集合、简易逻辑、函数易错点以及典型例题
高一数学集合、函数易错点剖析
集合、函数易错题1. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是 ( A ) A. M=P B. P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2.已知由实数组成的集合A 满足:若x A ∈,则11A x∈-. (1)设A 中含有3个元素,且2,A ∈求A;(2)A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由. [解析]：（1）2A ∈ 112A ∴∈-,即1A -∈,11(1)A ∴∈--, 12A ∈即,1{2,1,}.2A ∴=- （2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a, 则1,1a A A a ∈∈-有,又A 中只有一个元素11a a∴=-, 即210a a -+=,此方程0∆<即方程无实数根 ∴不存在这样的a.3.设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值[解析]：∵B B A =⋂ ∴ B ⊆A , 由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}(1)当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △=0)1(4)1(422<--+a a ,解得 1-<a ；(2)当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a , 解得 1-=a ；(3)当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解； (4)当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得 1=a 综上所述：11=-≤a a 或4、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R ==∈==∈，则A B ⋂= （ C ）A 、{}0,1B 、(){}0,1C 、{}0y y ≥D 、∅[解析]：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞5、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （ C ）A 、}1,0{B 、)}0,1{(C 、]0,1[-D 、]1,1[- [解析]：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=- 6、已知集合M ＝｛x |0)1(3≥-x x ｝，N ＝｛y |y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝ （ C ） A 、∅ B 、{x |x ≥1} C 、｛x |x >1｝ D 、{x | x ≥1或x <0} [解析]：M ＝｛x |x >1或x ≤0｝，N ＝｛y |y ≥1｝故选C7、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( A )A 、 {|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x x D 、}121|{<<x x [解析]：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<易错点分类1、忽略φ的存在：例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．【错解】A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －【分析】忽略A =φ的情况.【正解】（1）A ≠φ时，A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －；（2）A =φ 时，121->+m m ，得2<m .综上所述，m 的取值范围是（∞-,3]2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D .【分析】：集合的代表元素，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥分别表示函数)(x f y =定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式()()g x f x ≥的解集. 【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C .3、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A ={x |x <－2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且B ⊆A ，求m 的范围.【错解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -<-⎧⇒>⎨+>⎩.【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -≤-⎧⇒≥⎨+≥⎩.4、不注意数形结合，导致解题错误.例题4、曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同交点的充要条件是 【错解】误将半圆241x y -+=认为是圆.【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：53124k <≤5、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称. 例题1、函数xxx x f -+-=11)1()(的奇偶性为 【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误. 【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数 6、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识： 例题2、()sin f x x x =⋅，若12,[,]22x x ππ∈-时，12()()f x f x >，则x 1、x 2满足的条件是 ；【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题. 【分析】可以判断出f (x )是偶函数，且在[0,]2π上是增函数.【正解】由f (x )在[,]22ππ-上的图象可知答案为12 || ||2x x π≥≥.7、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：例3、函数log (01),a y x a a =>≠且当[)2,x ∈+∞时，1,y ≥则a 的取值范围是…（ ） （A ）2102≤<≥a a 或（B ）212≥≤a a 或 （C ） 21121≤<<≤a a 或 （D ） 221≤≤a 【错解】只想到1a >一种情况，选D【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C 8、不理解函数的定义：例4、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是……………………………（ ） （A ）至少有一个 （B ） 至多有一个 （C ）必有一个 （D ） 有一个或两个 【错解】选A 、C 或D【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A 到非空数集B 的映射，故定义域内的一个x 值只能对应一个y 值【正解】正确答案为：B综合训练题：1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或22、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（）A. ()11log 2+-=x yB. ()11log 2--=x yC. ()11log 2++=x yD. ()11log 2-+=x y 5、已知函数()()x x f a-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ ）A. α＜βB. α＞βC. α=βD. 无法确定α与β的大小7、若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是（ ） A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 8、不等式()32log 2+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)+∞,2B. (]2,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,09、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 10、函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈（0，3）时()xx f 2=，x ∈（6-，3-）时，()x f =（ ）A. 62+x B. 62+-x C. 62-x D. 62--x二、填空题：11、函数xy 1=（x ＞-4）的值域是____________________ 12、函数52--+=x x y 的值域是________________________.13、函数x x y -+=3的值域是_________________________.14、设定义在区间[]222,22---a a 上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是_______________________.15、已知集合{}a x ax xx A -≤-=2，集合，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_______.16、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞()x f 21-的解集是_________________. 17、已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是______________ 18、已知函数()()()[]111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是_____.19、若函数())4(log -+=xax x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 20、已知二次函数)1(,)(2++=x f bx ax x f 为偶函数，函数f （x ）的图象与直线y=x 相切.（1）求f （x ）的解析式。
高考数学易错题精选(二)集合与简易逻辑、极限与复数
高考数学易错题精选（二） 集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合12{|,}10M x x Z N x=∈∈-且，则M 的非空真子集的个数是（ ） A ．30个 B ．32个 C ．62个 D ．64个 2．不等式1ax a x->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2D ．1(0,]23．已知2{|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P M ØB ．M P ØC ．M P =D ．MP =∅4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1(1)1lim 1(1)1p n qn n→∞+-+-=（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 ．7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N -=∈∉且，M N M N N M =--（）（），设2{|,}M y y x x R ==∈，{|3sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ＝ ．8．已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．9．lim x →-∞= ．10．如果(,R,0)z a bi a b a =+∈≠且是虚数，则222,,,||,||,,,||,||z z z z z z z z z z 中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组．17．设:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．18．试判断3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的什么条件？并给出判断理由．19．已知不等式①32x x +>；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 也满足③，求实数m 的取值范围；（2）若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求实数m 的取值范围．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C 解：因为121122634=⨯=⨯=⨯，又x Z ∈且1210N x∈-，所以 101,2,3,4,6,12x -=，故{9,8,7,6,4,2}M =-，所以它的非空真子集有62262-=个．故选C ．2．B 解：当0a ≤时，不等式的解集为{|0}x x R x ∈≠且，不符合题意，所以0a >，由不等式1ax a x->得：1ax a x ->或1ax a x -<-，即10x ->或210ax x -<，则有0x <或102x a<<，又2M ∉，所以122a ≤，即有14a ≥，故选B ． 3．A 解：当0m =时，10-<，对一切实数x ，不等式210mx mx --<恒成立；当0m ≠时，要使不等式恒成立，则0m <且240m m ∆=+<，即40m -<<，所以{|40}M m m =-<≤，故选A ． 4．C 解：特殊值法由题意取1,2p q ==，则11(1)1lim lim lim11212(1)1p n n n q n n n n n nn →∞→∞→∞+-==++-+12p q==，可见选C ． 5．①②解：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题． ②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如{0}S =符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S Z =，T 为整数和虚数构成集合，满足S T C ⊆⊆，但T 不是封闭集，22i i 都在T中，但2)2)i i T +=，所以正确的是①②．6．9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->；所以9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 7．[3,0)(3,)-+∞解：依题意有[0,)M =+∞，[3,3]N =-，所以(3,)M N -=+∞，[3,0)N M -=-， 故[3,0)(3,)M N M N N M =--=-+∞（）（）．8．1 解：因为1111()1(01)(1)(1)n n n n n nS ba b S S b b b -=-+-=--+-<<++， 所以11lim (lim lim )1lim(1)n n n nn n n n S b S S b -→∞→∞→∞→∞=--+-+，得1lim 1lim(1)n n n n S b →∞→∞=-+，则01b <<，故112b <+<，所以lim 1n n S →∞=．9．52-解：lim x →-∞=limxlimx =52=-．10．4，5，3．解：2,,,z z z z 四个为虚数；22||,||,,||,||z z z z z z 五个为实数；2,||||,||z z z z z z z ===三组相等． 11．解：(1)因为AB A B =，所以A B =，又由对应系数相等可得5a =和2196a -=同时成立，即5a =；(2)由于{2,3}B =，{4,2}C =- ，且AB ∅Ø，AC =∅，故只可能3A ∈.此时23100a a --=，即5a =或2a =-，由(1)可知，当5a =时，{2,3}A B ==，此时A C ≠∅，与已知矛盾，所以5a =舍去，故2a =-； (3)由于{2,3}B =，{4,2}C =-，且A B A C =≠∅，此时只可能2A ∈，即22150a a --=，也即5a =，或3a =-，由(2)可知5a =不合题意，故3a =-．12．解：（1）当3m =时，{|13}{|24}E x x x x x =-≥=≤-≥或，10{|1}{|64}6F x x x x =>=-<<+， {|24}{|64}{|62}E F x x x x x x x =≤-≥-<<=-<≤-或；（2）因为{|1}E x x m =-≥， 当0m ≤时，,E R EF R ==,满足条件；当0m >时，{|11}E x x m x m =≤-≥+或，由EF R =，{|64}F x x =-<<，得：16140m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞． 13．解：因为R A C B A =，所以R A C B ⊆．又[0,)B =+∞，所以(,0)A ⊆-∞．所以方程210x ax ++=或者无实根，或者只有负实数根．所以，0∆<或00a ∆≥⎧⎨-<⎩，即240a -<或2400a a ⎧-≥⎨>⎩，得2a >-．故实数a 的取值范围为(2,)-+∞． 14．解：（1）0a =，则{(,)|1,}A x y x y R ==-∈，由方程组2142250x x x y =-⎧⎨+-+=⎩解得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即7{(1,)}2A B =-． （2）1a =，则A 中的方程为210y x --=.因为A B C 、、都是非空集合，由已知必有A C =∅且BC =∅，此即方程组21y x y kx b ⎧=+⎨=+⎩和方程组242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩均无解，消去y 整理得222(21)10k x bk x b +-+-=(0)k ≠和242(1)250x k x b +--+=，所以22221(21)4(1)4410bk k b k kb ∆=---=-+<，2224(1)16(52)4(2819)0}k b k k b ∆=---=-+-<，将其看做关于k 的二元一次不等式，从而2316160b ∆=->，444(819)0b ∆=-->，所以21b >且52b <成立.又b N *∈，所以2b =,此时24810k k -+<，且2230k k --<，由此得k <<，由k N *∈,得1k =，即所求2b =，1k =．15．解：将3x =代入2435x x a x -++-=，得35a -+=，即8a =．当8a =时，原不等式可化为2343x x x -≤-+-，解得0323x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即23x ≤≤，所以8a =满足要求．16．解：因为0a >，所以由2x a -<得22a x a -<<+，由241x -<，得：x <<x <<22a a ⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩2a ≤， 又0a >，所以02a <≤，又220a a a ⎧-≥⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩，无解．综上，正数a的取值范围是{|02}a a <．17．解：令2()21f x x mx =++，则由(0)0f >，且02ba->，且0∆> ，求得1m <-，∴:(,1)p m ∈-∞-，2:4(2)4(310)023q m m m ∆=---+<⇒-<<，由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假． ①当p 真q 假时，123m m m <-⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≤-；②当p 假q 真时，123m m ≥-⎧⎨-<<⎩即13m -≤<．∴m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<． 答案：(,2][1,3)-∞--18．解：令2()10f x x ax =++=，则方程在区间[1,1]-上有解的充要条件是：240112(1)0(1)0a a f f ⎧-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或(1)(1)0f f -≤，由于第一个不等式的解集是{2,2}-，而第二个不等式的解集是{|22}a a a ≤-≥或，所以关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充要条件是2a ≥，因为集合{|3}{|2}a a a a ≥≥Ø，故而可得结论：3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解①得13x -<<；解②得01x ≤<或24x <≤． （1）设同时满足①、②的集合[0,1)(2,3)A =，满足③的集合为B ，因为A B ⊆，所以：(3)0(0)0f f ≤⎧⎨<⎩，所以173m ≤-为所求． （2）(1,3)[0,1)(2,4]B ⊆-，所以(1,4]B ⊆-，即方程2210x mx +-=的两根在[1,4]-内，所以：0(1)0(4)0144f f m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩，所以3114m -≤≤为所求． 20．证明：用数学归纳法证明①当0n =时，01a =，10013(4)22a a a =-=，所以012a a <<，命题正确②假设当(N )n k k =∈*时，有12k k a a -<<，则当1n k =+时，11111(4)(4)22k k k k k k a a a a a a +---=--- 11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111()(4)2k k k k a a a a --=---，而110,40k k k k a a a a ---<-->，所以10k k a a +-<．又2111(4)[4(2)]222k k k k a a a a +=-=--<，所以当1n k =+时，命题正确由①②知，对一切N n ∈，有12n n a a +<<．21．证明：（1）设a 、b 、c 为等比数列，,(01)ba c bq q q q==>≠且，所以1()2n nnn n n n n n n b a c b q b q b q q+=+=+>．（2）设a 、b 、c 为等差数列，则2b a c =+，猜想()(2N )22n n na c a c n n ++>≥∈*且．下面用数学归纳法证明：①当2n =时，由2222()()a c a c +>+， 所以222()22a c a c ++>．②假设n k =时成立，即()22k k ka c a c ++>，则当1n k =+时，1111111()24k k k k k k a c a c a c +++++++=+++ 111()4k k k k a c a c c a ++>+++1()()4k k a c a c =++ ()()22k a c a c ++>1()2k a c ++= 22．解：（1）由11a =及21122n n n a a a +=-+计算得：232a =，3138a =，4217128a =． （2）证明：（Ⅰ）2512172172171217217391()22(1)22212812812821281282564a =-+=--⨯=-<-，即当5n =时，结论成立．（Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--． 因为21133(1)222n n a a +=-+≥，函数213()(1)22f x x =-+在(1,)+∞上递增，则1()(2)1k f a f k <--，所以21113(21)212k a k +<--+-21112212(1)k k k =-+<---， 即当1n k =+时结论也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立． （3）因为当5n ≥时，121n a n <--，所以112n n a +<-．又由21122n n n a a a +=-+，即1(2)22n nn a a a +--=， 即111122n n n a a a +=---，得111122n n n a a a +=---，且11a =． 所以111111()22nn k k k k k a a a ==+=---∑∑11111111222n n n a a a ++=-=-<----．23．解：（1）由题意知25117a a a =，即221111(4)(16)2a d a a d a d d +=+⇒=． 因为0d ≠，所以12a d =，数列{}nb a 的公比511143a a dq a a +===， 所以113nn b a a -=．① 又111(1)2n n b n b a a b d a +=+-=．② 由①②得111132n n b a a -+=．因为120a d =≠，所以1231n n b -=-． （2）1212n n nn n n T C b C b C b =+++10211(231)(231)(231)nn n n n C C C -=++-++-122122(333)()3n n nn n n n n n C C C C C C =+++-+++2[(13)1](21)3n n =+---214233n n =-+， 所以1214233lim lim 44231n n n n n n n n n T b -→∞→∞-+=++-12111()()23234lim 13131()()244n nn n n →∞--+==+-． 24．解：（1）由题设可得1212918151a q a q ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得1323a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的首项1a 为3，公比q 为23．（2）由（1）知，123()3n n a -=⨯，所以，(2)T 是首项为22a =，公差2213d a =-=的等差数列，它的前10项之和为10110210931552S =⨯+⨯⨯⨯=，即数列(2)T 的前10项之和为155．（3）因为i b 为数列()i T 的第i 项，()i T 是首项为i a ，公差为21i a -的等差数列， 所以(1)(21)(21)(1)i i i i b a i a i a i =+--=---，所以12n n S b b b =+++12335(21)[12(1)]n a a a n a n =++++--+++-．令12335(21)n S a a a n a =++++-．因为12112()(21)n n S qS a a a a n a +-=+++---，所以1112(21)(1)21(1)n n a n a a q S q q ++--=--- 245(1845)()3n n =-+，故(1)2(1)45(1845)()232n n n n n n S S n --=-=-+-． 所以12(1)limlim [45(1845)()]32n n m m n n S n n n n n →∞→∞-=-+- 因为1m >，且lim n m n S n →∞存在，所以当2m =时，1lim 2n m n S n →∞=-； 当2m >时，lim0n m n S n →∞=，由题设，limn mn S n →∞不等于0． 因此2m >不合题意，舍去，故满足题设的正整数m 的值为2． 25．解：（1）当n m =时1lim ()lim111()x x mf x b x→∞→∞==+；（2）当n m <时1()lim ()lim 011()m nx x mx f x bx-→∞→∞==+；（3）当n m >时lim ()lim11()n mx x mx f x bx-→∞→∞=+不存在． 所以0lim ()1x n m f x n m n m →∞<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）不存在（）． 26．解：（1）设(R,0)z a bi a b b =+∈≠、且，则221a bi z a bi z a b ω-=+=+++2222()()a b a b i a b a b =++-++，因为ω是实数，所以220b b a b -=+．由0b ≠，得221a b +=，即||1z =，因为||1z =，所以2||1z z z ==，所以12z z z a z ω=+=+=．由已知12ω-<<，即122a -<<，解得112a -<<．（2）证明：11z u z-=+ 1()(1)(1)1()[(1)][(1)]a bi a bi a bi a bi a bi a bi -+--+-==+++++-1bia -=+． 所以u 是纯虚数．（3）22222()21(1)bi b u a a a a ω---=-=-++2211221(1)a a a a a a --=-=+++22(1)31a a=++-+，因为112a -<<，所以1122a <+<，所以242(1)51a a≤++<+，所以2u ω-的最小值为1．。
集合与常用逻辑用语(3个易错点+10个易错核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习新高考版
易错01 集合与常用逻辑用语（3个易错点错因分析与分类讲解+10个易错核心题型强化训练）易错点1 忽视对空集的讨论而致误【例1】. [湖南师大附中2023第三次月考]已知集合{}14A x x =-<£，()(){}221B x x a x a =---.若A B=ÆI ，则实数a 的取值范围为（）{}.2A a a >{}.2B a a ³{}.12C a a a =³或{}.1D a a ³【变式】.[江西景德镇乐平中学2022月考]设集合{}37,M x x =-<<{}221,N x t x t t R =-<<+Î.若M N M =U ， 实数t 的取值范围为（ ）().3,A +¥().,3B -¥(].,3C -¥[).3,D +¥易错点2 忽略集合中元素的互异性而致误【例2】. [湖南邵阳二中2023第五次月考]已知,a b R Î，若{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ，则20222022a b +的值为（）.1A -.0B.1C.1D ±【变式】. [福建龙岩一中2022月考]已知,a R b R ÎÎ,若集合{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ，则20212021a b +（）.2A -.1B -.1C.2D 易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误【例3】. [河南驻马店二中2023第二次培优考]已知:120p x x --£，()()():1200q x m x m m +-+£>éùëû.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .【变式】. [湖南名校2022第二次联考]已知“21a x a ££+”是“25x -££”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）[).2,A -+¥[].2,2B -(].2,2C -().2,2D -【易错核心题型强化训练】一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2024•泸县校级开学）设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x Î-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件123451||||||||||3x x x x x ++++……的元素的个数为( )A ．60B ．100C ．120D ．130二．集合的确定性、互异性、无序性（共1小题）2．（2024•扬中市校级开学）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A Î，则(a = )A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2三．集合的包含关系判断及应用（共1小题）3．（2024•浦东新区校级模拟）函数()x x Pf x xx MÎì=í-Îî，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()f P y y f x ==，}x P Î，(){|()f M y y f x ==，}x M Î．给出下列四个判断，其中正确判断有( )①若P M =ÆI ，则()()f P f M =ÆI ；②若P M ¹ÆI ，则()()f P f M ¹ÆI ；③若P M R =U ，则()()f P f M R =U ；④若P M R ¹U ，则()()f P f M R ¹U ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个四．并集及其运算（共1小题）4．（2024•浙江学业考试）已知集合{0A =，1，2}，集合{0B =，2，4}，则(A B =U )A ．{0}B ．{2}C ．{0，2，4}D ．{0，1，2，4}五．交集及其运算（共4小题）5．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知集合{|24}A x x =……，{|3}B x a x a =-<+…，若A B A =I ，则a 取值范围是( )A ．2a >-B ．1a -…C ．1a …D ．2a >6．（2024•北京学业考试）已知集合{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则A B I 等于( )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1}D ．{1，2}7．（2024•让胡路区校级开学）设全集U R =，集合2{|20}A x x x =--…，{|0}B x lgx =>，则(A B =I )A ．{|12}x x -……B ．{|12}x x <…C ．{|12}x x <<D ．{|1}x x -…8．（2024•平江县校级开学）已知集合{|2x A y y ==-，[2x Î，3]}，22{|330}B x x x a a =+-->．（1）当4a =时，求A B I ；（2）若命题“x A Δ是命题“x B Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．六．交、并、补集的混合运算（共1小题）9．（2024•合江县校级开学）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，3，5}，集合{3B =，4}，则()(U A B =I ð )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}七．充分条件与必要条件（共2小题）10．（2024•东坡区校级开学）设x ，y R Î，下列说法中错误的是( )A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．“0xy =”是“220x y +=”的必要不充分条件C ．“1x >，1y >”是“2x y +>，1xy >”的充要条件D ．“x y >”是“22x y >”的既不充分也不必要条件11．（2024春•顺德区校级月考）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件八．全称量词和全称命题（共1小题）12．（2023秋•昆明期末）已知[0x "Î，2]，p x >；0[0x $Î，2]，0q x >．那么p ，q 的取值范围分别为( )A ．(0,)p Î+¥，(0,)q Î+¥B ．(0,)p Î+¥，(2,)q Î+¥C ．(2,)p Î+¥，(0,)q Î+¥D ．(2,)p Î+¥，(2,)q Î+¥九．存在量词和特称命题（共1小题）13．（2024•开福区校级模拟）若命题“0a $<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为 ．一十．命题的真假判断与应用（共9小题）14．（2024•红谷滩区校级模拟）已知m ，n 表示两条直线，a ，b ，g 表示三个平面，则下列是真命题的有( )个．①若m a g =I ，n b g =I ，//m n ，则//a b ；②若m ，n 相交且都在a ，b 外，//m a ，//m b ，//n a ，//n b ，则//a b ；③若//m a ，//m b ，则//a b ；④//m a ，//n b ，//m n ，则//a b ．A ．1B ．2C ．3D ．415．（2024春•宝山区校级月考）函数()f x xlnx =，正确的命题是( )A ．值域为RB ．在(1,)+¥上是增函数C ．()f x 有两个不同零点D ．过(1,0)点的切线有两条16．（2024春•普陀区校级月考）对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()A R x A f x x C A Îì=íÎî为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A ．若A B Í，()()A B f x f x …B ．()1()R A A f x f x =-ðC ．()()()A B ABf x f x f x =×I D ．()()()A B ABf x f x f x =+U17．（2024•绥中县校级开学）下列命题中是真命题的有( )A ．有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.418．（2024春•芝罘区校级月考）如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是( )A ．直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B ．存在点M ，使得1B M AE ^C ．四面体EMAC 的体积为定值D ．当12D M MB =时，平面EAC ^平面MAC19．（2024春•璧山区校级月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c 随时间t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如图所示．则下列结论正确的是( )A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C ．在2[t ，3]t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D ．在1[t ，2]t 和2[t ，3]t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同20．（2024春•沙坪坝区校级月考）设函数()sin()(0)6f x x pw w =->，已知()f x 在[0，]p 有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A ．在(0,)p 上存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=B ．()f x 在(0,)p 有且仅有1个最小值点C ．()f x 在(0,)2p单调递增D ．w 的取值范围是1319[,6621．（2024春•沙坪坝区校级月考）已知2()(0)f x ax bx c a =++¹，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R Î恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R Î恒成立22．（2024•平罗县校级一模）设函数()3sin()(0,)22f x x ppw j w j =+>-<<的图象关于直线23x p=对称，它的周期是p ，有下列说法：①()f x 的函数图象过点3(0,2；②()f x 在2[,123p p上是减函数；③()f x 的一个对称中心是5(,0)12p；④将()f x 的图象向右平移||j 个单位长度得到函数3sin y x w =的图象．其中正确的序号是 ．（正确的序号全填上）。
07届：《集合、简易逻辑》六类易错问题成因探究
《集合与简易逻辑》八类误区同学们在平时学习和解题中，经常会碰到这样的的一类问题“一看似懂，一做就错；老师一点似明，再做又错”，这类问题成称之为“易错问题”。
“易错问题”考查的知识点和数学能力不一定很难，但其中设置了很容易使学生形成错觉的知识障碍。
本文对高中数学《集合、简易逻辑》这一章易错的八类问题的成因进行归纳和分析，整理为《集合、简易逻辑》八类误区警示录。
误区1 忽视符号的含义，错误判断两集合之间的关系．例1若{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈±==,14，则M 与N 是什么关系？错解 不认真认识符号的含义，错断为M 是N 的子集或N 是M 的子集；错因 未认识记和本质属性的意义，忽视符号的含义致错，策略1 注意集合得三种表示方法得等价性，用列举法列举M ，N ，则判断M=N ；策略2 认识符号的意义，M 是被2除余数为1的剩余类，N 是被4除余数为1或3的剩余类，都是表示的奇数的集合，则M=N ；误区2 忽视空集的研究例2 已知集合A={}2,1-. B={}01|=+mx x ,若B B A = ,则所有实数m 组成的集合为（ ）错解 B 是A 的子集两种情况，由方程根的意义，可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-0,21； 错因 忽视空集是任何集合的子集的认识，导致露解。
策略 研究空集为任何集合的子集，可得m 组成的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,0,21；警示 集合A 、B 满足φ=B A 时，你是否注意到“极端”情况：A=φ或B=φ？有A ⊆B 条件时是否记着A=φ？ 误区3 忽视代表元素的认识例3 求下列集合的交集（1）“已知集合M={y|y=x 2,x ∈R}，N={y|y=x 2+1,x ∈R}，求“N M ”（2）“已知集合()()},,1|,{},,|,{22R x x y y x N R x x y y x M ∈+==∈==（3）()},,|,{},,|{2R x x y y x N R x x y y M ∈==∈==求N M ”；错解 （1）φ=N M ；（2）[)+∞,1；（3）()1,1策略 （1）认识数集的意义有[)+∞,1；（2）认识点集的意义有φ=N M ；（3）理解集合的本质属性 φ=N M ；警示：常见的三类集合 数集 （定义域和值域及不等式方程的解集）和点集如何区分？认识代表元素， 进一步挖掘集合的本质属性，认识集合的特征和三种表示的等价性的作用，数集和点集的交集为空集； 误区4 忽视元素特性和概念的认识例4集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ） A ．－2≤b ＜0 B ．0＜b ≤2 C ．－3＜b ＜－1 D ．－1≤b ＜2 错解 解()1,1-=A ()()1,1,+-=+-=b b a b a b B ，选C ；策略1: 选择题注意其选择支验证,产生特殊值法求解. 取特值.将b=0代入,有()1,1-=A ,()()1,1,-=-=a a B φ≠∴B A ,反之不成立,选D;策略2 认识充分条件的集合表示化归解不等式的问题,产生直接法求解.易解()1,1-=A () ,,a b a b B +-=22111111,<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<-->+<-∴≠b b b b b B A φ ,因只要求是充分条件,所以只要找到()2,2-的子集即可.故选D;误区5 忽视隐含条件的挖掘例5已知集合A ＝} x 3, , {3-1, B ＝} 1 2,x {+,是否存在实数x, 使得B ∪C S B ＝A (其中全集S ＝R), 若存在, 求出集合A 、B; 若不存在, 请说明理由.错解 不注意隐含条件的挖掘，思维混乱，；策略 注意隐含条件补集的意义探究集合之间的关系，思路流畅，⋃B CSB =A , B∴A , 32x =+∴或3x 2x -=+1x ,1x -==⇒(舍去)}3,1,1{A -=∴, }3,1{B =，即存在满足的}3,1,1{A -=∴, }3,1{B =；误区6 忽视等价转化，充要条件的判断不彻底和完备。
高中数学错题精选集合与简易逻辑部分
高中数学错题精选集合与简易逻辑部分高中数学易做易错题示例一、集合与简易逻辑部分1．已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。
则实数P 的取值范围为。
2．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是_________________。
A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．m ≤43．命题“若△ABC 有一内角为3π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（）A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异C ．与原命题的逆否命题的真值不同D ．与原命题真值相同二、函数部分4．函数y=3472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_____________ 5．判断函数f(x)=(x －1)xx -+11的奇偶性为____________________ 6．设函数f(x)=132-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=_____________7. 方程log 2(9 x －1－5)－log 2(3 x －1－2)－2=0的解集为___________________-三、数列部分8．x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件9．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝_______________A.一定是A 2PB.一定是G 2PC.或者是A 2P 或者是G 2PD.既非等差数列又非等比数列10．A 2P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。
集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-2024年高考数学考试易错题
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
数学错题分析
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括为一真一假）。
集合问题中常见易错点归类分析答案
集合问题中常见易错点归类分析答案集合问题中常见易错点归类分析集合问题涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变。
初学时，由于未能真正理解集合的意义、性质、表示法或考虑问题不全，容易出现错解。
本文将常见易错点归纳如下：1.代表元素意义不清致误例1：设集合A={（x。
y）∣x+2y=5}，B={（x。
y）∣x-2y=-3}，求A∩B。
错解：由x+2y=5得x=1，从而A∩B={1，2}。
x-2y=-3分析：上述解法混淆了点集与数集的区别。
集合A、B中元素为点集，所以A∩B={(1，2)}。
例2：设集合A={y∣y=x^2+1，x∈R}，B={x∣y=x+2}，求A∩B。
错解：显然A={y∣y≥1}，B={x∣x≥0}，所以A∩B=B。
分析：错因在于对集合中的代表元素不理解。
集合A中的代表元素是y，从而A={y∣y≥1}，但集合B中的元素为x，所以B={x∣x≥0}，故A∩B=A。
2.忽视集合中元素的互异性致错例5：已知集合A={1，3，a}，B={1，a-a+1}，且A∪B，求a的值。
错解：经过分析知，若a-a+1=3，则a-a-2=0，即a=-1或a=2.分析：错因在于忽视了集合中元素的互异性。
集合B中包含了1和a-a+1，即a-1，所以B={1，a-1}。
因此，A∪B={1，3，a，a-1}，而集合中元素互异，所以a-1≠3，解得a=2.2.集合论中易犯的三种错误在集合论中，常常会犯三种错误，分别是：混淆元素与集合，忽视元素的互异性，忽视空集的特殊性。
首先，混淆元素与集合是集合论中最常见的错误之一。
在集合论中，元素是集合的基本成分，而集合则是由元素组成的整体。
因此，在列举集合时，必须明确元素和集合的区别，不可混淆。
其次，忽视元素的互异性也是一个常见的错误。
在集合中，元素是互异的，即同一个集合中不能有两个相同的元素。
在解题时，必须注意元素的互异性，否则会得到错误的结果。
最后，忽视空集的特殊性也是一个常见的错误。
(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。
错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。
例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A错解：B分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
高考数学集合与简洁规律易混淆学问点
高考数学集合与简洁规律易混淆学问点高考数学集合与简洁规律易混淆学问点导语：数学是一门国际性的学科，对各个方面都要求严谨．下面就由我为大家带来高考数学集合与简洁规律易混淆学问点，大家一起去看看怎么做吧！1易错点遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三种状况，在解题中假如思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种状况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分留意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种状况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的缘由，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
2易错点忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
3易错点四种命题的结构不明致误错因分析：假如原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，确定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要留意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a，b都是偶数”的`否定应当是“a，b不都是偶数”，而不应当是“a，b都是奇数”。
4易错点充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，假如A=B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;假如B=A成立，则A是B的必要条件，B是A 的充分条件;假如A=B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最简洁出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时确定要依据充要条件的概念作出精确的推断。
高中数学易错点(附配套例题与答案)
高中数学各章节关注点1.4 否定形式命题可考虑用逆否命题来研究．例1.4 已知R b a ∈,，则条件＂21≠≠b a 或＂是＂2≠ab ＂的 条件．1.5 “且”与“或”的区分．例1.5.1 判断真假：(1) 10232≠⇔≠+-x x x 或2≠x ；(2)33≥．例1.5.2 已知 013:1=+-y ax l ，01)21(:2=---ay x a l ，根据下列条件分别求a 的取值范围．(1) 21l l 与相交；(2) 21l l ⊥．2、函数2.1求函数关系式时必须包含定义域；对数问题也应注意定义域．例2.1 (1)在ABC ∆中，BC AC BC x AB ,3,4,===边上的中线长y AM =，求y 关于x 的函数关系式；(2)函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 ．2.2 函数的零点问题通常利用函数图像．例2.2 (1)若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ；(2) 若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-至少有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．例2.5.2 已知函数)(x f 是周期为2的周期函数，当20≤<x 时，13)(2+-=x x x f ，求当75<<x 时，函数)(x f 的表达式．2.6 关注二次函数二次项系数是否为零，注意∆、开口、对称轴与特殊值四要素．例2.6 (1)已知方程0)3(42=++-a x ax 有两个大于１的不等实根，求实数a 的取值范围； (2) 已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于１的实根，求实数a 的取值范围．2.7 指对数的运算法则．例2.7 （1）已知02ln =+x ，求x ；（2）已知)00(02≠>=-a a a x且，求x ； （3）解不等式)10(2log <<->a x a ；（4）已知()1,12log 2log >>>b a b a ，求b a , 的大小关系．3、数列3.1 注意题中n 取值，如：⎩⎨⎧≥-==-2n ,S S 1,n ,S a 1n n1n 的公式应用．例3.1 (1)已知数列{}n a 的前n 项的和为）（+∈+-=N n n n S n 1322，求数列{}n a 的通项公式；(2) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若),2(0321+-∈≥=+N n n a S S n n n ，又31=a ，求n a ；(3) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若,)(31++∈=N n a S n n 又31=a ，求n a ．3.2 等比数列求和注意对q=1与q ≠1的分类；等比数列证明注意首项0a 1≠的说明．例3.2 (1) 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1-≠q ．求证：n n n n n S S S S S 232,,--也成等比；(2) 若数列{}n a 中,)(23,411++∈-==N n a a a n n ．求证数列{}1-n a 是等比数列．3.3 求和：观察通项、 注意首项、 点清项数，并注意结果的验证．例3.3 求和nn S )2(8421-++-+-= ．3.4 应用性问题：逐步列式，保留原始数据，便于观察规律．例3.4 小王2012年5月向银行借款100万元用于购房，年利率7.8%，2013年5月开始偿还，每年还a 万元，2032年5月全部还清，求每年还款额a （其中2078.110≈）．3.5 等差数列、等比数列常用定义、公式或性质解决．例3.5.1 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，42,293==S S ．(1)若数列{}n a 成等差，求12S ； (2) 若数列{}n a 成等比，求12S ．例3.5.2 已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和分别为n n T S , , 若1423--=n n T S n n , 求2020b a ．3.6 数列与函数的单调性、最值研究的方法“区别”．例3.6 (1) 已知数列{}n a 的通项公式是nnn C a )31(2012⋅=，求数列{}n a 的最大项；(2)已知函数xex x f 2012)(-=，求函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值．3.7 熟练掌握利用错位相减法或裂项法进行数列求和． 例3.7 (1) 求和：n n n S )21)(12()21(7)21(5)21(321432--++-+-+-+-= ；(2) 求和：)12(753197531753153131++++++++++++++++=n S n ．(3) 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++)23(3522n n n n 的前n 项的和n T ．3.8 通常递推关系转化为“新数列”的思想运用． 例3.8 已知数列{}n a 中，311=a ,根据下列各递推公式，求数列的通项公式： （1） 131-=+n n a a ；（2）131+=+n nn a a a ；（3）()112++-=n n n n a a a a ；（4）nn n a a 331=+－．5.4 三角形问题应注意内角的判断一个或两个解．例5.4 (1) 在ABC ∆中，若32cos ,36sin ==B A , 求C sin ；(2) 在ABC ∆中，若3,31cos ,33sin ===a B A , 求边c 的长．5.5 熟练掌握正弦、余弦定理，面积公式．例5.5.1 在ABC ∆中， 面积32=S ，,6,600=+=c b A （1）求边a 的长； (2)求)(sin C B -．例5.5.2 在ABC ∆中, 三内角C B A ,,成等差数列 , 角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,, 外接圆半径为2 , 求22c a +的取值范围．6.5 熟练掌握不等式应用的两种题型.例6.5 (1) 已知+∈R y x ,，212=+yx ，求y x +的最小值；（2）已知c ax x f +=2)(，1)1(2≤≤-f ，4)2(0≤≤f ，求)3(f 的取值范围．7、直线和圆7.1 求直线问题注意斜率存在与不存在，掌握斜率变化与倾斜角变化的规律．例7.1 (1) 已知过点（０，１）的直线l 与圆)0()1(222>=++R R y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若52<⋅<-OB OA ，求半径R 的取值范围；(2) 已知过点（－２，０）的直线l 与圆16)1(22=++y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1213-<⋅<-OB OA ，求直线l 的倾斜角取值范围．高中数学各章节关注点答案3.1解：(1) ⎩⎨⎧≥== 2.n ,5-4n ,1n ,0a n (2) ,0)(3211=-+--n n n n S S S S 32111=--n n S S ， 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为31，公差为32的等差数列，所以3121-=n S n ，即123-=n S n ，从而得⎪⎩⎪⎨⎧≥---==.2,)32)(12(61,3n n n n a n ， (3) ,43111n n n n n n S S S S a S =⇒-==+++数列{}n S 是公比为4 , 首相为3的等比数列 ,所以143-⋅=n n S , 从而⎩⎨⎧≥⋅==-.2,49,1,32n n a n n 3.2解：(1)当公比1=q 时，,,,0123121na S S na S S na S n n n n n =-=-≠=结论成立；当公比1≠q 时，222212131123)1()1()1)1(1)1((1)1()(q q q a q q a q q a q q a S S S nn n n n n n n --=-----⋅--=-， 22221212122)1()1(1)1(1)1()(q q q a q q a q q a S S n n n n n n--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-， 1,0,01±≠≠≠q q a ，0)()(2322≠-=-∴n n n n n S S S S S ，结论成立．(2),)1(311-=-+n n a a 又0311≠=-a ，所以数列{}1-n a 是以3为首项,以3为公比的等比数列．3.3解： []11)2(131)2(1)2(1++--=----=n n n S ． 3.4解：201819%)8.71(100%)8.71(%)8.71(%)8.71(+=+++++++a a a a ，2020%)8.71(100%)8.71(1%)8.71(1+=+-+-⋅a ， 4.103078.0400=⨯≈a （万元）．3.5.1解：(1)由91269363,,,S S S S S S S ---成等差，得,)42(2)2(266S S -+=-166=S ，所以38912=-S S ，8012=∴S ．(2) 由91269363,,,S S S S S S S ---成等比，得,)42(2)2(626S S -=-86-=S 或106=S ，从而128912=-S S 或250912-=-S S ，所以17012=S 或20812-=S ．3.5.2解：利用等差数列求和公式n n a n S )12(12-=-得312315511539392020===T S b a ． 3.6解：(1)1)1(3201231!)2011(!)1(!2012!)2012(!!2012312012120121≥+-=⋅-+-=⋅=++n nn n n n C C a a n n n n ，得25.502≤n ，即12502503a a a a >>>> ， >>>505504503a a a ，所以数列{}n a 的最大项为5035032012503)31(C a =．(2)2013,02013)('==-=x exx f x得，函数↑∞+↑），（，），）在（（201320130x f ． 所以函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值是2013)2013-=ef （．3.7解：(1) 运用错位相减法，15432)21)(12()21)(32()21(7)21(5)21(3)21(21+--+--++-+-+-+-=-n n n n n S15432)21)(12(])21()21()21()21()21[(22123+----++-+-+-+-+-=n n n n S 1111)(12()21(13121)21)(12()21(1)21(141221+-+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⋅+-=n n n n n n n n )21(61661-++-=， nn n S )21(91691-++-=∴．(2) )211(21)2(1)12(7531+-=+=+++++n n n n n，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++--++-+-+-+-=∴)211()1111()6141()5131()4121()311(21n n n n S n )2)(1(23243211121121+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=n n n n n ． (3) )2(31)1(31)23(35212+-+=+++-n n n n n n n n,))2(31)1(31()531431()431331()33121(1322+-+++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=∴-n n T n n n)2(3121+-=n n ．4.9解：y x y x 32cos 2sin -=+,22)32()2(1y y -≥+,031252≤+-y y ,52165216+≤≤-y , ∴值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-5216,5216． 4.10解：321sin 121,21sin 23,1sin 21,326<+≤≤+<≤<∴≤<x x x x ππ， 所以1sin 43+-=x y 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31．4.11解: 2tan 11tan )4tan(=-+=+x x x π, 得31tan =x ． (1)原式671tan 32tan =++=x x ．(2)原式7201tan tan )1(tan 2)cos (sin cos sin )cos (sin 2222222-=--+=+-+=x x x x x x x x x ． 5.1 (1)51- 解析：CB AB AC AB CB BC AB CB AM ⋅-+=⋅+=⋅)](32[)32( 51)2716236(31231)()2(3122-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB AC AB ．(2)42- 解析：以A 为原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，A （0，0），B （6，0），C （0，9），M （2，6），425412),9,6(,)6,2(-=-=⋅-==CB AM CB AM ．5.2解：(1)213,0372)2(1)1)(23(2-=-==++⇒-⋅=++x x x x x x x 或得． (2) 26,03201)23()1)(2(2±==-⇒=⋅+++-x x x x x 得． 5.3解：(1)错 解析：0应该为0．(2)错 解析：c b a )(⋅与向量c 共线 , )(c b a ⋅与向量a 共线． (3)错 解析：正确形式为AC BC AB =+；(4) 错 解析：正确形式为CB AC AB =-．5.4解：(1),,sin 35sin A B A B <∴<=33cos ±=∴A , B A B A B A C sin cos cos sin )(sin sin +=+= 9156235)33(3236±=±+⋅=． (2) 36cos ,,sin 322sin =∴>∴>=A A AB A B ，必为锐角角 ,935322363133sin cos cos sin )(sin sin =+⋅=+=+=B A B A B A C ； 由正弦定理得539353sin sin =⋅⋅==A C a c ．5.5.1解：(1) 83260sin 210=⇒==bc bc S ， 又，或22,4,6===∴=+b c b c b 4=c ，32,12cos 2222==-+=a A bc c b a ． (2) 当4,2==c b 时，由正弦定理，C B sin 4sin 260sin 320==，得1sin ,21sin ==C B ，23)sin(,90,3000-=-==C B C B ，同理当2,4==c b 时，23)sin(=-C B ． 5.5.2解：三角C B A ,,成等差060=⇔B , 由正弦定理42sin sin ===R CcA a , 所以[][])2240cos(2cos 28)120(sin sin 1602222A A A A c a ---=-+=+)602cos(8160+-=A , 由于001200<<A , 00030060260<+<A ,所以21)602cos(10<+≤-A , 从而241222≤+<c a ． 5.6.1 解: (1)真． (2)假．(3)假. 解析：正确的应是等腰三角形或直角三角形． 例5.6.2 (1) 若角A 为锐角, 则A A cos sin +的取值范围是 ； (2)若角A 为钝角, 则A A cos sin +的取值范围是 ．5.6.2 （1）(]2,1 解析：)45sin(2cos sin +=+A A A ，A 为锐角，900<<∴A ， 1354545<+<∴A ，1)45sin(22≤+<∴A ，即有2cos sin 1≤+<A A .． (2)()1,1- 解析: A 为钝角，即18090<<A ，22545135<+<∴A ，22)45sin(22<+<-∴ A ，即有1cos sin 1<+<-A A ． 6.1解：(1)027322132≥--=---x x x x x , 由此得解集[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,372,0 ．6.4 1024或 解析：)52()(1+=-⋅x x x ，得0=x 或3-=x ，44224)42(222++=++=-x x x x ，40=-=x ；1023=--=x ．6.5 解:(1))223(21)2(321)12)((21+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+y x x y y x y x y x ， 即y x +的最小值为)223(21+． (2))1(35)2(389)3(,4)2(,)1(f f c a f c a f c a f -=+=+=+=；332)2(380≤≤f ，310)1(3535≤-≤-f ，14)3(35≤≤-∴f ．则当1=t 时，1=k ，当1≠t 时，0)3)(1(44,0)3(2)1(2≥---=∆=-+--t t t k k t ，得；2222+≤≤-t ，所以24322-<<-R ．综上所述，半径R 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-24,0．(2) 当x l ⊥轴时，)15,2(-A ，)15,2(--B ，11-=⋅OB OA ，不合, 当l 与x 轴不垂直时，设直线)2(:+=x k y l 代入圆方程，得0154)12(2)1(2222=-++++k x k x k ,由韦达定理，222122211154,1)12(2kk x x k k x x +-=++-=+， 2212212212214)(2)1()2)(2(k x x k x x k x x k x x OB OA ++++=+++=⋅)12,13(1151141)12(41542222222--∈++-=+++--=kk k k k k k ，得312<<k , 13-<<-k 或31<<k ，所以直线l 倾斜角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,323,4ππππ ．7.2解：圆心（－１，０）到直线的距离53=d ，所以5109235322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R ． 8.1.1解：(1)513解析：因为02=+FQ PF ,所以点Q 为线段PF 的中点, O 为原点，椭圆另一焦点为'F ,则OQ PF //', 4'=PF , 由椭圆定义：42-=a PF ,'PF PF PF OQ ⊥⇒⊥,由勾股定理；52)42(162=-+a , 得5=a , 所以椭圆的离心率513=e ． (2) 228- 解析：如图，椭圆左焦点)0,2(-F ， 右焦点即为B ，如图，由椭圆的定义得2288)(8-=-≥--=+AF PA PF PB PA ．8.1.2解： (1) 1622=+y x 解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，设直线1与2PF 交于点Q ，O 为坐标原点，4221)(21)(21212122==⋅=-=-==a a PF PF PF PQ Q F OM ， 所以点M 的轨迹方程是1622=+y x ．(2) ２ 解析：抛物线的焦点()1,0F ，准线1:-=y l ，连AF 、BF ，设A 、B 、M 到准线l 的距离分别为1d 、2d 、d 则322221=≥+=+=AB BF AF d d d ， ∴点M 到x 轴的最近距离为2．8.2解：(1)9或964解析：当焦点在ｘ轴上时，3181=-m ，得9=m ；当焦点在ｙ轴上时，3181=-m ，得964=m ． (2) 3171--或 解析：当焦点在x 轴上时，7)28(2=+++n n ，得1-=n ；当焦点在y 轴上时，7)2()82(=--+--n n ，得317-=n ．(3) )161,0(a 解析：抛物线方程的标准式为y ax 412=．8.3解：(1)（基本轨迹法） 设)0,5(,)0,5(21F F -，动圆半径为R ，则31+=R PF ，12+=R PF ，221=-PF PF ，由双曲线定义，点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的一支，1=a ，24,52==b c ，它的轨迹方程是)1(12422≥=-y x y ． (2) (转移法) 设),(),,(00y x C y x G ，则3,300yy x x ==，即y y x x 3,300==，代入椭圆得1144)3(324)3(22=+y x ，又三角形中三点不共线，0≠∴x , 所以重心G 的轨迹方程是)0(1163622≠=+x y x ．8.4 解： )0,2()0,2(21F F -，当x PQ ⊥轴时, )3,2(,)3,2(-Q P ，12=S ； 当AB 与x 轴不垂直时, 设直线)0)(2(:≠-=k x k y PQ ,代入椭圆方程得0481616)43(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+=+, 2222243)1(24431241k k k k k PQ ++=+++= , 点1F 到直线PQ 的距离 214kk d +=,由此得222222)43()1(484314821k k k k k k d PQ S ++=++== , 设t k =+243，其中3>t ，则232112t t S --=随t 的增大而增大，120<<S ， 所以PQ F 1∆面积S 的取值范围是(]12,0.(2)设直线2)1(:+-=x k y l ， 代入双曲线方程4422=-y x 得[]01)2(4)2(8)41(222=+-----k x k k x k ，[]0)543(161)2()41(16)2(6422222=+--=+--+-=∆k k k k k k ，得3192±-=k ， 双曲线的渐近线斜率为21±，如图，可知直线l 的斜率范围是)21,3192(---． 8.6解：)0,2(-F ,当x l ⊥轴时,)214,1(P ,)214,1(-Q ,不合． 设直线)1(:-=x k y l ，代入椭圆得0824)21(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则 ,2142221kk x x +=+22212182k k x x +-=, 2212212212214))(1()1()1)(2()2)(2(k x x k x x k x x k x x FQ FP +++-++=--+++=⋅=2222222421)2(421)82)(1(k k k k k k k +++-++-+=02141122=+-k k ,得112±=k , 所以直线的方程为)1(112-±=x y ．9.1解：(1) 373)4242(433122=⋅⨯++=V ． (2)表面积ππππ425)41(4122=⋅++⋅+⋅=S ，体积ππ284)4161(31=⋅++=V ． 9.2解：(1)取AB 中点O ，连OC ，则AB PO ⊥，ABC PAB 面面⊥ ，ABC PO 面⊥∴， ABC PC PCO 与面就是∠∴所成的角，103010232tan 10232==∠==PCO OC PO ，，， 所以所求角的正切值为1030．。
易错点专题一：集合与简易逻辑
易错点专题一：集合与简易逻辑一、选择题1．已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ） A ．}1{ B ．}41{<<x x C ．{}13, D ．{1，2，3，4}2．已知全集I ={大于3-且小于10的整数}，集合{0,1,2,3}A =，{4,2,0,2,4,6,8}B =--，则集合B A C I )(的元素个数有 ( )A.3个B.4个C.5个D.6个3．已知集合M={y|y =x 2＋1,x∈R},N={y|y =x ＋1,x∈R}，则M∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1}4．设,a b R ∈，集合，则b a -=（ ） A ．1 B ．2-5．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10><a a 或 B. 10≥≤a a 或 C. 10≤≤a D. 10<<a 6．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x ∈A,y ∈B ｝中的元素的个数为A 、5B 、4C 、3D 、27．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）A.3B.6C.8D.108，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）39．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件10．命题“若αtan α=1”的逆否命题是A 、若αtan α≠1B 、若αtan α≠1C 、若tan α≠1，则α、若tan α≠1，则α11．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ） A 、(1,2) B 、[1,2) C 、(1,2] D 、[1,2]12（B （C （D二、填空题13．已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .14．若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂=15．2{|3100}A x x x =-->，{|121}B x a x a =+≤≤-，U R =，且A C B U ⊆，求实数a 的取值范围16．（1（217．已知直线2121//,023)2(:6:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a = .18．下列说法：①当2ln 1ln 10≥+≠>xx x x 时，有且；②∆ABC 中，A B >是sin sin A B > 成立的充要条件；③函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）平移得到；④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >.；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。
集合重点难点易错题完整版
集合与简易逻辑（重点、易错点）一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q中元素的有________个。
（答：8） （2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）； （3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_ _个 （答：7） 二．遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝__ _.（答：10,1,2a =）已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．（答：m>－4）三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n.22-n 如 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有___个。
（答：7）四．集合的运算性质：⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆； ⑶A B ⊆⇔B C A C U U ⊇；⑷B A B C A U ⊆⇔Φ=⋂； ⑸B A U B A C U ⊆⇔=⋃； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C AB C A C B =.如：（1） 设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝__ __，B ＝__ _. （答：{2,3}A =，{2,4}B =）（2） 设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．（答：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}）五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
高二数学集合与简单逻辑期中易错知识点
高二数学集合与简单逻辑期中易错知识点数学不只是一门迷信，而且是一种普遍适用的技术。
数学是迷信的大门和钥匙。
接上去小编和大家一同看一看高二数学集合与复杂逻辑期中易错知识点。
2021高二数学集合与复杂逻辑期中易错知识点第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此关于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种状况出现。
在实践解题中，假设考生思想不够缜密，就有能够无视第三种状况，招致结果出错。
尤其是在解含有参数的集分解绩时，要充沛留意当参数在某个范围内取值时所给的集合能够是空集这种状况。
空集是一个特殊集合，考生因思想定式遗忘集合招致结果出错或不片面是罕见的错误，一定要倍加留神。
第二、无视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字母参数的集合，实践上就隐含着对考生字母参数掌握水平的要求。
在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再逐一详细处置。
第三、四种命题结构不明假定原命题为〝假定 A那么B〞，那么逆命题是〝假定B那么A〞，否命题是〝假定┐A那么┐B〞，逆否命题是〝假定┐B那么┐A〞。
这里将会出现两组等价的命题：〝原命题和它的逆否命题等价〞，〝否命题与逆命题等价〞。
考生在遇到〝由某一个命题写出其他方式命题〞的题型时，要首先明白四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
在否认一个命题时，要记住〝全称命题的否认是特称命题，特称命题的否认是全称命题〞的规律。
如对〝a，b都是偶数〞的否认应该是〝a，b不都是偶数〞，不是〝a ，b都是奇数〞。
第四、充沛必要条件颠倒两个条件A与B，假定A=>B成立，那么A是B的充沛条件，B是A的必要条件;假定B=>A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充沛条件;假定AB，那么AB互为充沛必要条件。
考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充沛性与必要性，一定要依据充要条件的概念作出准确的判别。
第五、逻辑结合词了解不准确在判别含逻辑结合词的命题时，考生很容易因了解不准确而出错。
高中数学80个易错题汇总
高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。
错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。
正确结果：A B =B【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。
错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)}正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。
反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知A = {x | 2a <x <a 2}, B = {x | -2 <x < 1} ，且A ⊆B ，求a 的取值范围。
错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。
正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A ⊆B 就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。
尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。
考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{ a + 2 , (a +1)2 , a2 + 3a +3 }，求实数a 的值。
错解：a =-2, -1, 0剖析：忽视元素的互异性，其实当a =-2 时，(a +1)2 = a2 + 3a + 3 =1；当a =-1时，a + 2 = a2 + 3a + 3 =1；均不符合题意。
正确答案：a = 0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
高三数学《集合、简易逻辑和函数》易错问题成因探究
《集合、简易逻辑和函数》易错问题成因探究 某某洋县中学 （723300） X 大鸣同学们在平时学习和解题中，经常会碰到这样的的一类问题“一看似懂，一做就错；老师一点似明，再做又错”，这类问题成称之为“易错问题”。
“易错问题”考查的知识点和数学能力不一定很难，但其中设置了很容易使学生形成错觉的知识障碍。
本文对高中数学《集合、简易逻辑和函数》这一章易错问题的成因进行归纳和分析，并给出相应的策略。
一 集合与简易逻辑 1 忽视符号的含义A 对某地农村家庭拥有电器情况调查如下：有电视机的占有60%；有洗衣机的占有55%；有电冰箱的占有45%；至少有上述三种电器中的两种及两种以上的占有55%；三种电器都有的占20%。
那么没有任何一种电器的家庭占有的比例是将文字语言翻译成集合语言，借助容斥原理的公式及图形语言表示，用容斥原理求解，可以做到“既不重复又不遗漏”.阅读理解的基础上，依题意，对同类元素分类，用集合的图形表示如下图，由至少有上述三种电器中的两种及两种以上的占有55%；三种电器都有的占20%。
，则x+y+z+20%=55%,所以x+y+z=35%.至少有一种电器的家庭占的比例，用容斥原理有60%+55%+45%-(x+20%)-(y+20%)-(z+20%)=120%-(x+y+z)=85%,由补集思想，没有任何一种电器的家庭占的比例为1-85%=15%. B 设两复数集(){},R t ,t i t z z M ∈-+==24，(){},R ,sin i cos z z N ∈θθ+λ+θ==32的交集为非空集，求λ的取值X 围.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-7,169；由M ∩N=φ,则有z 1=z 2得 t=2cos θ,4-t 2 =（λ+3sin θ），且t ∈R, θ∈R 消取t 有，λ=4-4cos 2θ-3sin θ=4sin 2θ-3sin θ=4(sin θ-3/8)2-9/16,当sin θ=3/8时，λ有最小值-9/16，当sin θ=-1时，λ有最大值7.故λ的取值X 围⎥⎦⎤⎢⎣⎡-7169,.2 忽视空集的研究已知集合A={}2,1-. B={}01|=+mx x ,若B B A = ,则所有实数m 组成的集合为（ ） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,0,21 3 忽视代表元素的认识函数定义在R 上，对任意实数n,m ，恒有()()()n f m f n m f =+，且当>x 时，()10<<x f .若集合()()()(){}()(){}Ra ,y ax f y ,x B ,f y f x f y ,x A ∈=+-=>=12122，若φ=B A ，某某数a 的取值X 围.创造使用对应法则和题设条件研究单调性，理解集合意义，化归直线和圆的特殊位置求解.赋值，用定义和题设证明减函数.设()100121221<-<∴>-<x x f ,x x ,x x ，用对应法则()()[]()()()()()()12121211211210x f x f ,x f x f ,x x f x f x x x f x f <∴<<∴-=-+=，即()x f 为实数上的减函数.由法则和单调性A为02122=+-<+y ax B ,y x 为上的点，φ=B A ，则单位圆和恒过定点的直线系相离或相切，即1122≥+a ，解得实数a的取值X 围为[]33,-. 4 忽视元素的特性A 设集合M={}Z k ,k x x ∈=3，P={}Z k ,k x x ∈+=13，Q={}Z k ,k x x ∈+=23，∈-+∈∈∈c b a ,Q c ,P b ,M a 则（ ） A PB QC MD P M BB 已知 (){}33,1,2122++++∈a a a a ，某某数a 的值； （0）；5 忽视隐含条件的挖掘设全集{}{},2,12,32,3,22-=-+=a A a a U Çu A=｛5｝，某某数a 的值 （2） 6 忽视等价转化，充要条件的判断不彻底和完备。
高中数学 选考易错题 分类解析 1 .集合易错题 含答案
高中数学易错题分类解析姓名：*** 教师：*** 授课时间:*** 课题：易错题分类解析考点1集合与简易逻辑集合的概念与性质集合与不等式集合的应用简易逻辑充要条件集合的运算逻辑在集合中的运用集合的工具性真假命题的判断充要条件的应用教学反馈教师评价本周作业建议经典易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是( )A.M=P B．P⊂MC.M⊂P D．C UM P=ø[考场错解] D[专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．[专家把脉]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(Pˆ C N Qˆ) (Qˆ C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝[考场错解] D P C N Q=｛6，7｝．Q C N P=｛1，2｝．故选D．[专家把脉]未理解集合Pˆ的意义.[对症下药] B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴Pˆ C N Qˆ=｛1｝. Pˆ C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A,有x ∉B；②A B⇔ A B=ø;③A B ⇔ A B;④A B⇔存在x∈A, 使得x∉B.其中真命题的序号是_____.[考场错解]∵A B，即A不是B的子集，对于x ∈A，有x∉ B;A B=ø，故①②④正确．[专家把脉]对集合的概念理解不清．∵A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x∈ A，使得x∉ B.不是对任意x ∈A,有x ∉B，故④正确．“A B”是“任意x ∈A，有x∉B”的必要非充分条件．②同①.[对症下药]画出集合A，B的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B但B⊆A，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④5．(典型例题Ⅰ)设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是( ) A ．（C I A ） B=IB ．(C I A) (C I B)=I C ．A (C I B)=øD ．(C I A) (C I B)= C I B[考场错解] 因为集合A 与B 的补集的交集为A ，B 的交集的补集．故选D ． [专家把脉] 对集合A ，B ，I 满足A ⊆B ⊆I 的条件，即集合之间包含关系理解不清．[对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.从图中可观察A 、C 、D 均正确，只有B 不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B 错误． 专家会诊1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A=ø或A ≠ø 两种可能，此时应分类讨论．考场思维训练1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4} C ．{2，3，4} D ． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N={},12|,121|+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤x x N x x 得C U N={}{}4,3)(,12|=⋂∴+N C M x x U 2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是 ( )A.x 0y 0∈M B ．x 0y 0∉M MM C.x 0y 0∈N D ．x 0y 0∉N 答案： C 解析：∵x o..2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x，x ∈R}，则 ( ) A ．M ∩N=Ø B ．M=NC. M ⊃ND. M ⊂N 答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．15答案：解析：{},6,0=B 它的子集的个数为22=4。
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集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；及集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N;以及M={x ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2x ∈R},Q={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},求M ∩N ，M ∩Q ，Q ∩N 的区别。
3． 区别∅及{∅}。
∅:表示空集，{∅}：不是空集，是指含∅的一个元素。
4． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，注意“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合子集B A ⊆时否忘记∅. eg. ()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 范围，讨论了a ＝2情况了吗？5． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个6． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？7． 两集合之间的关系。
},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==(C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B)(C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8.可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p 、q 形式的复合命题的真值表:9.命题的四种形式及其相互关系互逆 逆互 互互 为 互 否 逆 逆 否 否 否互 逆原命题及逆否命题同真同假；逆命题及否命题同真同假. 注意区别否命题及命题的否定。
10.对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中及它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11.函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f --=+或f （2a-x ）=-f （x ），那么函数()x f y =的图象关于点（a,0）对称.③函数()x f y =及函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =及函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =及函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．⑤若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑥函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=的定义域是；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14.含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
若函数y =a sin 2x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达15.函数及其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()().b f 1a b a f =⇔=-互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称,16.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．17. 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数及一个偶函数的乘积是奇函数;18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
19.知道函数的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20.解对数函数问题时，你注意到真数及底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b abb a n ac c a n log log ,log log log ==） 22.还记得对数恒等式吗？（b a b a=log ）23.“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？24.c bx ax x f ++=2)(,区别f(x)恒大于0，及f(x)能取大于0的全体数情况。
25.函数值的求法 （1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：例2. 求函数的值域。
解：∵故函数的值域是：（2）配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]（3）判别式法例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）当时，解得： （2）当y=1时，，而故函数的值域为例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1） ∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=4)1x (y 2+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆0x =)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42≥-+=∆21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥∆0y x )1y (2x 222=++-0≥∆2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴]2,0[22222x 41∈-+=原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
（4） 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：（5） 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为（6）函数单调性法 例9. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数]21,0[+53x ≠0e x >1y 1<<-)1,1(-y 3x cos x sin y =-y3)x (x sin 1y 2=β++R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =-+=-339log 2y 35max =+=1x 1x y --+=1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为（7） 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数的值域。
解：令，则∵又，由二次函数的性质可知 当时，当时，故函数的值域为例12. 求函数的值域。
解：因即故可令 ∴∵故所求函数的值域为例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。
故所求函数的值域为例14. 求函数，的值域。