数学专业 多项式二次型例题

多 项 式

例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ∂<∂。

证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。

由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ∂<∂，于是由1)()()()(1=+x g x v x p x u 有

)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。

再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ∂<∂，代入上式，得

)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，

令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。

例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ⇔--11，

(2) d n m x x x d n m =⇔-=--),(1)1,1(．

证明 (1) 充分性 由n d 设dq n =，∈q Z ，则

)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ， 所以11--n

d x x ．

必要性 设r dq n +=，0≤d r <，则

)1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ， 由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--r

d x x ，进而由

0≤d r <得0=r ，所以n d ．

(2) 必要性 由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ． 若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．

综上得d n m =),(．

充分性

证法一 由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若n m 或m n ，则结论显然成立．

否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而

1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ， 于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．

综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．

证法二 由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若0))((=∂x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设

)())(()(21k x x x x h ααα---= ，

其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．

综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．

例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明

11)1()()1(+++++-n k k x x f x x

证明 由于

n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=- )1(21+-=-x x x

所以

1)1()()1(++++-n k x x f x

11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x

111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x x

n k k x x )1(211+=++， 故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。

例4 设)()(x f x g m m ，m ≥2，证明)()(x f x g ．

证明(用标准分解式) 若0)(=x f ，则结论成立．若0)(≠x f ，则0)(≠x g ．设

)()()()(211x p x p x ap x f s k k s k k =，)()()()(211x p x p x bp x g s k l s l l =，

其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素的首一不可约多项式，i i l k ,),,2,1(s i =是自然数，则

)()()()(211x p x p x ap x f s k mk s mk mk m =，)()()()(211x p x p x bp x g s k ml s ml ml m =， 由)()(x f x g m m 得i mk ≤i ml ，故i k ≤i l ，s i ,,2,1 =，所以)()(x f x g ．

例5 设)(x f 是数域P 上的不可约多项式，且1))((>∂x f ，若)(x f 的某个根α的倒数也是)(x f 的根，证明)(x f 每个根的倒数都是)(x f 的根．

证明 设∑==n i i i x a x f 0

)(，则由)(x f 不可约知00≠a ．

令∑=-=n i i

n i x a x g 0)(，由α1是)(x f 的根有010=∑=n i i i a α，即00=∑=-n i i n i a α，故α也是)(x g 的