为学生思维发展而教(郑毓信)
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告---文本资料
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。
模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。
中国数学教育的问题特色(郑毓信)
• 由此可见，现今对于中国数学教育的 认同，主要体现了西方社会主流态度 的转变，以及我们自身在这方面文化 自信的提升。
相关的事实（2）
• 什么是国际同行对我们的主要兴趣， 也即认为可以从中国数学教育吸取的 “有益经验”？
• 黛比·摩根（“英中交流项目——一 项旨在提升英国成就的策略”，《小 学数学教师》，2017年第7-8期）。
当前的主要任务
（1）实践经验的必要梳理与总结。
回放：教学研究的一个热点
“大问题”教学（黄爱华） • “用‘核心问题’引领探究学习”
（潘小明） • “核心问题教学”（王文英） • “问题驱动式”教学（储冬生） • “真问题”教学（陈培群） • “问题引领儿童学习”（张丹）
一个明显的问题：概念的多样性
当前的主要任务
（2）必要的聚焦：新的研究应当更加突 出这样一个问题：“核心问题”的提 炼，后者不仅同时包括了所谓的“知 识性问题”和“思维性问题”，也应 起到“引领”与“驱动”的双重作用。
三、“核心问题”的提炼与“再 加工”
1 .“微观”意义上的核心问题。 2. “宏观”意义上的“核心问题”。 3. “核心问题”的再加工。
正面的建议（1）
• 教学中的“引领性问题”不应太多太 小，而应“少而精”，并应有足够的 思维含金量，也即应当给学生的独立 思考提供足够的时间与空间。
正面的建议（2）：教材的认真研读
• 教材中的相关做法：“《新数学读本》 主要是通过知识问题化和问题知识化 的设置，促使学生完成对数学知识、 数学思维、方法的主动建构。” （“《现代小学数学》新读本编写思 路”，《小学数学教师》，2005年第 11期）
结论
• 对于中国数学教育我们既不应妄自菲 薄，也不应盲目自大，而应切实增强 自身在这一方面的自觉性，特别是， 即应通过认真总结与反思、包括对照 比较，真正弄清什么是中国数学教育 的主要优点， 我们又如何能够很好地 继承与发展“中国数学教育（学）传 统”。
《数学概念与数学思维的教学》有感
读《数学概念与数学思维的教学》有感
再次读到郑毓信老师的书，依然能够感觉到郑毓信老师对学习、对研究的认真与重视，郑老师将眼光放到了一个更高的层次来审视小学数学的教学：小学数学的教学不仅仅是为了让学生掌握那些知识，会做难题，更重要的是要学会数学思维方法。
为什么小学生要学习数学？是为以后的学习打基础？并不是这样的，小学数学知识，即使是差生等到一定年龄总会无师自通的，那么小学数学究竟要学什么？郑毓信老师给出了答案，小学数学的主要任务是培养学生的数学思维能力，并能够用数学思维去思考解决问题。
我经过一年的教学实践，课堂上也在有意识的渗透数学思维，也在引导孩子们去在生活中运用，但收效甚微，我一直在思考哪里出了问题，读了郑老师的书后，我想我找到了答案，即我没有处理好“学校数学”与“日常数学”的关系。
数学具有抽象性，数学思维是数学知识的精髓和灵魂，是对数学的本质认识，更是一个人数学素养的重要内涵之一。
对于数学教学而言，要将数学思维渗透到数学教学中，就必须潜移默化的以数学知识为载体，找准时机有选择、有目的、有计划的渗透。
如果说想要学生用数学思维去学习数学，去思考问题的话，那么首先老师要先学会用数学思维去教学。
数学教学方法改革之实践与理论思考郑毓信
数学教学方法改革之实践与理论思考郑毓信数学教学方法改革之实践与理论思考南京大学哲学系郑毓信教学方法的变革可以被看成新一轮数学课程改革顺利开展的关键所在。
就现实而言，一些新的教学方法得到了积极倡导，如情境设置、自主探索、动手实践、合作学习等；但是，与盲目的追随相比，在此更需要深入的理论学习与分析，从而在理论指导下更为自觉地去进行实践，包括切实避免各种可能的片面认识与做法上的简单化。
这事实上应被看成数学教学方法改革深入发展的必然要求，即应当努力超越纯粹的“形式追求”转而更为重视相关的实质问题，并能通过积极的教学实践与深入的理论研究不断取得新的进步。
以下从这样的角度对所提及的各种方法作出具体分析；另外，笔者还将从一般角度对数学教学方法改革的问题作出进一步的论述。
一、情境设置与“贴近生活”新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。
因为，这既可以帮助学生更好地认识数学的意义，对于调动学生学习数学的积极性显然也十分有利。
但是，从教学实践的角度看，在此显然又应提出这样的问题：“情境设置”是否应当被看成数学教学中引入课程内容的唯一合理方法，以致在任何情况下都不应采取其他的方法，即“单刀直入”地直接引出主题？为了回答这一问题，可以先来看下面的教例。
为了引出“平均数”的概念，教师首先设计了这样一个情境。
将学生分成人数相等的两队，通过和学生自由谈话引出：“老师想了解一下咱们班这两队同学的拍球水平，你们说该怎么办？”……在学生谈出自己的不同想法以后，教师结合生活实际肯定了“每队选几个代表拍球”的做法，并在教室中实际组织了如下的活动：学生限时地拍球，教师记录两队中每位同学的拍球个数；然后，教师又提出了如下问题：“现在我们已经知道了两队中每位同学的拍球个数，哪队同学拍球水平高？你有自己的想法吗？”……在独立思考和全班交流后，教师又以游戏者的角色加入其中拍球水平低的一队，从而引出了“在人数不相等的情况下，比什么才能公平”这样一个问题，并“通过辩论”得出了如下的结论：“比较平均每人拍球的个数才公平”。
善于优化 (数学教师的基本功之三 郑毓信)
善于优化“数学教师的基本功”之一郑毓信（人民教育2008 20）摘录《人民教育》第二十期数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。
从而，从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。
显然，从这样的角度去分析，我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性，因为，教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”，以致未能发挥应有的指导作用。
在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》①的文章中，作者提出了这样的观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。
上述立场无疑是正确的。
但是，我们在此又应防止另外一种倾向，即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。
例如，当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质，而学生说出“8是16的儿子”时，教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导？因为，学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性，而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。
与自然语言相比；自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。
再例如，当学生提出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”日甘，尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”（因为教师在当时所强调的是：“在减法中，被减数与减数绝对不可以交换位置。
”）。
但是，学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”，进而，在被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方，教师又是否应当“不加思考地”认错？为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵，以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。
如前所述（见《善于举例》与《善于提问》两文，分别载《人民教育》2008年第18、19期），特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征：数学所关注的只是事物和现象的量性特征，但却完全舍弃了对象的质的内容。
读郑毓信教授的《数学教学的关键》心得
在郑毓信教授的《数学教学的关键》一书中，作者深入探讨了数学教学的核心问题，提出了许多令人深思的观点和理念。
通过阅读和思考，我对这个主题有了一些个人的理解和心得体会。
郑毓信教授在书中指出了数学教学的核心问题，即如何激发学生的数学兴趣和提高他们的数学素养。
在这一点上，我深有同感。
数学是一门需要逻辑思维和创造性思维的学科，而这种思维方式并不是天生就具备的，需要通过教学来培养和加强。
激发学生的兴趣和提高他们的数学素养是数学教学中最基本、最重要的任务。
郑毓信教授提出了许多有效的数学教学方法和策略，例如启发式教学、问题解决式教学等。
这些方法在实践中都被证明是非常有效的，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这也启发了我对数学教学方式的反思和探索，让我意识到数学教学可以是如此丰富多彩，而不仅仅局限于传统的板书讲解。
另外，在书中，郑毓信教授还强调了数学教学中的跨学科性，即数学与其他学科的交叉应用和融合，这一点也给我留下了深刻的印象。
数学是一门智力活动，它和其他学科并不是孤立的，而是相互联系、相互渗透的。
数学教学应该注重培养学生的跨学科思维能力，让他们能够将数学知识应用到实际问题中，更好地理解和把握数学的本质。
郑毓信教授的《数学教学的关键》让我对数学教学有了更深入的思考和理解。
通过阅读和思考，我认识到数学教学的核心是激发学生的兴趣和提高他们的数学素养，同时也意识到数学教学是一个丰富多彩的过程，需要不断地探索和实践。
希望在未来的数学教学中，我能够充分运用和落实书中所提出的理念和方法，为学生的数学学习和成长提供更好的帮助。
在数学教学的过程中，激发学生的兴趣是至关重要的。
学生对数学的兴趣往往决定了他们学习的动力和效果。
然而，激发学生的兴趣并不是一件容易的事情，尤其是对于那些对数学学习抱有抵触情绪的学生。
教师需要不断寻找新的方法和途径，以激发学生对数学的兴趣。
在郑毓信教授的书中，启发式教学被提出为一种有效的教学方法。
这种教学方法强调通过引发学生自主探索和发现的方式来引发他们的兴趣。
学会思维：让数学“核心素养”扎根
学会思维：让数学“核心素养”扎根作者：曹俊来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第12期摘要：数学思维远比数学知识更为重要、更有意义。
发展学生思维，要给学生提供有效支点，要给学生渗透思想方法，要引导学生进行积极的反思。
教学中，不断发展学生思维能力、提升学生思维品质，通过让学生学会思维，让学生的数学“核心素养”扎根。
关键词：小学数学;学会思维;核心素养数学是学生思维的体操，“帮助学生学会数学地思维”被认为是数学教学的应有之义。
南京大学郑毓信教授深刻地指出，“数学教学的主旨应当从‘学会数学地思维’向‘通过数学学习学会思’进行转变，从而让学生的数学学习更清晰、更深入、更全面、更合理”。
思维是学生学习力的内核，帮助学生“学会思维”能让学生的数学核心素养扎根。
■一、学会思维，要给学生提供有效支点在小学数学教学中，“学会思维”主要是引导学生更加合乎逻辑、更有条理、更严密、更精准、更深入地进行思考。
有方法、善质疑、会表达是学会思维的基本特征。
引导学生学会思维，教师不仅要赋予学生思维时空，还要提供学生思维支点，也就是要提供学生思维的载体、平台，对学生的思维进行引导、启发。
通过给学生提供思维的载体，让学生积极地思维、能动地思维、有效地思维。
比如当学生的数学思维遭遇障碍、困惑时，教师可以引导学生画图，可以引导学生操作，可以引导学生举例，可以进行适度追问，可以让学生对问题进行记录表征等。
通过教师的助力，为学生数学思维提供帮助。
比如教学《三角形的分类》（苏教版四年级下册），笔者用“大问题”启迪学生思维：将三角形按照角、边进行分类，可以怎样分？可以用集合图来表示吗？应该说，“大问题”让学生的思维无拘无束、纵横驰骋。
学生根据“角的分类”将三角形分成了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;根据“边的分类”将三角形分成了有两条边相等的等腰三角形、有三条边相等的等边三角形以及三条边都不相等的不等边三角形，并分别画出了示意图、集合图。
走进数学思维-听郑毓信教授的学术报告
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
读让孩子受益一生的数学思维训练有感
读让孩子受益一生的数学思维训练有感最近读《数学思维与小学数学》（郑毓信着），感触颇深。
书中讲到：小学数学，特别是低年级数学教学的一个特殊之处：我们应以数学为素材，也即通过具体数学知识的教学帮助学生学会抽象、类比等一般的思维方法，同时又应当帮助学生超越一般思维走向数学思维，也即初步的领悟到数学思维的特殊性，从而就能在“学会数学的思维”这一方向上迈出坚实的第一步。
只有通过深入的揭示隐藏在数学知识内容背后的思维方法，我们才能真正的做到将数学课“讲活”、“讲懂”、“？讲深”。
这就是指，教师应通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；教师并应帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；教师在教学中又不仅使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。
小学生学习数学，是在基本知识的掌握过程中，不断形成数学能力、数学素养，获取多角度思考和看待问题的方法，从而“数学的”思考和解决问题。
基本知识的掌握是途径，多角度的思维方式的获取才是最终目的。
法国教育家第斯多惠说：“一个不好的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。
”学生学习数学是一种活动，一种经历，一个过程，活动和过程是不能告诉的，只能参与和体验。
因此，教师要改变以书本知识、教学为中心，以教师传递、学生接受的学习方式，把学习的主动权教给学生使学生在操作体验中获得对知识的真实感受，这是学生形成正确认识，并转化为能力的原动力。
正如华盛顿儿童博物馆墙上醒目的格言：“做过的，浃髓沦肌。
”平日的教学中，面对教师的提问，若是简单的问题，回应的学生比较多，一旦遇上思考性强、有深度的问题就只有个别同学试探性地举起自己的手，多数同学选择沉默，更有甚者，有时教室里鸦雀无声，真的，学生连大气都不敢出. 这是我教六年级上课提问时的情景，每到这时，我的心就开始颤动。
我们教师在课堂上应做两件事：一，要教给学生一定范围的知识，二要使学生变得越来越聪明。
育思维之能 立素养之本——谈低年级学生思维能力的培养
46TeachersJToda,*育思维之能立素养之本——谈低年级学生思维能力的培养◎张晓莺学是思维的体操。
郑毓信教授认为，引导学生学会思考'让学生想得清晰、深入、全面、合理是数学学科所应关注的核心素养。
因此'教师需要在教学过程中引领学生从数学的角度看待问题、用数学的方式思考问题、用数学的方法解决问题'培育数学思维能力'提升数学核心素养。
一、化被动为自觉，诱发主动性思维《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出:学生应当有足够的时间和空间经历自主探究、观察、比较等活动过程，形成积极的学习态度，增强学习数学的信心。
因此，课堂教学应该提供给学生充分的时间和空间，引领学生主动思考并获取相关的知识、方法、经验，从而培养主动性思维。
例如，在教学人教版一下“认识人民币”时，笔者没有直接告诉学生元与角的关系，而是采用“帮老师换零钱"这样的游戏来激发学生的探究欲望，引发学生自觉地投入思考。
笔者出示一张1元的人民币,让学生回答可以兑换成什么样的零钱组合。
学生通过交流与思考想出了不同的兑换方法:有的说可以换2张5角的，有的说可以换10张1角的，有的说可以换5张2角的，也有的说可以换1张5角和5张1角……笔者根据学生的回答适时用加法的形式呈现出各种方法$ 5角'5角=1元,5角+1角+1角'1角+2角=1元……再引导学生观察比较这几个加法算式，学生从中自然地发现元与角的关系：1元=10角。
教师创设愉悦的课堂氛围，引领学生自主投入课堂研究，通过学生的分享交流与思维碰撞，得出多种兑换方法。
在这样的课堂学习氛围中，学生的思维得到了发展，能力得到了提高，既丰富了课堂活动的形式，也能起到促进学生主动学习的作用。
二、从直观到抽象，促发抽象性思维对低年级学生来说，直接感受的形象比抽象的概念更容易引发他们的共鸣。
因此，在数学教学中，教师应立足学生的个性需求，充分发挥直观性思维的优势，引导学生从具体的感知逐步过渡到抽象的概括,从而推动抽象思维的发展。
为儿童的数学思维发展而教
为儿童的数学思维发展而教作者：张祖润来源：《江苏教育》2020年第23期2019年7月，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出要“着力培养认知能力，促进思维发展，激发创新意识”，以此提升智育水平。
信息时代，互联网、大数据、人工智能等对创新、创造的需求不断升级，与此同时，这种需求升级产生的压力也在不断向教育系统内部传导。
作为人才培养的主阵地，课堂教学需要主动变革，以适应时代更迭对人才的需求。
修订后的义务教育课程标准特别强调学科教学在培养人的思维能力方面的作用，尤其是数学学科，既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。
南京大学郑毓信教授说过，“要通过数学思想方法的分析带动数学知识内容的教学”。
发展儿童的数学思维，教师首先要准确把握小学数学教学内容的学科本质，明晰数学概念的内涵与外延、关联与拓展，把握数学知识所蕴含的数学思想与方法。
教育部教材局申继亮指出，教教材和用教材教，无论哪种说法，都要先把教材研究透彻，不能就教材讲教材。
每一项教学内容所对应的思维生长点都有所不同，教师只有深入研习教材，读懂教材的编写意图，准确把握数学知识的本质，才能在课堂教学中从容、恰当地促发学生多样的思维生成，引导学生思考，转识成智。
发展儿童的数学思维，教师更要准确洞悉儿童的数学学习特点，把握儿童思维发展的规律。
在教学中，教师要明白教材的内容是经过概括、提炼之后编排的，需要带领儿童重新经历数学知识发生、发展的完整认知过程，这就需要教师创设适切的数学问题情境，激活儿童数学学习的内驱力，从儿童的学习需要出发，以儿童思维的个性化发展为教学引领，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
发展儿童的数学思维，教师要遵循兒童思维发展的科学模式，形成思维教学的基本样态。
在教学中，教师要创设具有现实性的情境场，将教学内容与现实生活充分关联，确保真情境、真体验、真思考，这是数学思维发展的动因;要设计具有挑战性的学习活动，如采用任务驱动的方式让儿童展开探究，这是数学思维发展的基础;要在探究过程中及时捕捉儿童的创意生成，充分展示儿童的思维过程，适时引爆儿童思维生长的能量点，这是数学思维发展的关键;要引导儿童学会在不同的问题情境中灵活运用思维方法，确立思维生长的跃迁位，这是数学思维发展的重点;还要让儿童及时回顾思考的过程，在反思中完成知识建构与思路优化，这是数学思维发展的保障。
“问题提出”教学,助推学生高阶思维能力发展
“问题提出”教学，助推学生高阶思维能力发展作者：叶芳结来源：《广东教学报·教育综合》2020年第145期郑毓信教授在《数学教师的三项基本功》一书中提到：“学生提出问题的能力的培养应该被看成教学工作所应追求的一个更高的目标，即由被动地按照教师提问去进行思考，逐步过渡到由他们自己去提出问题。
”提出问题是问题解决的开始，当学生能够提出真实而有价值的问题就是意味着学生开始从粗浅的好奇心逐渐转向有理智的好奇心。
这种问题意识是问题解决、学会学习、创造性和批判性思维的萌芽。
“问题提出”是教师运用学生提问来设计和推进教学，有别于传统的“教师提问——学生解答”的课堂教学形式，通过自主探究，让学生参与知识建构的过程，最大程度地将“被讲解”“被接受”的知识解放为“被认知”的状态，实现学生学习能力、实践能力与创新能力的培养与解放，助推高阶思维能力的发展，提升数学素养。
一、以“问题提出”为导向，助力概念理解数学概念的建构，需要经历表象建立和丰富的过程。
数学概念的理解与掌握，不仅仅只需要知道相关的文字描述，它更需要体现在多角度思维把握的过程中。
可是我们在概念教学尤其是建立概念的教学中，常常会忽视概念的形成过程，注重通过背诵记忆和大量练习，让学生快速熟悉知识和技能。
对概念所包含的丰富内涵理解不够，学生的体验少，记得快忘得也快。
在概念教学中，我们的着眼点是学生知识的掌握、能力的形成和数学思考的思想与方法。
概念教学最理想的状态是教师创设问题情境，引发学生提出困惑，进而于碰撞与交流中提炼本节课的“核心问题”。
教学片断一：《圆的认识》1.出示情境图，你能提出有关圆的数学问题让大家一起研究吗？要求学生提出尽可能多的问题。
生1：为什么徒手画的圆不圆？生2：为什么用圆规画的圆是圆的？生3：用直尺也能画出圆的圆？生4：圆有什么特点？……2.以小组为单位，挑选最值得研究的几个问题，在小组内合作交流，尝试解决。
3.小组代表汇报，说明挑选问题的原因及解决问题的方法。
指向思维发展的数学教学策略
指向思维发展的数学教学策略作者：顾寅云来源：《江西教育C》2021年第07期促进学生思维的发展，是数学教学的根本目标。
南京大学郑毓信教授在《新数学教育哲学》一书中说：“我们应当通过数学教学让学生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聪明，即应当努力促进学生思维的发展与理性精神的养成。
”因此，数学教师要善于启迪学生的思维，提高他们的思维水平。
下面，笔者谈谈指向思维发展的数学教学策略。
一、重视数学知识的思维价值数学本身就是思维的产物。
在数学教学过程中，教师要重视数学知识、规律背后的思维价值，并以此来发展学生的思维。
在计算领域，“凑十法”可以让计算变得更加简便，这是数学教师的共识。
但是，如果将“凑十法”看作一种策略和一种思想，其教学出发点和归宿会截然不同。
例如，在学生刚刚接触计算时，有些教师会通过“凑十法”教学生计算，如对于“8+3”，教师会问学生：“8还差几可以凑成10？从3个东西里面拿出2个还剩几个？”其实，教师如果将“8+3”的运算过程交给学生思考，能让学生自己悟得计算的规律。
当学生自己悟得“凑十”的目的，并形成了相应的思维，那么以后再遇到这样的计算，他们就能条件反射般地向“凑十法”方面去思考。
这样，随着年级的升高，学生对后面的多位数的计算或小数的计算中要用到的“凑百”“凑千”“凑一”等方法，就能产生本质性的理解。
不光是加法的计算，减法、乘法、除法的计算都可以往“凑整”的角度考虑。
这样，学生的数学思维能在不断的练习中得到培养和提升。
二、在问题驱动中激发思维好的问题能引发学生深层次的思考，促进学生的思维发展，解决问题的过程就是发展思维的过程。
在数学教材中，有很多直接指向问题思考和解答的内容，教材会给出一些信息，让学生运用这些信息进行分析、思考，然后得出相关结论。
例如，有这样一个问题：“利民小学三年级1班和2班共有学生72名。
如果从1班调2名学生到2班，两个班的学生就一样多。
利民小学三年级1班和2班各有多少人？”学生在读题的过程中会很困惑：为什么从1班调了2名学生到2班，就能说明1班原来比2班多了4人？笔者启发他们用画线段图的方法来呈现这一过程：1班比2班人多，就画得稍长一点，经过调动，两个班人数变得一样多，就通过补齐的方法将线段补齐。
思之有序：促进学生思维灵性“生长”
思之有序：促进学生思维灵性“生长”作者：张慧来源：《小学教学参考(数学)》2021年第11期[摘要]有序思维是理性思维的基础和前提，培养学生的有序思维是数学教学的重要任务之一。
基于教学实践，通过设计核心问题，激活有序思维;借力数学操作，促进有序思维;展开数学探究，助推有序思维;设计针对练习，发展有序思维，提出培养学生有序思维的路径。
[关键词]有序思维;理性思维;数学探究[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）32-0083-02数学是思维的体操。
郑毓信教授在“走进数学思维”的报告里提到，帮助学生学会数学地思维，乃至“通过数学学会思维”。
数学思维是数学核心素养重要的组成部分，它指的是学生在思考和解决问题时能够遵循一定的逻辑顺序，按照特定的步骤有条不紊地展开探索。
有序思维是理性思维的基础和前提。
培养学生的有序思维，对于提升学生数学思考力，发展学生核心素养具有重要意义。
受年龄特点和认知水平的限制，在很多情况下，小学生的思路往往是混乱的、无序的，虽然他们喜欢动手操作，却很少去探究操作背后的方法。
那么如何培养小学生的有序思维？一、设计核心问题，激活有序思维亚里士多德曾言：“思维从对问题的惊讶开始。
”发展学生的数学思维，离不开问题的引领。
核心问题是课堂的中心问题，其往往能直击知识的本质，切中学习的重点和难点，扣准学生思维的困惑，具有提纲挈领的作用。
对此，在课堂中，教师可结合教学内容和学生认知水平，设计具有针对性以及思考性的核心问题，引导学生进行有序化的数学思考，由此激活学生的有序思维。
例如，教学“圆的面积”时，学生已经学习并探究了平行四边形、三角形和梯形面积公式的推导过程，这为学生进一步学习圆的面积提供了知识基础和思维经验。
基于这样的认识，教师设计核心问题。
师：根据以往的学习经验，你认为应该如何推导圆的面积公式？（学生纷纷提出运用转化的策略解决问题，教师趁势将核心问题进行分解）师：为什么要进行转化？生：因为在推导平行四边形、三角形和梯形面积公式的时候都运用了转化的思想。
数学思维与小学数学教学
数学思维与小学数学教学（郑毓信）数学思维与小学数学教学郑毓信（南京大学哲学系，江苏南京210093）摘要：“帮助学生学会基本的数学思想方法”是新一轮数学课程改革所设定的一个基本目标。
以国际上的相关研究为背景，对小学数学教学中如何突出数学思维进行具体分析表明，即使是十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质。
关键词：数学思维；小学数学教学中图分类号：G623.5 文献标识码：C收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28作者简介：郑毓信，南京大学哲学系教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME10）国际程序委员会委员。
对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。
然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。
以下将依据国际上的相关研究对这一观点作出具体分析，希望能促进这一方向上的深入研究，从而能够对于实际教学活动发挥积极的导向作用。
一、数学化：数学思维的基本形式众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。
“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。
”[1]就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。
事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数学”的重要过渡。
数学思维与小学数学
在教学过程中，时时调动学生的积极思维，处处开启学生的心智，课课 给学生以知识、方法及新颖感，营造一种浓厚的学习氛围，使学生在轻松、 愉悦、和谐的气氛中自觉的获取知识和养成能力，变“要我学”为“我要 学”。
二.创新需细读教材，再因人而教。
教师理清教学层次，找准教学难点，确定教学重点是关键所在。 1.亲近文本，找准难点。叶圣陶先生有诗云：“作者有思路，遵路
创新需细读教材，再因人而教。
教师理清教学层次，找准教学难点，确定教学重点是关键所在。
2.确定课堂教学的重点。确定课堂教学的重点应该依据具 体课文而定，这是毫无疑义的。但如果墨守成规，一味死扣课 本，甚至唯教参是从，那便有缘木求鱼之嫌了。课堂教学重点 的确定必须考虑教学的主题，考虑学生的认知程度，做到因人 而异，适时而化。
所以，我们备课，教学设计也应做到因文、因人而 异，因时因地而异，多角度，全方位的考虑。
三、形成良好的学习习惯，培养责任心。
俗话说：“习惯成自然”。小学阶段正处于培养其学习习惯 的关键时期，我们要让学生形成良好的学习、生活习惯。习惯养 成包括两方面：
1.行为习惯养成：包括听、说、读、写等各种习惯养成，学生 要会听讲、会学习，也就是掌握一定的学习方法，“授人以鱼不 如授人以渔”。
《数学思维与小学数学》
目
录：
一、首要抓住学生的兴趣学教学。 二、创新需细读教材，再因人而教。 三、形成良好的学习习惯，培养责任心。
数学应让学生学会思维(上)r——数学核心素养的理论性思考与实践性解读
数学应让学生学会思维(上)r——数学核心素养的理论性思考与实践性解读郑毓信【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2017(000)001【总页数】5页(P22-26)【作者】郑毓信【作者单位】江苏省文史研究馆【正文语种】中文享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员；南京大学哲学系退休教授，博士生导师。
从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各级教师培训工作；多次赴英、美等国作长期学术访问或从事合作研究，包括应邀赴意大利、荷兰、德国等国的著名大学作专题学术讲演。
已出版专著32部，在国内外学术刊物上发表论文300多篇，学术成果获省部级奖7次。
在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。
对核心素养的大力提倡是教育领域的一个新的发展趋势。
在一些学者看来，这不仅具有很大的普遍性，“当今世界各国教育都在聚焦对人的核心素养的培养”[1]，也为我国新一轮课程改革的深入发展指明了努力的方向：“今天，这个概念体系（指核心素养）正在成为新一轮课程改革深化的方向。
”[2]从理论角度看，在此应当说还有不少问题需要深入地进行研究。
特别是，现今对核心素养的提倡与一般意义上的素质教育有什么区别与联系？“以素养发展为核心的教育”与新一轮课程改革中对三维目标的提倡又有什么不同？（详可见[3]）另外，对数学教育领域应当如何落实“走向核心素养”这一整体性教育思想也有多种不同的意见。
例如，在一部分学者看来，我们应特别重视传统学科的改造与整合，包括明确提倡这样一个立场：“基础教育要去学科化。
”与此相对照，也有一部分学者认为，在数学教育领域，核心素养可被等同于核心概念，从而我们对此也就无须予以特别的重视，即如“课程标准（2011年版）明确提出了10个核心素养，……曾把这些称之为核心概念，但严格意义上讲，称这些词为‘概念’并不合适……本文把这10个词称之为数学的核心素养”[4]。
笔者的看法是：提倡对传统课程的改造有一定道理，我们更应明确肯定相关的实践性研究（如清华附小的“1+X课程”）的积极意义。
数学应让学生学会思维(下)——数学核心素养的理论性思考与实践性解读
数学应让学生学会思维(下)——数学核心素养的理论性思考与
实践性解读
郑毓信
【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》
【年(卷),期】2017(000)003
【摘要】五、努力提升学生的思维品质相对于各个具体数学思想与数学思想方法的学习而言,我们应当更加重视学生思维品质的提升,包括思维的清晰性与严密性（合理性）,思维的深刻性与全面性,思维的综合性与灵活性,以及思维的创新性。
容易想到,这事实上也可被看成这样一个立场的具体体现,即我们应当超出数学,并从更为一般的角度认识数学思维教学的意义。
【总页数】3页(P22-24)
【作者】郑毓信
【作者单位】南京大学哲学系
【正文语种】中文
【相关文献】
1.数学应让学生学会思维(上)r——数学核心素养的理论性思考与实践性解读
2.数学应让学生学会思维(中)r——数学核心素养的理论性思考与实践性解读
3.学会思维:培育数学核心素养的应有视角——由“学生缺少工具意识”说开去
4.小学数学核心素养下学生创新思维培养的思考与实践
5.培养学生数学核心素养的实践性研究(下)
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学”。
背景：走向“核心素养”
• 2014年3月，教育部印发《关于全面深 化课程改革、落实立德树人根本任务 的意见》，指出课程改革的深化“将 提出各学段学生发展核心素养体系， 明确学生应具备的适应终身发展和社 会发展需要的必备品格和关键能力。”
相关的论述（3）
• “现在很多学校都缺乏坚信的东西，表 现出来就是没有定力，害怕安静，随 波逐流，人去亦去，就像一个不自信 的小孩，动辄就要闹出点动静以引起 别人的关注，这就是很多学校搞校园 文化建设的内在动机。”（王小东）
相关的论述（4）
• “现在，许多老师虽然也做课题研究， 但今天关注新课改，明天关注核心素 养，因为要‘应景’，所以转换得过 于频繁，以至于不管什么内容的课题 都停留于比较浅显的工作总结层 面……这不是新时期需要的教师。” （朱永祥等）
简介
• 南京大学哲学系教授，博士生导师； 江苏省文史研究馆馆员；享受国务院 特殊津贴专家。从事专业研究与教学 50多年，多次赴英、美与我国港台地 区作长期学术访问，意、德、荷等著 名大学作学术讲演。出版专著32部， 论文370多篇，在数学哲学、数学教育、数学核心素养”的实践性解 读；
笔者的看法
• 与简单地复述“核心素养”的“3个方 面、6大要素、18个基本要点”相比较， 我们应当更深入地去思考数学作为一 门基础学科对于提升个人与社会的整 体性素养究竟有哪些特别重要、甚至 是不可取代的作用？
• 更重要的是，作为一名数学教师，你 在这方面又有哪些亲身体验或直接的 感受？
相关的论述（2）
（2）“教育工作贵在坚持！”这也就是 指，一旦认准了方向，我们就应持之 以恒，坚持地去做。
来自语文学科的启示：
• “‘培养终身阅读者，培养负责表达者’ 是我校历经多年锤炼并在2012年最终 确立的语文宣言，是我们坚定的学科 信念、行动指针。今天，这也是用我 们自己的句子表述的语文核心素养。” （江苏省锡山高级中学唐东澎，“培 养终身阅读者，培养负责表达者”， 《人民教育》，2017年第3-4期）
• “今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧， 今天比昨天快乐，这就是成功。” （林清玄）
• 语文教育的主要作用：“什么是生命里重 要的事情：一是爱，能爱，能表达爱；二 是美，懂美，追求美。三是情，四是义， 人要有情有义。五是感动，美好的情感能 被激发。”
• 数学教育的主要使命：我们应当通过数学 教学使学生一天比一天智慧，一天比一天 聪明，也即应当努力促进学生思维的发展 与理性精神的养成。
具体分析（2）
• 我们应当通过数学帮助学生学会思维， 而不只是学会“数学地思维”，并由 “理性思维”逐步走向“理性精神”。
“贵在坚持”的一个范例
“从来没想到，在北京一所不起眼的小区配 套学校里，居然有一群人，对‘三维’目 标的研究如此执着达8年之久；他们从学科 知识走到了知识树，从知识树走到了能力， 从能力走到了高位目标，并解决了一系列 教学困惑和问题。无论课改形势发生什么 变化，都没有动摇他们的研究精神。10年 过去了，这所普通学校迅速成长为海淀区 第一方阵的佼佼者……
• “课改10年里，有的学校开始时热情 高涨，之后抱怨、观望，不了了之， 课堂没有任何改变，教师几无任何收 获，反生了改革疲劳感，助长了形式 主义的风气。有的学校深入下去做研 究，但未能坚持，最终半途而废。
• “进校附校是这里面的‘胜利者’， 胜在了‘执着’二字 。”（《人民教 育》，2011年第6期
• “学科的育人价值是什么，基于学科特质 学生需要的核心又是什么？对这两个问题 的追问，是核心素养落地的关键。
• “2009年，重庆市巴蜀小学提出了‘爱读 书、善思考、会表达’的语文学科核心价 值追求。2015年，学校开始研究学科核心 素养，并对巴蜀小学的育人特质进行了再 次修改和校本化解读。”（丁小彦，“是 什么决定了教室的尺度”，《人民教育》， 2017年第3-4期）
“数学核心素养”之我见
• 基本认识（1）：这是“走向核心素养” 给予我们的主要启示：我们应当跳出 数学、并从更一般的角度去分析思考 什么是数学对于个人发展和社会进步 所应发挥的主要作用？
具体分析（1）
• 什么是不同学科、特别是数学课与语 文课对于学生成长的主要作用？
• 相关的论述（5）：“要通过生命不断 的转弯，发现多元的样貌，而不要生 活在一元的状态下。”
• “‘核心素养’的提出，其背后的理念价 值远远高出其具体指标。……核心素 养的实践探讨，其意义正在于，如何 审视我们每一天、每一节课的价值， 让每一次付出都更有方向感和成就 感。”（《人民教育》编辑部，“核 心素养的实践探讨”，《人民教育》， 2017年第3-4期）
所应采取的基本立场
（1）我们应当始终坚持自己的独立思考， 而不应盲目地去追随潮流！
• “今天，这个概念体系正在成为新一 轮课程改革深化的方向。”（《人民 教育》，2015年第7期，“社评”）
先前的工作：“核心素养”的理论 审视
• 问题1：现今对于“核心素养”的提倡 其合理性何在？这与先前所提倡的 “素质教育”有什么区别？与新一轮 课程改革对于“三维目标”的提倡又 有什么不同？
• 问题2：数学教育领域应当如何去落实 “核心素养”，特别是，我们是否应 当积极地去提倡“数学核心素养”， 还是应当更加提倡“传统学科的整 合”？
一、“数学核心素养”的实践性 解读
• 基本思考：作为一线教师，我们究竟 应当如何去落实“走向核心素养”这 样一个新的理论思想？
• 具体地说，我们是否应当牢牢记住 “核心素养”的“3个方面、6大要素、 18个基本要点”，并使之很好地落实 于自己的每一节课？
相关的论述（1）
“中国学生发展核心素养以培养‘全面 发展的人’为核心，分为文化基础、 自主发展、社会参与三个方面，综合 表现为人文底蕴、科学精神、学会学 习、健康生活、责任担当、实践创新 六大要素，具体细化为国家认同等十 八个基本要点。”