数学-第一讲数学313
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲全套PPT课件
典例分析
正是这个《算术》书的旁注激发了几乎 所有优秀数学家的兴趣，他们经过无数的努 力但都没能攻克它。因此，西方把这个并没 有证明的定理称为费马大定理。由于在解决 这个问题的过程中，它的研究带动了数论乃 至整个数学的发展，给数学带来了新的理论、 新的技术、新的方法，开拓了新的学科领域， 从而促进了数学的进展。因此，费马大定理 被称为“会下金蛋的鹅”。
典例分析
到了17世纪，费马看到《算术》中介绍 x²＋y²＝z²的解时，突发灵感，在书的页边 上写道：“将一个高于二次的幂分为两个同 次幂，这是不可能的。关于此，我确信已发 现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太 小，写不下。”这就是有名的费马大定理： (用现代语言叙述) 当整数n＞2时，方程xⁿ＋yⁿ＝zⁿ不存在 正整数解。
你知道吗？
这些问题你考虑过吗？你想了解数 学家们是如何思考这些问题的吗？ 本节我们就来一起探讨一下数学的 起源及早起数学的发展。
知识梳理
1、数学的起源与早期发展阶段的主要标志 记数系统 、________ 算术 、几何 是：数的概念、__________ 等初步形成。 2、文明古国时期数学发展的特点是： 数学成就都是由经验确定的 _______ _ _______ ___ __。 3、公元16世纪形成的初等数学包括的一些 算术 、________ 几何 、______ 代数 、 主要数学分支是______ 三角 。 ________
拓展训练
在现实生活中，列举沿用六十进 制的例子。
答：钟表的小时、分、秒用的是六十进制。
典例分析
【例2】《九章算术》是中国古代最 重要的数学著作，查阅资料欣赏其 重要成就。
典例分析
答：《九章算术》实际上是 246 道应用题 及其解法的汇编，分为方田、粟米、衰(音 “崔” ) 分、少广、商功、均输、盈不足、方 程、勾股等九章。这 246 道应用题主要是解决 一些生活中常见的问题，并且在一个或几个问 题之后，列出这个问题的解法，书中把解法称 为“术”。 《九章算术》主要有算术、代数和几何三 部分内容，概括了我国古人创造的领先于世界 的数学成就．下面以方程术为例。
高等数学第一讲
总评成绩： 期终考试 平时
60 % 40 %
平时成绩的评定：作业占50%，出勤率 和学生学习的实际情况占25%，期中测 试占 25%。
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
教材:
《高等数学》(第三版)
盛祥耀 主编 高等教育出版社
主要参考书:
《高等数学》
同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社
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我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元 和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的 极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用— —常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微 积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（1637年）Descartes建立了解析几何，同 时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影 响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研 究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要 的组成部分，是研究变量间的依赖关系——函数的 一门学科，是学习其它自然科学的基础。
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经过18、19世纪一大批数学家的努力， 特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了 极限理论之后，以极限的观点定义了微积分 的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分 基本定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积 分建立了一个基本严格的完整体系。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
概念更复杂 理论性更强 表达形式更加抽象
推理更加严谨
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因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要 培养抽象思维和逻辑推理的能力。 学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学 好了数学。
数学选修3-1数学史选讲第1课时市公开课金奖市赛课一等奖课件
5.12世纪前罗马数字
羅馬字 I II III IV V VI
VII VIII
IX
X
數字 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
羅馬字 XI XII XIII XIV XV XVI XVII
XVIII
XIX
XX
數字 11 12 13 14 15 16 17 18
19
20
羅馬字 XXI XXIX XXX XL
第一讲 早期算术与几何
--记数与测量
第1页
数学——— 空间形式与数量关系
四大文明古国 ——尼罗河：古埃及 ——两河流域：巴比伦 ——恒河与印度河：古印度 ——黄河与长江：中国
第2页
古埃及与古巴比伦数学最为长远，古埃及 （波斯与希腊取代）与古巴比伦文化早已湮 灭在历史长河中，古印度文明屡受摧残损失 殆尽，希腊和罗马也早已失去了往日荣耀与 辉煌。惟中华文明薪火相传。
第17页
四、算术运算 1.纸草上数学：分级记数法（古埃及僧侣文 记数）整数加减法很以便，分数较复杂，要 化为单分数。乘法是累加法（倍乘）。
2.算筹算术
第18页
五.代数
纸草上数学：下一量加上它本身七分之一 等于19. 泥板上数学：给出了复杂算术问题，尚有 乘法表。 已知两数积为60，差为7，求这两数。 尚有求解指数方程：有一笔钱，年利率为 20％，问多长时间利率与本金相同。
第12页
3.其它记数法 （1）简朴累数制
I VX L CDM 1 5 10 50 100 500 1000
3888=MMMDCCCLXXXVIII
第13页
(2)分级符号制（古埃及僧侣文中数码） 每年较高单位另立符号
（3）乘法累数制（位置制记数） 阿拉伯数字与中国数字
高中数学《第一讲早期的算术与几何三丰富多彩的记数制度》69PPT课件 一等奖名师
练习
1、中国古代的各位数码的筹式需
要
，个位数用 式表示，
十位数用 式表示，百位、万位
用
纵式，千位、十万位用
表示。
2、以下算筹表示多少
3、将 1234（5） 进制数化为十进制 数，再将它转化为七进制数。
课堂小结
1、了解中国古代算筹记数的方法，认识简 单的算筹记数。 2、了解印度—阿拉伯数码采用十进位值制， 它的演变，经历了漫长而复杂的历史. 3、进位制之间转化的方法。
都要另立符号，而且对较高单位的倍数 也要设新符号.古埃及僧侣文中的数码 就属于十进制的分级符号制.
古埃及僧侣文中的数码
婆罗米数字在分类上属于分级符号制.
使用分级符号制度需要记住很 多符号，这是缺点，但写起来很 紧凑.
乘法累数制
将重复书写改用乘法表示.
最具代表性的是中国数字，如 4600不必写成“千千千千百百百 百百百”，而是写成“四千六 百”.
十六进制
半斤八两的由来
我国旧制1斤=16两； 欧洲 1俄尺=16俄寸，1磅=16英两.
例2：进位制之间的转化
（1）下列写法正确的是（ ） A.901(2) B.751(7) C.095(12) D.751(16)
（2）把二进制数10001化为五进制 数为多少？
思路总结：
1、将十进制数化为K进制数，用“除K取 余法”， 2、将K进制转化为十进制数，用乘法原则，
选修3-1
丰富多彩的记数制度
授课教师：王娟娟 授课班级：舟曲一中 高二1班
在这个故事中，最终谁会赢？ 结局：贵族乙想了半天，最终说:你赢了!
记数视频
中国古代的算筹记数
古代常用记数方法：
研究生考试大纲313数学
研究生考试大纲313数学2022年考研数学一考试大纲研究生数学一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考研考试形式和试卷结构：一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构：高等教学约60%;线性代数约20%;概率论与数理统计约20%.四、试卷题型结构：单选题10小题，每小题5分，共50分填空题 6小题，每小题5分，共30分解答题(包括证明题)7 小题，共70分高等数学一、函数、极限、连续函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限：函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L’Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘函数的最大值与最小值、弧微分及曲率的概念、曲率圆与曲率半径考试要求：1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.三、一元函数积分学原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分、反常(广义)积分、定积分的应用.考试要求：1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.四、向量代数和空间解析几何向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积、两向量垂直及平行的条件、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦、曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程、平面与平面及平面与直线及直线与直线的夹角以及平行和垂直的条件、点到平面和点到直线的距离、球面、柱面、旋转曲面、常用的二次曲面方程及其图形、空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.考试要求：1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题.6.会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.五、多元函数微分学多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质、多元函数的偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数、方向导数和梯度、空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线、二元函数的二阶泰勒公式、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.考试要求：1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.六、多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用、两类曲线积分的概念及性质及计算、两类曲线积分的关系、格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、二元函数全微分的原函数、两类曲面积分的概念及性质及计算、两类曲面积分的关系、高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算、曲线积分和曲面积分的应用.考试要求：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4.掌握计算两类曲线积分的方法.5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7.了解散度与旋度的概念，并会计算.8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等).七、无穷级数常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨定理、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数的概念、幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式、函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlet)定理、函数在[-ι,ι]上的傅里叶级数、函数在[0,ι]上的正弦级数和余弦级数.考试要求：1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.3.掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法.4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7.理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.掌握麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-ι,ι]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,ι]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.八、常微分方程常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程、可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程、欧拉(Euler)方程、微分方程的简单应用.考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列形式的微分方程：y"=f(x)、y"= f(x,y')和y"=f(y,y').5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数一、行列式行列式的概念和基本性质、行列式按行(列)展开定理考试要求：1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算.考试要求：1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量向量的概念、向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量空间及其相关概念、n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基、正交矩阵及其性质.考试要求：1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.四、线性方程组线性方程组的克拉默(Cramer)法则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解.考试要求：l.会用克拉默法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念及性质、相似变换及相似矩阵的概念及性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵.考试要求：1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性.考试要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.概率论与数理统计一、随机事件和概率随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验.考试要求：1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布随机变量、随机变量分布函数的概念及其性质、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、常见随机变量的分布、随机变量函数的分布.考试要求：1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度.5.会求随机变量函数的分布.三、多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布、二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度、随机变量的独立性和不相关性、常用二维随机变量的分布、两个及两个以上随机变量简单函数的分布.考试要求：1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质、随机变量函数的数学期望、矩、协方差、相关系数及其性质.考试要求：1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理切比雪夫(Chebyshev)不等式、切比雪夫大数定律、伯努利(Bernoulli)大数定律、辛钦(Khinchine)大数定律、棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理、列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理.考试要求：1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理).六、数理统计的基本概念总体、个体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差和样本矩、卡方分布、t分布、F分布、分位数、正态总体的常用抽样分布.考试要求：1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.2.了解卡方分布、t分布和F分布的概念及性质，了解上侧α分位数的概念并会查表计算.3.了解正态总体的常用抽样分布.七、参数估计点估计的概念、估计量与估计值、矩估计法、最大似然估计法、估计量的评选标准、区间估计的概念、单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个正态总体的均值差和方差比的区间估计.考试要求：1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性.4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验显著性检验、假设检验的两类错误、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.考试要求：1.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.更多考研信息可以关注：暨大考研院论坛：。
高考数学总复习 313 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新
【优化总结】2013高考数学总复习 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教版1.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.12解析：原式＝14×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝18.答案：B2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32解析：1－2sin 2 22.5°＝cos 45°＝22. 答案：B3．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α等于( )A.179 B ．±179C ．－179D.173解析：将cos α＋sin α＝－13平方整理得2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.∴cos α－sin α＝－cos α－sin α2＝－1－2sin αcos α＝－173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－173＝179. 答案：A4．若tan α＝12，则tan 2α＝________.解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43. 答案：435．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为______．解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.答案：725.6．△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，当A 取何值时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，最大值是多少？解：cos A ＋2cos B ＋C2＝cos A ＋2sin A 2＝1－2sin 2A 2＋2sin A 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2－122＋32.当sin A 2＝12， 即A ＝60°时，取得最大值，最大值为32.(时间：30分钟 满分：60分)知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 给角求值 5 给值求值 1、3 4、7、89、10 化简三角函数式2、6一、选择题(每小题4分，共16分)1．已知cos α＝－35，则cos 2α等于( )A.725 B ．－725C.2425D ．－2425解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，故选B.答案：B2.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．2sin 5°D ．－2si n 5°解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin 5°. 答案：D3．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22C ．－2D.2或－22解析：由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.故选B. 答案：B4．已知等腰三角形底角的余弦为23，则顶角的正弦值是( )A.259B.459C ．－459D ．－259解析：设底角为α，则cos α＝23，顶角为π－2α，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝459. 答案：B二、填空题(每小题4分，共12分)5．计算：sin 422.5°－cos 422.5°＝________.解析：原式＝(sin 222.5°＋cos 222.5°)(sin 222.5°－cos 222.5°)＝－cos 45°＝－22. 答案：－226．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则函数的周期为________．解析：∵f (x )＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)＝12sin(2x ＋π3)，∴周期为π.答案：π7．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝26(0＜θ＜π2)，则sin 2θ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ ＝12cos 2θ＝26， ∴cos 2θ＝23， ∴sin 2θ＝±1－cos 22θ＝±73. 又∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，∴sin 2θ＝73. 答案：73三、解答题8．(10分)在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，求cos 2A 的值．解：在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513＞0.∴sin(π4＋A )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.9．(10分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．解：法一：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·ta n π4＝13－11＋13＝－12.法二：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)法一：原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12 ＝－12－12＝－1.法二：sin 2α＝2sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α1＋tan 2α. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2 α＋cos 2 α＝1－tan 2 α1＋tan 2α. 原式＝sin 2α1＋cos 2α－12＝2tan α1＋tan 2α1＋1－tan 2α1＋tan 2α－12＝tan α－12＝－12－12＝－1.10．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：(1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π324＋7350.＝－。
313空间向量的数量积运算-数学选修2-1
a α
因l 为 O,所 A a以 •O A 0.
因P 为 O ,且 l,所l以 P,O
因a此 •PO 0
又a 因 •P A a 为 • (P O O ) A a •P O a • O 0 A 所 l P 以 .A
Hale Waihona Puke 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直
P
已知：如图，PO,PA分别是平面α的
垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射
O
Al
影，l,且 l O ,求 A:l 证 P.A α
已知：如图，PO,PA分别是平面α的
垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射
影，l ,且 l O ,求 A:l 证 P.A
证明：如图，在 l上直取线向a量 ,
P A
O
l
同时取向P量 O,OA.
三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直
te?ekkür ederim
特谢库尔埃戴里姆
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?
注意：数量积不满足结合律即 （ a b )c a (b c )
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
《初中数学第一课》课件
详细描述
在初中数学中，学生开始接触代数、几何和概率统计 等基础知识，这些知识在物理、化学和生物等科学学 科中有着广泛的应用。例如，在物理中，力学、电磁 学和光学等领域都涉及到大量的数学计算和公式推导 ；在化学中，化学反应速率、平衡常数和热力学等概 念都需要用到数学知识；在生物学中，种群动态、基 因频率和生物进化等方面也涉及到数学的应用。
代数式
由数字、字母通过有限次四则 运算组成的数学式子，包括单
项式、多项式等
方程
含有未知数的等式，通过对方 程进行变形和解算，可以找到
未知数的值
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数 的次数为1的一元方程
平面几何初步
总结词
掌握平面几何的基本概念和性 质
点、线、面
了解点、线、面的基本定义和 性质，如两点确定一条直线， 线段的基本性质等
审题与解题
认真审题，理解题目要求 ，运用所学知识准确解答 。
时间管理
合理分配时间，先易后难 ，确保答完所有题目。
应试心理调适
保持冷静，不紧张，遇到 难题不放弃，尽量拿分。
学习规划与时间管理
制定学习计划
根据学习进度和目标，制定每 周或每日的学习计划。
时间分配
合理分配学习时间，确保各科 目都能得到充分的学习和复习 。
引导学生积极探索
鼓励学生主动探索数学问 题，培养他们的数学思维 和解决问题的能力。
期望学生全面发展
希望学生不仅在数学上取 得好成绩，还要在其他学 科和生活中全面发展。
教师对教学的反思与展望
反思教学方法
对过去的教学进行反思， 总结经验教训，不断改进 教学方法和手段。
数学Ⅰ课程第一章第一次课
calculus
图示法 公式法
显函数 y f (x)
隐函数 F(x, y) 0
2020/9/2
三、函数的一些几何特性
calculus
1、函数的奇偶性
定义2 设函数f（x）的定义域D是关于原点 对称的区间.
(1)如果对于任意x D，都有f (x) f (x), 则称f（x）为偶函数；
(2)如果对于任意 x D，都有f (x) f (x), 则称f（x）为奇函数.
2、对应关系或函数值的求法
calculus
（1）、对应关系的求法：换元法，凑变量法
例3
已知 f（ 1 ） x 1 ,求f (x). x 1 x 2
解一: 令t 1 ,反解得：x 1 t ,
x 1
t
将其代入已知条件得
f (t)
:
1t
t 1t
1 2
1 1
t
t
2020/9/2
即 f (x) 1
1 x
解二: 因为
f ( 1 ) x 1 x 1 x 2
1 x 11
x 1
1 11 x 1
所以 f (t) 1 ,
1 t
即 f (x) 1 1 x
2020/9/2
calculus
calculus
(2) 函数值f (x0 ) f (x) xx0
例4 设f (x) x ,求f [ f (x)]和f { f [ f (x)]}
定义域所构成不等式组的解集。
2020/9/2
几个简单函数的定义域：
calculus
(1) 分式的分母不为零; （2）负数不能开偶次方; （3）对数的底是非1的正数，真数必须大于零;
（4）对于y tan x，y sec x，x k ;对于
313加减法的简单估算
3.1.3 加减法的简单估算教学内容：教科书36例5、例6，37页课堂活动和练习七相关习题，加减反的简单估算。
教学提示：要通过具体的情境，让学生估算弄明白估算的价值和意义。
不能为估算而估算，坚决杜绝，有些学生是先算出准确答案，再给准确数找近似数就算这种估算方式。
要让学生会用估算去检验计算结果的合理性。
教学目标：1、知识与能力：能结合具体情境，选择适当的单位进行加减法的简单估算，经历探索估算方法的过程，学习初步的估算方法，体会估算在生活中的作用。
2、过程与方法：培养探索、合作、交流的意识和能力，灵活解决生活中的估算问题，体会用数学的乐趣。
3、情感态度价值观：感受估算与生活的联系，初步培养估算的意识养成估算习惯。
重点、难点：重点：能结合实际情况选择恰当的估算方法。
难点：理解估算的过程。
教学准备：教师准备：多媒体课件，例5、例6情景图。
学生准备：验算纸、笔。
教学过程：一、新课引入：春天到了，万物复苏。
这个季节也是各种疾病流行的发病期，为了小朋友能健康的成长，我们学校要为每一位学生准备预防乙脑的药片，每人吃一片。
我们学校有男生315人，女生408人。
请小朋友算一算大约要准备多少颗药片？【设计意图：通过生活实例，让学生体验到实际生活中不一定非要准确数，有时候只需要知道这个数大约是多少。
将数学知识置于学生的生活情境中，让学生感受数学的妙用，自发地提出问题，然后带着问题主动走进估算的课堂。
】二、探究新知：1、教学例5出示例5情境图：(1)猜一猜。
教师：猜一猜大约要准备多少支。
学生根据生活经验可能回答：500支，550支，600支，600支左右……(敞开思路，尽可能引导学生说出多种答案，把具有代表性的答案板书出来。
)(2)议一议。
教师：议一议要求大约要多少支，该怎样估算? 怎样表示我们的想法呢?教师：如果你想到了好办法，那就在小组内和伙伴们交流一下，看看自己的方法是否能估算出结果。
小组派代表说出估算方法：学生1：把295看作300，298看作300，所以300+300=600。
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六年级数学讲义 第一讲 生活中的百分数 2010.3.13 姓名
复习回顾（只列式或方程不必解答）
1、某厂有工人640人，其中女工占总人数的5
8
，女工是多少人？
2、一辆轿车走到全程的5
8
时，正好走了350米，全程长多少米？
3、光明小学有学生2000人，其中男生900人，男生占全校人数的几分之几？
4、某厂有工人640人，其中女工占总人数的58
，男工是多少人？ 5、一辆轿车走到全程的58
时，还剩210米没走完，全程长多少米？
6、光明小学有学生2000人，其中男生900人，女生占全校人数的百分之几？
7、光明小学有女生1200人，男生800人，女生人数比男生人数多百分之几？
整理归纳
百分数应用题的三种基本类型 1）求一个数是另一个数百分之几？ 2）求一个数的百分之几是多少？
3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数？ 例题探究
例1行一段路程，小华去时用了12分钟，回来时用了10分钟。
回来时，时间节约了百分之几？速度提高了百分之几？
例2 一种羊毛衫先提价15%，后又降价15%。
现价比原价高了还是低了？高（或低）了百分之几？
例3某车间学徒工中男工占80%，师傅中男工占90%。
师徒加起来男工占88%。
这个车间师傅总人数比徒弟多百分之几？ 练一练：
1、 某化肥厂六月份生产了60万吨化肥，比计划增产了12万吨，增产了百分之几？
2、 一个正方形，边长增加了10%，面积增加百分之几？
3、 一个正方体的棱长比原来增加50%，表面积比原来增加百分之几？体积比原来增加百分之几？
4、 打印一份稿件，甲单独打需要14小时完成，乙单独打需要1
6小时。
乙的工作效率比甲高百分之几？
5、 一种化妆品先降价18%，后又提价15%。
现价比原价高了还是低了？高（或低）了百分之几？
6、 一个学校男女教师的平均年龄是40岁，如果那教室的平均年龄是35岁，男教师的平均年龄是50
岁，女教师的人数比男教师多百分之几？
7、 王叔叔乘车上班，途中因堵车，车的速度降低了40%，那么他所用的时间会增加百分之几？
8、广州百货商场售出两件衣服，单价是72元，其中一件赚了20%，另一件赔了20%，请问卖出这两件衣服到底是赚了还是赔了？钱数怎样？。