，求 $f(x)$ 的表达式以及系数 $a$、$b$、$c$ 的值。
解析：根据已知条件，我们可以列出以下方程组：$$\begin{align*}4a + 2b + c &= 5 \\a +b +c &= 1\end{align*}$$解方程组，求得 $a = 1$，$b = -2$，$c = 2$。
因此，$f(x) = x^2 - 2x + 2$。
难题二已知二次多项式 $f(x)$ 的图像经过点 $A(2, 1)$，其对称轴为直线 $x = 1$，求 $f(x)$ 的表达式。
解析：由于对称轴为 $x = 1$，则 $A(2, 1)$ 关于对称轴对称的点为 $A'(0, 1)$。
因此，点 $A'$ 也在 $f(x)$ 的图像上。
根据对称性质，可以推知 $A'$ 的横坐标比 $A$ 的横坐标小了$1$，即 $2 - 1 = 1 - 0$。
由此我们可以得到以下方程：$$f(1 - 1) = f(0) = 1$$因此，我们可以确定 $f(x)$ 的表达式为 $f(x) = (x - 1)^2 + 1$。
难题三已知二次多项式 $f(x) = 2x^2 - 5x + k$ 在 $x = 2$ 处取得极小值为 $-1$，求常数 $k$ 的值。
解析：根据题目所给信息，我们可以得到以下方程：$$f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + k = -1$$解方程，求得 $k = 7$。
因此，$f(x) = 2x^2 - 5x + 7$。
总结本文档介绍了关于二次多项式的难题集锦，涵盖了求表达式、系数和常数的求解方法。
六章节二次型习题章节
f 的 标准形 g( y1, y2,, yn ) d1 y12 d2 y22 d2 yn2
di 0, i 1,2,, n
A是正定矩阵
存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A＝ CTC
实对称矩阵A合同于E
实对称矩阵A的n个特征值 全大于零。
实对称矩阵A的n个顺序主子式 全大于零。
（1）A的主对角元aii 0 (i 1,2,, n)
它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r 称为 f (x1, x2 ,, xn ) 的 符号差。
注：由于实对称矩阵与实二次型之间的一一对应，可以类似地 定义实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数与符号差。
二、实二次型的规范形
设 f (x1, x2 ,, xn ) 是一个实系数二次型，经过适当 的非退化线性变换（包括改变 变量排列次序），
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n +…+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXX f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n… … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T =，从而BY Y f T =。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
微分二次多项式例题
微分二次多项式例题
（原创实用版）
目录
1.微分二次多项式的概念
2.微分二次多项式的解法
3.微分二次多项式的应用
正文
一、微分二次多项式的概念
微分二次多项式是微积分中的一个重要概念，它是指一个关于自变量x 的导数二次方程。
在微积分中，我们常常需要求解这类问题，以了解函数的性质和变化规律。
二、微分二次多项式的解法
求解微分二次多项式，通常需要运用一些数学方法。
这里我们通过一个具体的例题来说明其解法。
例题：已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0），求 f"(x)，即 f(x) 的导数。
解：f"(x) = 3ax^2 + 2bx + c
这是一个关于 x 的二次方程，可以通过求根公式或配方法求解。
三、微分二次多项式的应用
求解微分二次多项式的实际应用非常广泛，比如在物理、工程等领域。
了解这类问题的解法，有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律，从而为实际问题提供理论支持。
以上就是关于微分二次多项式的概念、解法和应用的详细介绍，希望对大家有所帮助。
二次型练习题
二次型练习题§1 二次型及其标准形式1．用正交变换将下列二次型=),,(321x x x f 32312123222184444x x x x x x x x x -+-++化为标准形，并写出所用的变换。
2．利用配方法和初等变换法二次型=),,(321x x x f 323121232221844452x x x x x x x x x --+++化为标准形，并写出所用的变换。
3．若二次型=),,(321x x x f 323121232221246x x x x x x tx x x +++++的秩为2，求t 。
4．已知二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准形216y f =，求a 。
5．已知实二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=（0>b ），其中二次型的相伴矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-。
（1）求参数a ，b ；（2）利用正交变换将f 化为标准形，并写出所用的变换。
6．已知实二次型32312322213214453),,(x x x x x x ax x x x f -+++=经正交变换Py x =化为标准形232221by ay y f ++=，求a ，b 。
（1）求参数a ，b ；（2）求所用的正交变换。
7．求二次型3223222132162),,(x x ax ax x x x x f +++=（3>a ）的规范形。
8．已知实二次型3231212322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f -+-++=的正惯性指数为3，求参数t 的取值范围。
9．设二次型32312123222132126255),,(x bx x x x x ax x x x x x f +++++=的相伴矩阵为A ，且已知A 的特征值为5-，6，6。
6.4二次型的典型例题
0
的特征向量为
0 p2 1
1
• 对于特征值 3 1，同样可以求得其特征向量为
0 p3 1
1
• 由只于需属 将于p1不, p2同, p特3单征位值化的，特即征得向三量个两相两互正正交交，的因单此位
特征向量：
1 e1 0
0
0
e2
1
2 1
•
故
3 a 3 a
5, 1.
得a 2
；或
3 a 1, 3 a 5.
得 a 2
• 所以 a 2
• 例4 已知二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 ax22 3x32 2 x1x2 6 x1x3 6 x2 x3
• 的正惯性指数为p=2，负惯性指数为q=0，
• 例2 求一个正交变换将二次型
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 2x32 6x2 x3
• 化成标准形。
3 0 0
•
解：A
0
2
3
，由
0 3 2
3 0 0
A E 0 2 3 ( 3)( 5)( 1)
0 3 2
• 知特征值为：1 3, 2 5, 3 1
1 0 5
2 1 0 1 02001 03 2 10
1
1 0
1
0 10
1 0
3
2 1
x1 1
x2
1
x3 0
1 1 0
1
0
0 1
0 0
0 1 0
5 2 3 2 1
z1 z2 z3
• 由此
x
Pz
P
1 1
1 1
1 4
二次型计算知识方法与例题总结
二次型计算知识方法与例题总结嘿，朋友们！咱们今天来聊聊二次型这个有点小复杂但又超级有趣的家伙。
啥是二次型？你就把它想象成一个藏着不少秘密的神秘盒子。
它有着独特的结构和规律，等着咱们去揭开。
计算二次型，首先得搞清楚它的表达式。
就像你要认识一个新朋友，得先知道他叫啥名字。
二次型一般写成 f(x1, x2,..., xn) = a11x1² +a12x1x2 + a22x2² +... + aijxi xj +... + annxn²。
是不是看着有点眼晕？别慌，咱们一步步来。
比如说，给你一个具体的二次型 f(x, y) = 2x² + 3xy + 4y²，这时候怎么计算呢？咱们可以通过一些巧妙的方法，把它变得更简单，更容易理解。
其中一个重要的方法就是配方法。
这就好比你在整理杂乱的房间，把东西归归类，摆放整齐。
比如上面那个例子，通过配方法可以变成(√2x + 3/2√2 y)² + 5/2 y² 。
是不是一下子清晰了好多？还有一种方法叫正交变换法。
这就像给一个歪歪扭扭的图形找一个最合适的角度，让它看起来规规矩矩。
通过找到合适的正交矩阵，把二次型变成标准形。
接下来，咱们看看例题。
比如这道题：求二次型 f(x, y, z) = x² + 2y² + 3z² + 4xy - 6xz - 8yz 的标准形。
这可咋办？别着急，咱们先用配方法试试。
经过一番捣鼓，得到 (x + 2y - 3z)² - 3(y - z)²。
再用正交变换法，找到合适的矩阵，就能轻松搞定啦！再比如这道：已知二次型 f(x1, x2, x3) = 2x1² + 3x2² + 3x3² + 2ax2x3 （a < 0 ）是正定二次型，求 a 的取值范围。
这是不是有点烧脑？但咱们只要抓住正定二次型的定义和性质，逐步分析，答案就会自己跑出来。
数学专业多项式二次型例题
多 项 式例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ∂<∂。
证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。
由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ∂<∂，于是由1)()()()(1=+x g x v x p x u 有)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。
再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ∂<∂，代入上式，得)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。
例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ⇔--11，(2) d n m x x x d n m =⇔-=--),(1)1,1(．证明 (1) 充分性 由n d 设dq n =，∈q Z ，则)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ， 所以11--nd x x ．必要性 设r dq n +=，0≤d r <，则 )1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ， 由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--rd x x ，进而由0≤d r <得0=r ，所以n d ．(2) 必要性 由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ． 若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．综上得d n m =),(．充分性证法一 由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若n m 或m n ，则结论显然成立．否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ， 于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．证法二 由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若0))((=∂x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设)())(()(21k x x x x h ααα---= ，其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明11)1()()1(+++++-n k k x x f x x证明 由于n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=-)1(21+-=-x x x所以1)1()()1(++++-n k x x f x11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x xn k k x x )1(211+=++， 故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。
[研究生入学考试]线性代数-二次型
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又B CT AC且A (CT )-1 BC-1,可得R(B) R(A), R(A) R(B)同时成立，所以，R(A) R(B), 由此可见，经过上述可逆线性变换，yT (CT AC) y 仍为二次型，而且二次型的秩不变，变换前后 的两个二次型的矩阵有下面所定义的合同关系：
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
a11 x1 a12 x2 a1n xn
(
x1 ,
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
可求得
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
大学高等代数二次型试题
第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1)称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij jia a i j=<由于ijj ix xx x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n iji ji j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x ax x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个n n ⨯矩阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭(2) 它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ijji a a i j n== ,所以AA =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n nnn n nn nij iji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x ax x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪'===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AXX x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时jiija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX''== ,且B B A A ='=',,则B A =.定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ijc,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换CYX =得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。
高等代数_李海龙_习题第9章二次型
第九章 二次型9.1 二次型与对称矩阵1． 证明：一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．证明：设A 为n 阶非奇异的对称矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使'P AP B =，其中10,0,1,2,,0i n b B b i nb ⎛⎫ ⎪=≠= ⎪ ⎪⎝⎭，故11(')P A P B ----=，从而1111()()''''B P A P B BB B B P AP ----===，111111111111(')'(')()()''[()''()]'[()'']A P P APP P B P A P B P P B P A P B P ------------===所以，A 与1A -合同．2． 对下列每一矩阵A ，分别求一可逆矩阵P ,使'P AP 是对角形式： (i)121211113A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭； (ii) 0111101111011110A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；(iii)1111142112411111A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭；解：用矩阵的合同变换法或二次型的配方法可得，(i)11231013001P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； (ii) 111122111122100120001P ⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭；(iii)1112010100010010P --⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭．3． 写出二次型3311||iji j i j x x==-∑∑的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项． 解：此二次型的矩阵为012101210A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭作合同变换012100,101,010210001A I ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11120021100,1222004001⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭,B P →所以，令11122233311121122001x y y x P y y x y y ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭得原二次型3311||iji j i j x x==-∑∑＝2231231242y y y --．4． 令A 是数域F 上一个n 阶反对称矩阵，即满足条件'A A =-．证明： (i) A 必与如下形式的一个矩阵合同；01010*******⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(ii) 反对称矩阵的秩一定是偶数．(iii) 数域 F 上两个n 阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩． 证明：(i)用数学归纳法．当n =1时，A =(0)合同于(0)．下面设A 为非零反对称矩阵．当n =２时，1212001010a A a ⎛⎫⎛⎫=→⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故A 与0110⎛⎫⎪-⎝⎭合同．假设n k ≤时结论成立，今考察1n k =+的情况．这时11111111000k k k k k k k k a a A a a a a ++++⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭如果最后一行(列)元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，否则经过行列的同时对换,可设10k k a +≠,最后一行和最后一列都乘以11k k a +,则A 化为 1100110k k a b a b⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭再利用1，－1将最后两行两列的其它非零元素化为零，则A 又化为111100000000010010k k b b --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭由归纳假设知111101010000k k b b --⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭与合同，从而A 合同于矩阵011001100110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭再将最后两行和两列交换到前面去，便知结论对 1k +成立，从而对任意阶数的反对称矩阵结论成立．(ii) 由(i)，A 与一个秩为偶数的矩阵合同，故A 的秩为偶数．(iii) 必要性：合同的两个矩阵的秩相等．充分性：若A ，B 都与(i)中形式的矩阵合同，则A 与B 合同．9.2 复数域和实数域上的二次型1． 设S 是复数域上的一个n 阶对称矩阵．证明，存在复数域上的一个矩阵A ，使得'S A A =．证明：设S 的秩为r ，则存在复数域上的一个可逆矩阵P 使0'00rIP SP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而000000000r r r I I I '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令000r I B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又令1A BP -=，则得'S A A =．2． 证明：任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：00,2;00,21001v v v vI I n v I n v I ⎛⎫⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭若若证明：设A 为任一n 阶可逆复对称矩阵，则A 合同于n I ．若n 为偶数，令2nv =，则00vn v II I ⎛⎫= ⎪⎝⎭合同于00v v I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以A 合同于00v vI I ⎛⎫ ⎪⎝⎭．若n 为奇数，令12n v -=，则0000001v n v I I I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同于0000001v vI I ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 合同于000001vvI I ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．3． 证明：任何一个n 阶可逆实对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一22000000000000v vv vn v n v I I I I I I --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭或证明：设A 合同于00vn v I I -⎛⎫⎪-⎝⎭ 当 212nv n ⎧⎪⎪≤⎨-⎪⎪⎩ 200n v I -⎫⎪⎪⎪-⎝⎭合同于20000vv n v I I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭当212n v n ⎧⎪⎪>⎨-⎪⎪⎩ 令n v r -=，00v n v I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同于200000r r n r I I I -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同于200000vvn v I I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．4． 证明：一个实二次型12(,,,)n q x x x 可以分解成两个实系数n 元一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：或者q 的秩等于１，或者q 的秩等于2并且符号差等于０．证明：必要性 设1111()()n n n n q a x a x b x b x =++++ ．A ．若上式右边两个一次式系数成比例，即i i b ka =，1,2,,i n = ．不妨设10a ≠，令1112222n nn n y a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩便有21q ky =．故二次型q 的秩为１．B ．若两个一次式系数不成比例．不妨设1212a a b b ≠．令111222112233n nn nn n y a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩便有12g y y =，再令11221233n n y z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩则221212q y y z z ==-．故二次型q 的秩为２，符号差为０．充分性 A.若q 的秩为1，则可经非退化线性替换使21q ky =，其中y 1为12,,,n x x x 一次齐次式，即11122n n y a x a x a x =+++ ．所以21122()n n q k a x a x a x =+++ ．B ．若q 的秩为２，符号差为０，则可经非退化线性替换使22121212()()q y y y y y y =-=+-．其中12,y y 为12,,,n x x x 一次齐次式，即11122n n y a x a x a x =+++ ，21122n n y b x b x b x =+++ ．故q 可以表示成两个一次齐次多项式的乘积．5． 令543406453,010332609A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭证明：A 与B 在实数域上合同，并且求一个可逆矩阵P ，使得'P AP B =．证明概要：通过计算可知，存在可逆矩阵S ，T 使得1''10S AS T BT ⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭，所以11()'()ST A ST B --=．求得110301P ST -⎛⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．6． 确定实二次型1234212n n x x x x x x -+++ 的秩和符号差． 解：作非退化线性替换2121222121,2,,i i ii i i x y y i n x y y ---=+⎧=⎨=-⎩原二次型化为222212212n n y y y y --++- ．所以该二次型的秩为2n ，符号差为0．7． 确定实二次型 ayz +bzx +cxy 的秩和符号差．解：若,,a b c 全为零，则秩与符号差都等于0．若,,a b c 不全为零，不妨设0c ≠，作非退化线性替换111110110001x x y y z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式221111111111ax z ay z bx z by z cx cy =++-+-2221111122a b a b ab c x z c y x z c c c +-⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令 212121102012001a b c x x a b y y c z z +⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭原式222222ab cx cy z c =--(1)对,a b 之一不等于0可得与(1)类似的式子．总之，如果,,a b c 不全为零，当0abc =时，秩为2，符号差为0；当0abc >时，秩为3，符号差为1-；当0abc <时，秩为3，符号差为1．8． 证明：实二次型11()(1)n niji j ij i j x xn λ==++>∑∑ 的秩和符号差与λ无关．证明：此二次型的矩阵为222312344221222n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ++++⎛⎫ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ 2121100020001000n n λ+---+⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭000100000000000λ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1000010000000000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩与符号差都与λ无关．9.3 正定二次型1． 判断下列二次型是不是正定的：(i) 2221231213102344x x x x x x x -+++(ii) 22212312132355484x x x x x x x x x +++--解：(i)不是；(ii)是． 2． λ取什么值时，实二次型22221231223314()222x x x x x x x x x x λ+++--+是正定的？解：由四个主子式大于零得不等式组，解之得，1λ>．3． 设A 是一个实对称矩阵，如果以A 为矩阵的实二次型是正定的，那么就说A 是正定的．证明，对于任意实对称矩阵A ，总存在足够大的实数t ，使得tI +A 是正定的．证明概要：任取tI +A 的一个顺序主子式D k (t )，由于D k (t )是关于t 的最高次项系数为1的k 次多项式，从而对充分大的t , D k (t )的符号与最高次项符号一致，从而D k (t )＞0．4． 证明：n 阶实对称矩阵A ＝(a ij )是正定的，必要且只要对任意121k i i i n ≤<<<≤ ，k 阶子式1112121222120,1,2,,k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a i na a a >=证明：充分性是显然的．必要性：设A=(a ij )，111212122212k k k k k k i i i i i i i ii i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121k i i i n ≤<<<≤再设12(,,,)'n f x x x X AX = ．因A 是正定的，故对不全为零的数12,,,n x x x ，都有12(,,,)0n f x x x > ，而对不全为零的数12,,,k i i i x x x ，有12(0,,,0,,,,0,,0)0k i i i f x x x > ，但对变量12,,,ki i i x x x 的以A k 为矩阵的二次型12(,,,)k i i i g x x x 来说有1212(,,,)(0,,,0,,,,0,,0)0k k i i i i i i g x x x f x x x =>故g 是正定的，从而A k 正定，即det A k >0．5． 设A=(a ij )是一个n 阶正定实对称矩阵．证明：1122det nn A a a a ≤当且仅当A 是对角型矩阵时，等号成立．证明：用数学归纳法证明．当A 为１阶正定实对称矩阵时结论显然成立．假设对n-1阶正定实对称矩阵此结论成立．现在对n (≥2)阶正定实对称矩阵证明结论成立．设'n inn PB A B a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111111111n n n n n a a P a a -----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11n n n a B a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令11101n n I P B F ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1110'0'n nn n P F AF a B P B ---⎛⎫= ⎪-⎝⎭．因为Pn-1正定实对称矩阵，所以11n P --也为正定实对称矩阵，因为11'0n B P B --≥，当且仅当B =0时等号成立．因为'1F F ==，所以111''(')n nn n A F A F F AF P a B P B ---===-，故1n n n A P a -≤，当且仅当0B =时，等号成立．根据归纳假设1112211n n n P a a a ---≤ ，当且仅当1n p -为对角型矩阵时，等号成立．所以1122nn A a a a ≤ 当且仅当A 为对角型矩阵时，等号成立．6． 设A=(a ij )是任意n 阶实矩阵．证明：2222121()nj j nj j A a a a =≤+++∏(阿达马不等式)证明：因为(')''A A A A =．当||0A ≠时，11()'(')A A A A I --=，所以'A A 为正定实对称矩阵．21122121****'**n i i ni i nin i a aA A a ===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由上一题得：2222121'()nj j nj j A A A a a a ==≤+++∏ ．当0A =时结论显然成立．9.4 主轴问题1． 对于下列每一矩阵A ，求一个正交矩阵U ，使得'U AU 具有对角形式： (i)a b A b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (ii) 211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (iii)5200220000520022A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 解：略．结果为(i)U ⎛= ⎝; (ii)U ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪;(iii)0000000U ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2． 设A 是一个正定对称矩阵．证明，存在一个正定对称矩阵S 使得2A S =． 证明：设A 是一个正定对称矩阵，12,,,n λλλ 为A 得特征根，那么存在正交矩阵U ，使得12'n U AU λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,1,2,,i i n λ>= ． 所以12'n A U U λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭''U U U U⎫⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝令'S U U⎫⎪= ⎪⎝，则S是正定对称矩阵，且2A S=．3．设A是一个n阶可逆实矩阵．证明，存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U，使得A US=．证明：因为A是n阶可逆实矩阵。
高等代数习题-二次型汇编
= -(2y1 - y3 )2 + y32 + 4y22 ;
(2)
再令
ìïïïïíïïïïî
z1 z2 z3
= = =
2y1 y2 , y3 ,
-
y3
,
(3)
则得
原式 =-z12 +4z22 + z32 .
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1
８
c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = 0,
c21
x1
+ c22 x2
+L+ c2n xn
=
0,
M
c
p1
x1
+ cp 2 x2
+L + cpn xn
= 0,
c
x p+1,1 1
+
cp+1,2 x2
+L + cp +1n,
xn
= 1,
M
cn1x1 + cn2 x2 +L + cnn xn =1.
-6 130
故由定理知, 原二次型为正定二次型.
４
例 7、判别10x12 + 8x1 x2 + 24x1 x3 + 2x22 − 28x2 x3 + x32 二次型是否正定:
解 ：二次型的矩阵为
10 4 12
A
=
4
2 −14 .
12 −14 1
因为
| A |< 0 ,
由定理知, 原二次型非正定.
这说明 X ' AX 为多元零多项式, 故有
多项式函数的典型例题
多项式函数的典型例题1. 一元一次多项式函数例题1已知函数 f(x) = 3x + 2，求函数 f(x) 的值当 x = 4 时的结果。
由于 f(x) = 3x + 2，所以当 x = 4 时，可以将 x 替换为 4，得到：f(4) = 3 * 4 + 2 = 14所以函数 f(x) 在 x = 4 时的结果为 14。
例题2已知函数 f(x) = -2x + 5，求函数 f(x) 的零点。
函数的零点即为函数取值为 0 的点，即 f(x) = 0。
由于 f(x) = -2x + 5，所以将 f(x) 替换为 0，得到：-2x + 5 = 0解方程得 x = 5/2。
所以函数 f(x) 的零点为 x = 5/2。
2. 一元二次多项式函数例题1已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，求函数 f(x) 的顶点坐标。
函数的顶点坐标即为函数的最值点，x 坐标为顶点的横坐标，y 坐标为顶点的纵坐标。
由于函数 f(x) 是一个一元二次多项式函数，可通过求导数的方法来求得最值点。
首先，求 f(x) 的导数 f'(x)：f'(x) = 2x + 3令导数 f'(x) = 0，解方程得 x = -3/2。
将 x = -3/2 代入函数 f(x) 得到 y：f(-3/2) = (-3/2)^2 + 3 * (-3/2) - 4 = -18/4 = -9/2所以，函数 f(x) 的顶点坐标为 (-3/2, -9/2)。
例题2已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数 f(x) 的零点。
函数的零点即为函数取值为 0 的点，即 f(x) = 0。
由于函数 f(x) = x^2 - 4x + 4，所以将 f(x) 替换为 0，得到：x^2 - 4x + 4 = 0解方程得 x = 2。
所以函数 f(x) 的零点为 x = 2。
以上是多项式函数的一些典型例题，希望能帮助您更好地理解和掌握多项式函数的概念和应用。
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多 项 式例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ∂<∂。
证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。
由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ∂<∂，于是由1)()()()(1=+x g x v x p x u 有)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。
再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ∂<∂，代入上式，得)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。
例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ⇔--11，(2) d n m x x x d n m =⇔-=--),(1)1,1(．证明 (1) 充分性 由n d 设dq n =，∈q Z ，则)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ， 所以11--nd x x ．必要性 设r dq n +=，0≤d r <，则)1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ， 由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--rd x x ，进而由0≤d r <得0=r ，所以n d ．(2) 必要性 由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ． 若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．综上得d n m =),(．充分性证法一 由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若n m 或m n ，则结论显然成立．否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ， 于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．证法二 由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若0))((=∂x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设)())(()(21k x x x x h ααα---= ，其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明11)1()()1(+++++-n k k x x f x x证明 由于n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=- )1(21+-=-x x x所以1)1()()1(++++-n k x x f x11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x xn k k x x )1(211+=++， 故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。
例4 设)()(x f x g m m ，m ≥2，证明)()(x f x g ．证明(用标准分解式) 若0)(=x f ，则结论成立．若0)(≠x f ，则0)(≠x g ．设)()()()(211x p x p x ap x f s k k s k k =，)()()()(211x p x p x bp x g s k l s l l =，其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素的首一不可约多项式，i i l k ,),,2,1(s i =是自然数，则)()()()(211x p x p x ap x f s k mk s mk mk m =，)()()()(211x p x p x bp x g s k ml s ml ml m =， 由)()(x f x g m m 得i mk ≤i ml ，故i k ≤i l ，s i ,,2,1 =，所以)()(x f x g ．例5 设)(x f 是数域P 上的不可约多项式，且1))((>∂x f ，若)(x f 的某个根α的倒数也是)(x f 的根，证明)(x f 每个根的倒数都是)(x f 的根．证明 设∑==n i i i x a x f 0)(，则由)(x f 不可约知00≠a ．令∑=-=n i in i x a x g 0)(，由α1是)(x f 的根有010=∑=n i i i a α，即00=∑=-n i i n i a α，故α也是)(x g 的根，从而)(),(x g x f 不互素，再由)(x f 不可约有)()(x g x f ．设β是)(x f 的任意一个根，则0≠β，则由)()(x g x f 知β也是)(x g 的根，于是由上面的证明知β1是)(x f 的根． 例6设)1()(11>+++=-n a x a x x f n n n 是整系数多项式，n b b b ,,,21 是互不相同的整数且),,2,1(1)(n i b f i =-=，证明)(x f 在有理数域上不可约．证明 若)(x f 在有理数域上可约，则)(x f 可表成两个较低次的整系数多项式的乘积)()()(x h x g x f =，于是由1)(-=i b f 有1)()(-=i i b h b g ．而)(i b g 和)(i b h 都是整数，故有-=)(i b g )(i b h ),,2,1(n i =，从而由n b b b ,,,21 互不相同及)(),(x h x g 的次数都小于n 有)()(x h x g -=，从而)()(2x g x f -=，这与)(x f 是首一多项式相矛盾，故)(x f 在有理数域上不可约．例7 设)(x f 是次数大于零的整系数多项式，且有整数a 使3)2()1()(=+=+=a f a f a f ， 证明对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．证明 由3)2()1()(=+=+=a f a f a f 知2,1,++a a a 都是多项式3)(-x f 的根，又多项式2,1,-----a x a x a x 两两互素，故有)()2)(1)((3)(x q a x a x a x x f -----=-，而)2)(1)((-----a x a x a x 是本原多项式，3)(-x f 是整系数多项式，所以)(x q 是整系数多项式．若有整数c ，使5)(=c f ，则由上式有=-=3)(2c f )()2)(1)((c q a c a c a c -----，由于)(c q 是整数，故2有三个连续的整数因子2,1,-----a c a c a c ，这不可能，所以对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．二次型例1 设AX X X f '=)(是n 元二次型，若f 是半正定二次型，则))(()(2AY Y AX X AY X ''≤'。
若f 是正定二次型，则))(()(12Y A Y AX X Y X -''≤'。
证明若f 是半正定的，则有矩阵C 使C C A '=，于是222),()()(CY CX CY C X AY X =''='))(()((),)(,(AY Y AX X CY C Y CX C X CY CY CX CX ''=''''=≤。
若f 是正定的，则有可逆矩阵D 使D D A '=，于是21212))(,())(()(Y D DX Y D D X Y X --'='''='))(())(,))((,(111Y A Y AX X Y D Y D DX DX ---''=''≤。
例2 A 设是n 级正定矩阵，B 是m n ⨯实矩阵，证明)()(B R AB B R ='。
证明由A 设是正定矩阵知有n 级实可逆矩阵C 使C C A '=，于是由CB 是实矩阵以及C 可逆得)()())()(()()(B R CB R CB CB R CB C B R AB B R =='=''='。