一次函数图象的应用

一次函数图象的应用

教学目标与要求：

1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。

2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。

3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。 二、学习指导

本讲重点：（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。

（2）正确地根据图象获取信息。

本讲难点：（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。 （2）从函数图象中正确读取信息。 考点指要

一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查． 三．典型例题

例1 求下图中直线的函数表达式：

分析： 观察图象可知：该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），而经过两点的直线可由待定系数法求出。 解：设y=kx+b ，

∵x=2时，y=0；y=3时x=0 ∴2x+b=0且0x+b=3

∴3,23

=-

=b k ∴32

3

+-=x y

例2 作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求: （1）当2,0,4-=x 时，y 的值。

（2）当3,1,2

1

-

=y 时，x 的值。 （3）解方程315.0,115.0,2

1

15.0=+=+-=+x x x

（4）结合（2）（3），你能得出什么结论？

（5）若解方程0.5x+1=0

（6）何时y>0，y=0，y<0? 解：列表得

描点、连线得函数图象：

（1）由图象可知：当2,0,4-=x 时，相应的y 值分别为-1、1、2. （2）由图象可知：当3,1,2

1

-

=y 时，相应的x 值分别为-3、0、4. （3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4. （4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为3,1,2

1

-

时，相应的自变量的值即为方程315.0,115.0,2

1

15.0=+=+-=+x x x 的解。

（5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。它的几何意义是：直线y=0.5x+1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。 （6）由图象可知，当x<-2 时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2 时，y>0。 说明：要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。

例3 一根弹簧长15cm ，它能挂的物体质量不能超过18kg ，并 且每挂1kg 就伸长0.5cm 。写出挂上物体后的弹簧长度y （cm ） 与所挂物体的质量x （kg ）之间的函数关系式，并且画出它的图象。

解：152

1

+=

x y （0 ≤x ≤18） 经过点A （0，15）、B （18，24）作函数图象

说明：要注意函数自变量的取值范围。本题图象为线段AB ，而不是直线。

例4 某医药研 究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成人按规定服药后：

（1）服药后 时，血液中含药量最高为每升 微克，接着逐步衰减； （2）服药后5小时，血液中含药量为每升 微克； （3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是 ； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是 ；

（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 时。 解： 由图象可知：

（1）服药后2时，血液中含药量最高为每升6微克，接着逐步衰减。

（2）服药后5小时，血液中含药量为每升3微克。

（3）当x ≤2时，设y=kx ，

∵（0，0）、（1，3）在图象上， ∴解得k=3，

∴y 与x 之间的函数关系式是y=3x 。

-1

（4）当x ≥2时，设y=kx+b ∵(2，6)、(5，3)在图象上，

∴⎩⎨

⎧=+=+3

56

2b k b k

解得⎩

⎨⎧=-=81b k

∴y 与x 之间的函数关系式是y=8-x 。

（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么由图象可知这个有效时间范围是1～5时。

说明： 由函数图象写函数关系式及由函数图象获取相关信息是本讲的重点内容。 例5 若一次函数y=kx-3的图象与x 轴、y 轴的交点之间的距离为5，求此函数的表达式。 解：由题意k ≠0,且直线y=kx-3与x 轴、y 轴的交点分别为（0,3

k

）、（3,0-） 由勾股定理得，2

22

)3()3

(5-+=k 解得3

4±=k 33

4

-±

=x y 说明：直线y=kx+b 与x 、y 轴的交点分别是（0,k

b

-

）、（b ,0），这在解题时经常用到。 例6 知a 为任意实数，且y=ax+1-2a 的图象经过一个与a 无关的定点，试求该定点的坐标。

解：不妨令a=1，得y=x-1 ；再令a=2，得y=2x-3

联立得，x=2、y=1 即它俩都过点（2，1）

又因为y=ax+1-2a 中，当x=2时，y=2a+1-2a=1 因此其图象必过定点（2，1）

说明：事实上，随着a 的变化，直线y=ax+1-2a 也不相同，但它们都经过定点（2，1）。这里，先在特殊情形下求交点，再验证一般情形也符合，进而得到一般情形下的结论。