1第一章 连续时间信号分析

1.1 连续时间信号 二、 常用典型信号
采样信号
sa
(t)
sin t
t
性质
0
sa
(t)dt
2
sa (t)dt
采样信号是一种非常重要的信号，在信号的分析与处
理中占有重要地位
sinc(t) sin t t
1.1 连续时间信号 二、 常用典型信号
钟形（高斯） 信号
( t )2
f (t) Ke
k 1
ck e jk 2
e jk0t
Fk
e
jk0t
F0
Fk e
jk0t
k 1
k 1
1.2 周期信号的频谱：二、指数频谱
e e
jk0t
jk0t
e jk0t e jk0t
f p (t) a0 ak k 1
2
bk
j2
a0
k 1
ak
jbk e jk0t 2
k 1
ak
jbk e jk0t 2
2I
k
cos(k0t
k
)
2
dt
对于展开式中具有 cos(k0t k ) 形式的余弦项，在一个周期内的积
分等于零；对于展开式中具有 cos(k0t k ) cos(m0t m ) 乘积形式
的各项，在一个周期内的积分只有当 m=k 时才不为零，其余均等于零。
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
f p (t) c0 ck cos(k0t k ) k 1
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
例题1-1：设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为 ，脉
冲幅度为A，周期为 T0 ，如图1-11所示。求该信号的 频谱，并画出该信号的频谱图。
解：周期矩形脉冲信号在一个周期内可以表示为
f
p
(t)
A[u(t
次谐波平均功率之和。
1.2 周期信号的频谱：二、指数频谱
在电子和通信工程领域，采用傅里叶级数的指数形式
f p (t) c0 [ck cos(k0t k )] k 1
e e
j (k0t k )
j (k0t k )
c0 ck k 1
2
c0
k 1
ck e jk 2
e jk0t
单位冲激信号
(t)(0t,)当 dt t10
筛分性质
f (t)(t)dt f (0) f (t)(t t0 )dt f (t0 )
1.1 连续时间信号 二、 常用典型信号
单位阶跃信号
u(t
)
1, 0,
t 0 t0
性质
t ()d u(t)
du(t) (t)
dt
1.1 连续时间信号 二、 常用典型信号
1.1 连续时间信号 三、信号的运算 时间变量的运算
移位 f (t t0 )
f (t 1)
f (t 1)
翻转 f (t)
1.1 连续时间信号 时间变量的运算
尺度变换
f (at)
f (2t)
f (0.5t)
1.1 连续时间信号 信号幅值的运算
加法运算
f (t) f1(t) f2 (t)
乘法运算 f (t) f1 (t) f 2 (t)
T0, 直流， （n0全部过零）。
•周期信号的频谱是离散的，两相邻谱线的间隔为周期信 号的基波角频率，周期信号的周期越大，相邻谱线的间 隔越小，谱线越密。
•周期信号的频谱包含无限多条谱线，这说明周期信号含
有无限多个频率分量 。高频分量呈现衰减趋势 。
•信号的频带宽度
B
2
(rad
/
s)或B
1
(Hz)
傅里叶级数
f p (t) a0 [ak cos k0t bk sin k0t]
k 1
对于展开式中具有 cos(k0t k ) 形式的余弦项，在一个周期内的积
分等于零；对于展开式中具有 cos k0t cos m0t …等乘积形式的各项，
c a a0
1 T0
t0 T0 t0
f
p
(t在)一dt个周期内的积分只有当0m=k
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
例题 1-2：图 1-14 画出了 220 伏工频电压经全波整流后 的电压波形 u p (t) ，试求该电压波形的谐波谱。
up (t) 220 2 cos314t , V
c0 198V
ck
0,
396 k2 1
,
V, V,
k
0
,
k 1
arg[(1) 2 ],
k
k
k
, k 1,2, , k 1,2,
周期信号的帕斯瓦尔定理
P 1 T0
T0
2 T0
2
1
i
2 p
(t
)dt
1 T0
T0
2 T0
i
2 p
(t)dt
2
1
P T0
T0
2 T0
f
2 p
(t
)dt
2
c c
I
2 0
I
2 k
1
I
2 0
1
I
2 k
P0
Pk
2 k 1
k 1
k 1
2
2 k
0 k 1
周期信号的平均功率等于其直流功率、基波平均功率和各
)
s
in
k0tdt
2 T0
2
Asin
k0tdt
0
2
k 1, 2,
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
c0
a0
T0
A
k
arg(Sak0 )
2
ck ak
2 A sin k0
k
2
0
sin k0
A
2
k0
2 ASa k0
T0
2
2
k 1, 2,
f p (t)
T0
A 0
A
k 1
Sa k0
第一章 连续时间信号分析
• 连续时间信号 • 周期信号的频谱 • 非周期信号的频谱
1.1 连续时间信号
一 、信号的描述与分类
信号是信息传输过程的载体，可以是随时间、 空间或任何其他独立变量变化的物理量。
核磁共振断面 扫描图象
描述方法
悦耳音乐
数学表达式 函数波形（或函数图象）
表达方便、 易于运算
适合用函数形式 表达的信号
f p (t)
F e jk0t k
k
F0 a0 c0
Fk
Fk e jk
ak
jbk 2
2
2 j tan1 bk
a b e c e k
k
ak
k jk
2
2
Fk
F e jk k
ak
jbk 2
2
2 j tan1 bk
a b e c e k k
ak
k jk
2
2
F0 c0
Fk
F k
) 2
u(t
)] 2
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
a0
1 T0
T0
2 T0
2
f
p
(t
)dt
1 T0
2
2
Adt T0
A
ak
2 T0
T0
2 T0
2
f
p
(t)
cosk0tdt
2 T0
2 2
Acosk0tdt
2
k
Asin k0
2
k 1, 2,
bk
2 T0
T0
2 T0
2
f
p
(t
矩形信号
rT (t) u(t) u(t T)
正弦信号
宽度
f (t) 2F0 cos(0t 0 )
T0
1 f0
2
0
周期
1.1 连续时间信号 二、 常用典型信号
指数信号
f (t) keat
指数信号的 时间常数
1 a
时间常数是电气工程中的一个重要概念，例如， 反映一阶动态电路瞬态过程的快慢。
k 1，3，5, k 2, 4, 6,
k 1，3，5, k 2, 4, 6,
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
ip (t) I0
2Ik cos(k0t k )
k 1
周期信号的有效值
I 2 1 T0
T0
2 T0
2
I 0
k 1
I
1
T0
T0
2 T0
i
2 p
(t )dt
2
•指数谱不仅包含了正频率项和直流分量，还有负频 率项
1.2 周期信号的频谱：二、指数频谱
•指数谱的幅频特性关于纵轴左右对称 ，偶对称 •指数谱的相频特性关于纵轴中心对称 ，奇对称 •利用指数谱的性质，可以从正频率项推导出负频率项 •可从指数谱变到正弦谱 ，即：谐波分析
ck
c0 F0 2 Fk 2 Fk
周期信号 f p (t)
T0
f0
1 T0
0
2f 0
2
T0
三角函数集 1， cos 0t ， cos 20t ，…， cos k0t ，…, sin 0t , sin 20t ,… sin k0t ,… 在时间区间 [t0 , t0 T0 ] 组成完备的正交函数集。
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
时才不为零，其余均等于零。 0
ak
2 T0
t0 T0
t0
f p (t) cos k0tdt
bk
2 T0
t0 T0
t0
f p (t) sin k0tdt
ck ak2 bk2
k
arctan
bk ak
k 1,2
f p (t) c0 ck cos(k0t k )
k 1
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
表达直观、 便于理解
适合难以用函数 形式表达的复杂
信号和测量信号
仅随一个自变量
1.1 连续时间信号 变化的信号
随两个及两个以上自变 量变化的信号
信号分类
自变量指定值其函数 值确定的信号
一维信号-----多维信号 函数值不确定，具有随 机性的信号
确定性信号-----随机性信号
信号随自变量变化而周而
不具有周期性变
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
eg_square_spect rum_1_3
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
•通常以零频率开始到频谱降为频谱包络线最大值的十分 之一的频率之间的频率范围定义为该信号的频带宽度 •将频带宽度有限的信号称为频谱受限信号，简称带限信 号 •在电气工程中，一般称余弦形式表达的频谱为正弦频谱， 简称正弦谱或谐波谱，并有专用的谐波分析仪器和谐波 分析软件可以供测量和计算使用
1 k '
ak'
jb e k ' jk '0t 2
a0
k 1
ak
jbk e jk0t 2
ak
2 T0
t0 T0
t0
f p (t) cos k0tdt
bk
2 T0
t0 T0
t0
f p (t) sin k0tdt
k 1,2
ck ak2 bk2
k
arctan
bk ak
1.2 周期信号的频谱：二、指数频谱
% Sample function
K=32;k=0:K; A=1;c=1/2*sinc(k/4); figure, plot(k,c), hold on, plot(k,0,'r*');
% Taylor series:
syms x g = exp(x*sin(x)); t = taylor(g,12,2); % 12阶展开 xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd); figure, ezplot(t, [1,3]); hold on; h=plot(xd, yd, 'r-.'); set(h,'linew',3); title('Taylor approximation VS. actual function'); legend('Taylor', 'Function');
标度运算
f (t) af2 (t)
1.2 周期信号的频谱
•正弦频谱 •指数频谱 •对称性
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
傅里叶级数
周期信号
正弦信号
非周期信号
傅里叶变换
•构成原信号的“一系列”不同频率的正弦信号就是原 信号在频域上的谱，简称频谱
•频谱分析是对连续时间信号进行处理的基础
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
I 2 1
T0
T0
2 T0
2
I 0 2
k 1
2Ik
2
cos2 (k0t
k
)dt
I
2 0
k 1
I
2 k
它 直P表流0 明 分 在 量T10时 、T2域基T020 c中波02d求分t 出量c的 和02 周 各P期 次k 信 谐T1号 波0 的 分T2T020有 量ck2效 的co值 有s2平 效(k方 值0等平t 于方k在之)d频和t 域。12中ck2的
•任意一个周期信号都可以用它的直流分量、基波分量和 各次谐波分量来表示
•对一个周期信号的时域分析就可以转化成对该信号的各 个频率分量的频域分析
•称这些频率分量为周期信号的频率谱（简称频谱） •以角频率为横坐标画出的各频率分量的图形称为频谱图
•以各频率分量振幅画出的频谱图称为幅度谱图，又称幅 频特性
•以各频率分量初相位画出的频谱图标称为相位谱，又称 为相频特性
k k
ck , 2
k ,
k 1, 2, k 1, 2,
偶函数 奇函数
1.2 周期信号的频谱：二、指数频谱
Fk
1 T0
t0 T0 t0
f p (t)e jk0t dt
t0 一般取 0
或 T0 2
，即上式积分区间取
0,
T0
或
T0 2
, T0 2
。
•指数频谱，简称指数谱
•幅频特性 相频特性
2
cos(k0t k )
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
1 4 T0
0
2
T0
k0
2
k0
k
2
T0
2
Βιβλιοθήκη Baidu
过零
2
kΩ0 (4Ω0 )
T0 (k 4)
k
1.2 周期信号的频谱 ：一、正弦频谱
nkΩ0 (n4Ω0 )
n
T0
Ω0
n
2
n 2
次谐波为0
0, F (t) 1 全频带；
复始的变化，且无始无终
化的信号
周期信号-----非周期信号
fp(t) fp(t nT)
n 0, n 1, n 2
自变量在指定区间内连续 变化时，其信号取值除若 干点不连续外都有确定值
连续信号-----离散信号
模拟信号
数字信号 在自变量的指定
区间内是离散的
1.1 连续时间信号
二、 常用典型信号