1.2.1 集合之间的关系1

1.2.1 集合之间的关系

教材知识检索

考点知识清单

1.子集

(1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。 (2)符号： ，读作： 。 2.真子集

(1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等

(1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____．

(2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图

韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定

(1)空集是 的子集．

(2)空集是 的真子集． 6．传递性

根据子集、真子集的定义可以推知：

(1)对于集合4、B 、C ，如果A ⊆ B ，B ⊆C ，则____．

(2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则 .

要点核心解读

1．准确理解子集、真子集的概念

(1)空集是任何非空集合的真子集，即∅≠⊂A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ⊆

(3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ⊆⊆则;C A ⊆⋅若A B B,≠⊂A ≠⊂则.C A ≠⊂

2．集合相等的概念

课本中是用

B A ⊆“且A B ⊆则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或

∅==B A 时，B A =都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证

,B A =只需证B A ⊆与A B ⊆都成立． 3．符号，，“⊆∈ ≠⊂” 的区分

要注意区分，与“⊆∈⊆与≠⊂”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包

含关系，“⊆”与≠⊂均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。

4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表．

①若},{a A =则其子集可以是},{,a ∅子集个数为2；

②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ∅子集个数为4；

③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8；

④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},{b a d },,{},,{d

a c a },,{},,{d

b

c b },,,{},,{c b a

d c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16.

所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目

1 221=

2 21222=⨯

3 32222=⨯

4 43222=⨯

(2)由(1)可以猜想：若集合中有n 个元素，其子集的个数应为n

2个，其真子集的个数应为)12(-n 个．

典例分类剖析

考点1 求集合的子集或真子集

[例1]已知集合M 满足},5,4,3,2,1{}3,2{⊆⊆M 求集合M ． [解析]，(1)当M 中舍有两个元素时，M 为};3,2{

(2) 当M 中含有三个元紊时，M 为};5,3,2{},4,3,2{},1,3,2{

(3)当M 中合有四个元素时 M 为},5,1,3,2{},4,1,3,2{};5,4,3,2{ (4)当M 中含有五个元素时：M 为}.5,4,1,3,2{

所以满足条M 件集合M 为},1,3,2{},3,2{},4,3,2{},5,3,2{},4,1,3,2{},5,4,3,2{},5,1,3,2{},5,4,1,3,2{ 集合M 的个数为8．

[点拨】 对于求集合的子集问题，一定要注意有两个集合比较特殊，即∅和集合本身．因此解决这类问题时.

(1)要注意对符号h ⊆≠

⊂的辨析．

(2)合理使用分类讨论的思想，按集合元素的个数多少分类写出

母题迁移 1．满足条件-⊆⊆=+22|{}01|{x x M x x }01=的M 为

考点2 集合关系的判定

[例2] 已知集合},,1|{2N a a x x M ∈+==集合==y y P |{},,222N b b b ∈++试问M 与P 相等吗？

[解析] 设,P y ∈则1)12222++=++=b b b y （

,,1,N a N b N b ∈∈+∴∈ 又 .,M p M y ⊆∈∴故 .1,1,0M x a ∈∴==时当

而,,1)1(222

2

N b b b b y ∈++=++=

,0≥∴b 即.2≥y

,1P ∉∴故M 不是P 的子集．

综上所述，.P M =/

[点拨] 解答本题时，首先观察两个集合中函数式的结构特点．关键是要“变”（或“凑”）形式，

即由”“222

++b b 向+2

a ”1的形式变化，再由N

b N a ∈∈,进行判断．

母题迁移

2．（2010年武汉调考题）已知集合{},)12(9

1

A Z k k x x ∈+==},,9194|{z k k x x

B ∈±==则集

合A 、B 之间的关系为( )．

A A .

B ≠⊂ B B .A ≠⊂ B A

C =. B A

D =

/. 考点3 集合相等问题

[例3] 设集合,},,,{},,,1{2B A ab a a B b a A ===则a= =b , [解析] 由集合的相等关系，且均有元素a ，

故有⎩⎨⎧==ab b a ,12或⎩

⎨⎧==,,

12

a b ab 且.1,1=/=/b a .0,1=-=∴b a

[答案]-10

[点拨] (l ）两个集合的元素相 同.

(2)注意集合内元素的互异性，为避免出错，常代回检验．

母题迁移 3．已知三元素集合=-=B y x xy x A },,,{},|,|,0{y x 且,B A =求x 与y 的值，

考点4 利用集合关系，求字母参数或取值范围

[例4] 设},01|{},0158|{2=-==+-=ax x B x x x A 若,A B ⊆求实数a 组成的集合． [解析] ,A B ⊆即B 是A 的子集，只需求出A ，即可分类讨论解决． 由于,},5,3{A B A ⊆=

(1)若;0,=∅=a B 则 (2)若,∅=/B 则,0=/a 这时有

31,5131===a a a 即或或⋅=5

1

a