直线和圆锥曲线位置关系教学设计
直线与圆锥曲线位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系(学案)B一、知识梳理：1.直线与圆锥曲线位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组办法来研究,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程:ax2 +bx+x=0(1)当0时,则有下表中的结论(方程的判别式2-4ac)(2)当0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C 为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.2.常用方法及公式(1).把研究直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题;(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要注意用判别式检验根存在性;(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题,弦长公式:设A(x),B(,y2),则|AB|==(方程是x的方程); |AB|==(方程是y的方程),当直线斜率不存在时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可根据定义求解.(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为方便,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存在.二、题型探究[探究一]：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1:直线y=kx+1与双曲线的右支有两个不同的公共点,求实数K的取值范围.[探究二]:弦长问题例2: 已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,记的面积为S,(1)在k=0,的条件下,求S的最大值.(2).当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程.[探究三]:有关弦的中点问题例3:已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点.设过F的直线交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB方程及|AB|.三、方法提升：1、直线与圆锥曲线的公共点问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组的实数解的问题，此时要注意分类讨论与数形结合的思想方法；2、关于直线与圆锥曲线的相交弦问题则结合韦达定理采用设而不求的办法；3、合理引入参数表示点的坐标，减少变量。
直线和圆锥曲线位置关系教学设计
数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳, 总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法。
高中数学教学设计
教学 课题 课程 类型 课时 理论 依据
编写人:管雨坤
直线和圆锥曲线的位置关系 复习课 一课时 有效学习策略：视觉比听觉效果好，所以用多媒体几何画板和板书；自己动手比看效 果好，所以学生要落实好；讲给别人听比自己做一遍效果更好，所以小组合作。 本节课是平面解析几何的核心内容之一。 本节内容是 《直线与圆锥曲线的位置关系》 的 第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、 分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与 圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是 解析几何的核心内容之一。 本节内容在高考中的地位：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、 压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和 解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能。 数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类 比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准 的方法。
ax2 bx c 0
a 0时, b 2 4ac (1) 0 相交 (2) 0 相切 (3) 0 相离
学生独立思考，培养 学生的独立思考能 力以及思维的严密 性。 （1）观察图形中 的直线与圆锥曲线 （2） C 的位置关系： 可以利用直线方程 与圆锥曲线方程组 成的方程组，消去某 个变量（x 或 y）后， 所得的方程根的情 况来研究
直线与圆锥曲线的位置关系教案
课题：直线与圆锥曲线的位置关系授课者：滦县第十中学陈智勇高考要求1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法4会用弦长公式|AB|=21k|x2－x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等一、复习目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。
4、 要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。
《直线与圆锥曲线的位置关系》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】
《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计第一课时◆教学目标1．清楚直线与抛物线的关系，提升学生的数学抽象素养．2.．会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题，提高学生的逻辑推理素养．3．加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：直线与抛物线的三种位置关系教学难点：会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习直线与抛物线的位置关系（2）本节课是学生在学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系的基础上，研究直线与抛物线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用．本节内容也是高考的重点与热点内容．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．（引出课题：直线与圆锥曲线的位置关系）例4：已知点)2,0(A 和抛物线x y C 6:2=，求过点x 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.师生活动：根据上一节学习方法，尝试解决本例．预设的答案:当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点)2,0(A 可知，直线l 就是y 轴，其方程为0=x ，由消去未知数x 得02=y .这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线0=x 与抛物线C 相切如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为2+=kx y ，由方程组⎩⎨⎧=+=xy kx y 622，消去x ，整理得01262=+-y ky .为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有0124)6(02=⨯--≠k k 且，因此可解得43=k ，此时直线l 的方程为0843,243=+-+=y x x y 即. 综上可知，直线l 的方程为08430=+-=y x x 或.教师讲解：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．设计意图：求经过抛物线外一点且与抛物线相切的直线的方程.本题一方面可以考查直线方程斜率存在和斜率不存在两种情况的分类讨论，另一方面也可以通过数形结合认识到从抛物线外一点可作两条切线，若联立方程只求出一条，那么另一条切线的斜率不存在.让学生分析研究的路径并找出合适的方法，激发进一步探究的欲望．问题3：通过上述例题，请同学们总结直线l 与圆锥曲线C 位置关系的判断方法． 师生活动：教师指导学生总结，学生总结完发言．预设的答案:判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0=++C By Ax (B A ,不同时为0)代人圆锥曲线C 的方程0),(=y x F ，消去y (或消去x )得到一元方程02=++c bx ax ．(1)当0=a 时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点.此时，若C 为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行．(2)当0≠a 时，若0>∆，直线l 与圆锥曲线C 相交，有两个不同的交点;若0=∆，直线l 与圆锥曲线C 相切，有唯一的公共点(切点);若0<∆，直线l 与圆锥曲线C 相离，没有公共点．设计意图：通过对例题的总结，得出一般性的结论，有助于学生的理解，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．例5：已知直线2:-=x y l 与抛物线y x C 62-=：相交于B A ,两点，且O 为坐标原点.(1)求弦长|AB|;(2)判断⊥OA OB 是否成立，并说明理由.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)设),(),,(2211y x B y x A ，则2122122)()(||y y x x AB -+-= 因为),(),,(2211y x B y x A 都是直线2:-=x y l 上的点，所以⎩⎨⎧-=-=222211x y x y第二式减去第一式可得1212x x y y -=-，从而2122122122)(2)()(||x x x x x x AB -=-+-=又因为从方程组⎩⎨⎧-=-=262x y y x ，中消去y ，整理可得01262=-+x x ，而且21,x x 是该方程的两个根，因此由韦达定理可知⎩⎨⎧-=-=+1261212x x x x ，所以844)()(12212212=-+=-x x x x x x ， 因此168||2=AB ，从而可知422168||==AB ．(2)设),(),,(2211y x B y x A ，则因此2121y y x x OB OA +=⋅将⎩⎨⎧-=-=222211x y x y 代入上式可得1212121222()80⋅=+=-+=-≠OA OB x x y y x x x x所以⊥OA OB 不成立．设计意图：解法中，同以前一样，我们设了A ，B 两点的坐标，但是解题过程中并没有实际求出，因此使用的也是“设而不求”的方法.该题当然也可以先求出A 与B 的坐标，然后再求弦长，并验证垂直是否成立．四、归纳小结，布置作业问题5：什么是弦长？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解弦长的一些基本概念．布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C.D. 8 设计意图：考查学生对椭圆的几何性质的基本判断．2直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．()()1,55,⋃+∞D ．[)()1,55,⋃+∞设计意图：考查学生利用椭圆的几何性质求椭圆方程．3．过点M （1，1）的直线与椭圆1342222=+y x 交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4x +3y ﹣7=0B ．3x +4y ﹣7=0C ．3x ﹣4y +1=0D ．4x ﹣3y ﹣1=0 设计意图：考查学生对椭圆离心率的理解．参考答案：1．D 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |y 1﹣y 2|=.=△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2=4t =±1，则|AB |=.=8，故选：D.2．【答案】C3．B 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程可得：134221221=+y x ，134222222=+y x 两式相减可得：03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x 解得43-=k 则直线AB 的方程为：3x +4y ﹣7=0．故选：B ．。
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
高中数学_直线与圆锥曲线的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
菏泽第一中学《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计设计人：直线与圆锥曲线的位置关系教学设计设计人：【教材分析】圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．【教学目标】1.知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系2.过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力3.情感、态度与价值观：让学生欣赏圆锥曲线曲线之美，体会数形结合和方程的思想在解决几何问题中的价值，体验探索的乐趣，增强学习数学的乐趣。
【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题，对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究，直线与圆锥曲线的综合应用。
【教学程序与设计环节】——与以前所学知识类比，引起认知上的冲突——通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法——在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视——师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问——巩固本节课的知识及方法【教学过程与操作设计】【情景一】 问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成椭圆、双曲线、抛物线，又有怎样的位置关系呢？如何判定？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】讨论题组1题型一：直线与圆锥曲线的公共点问题1.直线y=kx-k+1与椭圆 14922=+y x 的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (0，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 13.直线2+=kx y 与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，则k 的值为4（A ） 1 (B) 1或3 （C ）0 (D) 1或04.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法，注意利用数形结合。
02 教学设计_直线与圆锥曲线的位置关系(第1课时)(2)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（1）本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上，研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用。
本节内容也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题多媒体从学生的认知基础看，学生已学过椭圆及其几何性质，对椭圆性质比较熟悉，对直线与圆位置关系也比较熟悉，并且对图像也有所了解，但还不能做到熟练综合运用椭圆的方程性质解决相关问题,特别对含参数的性质研究还是力不从心的。
从学生的思维发展(1)求△ABF 2的周长;(2)若l 的倾斜角是45°,求△ABF 2的面积. 解:(1)由x 216+y 27=1,知a=4,△ABF 2的周长=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a+2a=4a=16. (2)由椭圆方程x 216+y 27=1,可得F 1(-3,0),F 2(3,0),又l 的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l 的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程,整理得23x 2+96x+32=0, ∴x 1+x 2=-9623,x 1x 2=3223,|AB|=√(1+1)×[(-9623)2-4×3223]=11223. 设点F 2到直线l 的距离为d ,则d=|3-0+3|√2=3√2.∴S △ABF 2=12|AB|·d=12×11223×3√2=16823√2.四、小结五、课时练看,高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,思维的独立性和批判性相比高一有明显提高。
直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响 五、课堂活动设计 【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？ 【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系 探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？ 生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？ 生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？ 任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？ 【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -， 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-， 即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。
高三数学教案 直线与圆锥曲线的位置
高三数学教案直线与圆锥曲线的位置高三数学教案直线与圆锥曲线的位置一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离;有两组解必相交;一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：= 或当存在且不为零时，(其中( )，( )是交点坐标)。
②抛物线的焦点弦长公式|AB|= ，其中为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。
一是直线与抛物线的对称轴设，由韦达定理得在抛物线上，(2) 解：设直线与轴交于N，又显然令[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m 代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0，设B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，则y0=(y1+y2)/2=-2k。
x0=2k2+m，∵点M(x0，y0)在直线上。
-2k(2k2+m)+3，m=- 又BC与抛物线交于不同两点，⊿=16k2+16m0把m代入化简得即，解得-1[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
【例5】已知椭圆的一个焦点F1(0，-2 )，对应的准线方程为y=- ，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。
直线与圆锥曲线教学设计
直线与圆锥曲线一、 教学目标1、能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题。
2、能够正确运用圆锥曲线的定义和标准方程解决焦点弦问题、焦点三角形问题、弦中点问题。
二、教学难点直线与圆锥曲线的位置关系，几何图形和代数方程的相互转化。
三、知识梳理 1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 几何角度：无公共点，一个公共点，两个公共点； （2） 代数角度：将直线0=++C By Ax 与圆锥曲线联立得02=++c bx ax ；① 若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合） ② 若a ≠0,设ac b 42-=∆当∆ > 0时，直线与圆锥曲线交于不同的两点； 当∆ < 0时，直线与圆锥曲线相切与一点； 当∆ = 0 时，直线与圆锥曲线无公共点。
2、弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，则||1||122x x k PQ -+=或||11||122y y k PQ -+=。
四、课前热身1、直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，设直线m 的斜率为k 1,直线OM 的斜率为k 2,则k 1*k 2=2、已知直线y=2x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有交点，则双曲线离心率的范围为3、过点P （0，2）的直线和抛物线x y 82=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点M 在直线X=2上，求|AB|=4、若直线3)2(+-=x k y 和曲线42-=x y 有两个不同的公共点，则k的范围为____________5、已知直线l: 01243=+-y x 经过椭圆C 的一个焦点和短轴的一个顶点，求椭圆的标准方程及离心率。
五、典型题析热点一 直线与圆锥曲线的位置关系问题例1、 若曲线ax y =2与直线1)1(-+=x a y 恰有一个公共点，求实数a 的值解析: 若0=a ，则曲线变为y=0，与直线y=x-1必有一个交点；若0≠a ，则由⎩⎨⎧=-+=axy x a y 21)1(得，01)23()1(22=++-+x a x a① 当0)1(2=+a 即1-=a 时，01=+x 1-=∴x 有一个公共点； ②当0)1(2≠+a 时，0)1(4)23(22=+-+=∆a a54-=∴a 有一个公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。
2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。
六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。
《直线与圆锥曲线的位置关系》教案全面版
(4) 显然当 l ox 时，弦 CD 不存在．
当 l 不与 x 轴垂直时，设
C(
c2 , c) ， D ( 2p
d2
,
2p
d ) ，且
c ≠ d ，则 kCD
=
2p cd
．
若 l ⊥ CD ，则 kl =- c d 2p
∵ kl ≠0，∴ c d ≠ 0
设线段 CD 的中点为
M
(x0 , y0 ) , 则
A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，证明 :(1)焦点弦公式 AB = x1 x2 p ； (2) 若 l 的倾斜角为
2p ，则 AB = sin 2
11
； (3)
+
为常量； (4) 若 CD 为抛物线的任何一条弦，则直
FA FB
线 l 不可能是线段 CD 的垂直平分线． 分析 ： 已知直线 l 过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程
2
2a 1 a2
,
5 12
x22
2
2
2a 1 a2
．消去
x2 , 得
2a 289 1 a 2 = 60
由 a 0, 所以 a = 17 ． 13
小结： 本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，
考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此
2
2
( 2 ,+ ∞ ).
(2) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , P (0,1) ．∵ PA =
5 12
PB
∴
5
(x1, y1 1)
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
教学设计4：§2.5直线与圆锥曲线
§2.5直线与圆锥曲线一、教学目标1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.如图.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ①x 24＋y 22＝1 ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程③的判别式 Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点. (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.例2 已知点A (0，2)和抛物线C ：y 2=6x ，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.解：当直线l 斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x =0. 由206x y x=⎧⎨=⎩得y 2=0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0，0)，即直线l 与抛物线C 相切. 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =kx +2. 这个方程与抛物线C 的方程联立，得方程组226y kx y x=+⎧⎨=⎩ 由方程组消去x ，得方程 ky 2-6y +12=0.①当k =0时，得-6y +12=0,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(,2)3. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ=36-48k .由 Δ=0，得k =34，可知此时直线l 与抛物线C 由两个互相垂直重合的公共点，即它们相切，直线l 的方程为32,4y x =+ 即3x -4y +8=0.因此，直线l 的方程为x =0，或3x -4y +8=0.直线与圆锥曲线相交由两个焦点时，这条直线上以这两个焦点为观点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.例3 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=右焦点F 2，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解：椭圆的右焦点F 2的坐标为（1,0），直线AB 的方程为y =2(x -1).由方程组222(1)154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1102x y =⎧⎨=-⎩225343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此A (0，-2),B 54(,)33，从而得弦AB 的长||AB ==3= 例4 有一椭圆形溜冰场，长轴长100m ，短轴长60m.现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解析】因为椭圆和矩形都是中心对称图形，又矩形的各顶点在椭圆上，所以它们有同一个对称中心.同时，椭圆关于长轴、短轴分别所在的直线都对称，可知此矩形也关于这两条直线都对称.因此，以这两条直线建立平面直角坐标系，可利用椭圆的方程及矩形所要满足的条件来解决问题.解：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，如图建立直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上.因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD 关于原点O 即x 轴，y 轴都对称.已知椭圆的长轴长 2a =100(m)，短轴长2b =60(m)，则椭圆的方程为222215030x y +=设顶点A 的坐标为（x 0,y 0），x 0>0,y 0>0,则22002215030x y +=因此222200230(50)50y x =-根据矩形ABCD 的对称性，可知它的面积S =4x 0y 0.由于2222220000230(50)50x y x x =⋅-242200230(50)50x x =-+ 2242202305050[()].5024x =---+ 因此，当 220502x =时，x 02y 02达到最大值，同时S =4x 0y 0也达到最大值.这时00252,152x y == 矩形ABCD 的周长为004()4(252152)1602x y +=+=m因此在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距252m （约35.35m ）的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形区域的周长为1602 m ，约等于226.27m.(三)小结：本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件． (四)布置作业1.顶点的原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得弦长|AB |＝35，求抛物线方程． 解 设抛物线y 2＝ax (a ≠0)，将y ＝2x －4代入得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即x 1，x 2为方程4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0的两个根，则有x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（a ＋164）2－16.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·（a ＋164）2－16. 又∵|AB |＝35，∴a ＝4或a ＝－36.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .2.已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2，1)，过点D 任意引直线交椭圆于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 12＋9y 12＝36，4x 22＋9y 22＝36.①②①－②得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∵M (x ，y )为AB 中点， ∴x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y . ∴4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 9y .又k ＝y －1x －2，∴y －1x －2＝－4x 9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.∵当x 1＝x 2时，中点M (2，0)满足上述方程， ∴点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.。
高中数学直线与圆锥曲线的位置关系教学设计
〔三〕应用
〔四〕小结
〔五〕作业
(一)问题提出
直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？
(二)课前测试
〔三〕例题分析
〔四〕小结
〔五〕作业
讲授
学生解答，指名汇报
多媒体课件
电子白板
板书设计
(一)问题提出(二)讲授新课
〔三〕应用〔四〕小结
〔五〕作业
课后教学
反 思
*〔应包括对交互式白板、网络环境、一对一数字化学习环境的应用反思：对教学的改善、应用前后教学效果比照、过程和结果的思考等〕
注：纸张不够可加页
(三)学科渗透点
通过直线与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．
教材分析ห้องสมุดไป่ตู้
1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
(解决方法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)
2．难点．直线与双曲线的位置关系的判定方法
(解决方法：利用判别式法和内点法进行讲解．)
3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．
(解决方法：用图形向学生讲清楚这一点．)
学习者分析
未知
教学重点
教学内容
措 施
媒体、资源应用策略
直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
图形结合
电子白板
教学难点
教学内容
措 施
媒体、资源应用策略
直线与双曲线的位置关系的判定方法
图形结合
电子白板
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
媒体、资源使用及方析
(一)问题提出
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教学 手段
学案辅助教学，多媒体展示，几何画板展示，投影仪，扫描仪，讲练结合
教学过程设计 教 学 教学内容 步 骤 教师活动 学生活动 设计意图
3
多媒体展示通过观察图形：直观判 断直线与圆的位置关系类比判断 直线与圆锥曲线 C 的位置关系。 观察图形：直线与圆 锥曲线的位置关系 有三种： 相交、 相切、 相离。类比到直线与 圆锥曲线 C 的位置 关系，即：相交、相 切、相离。从交点的 个数相交（二个） 、 相切（一个） 、相离 （0 个）的特征。 通过运用类比 的方法，激发 学生的探究热 情。通过观察 图形，教会学 生如何判断直 线与圆锥曲线 的位置关系， 其中有一种方 法：数形结合 的方法
ax2 bx c 0
a 0时, b 2 4ac (1) 0 相交 (2) 0 相切 (3) 0 相离
学生独立思考，培养 学生的独立思考能 力以及思维的严密 性。 （1）观察图形中 的直线与圆锥曲线 （2） C 的位置关系： 可以利用直线方程 与圆锥曲线方程组 成的方程组，消去某 个变量（x 或 y）后， 所得的方程根的情 况来研究
1、如果椭圆被
x2 y2 1的 36 9
弦被（4，2）平分，那么这弦 所在直线方程为（ ） A 、 x-2y=0 B 、 x+2y- 4=0 C 、 2x+3y-12=0 D、 x+2y-8=0 2、y=kx+1 与椭圆
课 堂 检 测
x2 y2 1 5 m
恒有公共点，则 m 的范围 （ ） 检查学生监督学生巩固一下学 学 生 通 过 练 习 巩 巩固学习效 A 、 （ 0 ， 1 ） 习效果 固所学的知识 果 B、 （0，5 ） C、 [ 1， 5） ∪ （5， + ∞ ） D、 （1，+ ∞ ） 3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦 点作倾斜角为 300 的直线，则 弦长|AB|= _______
利 用
上的椭圆， 它的离心率为
3 ， OM ON 得 x x y y 0 1 2 1 2 2
与直线 x+y-1=0 相交于两点 M、N 且 OM ON。求椭圆 的方程。
结合韦达定理建立方程。
考查椭圆 的标准方 程 ，考 查 直 线与圆锥 曲线的位 学生讨论， 小组活 置 关 系 ，突 动， 并做出来展示 出 考 查 韦 成果。 达定理的 应 用 ，考 查 待定系数 法及综合 分析与运 算能力。
数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳, 总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法。
高中数学教学设计
教学 课题 课程 类型 课时 理论 依据
编写人:管雨坤
直线和圆锥曲线的位置关系 复习课 一课时 有效学习策略：视觉比听觉效果好，所以用多媒体几何画板和板书；自己动手比看效 果好，所以学生要落实好；讲给别人听比自己做一遍效果更好，所以小组合作。 本节课是平面解析几何的核心内容之一。 本节内容是 《直线与圆锥曲线的位置关系》 的 第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、 分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与 圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是 解析几何的核心内容之一。 本节内容在高考中的地位：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、 压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和 解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能。 数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类 比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准 的方法。
（一）知识目标 1、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 ①几何法（数形结合） ②代数法 2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 3、弦长公式 4、弦中点问题 教学 目标 （二）能力目标 1、通过多媒体课件及几何画板的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力. 2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力． （三）情感目标 1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣. 2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感， 激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。 教学 方法 学法 渗透 学生分组讨论，多媒体展示，几何画板展示，投影仪，扫描仪 学生自主预习以后小组讨论，课堂师生共同探究
x2 y2 1 上的点到 4. 椭圆 16 4
直线 x 2 y 2 0 最大距离 是________.
6
板书设计 题目：直线与圆锥曲线的位置关系的判定 复习回顾 例1 例2 拓展提高 课堂小结 例 1 变式 1 例3 课堂检测 作业 教学反思
7
合 作 探 究
在椭圆
x2 y2 1 内， 求通过 16 4
点 M（1,1）且被 M 平分的弦 AB 所在直线的方程。
学生运用不同的 方 法 求 出 结 果 并 一题多法 展示。
5
拓展提高
中心在坐标原点，焦点在 x 轴
合 作 探 究
设 M (x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 )
教学设计
直线和圆锥曲线的位置关系
高二二部树学 管雨坤
1
选修 2-1
第 2 章 教学内容分析
本节课是平面解析几何的核心内容之一。 主要是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等
数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。主要题型有直线和椭圆位置关系，直线和双曲线位置关系，直线和 抛物线位置关系。方法为几何法和代
的充要条件？ 2、讨论总结得出由
Ax By C 0 f ( x, y ) 0
消去 y 得
老师提出的问题：直线与圆锥曲线 C 的位置关系的判断。 是否可以 转化为直线方程与圆锥曲线方程 有无公共点或有几个公共点的问 题。个别回答问题，在教师的帮助 下反思；进一步问： “直线与双曲 线、抛物线有一个公共点”时是否 一定能够推出“直线与双曲线、抛 物 线 相 切 ” 呢 ？
复 习 引 入
通过复习直线与圆的位置关系的 回答，类比得出直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系为：相交、相切、相 离。
用 代 数 的 方 法 来 分 析 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系
1、探究直线
l : Ax By C 0 与圆锥曲线 C : f ( x, y) 0 的 三 种 位 置 关 系
通过运用方程 思想、数形结 合、 分类讨论、 类比归纳等数 学思想方法， 优化学生的解 题思维，提高 学生解题能力
4
合 作 探 究
例 1 如图当直线分别过点 A、B、 C、D 时，分别能做几条与抛物线 y2=4x 有一个公共点的直线。
学生观察并归纳
数形结合的能 力的培养
展示几何画板
合 作 探 究
例 1 变式 1：直线过定点（0， 1）且与抛物线 y2=4x 只有一 指导学生数形结合，展示学生 学生解答并展示 个公共点，求直线的方程。 的成果，并点评，总结。 指导利用设而不求的思想和弦 长公式， 展示学生的成果，点评，总结。 例 2 弦长问题
教材 分析
学情 分析
2
教学 重点 教学 难点
理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系,感悟方程组的解的个数等于直线与圆锥曲线公共 点的个数.充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系； 在掌握共 性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。 用代数的方法（对方程组解的讨论）研究直线与圆锥曲线的公共点问题，来判断直线与圆锥曲线的 位置关系，学会弦长公式的应用。学会直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,注意数、形结合思想的渗 透;
培养学生分 类讨论的思 想
合 作 探 究
直 线
y=x-
3 与 椭 圆
x2 y 2 1 交于 A、B 两点， 4
求弦 AB 的长。
设而不求的 思想，类比 学 生 自 己 做 出 并 求直线与双 与小组同学讨论 曲线、抛物 线相交时的 弦长。
利用点差法，或者韦达定理和 中点坐标公式的综合运用。 例 3 中点弦问题
在教学中要特别重视学法的指导。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标 准方程和简单的几何性质，这为本节复习课起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》 的第一节课，着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨 论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。因为本班的学生逻辑思维有 了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,内驱力是主要的学习动力。以建构主义理论为指导, 采用着重于学生探索研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、 归纳。 在课堂结构上,根据学生的认知水 平设计了： 1.本节要点扫描；2.引出主题,精讲例题；3.能力训练,总结结论,强化认识；4.变式延伸,进行重 构这四个层次的学法；它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标。从学生的认知基础看，遵循学生 的认知规律,体现由特殊到一般,采用循序渐进的启发式教学原则。可以预先由学生通过自主探究直线与 圆、直线与椭圆位置关系的判断, 在解题过程中体会解决的数学方法,再由教师引导,自然过渡到直线与双 曲线、直线与抛物线的位置关系如何判断；激发学生的学习兴趣。同时基于本节课的特点：运算量比较 大；应着重采用：点拨思路,发散思维,小组分类讨论的教学方法。