2019年高考数学名师强烈推荐必刷题

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理科十套：2019高考数学必刷模拟卷

√ A： 65
5
√
B： −
65 5
C：
√ 13
6. 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a8 = 2, S7 = 98，则 a3 + a9 =（）.
A： 16
B： 14
C： 12
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.
√ D： − 3
2
D：
√ − 13
D： 10
A：
段 BC, A1M 的中点.
（1）证明：EF ∥ 平面 A1DC；（2）若 AB = 4, AD = 2, A1C =
2√3，求二面角
M
−
A1D
−
C
的余弦值.
.....................................................装............................................订............................................线.....................................................
.
19. 设以线段 AB 为直径的圆 C : (x − 2)2 + (y − 1)2 = r2 (r > 0) 和抛物线 y2 = 2px (p > 0) 交于 A, B 两点，且点 A, B 与原点 O 都不重合.
（1）若直线 AB 的斜率为 1，求该抛物线的方程；（2）试判断圆 C 是否过点 O，若过点 O，求直线 AB 的方程，若不过点 O，请说明理由.
3
6
是
.
三、解题：共 70 分. 解应写出字说明、证明过程或演算步 . 第 17 ∼ 21 题为必考题，每个试题考生都必作 . 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 .

2019年全国版高考数学必刷题：第一单元集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则().A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(R Q)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴R Q={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(R Q)={x|-2<x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+b i(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=-∈R,则b=0,所以z=a+b i=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即(a+b i)2=a2+2ab i-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+b i=b i∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+b i∈R,则b=0⇒ =a-b i=a∈R,所以p4为真命题.故选B.【答案】B8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足-1,,则p是q的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p表示以点(1,1)为圆心,为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p是q的必要不充分条件.【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为().A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组的解集记为D,有下面四个命题:-2p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由-2得交点A(2,-1).->-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题,q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③p∧(q)为真命题,④(p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tan x在上是增函数,∴y max=tan=1.依题意,m≥y max,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:U A={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(U A)=⌀,A∪(U A)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈A b∉A5.B⊇A B⫌A 任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2=∉N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x<a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)由题意得(2-)(3-)即或故1<a≤2.【答案】(1)C(2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,则-1≤7,解得2<m≤4.-1,综上,实数m的取值范围是(-∞,4].【答案】(-∞,4]【变式训练2】(1)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|-x2+x+2>0},则下列结论正确的是().A.A∪B=RB.A∩B≠⌀C.A⊆R BD.A⊇R B(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|=-2,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为().A.2B.-1C.-1或2D.2或【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},R B={x|x≥2或x≤-1},则A⊆R B.(2)由=-2,得x=2,则A={2}.因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.【答案】(1)C (2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo(x-1)>0},B=-3,则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩R A.∵A={x|lo(x-1)>0}={x|1<x<2},B=-3=,∴R A={x|x≤1或x≥2},B∩R A={x|0<x≤1},故选D.【答案】D【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=().A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(U N)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D方法数形结合思想在集合中的应用对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B 两地都赞成的专家数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.依题意,(30-x)+(33-x)+x+=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【答案】D2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=().A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.【答案】B3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【答案】B4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=∈,则M∩N=().A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】由≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.【答案】C5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【解析】∵-2<0,即-1>0,解得x<0或x>,∴N=(-∞,0)∪,+∞.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.【答案】B6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(-∞,1)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,所以A={x|x>2或x<1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x>a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【答案】D7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(R B)=().A.{-1,2}B.{-2,-1,1,2,4}C.{1,4}D.⌀【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},R B={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(R B)={-1,2}.【答案】A8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,x∈U},则A∩(U B)= .【解析】A={x|0<x<5,x∈U}={1,2,3,4},B={x|x≤1,x∈U},则U B={x|x>1,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(U B)={2,3,4}.【答案】{2,3,4}9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆U A,则集合B的个数是.【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以U A={-2,4},所以集合B的个数是22=4.【答案】410.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(R B)=().A.⌀B.{x|x>2或x≤-1}C.{x|x<-1}D.{x|x≥2或x<-1}【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},R B={x|x≥2或x<-1},则A∩(R B)={x|x≥2或x<-1}.【答案】D11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则().A.A⊆BB.A∪B=RC.A∩B={2}D.A∩B=⌀【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,∴B={x|-1≤x≤2}.∴A∩B=⌀.【答案】D12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,∴4n+2=(x+y)(x-y).∵x+y和x-y的奇偶性相同,若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,∴4n+2∉M.【答案】C13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|-1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|-2≤m≤1}B.-C.-1≤D.-【解析】由题意得A∪B={x|-1<x<2}.∵集合C={x|mx+1>0},(A∪B)⊆C,①当m<0时,x<-,∴-≥2,∴m≥-,∴-≤m<0;②当m=0时,满足题意;③当m>0时,x>-,∴-≤-1,∴m≤1,∴0<m≤1.综上可知,实数m的取值范围为-.【答案】B14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是.【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.【答案】6§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一命题用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二四种命题及其相互关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.三充分条件与必要条件1.如果p⇒q,那么p是q的条件,q是p的条件.2.如果p⇔q,那么p是q的条件.3.如果p⇒/q且q⇒/p,那么p是q的条件.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识清单一、判断真假判断为真判断为假二、1.若q,则p 若q,则p2.(1)相同(2)没有关系三、1.充分必要2.充要3.既不充分也不必要基础训练1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.(2)正确,由充分条件的定义知正确.(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.【答案】[2,+∞)3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.【答案】C题型一四种命题及其关系【例1】下列命题中为真命题的是().A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知其为假命题.故选B.【答案】B【变式训练1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是().A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B题型二充分条件、必要条件的判断【例2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{a n},若p:对于任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,q:{a n}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.C错误,因为点P n(n,a n)在直线y=2x+1上,所以a n=2n+1(n∈N*),则a n+1-a n=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列,即p⇒q.反之则不成立,如:令a n=n,则{a n}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q 的充分不必要条件.D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.故选D.【答案】D【变式训练2】“a<0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.【答案】A题型三充分条件、必要条件的应用【例3】方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是().A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,当方程有一个负实根和一个正实根时,有⇒a<0;当方程有两个负实根时,有-⇒综上所述,a≤1.【答案】C【变式训练3】(2017常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为.【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.【答案】3方法集合与充分条件、必要条件“联手”求参数集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:-1≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】由-1≤2,得-2≤x≤10,所以p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.设A={x|x>10或x<-2}.因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),所以q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以且不能同时取得等号,解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).【答案】[9,+∞)1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.【答案】B3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.【答案】B4. (2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0B.1C.2D.4【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.【答案】D5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.【答案】B6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.【答案】B7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.【答案】A8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.4【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.【答案】B9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:①“面积相等的三角形全等”的否命题;②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题是.(填写所有真命题的序号)【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】①②10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1<m<3.故p是q的充分不必要条件.【答案】A11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则().A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.【答案】D12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是().A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题【解析】∵f(x)=e x-mx,∴f'(x)=e x-m.又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B 正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.【答案】B13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】∵函数f(x)=+m-的图象不过第三象限,∴1+m-≥0,解得m≥-.∵“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-.【答案】-∞,-14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-<x≤m+(m∈Z),则m叫作离实数x最近的整数,记作{x},即m={x}.给出关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①定义域为R,值域为-,;②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;③函数f(x)的最小正周期为1;④函数f(x)在-,上是增函数.其中,真命题的序号是.【解析】令x=m+a,a∈-,,则f(x)=x-{x}=a∈-,,∴①正确.令k=0,∵f=-=,f-=---=-+1=,∴f≠-f-,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.当x=时,m=1,f=,当x=时,m=0,f=,∴f=f,∴④错误.【答案】①③§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一简单的逻辑联结词1.命题中的“”“”“”叫作逻辑联结词.2.命题p∧q,p∨q,p的真假判定二全称命题与存在命题1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.2.全称命题:含有的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为.3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为.三含有一个量词的命题的否定☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是().A.p∧qB.(p)∧qC.p∨(q)D.(p)∧(q)给出下列命题:①对任意x∈N,x3>x2;②存在x0∈R,-x0+1≤0;③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为.(填序号)下列命题中的假命题是().A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=2知识清单一、1.或且非2.真真假假真假假真真假假真二、1.所有的2.全称量词∀x∈M,p(x)3.存在一个∃4.∃x0∈M,p(x0)三、∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)基础训练1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.(2)正确,命题p和p真假相反,故不可能都是真命题.【答案】(1)×(2)√2.【解析】当x=时,sin x=1,所以p为假命题,p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,q为假命题.故(p)∧q为真命题.【答案】B3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.【答案】①②4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.【答案】B题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p:函数y=sin和函数y=cos-的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+(k∈Z)时,函数y=(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是().A.p∨q是假命题B.(p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.(p)∨q是真命题【解析】命题p中,y=cos-=cos--=cos--=sin-,y=sin-与y=sin的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=(sin 2x+cos 2x)=2sin取得极小值时,2x+=2kπ-,即x=kπ-,k∈Z,故q为假命题.所以(p)∧q为假命题,故选B.【答案】B【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(q)”是假命题;③命题“(p)∨q”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题.其中结论正确的是().A.②③B.②④C.③④D.①②③【解析】因为>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=+≥>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.【答案】A题型二全称命题与特称命题【例2】下列命题中的真命题是().A.存在x∈R,使得sin x+cos x=B.对任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.对任意x∈(0,π),sin x>cos x【解析】因为sin x+cos x=sin≤<,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈时,sin x<cos x,故D错误.所以选B.【答案】B【变式训练2】已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则p是().A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解析】由命题的否定的定义可得,p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】C题型三根据命题的真假求参数的取值范围【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.a=1或a≤-2,由或得故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.【变式训练3】已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由p,q均为假命题得或即m≥2.【答案】A方法分类讨论思想在命题真假判断中的应用【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以-2×1+-2×2+得0<a<1.若命题q为真命题,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,解得a<或a>.因为p且q是假命题,p或q是真命题, 所以p,q一真一假.若p真q假,则,解得≤a<1;若p假q真,则或或,解得a≤0或a>.故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.【答案】a≤0或≤a<1或a>1.(2017吉林长春第一次质检)命题“∃x0>0,使得(x0-a)>1”的否定是().A.∀x>0,2x(x-a)>1B.∀x>0,2x(x-a)≤1C.∀x≤0,2x(x-a)≤1D.∀x≤0,2x(x-a)>1【解析】该命题的否定为“∀x>0,2x(x-a)≤1”,故选B.【答案】B2.(银川一中2018届月考)下列命题中的真命题是().A.∃x0∈R,≤0B.∀x∈R,2x>x2C.“a+b=0”的充要条件是“=-1”D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件【解析】因为y=e x>0(x∈R)恒成立,所以A不正确;因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立,所以B不正确;。

领军2019年高考文科数学必刷题：考点60 不等式的证明、柯西不等式及答案解析

.
（1）求不等式 f x 2 的解集；
（2）记 f x 的最大值为 k ，证明：对任意的正数 a ， b ， c ，当
成立.
【答案】(1)

1 2
,

;(2)见解析.
时，有
10
14．已知实数 a,b, c 满足
，证明：
（1）
；
（2）
.
【答案】( 1)见解析;(2)见解析.
解得或
或
，
综上可得
．
∴原不等式的解集为．
（2）
，
6
，
当且仅当
时等号成立．
9．已知实数 x, y 满足
.
（1）解关于 x 的不等式
；
（2）若
，证明：
【答案】（1）
；（2）9
（2）
且
，
7
当且仅当 10．已知
.
时，取“=”.
，且
.
（1）若（2）证明：【答案】(1)
恒成立，求的取值范围； . ;(2)见解析.
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
7．关于的不等式（1）求实数的值；
的解集为 .
（2）若
，且
，求证：
.
【答案】（1）1（2）见解析【解析】
5
8．已知函数
，
.
（1）解不等式
；
（2）设
，求证： .
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意得原不等式为
，等价于
或
或
（1）已知，都是正实数，且
（2）
，

2019年全国版高考数学必刷题：第十单元数列

第十单元数列考点一等差数列1.(2017年全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为().A.1B.2C.4D.8【解析】a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+6×5×d=48,联立2a1+7d=24,①6a1+15d=48,②由①×3-②,得(21-15)×d=24,即6d=24,所以d=4.【答案】C2.(2016年全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=().A.100B.99C.98D.97【解析】(法一)∵{a n}是等差数列,设其公差为d,∴S9=9(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴a1+4d=3,a1+9d=8,∴a1=−1, d=1.∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.(法二)∵{a n}是等差数列,∴S9=92(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.在等差数列{a n}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d'=a10-a5=8-3=5.故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.【答案】C3.(2016年浙江卷)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则().A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列【解析】作A1C1,A2C2,A3C3,…,A n C n垂直于直线B1B n,垂足分别为C1,C2,C3,…,C n,则A1C1∥A2C2∥…∥A n C n.∵|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,∴|C n C n+1|=|C n+1C n+2|.设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,则|A 3C 3|=2b-a ,…,|A n C n |=(n-1)b-(n-2)a (n ≥3),∴S n =12c [(n-1)b-(n-2)a ]=12c [(b-a )n+(2a-b )],∴S n+1-S n =12c [(b-a )(n+1)+(2a-b )-(b-a )n-(2a-b )]=12c (b-a ),∴数列{S n }是等差数列.【答案】A4.(2017年全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k= .【解析】设数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由a 3=a 1+2d=3,S 4=4a 1+6d=10, 得a 1=1,d=1,所以a n =n ,S n =n(n+1)2, 所以∑k=1n1S k 21×2+22×3+…+2n (n -1)+2n (n +1)=21-12+12-13+…+1n -1-1n +1n -1n +1=2 1−1n +1 =2nn +1.【答案】2nn +15.(2016年全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,S 7=28.记b n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (1)求b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n }的前1000项和.【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以数列{a n }的通项公式为a n =n.所以b 1=[lg1]=0,b 11=[lg11]=1,b 101=[lg101]=2. (2)因为b n = 0,1≤n <10,1,10≤n <100,2,100≤n <1000,3,n =1000,所以数列{b n }的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.考点二等比数列6.(2017年全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯().A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】设塔的顶层灯数为a1,q=2,由S=a1(1-27)=381,解得a1=3.【答案】B7.(2015年全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=().A.21B.42C.63D.84【解析】∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.【答案】B8.(2017年全国Ⅲ卷)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.【解析】因为{a n}为等比数列,设公比为q.由题意得a1+a2=−1,a1-a3=−3,即a1+a1q=−1,①a1-a1q2=−3,②显然q≠1,a1≠0,由①②,得1-q=3,解得q=-2,代入①式可得a1=1,所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.【答案】-89.(2016年全国Ⅰ卷)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=12.又a1+a1q2=10,∴a1=8.故a1a2…a n=a1n q1+2+…+(n-1)=23n·1(n-1)n 2=23n-n22+n2=2-n22+7n2.记t=-n22+7n2=-12(n2-7n)=-12n-722+498,结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a 1a 2…a n 的最大值为26=64.【答案】6410.(2016年全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.【解析】(1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11−λ,故a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n , 即a n+1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11−λ,公比为λλ-1的等比数列, 于是a n =1 λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1-λλ-1n.由S 5=31得1- λλ-15=31,即 λλ-15=1.解得λ=-1.考点三等差数列与等比数列的综合应用11.(2017年全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则数列{a n }前6项的和为( ).A.-24B.-3C.3D.8【解析】因为{a n }为等差数列,且a 2,a 3,a 6成等比数列,设公差为d ,所以a 32=a 2a 6,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ).因为a 1=1,代入上式可得d 2+2d=0,又d ≠0,则d=-2,所以S 6=6a 1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24. 【答案】A12.(2015年福建卷)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ).A .6B .7C .8D .9【解析】不妨设a>b ,由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,∴a>0,b>0,则a ,-2,b 成等比数列,a ,b ,-2成等差数列,∴ab =(−2)2,a -2=2b ,∴ a =4,b =1,∴p=5,q=4,∴p+q=9. 【答案】D13.(2017年北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a2b 2= .【解析】由a 1=-1,a 4=8,得d=3,则a 2=a 1+d=-1+3=2;由b 1=-1,b 4=8,得q=-2,则b 2=b 1q=2.故a 2b 2=22=1.【答案】114.(2015年全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n+3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由a n 2+2a n =4S n +3, ① 可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3. ② ②-①,得a n +12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n +12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由a n >0,得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. (2)由a n =2n+1可知,b n =1an a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12 12n +1-12n +3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n=12 13-15 + 15-17 +⋯+ 12n +1-12n +3=n3(2n +3).15.(2015年天津卷)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由已知,得(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3,所以a 2(q-1)=a 3(q-1). 又因为q ≠1,所以a 3=a 2=2.由a 3=a 1·q ,得q=2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n -12;当n=2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -12,n 为奇数,2n 2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n a 2n -1=n2n -1,n ∈N *. 设数列{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n -2+n ×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n -1+n ×12n , 上述两式相减,得1S n =1+1+122+…+12n -1-n n =1−12n 1−12-n n =2-2n -n n , 整理得S n =4-n +22n -1,n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和为4-n +22n -1,n ∈N *.高频考点:数列的通项,等差数列与等比数列的判断或证明,等差数列与等比数列的基本量、通项及求和,数列的综合应用.命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以选择题或填空题形式出现.2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和,体现转化与化归的思想.3.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,考查考生分析问题、解决问题的综合能力.§10.1 数列的概念一数列的定义按照排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的 ,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫作首项).二数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.三数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项),且任意一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n-1)(或a n =f (a n-1,a n-2)等),那么这个式子叫作数列{a n }的递推公式.☞左学右考下列说法正确的是( ).A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}C.{a n }和a n 是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ).A.(-1)n +12B.cos nπ2C.cos n +12πD.cosn +2π四 S n 与a n 的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,这个关系式对任意数列均成立.则a n=S1,n=1,S n-S n-1,n≥2,五数列的分类1.单调性递增数列:∀n∈N*,;递减数列:∀n∈N*,;常数列:∀n∈N*,a n+1=a n;摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.2.周期性周期数列:∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2-2n+2,求数列{a n}的通项公式.知识清单一、一定顺序项二、序号n五、1.a n+1>a n a n+1<a n基础训练1.【解析】对于A,摆动数列是指从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,故A正确;数列与数集是不同的,故B错误;{a n}和a n是不同的概念,{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,而a n表示的是这个数列的第n项,故C错误;每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的,故D错误.【答案】A2.【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-3.由于当n=1时,a1的值不满足a n(n≥2)的解析式,故数列{a n}的通项公式为a n=1,n=1,2n-3,n≥2.题型一由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.(1)4,6,8,10,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…; (3)a ,b ,a ,b ,a ,b ,…(其中a ,b 为实数); (4)9,99,999,9999,…; (5)3,33,333,3333,….【解析】(1)因为各数都是偶数,且最小值为4,所以它的一个通项公式a n =2(n+1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n =(-1)n×1,n ∈N *. (3)这是一个摆动数列,奇数项是a ,偶数项是b , 所以它的一个通项公式a n =a ,n 为奇数,b ,n 为偶数n ∈N *. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,102-1,103-1,104-1,所以它的一个通项公式a n =10n-1,n ∈N *.(5)将数列各项改写为9,99,999,9999,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以它的一个通项公式a n =13(10n-1),n ∈N *.【变式训练1】(1)已知n ∈N *,给出4个表达式:①a n =0,n 为奇数,1,n 为偶数,②an =1+(−1)n 2,③a n =1+cos nπ2,④a n = sin nπ2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④ (2)数列-1,32,-13,34,-15,36,…的一个通项公式a n = . 【解析】(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式.(2)因为该数列奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中含因式(-1)n.又各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…,各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为2-1=1,偶数项为2+1=3,所以a n =(-1)n·2+(−1)n ,n ∈N *,也可写为a n = -1n,n 为奇数,3n,n 为偶数n ∈N *. 【答案】(1)A (2)a n =(-1)n·2+(−1)nn,n ∈N *或a n = -1n,n 为奇数,3n,n 为偶数n ∈N * 题型二由递推公式求通项公式【例2】(1)已知数列{a n }满足a 1=12,a n+1=a n +1n 2+n ,则数列{a n }的通项公式a n = ;(2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n -1na n-1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式a n = ;(3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (4)若数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a nn ,则数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)由条件知a n+1-a n =1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1, 则(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n-1)= 1−1 + 1-1 + 1-1 +…+1n -1-1 , 即a n -a 1=1-1n .又∵a 1=12,∴a n =1-1+1=3-1.(2)∵a n =n -1na n-1(n ≥2), ∴a n-1=n -2n -1a n-2,…,a 2=12a 1. 以上(n-1)个式子相乘得a n =a 1·1·2·…·n -1=a 1=1. (3)由a n+1=3a n +1得a n+1+1=3a n +3=3 a n +1 .又a 1+1=3,所以 a n +1 是首项为3,公比为3的等比数列,所以a n +1=3n ,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -12.(4)∵a n+1=2a na n+2,a1=1,∴a n≠0,∴1n+1=1n+1,即1n+1-1n=1.又a1=1,则11=1,∴1n是以1为首项,1为公差的等差数列.∴1a n =1a1+(n-1)×12=n2+12,∴a n=2n+1.【答案】(1)3-1(2)1(3)3n-1(4)2【变式训练2】(1)(2017泰安模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是().A.2n-1B.n+1n n-1C.n2D.n(2)已知数列{a n}满足a n+1-a n=n+1(n∈N*),且a1=1,则数列{a n}的通项公式a n=;(3)已知数列{a n}满足a n=a n-1+1n(n-1)(n≥2,n∈N*),且a1=1,则该数列{a n}的通项公式a n=.【解析】(1)(法一)由已知整理得(n+1)a n=na n+1,∴a n+1n+1=a nn,∴数列a nn是常数列,且a nn=a11=1,∴a n=n.(法二)当n≥2时,a nan-1=nn-1,a n-1an-2=n-1n-2,…,a3a2=32,a2a1=21,将各式两边分别相乘,得a n a 1=n ,∵a 1=1,∴a n =n. (2)由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n (n ≥2). 以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n=(n -1)(2+n )=n 2+n-2. 又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n ≥2). ∵当n=1时也满足此式,∴a n =n 2+n2. (3)由已知得a 2-a 1=12×1,a 3-a 2=13×2,…,a n -a n-1=1n (n -1), 将上式两边分别相加,得a n -a 1=1+1+…+1n (n -1). 又∵a 1=1,∴a n =1+1-12+12-13+…+1n -1-1n=2-1n =2n -1n . 【答案】(1)D (2)n 2+n2(3)2n -1n题型三由S n 和a n 的关系求通项【例3】(1)(2017银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,则数列{a n }的通项公式a n = .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n+b ,求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.又a 1=3≠2×1,所以a n = 3,n =1,2n ,n ≥2.(2)当n=1时,a 1=S 1=3+b ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+b )-(3n-1+b )=2×3n-1.当b=-1时,a 1满足此等式;当b ≠-1时,a 1不满足此等式. 所以当b=-1时,a n =2×3n-1;当b ≠-1时,a n = 3+b ,n =1,2×3n -1,n ≥2.【答案】(1) 3,n =1,2n ,n ≥2【变式训练3】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 .(2)(2017福州质检)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则数列{a n }的通项公式是a n = . 【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,∴a n = -1,n =1,2n -1,n ≥2.(2)由S n =23a n +13,得当n ≥2时,S n-1=23a n-1+13, 两式相减整理,得当n ≥2时,a n =-2a n-1. 又∵当n=1时,S 1=a 1=23a 1+13,∴a 1=1,∴{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列, ∴a n =(-2)n-1.【答案】(1)a n =-1,n =1,2n -1,n ≥2(2)(-2)n-1方法函数思想在数列中的应用数列是定义域为正整数集的特殊函数,具有函数的某些性质,如单调性、周期性等.故可从函数的角度去认识数列,利用函数的思想或方法去研究数列可以带来意想不到的收获.【突破训练】已知在数列{a n }中,a n =1+1a +2(n -1)(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意知a n =1+12n -9. 结合函数f (x )=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n =1+1a +2(n -1)=1+12n -2−a 2.∵对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,结合函数f (x )=1+12x -2−a 2的单调性,知5<2−a2<6, ∴-10<a<-8,故a 的取值范围为(-10,-8).1.(2016湖州一模)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ).A.1,12,13,14,… B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-1,-1,-1,…D.1, 2, 3,…, n【解析】根据定义,属于无穷数列的是选项A 、B 、C ,属于递增数列的是选项C 、D ,故同时满足要求的是选项C.【答案】C2.(2016杭州质评)在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的第( )项.A.16B.24C.26D.28【解析】设题中数列为{a n },则a 1=1= 1,a 2=2= 4,a 3= 7,a 4= 10,a 5= 13,…,所以a n = 3n -2.令 3n -2=2 19= 76,解得n=26.【答案】C3.(2017广州联考)数列1,-5,7,-9,…的一个通项公式是( ).A.a n =(-1)n+12n -1n 2+n(n ∈N *)B.a n =(-1)n-12n +1n 3+3n(n ∈N *) C.a n =(-1)n+12n -1n 2+2n(n ∈N *) D.a n =(-1)n-12n +1n 2+2n(n ∈N *) 【解析】所给数列各项可写成3,-5,7,-9,…,通过对比各选项,可知选D.【答案】D4.(2017嘉兴模拟)数列{a n }满足a n+1+a n =2n-3,则a 8-a 4=( ).A.7B.6C.5D.4【解析】依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.【答案】D5.(2017黄冈模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n=2n(n∈N*),则a10等于().A.64B.32C.16D.8【解析】因为a n+1a n=2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得a n+2n =2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,则a108·a86·a64·a42=24,即a10=25=32.【答案】B6.(2016芜湖监测)设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是().A.163B.133C.4D.0【解析】a n=-3 n-52+3,由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,a n取得最大值,最大值为a2=a3=0.【答案】D7.(2017豫南八校联考)在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2018=().A.8B.6C.4D.2【解析】由题意得,a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列{a n}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018=a335×6+8=a8=2.【答案】D8.(2017贵阳监测)若数列{a n}的前n项和S n=n2-10n(n∈N*),则数列{na n}中数值最小的项是().A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【解析】∵S n=n2-10n,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴a n=2n-11(n∈N*).记f(n)=na n=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=114,但n∈N*,∴当n=3时,f(n)取得最小值.故数列{na n}中数值最小的项是第3项.【答案】B9.(2017山西忻州四校联考)若数列{a n}满足关系a n+1=1+1a n ,a8=3421,则a5=.【解析】借助递推关系,则a8递推依次得到a7=2113,a6=138,a5=85.【答案】85.10.(2017合肥质检)已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9-6n ,则数列{a n }的通项公式是 .【解析】当n=1时,20·a 1=S 1=3,∴a 1=3.当n ≥2时,2n-1·a n =S n -S n-1=-6,∴a n =-32n -2,∴通项公式a n= 3,n =1,-32n -2,n ≥2. 【答案】a n = 3,n =1,-32n -2,n ≥211.(2017青岛质评)数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ).A.5B.7C.9D.13【解析】∵a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n = -3,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11× -32 +10×2=72. 【答案】B12.(2017河北四校联考)已知数列{a n }满足条件1a 1+122a 2+123a 3+…+1n a n =2n+5,则数列{a n }的通项公式为( ).A.a n =2n+1B.a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2)C.a n =2nD.a n =2n+2【解析】由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则12a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n-1=2(n-1)+5,n>1,两式相减可得,an n =2n+5-2(n-1)-5=2,∴a n =2n+1,n>1,n ∈N *.当n=1时,a 12=7,∴a 1=14.综上可知,数列{a n }的通项公式为a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2).【答案】B13.(2017安徽六安月考)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .【解析】因为a 1=-1,a n+1=S n S n+1,所以S 1=-1,S n+1-S n =S n S n+1.因为S n ≠0,所以1n +1-1n=-1,所以数列 1n是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1S n=-n ,所以S n =-1n .【答案】-114.(2017东北三校联考)已知在数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +2a n . (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.【解析】(1)由S 2=43a 2,得3(a 1+a 2)=4a 2, 解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3,得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3,解得a 3=32(a 1+a 2)=6. (2)由题意知a 1=1. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=n +23a n -n +13a n-1, 整理得a n =n +1n -1a n-1(n ≥2). 于是a 1=1,a 2=31a 1,a 3=42a 2,…,a n =n +1n -1a n-1. 将以上n 个等式两端分别相乘,整理得a n =n (n +1)(n ≥2). 显然,当n=1时也满足上式. 综上可知,{a n }的通项公式为a n =n (n +1)2(n ∈N *). 15.(2017河南信阳高中模考)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=2S n +1,等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *, S n +1 ·k ≥b n 恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由a n+1=2S n +1, ① 得a n =2S n-1+1(n ≥2), ②①-②得a n+1-a n =2(S n -S n-1),∴a n+1=3a n ,∴a n =3n-1.∵b 5-b 3=2d=6,∴d=3,∴b n =3+(n-3)×3=3n-6.(2)S n =a 1(1-q n )=1−3n =3n -1, ∴3n -12+12k ≥3n-6对任意的n ∈N *恒成立,即k ≥2(3n -6)3n对任意的n ∈N *恒成立.令c n =3n -63n ,c n -c n-1=3n -63n -3n -93n -1=-2n +73n -1(n ≥2), 当n ≤3时,c n >c n-1;当n ≥4时,c n <c n-1.∴(c n )max =c 3=19,得k ≥29.§10.2 等差数列一等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为 (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A=a +b,其中A 叫作a ,b 的 .二等差数列的有关公式1.通项公式:a n = .2.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d=d 2n 2+ a 1-d 2n (n ∈N *)⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数,n ∈N *).三等差数列的常用性质1.通项公式的推广:a n =a m + (n ,m ∈N *).2.若{a n }为等差数列,且k+l=m+n (k ,l ,m ,n ∈N *),则 .3.若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为 .4.若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.5.若{a n}是等差数列,公差为d,则a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.6.在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最值;若a1<0,d>0,则S n存在最值.☞左学右考在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为().A.1B.2C.3D.42017胶州模考)在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为().A.37B.36C.20D.192017太原一模)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.142017陕西八校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a3+a7=-6,则当S n取最小值时,求n的值.知识清单一、1.第2项差a n+1-a n=d2.等差中项二、1.a1+(n-1)d三、1.(n-m)d2.a k+a l=a m+a n3.2d5.md6.大小基础训练1.【解析】(法一)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得a1=1,d=2.∴d=2.(法二)∵在等差数列{a n}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又a4=7,∴公差d=7-5=2.【答案】B2.【解析】∵a m=a1+a2+…+a9=9a1+9×8d=36d=a37,∴m=37.【答案】A3.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12.【答案】C4.【解析】设等差数列{a n}的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,所以d=2,则S n=n2-12n,故当n等于6时,S n取得最小值.题型一等差数列基本量的计算【例1】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=().A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a13=S13=13,则a1=().A.-14B.-13C.-12D.-11【解析】(1)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.(2)在等差数列{a n}中,S13=13(a1+a13)=13,所以a1+a13=2,则a1=2-a13=2-13=-11.2【答案】(1)D(2)D【变式训练1】(1)(2017沈阳质检)已知数列{a n}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{a n}的公差d等于().A.-1B.-2C.-3D.-4(2)(2017年武汉调研)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=2,a5=3a3,则S9=().A.-72B.-54C.54D.90【解析】(1)∵a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.(2)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=2,a5=3a3,∴2+4d=3(2+2d),解得d=-2,d=-54.∴S9=9a1+9×82【答案】(1)C(2)B题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{a n}的前n项和为S n且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=1.2(1)求证:1是等差数列.S n(2)求a n的表达式.【解析】(1)∵a n=S n-S n-1(n≥2),又a n=-2S n·S n-1,∴S n-1-S n=2S n·S n-1.∵S n ≠0,∴1n-1n -1=2(n ≥2),故由等差数列的定义知 1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1n =11+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n ,即S n =1.∵当n ≥2时,有a n =-2S n ·S n-1=-12n (n -1),又a 1=12,不适合上式,∴a n =12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.【变式训练2】(1)试说明例2中的数列{a n }是否为等差数列. (2)若将例2中的条件改为“a 1=2,S n =S n -1n -1(n ≥2)”,求a n 的表达式.【解析】(1)不是.当n ≥2时,a n+1=-12n (n +1),而a n+1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n 1n +1-1n -1 =1n (n -1)(n +1). ∵当n ≥2时,a n+1-a n 的值不是一个与n 无关的常数, ∴数列{a n }不是等差数列.(2)∵S n =S n -12S n -1+1,∴1S n =2S n -1+1S n -1=1S n -1+2,∴1S n -1S n -1=2.∴ 1S n是以12为首项,2为公差的等差数列.故1S n =12+(n-1)×2=2n-32,即S n =12n -32.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n -32-12n -72=-22n -32 2n -72. 当n=1时,a 1=2不适合上式, ∴a n = 2(n =1),-2 2n -32 2n -72(n ≥2).题型三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=().A.5B.7C.9D.11(2)已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n达到最大的n是().A.18B.19C.20D.21(3)等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-8,下列四个命题:①数列{a n}是递增数列;②数列{na n}是递增数列;③数列a nn是递增数列;④数列{a n2}是递增数列.其中真命题是.【解析】(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.(2)由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.(3)由a n=2n-8可知等差数列{a n}的公差d为2,∴数列{a n}是递增数列,命题①正确;由na n=2n2-8n=2(n-2)2-8,知数列{na n}不是递增数列,命题②错误;由a nn =2-8n,知数列a nn是递增数列,命题③正确;由a n2=4(n-4)2,知a12>a22>a32>a42,又a42<a52<a62<…,∴{a n2}不是递增数列,命题④错误.综上所述,真命题是①③.【答案】(1)A(2)C(3)①③【变式训练3】(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=18-a5,则S8=().A.18B.36C.54D.72(2)(2016襄阳调研)在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( ).A.12B.14C.16D.18(3)(2017兰州一诊)已知在等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和.若S 16>0,且S 17<0,则当S n 最大时n 的值为( ).A.16B.8C.9D.10【解析】(1)由题意,得a 4+a 5=18,∴S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 4+a 5)2=8×182=72. (2)由等差数列性质及a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,得a 8=18,∴a 10-13a 14=3a 10-a 143=a 10+a 6+a 14-a 143=a 10+a 63=23a 8=23×18=12. (3)∵S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 8>0,a 9<0,且d<0.∴当n=8时,S n 取得最大值.【答案】(1)D (2)A (3)B方法等差数列的前n 项和S n 的最值问题在研究等差数列时,求等差数列的前n 项和S n 的最大(小)值问题是其中的一个热点,也是一个重点问题.数列是一类特殊的函数,故可以用函数的知识或方法来解决此问题.【突破训练】(1)(2017长春一模)在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项之和,且S 7=S 17,则S n 为最小时n 的值为 .(2)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时,S n 取得最大值,则d 的取值范围为 .(3)(2017年承德模拟)在数列{a n }中,a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a 1=-23.①求a n ;②设S n 为数列{a n }的前n 项和,求S n 的最小值.【解析】(1)由S 7=S 17知,a 8+a 9+…+a 17=0,根据等差数列的性质,a 8+a 17=a 9+a 16=…=a 12+a 13,因此a 12+a 13=0.又a 1<0,∴a 12<0,a 13>0,故当S n 为最小时n 为12.(2)由题意知,d<0且 a 8>0,a 9<0,即 7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d<-78.(3)①a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a n+2+a n+1=2(n+1)-44,由以上两式相减,得a n+2-a n =2.∵a 2+a 1=2-44,a 1=-23,∴a 2=-19,同理得a 3=-21,a 4=-17,….∴a 1,a 3,a 5,…是以-23为首项,2为公差的等差数列;a 2,a 4,a 6,…是以-19为首项,2为公差的等差数列.故a n =n -24,n 为奇数,n -21,n 为偶数.②当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2×(n-1)-44] =2×[1+3+…+(n-1)]-n2×44=n 2-22n ,故当n=22时,S n 取得最小值为-242. 当n 为奇数时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n-1+a n ) =a 1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44] =a 1+2×[2+4+…+(n-1)]+n -12×(-44) =-23+(n +1)(n -1)2-22(n-1) =n 2-22n-3.故当n=21或n=23时,S n 取得最小值-243.综上所述,当n 为偶数时,S n 取得最小值为-242;当n 为奇数时,S n 取得最小值为-243. 【答案】(1)12 (2) -1,-781.(2016陕西模考)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ).A.a 1+a 101>0B.a 2+a 100<0C.a 3+a 99=0D.a 51=51【解析】由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101=a 1+a 1012×101=0.所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.【答案】C2.(2017西安模考)已知在等差数列{a n }中,a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ).A.S 7B.S 6C.S 5D.S 4【解析】∵ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.【答案】C3.(2017深圳调研)已知在每项均大于零的数列{a n }中,首项a 1=1且前n 项和S n 满足S n S n -1-S n-1 S n =2 S n S n -1(n ∈N *且n ≥2),则a 81=( ).A.638B.639C.640D.641【解析】由S n S n -1-S n-1 S n =2 S n -S n -1,可得 S n - S n -1=2,∴{ S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故 S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.【答案】C4.(2017湖北七校2月联考)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( ).A.-1B.0C.14D.12【解析】由题意知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32.∴公差d=a 4-a 22=12,∴a 1=a 2-d=12-12=0. 【答案】B5.(2017浙江名校联考)已知函数f (x )=cos x ,x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1,x 2,且方程f (x )=m 有两个不同的实根x 3,x 4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=( ).A.12B.-12C. 32D.- 32【解析】若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0,则公差d=3π2-π23=π3.所以m=cos π2+π3=- 32.【答案】D6.(2017海南质评)在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ).A.24B.48C.60D.84【解析】由题意知a 1>0,a 10·a 11<0,得d<0,a 10>0,a 11<0,所以a 1>a 2>…>a 10>0>a 11>a 12>…>a 18>…,所以T 18=|a 1|+|a 2|+…+|a 10|+|a 11|+|a 12|+…+|a 18|=a 1+a 2+…+a 10-(a 11+a 12+…+a 18)=2S 10-S 18=2×36-12=60.【答案】C7.(2016湖南联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .【解析】由题意知 2a 1+d =6a 1+6×52d,a 1+3d =1,解得 a 1=7,d =−2,∴a 5=a 4+d=1+(-2)=-1.【答案】-18.(2017黄冈一模)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n= .【解析】∵a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67,∴(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+(a 4+a n-3)=88, ∴a 1+a n =22.又S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26. 【答案】269.(2017海南模拟)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d= .【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇,偶数项的和为S 偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S 奇+S 偶=354,S 偶∶S奇=32∶27,解得 S 偶=192,S 奇=162.又S 偶-S 奇=6d=30,所以d=192−162=5. 【答案】510.(2017苏州评测)在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而a n=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n=3-2n,所以S n=n[1+(3-2n)]=2n-n2.由S k=-35,可得2k-k2=-35.由k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.11.(2017南昌模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足S n>0的最大自然数n的值为().A.6B.7C.12D.13【解析】∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零.又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足S n>0的最大自然数n的值为12.【答案】C12.(2016浙江名校联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的1是最小的两份之和,则最小的一份为().A.53B.103C.56D.116【解析】依题意,设这100个面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有5a=100,a+(a+m)+(a+2m)=7(a-2m+a-m),解得a=20,m=11a24,a-2m=a12=53,即其中最小的一份为53.【答案】A13.(2017东北三省四市联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则正整数m的值为.【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,所以a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3,数列{a n }的公差d=1,a m +a m+1=S m+1-S m-1=5,即2a 1+2m-1=5,所以a 1=3-m.由S m =(3-m )m+m (m -1)2×1=0,解得正整数m 的值为5.【答案】514.(2017郑州二模)已知在数列{a n }中,a 3=2,a 5=1,若1n是等差数列,则a 11等于 .【解析】记b n =11+a n,则b 3=13,b 5=12,数列{b n }的公差为12×(12-13)=112,∴b 1=16,∴b n =n +112,即11+a n =n +112.∴a n =11−n n +1,∴a 11=0. 【答案】015.(2017石家庄模拟)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b 1=a 1且b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),求数列{b n }的通项公式.【解析】(1)由题意得 a 3a 6=55,a 3+a 6=a 2+a 7=16,∵公差d>0,∴a 3=5,a 6=11,∴ a 1=1,d =2,∴a n =2n-1(n ∈N *).(2)∵b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),∴b n -b n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).∵b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1(n ≥2,n ∈N *),且b 1=a 1=1, ∴b n =2n-1+2n-3+…+3+1=n 2(n ≥2,n ∈N *). ∵当n=1时,b 1=1满足上式. ∴b n =n 2(n ∈N *).16.(2017山西忻州四校联考)数列{a n }满足a 1=12,a n+1=12−a n(n ∈N *). (1)求证:1a n -1为等差数列,并求出{a n }的通项公式. (2)设b n =1n-1,数列{b n }的前n 项和为B n ,对任意n ≥2都有B 3n -B n >m (n ∈N *)成立,求正整数m 的最大值.【解析】(1)因为a n+1=1n ,所以1a n +1-1=112−an-1=2−a n a n -1=-1+1a n -1,即1a n +1-1-1a n -1=-1,所以1a n -1是首项为-2,公差为-1的等差数列,所以1a n -1=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n =nn +1.(2)b n =n +1n-1=1n , 令C n =B 3n -B n =1+1+…+1, 所以C n+1-C n =1n +2+1n +3+…+13(n +1)-1n +1-…-13n =-1n +1+13n +1+13n +2+13n +3=13n +1+13n +2-23n +3>23n +3-23n +3=0, 所以C n+1-C n >0,所以{C n }为单调递增数列, 所以(B 3n -B n )min =B 6-B 2=13+14+15+16=1920,所以m 20<1920,所以m<19.又m ∈N *,所以m 的最大值为18.§10.3 等比数列一等比数列的有关概念1.定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于 (不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的 ,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q.2.等比中项如果a ,G ,b 成等比数列,那么叫作a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒ .二等比数列的有关公式1.通项公式:a n = .2.前n 项和公式:S n = na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q=a 1-a n q1−q,q ≠1.。

2019高考数学(理)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷7套解答题必刷卷2套解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形

解答必刷卷(二)三角函数、解三角形
题组一刷真题
1.[2018·浙江卷]已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-,-.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
2.[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
3.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sin B sin C;
(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.
题组二刷模拟
4.[2018·扬州模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=-,b=,c=.
(1)求a的值;
(2)求cos(B-A)的值.
5.[2018·南昌模拟]已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a=,3b-2c=6,A=120°.
(1)求b的值;
(2)若AD平分∠BAC交BC于点D,求△ABD的面积.
6.[2018·杭州模拟]在△ABC中,D为BC上一点,AD=CD,BA=7,BC=8.
(1)若B=60°,求△ABC外接圆的半径R;
(2)设∠CAB-∠ACB=θ,若sinθ=,求△ABC的面积.。

2019年全国版高考数学必刷题：第十一单元不等式

第十一单元不等式考点一不等式的性质及不等式的解法1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ).A.a+1b 1,0<b<1,所以b 2a <1,log 2(a+b )>log 22√ab =1,2a+1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B . 【答案】B2.(2016年北京卷)已知x ,y ∈R ,且x>y>0,则( ).A.1x -1y>0 B.sin x-sin y>0C.(12)x -(12)y <0 D.ln x+ln y>0【解析】∵x>y>0,∴1x <1y ,即1x -1y <0,故A 不正确.当x>y>0时,不能说明sin x>sin y ,如x=π,y=π2,x>y ,但sin π<sin π2,故B 不正确.∵函数y=(12)x 在R 上为减函数,且x>y>0,所以(12)x <(12)y ,即(12)x -(12)y <0,故C 正确.当x=1,y=12时,ln x+ln y<0,故D 不正确.【答案】C3.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ).A.(-3,-32)B.(-3,32)C.(1,32)D.(32,3)【解析】因为A={x|1<x<3},B={x |x >32},所以A ∩B={x |32<x <3}=(32,3). 【答案】D4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S ∩T=( ).A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解析】∵S={x|x ≤2或x ≥3},T={x|x>0},∴S ∩T=(0,2]∪[3,+∞). 【答案】D考点二简单的线性规划5.(2017年全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( ).A.-15B.-9C.1D.9【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 过点(-6,-3)时,故所求z 取到最小值为-15.【答案】A6.(2016年山东卷)若变量x ,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( ).A.4B.9C.10D.12【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x 2+y 2为可行域内的点到原点距离的平方,联立{x +y =2,2x -3y =9,解得交点为(3,-1),结合图形可知(x 2+y 2)max =(√32+(−1)2)2=10. 【答案】C7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域{x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ). A.2√2B.4C.3√2D.6【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=13<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB 的长度即为图中的线段EF 的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组{x +y =0,x -3y +4=0,解得点E 的坐标为(-1,1);联立方程组{x +y =0,x =2,解得点F 的坐标为(2,-2).所以|EF|=√(2+1)2+(−2−1)2=3√2.【答案】C8.(2017年全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .【解析】不等式组{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=32x-z2,要求z 的最小值,即求直线y=32x-z 2的纵截距的最大值.当直线y=32x-z 2过图中点A 时,纵截距最大,由{2x +y =−1,x +2y =1,解得点A 的坐标为(-1,1),此时z=3×(-1)-2×1=-5. 【答案】-59.(2016年全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,由题意得,x ,y 满足的关系为 {1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.① 目标函数z=2100x+900y.二元一次不等式组①即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.②如图所示,作出二元一次不等式组②表示的平面区域(阴影部分). 将z=2100x+900y 变形,得y=-73x+z900,平移直线y=-73x ,当直线y=-73x+z900经过点M 时,z取得最大值.解方程组{10x+3y=900,5x+3y=600,得点M的坐标为(60,100).所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216000.【答案】216000考点三基本不等式10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是().A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q【解析】由题意知,p=f(√ab)=ln√ab,q=f(a+b2)=ln(a+b2),r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12ln ab=ln√ab.∵b>a>0,∴a+b2>√ab>0.又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r<q.【答案】B11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.【解析】一年的总运费与总存储费用之和为6×600x +4x=3600x+4x≥2√3600×4=240,当且仅当3600x=4x,即x=30时取等号.【答案】30高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.§11.1不等式性质与一元二次不等式一不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;a>b,c>d⇒a+c b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(5)可乘方:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒√a n√b n(n∈N,n≥2).二解一元二次不等式判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根没有实数根的根x 1=x 2=-b 2aax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x |x ≠−b 2a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集⌀☞ 左学右考(2016皖南八校联考)已知a ,b ∈R ,下列命题正确的是( ).A.若a>b ,则|a|>|b|B.若a>b ,则1a <1bC.若|a|>b ,则a 2>b 2D.若a>|b|,则a 2>b 2已知ab>0,则“b<1a”是“a<1b”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2017资阳一诊)关于x 的不等式x 2+px-2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为( ).A.-2B.-1C.1D.2(2017中原名校联考)若不等式x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ).A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]知识清单一、(3) > > (4) > > (5) > (6) > 二、{x|x<x 1或x>x 2} {x|x 1<x<x 2} ⌀基础训练1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A 、B 、C 均不正确;对于选项D ,a>|b|≥0,则a 2>b 2. 【答案】D2.【解析】由b<1a ,ab>0得ab 20,所以a<1b ,同理,由a<1b 可得b<1a.【答案】C3.【解析】依题意得q ,1是方程x 2+px-2=0的两根,则q+1=-p ,即p+q=-1. 【答案】B4.【解析】因为x 2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a ≤4,解得-1≤a ≤4. 【答案】A题型一不等关系、不等式的性质及应用【例1】 (1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ).A.M<NB.M >NC.M=ND.不确定(2)(2017山东济南模拟)“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①c a >cb;②a clog a (b-c ).其中正确结论的序号是( ).A.①B.①②C.②③D.①②③【解析】(1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1),∵a 1,a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0,∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.(2)x 1>3,x 2>3⇒x 1+x 2>6,x 1x 2>9;反之不成立,例如x 1=12,x 2=20,x 1+x 2=412>6,x 1x 2=10>9,但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件.(3)由不等式及a>b>1知1a <1b,又c<0,所以c a >c b,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.【答案】(1)B (2)A (3)D【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z ,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( ). A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a ≠1,m=a a2+1,n=a a+1,则( ).A.m ≥nB.m>nC.m<nD.m ≤n(3)(2017广州模拟)已知实数x ,y 满足{1≤x +y ≤3,-1≤x -y ≤1, 则4x+2y 的取值范围是 .【解析】(1)∵x>y>z ,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,∴x>0,z<0. 由{x >0,y >z,可得xy>xz. (2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得m n=a (a 2+1)−(a+1)=a a (a-1),当a>1时,a (a-1)>0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n ;当0<a<1时,a (a-1)<0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n.综上,对任意的a>0,且a ≠1,都有m>n. (3)令4x+2y=m (x+y )+n (x-y ),则{m +n =4,m -n =2, 解得{m =3,n =1.则4x+2y=3(x+y )+(x-y ),∵1≤x+y ≤3,∴3≤3(x+y )≤9. 又∵-1≤x-y ≤1,∴2≤3(x+y )+(x-y )≤10.∴2≤4x+2y ≤10.【答案】(1)C (2)B (3)[2,10]题型二一元二次不等式的解法及应用【例2】(1)已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( ).A.-3B.1C.-1D.3(2)(2017惠州质检)已知不等式ax 2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx 2-5x+a>0的解集是( ). A.{x |-13<x <12}B.{x |-12<x <13}C.{x |x <−13或x >12}D.{x |x <−12或x >13}【解析】(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A ∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.(2)由题意得方程ax 2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是{-3+2=--5a,-3×2=ba ⇒{a =−5,b =30,于是不等式bx 2-5x+a>0即为30x 2-5x-5>0,即(3x+1)(2x-1)>0⇒x<-13或x>12. 【答案】(1)A (2)C解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号;③若【变式训练2】(1)不等式组{x 2-4x +3<0,2x 2-7x +6>0的解集是( ).A.(2,3)B.(1,32)∪(2,3)C.(-∞,32)∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤12或x≥3},则f(e x)>0的解集为().A.{x|x<−ln2或x>ln 3}B.{x|ln 2<x<ln 3}C.{x|x<ln 3}D.{x|-ln 2<x<ln 3}【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴1<x<3.又∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<32或x>2,∴原不等式组的解集为(1,32)∪(2,3).(2)由题意知f(x)>0的解集为{x|12<x<3},由f(e x)>0得12<e x<3,解得ln 12<x<ln 3,即-ln 2<x<ln 3.【答案】(1)B(2)D题型三解含参数的一元二次不等式【例3】(1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是().A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2](2)若0<a<1,则不等式(a-x)(x-1a)>0的解集是.(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是().A.(-235,+∞) B.[-235,1]C.(1,+∞)D.(-∞,235]【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;当a-2≠0时,则{a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0,解得-2<a<2.故实数a的取值范围为(-2,2].(2)由题意可得原不等式为(x-a)(x-1a )<0,由0<a<1得a<1a,所以a<x<1a.(3)由Δ=a 2+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-235,故a 的取值范围为(-235,+∞). 【答案】(1)D (2){x |a <x <1a} (3)A解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2},则a+b 的值为( ). A.3 B.1 C.-3 D.-1(2)(2017沈阳模拟)若关于x 的二次不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是 .【解析】(1)因为不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2}, 所以1和2为方程(x-a )(x-b )=0的两个根,则有{a =1,b =2或{a =2,b =1.所以a+b=1+2=3,即a+b 的值为3.(2)不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,相当于二次函数y=x 2+mx+1的最小值非负,即方程x 2+mx+1=0最多有一个实根,故Δ=m 2-4≤0,解得-2≤m ≤2.【答案】(1)A (2)[-2,2]方法一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.【突破训练】(1)若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0](2)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围是 .【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立; 当k ≠0时,要使一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则{k <0,k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0].(2)要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3].当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0, 所以m<67,则0<m<67;当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0, 所以m<6,即m<0.综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,67).【答案】(1)D (2)(-∞,0)∪(0,67)1.(2016南昌联考)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ).A .a d >b cB .a d b dD .a c b>0,所以ad<bc.【答案】B2.(2017福建三明模拟)若集合A={x|xx-1≤0},B={x|x2<2x},则A∩B等于().A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}【解析】集合A={x|xx-1≤0}={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0<x<2},所以A∩B={x|0<x<1}.【答案】A3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则a b+b a≥2;③若a>b>0,n∈N*,则a n>b n;④若log a b<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为().A.2B.3C.4D.1【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=x n在(0,+∞)上单调递增,③正确;当0<a<1时,由log a b<0,得b>1,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由log a b<0,得0<b<1,此时(a-1)(b-1)<0,综上,④正确,故选A.【答案】A4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则().A.a=-8,b=-10B.a=-1,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.【答案】C5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是().A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>0【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.【答案】D6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,y min=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【答案】A7.(2017广西模拟)若角α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是.【解析】∵-π2<α<β<π2,∴-π<2α<π,-π2<-β<π2,∴-3π2<2α-β<3π2.又∵2α-β=α+(α-β)<α<π2,∴-3π2<2α-β<π2.【答案】(-3π2,π2 )8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为.【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,故所求不等式的解集为(-1,2).【答案】(-1,2)9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为.【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1).【答案】(-2,1)10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值;(2)对于∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得y=f(x)x =x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=f(x)x的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2-2ax-1,所以要使得“∀x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”,只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax-1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以{g(0)≤0,g(2)≤0,即{0−0−1≤0,4−4a -1≤0,解得a ≥34.则a 的取值范围为[34,+∞).11.(2017广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( ).A.1b >1aB.(12)a <(12)bC.(lg a )2<(lg b )2D.1lga >1lgb【解析】因为0<a<b<1,所以1b -1a =a -b ab <0,可得1b <1a ,(12)a >(12)b ,(lg a )2>(lg b )2.由lg a<lg b<0,可得1lga >1lgb. 综上可知,选项D 正确. 【答案】D12.(2016衡水二中预测)不等式x -2x 2-1<0的解集为( ).A.{x|1<x<2}B.{x|x<2且x ≠1}C.{x|-1<x<2且x ≠1}D.{x|x<-1或1<x<2} 【解析】x -2x 2-1<0⇒(x-1)(x+1)(x-2)<0⇒x<-1或1<x<2,故选D.【答案】D13.(2017河南南阳模拟)若不等式x 2+x-1<m 2x 2-mx 对任意的x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为( ).A.(-1,53]B.(-∞,-1]∪(53,+∞)C.(-1,53)D.(-∞,53)∪(1,+∞)【解析】原不等式可化为(1-m 2)x 2+(1+m )x-1<0,若1-m 2=0,得m=1或m=-1.①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<12,故不等式的解集不是R ,不合题意.若当1-m 2≠0,由不等式恒成立可得{1−m 2<0,Δ=(1+m)2-4(1-m 2)×(-1)<0,解得m<-1或m>53. 综上,m 的取值范围为(-∞,-1]∪(53,+∞). 【答案】B14.(2016湖北黄冈调考)设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .【解析】(法一)设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数), 则4a-2b=m (a-b )+n (a+b )=(m+n )a+(n-m )b , 则{m +n =4,n -m =−2, 解得{m =3,n =1,∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,即5≤f (-2)≤10.(法二)由{f(-1)=a -b,f(1)=a +b, 得{a =12[f(-1)+f(1)],b =12[f(1)-f(-1)].∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 【答案】[5,10]15.(2017山东青岛模拟)已知x ∈(0,+∞)时,不等式9x -m ·3x+m+1>0恒成立,则m 的取值范围是 .【解析】令t=3x(t>1),则由已知得函数f (t )=t 2-mt+m+1>0在t ∈(1,+∞)上恒成立,则m<t 2+1t -1=t+1+2t -1=t-1+2t -1+2,∵t -1+2t -1≥2√2,当且仅当t-1=2t -1,即t=√2+1时等号成立,∴m<(t 2+1t -1)min=2√2+2.【答案】(-∞,2+2√2)§11.2简单的线性规划问题一一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括Ax+By+C≥0包括不等式组各个不等式所表示平面区域的二线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题☞ 左学右考不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ).(2016枣强中学期末)已知变量x ,y 满足{x ≥1,y ≤2,x -y ≤0,则可行域的面积为 .设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 .(2016年郑州第二次质量预测)已知实数x ,y 满足{2x +y ≥0,x -y ≥0,0≤x ≤a,设b=x-2y ,若b 的最小值为-2,则b 的最大值为 .知识清单一、边界直线边界直线公共部分二、一次解析式一次 (x ,y ) 集合最大值最小值最大值最小值基础训练1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒{x -2y +1≥0,x +y -3≤0或{x -2y +1≤0,x +y -3≥0.结合图形可知选C.【答案】C2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=12×1×1=12.【答案】123.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y ,∴y=3x-z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最大值,即z max =3×2-2=4. 【答案】44.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y ,得y=12x-b 2.易知在点(a ,a )处b 取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b 取得最大值,于是b 的最大值为2+8=10. 【答案】10题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式 .(2)(2017忻州模拟)不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0所围成的平面区域的面积为( ).A.3√2B.6√2C.6D.3(3)已知A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域,则当a 从-1连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A 中的区域的面积为 .【解析】(1)边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.(2)如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC ,其中A (2,0),B (4,4),C (1,1),故所求平面区域的面积为S △ABO -S △ACO =12(2×4-2×1)=3.(3)不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域是△AOB (如图),动直线x+y=a (即y=-x+a )在y 轴上的截距从-1变化到1,动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域是阴影部分.∵△AGF ≌△BDE ,AF=1,S △AGF =12×1×12=14,S △AOB =12×2×2=2,∴阴影部分面积为2-2×14=32.【答案】(1)x+y-1>0 (2)D (3)32(1)在确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,可用代特殊点的方法,一般选用原点.【变式训练1】(1)下面给出的四个点中,位于{x +y -1<0,x -y +1>0表示的平面区域内的点是( ).A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)(2)不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域的面积等于( ).A.32B.23C.43D.34【解析】(1)将四个点的坐标分别代入不等式组{x +y -1<0,x -y +1>0,验证可知,满足条件的只有点(0,-2).(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,解{x +3y =4,3x +y =4,得A (1,1),易得B (0,4),C (0,43),|BC|=4-43=83,∴S △ABC =12×83×1=43. 【答案】(1)C (2)C题型二求目标函数的最值【例2】(1)(2017吉林实验中学)已知实数x ,y 满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,则z=2x+4y-3的最大值是 .(2)若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .(3)(2016年开封模拟)设变量x ,y 满足约束条件{x -y ≤1,x +y ≥2,y ≤2,则目标函数z=x 2+y 2的取值范围为( ).A.[2,8]B.[4,13]C.[2,13]D.[52,13]【解析】(1)满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0的区域如图所示,目标函数z=2x+4y-3在点(0,0)处取得最大值,则z max =-3.(2)作出可行域如图中阴影部分所示, 由可行域知,在点A (1,3)处y x取得最大值3.(3)作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得z min=|OA|2=(√1+1)2=2,z max=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为[2,13].【答案】(1)-3(2)3(3)C【变式训练2】(1)若x,y满足{x-y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为().A.0B.1C.32D.2(2)(2016厦门大学附中模拟)设变量x,y满足约束条件{x+y≤3,x-y≥−1,y≥1,则目标函数z=y+1x+1的最大值为.(3)已知实数x,y满足{x+y-1≤0,x-y+1≥0,y≥−1,则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为.【解析】(1)由题意作出可行域如图中阴影部分所示,当z=x+2y 经过点A (0,1)时,目标函数取得最大值,则z max =0+2×1=2.(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC ),则z 的几何意义为区域内的点P 到定点D (-1,-1)的直线的斜率.由图象可知当直线过点C 时对应的斜率最小,当直线经过点A 时对应的斜率最大,由{y =1,x -y =−1,解得{x =0,y =1,即A (0,1),此时直线AD 的斜率z=1+10+1=2.(3)目标函数w=x 2+y 2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,则点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2+2-1|2=3√22,所以w min =92.【答案】(1)D (2)2 (3)92题型三线性规划的实际应用【例3】(1)(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.(2)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( ).甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】(1)设该企业生产甲产品x 吨,乙产品y 吨, 由题意知{x ≥0,y ≥0,3x +y ≤13,2x +3y ≤18,利润z=5x+3y ,作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线5x+3y=0并平移,易知当直线经过点(3,4)时,z 取得最大值,即生产甲产品3吨,乙产品4吨时,该企业可获得最大利润是27万元.(2)根据题意,设每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,则{x ≥0,y ≥0,3x +2y ≤12,x +2y ≤8,目标函数为z=3x+4y ,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A (2,3)时,z 取得最大值,且z max =3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.【答案】(1)27 (2)D解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出【变式训练3】某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个、55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2 m2,3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?【解析】设A,B两种规格金属板各取x张,y张,用料面积为z,则约束条件为{3x+6y≥45,5x+6y≥55,x,y∈N,目标函数z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.将z=2x+3y变成y=-23x+z3,得斜率为-23,在y轴上截距为z3,且随z变化的一组平行直线.当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,即z最小,解方程组{5x+6y=55,3x+6y=45,得点M的坐标为(5,5).此时z min=2×5+3×5=25(m2).故当A,B两种规格金属板各取5张时才能完成计划,且用料面积最省.方法线性规划中的参数问题及其求解思路线性规划问题是高考的重点,也是每年高考的必考点.线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里寻求最优解,从而确定参数的值.【突破训练】(1)(2016河南六市联考)已知实数x,y满足{y≥1,y≤2x-1,x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=().A.6B.5C.4D.3(2)(2017山东济南三校联考)已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y (其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(0,12)C.(0,13)D.(13,12)【解析】(1)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :y=x ,平移l 可知,当直线l 经过点A 时,z=x-y 取得最小值-1,联立{y =2x -1,x -y =−1,得{x =2,y =3, 即A (2,3).又点A (2,3)在直线x+y=m 上,∴m=5,故选B.(2)约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :ax+y=0,过点(1,1)作l 的平行线l',要满足题意,则直线l'的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-12<-a<0,即0<a<12.【答案】(1)B (2)B1.(2017衡水二中模拟)已知约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,kx -y ≤0表示面积为1的直角三角形区域,则实数k 的值为( ).A.1B.-1C.0D.-2【解析】先作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为12×3×3=92≠1,所以不成立,所以k>0,则必有BC ⊥AB.因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,所以k=1,故选A.【答案】A2.(2017江西南昌模拟)若x ,y 满足约束条件{5x +3y ≤15,y ≤x +1,x -5y ≤3,则3x+5y 的取值范围是( ).A.[-13,15]B.[-13,17]C.[-11,15]D.[-11,17]【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.由图可知,3x+5y 在点(-2,-1)处取得最小值,在点(32,52)处取得最大值,即3x+5y ∈[-11,17].【答案】D3.(2016厦门大学附中模拟)已知x ,y 满足{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0,则x+y -6x -4的取值范围是( ).A.[0,37]B.[2,207] C.[1,137] D.[0,67]【解析】不等式组{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为x+y -6x -4=x -4+y -2x -4=1+y -2x -4,而y -2x -4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然斜率的最小值为0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大,为-4-2-3-4=67,所以1+y -2x -4的取值范围为[1,137],故选C.【答案】C4.(2016衡水中学模拟)当变量x ,y 满足约束条件{y ≥x,x +3y ≤4,x ≥m时,z=x-3y 的最大值为8,则实数m 的值是( ).A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x-3y 变形为y=x 3-z 3,当直线y=x 3-23过点C 时,z 取得最大值,又C (m ,m ),所以8=m-3m ,解得m=-4.【答案】A5.(2017江西八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A={(x ,y )|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B={(x+y ,x-y )|(x ,y )∈A }的面积为( ).A.2B.1C.12D.14【解析】不等式组{x +y ≤1,x ≥0,y ≥0所表示的可行域如图①所示.设a=x+y ,b=x-y ,则此两目标函数的范围分别为a=x+y ∈[0,1],b=x-y ∈[-1,1],又a+b=2x ∈[0,2],a-b=2y ∈[0,2].则点(x+y ,x-y ),即点(a ,b )满足约束条件{0≤a ≤1-1≤b ≤1,0≤a +b ≤2,0≤a -b ≤2,作出该不等式组所表示的可行域如图②所示,由图可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=12×2×1=1,故选B.【答案】B6.(2017北京朝阳模拟)已知点A (-2,0),点M (x ,y )为平面区域{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0上的一个动点,则|AM|的最小值是( ).A.5B.3C.2√2D.6√55【解析】不等式组{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y-2=0的距离,即|AM|min =|2×(-2)+0-2|√5=6√55. 【答案】D7.(2017江南十校模拟)若实数x ,y 满足{x -y +1≤0,x ≤0,则x 2+y 2的最小值是 .【解析】原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x 2+y 2表示可行域内任意一点P (x ,y )与原点(0,0)距离的平方,∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时,x 2+y 2取得最小值,∴(x 2+y 2)min =(√2)2=12.【答案】128.(2016长沙模拟)若x,y满足约束条件{x-y+1≥0,x-2y≤0,x+2y-2≤0,则z=x+y的最大值为.【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A(1,12)处,z取得最大值,则z max=32.【答案】329.(2016枣强中学模拟)若实数x,y满足{2x-y≥0,y≥x,y≥−x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为.【解析】由题意作出不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点A(b3,2b3)处取得最小值4,所以4=2×b3+2b3,解得b=3.【答案】310.(2017九江模拟)实数x,y满足{x-y+1≤0, x>0,y≤2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x 2+y 2,求z 的最大值与最小值,并求z 的取值范围.【解析】由不等式组{x -y +1≤0,x >0,y ≤2,作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由{x -y +1=0,y =2,得B (1,2),则k OB =21=2.∴z max 不存在,z min =2,∴z 的取值范围是[2,+∞).(2)z=x 2+y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.因此x 2+y 2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由{x -y +1=0,x =0,得A (0,1),∴|OA|2=(√02+12)2=1,|OB|2=(√12+22)2=5. ∴z 的最大值为5,没有最小值.故z 的取值范围是(1,5].11.(2016陕西模拟)设动点P (x ,y )在区域Ω:{x ≥0,y ≥x,x +y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( ).A.πB.2πC.3πD.4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最大值S=π×(42)2=4π.【答案】D。

2019年全国版高考数学必刷题：第六单元导数在函数中的应用

第六单元导数在函数中的应用考点一利用导数研究函数的极值、最值1.(2017年全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为().A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1【解析】函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1,则f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=e x-1·[x2+(a+2)x+a-1].由x=-2是函数f(x)的极值点,得f'(-2)=e-3·(4-2a-4+a-1)=(-a-1)e-3=0,所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)e x-1,f'(x)=e x-1·(x2+x-2).由e x-1>0恒成立,得当x=-2或x=1时,f'(x)=0,且当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以x=1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)=-1.故选A.【答案】A2.(2013年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【解析】(1)f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)-.令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2,从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减,当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).3.(2015年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,得g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).4.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·…·<m,求m的最小值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意.若a>0,由f'(x)=1-=-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.因为f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0,故a=1.(2)由(1)知,当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+,得ln<,从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.故·…·<e.又>2,m为整数,所以m的最小值为3.5.(2013年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.【解析】(1)f'(x)=e x-.由x=0是f(x)的极值点,得f'(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=e x-.函数f'(x)=e x-在(-1,+∞)上单调递增,且f'(0)=0,因此当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f'(x)=e x-在(-2,+∞)上单调递增.又f'(-1)<0,f'(0)>0,故f'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f'(x0)=0得=,ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.综上,当m≤2时,f(x)>0.考点二利用导数研究函数的单调性和不等式6.(2016年全国Ⅰ卷)若函数f(x)=x-sin 2x+a sin x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是().A.[-1,1]B.-C.-D.--【解析】取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f'(x)=1-cos 2x-cos x,但f'(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增的条件,排除A,B,D.故选C.【答案】C7.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】设y=g(x)=(x≠0),则g'(x)=-,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上为减函数,且g(1)=f(1)=-f(-1)=0.∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴g(x)的图象的示意图如图所示.当x>0,g(x)>0时,f(x)>0,0<x<1,当x<0,g(x)<0时,f(x)>0,x<-1,∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选A.【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是().A.-B.-C. D.【解析】∵f(0)=-1+a<0,∴x0=0.又∵x0=0是唯一的整数,∴-解得a≥.即-----又∵a<1,∴≤a<1,故选D.【答案】D9.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f(x)=a ln x+-x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;,求a的取值范围.(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<-【解析】(1)f'(x)=+(1-a)x-b.由题设知f'(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=a ln x+-x2-x,f'(x)=+(1-a)x-1=---(x-1).若a≤,则-≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.所以存在x0≥1,使得f(x0)<-的充要条件为f(1)<-,即--1<-,解得--1<a<-1.若<a<1,则->1,故当x∈-时,f'(x)<0,当x∈-时,f'(x)>0,所以f(x)在-上单调递减,在-上单调递增.所以存在x0≥1,使得f(x0)<-的充要条件为f-<-.而f-=a ln-+-+->-,所以不合题意.若a>1,则f(1)=--1=--<-.综上可知,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(1)=0,f'(x)=ln x+-3,f'(1)=-2.故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x-->0.设g(x)=ln x--,则g'(x)=-=-,g(1)=0.①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;②当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1---,x2=a-1+--.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,即g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)<0.综上可知,a的取值范围是(-∞,2].11.(2016年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<-<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.【解析】(1)由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)由(1)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x<x-1.故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln<-1,即1<-<x.(3)由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g'(x)=c-1-c x ln c.令g'(x)=0,解得x0=-.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.由(2)知1<-<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.考点三利用导数研究函数的零点问题12.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2a e2x+(a-2)e x-1=(a e x-1)(2e x+1).若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.若a>0,则由f'(x)=0得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(2)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.若a>0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点;当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.又f(-2)=a e-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.设正整数n0满足n0>ln-1,则f(n0)=(a+a-2)-n0>-n0>-n0>0.由于ln-1>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点.综上可知,a的取值范围为(0,1).高频考点:利用导数判断函数的图象,求单调区间、极值、最值,根据参数的范围证明不等式、判断函数的零点.命题特点:各类题型均有,都是与函数结合考查,此类题目的压轴试题难度较大、逻辑性强,对考生运算能力要求较高.备考时应注意总结规律、强化训练,突破难关.§6.1导数在研究函数中的应用一函数的单调性与导数在(a,b)内的可导函数f(x),f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为.二函数的极值与导数1.函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近的其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.2.函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.三函数的最值与导数1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.3.设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的;(2)将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.()(4)函数f(x)=x2-1,其极值点为.()如图所示的是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下面判断正确的是().A.在区间(-2,1)上,f(x)是增函数B.在区间(1,3)上,f(x)是减函数C.在区间(4,5)上,f(x)是增函数D.当x=2时,f(x)取到极小值设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.知识清单一、增函数减函数二、1.f'(x)<0f'(x)>02.f'(x)>0f'(x)<0三、2.f(a)f(b)f(a)f(b)3.(1)极值(2)f(a),f(b)基础训练1.【解析】(1)错误,由f'(x)>0,得f(x)为增函数,反之不一定成立,如y=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.(2)正确,一个函数的极大值、极小值没有确定的大小关系,极大值可能比极小值小.(3)正确,由最值的定义可知,闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(4)错误,极值点是实数,不是点.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2.【解析】A、B错误,由导函数与函数的关系可知f(x)在区间(-2,1)和(1,3)上有增,有减;C正确,在区间(4,5)上f'(x)>0,所以f(x)是增函数;D错误,当x=2时,f(x)取到极大值.【答案】C3.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,不妨设x1<x2,得x1=--,x2=-,∴f'(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时,f'(x)<0;当x1<x<x2时,f'(x)>0.即f(x)在---和-,+∞上单调递减,在(--,-)上单调递增.(2)∵a>0,∴x1<0,x2>0.①当a≥4时,x2≥1,由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值;②当0<a<4时,0<x2<1,由(1)知f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,∴f(x)在x=x2处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,∴若0<a<1,f(x)在x=1处取得最小值;若a=1,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;若1<a<4,f(x)在x=0处取得最小值.题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)=ln(e x+1)-ax.(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,由已知得f'(x)=-a=1--a.当a≤0时,f'(x)>0,函数y=f(x)在R上单调递增.当a≥1时,f'(x)<0,函数y=f(x)在R上单调递减.当0<a<1时,由f'(x)>0,得(1-a)(e x+1)>1,即e x>-1+-,解得x>ln-;由f'(x)<0,得(1-a)(e x+1)<1,即e x<-1+-,解得x<ln-.∴当a∈(0,1)时,函数y=f(x)在-上单调递增,在-∞,ln-上单调递减.综上可知,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a≥1时,f(x)在R上单调递减;当0<a<1时,f(x)在-上单调递增,在--上单调递减.(2)若函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f'(x)=-a≥0,即a≤在x∈[0,+∞)上恒成立.令h(x)=,由h'(x)>0,得h(x)在[0,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(0)=,∴a≤,故实数a的取值范围是-.(1)研究含参数的函数的单调性时,要依据参数对不等式解集的影响分类讨论.【变式训练1】设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)已知g(x)=2ax-f'(x)-,证明:当x>1时,g(x)>0.【解析】(1)由题意得f'(x)=2ax-=-(x>0).若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.若a>0,由f'(x)=0得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)由已知得g(x)=2ax-2ax+-=-,要证g(x)>0,只需证->0.因为x>1,即证e x-1>x.令s(x)=e x-1-x,则s'(x)=e x-1-1.当x>1时,s'(x)>0,s(x)在(1,+∞)上单调递增,s(x)>s(1)=0,所以e x-1>x,从而g(x)=-->0.题型二利用导数研究函数的极值【例2】(2017湖南怀化市一模)已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.【解析】(1)当a=0时,f(x)=ln x+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1).又f'(x)=+1,则切线斜率k=f'(1)=2,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1,所以g'(x)=-ax+(1-a)=--.若a≤0,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.若a>0,g'(x)=--,令g'(x)=0,得x=,所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0,因此函数g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是,所以当x=时,g(x)有极大值g=-ln a.综上可知,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值.【变式训练2】求函数f(x)=x-a(ln x+1)(a∈R)的极值.【解析】由f'(x)=1-=-,x>0知,若a≤0,则f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值.若a>0,由f'(x)=0,解得x=a.当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=-a ln a,无极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值-a ln a,无极大值.题型三利用导数研究函数的最值【例3】已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=+ln x-1,x∈(0,+∞),所以f'(x)=-+=-,x∈(0,+∞).所以f'(2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为.又因为f(2)=ln 2-,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y--=(x-2),即x-4y+4ln 2-4=0.(2)因为f(x)=+ln x-1,所以f'(x)=-+=-,x∈(0,e].令f'(x)=0,得x=a.若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.若0<a<e,则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减;当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a.若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,所以当x=e时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a;当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.在熟练掌握求函数最值的步骤的基础上,还要注意正确求导,准确确定极值、端点处的函数值,比较极值与端点处函数值的大【变式训练3】已知函数f(x)=x-e ax(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在上的最大值.【解析】(1)f'(x)=1-a e ax,令f'(x)=1-a e ax=0,则x=ln .当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:故函数f(x)的增区间为-,减区间为.(2)由(1)知,当ln ≥,即0<a≤时,f(x)在上单调递增,所以f(x)max=f=-e2;当<ln <,即<a<时,由上表可知f(x)max=f=ln -;当ln ≤,即a≥时,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=-e.综上所述,当0<a≤时,f(x)max=-e2;当<a<时,f(x)max=ln -;当a≥时,f(x)max=-e.方法一分类讨论,不重不漏利用导数研究函数问题时,遇到题目中含有参数,常常要结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,此类题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况.参数有几何意义时还要考虑运用数形结合思想,分类讨论要做到分类标准明确,不重不漏.【突破训练1】已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)设g(x)=-,若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x-a ln x(x>0),f'(x)=1-=-,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)无极值;当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,综上可知,f(x)有1个极小值点.(2)若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,令h(x)=f(x)-g(x),即h(x)最小值>0在[1,e]上恒成立,则h(x)=x-a ln x+(a∈R),∴h'(x)=1--=-.当1+a≤1,即a≤0时,h(x)在[1,e]上为增函数,h(x)min=h(1)=1+1+a>0,解得a>-2,即-2<a≤0.当a>0时,①当1+a≥e,即a≥e-1时,h(x)在[1,e]上单调递减,∴h(x)min=h(e)=e+-a>0,解得a<-.∵->e-1,∴e-1≤a<-.②当1<1+a<e,即0<a<e-1时,h(x)min=h(1+a),∵0<ln(1+a)<1,∴0<a ln(1+a)<a,∴h(1+a)=a+2-a ln(1+a)>2,此时h(1+a)>0成立.时,不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立.综上可知,当-2<a<-方法二巧用转化思想,妙解导数题转化思想在导数研究函数中应用广泛,如根据函数单调性求参数的一般方法是转化为集合间的包含关系,建立不等式处理或转化为不等式的恒成立问题解决,即“若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0”来求解.【突破训练2】设函数f(x)=x2+a ln(x+1)(a为常数),若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.【解析】由题意知,f'(x)=≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2-2x在区间[1,+∞)上恒成立.∵-2x2-2x在[1,+∞)上的最大值为-4,∴a≥-4.经检验:当a=-4时,f'(x)=-=-≥0,x∈[1,+∞).∴实数a的取值范围是[-4,+∞).1.(2017安徽江淮十校三模)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是().A.1<a≤2B.a≥4C.a≤2D.0<a≤3【解析】∵f(x)=x2-9ln x,∴函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=x-.∵x>0,由f'(x)=x-≤0,得0<x≤3.∵函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,∴-解得1<a≤2.【答案】A2.(2017唐山一模)已知函数f(x)=ln x-x+,若a=f,b=f(π),c=f(5),则().A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b【解析】f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=-1-=--<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.∵5>π>,∴f(5)<f(π)<f,即c<b<a.【答案】A3.(2017湖南永州五中三模)已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是().A.ln a>b-1B.ln a<b-1C.ln a=b-1D.以上都不对【解析】f'(x)=3ax2-b-,∵x=1是f(x)的极值点,∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.令g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),则g'(a)=-3=-.令g'(a)>0,解得0<a<;令g'(a)<0,解得a>,故g(a)在上单调递增,在上单调递减,故g(a)max=g=1-ln 3<0,所以ln a<b-1.【答案】B4.(2017辽宁抚顺重点高中协作校一模)已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于().A.B. C.D.【解析】∵f'(x)=-·-2x,∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,∴f(x)=-x2,f'(x)=.令f'(x)>0,解得0<x<;令f'(x)<0,解得x>.∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,∴f(x)的最大值是f,∴a=.【答案】B5.(2017广东五校协作体一模)若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处取得极小值,则a=.【解析】f'(x)=3x2-4ax+a2,∴f'(2)=12-8a+a2=0,解得a=2或a=6.当a=2时,f'(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),函数在x=2处取得极小值,符合题意;当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值,不符合题意.综上,a=2.【答案】26.(2017四川绵阳月考)若函数f(x)=-在区间(0,2)上有极值,则a的取值范围是.【解析】f'(x)=-,令f'(x)>0,解得x<a+1;令f'(x)<0,解得x>a+1.故f(x)在(-∞,a+1)上单调递增,在(a+1,+∞)上单调递减,故x=a+1是函数f(x)的极大值点.由题意得,0<a+1<2,解得-1<a<1.【答案】(-1,1)7.(2017烟台一模)已知函数f(x)=x ln x,g(x)=-x2+ax-2.(1)若曲线f(x)=x ln x在x=1处的切线与函数g(x)=-x2+ax-2也相切,求实数a的值;(2)求函数f(x)在(t>0)上的最小值.【解析】(1)f'(x)=ln x+x·=ln x+1,当x=1时,f'(1)=1,f(1)=0.∴f(x)在x=1处的切线方程是y=x-1,联立---消去y得,x2+(1-a)x+1=0,由题意得,Δ=(1-a)2-4=0,解得a=3或a=-1.(2)由(1)知,f'(x)=ln x+1,若x∈,则f'(x)<0,f(x)单调递减;若x∈,则f'(x)>0,f(x)单调递增.当0<t<t+≤,即0<t≤-时,f(x)在上单调递减,∴f(x)min=f=t+ln;当0<t<<t+,即-<t<时,f(x)min=f=-;当≤t<t+,即t≥时,f(x)在上单调递增,∴f(x)min=f(t)=t ln t.综上可知,f(x)min=---8.(2017全国100所名校冲刺卷2)设函数f(x)=(x-a)ln x+b.(1)当a=0时,讨论函数f(x)在上的零点个数;(2)当a>0且函数f(x)在(1,e)上有极小值时,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=x ln x+b,∴f'(x)=1+ln x≥0在上恒成立,∴f(x)在上单调递增,∴f(x)min=f=-+b.当-+b≤0,即b≤时,函数有唯一的零点;当-+b>0,即b>时,函数没有零点.(2)∵f'(x)=ln x+-,x∈(1,e),令g(x)=ln x+-(a>0),∴g'(x)=+>0恒成立,∴g(x)在(1,e)上单调递增.∴g(x)>g(1)=1-a,g(x)<g(e)=2-.∵函数f(x)在(1,e)上有极小值,∴--解得1<a<2e,故实数a的取值范围为(1,2e).9.(2017石家庄二模)已知函数f(x)=m ln x,g(x)=(x>0).(1)当m=1时,求曲线y=f(x)·g(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性.【解析】(1)当m=1时,曲线y=f(x)·g(x)=,y'=-=.当x=1时,切线的斜率为.又切线过点(1,0),故切线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.(2)f'(x)=,g'(x)=,∴F'(x)=f'(x)-g'(x)=-=-.若m≤0,则F'(x)<0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.若m>0,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,Δ=(2m-1)2-4m2=1-4m,当Δ≤0,即m≥时,k(x)≥0,此时F'(x)≥0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.当Δ>0,即0<m<时,方程mx2+(2m-1)x+m=0有两个不相等的实根,不妨设x1<x2,则x1=---,x2=--.∴x1+x2=-=-2>2,x1·x2=1,∴0<x1<1<x2,此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.综上所述,当m≤0时,F(x)的单调递减区间是(0,+∞);当0<m<时,F(x)的单调递减区间是(x1,x2),单调递增区间是(0,x1),(x2,+∞);当m≥时,F(x)的单调递增区间是(0,+∞).10.设a为实数,函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,e x>x2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x∈R,知f'(x)=e x-2,x∈R.令f'(x)=0,得x=ln 2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).(2)设g(x)=e x-x2+2ax-1,x∈R,于是g'(x)=e x-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln 2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即e x-x2+2ax-1>0,故e x>x2-2ax+1.§6.2导数的综合应用一利用导数证明不等式的基本步骤1.作差或变形.2.构造新的函数h(x).3.对h(x)求导.4.利用h'(x)判断h(x)的单调性或最值.5.下结论.二一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f'(x)=3ax2+2bx+c.方程f'(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac.1.当Δ≤0,即b2≤3ac时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上为增函数,又易知存在x',x″∈R,使f(x')f(x″)<0,故方程f(x)=0有个实根.2.当Δ>0,即b2>3ac时,方程f'(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1<x2),函数在x1处取得极大值M,在x2处取得极小值m(M>m).(1)当m>0时,方程f(x)=0有个实根;(2)当m=0时,方程f(x)=0有个实根;(3)当m<0,M>0时,方程f(x)=0有个实根;(4)当M=0时,方程f(x)=0有个实根;(5)当M<0时,方程f(x)=0有个实根.三利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1.设自变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域.2.求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.3.比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.4.回归实际问题作答.☞左学右考已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为().A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件设a∈R,若函数y=e x+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是().A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是.若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点,则a的值为.已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴有三个交点,求c的取值范围.知识清单二、1.一2.(1)一(2)两(3)三(4)两(5)一基础训练1.【解析】y'=-x2+81=-(x-9)(x+9),由已知得当x∈(0,9)时,函数单调递增;当x∈(9,+∞)时,函数单调递减.所以当x=9时,该生产厂家获得年利润最大.【答案】C2.【解析】y'=e x+a,由已知得x=ln(-a)>0,解得a<-1.【答案】B3.【解析】f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0得x=1或x=-.若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则a<f(x)min=f(1)=.【答案】-4.【解析】f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),因为f(x)恰好有两个不同的零点,所以f(1)=2-9+12-a=0或f(2)=16-36+24-a=0,解得a=5或a=4.【答案】4或55.【解析】对f(x)求导得f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1)=0,解得x=±1.因为函数f(x)的图象与x轴有三个交点,所以f(1)<0且f(-1)>0,解得-2<c<2.题型一不等式恒成立问题【例1】已知函数f(x)=ax+x ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.【解析】(1)f'(x)=a+ln x+1,由题意知f'(x)≥0在[e,+∞)上恒成立,即ln x+a+1≥0在[e,+∞)上恒成立,即a≥-(ln x+1)在[e,+∞)上恒成立.又[-(ln x+1)]max=-(ln e+1)=-2,∴a≥-2.故a的取值范围是[-2,+∞).(2)∵f(x)=x+x ln x,x∈(1,+∞),∴k<-,即k<-对任意x>1恒成立.令g(x)=-,则g'(x)=---.令h(x)=x-ln x-2(x>1),则h'(x)=1-=->0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.∵h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0.即当1<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0;当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0.∴g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.由h(x0)=x0-ln x0-2=0,得ln x0=x0-2,g(x)min=g(x0)=-=--=x0∈(3,4),∴k<g(x)min=x0且k∈Z,即k max=3.求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题,一般常用分离参数的方法,但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其【变式训练1】设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.【解析】(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,所以f'(x)=-2x+a=--.因为a>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).(2)要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,则f(1)≥e-1,得a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]上单调递增,只要---解得a=e.题型二利用导数证明不等式【例2】设函数f(x)=ln x+.(1)求函数f(x)的单调性.(2)若a=2,证明:对任意的实数x>0,都有f(x)>e-x.【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=-,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,令f'(x)>0,解得x>.令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)在上单调递减,在上单调递增;综上可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.,(2)要证明f(x)>e-x,即证明eln x+>-构造函数h(x)=e x-1-x,h'(x)=e x-1-1,令h'(x)=0,得x=1.故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.∴h(x)≥h(1)=0,于是有e x-1≥x,x>0,从而≤.-下面只需证明eln x+≥,即证eln x+≥0.令F(x)=eln x+(x>0),则F'(x)=-=-,故F(x)在上单调递减,在上单调递增,即F(x)≥F=0.∵当x=时,e x-1>x,∴0<-<,∴eln x+>-.利用导数证明不等式的方法:一般是构造辅助函数,并求此函数的导数,然后根据函数的单调性、极值、最值等证明,如证明【变式训练2】当0<x<时,求证:tan x>x+.【解析】设f(x)=tan x-,则f'(x)=-1-x2=tan2x-x2=(tan x-x)(tan x+x).令g(x)=x-tan x,则g'(x)=1-.因为0<x<,所以g'(x)<0,所以g(x)在上单调递减,g(x)<g(0)=0,所以x<tan x,所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(0).而f(0)=0,所以f(x)>0,即tan x-(x+)>0,故tan x>x+.题型三利用导数研究函数的零点问题【例3】已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间上无零点,求a的最小值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x-1-2ln x,则f'(x)=1-,定义域为(0,+∞).由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)<0,得0<x<2.故f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(2)f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x,令m(x)=(2-a)(x-1),h(x)=2ln x,则f(x)=m(x)-h(x).①当a<2时,m(x)在上为增函数,h(x)在上为增函数.由m(x)和h(x)的图象可知,若f(x)在上无零点,则m≥h,即(2-a)-≥2ln ,∴a≥2-4ln 2,∴2-4ln 2≤a<2.②当a≥2时,在区间上,m(x)≥0,h(x)<0,∴f(x)>0,∴f(x)在上无零点.由①②得a≥2-4ln 2,∴a min=2-4ln 2.【变式训练3】已知x=1是函数f(x)=ax3-x2+(a+1)x+5的一个极值点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实数m的取值范围.【解析】(1)f'(x)=ax2-3x+a+1,由f'(1)=0,得a=1,∴y=x3-x2+2x+5.(2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,即g(x)=x3-x2+2x+5-2x-m=0有三个根,即有三个零点.由g'(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.由g'(x)>0得x<0或x>3;由g'(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(-∞,0)和(3,+∞)上为增函数,在(0,3)上为减函数.要使g(x)有三个零点,只需解得<m<5.故实数m的取值范围为.题型四利用导数研究生活中的优化问题【例4】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.y=-(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为当x=5时,y=11,所以+10=11,解得a=2.(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,-所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)·-=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.从而f'(x)=10[(x-6)2+2(x--3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:由表可得,当x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.费用、用料最省、利润最高等问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究【变式训练4】一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知轮船速度为10千米/时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问:此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小?【解析】设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元,则Q=kx3.由6=k×103,可得k=,∴Q=x3.∴总费用y=·=x2+.∵y'=-,令y'=0,得x=20,∴当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减;当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增.∴当x=20时,y取得最小值,∴此轮船以20千米/时的速度行驶时,每千米的费用总和最小.方法一构造函数法解决数学问题的方法有很多,构造函数法是其中的一种基本方法.所谓构造函数法就是根据问题的条件或结论所具有的特征,通过构造一个相关的新函数,实现问题的转化,使转化后的问题比原问题更易理解,更富启发性,从而使问题得以解决.构造辅助函数的方法很多,在选择构造方法的过程中要注意根据实际需要,使构造的辅助函数为问题的解决起到桥梁的作用.【突破训练1】(2017武汉调研)已知函数f(x)=ln x--(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:不等式(x+1)ln x>2(x-1)对任意x∈(1,2)恒成立.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-.当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数;当a>0时,f(x)在(a,+∞)上为增函数,在(0,a)上为减函数.(2)令F(x)=(x+1)ln x-2(x-1),F'(x)=ln x+-2=ln x--.令φ(x)=ln x--,由(1)知当a=1时,φ(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.∵x∈(1,2),则φ(x)在(1,2)为增函数,φ(x)>φ(1)=0,即x∈(1,2),F'(x)>0,∴F(x)在(1,2)上为增函数.∴F(x)>F(1)=0,∴(x+1)ln x>2(x-1)对任意x∈(1,2)恒成立.方法二分离参数法分离参数法是解决含参问题的基本思想之一,对待含参不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的性质就可以解决问题.【突破训练2】当x∈[-2,0]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】当x=0时,ax3-x2+4x+3≥0变为3≥0恒成立,即a∈R.当x∈[-2,0)时,a≤--,∴a≤--.设φ(x)=--,则φ'(x)=--,当x∈[-2,-1)时,φ'(x)<0;当x∈(-1,0)时,φ'(x)>0.∴当x=-1时,φ(x)有极小值,即为最小值.而φ(x)min=φ(-1)=-=-2,∴a≤-2.-综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2].1.(2017湖北联考)已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是().A.a∈-B.a∈-C.a∈-D.a∈【解析】由已知f'(x)=2ax-4a-,当a=0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.当a≠0时,要使f(x)在(1,3)上不单调,则f'(x)=2ax-4a-=0在(1,3)上有解.此方程可化为2ax2-4ax-1=0,得x1+x2=2,因此方程的两个解不可能都大于1,从而它在(1,3)上只有一个解.又充要条件是(2a-4a-1)(18a-12a-1)<0,解得a<-或a>,因此选项D是满足要求的一个充分不必要条件.故选D.【答案】D2.(2017广西一模)若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)<xf'(x),则().A.2f(1)<f(2)B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2)D.f(1)=f(2)【解析】设g(x)=,则g'(x)=-.∵f(x)<xf'(x),∴g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴<,即2f(1)<f(2).【答案】A。

2019年全国版高考数学必刷题：第十二单元空间几何体的结构特征

第十二单元空间几何体的结构特征考点一根据三视图求简单多面体、切割体等的体积或表面积1.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为().A.10B.12C.14D.16【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体的各个面中有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.【答案】B2.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为().A.90πB.63πC.42πD.36π【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被一个平面截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于上部分圆柱体积的加上下部分圆柱的体积,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.故选B.【答案】B3.(2016年全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是().A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的,得到的几何体如图.设球的半径为R,则πR3-·πR3=π,解得R=2.因此它的表面积为·4πR2+πR2=17π.故选A.【答案】A4.(2015年全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=().A.1B.2C.4D.8【解析】如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=·4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选B.【答案】B5.(2016年北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为().A. B. C. D.1【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,通过侧(左)视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=××1=.【答案】A6.(2016年全国Ⅱ卷)如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为().A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】由三视图可知圆柱的底面直径为4,母线长(高)为4,所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π,底面积为π×22=4π;圆锥的底面直径为4,高为2,所以圆锥的母线长为=4,所以圆锥的侧面积为π×2×4=8π.所以该几何体的表面积为S=16π+4π+8π=28π.【答案】C7.(2016年全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为().A.18+36B.54+18C.90D.81【解析】由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则该几何体的表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故选B.【答案】B考点二简单几何体的内切球或外接球的有关问题8.(2017年全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为().A.πB.C.D.【解析】设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r=-=.∴圆柱的体积V=πr2h=π×1=.故选B.【答案】B9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O 的表面积为().A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】如图,设球的半径为R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=R2.∵V O-ABC=V C-AOB,而△AOB的面积为定值,∴当点C到平面AOB的距离最大时,V O-ABC最大,∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积V O-ABC最大,最大值为·R2·R=36,∴R=6,∴球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.故选C.【答案】C10.(2017年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.【解析】设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=.设球的半径为R,则由题意知2R==3,∴R=.故球的体积V=R3=×=.【答案】高频考点:三视图还原几何体,求空间几何体的体积、表面积,几何体外接球、内切球的体积和表面积.命题特点:一般是两个小题,选择题或填空题,常常是一个考查三视图,另一个考查球的组合体,题目注重空间想象能力的考查,属中档题.§12.1空间几何体的三视图及其应用一空间几何体的结构特征1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都,上下底面是的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面都是有一个的三角形.(3)棱台可由于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是的多边形.2.旋转体的结构特征(1)圆柱由绕其所在直线旋转而成.(2)圆锥由绕其所在直线旋转而成.(3)圆台由绕其所在直线旋转而成.二空间几何体的三视图几何体的三视图包括:、、,分别是从几何体的、、观察到的几何体的正投影图.三表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积S圆柱=;S圆锥=;S圆台=.2.柱体、锥体、台体的体积(1)柱体:.(2)锥体:.(3)台体:.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号里画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)圆锥的三视图中,三个视图均相同.()(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.()某几何体的正(主)视图是三角形,则该几何体不可能是().A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为15,若圆台的侧面积为420π,求圆台较小底面的半径.知识清单一、1.(1)平行且相等全等(2)公共顶点(3)平行相似2.(1)矩形一边(2)直角三角形任一直角边(3)直角梯形直角腰二、正(主)视图侧(左)视图俯视图正前方正左方正上方三、1.2πr(r+h)πr(r+l)π(r2+rl+Rl+R2)2.(1)V=Sh(2)V=Sh(3)V=(S'++S)h基础训练1.【解析】(1)错,因为两个共底面的棱柱叠放时就不一定是棱柱.(2)错,各侧面三角形必须共顶点.(3)错,圆锥的三个视图不相同.(4)错,还应该乘以.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2.【解析】圆柱无论如何摆放,其正(主)视图都不可能是三角形.【答案】A3.【解析】设圆台较小底面半径为r,则另一个底面半径为3r,由S=π(r+3r)·15=420π,解得r=7.题型一由空间几何体的直观图判断三视图【例1】某几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是().【解析】几何体的俯视图轮廓是矩形,几何体的上部分的棱都是可以看见的线段,所以C,D不正确;几何体的上部分中间的棱与正(主)视图方向垂直,所以A不正确.故选B.【答案】B此类题目比较简单,解题的关键是选准视点,弄清楚轮廓线,看得见的轮廓线用实线表示,看不见的轮廓线用虚线表示.【变式训练1】将正方体(如图①)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为().【解析】还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.【答案】B题型二根据给出的三视图还原几何体【例2】一个几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的简单几何体为().A.圆柱与圆台B.圆柱与四棱台C.四棱柱与四棱台D.四棱柱与圆台【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体,由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱,由下部的三视图中有两个梯形可得下部是四棱台,故组成该几何体的简单几何体为四棱柱与四棱台,故选C.【答案】C由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.【变式训练2】(1)如图所示的是一个几何体的三视图,则据此可知该几何体的直观图是().(2)如图所示的是一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是().【解析】(1)由三视图知该组合体的上面是锥体,下面是圆柱.(2)对于A,该几何体的三视图恰好与已知图形相符,故A符合题意;对于B,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意;对于C,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是从左上到右下的方向,故不符合题意;对于D,该几何体的侧(左)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意.故选A.【答案】(1)D(2)A题型三根据三视图求几何体的表面积【例3】某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为().A.2+πB.2+πC.2+(1+)πD.2+π【解析】由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为1,高为2,圆锥的母线长为,∴所求几何体的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×1×=2+π.故选A.【答案】A组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积的两倍,要注意重叠的面的面积不能算.【变式训练3】(1)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为().A.36+3B.36+6C.54D.27(2)如图所示的是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为8的矩形,则该几何体的表面积是().A.20+8B.24+8C.8D.16【解析】(1)由三视图可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的四棱柱,其底面积为×(2+4)×3=9,底面周长为2+4+2=6+2,高h=3,故棱柱的表面积S=2×9+(6+2)×3=36+6,故选B.(2)此几何体是一个三棱柱,且高为=4,因为底面是一个等腰直角三角形,直角边长为2,所以其面积为×2×2=2,故其侧面积为(2+2+2)×4=16+8,表面积为2×2+16+8=20+8.故选A.【答案】(1)B(2)A题型四根据三视图求几何体的体积【例4】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.+8πB.+8πC.+16πD.+16π【解析】由三视图可得该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体.半圆柱的底面半径为2,高为4,故其体积为×π×22×4=8π;三棱锥的底面积为×4×2=4,高为2,故其体积为.所以所求组合体的体积V=+8π,故选A.【答案】A求组合体的体积时,关键是弄清楚几何体是由哪几种简单几何体组合而成的,然后由相应几何体的体积公式得出.【变式训练4】如图所示的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是().A.2+B.2+C.4+D.4+【解析】由三视图可知,该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体.这个几何体的体积V=×π×12×1+×()2×2=2+.故选B.【答案】B方法一空间几何体表面积的求法多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.已知三视图求几何体的表面积时,首先根据三视图还原出几何体,此时需要利用线与线的位置关系以及线与面的位置关系分析表面的相对位置关系,然后根据三视图中数据确定对应线段的长度,进而求出表面积.【突破训练1】(2017大石桥学业考试)下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为().A.32B.16+16C.48D.16+32【解析】由几何体的三视图,得该几何体是底面边长为4,高为2的正四棱锥,所以该四棱锥的斜高为=2.所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16,底面积为4×4=16,所以几何体的表面积为16+16.故选B.【答案】B方法二空间几何体体积的求法1.求简单几何体的体积.若所给的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.2.求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解,特别是三棱锥的体积常用等体积法求解.3.求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.【突破训练2】(2017枝江模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.+B.1+C.+D.1+【解析】根据已知条件可得该几何体是一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体.四分之一圆锥的底面半径为1,高为1,故其体积为××1=;三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形,高为1,故其体积为×1×2×1=1,故组合体的体积V=1+,选B.【答案】B1.(2017西安一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正(主)视图中的x的值是().A.2B.C.D.3【解析】根据三视图判断该几何体为四棱锥,其直观图如图所示,∵V四棱锥=××2×x=3,∴x=3.【答案】D2.(2017洛阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为().A.B.C.D.3【解析】由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×=,S△ACD=×1×=,故选B.【答案】B3.(2017楚雄州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为().A.96B.80+4πC.96+4(-1)πD.96+4(2-1)π【解析】由三视图可知该几何体是由边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半径为2,高为2,∴圆锥的母线长为2.∴几何体的表面积为6×42-π×22+π×2×2=96-4π+4π.故选C.【答案】C4.(2017江西二模)圆锥的底面半径为a,侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是().A.2πa2B.4πa2C.πa2D.3πa2【解析】若圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为底面半径的2倍.因为圆锥的底面半径为a,所以圆锥的母线长为2a,故圆锥的侧面积S=2πa2.【答案】A5.(2017福建模拟)某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线,如图所示,若该三棱锥的体积是,则它的表面积是().A.1B.2C.2D.2【解析】如图所示,该三棱锥是正方体的面对角线构成的正三棱锥.设正方体的棱长为a,则几何体的体积是a3-4××a3=a3=,∴a=1,∴三棱锥的棱长为,因此该三棱锥的表面积S=4××2=2,故选D.【答案】D6.(2017西宁二模)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是().A.8B.C.4D.【解析】由三视图可知,该四棱锥是一个底面为正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.由题意知底面正方形对角线的长为2,面积S=×22=2,四棱锥的高h=2,所以它的体积是×2×2=,故选D.【答案】D7.(2017山东二模)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形和一个半圆组成,则该几何体的体积为().A.6π+12B.6π+24C.12π+12D.24π+12【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体,V=×π×22×3+×2×4×3=6π+12,故选A.【答案】A8.(2017商丘二模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为().A. B.3 C.D.4【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD,连接BD,其体积V=V B-PAD+V B-PCD=××1×3×3+××1×3×3=3.故选B.【答案】B9.(2017大理州一模)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是().A.8+B.8+C.8+D.【解析】根据三视图可知,该几何体是组合体,下面是正方体,棱长为2,体积为8;上面是斜高为2,底面边长为2的正四棱锥,所以底面积为4,高为-=,体积为.所以该几何体的体积为8+.故选A.【答案】A10.(2017湘西州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.40B.C.D.【解析】由几何体的三视图得,该几何体是三棱柱BCE-AGF割去一个三棱锥A-BCD所得的图形,如图所示.∴V几何体×4=.故选B.CDEFGA=×4×4×4-××【答案】B11.(2017合肥一模)一个几何体的三视图如图所示(其中正(主)视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为().A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π【解析】由三视图,可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的柱体,其底面积为4×4-2×2+π×22=12+π,底面周长为4+4+2+2+×2×π×2=12+π,柱体的高为4,故柱体的表面积S=(12+π)×2+(12+π)×4=72+6π.【答案】A12.(2017沈阳三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图):底面ABCD 为矩形,棱EF∥AB.在此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为().A.8B.8+8C.6+2D.8+6+2【解析】过点F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,OP,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,连接OQ.∵△ADE和△BCF 都是边长为2的等边三角形,∴OP=(AB-EF)=1,PF=,OQ=BC=1,∴OF=-=,FQ==,∴S梯形EFBA=S梯形EFCD=×(2+4)×=3.又S△BCF=S△ADE=×22=,S矩形ABCD=4×2=8,∴该几何体的表面积S=3×2+×2+8=8+8.【答案】B13.(2017衡水一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A. B.C.D.【解析】该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,其面积S1=×1×2=1,高为1,故三棱柱的体积V1=1×1=1.三棱锥的底面是等腰直角三角形,其面积S2=×1×2=1,高为1,故三棱锥的体积V2=×1×1=.故该几何体的体积V=V1+V2=.【答案】A14.(2017贵阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.16π-B.16π-C.8π-D.8π-【解析】由三视图可知,该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥.∴该几何体的体积V=×π×22×4-×42×2=8π-.故选D.【答案】D15.(2017临翔区校级三模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为().A.4+8+2B.4+8+4C.8+8+4D.8+8+2【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形,面积为4,两个侧面是全等的三角形,三边分别为2,2,4,面积之和为4,另一个侧面为等腰三角形,面积是×4×4=8,该三棱锥的表面积为4+8+4.【答案】B§12.2球的体积与表面积一球的结构、球的体积与表面积1.球由绕其直径所在直线旋转一周而成.2.球的体积与表面积公式(1)球的体积公式.(2)球的表面积公式.二球体的截面的特点球既是中心对称的几何体,又是对称的几何体,它的任何截面均为,它的三视图都是.☞左学右考一个球的表面积是16π,则它的体积是.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为,,,则该三棱锥的外接球表面积为().A.4πB.6πC.8πD.10π知识清单一、1.半圆面2.(1)V=πR3(2)S=4πR2二、轴圆面圆基础训练1.【解析】由4πR2=16π得R=2,所以球的体积为V=πR3=.【答案】2.【解析】三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,它的外接球就是其扩充为长方体的外接球,设PA=a,PB=b,PC=c,则ab=,bc=,ca=,解得a=,b=1,c=.故长方体的体对角线的长为=.所以球的直径是,半径R=,则球的表面积S=4πR2=6π.【答案】B题型一柱体的外接球【例1】已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=,DE垂直于平面ABCD交球O于点E,则棱锥E-ABCD的体积为.【解析】如图所示,BE过球心,∴DE=--=2,∴V E-ABCD=×3××2=2.【答案】2棱柱的外接球半径的求法:明确球心、球的半径与棱柱底面的外接圆半径的关系是解决问题的关键.【变式训练1】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为().A.8πB.πC.12πD.4π【解析】正方体的体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为=2,即为球的直径,所以球的半径为,所以球的表面积为4π×()2=12π.故选C.【答案】C题型二锥体的外接球【例2】已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,BC⊥CD,AC⊥平面BCD,且AC=2,BC=CD=2,则球O的表面积为().A.4πB.8πC.16πD.2π【解析】∵AC⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴AC⊥BC,∵BC⊥CD,AC∩CD=C,∴BC⊥平面ACD,∴三棱锥A-BCD可以扩充为以AC,BC,DC为棱的长方体,外接球的直径为该长方体的体对角线,∴4R2=AC2+BC2+CD2=16,∴R=2,∴球O的表面积为4πR2=16π.【答案】C抓住棱锥的线面关系是解决棱锥的外接球问题的关键,三条侧棱两两垂直或对棱相等的三棱锥可放入正方体(或长方体)中考【变式训练2】(2017广西模拟)某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为().A.50πB.50πC.40πD.40π【解析】由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,由底面三边长为3,4,5,得底面外接圆的半径r=,球心到底面的距离d=,故球的半径R=,故该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=50π.【答案】A题型三多面体的内切球【例3】(2016年全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是().A.4πB.C.6πD.【解析】由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,即V的最大值为.【答案】B通过三棱柱底面三角形的内切圆直径与三棱柱的高比较来确定球的最大直径.【变式训练3】已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,则这个三棱柱的表面积是().A.6B.12C.18D.24【解析】由球的体积公式,得πR3=,∴R=1.∴正三棱柱的高h=2R=2.设正三棱柱的底面边长为a,则其内切圆的半径为×a=1,∴a=2.∴该正三棱柱的表面积为3a×2R+2×a2=18.【答案】C方法球中的最值问题求几何体外接球体积、表面积的最值的问题,主要考查二次函数的配方法和基本不等式的运用.【突破训练】(1)(2017南昌月考)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正四棱柱(线段BC四等分),则这个正四棱柱外接球的表面积的最小值为.【解析】设正四棱柱的底面边长为x,高为y,则8x+2y=18,即4x+y=9,0<x<,正四棱柱的外接球半径为=-,当且仅当x=2时,半径的最小值为,∴外接球的表面积的最小值为9π.【答案】9π1.(2017乌鲁木齐期末)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是().A.B.C.D.π【解析】设正方体的边长为a,则球的半径为,所以球的表面积S1=4πR2=4π×a2=3πa2,而正方体的表面积S2=6a2,所以比值=.【答案】C2.(2017江西二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为().A.36πB.8πC.D.【解析】由几何体的三视图得,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥,如图所示.该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,设几何体外接球的半径为R,∵底面是等腰直角三角形,∴底面外接圆的半径为1,∴R2=1+1=2,∴外接球的表面积是4πR2=8π.故选B.【答案】B3.(2016天津期末)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB⊥AC,AA1=12,AB=3,AC=4,则球O的半径为().A.B.2C.D.3【解析】因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1经过球的球心,且球的直径是其对角线的长.因为AB=3,AC=4,所以BC=5,所以BC1=13,所以球的半径为.故选C.【答案】C4.(2017宝清县一模)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为().A.B.C.4D.2π【解析】由三视图知,该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图所示.这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,故这个几何体的外接球的半径R=PD=.所以这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×=.【答案】A5.(2016安康三模)一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为().A.B.C.D.3【解析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是外接球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,所以r==.故选A.【答案】A6.(2017郑州三模)四面体ABCD中,AB=CD=10,AC=BD=2,AD=BC=2,则四面体ABCD外接球的表面积为().A.50πB.100πC.200πD.300π【解析】由题意可采用构造法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,故构造一个长、宽、高分别x、y、z的长方体,使得过同一顶点的三个面的面对角线长分别为10,2,2,则三棱锥A-BCD为长方体中的一个内嵌三棱锥,如图所示,所以x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,设外接球的半径为R,则有(2R)2=x2+y2+z2=200,所以4R2=200,所以外接球的表面积为S=4πR2=200π.故选C.【答案】C7.(2017福建模拟)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且AB=,BC=,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为().A.B.C.D.【解析】∵AB=,BC=,AC=2,∴PA=1,PC=,PB=2.以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图所示,则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球.∵长方体的体对角线长为=2,∴球的直径为2,半径R=.因此,三棱锥P-ABC的外接球的体积是R3=×()3=,故选B.【答案】B8.(2017张家口模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示,这个空间几何体的顶点均在同一个球面上,则此球的体积与表面积之比为().A.1∶3B.3∶1C.4∶1D.3∶2【解析】由三视图知几何体是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为的正方形.因为四棱锥的高为1,所以球心在高所在的直线上,易知球心在底面四边形的中心,故此几何体外接球的半径为1,故球的体积为×π×13=,表面积为4×π×12=4π,所以球的体积与表面积之比为1∶3,故选A.【答案】A9.(2017江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为.。

2019高考数学(理)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷7套解答题必刷卷2套解答必刷卷(一)答案

解答必刷卷(一)题组一刷真题1.解:(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减,而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点.(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.2.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意.②若a>0,由f'(x)=1-=-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一极小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0,故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+,得ln<,从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.故…<e.而>2,所以m的最小值为3.3.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.(ii)若a>2,令f'(x)=0,得x=--或x=-.当x∈0,--∪-,+∞时,f'(x)<0;当x∈--,-时,f'(x)>0.所以f(x)在0,--,-,+∞单调递减,在--,-单调递增.(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.题组二刷模拟4.解:f'(x)=(x-1)e x+a-=--(x>0).(1)令g(x)=x e x-a(x>0),则g'(x)=(x+1)e x>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0)=-a.因此,当a≤0或a=e时,f'(x)只有一个零点;当0<a<e或a>e时,f'(x)有两个零点.(2)当a≤0时,x e x-a>0,则函数f(x)在x=1处取得最小值,最小值为f(1)=-e,符合题意.当a>0时,函数y=x e x-a在(0,+∞)上单调递增,则必存在正数x0,使得x0-a=0.若a>e,则x0>1,函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增,在(1,x0)上单调递减,又f(1)=-e,故不符合题意.若a=e,则x0=1,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-e,故不符合题意.若0<a<e,则0<x0<1,设正数b=--∈(0,1),则f(b)=(b-2)e b+a(ln b-b+1)<a(ln ---b+1)=a--=-e-ab<-e,与函数f(x)的最小值为-e矛盾.综上所述,a的取值范围为(-∞,0].5.解:(1)h(x)=--x2+2x-1,h'(x)=----x+2=(x-2)-.由h'(x)>0,得0<x<2,由h'(x)<0,得x<0或x>2,∴h(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,∴h(x)的极大值为h(2)=1-,h(x)的极小值为h(0)=0.(2)证明:∵f'(x)=-,∴f'(0)=-2,又f(0)=1,∴f(x)的图像在x=0处的切线方程为y=-2x+1.∵g'(x)=-2x+b,∴g'(0)=b=-2,又易知g(x)的图像过点(0,1),∴g(x)=-x2-2x+1.∵-2x+1≥-x2-2x+1恒成立,∴只需证-≥-2x+1恒成立.令m(x)=-+2x-1,则m'(x)=-.令n(x)=2e x+x-2,则n(x)在R上单调递增,且n(0)=0,∴m(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,∴m(x)≥m(0)=0恒成立,∴-≥-2x+1恒成立,∴-≥-2x+1≥-x2-2x+1恒成立,即h(x)≥0恒成立.6.解:(1)由题可得f'(x)=e x-x+a,设g(x)=e x-x+a,则g'(x)=e x-1,所以当x>0时,g'(x)>0,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,当x<0时,g'(x)<0,f'(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f'(x)≥f'(0)=1+a.因为a>-1,所以1+a>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增.(2)证明:由(1)知f'(x)在[1,+∞)上单调递增,因为a<1-e,所以f'(1)=e-1+a<0,所以存在t∈(1,+∞),使得f'(t)=0,即e t-t+a=0,即a=t-e t,所以函数f(x)在[1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,所以当x∈[1,+∞)时,f(x)min=f(t)=e t-t2+at=e t-t2+t(t-e t)=e t(1-t)+t2.令h(x)=e x(1-x)+x2,x>1,则h'(x)=x(1-e x)<0恒成立,所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)<e(1-1)+×12=,所以e t(1-t)+t2<,即当x∈[1,+∞)时,f(x)min<,故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于.。

(最新)2019年高考数学考点01 集合必刷题理

考点1 集合1．如果集合，，则（）A． B． C． D．2．设集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合=,集合,则。

故答案为：B.3．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A.4．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，.故选C.5．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知集合，，∴A∩B中的元素满足：解得：则A∩B=.故选D.6．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A． B．C． D．7．已知函数的定义域为集合M，集合A． B． C． D．【答案】D【解析】由x-1＞0，解得：x>1，故函数y=ln（）的定义域为M=，由x2﹣x0，解得：0x1，故集合N={x|x2﹣x0}=，∴，故选：D．8．A=，B=，则A∩B＝( )A． (2,4] B． [2,4] C． (－∞，0)∪(0,4] D． (－∞，－1)∪[0,4]【答案】A【解析】，，则.选.9．已知集合A=，集合B=，，则A∩B=（）A． B． C． D．10．已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得则故选C.11．集合,则集合的真子集的个数是A． 1个 B． 3个 C． 4个 D． 7个【答案】B【解析】由题意，集合，则，所以集合的真子集的个数为个，故选B．12．已知集合,则=A． B． C． D．13．已知集合，则满足条件的集合的个数为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得到：有，即找集合M的子集个数，有：共有4个集合是M的子集.故答案为：D.14．设集合.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故答案为：C15．已知集合，集合，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得A={x|-2<x<3},所以={x|x≤-2或x≥3}，所以=. 故答案为：A16．已知集合,,则（）A． B． C． D．17．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.18．已知集合，，则∁A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.19．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选A.20．已知，，则（）A． B．C． D．21．已知集合，，则_________．【答案】【解析】因为，，所以，故{0,7}，故填. 22．已知集合，.（1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）2；（2）【解析】由已知得: ，.(1)因为,所以，故，所以.(2).因为,或，所以或.所以的取值范围为.23．已知集合A=(-2,8),集合（1）若,求实数m的取值范围;（2）若A∩B=(a,b)且b-a=3,求实数m的值③当时，即解得，综上，m的值为或1．。

2019年全国版高考数学必刷题：第三单元基本初等函数

第三单元基本初等函数(Ⅰ)考点一化简求值类1.(2017年北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ).(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】由题意得,lg M N=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80lg 10≈361×0.48-80×1=93.28.又lg 1033=33,lg 1053=53,lg 1073=73,lg 1093=93, 故与M N最接近的是1093.故选D . 【答案】D2.(2015年浙江卷)若a=log 43,则2a+2-a= .【解析】∵a=log 43=lo g 223=12log 23=log 2√3,∴2a +2-a =2log 2√3+2-log 2√3=√3+2log 2√33=√3+√33=4√33.【答案】4√333.(2015年山东卷)已知函数f (x )=a x+b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .【解析】当a>1时,函数f (x )=a x +b 在[-1,0]上为增函数,由题意得{a -1+b =-1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,函数f (x )=a x+b 在[-1,0]上为减函数,由题意得{a -1+b =0,a 0+b =-1,解得{a =12,b =-2,所以a+b=-32. 【答案】-32考点二比较大小类4.(2016年全国Ⅰ卷)若a>b>1,0<c<1,则( ).A .a cb>1,0<c<1时,a c >b c ,选项A 不正确. ∵y=x α,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数, ∴当a>b>1,0<c<1,即-1<c-1<0时, a c-1ba c ,选项B 不正确.∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴a lg a>b lg b>0, ∴algb >blga .又∵0<c<1,∴lg c<0.∴algc lgb <blgc lga ,∴a log b clog b c ,选项D 不正确. 【答案】C5.(2017年天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ).A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【解析】a=g (-log 25.1)=(-log 25.1)·f (-log 25.1)=log 25.1f (log 25.1)=g (log 25.1).已知f (x )在R 上是增函数,可设0<x 1<x 2, 则f (x 1)<f (x 2).从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2),即g (x 1)<g (x 2). 所以g (x )在(0,+∞)上也为增函数.又log 25.1>0,20.8>0,3>0,且log 25.1<log 28=3,20.8<21<3,20.8<21=log 24<log 25.1, 所以3>log 25.1>20.8>0,所以c>a>b. 故选C . 【答案】C6.(2017年全国Ⅰ卷)设x ,y ,z 为正数,且2x =3y =5z,则( ).A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z 【解析】令t=2x=3y=5z,∵x ,y ,z 为正数,∴t>1,则x=log 2t=lgtlg2,同理,y=lgt lg3,z=lgt lg5. ∴2x-3y=2lgt lg2-3lgtlg3=lgt (2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgt (lg9-lg8)lg2×lg3>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=2lgt lg2-5lgt lg5=lgt (2lg5-5lg2)lg2×lg5 =lgt (lg25-lg32)lg2×lg5<0,∴2x<5z ,∴3y<2x<5z.故选D .【答案】D考点三函数应用类7.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( ).A.-12B .13C .12D .1【解析】f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)=(x-1)2+a [e x-1+e -(x-1)]-1,令t=x-1,则g (t )=f (t+1)=t 2+a (e t +e -t)-1.∵g (-t )=(-t )2+a (e -t +e t )-1=g (t ), ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点,∴g (t )也有唯一零点.又∵g (t )为偶函数,由偶函数的性质知g (0)=0,∴2a-1=0,解得a=12.故选C .【答案】C8.(2016年山东卷)已知函数f (x )={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .【解析】作出f (x )的图象如图所示.当x>m 时,x 2-2mx+4m=(x-m )2+4m-m 2,∴要使方程f (x )=b 有三个不同的根,则有4m-m 2<m ,即m 2-3m>0.又m>0,解得m>3.【答案】(3,+∞)高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.命题特点:以选择题、填空题的形式考查,题目注重基础.§3.1 二次函数与幂函数一二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式:f (x )= (a ≠0).顶点式:f (x )=a (x-h )2+k (a ≠0),顶点坐标为 .两根式(交点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别为f(x)=0的两个实根.(函数对应的方程有实根的情况)2.二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象定义域R值域[4ac-b24a,+∞)(-∞,4ac-b24a]单调性在(-∞,-b2a]上单调递减,在[-b2a,+∞)上单调递增在(-∞,-b2a]上单调递增,在[-b2a,+∞)上单调递减对称性函数的图象关于直线x=-b2a对称二幂函数1.定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.五种常见幂函数的图象☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R)不可能是偶函数.( )(2)二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈[a ,b ])的最值一定是4ac -b 24a. ( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0). ( ) (4)当α>0时,幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数.( )已知幂函数f (x )=x α的图象过点(4,2),若f (m )=3,则实数m 的值为 .函数y=x 13的大致图象是( ).已知函数f (x )=ax 2+x+5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是 .幂函数y=x m 2-4m (m ∈Z)的图象如图所示,则m 的值为 .知识清单一、1.ax 2+bx+c (h ,k ) 二、1.y=x α基础训练1.【解析】(1)错误,当b=0时,二次函数y=ax 2+c (x ∈R)是偶函数. (2)错误,因为x ∈[a ,b ],所以该函数的最值也可能在端点处取得. (3)错误,当α<0时,y=x α的图象不经过点(0,0). (4)正确,当α>0时,幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数.【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√2.【解析】由已知得2=4α,则α=12,所以f (m )=m 12=3,解得m=9.【答案】93.【解析】取值验证可知,函数y=x 13的大致图象是选项B 中的图象.【答案】B4.【解析】因为f (x )=ax 2+x+5的图象在x 轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,解得a>120.【答案】(120,+∞) 5.【解析】∵y=x m2-4m(m ∈Z)的图象与坐标轴没有交点,∴m 2-4m<0,即0<m<4.又∵该函数的图象关于y 轴对称,且m ∈Z,∴m 2-4m 为偶数,∴m=2. 【答案】2题型一二次函数的图象与性质【例1】已知函数f (x )=x 2+2ax+3,x ∈[-4,6].(1)若y=f (x )在[-4,6]上是单调函数,求实数a 的取值范围; (2)当a=-1时,求f (|x|)的单调区间.【解析】(1)函数f (x )=x 2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a 2=-a ,∵f (x )在[-4,6]上为单调函数,∴-a ≤-4或-a ≥6,解得a ≥4或a ≤-6.故实数a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f (|x|)=x 2-2|x|+3 ={x 2+2x +3=(x +1)2+2,x ≤0,x 2-2x +3=(x -1)2+2,x >0, 其图象如图所示.又∵x ∈[-4,6],∴f (|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和[0,1),单调递增区间是[-1,0)和[1,6].【变式训练1】函数f (x )=ax 2+(a-3)x+1在[-1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是( ). A .[-3,0) B .(-∞,-3] C .[-2,0] D .[-3,0]【解析】当a=0时,f (x )=-3x+1,它在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;当a ≠0时,f (x )图象的对称轴为直线x=3-a2a, 由f (x )在[-1,+∞)上单调递减,知{a <0,3-a 2a≤-1,解得-3≤a<0.综上可知,实数a 的取值范围是[-3,0],故选D . 【答案】D题型二二次函数最值的求法【例2】已知m ∈R,函数f (x )=-x 2+(3-2m )x+2+m.(1)若0<m ≤12,求|f (x )|在[-1,1]上的最大值g (m );(2)对任意的m ∈(0,1],若f (x )在[0,m ]上的最大值为h (m ),求h (m ).【解析】(1)函数f (x )图象的对称轴为直线x=3-2m 2,∵0<m ≤12,∴3-2m2≥1.∴g (m )=max{|f (-1)|,|f (1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m ,4-m }.又∵(4-m )-(2-3m )=2+2m>0,∴g (m )=4-m.(2)函数f (x )图象的对称轴为直线x=3-2m2,且函数图象开口向下. ∵m ∈(0,1],∴3-2m2>0. ∴当3-2m 2<m ,即34<m ≤1时,h (m )=f (3-2m 2)=m 2-2m+174; 当3-2m2≥m ,即0<m ≤34时,h (m )=f (m )=-3m 2+4m+2.∴h (m )={m 2-2m +174,34<m ≤1,-3m 2+4m +2,0<m ≤34.【变式训练2】已知函数f (x )=-x 2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为2,求a 的值.【解析】函数f (x )=-(x-a )2+a 2-a+1的图象的对称轴为直线x=a ,且开口向下,分三种情况讨论: 当a ≤0时,函数f (x )=-x 2+2ax+1-a 在[0,1]上是减函数,∴f (x )max =f (0)=1-a ,由1-a=2,得a=-1; 当0<a<1时,函数f (x )=-x 2+2ax+1-a 在[0,a ]上是增函数,在[a ,1]上是减函数,∴f (x )max =f (a )=a 2-a+1,由a 2-a+1=2,解得a=1+√52或a=1-√52, ∵0<a<1,∴两个值都不满足,舍去;当a ≥1时,函数f (x )=-x 2+2ax+1-a 在[0,1]上是增函数,∴f (x )max =f (1)=a ,∴a=2. 综上可知,a=-1或a=2.题型三幂函数的图象和性质【例3】已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随着x 的增大而减小,则满足(a+1)-m3<(3-2a )-m3的实数a 的取值范围为 .【解析】由题意可知该幂函数在(0,+∞)上单调递减,因此3m-9<0,即m<3,又m ∈N *,故m=1或m=2.由函数y=x3m-9的图象关于y 轴对称,得3m-9为偶数,所以m=1,故(a+1)-13<(3-2a )-13.因为函数y=x -13在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a ,解得23<a<32或a<-1.【答案】(23,32)∪(-∞,-1)【变式训练3】已知幂函数f (x )=(n 2+2n-2)x n2-3n(n ∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( ).A .-3B .1C .2D .1或2【解析】因为f (x )为幂函数,所以n 2+2n-2=1,解得n=1或n=-3. 当n=1时,f (x )=x -2=1x2,它在(0,+∞)上是减函数. 当n=-3时,f (x )=x 18,它在(0,+∞)上是增函数. 所以n=1符合题意,故选B . 【答案】B方法一利用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选择规律如下:【突破训练1】已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解析】设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0), 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b24a=8,解得{a =-4,b =4,c =7. 故所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7.方法二分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.【突破训练2】已知函数f (x )=x 2+mx+3,x ∈[-1,5],求f (x )的最小值.【解析】函数f (x )=(x +m 2)2+3-m 24(x ∈[-1,5])的图象关于直线x=-m2对称.当-m2≤-1,即m ≥2时,f (x )在[-1,5]上为增函数,∴f (x )min =f (-1)=1-m+3=4-m.当-1<-m 2≤5,即-10≤m<2时,f (x )min =f (-m 2)=3-m 24. 当-m 2>5,即m<-10时,f (x )在[-1,5]上为减函数,∴f (x )min =f (5)=25+5m+3=28+5m.综上可知,当m ≥2时,f (x )min =4-m ;当-10≤m<2时,f (x )min =3-m 24; 当m<-10时,f (x )min =28+5m.1.(江西赣州厚德外国语学校2018届检测)已知二次函数y=x 2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( ).A .a ≤-2B .a ≥-2C .a ≤-6D .a ≥-6【解析】由已知得该函数图象的对称轴为直线x=2-a.∵该函数在(4,+∞)上是增函数,∴2-a ≤4,可得a ≥-2,故选B . 【答案】B2.(2017山东青岛模拟)若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f (12)的值为( ).A .13B .12C .23D .43【解析】设f (x )=x a,∵f (4)=3f (2),∴4a=3×2a,解得a=log 23,∴f (12)=(12)log 23=13. 【答案】A3.(教材改编)已知函数y=ax 2+bx+c ,若a>b>c 且a+b+c=0,则它的图象可能是( ).【解析】由a+b+c=0,a>b>c 知a>0,c<0,排除A,C .又因为f (0)=c<0,所以排除B,故选D . 【答案】D4.(2017浙江湖州模拟)如果函数f (x )=x 2+bx+c 对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),那么( ).A .f (-2)<f (0)<f (2)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (2)<f (0)<f (-2)D .f (0)<f (2)<f (-2)【解析】由f (1+x )=f (-x )知f (x )的图象关于直线x=12对称.又因为抛物线y=f (x )开口向上,所以结合图象(图略)可知,f (0)<f (2)<f (-2).【答案】D5.(山东临沂一中2018届月考)若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f (x )的最大值是( ).A .-4B .4C .4或-4D .-5【解析】依题意,函数f (x )是偶函数,则y=x 2+ax-5是偶函数,故a=0.因此f (x )=(1-x 2)(x 2-5)=-x 4+6x 2-5=-(x 2-3)2+4,当x 2=3时,f (x )取得最大值4.【答案】B6.(广东茂名2018届五大联盟联考)已知幂函数f (x )=x a的图象过点(3,13),则函数g (x )=(2x-1)f (x )在[12,2]上的最小值是( ).A .-1B .0C .-2D .32【解析】由题意知3a=13,解得a=-1,故g (x )=(2x-1)x -1=2-1x ,它在[12,2]上单调递增,则当x=12时,g (x )取得最小值,最小值是g (12)=2-2=0.【答案】B7.(2017北京昌平区模拟)已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),且f (x )在[0,2]上是增函数,若f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是( ).A .[0,+∞)B .(-∞,0]C .[0,4]D .(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】由f (2+x )=f (2-x )可知,函数f (x )的图象的对称轴为直线x=2.又因为函数f (x )在[0,2]上是增函数,所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4,故选C .【答案】C8.(2017湖北八校联考)已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点,对称轴为直线x=3,且与y 轴交于点(0,3),则它的解析式为 .【解析】由题意可设二次函数的解析式为y=a (x-3)2.因为其图象与y 轴交于点(0,3),所以3=9a ,得a=13,所以y=13(x-3)2=13x 2-2x+3.【答案】y=13x 2-2x+39.(2017河北保定期末)设a>0,若函数y=8x,当x ∈[a ,2a ]时,y 的取值范围为[a 4,2],则a 的值为( ).A .2B .4C .6D .8【解析】由题意知{8a =2,82a =a4,解得a=4.【答案】B10.(2017广东揭阳第二次月考)若函数f (x )=x 2+a|x|+a (x ∈R)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( ).A .[-113,-3] B .[-6,-4]C.[-3,-2√2] D .[-4,-3]【解析】∵f (-x )=x 2+a|x|+a=f (x ),∴f (x )在R 上是偶函数.由函数f (x )在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,可知f (x )在[1,2]上是减函数,∴只需-a2∈[2,3],解得-6≤a ≤-4,故选B .【答案】B>0,若11.(2017江西九江一中期中)函数f(x)=(m2-m-1)·x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2满足f(x1)-f(x2)x1-x2a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值().A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.∵f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,指数4×29-25-1=2015>0,满足题意;当m=-1时,指数4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意.∴f(x)=x2015.∴幂函数f(x)=x2015是定义在R上的奇函数,且是增函数.又∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b.又ab<0,不妨设b<0,则a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0.又f(-b)=-f(b),∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选A.【答案】A12.(河南南阳一中2018届月考)已知f(x)=1+2x-x2,则g(x)=f(f(x))().A.在(-2,1)上单调递增B.在(0,2)上单调递增C.在(-1,1)上单调递增D.在(1,2)上单调递增【解析】令t=f(x),则g(x)=f(t).当x∈(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t∈(-7,2),此时f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-2,1)上不是单调函数,A错误;当x∈(0,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(0,2)上不是单调函数,B错误;当x∈(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t∈(-2,2),此时f(t)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上不是单调函数,C错误;当x∈(1,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以g(x)在(1,2)上单调递增,D正确.【答案】D13.(保定市涞水中学2018届第一次调研)若函数f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则f(2)= .【解析】因为函数f(x)=(x-a)(x+3)是偶函数,所以∀x∈R,f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),即x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得a=3,所以f (2)=(2-3)×(2+3)=-5. 【答案】-514.(2017江苏南京模拟)直线l :x+y-3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,幂函数y=f (x )的图象经过点(2,4),若点P 在y=f (x )的图象上,且△ABP 的面积等于3,则所有满足要求的点P 的横坐标的和为 .【解析】由已知得点A (3,0),B (0,3),则|AB|=3√2. 设幂函数f (x )=x a,将点(2,4)代入上式得a=2,∴f (x )=x 2.设点P (x ,x 2),则点P 到直线l 的距离d=2√2. ∴S △ABP =12×3√2×2√2=3, ∴x 2+x-3=±2,即x 2+x-5=0或x 2+x-1=0.由方程可知这样的点P 有四个,其横坐标的和为-1-1=-2. 【答案】-2§3.2 指数与指数函数一分数指数幂1.规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn=√a m n (a>0,m ,n ∈N +,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a -mn =√a mn(a>0,m ,n ∈N +,且n>1);0的正分数指数幂等于 ;0的负分数指数幂 .2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s= (a>0,r ,s ∈Q); (2)(a r )s = (a>0,r ,s ∈Q); (3)(ab )r = (a>0,b>0,r ∈Q).二指数函数的图象与性质y=a xa>10<a<1图象定义域值域性质过定点 ,即当x=0时,y=在R 上是增函数在R 上是☞ 左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)√a n n =(√a n)n=a.( )(2)(-1)24=(-1)12.( ) (3)函数y=a -x是R 上的增函数.( )已知函数f (x )=a x-2+2的图象恒过定点A ,则点A 的坐标为( ).A .(0,1)B .(2,3)C .(3,2)D .(2,2)设a=22.5,b=2.50,c=(12)2.5,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a>c>bB .c>a>bC .a>b>cD .b>a>c计算:(32)-13×(-76)0+814×√24-√(-23)23= .若指数函数y=(2-a )x在定义域内是减函数,则a 的取值范围是 .设x+x -1=3,则x 2+x -2的值为 .知识清单一、1.0 没有意义 2.(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r二、R (0,+∞) (0,1) 1 减函数基础训练1.【解析】(1)错误,当n 是偶数时结论不成立.(2)错误,应为(-1)24=112=1.(3)错误,当a>1时,函数y=a -x是R 上的减函数. 【答案】(1)× (2)× (3)×2.【解析】由{x -2=0,y =1+2,得{x =2,y =3,所以函数f (x )的图象恒过定点A (2,3).【答案】B3.【解析】因为a=22.5>1,b=2.50=1,c=(12)2.5<1,所以a>b>c.【答案】C4.【解析】原式=(23)13+2-(23)13=2.【答案】25.【解析】因为y=(2-a )x在定义域内是减函数,所以0<2-a<1,解得1<a<2. 【答案】(1,2)6.【解析】因为x+x -1=3,所以x 2+x -2=(x+x -1)2-2=7. 【答案】7题型一指数幂的运算【例1】化简下列各式:(1)[(0.06415)-2.5]23-√3383-π0;(2)a 43-8a 13b4b 23+2√ab 3+a 23÷(a -23-2√b3a )·√√a 23√√a ·√a5. 【解析】(1)原式={[(641000)15]-52}23-(278)13-1=[(410)3]15×(-52)×23-[(32)3]13-1=52-32-1=0.(2)原式=a 13[(a 13)3-(2b 13)3](a 13)2+a 13·2b 13+(2b 13)2÷a 13-2b 13a ·(a ·a 23)12(a 12·a 13)15=a 13(a 13-2b 13)·a a 13-2b 13·a 56a 16=a 13·a ·a 23=a 2.【变式训练1】化简下列各式:(1)(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;(2)56a 13·b -2·(-3a 12b -1)÷(4a 23b -3)12.【解析】(1)原式=1+14×(49)12-(1100)12=1+14×23-110=1+16-110=1615.(2)原式=-52a 56b -3÷(4a 23b -3)12=-52a 56b -3÷(2a 13b -32)=-54a 12b -32=-5√ab 4b 2.题型二指数函数的图象及其应用【例2】(1)已知实数a ,b 满足等式2017a =2018b ,给出下列五个关系式:①0<b<a ;②a<b<0;③0<af (c )>f (b ),则下列结论中,一定成立的是( ).A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】(1)如图,观察易知a,b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0,∴不可能成立的关系式的个数是2,故选B.(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),∴结合图象知,0<f(a)<1,a<0,0<c<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a,f(c)=|2c-1|=2c-1.又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.【答案】(1)B(2)D【变式训练2】函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是().A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】由图象可得函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是由函数f(x)=a x的图象向左平移得到的,所以b<0.【答案】D题型三指数函数的性质及其应用【例3】已知函数f (x )=(13)ax 2-4x+3.(1)若f (x )有最大值3,求a 的值;(2)若f (x )的值域是(0,+∞),求不等式f (x )<3-x2+2x的解集.【解析】令g (x )=ax 2-4x+3,则f (x )=(13)g (x ). (1)因为f (x )有最大值3,所以g (x )应有最小值-1,因此必有{a >0,3a -4a=-1,解得a=1,即当f (x )有最大值3时,a 的值为1.(2)由指数函数的性质知,要使f (x )=(13)g (x )的值域为(0,+∞),应使g (x )=ax 2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a ≠0,则g (x )为二次函数,其值域不可能为R).所以原不等式化为(13)-4x+3<3-x 2+2x,即x 2-2x<-4x+3,解得-3<x<1.故所求不等式的解集为{x|-3<x<1}.【变式训练3】(1)下列大小关系正确的是( ).A .1.72.5>1.73B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2D .1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=1-2-x,则不等式f (x )<-12的解集是 .【解析】(1)选项B 中,因为y=0.6x 是减函数,所以0.6-1>0.62. (2)由1-2-x>12,得2-x<12=2-1,即x>1.因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )<-12的解集是(-∞,-1).【答案】(1)B (2)(-∞,-1)方法一利用换元法解决有关指数函数的问题【突破训练1】函数y=(14)x -(12)x+1在[-3,2]上的值域是 .【解析】令t=(12)x ,则t ∈[14,8],故y=t 2-t+1=(t -12)2+34.当t=12时,y min =34;当t=8时,y max =57.故所求函数的值域为[34,57].【答案】[34,57]方法二数形结合思想在解题中的应用【突破训练2】已知x 2-a x <12(a>0且a ≠1)对任意的x ∈(-1,1)恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】由已知得x 2-12<a x 对任意的x ∈(-1,1)恒成立,令y 1=x 2-12,y 2=a x,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图).当a>1时,在(-1,1)上,要使y 2=a x 的图象落在y 1=x 2-12的图象的上方,则a -1≥12,解得a ≤2,∴1<a ≤2.当0<a<1时,在(-1,1)上,要使y 2=a x 的图象落在y 1=x 2-12的图象的上方,则a ≥12,∴12≤a<1.综上可知,实数a 的取值范围是[12,1)∪(1,2].1.(2017河北八所重点中学一模)设a>0,将2√a ·√a 2表示成分数指数幂的形式,其结果是( ).A .a 12B .a 56C .a 76D .a 32【解析】2√a ·√a 2=a 2-12-13=a 76,故选C .【答案】C2.(教材改编)已知函数f (x )=3x-b(2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域为( ).A .[9,81]B .[3,9]C .[1,9]D .[1,+∞)【解析】由f (x )的图象经过点(2,1)可知b=2,因为f (x )=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f (x )min =f (2)=1,f (x )max =f (4)=9.故f (x )的值域为[1,9].【答案】C3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数f (x )=a x+a -x,且f (1)=3,则f (0)+f (1)+f (2)的值是( ).A .14B .13C .12D .11【解析】因为f (1)=a+1a=3,所以f (2)=a 2+a -2=(a +1a)2-2=7,f (0)=1+1=2,所以f (0)+f (1)+f (2)=2+3+7=12,故选C .【答案】C4.(2017湖南益阳六中模拟)若0<a<1,b>0,且a b+a -b=2√2,则a b-a -b等于( ).A .√6B .-2或2C .-2D .2【解析】∵a b+a -b=2√2,∴a 2b+a -2b=8-2=6,∴(a b-a -b )2=a 2b+a -2b -2=4.∵0<a<1,b>0,∴a b <a -b ,∴a b -a -b=-2,故选C . 【答案】C5.(2017河南南阳、信阳等六市一模)设x>0,且10,∴b>1.∵b x <a x,∴(a b)x >1.∵x>0,∴a b>1,∴a>b ,∴1<b<a.【答案】C6.(2018届河北省保定市涞水县波峰中学第一次调研)已知a=243,b=323,c=2513,则( ).A .b<a<cB .a<b<cC .b<c<aD .c<a<b【解析】∵a=243=423,b=323,c=2513=523,∴b<a<c.【答案】A7.(2017石家庄模拟)函数f (x )=a x(a>0,且a ≠1)是指数函数,若以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,则f (x 1)f (x 2)=( ).A .1B .aC .2D .a 2【解析】由题意得x 1+x 2=0.∵f (x )=a x,∴f (x 1)f (x 2)=a x 1·a x 2=a x 1+x 2=a 0=1,故选A .【答案】A8.(2016四川宜宾一诊)已知函数f (x )=x-4+9x+1,x ∈(0,4),当x=a 时,f (x )取得最小值b ,则函数g (x )=a |x+b|的大致图象为( ).【解析】∵x ∈(0,4),∴x+1>1,∴f (x )=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥2√9x+1·(x +1)-5=1,当且仅当x=2时取等号. ∴a=2,b=1, ∴g (x )=2|x+1|={2x+1,x ≥-1,(12)x+1,x <-1,此函数的图象可以看成由函数y={2x ,x ≥0,(12)x ,x <0的图象向左平移1个单位长度所得,结合指数函数的图象及选项可知A 正确.【答案】A9.(教材改编)函数f (x )=√(12)x-2的定义域是 .【解析】要使函数f (x )=√(12)x -2的解析式有意义,自变量x 应满足(12)x -2≥0,解得x ≤-1,故函数f (x )=√(12)x -2的定义域为(-∞,-1].【答案】(-∞,-1]10.(教材改编)已知f (x )=9x -13x+1,且f (a )=3,则f (-a )的值为 .【解析】∵f (x )=9x -13x +1=32x -13x +1=3x -3-x+1,函数f (x )的定义域为R,∴对任意的x ∈R,f (-x )=3-x -3-(-x )+1=3-x -3x +1,∴f (x )+f (-x )=(3x -3-x +1)+(3-x -3x +1)=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=2-f (a )=2-3=-1.【答案】-111.(衡阳三中2018届月考)当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x<0恒成立,则实数m 的取值范围是( ).A .(-2,1)B .(-4,3)C .(-3,4)D .(-1,2)【解析】∵∀x ∈(-∞,-1],(m 2-m )·4x-2x<0,∴∀x ∈(-∞,-1],(m 2-m )<(12)x.∵f (x )=(12)x 在(-∞,-1]上单调递减,∴当x ≤-1时,f (x )≥2.∴m 2-m<2,解得-1<m<2.【答案】D12.(山东潍坊2018届第二次月考)对于函数f (x )=4x-m ·2x+1,若存在实数x 0,使f (-x 0)=-f (x 0),则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,12]B .[12,+∞)C .(-∞,-1]D .[1,+∞)【解析】∵f (-x 0)=-f (x 0),∴4-x 0-m ·2-x 0+1=-4x 0+m ·2x 0+1,即2m=2x 0+2-x 0-22x 0+2-x 0.令t=2x 0+2-x 0(t ≥2),则2m=t-2t.∵h (t )=t-2t 在[2,+∞)上单调递增,∴h (t )min =h (2)=1.根据题意,2m ≥1,解得m ≥12,故选B .【答案】B13.(2017安徽江淮十校三模)函数f (x )=x 2-bx+c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则下列关于f (b x )和f (c x)的大小关系的判断中,正确的是( ).A .f (b x)≤f (c x) B .f (b x)≥f (c x)C .f (b x )>f (c x)D .大小关系随x 的不同而不同【解析】∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )图象的对称轴为直线x=1,∴b=2.又∵f (0)=3,∴c=3.∴f (x )在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.若x ≥0,则3x≥2x≥1,∴f (3x)≥f (2x). 若x<0,则3x<2x<1,∴f (3x)>f (2x). 综上可得,f (3x)≥f (2x). 【答案】A14.(山东罗庄一中2018届第二次质检)设函数f (x )=(12)10-ax,a 为常数,且f (3)=12.(1)求a 的值;(2)求使f (x )≥4的x 的取值范围;(3)设函数g (x )=-12x+m ,对任意的x ∈[3,4],不等式f (x )>g (x )恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1)∵f (3)=12,∴(12)10-3a =12,∴10-3a=1,解得a=3.(2)由已知得(12)10-3x ≥4=(12)-2,∴10-3x ≤-2, 解得x ≥4,故f (x )≥4的x 的取值范围为[4,+∞). (3)f (x )>g (x )在[3,4]上恒成立,即(12)10-3x >-12x+m 在[3,4]上恒成立,即m<(12)10-3x +12x 在[3,4]上恒成立.设h (x )=(12)10-3x +12x , 则当x ∈[3,4]时,m<h (x )min .∵函数y=(12)10-3x与y=12x 在[3,4]上都是增函数,∴h (x )在[3,4]上为增函数,∴当x ∈[3,4]时,h (x )min =h (3)=12+32=2,∴m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).§3.3对数与对数函数一对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作,其中叫作对数的底数,叫作真数.二对数的运算1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)= ;(2)log a MN= ;(3)log a M n= (n∈R).2.对数的换底公式log a b=log c blog c a =1log b a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,且b≠1).三对数函数的图象与性质y=log a x(a>1)y=log a x(0<a<1)图象定义域值域R性质过定点,即当x= 时,y=在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是四反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数,它们的图象关于直线对称.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)log a x·log a y=log a(x+y).()(2)对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0).()(3)log2x2=2log2x.()(4)当x>1时,log a x>0.()已知a=2-13,b=log213,c=lo g1213,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .计算:2log510+log514= .若log a34<1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围.知识清单一、x=log a N a N二、1.(1)log a M+log a N (2)log a M-log a N (3)n log a M 三、(0,+∞) (1,0) 1 0 增函数减函数四、y=x 基础训练1.【解析】(1)错误,如a=x=y=2,结论不成立. (2)正确,对数函数的图象恒过定点(1,0). (3)错误,当x<0时,结论不成立. (4)错误,当a=12时,结论不成立.【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×2.【解析】因为0<a=2-13<1,b=log 213<0,c=lo g 1213>1,所以c>a>b.【答案】D3.【解析】函数y=a x(a>0,且a ≠1)的反函数是f (x )=log a x.因为f (2)=1,所以log a 2=1,所以a=2,所以f (x )=log 2x. 【答案】log 2x4.【解析】原式=log 5102+log 514=log 525=2.【答案】25. 【解析】由题意得log a 34<log a a ,当a>1时,a>34,即a>1;当0<a<1时,a<34,即0<a<34.故实数a 的取值范围为(0,34)∪(1,+∞).题型一对数的运算【例1】(1)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 等于( ).A .√10B .10C .20D .100(2)计算:(1-log 63)2+log 62×log 618log 64= .【解析】(1)∵2a=5b=m ,∴a=log 2m ,b=log 5m ,∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2,∴m=√10.(2)原式=(log 62)2+log 62×log 6182log 62=12(log 62+log 618)=12×2=1.【答案】(1)A (2)1【变式训练1】(1)计算:lg 52+2lg 2-(12)-1= . (2)已知4a=2,lg x=a ,则x= .【解析】(1)lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.(2)∵4a=2,∴a=log 42=12log 44=12.又∵lg x=a ,∴lg x=12,∴x=1012=√10.【答案】(1)-1 (2)√10题型二对数的图象及应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的大致图象是().(2)已知0<m1<2<m2,a>0,且a≠1,若log a m1=m1-1,log a m2=m2-1,则实数a的取值范围是().A.2<a<3B.0<a<1C.1<a<2D.3<a<4【解析】(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A、B;函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.故选C.(2)由题意知方程log a x=x-1有两个不相等的实根m1,m2.在同一个平面直角坐标系内,画出函数y=log a x与y=x-1的图象(如图).显然a>1,由图可知m1=1,要使m2>2,则应满足log a2>2-1,即a<2.综上可知,实数a的取值范围是1<a<2,故选C.【答案】(1)C (2)C【变式训练2】已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是().A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1【解析】由对数函数的性质及图象得0<a<1.因为函数y=log a(x+c)的图象在c>0时,是由函数y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.故选D.【答案】D题型三对数的性质及应用【例3】已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则{x+1>0,1-x>0,解得-1<x<1.故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0,即x+11-x>1,解得0<x<1,所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}.【变式训练3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3).令g (x )=-x 2+2x+3,则g (x )在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.又因为y=log 4x 在(0,+∞)上单调递增,所以f (x )的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数a ,使得f (x )的最小值为0,则h (x )=ax 2+2x+3应有最小值1, 即{a >0,3a -1a=1,解得a=12,故存在实数a=12,使得f (x )的最小值为0.方法一比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一:(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若底数相同而指数不同,则构造指数函数;若引入中间量,一般选0或1.【突破训练1】(1)若a=20.3,b=log π3,c=log 4|cos 2018|,则( ).A .b>c>aB .b>a>cC .a>b>cD .c>a>b(2)设正实数a ,b ,c 分别满足2a 3+a=2,b log 2b=1,c log 5c=1,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a>b>c B .b>a>c C .c>b>aD .a>c>b【解析】(1)因为20.3>20=1,0=log π1<log π3<log ππ=1,c=log 4|cos 2018|<log 41=0,所以a>b>c ,故选C .(2)令f (x )=2x 3+x-2,则f (x )=2x 3+x-2在R 上单调递增,且f (0)·f (1)=(-2)×1=-2<0,即a ∈(0,1).由已知得log 2b=1b,log 5c=1c,构造函数y 1=1x,y 2=log 2x ,y 3=log 5x ,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图),由图象得1<b<c ,即c>b>a ,故选C .【答案】(1)C (2)C方法二利用数形结合思想解决对数问题【突破训练2】如果不等式x 2-log m x<0(m>0,且m ≠1)在(0,12)内恒成立,那么实数m 的取值范围是 .【解析】构造函数f (x )=x 2,g (x )=log m x ,要使不等式x 2-log m x<0在(0,12)内恒成立,只需f (x )在(0,12)内的图象在g (x )图象的下方,由图可知m>1不满足,则{0<m <1,log m 12≥(12)2,所以116≤m<1,故实数m 的取值范围是[116,1). 【答案】[116,1)1.(2017江西八校联考)函数y=√log 23(2x -1)的定义域是( ).A .[1,2]B .[1,2) C.[12,1] D .(12,1]【解析】lo g 23(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒12<x ≤1.【答案】D2.(山东寿光2018届三校联考)已知函数f (x )={x 2+b ,x ≤0,log 2x ,x >0,若f (f (12))=3,则b=( ).A .-1B .0C .2D .3【解析】因为f (12)=log 212=-1,所以f (f (12))=f (-1)=(-1)2+b=1+b=3,即b=3-1=2.【答案】C3.(2017上海中学模拟)已知函数f (x )=a log 2x+b log 3x+2且f (12018)=4,则f (2018)的值为( ).A .-2B .0C .1D .2【解析】∵f (x )=a log 2x+b log 3x+2且f (12018)=4, ∴f (12018)=a log 212018+b log 312018+2=4, ∴-a log 22018-b log 32018+2=4,即a log 22018+b log 32018=-2.∴f (2018)=a log 22018+b log 32018+2=-2+2=0.【答案】B4.(2017石家庄模拟)已知a=log 23+log 2√3,b=log 29-log 2√3,c=log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a=b<cB .a=b>cC .a<b<cD .a>b>c【解析】因为a=log 23+log 2√3=log 23√3=32log 23>1,b=log 29-log 2√3=log 23√3=a ,c=log 32<log 33=1,所以a=b>c.【答案】B5.(2017湖北八校联考)函数f (x )=1x+ln |x|的大致图象为( ).【解析】当x>0时,函数f (x )=1x+ln x ,此时代入特殊值验证可排除A;当x<0时,函数f (x )=1x+ln(-x ),因为函数y=1x与y=ln(-x )在(-∞,0)上都是减函数,所以函数f (x )在(-∞,0)上是减函数,排除C 、D.故选B.【答案】B6.(2017河北唐山期末)已知对数函数 f (x )=log a x (a>0,且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,则a=( ).。

2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第十单元数列

第十单元数列考点一等差数列1.(2017年全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为().A.1B.2C.4D.8【解析】a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+6×5×d=48,联立2a1+7d=24,①6a1+15d=48,②由①×3-②,得(21-15)×d=24,即6d=24,所以d=4.【答案】C2.(2016年全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=().A.100B.99C.98D.97【解析】(法一)∵{a n}是等差数列,设其公差为d,∴S9=9(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴a1+4d=3,a1+9d=8,∴a1=−1, d=1.∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.(法二)∵{a n}是等差数列,∴S9=9(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.在等差数列{a n}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d'=a10-a5=8-3=5.故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.【答案】C3.(2016年浙江卷)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( ).A .{S n }是等差数列B .{S n2}是等差数列 C .{d n }是等差数列D .{d n2}是等差数列【解析】作A 1C 1,A 2C 2,A 3C 3,…,A n C n 垂直于直线B 1B n ,垂足分别为C 1,C 2,C 3,…,C n ,则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,∴|C n C n+1|=|C n+1C n+2|.设|A 1C 1|=a ,|A 2C 2|=b ,|B 1B 2|=c ,则|A 3C 3|=2b-a ,…,|A n C n |=(n-1)b-(n-2)a (n ≥3),∴S n =12c [(n-1)b-(n-2)a ]=12c [(b-a )n+(2a-b )],∴S n+1-S n =1c [(b-a )(n+1)+(2a-b )-(b-a )n-(2a-b )]=1c (b-a ),∴数列{S n }是等差数列.【答案】A4.(2017年全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k= .【解析】设数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由a 3=a 1+2d=3,S 4=4a 1+6d=10, 得a 1=1,d=1,所以a n =n ,S n =n(n+1)2, 所以∑k=1n1S k 21×2+22×3+…+2n (n -1)+2n (n +1)=21-12+12-13+…+1n -1-1n +1n -1n +1=2 1−1n +1 =2nn +1.【答案】2nn +15.(2016年全国Ⅱ卷)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1000项和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=n.所以b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为b n=0,1≤n<10,1,10≤n<100, 2,100≤n<1000, 3,n=1000,所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.考点二等比数列6.(2017年全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯().A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】设塔的顶层灯数为a1,q=2,由S=a1(1-27)=381,解得a1=3.【答案】B7.(2015年全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=().A.21B.42C.63D.84【解析】∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.【答案】B8.(2017年全国Ⅲ卷)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.【解析】因为{a n}为等比数列,设公比为q.由题意得a1+a2=−1,a1-a3=−3,即a1+a1q=−1,①a1-a1q2=−3,②显然q ≠1,a 1≠0,由①②,得1-q=3,解得q=-2,代入①式可得a 1=1, 所以a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8.【答案】-89.(2016年全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 .【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1+a 3=10,a 2+a 4=q (a 1+a 3)=5,知q=12.又a 1+a 1q 2=10,∴a 1=8.故a 1a 2…a n =a 1n q 1+2+…+(n-1)=23n· 12(n -1)n2=23n -n 22+n 2=2-n 22+7n 2.记t=-n 2+7n =-1(n 2-7n )=-1 n -7 2+49,结合n ∈N *可知n=3或4时,t 有最大值6.又y=2t为增函数,从而a 1a 2…a n 的最大值为26=64.【答案】6410.(2016年全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.【解析】(1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11−λ,故a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n , 即a n+1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11−λ,公比为λλ-1的等比数列, 于是a n =11−λ λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1- λλ-1n.由S 5=3132得1- λλ-15=3132,即λλ-15=132.解得λ=-1.考点三等差数列与等比数列的综合应用11.(2017年全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则数列{a n }前6项的和为( ).A.-24B.-3C.3D.8【解析】因为{a n }为等差数列,且a 2,a 3,a 6成等比数列,设公差为d ,所以a 32=a 2a 6,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ).因为a 1=1,代入上式可得d 2+2d=0,又d ≠0,则d=-2,所以S 6=6a 1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24. 【答案】A12.(2015年福建卷)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ).A .6B .7C .8D .9【解析】不妨设a>b ,由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,∴a>0,b>0,则a ,-2,b 成等比数列,a ,b ,-2成等差数列, ∴ ab =(−2)2,a -2=2b ,∴ a =4,b =1,∴p=5,q=4,∴p+q=9.【答案】D13.(2017年北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a2b 2= .【解析】由a 1=-1,a 4=8,得d=3,则a 2=a 1+d=-1+3=2;由b 1=-1,b 4=8,得q=-2,则b 2=b 1q=2.故a 2b 2=22=1.【答案】114.(2015年全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n+3. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由a n 2+2a n =4S n +3, ① 可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3. ② ②-①,得a n +12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n +12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由a n >0,得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. (2)由a n =2n+1可知,b n =1n n +1=1=1 1-1. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n=11-1+ 1-1+⋯+ 1-1=n .15.(2015年天津卷)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由已知,得(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3,所以a 2(q-1)=a 3(q-1). 又因为q ≠1,所以a 3=a 2=2.由a 3=a 1·q ,得q=2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n -12;当n=2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -12,n 为奇数,2n 2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n a 2n -1=n2n -1,n ∈N *.设数列{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n -2+n ×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n -1+n ×12n , 上述两式相减,得12S n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1−12n 1−12-n 2n =2-22n -n 2n , 整理得S n =4-n +22n -1,n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和为4-n +22n -1,n ∈N *.高频考点:数列的通项,等差数列与等比数列的判断或证明,等差数列与等比数列的基本量、通项及求和,数列的综合应用.命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以选择题或填空题形式出现. 2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和,体现转化与化归的思想.3.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,考查考生分析问题、解决问题的综合能力.§10.1 数列的概念一数列的定义按照排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的 ,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫作首项).二数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.三数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项),且任意一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n-1)(或a n =f (a n-1,a n-2)等),那么这个式子叫作数列{a n }的递推公式.☞左学右考下列说法正确的是( ).A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}C.{a n }和a n 是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ).A.(-1)n +12B.cos nπC.cos n+1πD.cos n+2π四S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n=S1,n=1,这个关系式对任意数列均成立.S n-S n-1,n≥2,五数列的分类1.单调性递增数列:∀n∈N*,;递减数列:∀n∈N*,;常数列:∀n∈N*,a n+1=a n;摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.2.周期性周期数列:∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2-2n+2,求数列{a n}的通项公式.知识清单一、一定顺序项二、序号n 五、1.a n+1>a n a n+1<a n 基础训练1.【解析】对于A ,摆动数列是指从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,故A 正确;数列与数集是不同的,故B 错误;{a n }和a n 是不同的概念,{a n }表示数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,而a n 表示的是这个数列的第n 项,故C 错误;每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的,故D 错误. 【答案】A2.【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确. 【答案】D3.【解析】当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-3.由于当n=1时,a 1的值不满足a n (n ≥2)的解析式,故数列{a n }的通项公式为a n = 1,n =1,2n -3,n ≥2.题型一由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.(1)4,6,8,10,…; (2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…; (3)a ,b ,a ,b ,a ,b ,…(其中a ,b 为实数); (4)9,99,999,9999,…; (5)3,33,333,3333,….【解析】(1)因为各数都是偶数,且最小值为4,所以它的一个通项公式a n =2(n+1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n =(-1)n×1n (n +1),n ∈N *. (3)这是一个摆动数列,奇数项是a ,偶数项是b , 所以它的一个通项公式a n =a ,n 为奇数,b ,n 为偶数n ∈N *. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,102-1,103-1,104-1,所以它的一个通项公式a n =10n-1,n ∈N *.(5)将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以它的一个通项公式a n =13(10n-1),n ∈N *.【变式训练1】(1)已知n ∈N *,给出4个表达式:①a n =0,n 为奇数,1,n 为偶数,②an =1+(−1)n 2,③a n =1+cos nπ2,④a n = sin nπ2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④ (2)数列-1,32,-13,34,-15,36,…的一个通项公式a n = . 【解析】(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式.(2)因为该数列奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中含因式(-1)n.又各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…,各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为2-1=1,偶数项为2+1=3,所以a n =(-1)n·2+(−1)n n,n ∈N *, 也可写为a n = -1n,n 为奇数,3n,n 为偶数n ∈N *. 【答案】(1)A (2)a n =(-1)n·2+(−1)nn,n ∈N *或a n = -1n ,n 为奇数,3,n 为偶数n ∈N *题型二由递推公式求通项公式【例2】(1)已知数列{a n }满足a 1=12,a n+1=a n +1n 2+n ,则数列{a n }的通项公式a n = ;(2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n -1a n-1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式a n = ;(3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (4)若数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a na n +2,则数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)由条件知a n+1-a n =12=1=1-1, 则(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n-1)= 1−12 + 12-13 + 13-14 +…+1n -1-1n, 即a n -a 1=1-1n .又∵a 1=12,∴a n =1-1n +12=32-1n .(2)∵a n =n -1na n-1(n ≥2), ∴a n-1=n -2n -1a n-2,…,a 2=12a 1. 以上(n-1)个式子相乘得a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n. (3)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3a n +32=3 a n +12.又a 1+12=32,所以 a n +12 是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n 2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -1. (4)∵a n+1=2a na n +2,a 1=1,∴a n≠0,∴1a n+1=1a n+12,即1a n+1-1a n=12.又a1=1,则1a1=1,∴1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列.∴1a n =1a1+(n-1)×12=n2+12,∴a n=2n+1.【答案】(1)3-1(2)1(3)3n-1(4)2【变式训练2】(1)(2017泰安模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是().A.2n-1B.n+1n-1C.n2D.n(2)已知数列{a n}满足a n+1-a n=n+1(n∈N*),且a1=1,则数列{a n}的通项公式a n=;(3)已知数列{a n}满足a n=a n-1+1n(n-1)(n≥2,n∈N*),且a1=1,则该数列{a n}的通项公式a n=.【解析】(1)(法一)由已知整理得(n+1)a n=na n+1,∴a n+1n+1=a nn,∴数列a nn是常数列,且a nn=a11=1,∴a n=n.(法二)当n≥2时,a nan-1=nn-1,a n-1an-2=n-1n-2,…,a3a2=32,a2a1=21,将各式两边分别相乘,得a n1=n,∵a1=1,∴a n=n.(2)由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n (n ≥2). 以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n=(n -1)(2+n )=n 2+n-2. 又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n ≥2). ∵当n=1时也满足此式,∴a n =n 2+n2. (3)由已知得a 2-a 1=12×1,a 3-a 2=13×2,…,a n -a n-1=1n (n -1), 将上式两边分别相加,得a n -a 1=11×2+12×3+…+1n (n -1). 又∵a 1=1,∴a n =1+1-12+12-13+…+1n -1-1n =2-1n =2n -1n . 【答案】(1)D (2)n 2+n2(3)2n -1n题型三由S n 和a n 的关系求通项【例3】(1)(2017银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,则数列{a n }的通项公式a n = .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n+b ,求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.又a 1=3≠2×1,所以a n = 3,n =1,2n ,n ≥2.(2)当n=1时,a 1=S 1=3+b ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+b )-(3n-1+b )=2×3n-1.当b=-1时,a 1满足此等式;当b ≠-1时,a 1不满足此等式. 所以当b=-1时,a n =2×3n-1;当b ≠-1时,a n = 3+b ,n =1,2×3n -1,n ≥2.【答案】(1) 3,n =1,2n ,n ≥2【变式训练3】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 .(2)(2017福州质检)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则数列{a n }的通项公式是a n = . 【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,∴a n = -1,n =1,2n -1,n ≥2.(2)由S n =23a n +13,得当n ≥2时,S n-1=23a n-1+13, 两式相减整理,得当n ≥2时,a n =-2a n-1. 又∵当n=1时,S 1=a 1=2a 1+1,∴a 1=1,∴{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列, ∴a n =(-2)n-1.【答案】(1)a n =-1,n =1,2n -1,n ≥2(2)(-2)n-1方法函数思想在数列中的应用数列是定义域为正整数集的特殊函数,具有函数的某些性质,如单调性、周期性等.故可从函数的角度去认识数列,利用函数的思想或方法去研究数列可以带来意想不到的收获.【突破训练】已知在数列{a n }中,a n =1+1a +2(n -1)(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意知a n =1+12n -9. 结合函数f (x )=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n =1+1a +2(n -1)=1+12n -2−a 2. ∵对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,结合函数f (x )=1+12x -2−a 2的单调性,知5<2−a2<6, ∴-10<a<-8,故a 的取值范围为(-10,-8).1.(2016湖州一模)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ).A.1,12,13,14,… B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-1,-1,-1,…D.1, 2, 3,…, n【解析】根据定义,属于无穷数列的是选项A 、B 、C ,属于递增数列的是选项C 、D ,故同时满足要求的是选项C.【答案】C2.(2016杭州质评)在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的第( )项.A.16B.24C.26D.28【解析】设题中数列为{a n },则a 1=1= 1,a 2=2= 4,a 3= 7,a 4= 10,a 5= 13,…,所以a n = 3n -2.令 3n -2=2 19= 76,解得n=26.【答案】C3.(2017广州联考)数列1,-5,7,-9,…的一个通项公式是( ).A.a n =(-1)n+12n -12(n ∈N *)B.a n =(-1)n-12n +1n 3+3n(n ∈N *) C.a n =(-1)n+12n -1n 2+2n(n ∈N *) D.a n =(-1)n-12n +12(n ∈N *) 【解析】所给数列各项可写成31×3,-52×4,73×5,-94×6,…,通过对比各选项,可知选D.【答案】D4.(2017嘉兴模拟)数列{a n }满足a n+1+a n =2n-3,则a 8-a 4=( ).A.7B.6C.5D.4【解析】依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n )=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n =2,所以a 8-a 4=(a 8-a 6)+(a 6-a 4)=2+2=4. 【答案】D5.(2017黄冈模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1a n =2n(n ∈N *),则a 10等于( ).A.64B.32C.16D.8【解析】因为a n+1a n =2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得a n +2n=2.又a 1a 2=2,a 1=1,所以a 2=2,则a 108·a 86·a 64·a42=24,即a 10=25=32.【答案】B6.(2016芜湖监测)设a n =-3n 2+15n-18,则数列{a n }中的最大项的值是( ).A.163B.133C.4D.0【解析】a n =-3 n -5 2+3,由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,a n 取得最大值,最大值为a 2=a 3=0. 【答案】D7.(2017豫南八校联考)在数列{a n }中,已知a 1=2,a 2=7,a n+2等于a n a n+1(n ∈N *)的个位数,则a 2018=( ).A.8B.6C.4D.2【解析】由题意得,a 3=4,a 4=8,a 5=2,a 6=6,a 7=2,a 8=2,a 9=4,a 10=8,所以数列{a n }中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a 2018=a 335×6+8=a 8=2.【答案】D8.(2017贵阳监测)若数列{a n}的前n项和S n=n2-10n(n∈N*),则数列{na n}中数值最小的项是().A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【解析】∵S n=n2-10n,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴a n=2n-11(n∈N*).记f(n)=na n=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=11,但n∈N*,∴当n=3时,f(n)取得最小值.故数列{na n}中数值最小的项是第3项.【答案】B9.(2017山西忻州四校联考)若数列{a n}满足关系a n+1=1+1a n ,a8=3421,则a5=.【解析】借助递推关系,则a8递推依次得到a7=21,a6=13,a5=8.【答案】8510.(2017合肥质检)已知数列{2n-1·a n}的前n项和S n=9-6n,则数列{a n}的通项公式是.【解析】当n=1时,20·a1=S1=3,∴a1=3.当n≥2时,2n-1·a n=S n-S n-1=-6,∴a n=-32n-2,∴通项公式a n=3,n=1,-32n-2,n≥2.【答案】a n=3,n=1, -32n-2,n≥211.(2017青岛质评)数列{a n}满足a n+a n+1=1(n∈N*),a2=2,S n是数列{a n}的前n项和,则S21为().A.5B.72C.92D.132【解析】∵a n+a n+1=1,a2=2,∴a n=-32,n为奇数,2,n为偶数.∴S21=11×-3+10×2=7.【答案】B12.(2017河北四校联考)已知数列{a n}满足条件1a1+122a2+123a3+…+1n a n=2n+5,则数列{a n}的通项公式为().A.a n =2n+1B.a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2)C.a n =2nD.a n =2n+2【解析】由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则1a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n-1=2(n-1)+5,n>1,两式相减可得,an 2n =2n+5-2(n-1)-5=2,∴a n =2n+1,n>1,n ∈N *.当n=1时,a 12=7,∴a 1=14.综上可知,数列{a n }的通项公式为a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2).【答案】B13.(2017安徽六安月考)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .【解析】因为a 1=-1,a n+1=S n S n+1,所以S 1=-1,S n+1-S n =S n S n+1.因为S n ≠0,所以1S n +1-1S n =-1,所以数列 1S n是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1S n=-n ,所以S n =-1n .【答案】-114.(2017东北三校联考)已知在数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +23a n . (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.【解析】(1)由S 2=43a 2,得3(a 1+a 2)=4a 2, 解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3,得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3,解得a 3=32(a 1+a 2)=6. (2)由题意知a 1=1.当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=n +23a n -n +13a n-1, 整理得a n =n +1n -1a n-1(n ≥2). 于是a 1=1,a 2=31a 1,a 3=42a 2,…,a n =n +1n -1a n-1. 将以上n 个等式两端分别相乘,整理得a n =n (n +1)2(n ≥2). 显然,当n=1时也满足上式. 综上可知,{a n }的通项公式为a n =n (n +1)2(n ∈N *). 15.(2017河南信阳高中模考)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=2S n +1,等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *, S n +12·k ≥b n 恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由a n+1=2S n +1, ① 得a n =2S n-1+1(n ≥2), ②①-②得a n+1-a n =2(S n -S n-1),∴a n+1=3a n ,∴a n =3n-1.∵b 5-b 3=2d=6,∴d=3,∴b n =3+(n-3)×3=3n-6.(2)S n =a 1(1-q n )1−q=1−3n 1−3=3n -12, ∴ 3n -12+12k ≥3n-6对任意的n ∈N *恒成立,即k ≥2(3n -6)3n对任意的n ∈N *恒成立.令c n =3n -63n ,c n -c n-1=3n -63n -3n -93n -1=-2n +73n -1(n ≥2), 当n ≤3时,c n >c n-1;当n ≥4时,c n <c n-1.∴(c n )max =c 3=19,得k ≥29.§10.2等差数列一等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为(n∈N*,d为常数).,其中A叫作a,b的.2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b2二等差数列的有关公式1.通项公式:a n=.2.前n项和公式:S n=n(a1+a n)=na1+n(n-1)d=d n2+ a1-d n(n∈N*)⇔S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*).三等差数列的常用性质1.通项公式的推广:a n=a m+(n,m∈N*).2.若{a n}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.3.若{a n}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为.4.若{a n},{b n}是等差数列,则{pa n+qb n}也是等差数列.5.若{a n}是等差数列,公差为d,则a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.6.在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最值;若a1<0,d>0,则S n存在最值.☞左学右考在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为().A.1B.2C.3D.42017胶州模考)在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为().A.37B.36C.20D.192017太原一模)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.142017陕西八校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a3+a7=-6,则当S n取最小值时,求n的值.知识清单一、1.第2项差a n+1-a n=d2.等差中项二、1.a1+(n-1)d三、1.(n-m)d2.a k+a l=a m+a n3.2d5.md6.大小基础训练1.【解析】(法一)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得a1=1,d=2.∴d=2.(法二)∵在等差数列{a n}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又a4=7,∴公差d=7-5=2.【答案】Bd=36d=a37,∴m=37.2.【解析】∵a m=a1+a2+…+a9=9a1+9×82【答案】A3.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12.【答案】C4.【解析】设等差数列{a n}的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,所以d=2,则S n=n2-12n,故当n等于6时,S n取得最小值.题型一等差数列基本量的计算【例1】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=().A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a13=S13=13,则a1=().A.-14B.-13C.-12D.-11【解析】(1)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.(2)在等差数列{a n}中,S13=13(a1+a13)=13,所以a1+a13=2,则a1=2-a13=2-13=-11.2【答案】(1)D(2)D【变式训练1】(1)(2017沈阳质检)已知数列{a n}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{a n}的公差d等于().A.-1B.-2C.-3D.-4(2)(2017年武汉调研)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=2,a5=3a3,则S9=().A.-72B.-54C.54D.90【解析】(1)∵a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.(2)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=2,a5=3a3,∴2+4d=3(2+2d),解得d=-2,∴S9=9a1+9×82d=-54.【答案】(1)C(2)B题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{a n}的前n项和为S n且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:1S n是等差数列.(2)求a n的表达式.【解析】(1)∵a n=S n-S n-1(n≥2),又a n=-2S n·S n-1,∴S n-1-S n=2S n·S n-1.∵S n≠0,∴1S n -1Sn-1=2(n≥2),故由等差数列的定义知1S n 是以1S1=1a1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =1S1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,即S n=12n.∵当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-12n(n-1),又a1=1,不适合上式,∴a n=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.【变式训练2】(1)试说明例2中的数列{a n }是否为等差数列. (2)若将例2中的条件改为“a 1=2,S n =S n -12S n -1+1(n ≥2)”,求a n 的表达式.【解析】(1)不是.当n ≥2时,a n+1=-12n (n +1),而a n+1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n 1n +1-1n -1 =1n (n -1)(n +1). ∵当n ≥2时,a n+1-a n 的值不是一个与n 无关的常数, ∴数列{a n }不是等差数列.(2)∵S n =S n -12S n -1+1,∴1S n =2S n -1+1S n -1=1S n -1+2,∴1S n -1S n -1=2.∴ 1S n是以12为首项,2为公差的等差数列.故1S n =12+(n-1)×2=2n-32,即S n =12n -32.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n -32-12n -72=-22n -32 2n -72. 当n=1时,a 1=2不适合上式, ∴a n = 2(n =1),-2 2n -32 2n -72(n ≥2).题型三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ).A.5B.7C.9D.11(2)已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( ).A.18B.19C.20D.21(3)等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-8,下列四个命题:①数列{a n}是递增数列;②数列{na n}是递增数列;③数列a nn是递增数列;④数列{a n2}是递增数列.其中真命题是.【解析】(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.(2)由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.(3)由a n=2n-8可知等差数列{a n}的公差d为2,∴数列{a n}是递增数列,命题①正确;由na n=2n2-8n=2(n-2)2-8,知数列{na n}不是递增数列,命题②错误;由a nn =2-8n,知数列a nn是递增数列,命题③正确;由a n2=4(n-4)2,知a12>a22>a32>a42,又a42<a52<a62<…,∴{a n2}不是递增数列,命题④错误.综上所述,真命题是①③.【答案】(1)A(2)C(3)①③【变式训练3】(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=18-a5,则S8=().A.18B.36C.54D.72(2)(2016襄阳调研)在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-1a14的值为().A.12B.14C.16D.18(3)(2017兰州一诊)已知在等差数列{a n}中,S n是它的前n项和.若S16>0,且S17<0,则当S n最大时n的值为().A.16B.8C.9D.10【解析】(1)由题意,得a 4+a 5=18,∴S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 4+a 5)2=8×182=72. (2)由等差数列性质及a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,得a 8=18,∴a 10-13a 14=3a 10-a 143=a 10+a 6+a 14-a 143=a 10+a 63=23a 8=23×18=12. (3)∵S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 8>0,a 9<0,且d<0.∴当n=8时,S n 取得最大值.【答案】(1)D (2)A (3)B方法等差数列的前n 项和S n 的最值问题在研究等差数列时,求等差数列的前n 项和S n 的最大(小)值问题是其中的一个热点,也是一个重点问题.数列是一类特殊的函数,故可以用函数的知识或方法来解决此问题.【突破训练】(1)(2017长春一模)在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项之和,且S 7=S 17,则S n 为最小时n 的值为 .(2)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时,S n 取得最大值,则d 的取值范围为 .(3)(2017年承德模拟)在数列{a n }中,a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a 1=-23.①求a n ;②设S n 为数列{a n }的前n 项和,求S n 的最小值.【解析】(1)由S 7=S 17知,a 8+a 9+…+a 17=0,根据等差数列的性质,a 8+a 17=a 9+a 16=…=a 12+a 13,因此a 12+a 13=0.又a 1<0,∴a 12<0,a 13>0,故当S n 为最小时n 为12.(2)由题意知,d<0且 a 8>0,a 9<0,即 7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d<-78.(3)①a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a n+2+a n+1=2(n+1)-44,由以上两式相减,得a n+2-a n =2.∵a 2+a 1=2-44,a 1=-23,∴a 2=-19,同理得a 3=-21,a 4=-17,….∴a 1,a 3,a 5,…是以-23为首项,2为公差的等差数列;a 2,a 4,a 6,…是以-19为首项,2为公差的等差数列.故a n =n -24,n 为奇数,n -21,n 为偶数.②当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2×(n-1)-44] =2×[1+3+…+(n-1)]-n2×44=n 22-22n ,故当n=22时,S n 取得最小值为-242. 当n 为奇数时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n-1+a n ) =a 1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44] =a 1+2×[2+4+…+(n-1)]+n -12×(-44) =-23+(n +1)(n -1)2-22(n-1) =n 22-22n-32.故当n=21或n=23时,S n 取得最小值-243.综上所述,当n 为偶数时,S n 取得最小值为-242;当n 为奇数时,S n 取得最小值为-243. 【答案】(1)12 (2) -1,-781.(2016陕西模考)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ).A.a 1+a 101>0B.a 2+a 100<0C.a 3+a 99=0D.a 51=51【解析】由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101=a 1+a 101×101=0.所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.【答案】C2.(2017西安模考)已知在等差数列{a n }中,a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ).A.S 7B.S 6C.S 5D.S 4【解析】∵ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.【答案】C3.(2017深圳调研)已知在每项均大于零的数列{a n }中,首项a 1=1且前n 项和S n 满足S n S n -1-S n-1 n =2 S n S n -1(n ∈N *且n ≥2),则a 81=( ).A.638B.639C.640D.641【解析】由S n S n -1-S n-1 S n =2 S n -S n -1,可得 S n - S n -1=2,∴{ S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故 S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.【答案】C4.(2017湖北七校2月联考)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=3,则a 1=( ).A.-1B.0C.14D.12【解析】由题意知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32.∴公差d=a 4-a 2=1,∴a 1=a 2-d=1-1=0. 【答案】B5.(2017浙江名校联考)已知函数f (x )=cos x ,x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1,x 2,且方程f (x )=m 有两个不同的实根x 3,x 4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=( ).A.1B.-1C. 3D.- 3【解析】若m>0,则公差d=3π-π=π,显然不成立,所以m<0,则公差d=3π2-π23=π3.所以m=cos π2+π3=- 32.【答案】D6.(2017海南质评)在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ).A.24B.48C.60D.84【解析】由题意知a 1>0,a 10·a 11<0,得d<0,a 10>0,a 11<0,所以a 1>a 2>…>a 10>0>a 11>a 12>…>a 18>…,所以T 18=|a 1|+|a 2|+…+|a 10|+|a 11|+|a 12|+…+|a 18|=a 1+a 2+…+a 10-(a 11+a 12+…+a 18)=2S 10-S 18=2×36-12=60.【答案】C7.(2016湖南联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .【解析】由题意知 2a 1+d =6a 1+6×52d,a 1+3d =1,解得 a 1=7,d =−2,∴a 5=a 4+d=1+(-2)=-1.【答案】-18.(2017黄冈一模)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n= .【解析】∵a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67,∴(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+(a 4+a n-3)=88, ∴a 1+a n =22.又S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26. 【答案】269.(2017海南模拟)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=.【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.又S偶-S奇=6d=30,所以d=192−1626=5.【答案】510.(2017苏州评测)在等差数列{a n}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而a n=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n=3-2n,所以S n=n[1+(3-2n)]2=2n-n2.由S k=-35,可得2k-k2=-35.由k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.11.(2017南昌模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足S n>0的最大自然数n的值为().A.6B.7C.12D.13【解析】∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零.又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足S n>0的最大自然数n的值为12.【答案】C12.(2016浙江名校联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的17是最小的两份之和,则最小的一份为().A.53B.103C.56D.116【解析】依题意,设这100个面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有5a=100,a+(a+m)+(a+2m)=7(a-2m+a-m),解得a=20,m=11a24,a-2m=a12=53,即其中最小的一份为53.【答案】A13.(2017东北三省四市联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则正整数m的值为.【解析】因为等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,所以a m=S m-S m-1=2,a m+1=S m+1-S m=3,数列{a n}的公差d=1,a m+a m+1=S m+1-S m-1=5,即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.由S m=(3-m)m+m(m-1)2×1=0,解得正整数m的值为5.【答案】514.(2017郑州二模)已知在数列{a n}中,a3=2,a5=1,若11+a n是等差数列,则a11等于.【解析】记b n=1n,则b3=1,b5=1,数列{b n}的公差为1×(1-1)=1,∴b1=1,∴b n=n+1,即1n=n+1.∴a n=11−n,∴a11=0.【答案】015.(2017石家庄模拟)已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足:b1=a1且b n=a n+b n-1(n≥2,n∈N*),求数列{b n}的通项公式.【解析】(1)由题意得a3a6=55,a3+a6=a2+a7=16,∵公差d>0,∴a3=5,a6=11,∴a1=1,d=2,∴a n=2n-1(n∈N*).(2)∵b n=a n+b n-1(n≥2,n∈N*),∴b n-b n-1=2n-1(n≥2,n∈N*).∵b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1(n≥2,n∈N*),且b1=a1=1,∴b n=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2,n∈N*).∵当n=1时,b1=1满足上式.∴b n =n 2(n ∈N *).16.(2017山西忻州四校联考)数列{a n }满足a 1=12,a n+1=12−a n(n ∈N *). (1)求证:1a n -1为等差数列,并求出{a n }的通项公式. (2)设b n =1a n-1,数列{b n }的前n 项和为B n ,对任意n ≥2都有B 3n -B n >m 20(n ∈N *)成立,求正整数m 的最大值.【解析】(1)因为a n+1=12−a n ,所以1a n +1-1=112−a-1=2−a n a n -1=-1+1a n -1,即1a n +1-1-1a n -1=-1, 所以1a n -1是首项为-2,公差为-1的等差数列,所以1a n -1=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n =nn +1.(2)b n =n +1n -1=1n, 令C n =B 3n -B n =1n +1+1n +2+…+13n, 所以C n+1-C n =1+1+…+1-1-…-1=-1+1+1+1=1+1-2>2-2=0, 所以C n+1-C n >0,所以{C n }为单调递增数列, 所以(B 3n -B n )min =B 6-B 2=13+14+15+16=1920,所以m <19,所以m<19.又m ∈N *,所以m 的最大值为18.§10.3 等比数列一等比数列的有关概念1.定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的,通常用字母q表示,定义的表达式为a n+1a n=q.2.等比中项如果a,G,b成等比数列,那么叫作a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒.二等比数列的有关公式1.通项公式:a n=.2.前n项和公式:S n=na1,q=1,a1(1-q n)1−q=a1-a n q1−q,q≠1.三等比数列的常用性质1.通项公式的推广:a n=(n,m∈N*).2.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则a m·a n==.。

2019年全国版高考数学必刷题：第九单元平面向量

第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,∴解得【答案】2.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则().A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】=+=+=+(-)=-=-+.故选A.【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为().A.3B.2C.D.2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.∵CD=1,BC=2,∴BD==,EC===,即圆C的半径为,∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=.设P(x0,y0),则(θ为参数),而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=x0=1+cos θ,λ=y0=1+sin θ.两式相加,得λ+μ=1+sin θ+1+cos θ=2+sin(θ+φ)≤3 其中,当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.故选A.【答案】A考点二向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=().A.-8B.-6C.6D.8【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量=,=,则∠ABC=().A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为=,=,所以·=+=.又因为·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.【解析】由题意,知||=3,||=2,·=3×2×cos 60°=3,=+=+=+(-)=+,∴·=·(λ-)=-·-+=-×3-×32+×22=λ-5=-4,解得λ=.【答案】7.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,所以m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.【答案】A8.(2017年山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.【解析】由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,|e1-e2|=-=-=-=2.同理|e1+λe2|=.所以cos 60°=-==-=,解得λ=.【答案】考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.【解析】|a+2b|=====2.【答案】210.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,∴a·b=0.又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.【解析】设a,b的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=+-=+-.令y=+-,则y2=10+2-.∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].【答案】42考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是().A.-2B.-C.-D.-1【解析】如图,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2||||,问题转化为求||||的最大值.又||+||=||=2×=,∴||||≤==,∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.故选B.【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则().A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3【解析】∵I1-I2=·-·=·(-)=·,又与所成角为钝角,∴I1-I2<0,即I1<I2.∵I1-I3=·-·=||||cos∠AOB-||||cos∠COD=cos∠AOB(||||-||||),又∠AOB为钝角,OA<OC,OB<OD,∴I1-I3>0,即I1>I3.∴I3<I1<I2.故选C.【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞左学右考如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则=().A.-B.+C.-D.-下列命题中,正确的个数是().①若|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b;③||=||;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.1B.2C.3D.4已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则().A.=B.=2C.=3D.2=知识清单一、2.零3.1个单位4.相同相反5.相等相同6.相等相反二、1.平行四边形三角形交换律结合律2.><基础训练1.【解析】=+=-.【答案】D2.【解析】∵a与b的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b为零向量,则a与c的方向不能确定,∴④错误.【答案】B3.【解析】由2++=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故=.【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a∥b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中正确命题的序号是.【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.②正确.若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同.又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.【答案】②③正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.【变式训练1】下列命题中正确的是().A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.|a|=|b|,则a=±bC.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C正确,故选C.【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是().①=a+b;②=a-b;③=a-b;④=a+b.A.①②B.③④C.①③D.②④【解析】①根据向量的加法法则,得=a+b,故①正确;②根据向量的减法法则,得=a-b,故②错误;③=+=a+b-2b=a-b,故③正确;④=+=a+b-b=a+b,故④错误.故选C.【答案】C【变式训练2】如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=().A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b【解析】连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+2b,=3a-5b,=-5a+b,求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.【解析】(1)∵=a+2b,=3a-5b,=-5a+b,∴=+=3a-5b-5a+b=-2a-4b=-2(a+2b)=-2,∴与共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵k a+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.【变式训练3】已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中向量e1,e2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线,求的值.【解析】∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,得λ=-2μ,∴--∴=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a、b表示,可设=ma+nb,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.【解析】设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.∵A,M,D三点共线,∴与共线.∴存在实数t,使得=t,即(m-1)a+nb=t-.∴(m-1)a+nb=-ta+tb.∴--消去t得,m+2n=1.①∵=-=ma+nb-a=-a+nb, =-=b-a=-a+b.又∵C,M,B三点共线,∴与共线.∴存在实数t1,使得=t1,∴-a+nb=t1-,∴--消去t1得,4m+n=1.②由①②得m=,n=,∴=a+b.1.(2017湖南二模)设e0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|e0;②若a与e0平行,则a=|a|e0;③若a与e0平行且|a|=1,则a=e0.上述命题中,假命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|e0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与e0平行,则a与e0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF中,++=().A.0B.C.D.【解析】由图知++=++=+=.【答案】D3.(2017运城一中质检)设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为().A.-2B.-1C.1D.2【解析】∵=a+b,=a-2b,∴=+=2a-b.又∵A,B,D三点共线,∴,共线.设=λ,∴2a+pb=λ(2a-b),∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么().A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴-【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则用向量,表示为().A.=+B.=-C.=+D.=-【解析】=+,=,=+,=,=+,∴=(+),∴=+=++,∴=,∴=+++=+++=+.又∵=-,∴=-.【答案】B6.(2017四川质检)向量e1,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为.【解析】由=-=4e1+2e2=2,且与不共线,可得A,C,D三点共线,且点B不在此直线上.【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=.【解析】由题图知=+,①=+,②且+2=0.由①+②×2,得3=+2,∴=+,∴λ=.【答案】8.(2017唐山一模)已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是.(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③x a+yb=0(实数x,y满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线,故③错误.【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为().A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1【解析】因为A,B,C三点共线,所以∥.设=m(m≠0),所以则λμ=1.【答案】D10.(2017安徽二模)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足++=0,若实数λ满足++λ=0,则λ的值为().A.3B.C.-2D.【解析】∵++=0,∴O为△ABC的重心,设BC的中点为D,∴=,∴=,而+=2=2×=3,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量=2e1+e2sin α-,=e1-e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则函数f(x)=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为().A.-B.[-2,]C.(-2,1]D.(-1,]【解析】若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即=λ(-),∴2e1+e2sin α=λ(-)=λ,∴λ=2,sin α=λ,∴sin α=.∵-<α<,∴α=.∵0≤x<π,∴≤x+α<,∴-2≤f(x)≤.【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.【解析】由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.因为=+μ,所以=+2μ.又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤.【答案】13.(2017怀化模拟)已知a,b为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.(1)试用a,b表示向量;(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=(1-4-5)a+(2-1-3)b=-8a-2b.(2)因为=-8a-2b=2(-4a-b)=2,即∥且||=2||,所以在四边形ABCD中,AD∥BC且AD≠BC,即四边形ABCD为梯形.§9.2平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,λa=,|a|=.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=,||=--.三平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b⇔x1y2-x2y1=0.☞左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n等于().A.(1,-1)B.(7,-19)C.(7,-1)D.(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k=.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)2.(2)(x2-x1,y2-y1)基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19).【答案】B2.【解析】由ka+b与b平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0.【答案】03.【解析】∵=+,=+,=+,∴=λ+μ=+,则λ+μ=1,λ+μ=1,两式相加得λ+μ=.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC中,M为边BC上的任意一点,点N在线段AM上,且满足=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为().A.B.C.1D.4【解析】∵=,∴=.又=λ+μ,∴=4λ+4μ.∵B,M,C三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=.【答案】A【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=().A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】∵=a,=b,∴=+=+=a+b.∵E是OD的中点,∴=,∴|DF|=|AB|.∴==(-)=×-=a-b,∴=+=a+b+a-b=a+b,故选C.【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x),c=(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于().A. B.1 C.-D.-【解析】a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1).由(a+b)∥(b-c),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n,m+5n),即-解得-【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为().A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量=(1,-3),=(-1,-2),=(2,4),则=().A.(4,-1)B.(0,9)C.(2,-1)D.(2,9)【解析】(1)=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以--解得即N(2,0).(2)因为+==(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),=(2,4),所以=-=(2,4)-(0,-5)=(2,9).【答案】(1)A(2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc,求实数m,n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d.【解析】(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),∴-解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∵(a+kc)∥(2b-a),∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=-.(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).由题意得-----或解得-∴d=(3,-1)或d=(5,3).(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是().A.-B.C.D.(2)(2017福建石狮市联考)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是().A.2B.4C.6D.8【解析】(1)=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴∥,则-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.(2)由已知条件得=(a-1,1),=(-b-a,1),若A,B,C三点共线,则∥,由向量共线定理得(a-1)×1=1×(-b-a),∴2a+b=1,故+=(2a+b)=4++≥4+2=8.【答案】(1)A(2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是().A.B.C.D.【解析】∵||=||=||,∴点A,B,C在以点D为圆心的圆上.又∵·=·=·=-2,∴,,两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D的半径为r,则·=r·r·cos 120°=-2,∴r=2.∵=,∴M为PC的中点.∵||=1,∴点P在以点A为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC是边长为2的等边三角形.设AC的中点为O,连接DO,OM,则B,D,O三点共线,则||=3,=+=+.∴||2==||2+·+||2=9+3×1×cos<,>+=+3cos<,>≤+3=,当与同向时取等号,即||2的最大值是.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x,-1),若a-b与b共线,则x的值为().A.-3B.1C.2D.1或2【解析】∵a=(3,1),b=(x,-1),∴a-b=(3-x,2).又∵a-b与b共线,∴2x=x-3,∴x=-3.【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是().A.a·b=2B.a∥bC.|a|=|b|D.b⊥(a+b)【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a·b=-2,|a|=2,|b|=,所以选项A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b·(a+b)=0,故选D.【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是().A.a-2b与-a+2bB.3a-5b与6a-10bC.a-2b与5a+7bD.2a-3b与a-b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,所以a-2b与5a+7b可以作为一组基底.【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为().A.-B.-C.D.--【解析】设点D的坐标为(x,y),∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∴⊥.又C,B,D三点共线,∴∥.∵=(x-2,y-1),=(-6,-3),=(x-3,y-2),∴-------解得∴点D的坐标为.【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则().A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若a∥b,则向量a在向量c方向上的投影为.【解析】由a∥b,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a·c=12+8=20,所以向量a在向量c方向上的投影为=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4-x,2-y),=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴---解得即点D的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC中,H为边BC上异于点B,C的点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.【解析】由B,H,C三点共线知,=k(k≠0,1),则=+=+k=+k(-)=(1-k)+k,所以==(1-k)+.又=λ+μ,所以-从而λ+μ=.【答案】9.(2017郑州质检)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P在第一、三象限的角平分线上,且=+λ(λ∈R),则λ等于().A.-B.-C.D.【解析】设P(x,y),则=(x-2,y-3).∴+λ=(3+5λ,1+7λ).∵=+λ,∴--∴由点P在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=.【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足=t+(1-t),若∠BAM=,则t的值为().A.-B.-1C.-D.【解析】由题意可得=.因为=t+-t,所以-=t-t,即=t,所以t=.由正弦定理得=,所以t=·=-,故选C.【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为().A. B.C.1D.-1【解析】设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(如图),则-解得所以λ+μ=.A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),所以=(2,2),=(2,1),=(-1,2),所以【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是().A.[,2]B.[,2)C.(,)D.[,2]【解析】因为=(3m+n,m-3n),所以||=-=.设点P的坐标为(m,n),则||=|OP|.由题意得P(m,n)为可行域内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部,其中A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以点O到直线AB的距离d=,所以|OP|≥d=,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈=[,2),故选B.【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC内一点M满足=m+n,∠MCA=45°,则的值为().A.-1B.+1C.D.-【解析】如图,设正三角形的边长为a,由=m+n,得∵cos 15°=cos(60°-45°)=,∴∴=-,故选D.【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设∥,若=+λ(λ∈R),则λ的值为.【解析】因为=2,所以=+=+.又∥,可设=m,从而=+=++=+.因为=+λ,所以=,λ=1+=.【答案】15.(2017北京西城区质检)在直角△ABC中,||=||=3,且=2,点P是线段AD上任一点,则·的取值范围是.【解析】如图,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(3,0).∵=,∴D(2,1).又∵点P是线段AD上任一点,∴可设P(2y,y),0≤y≤1,则·=(2y,y)·(2y,y-3)=5y2-3y.∵0≤y≤1,∴-≤5y2-3y≤2.∴·∈-.即·的取值范围是-.【答案】-§9.3平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,由此得到1.若a=(x,y),则|a|2=或|a|=.2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=--.3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.☞左学右考已知向量a与b的夹角为,且|a|=,|b|=2,则a(2a+b)等于().A.-1B.1C.2D.2向量a=(3,-4),向量|b|=2,若a·b=-5,则向量a,b的夹角为().A.B.C.D.设向量a,b满足a·b=-12,且向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于().A.4B.3C.2D.1在△ABC中,M是BC的中点,||=1,=2,求·(+)的值.知识清单一、0三、2.a·b=05.五、x1x2+y1y21.x2+y23.x1x2+y1y2=0基础训练1.【解析】a(2a+b)=2a2+a·b=4-2=2.【答案】C2.【解析】cos<a,b>==-=-,即向量a,b的夹角为.【答案】D3.【解析】设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3.【答案】B4.【解析】如图,因为M是BC的中点,所以+=2.又=2,||=1,所以·(+)=·2=-4||2=-||2=-.题型一平面向量的数量积的运算【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D为边长是2的正三角形ABC所在平面内一点,=3,则·的值是().A.B.-C.D.4【解析】∵=3,∴点D在线段BC的延长线上,且BD=4CD,则||=||=,∴·=(+)·=+·=4+2××=.【答案】A【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=().A.-1B.0C.1D.2(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是.【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3.∴(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.(2)如图,∵=+,·=·(+)=·+·=·=2||=2,∴||=1,∴||=1,∴·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=2×1×(-1)+×2×1=2.【答案】(1)C(2)2题型二向量的夹角与向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角的大小为,|a+b|=.【解析】∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cosθ==-=-.又0≤θ≤π,∴θ=.∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=.【答案】【变式训练2】(1)(2017四川联考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为().A. B.C.D.π(2)(2017宝鸡模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=.【解析】(1)由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又|a|=|b|,设<a,b>=θ,∴3|a|2-|a|·|b|·cos θ-2|b|2=0,∴|b|2-|b|2·cos θ-2|b|2=0,∴cos θ=.又∵0≤θ≤π,∴θ=.(2)∵=(+)=2a-2b,∴||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2).∵向量a,b的夹角为,∴||2=4×-=4,∴||=2.【答案】(1)A(2)2题型三向量数量积的综合应用【例3】如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=().A.-B.C.-D.【解析】∵=,∴D是AC的中点,则=(+).∵·=-,∴(+)·(+)=-,即-=-1.∵BC=2,∴AB=,∴cos∠ABC=,∴·=-·=-.【答案】A【变式训练3】(2017河北模拟)在Rt△ABC中,∠A=90°,D是BC边上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为().A.B.3 C.D.【解析】因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤=,当且仅当λ=μ=时取等号,此时=+,即D是线段BC的中点,所以||=||=,故选C.【答案】C方法向量的线性运算与数量积的综合应用在利用向量数量积的有关性质解题时,会出现过程比较长,且转化后不容易发现解题突破口等问题,可结合向量的线性运算,即利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质,使问题简单化,形象化.【突破训练】已知非零向量a与向量b的夹角为钝角,|b|=2.当t=-2时,|b-ta|(t∈R)取得最小值,则a·(b-a)等于().A.-B.-2C.-D.【解析】如图,设=a,=b,=ta,则向量=b-ta,∴当a与b-ta垂直时,|b-ta|取得最小值,即a⊥(b+2a).又∵|b|=2,|b+2a|=,∴|a|=,cos<a,-b>=⇒cos<a,b>=-,则a·(b-a)=a·b-a2=×2×--=-.【答案】A1.(2017九江市周考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于().A.-12B.6C.-6D.12【解析】∵2a-b=(5,2-k),a·(2a-b)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.【答案】D2.(2017衡水中学押题卷)已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=().A.20B.12C.4D.2【解析】∵|b|=1,|a|=2,<a,b>=60°,∴a·b=1.∴|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=2.【答案】D3.(2017银川模拟)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=().A.1B.2C.3D.5【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=a2-2a·b+b2=6,两式相减,得4a·b=4,∴a·b=1.【答案】A4.(2017葫芦岛市二模)已知e1,e2是夹角为90°的两个单位向量,且a=3e1-e2,b=2e1+e2,则a,b的夹角为().A.120°B.60°C.45°D.30°【解析】设a,b的夹角为θ,则cos θ==.-∵(3e1-e2)·(2e1+e2)=6-=5,(3e1-e2)2=9+=10,(2e1+e2)2=4+=5,∴cos θ=,∴θ=45°.【答案】C5.(2017马鞍山市二模)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为().A. B.C.6 D.4【解析】·=3×2×cos 60°=3,∵=m+n,⊥,∴(m+n)·=(m+n)·(-)=(m-n)·-m+n=0,∴3(m-n)-9m+4n=0,∴=.【答案】A6.(2017银川模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为().A.-2B.-1C.0D.2【解析】向量a在向量b方向的投影为|a|cos<a,b>==-1.【答案】B7.(2017辽宁省模拟)若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=.【解析】∵|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,∴(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即a·b=-1,b2+2a·b=0,解得|b|=.【答案】8.(2017石嘴山中学月考)在菱形ABCD中,若AC=4,则·=.【解析】设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8a cos θ,∴a cos θ=2,∴·=4×a×cos(π-θ)=-4a cos θ=-8.【答案】-89.(2017四川五校联考)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于().A.B.C.2D.【解析】∵·=1,且AB=2,∴1=||||cos(π-B),∴||||cos B=-1.在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即9=4+|BC|2-2×(-1).∴|BC|=.【答案】A10.(2017陕西省二模)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=,|b|=,且a与a-b夹角的余弦值为,则a·b等于().A.4B.5C.6D.7【解析】∵a与a-b夹角的余弦值为,∴a·(a-b)=|a|·|a-b|,即3-a·b=|a-b|,∴(3-a·b)2=(a-b)2,化简得(a·b)2-4a·b-5=0,解得a·b=5或a·b=-1(舍去).【答案】B11.(2017湖北省三模)如图,在五边形ABCDE中,四边形ABCD是矩形,△ADE是等腰直角三角形,且AB=3,AD=4,则·=().A.18B.20C.21D.23【解析】延长BA至F,使得EF⊥AF(图略),则=+=+.又=+,∴·=(+)·=+=23.【答案】D12.(2017山东一模)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于().A.6B.4C.2D.1【解析】设=λ,∵=-,∴·=·(-)=λ-·=5,∴25λ=15,解得λ=,∴||=||=2.【答案】C13.(2017哈尔滨模拟)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cos θ-b sin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为().A. B.C.D.【解析】由题设知,若向量e1,e2的夹角为θ,则e2,-e1的夹角为π-θ.由题意可得f(e1,e2)=e1cos θ-e2sin θ,f(e2,-e1)=e2cos(π-θ)+e1sin(π-θ)=e1sin θ-e2cos θ,故f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1cos θ-e2sin θ)·(e1sin θ-e2cos θ)=cos θsin θ-e1·e2cos2θ-e1·e2sin2θ+cos θsin θ=2sin θcos θ-.∵e1·e2=,∴cos θ=,sin θ=,∴2sin θcos θ-=2××-=0,∴向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.【答案】B14.(2017兰州模拟)已知a,b,c三个向量共面,且均为单位向量,a·b=0,则|a+b-c|的取值范围是.【解析】∵a·b=0,∴a⊥b.∵a,b是单位向量,∴|a+b|=,则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为+1;当a+b与c同向时,|a+b-c|取最小值为-1.【答案】[-1,+1]15.(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=.【解析】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,∴=(,-3),=(-,-3),∴=+=--,∵=+=(0,3)+--=-,∴·=--·-=-2.【答案】-216.(2017宝山区三模)如图,在同一平面内,点P位于两平行直线l1,l2同侧,且点P到l1,l2的距离分别为1,3,点M,N分别在l1,l2上,|+|=8,则·的最大值为.【解析】过点P作与l1垂直的直线,并以该直线为y轴,l1为x轴建立平面直角坐标系(如图),则l1:y=0,l2:y=2,P(0,-1).设M(a,0),N(b,2),∴=(a,1),=(b,3),+=(a+b,4).由|+|=8,可知(a+b)2+16=64,∴a+b=4或a+b=-4.又∵·=ab+3,∴当a+b=4时,·=ab+3=-a2+4a+3,当a+b=-4时,·=ab+3=-a2-4a+3,可知两种情况最大值均为15.【答案】15阶段总结三微专题一三角函数三角函数是高考热点和必考内容,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的主要内容为:三角函数图象与性质(图象的解析式、值域或最值,单调区间和对称性等)、图象的变换,而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习备考时,应做到:1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.2.会作三角函数的图象,理解三种图象变换,通过图象研究三角函数性质,同时会对三角函数进行恒等变形,然后讨论图象、性质.3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用.【例1】(1)(2017河南调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)-的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是().A.y=2sin 2xB.y=2sin-C.y=2sin-D.y=2sin-(2)已知θ∈,且2cos2-=cos θ+1,则函数f(x)=2sin(x+θ)在-上的最大值为().A.1B.2C.D.-【分析】(1)先根据图象得到函数f(x)的解析式,再利用“左加右减”原则进行平移即可得到函数图象的解析式.(2)先根据已知条件求出θ的值,再根据x的取值范围求出x+θ的取值范围,进而求函数f(x)的最大值.【解析】(1)由图可知,T=+=,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).又因为f=2sin=2,所以+φ=+2kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin-,所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是f(x)=2sin 2x.(2)由2cos2-=cos θ+1,得cos-=cos θ,即tan θ=.∵θ∈,∴θ=,则f(x)=-2sin.又∵x∈-,∴x+∈-,∴当x+=-时,f(x)max=1.【答案】(1)A(2)A【拓展训练1】(1)把函数y=sin 3x的图象适当变化就可以得到y=(sin 3x-cos 3x)的图象,这个变化可以是().A.沿x轴方向向右平移个单位长度B.沿x轴方向向左平移个单位长度C.沿x轴方向向右平移个单位长度D.沿x轴方向向左平移个单位长度(2)关于f(x)=3sin,有以下命题:①若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ(k∈Z);②f(x)的图象与g(x)=3cos-的图象相同;③f(x)在区间--上是减函数;④f(x)的图象关于点-对称.其中正确的命题是.(填序号)【解析】(1)∵y=(sin 3x-cos 3x)=sin-=sin 3-,∴将函数y=sin 3x的图象沿x轴方向向右平移个单位长度可以得到函数y=(sin 3x-cos 3x)的图象.(2)①由f(x)=3sin知,若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=(k∈Z),故①不正确;②∵f(x)=3sin=3cos-=3cos-,∴f(x)的图象与g(x)=3cos-的图象相同,故②正确;③∵f(x)=3sin的单调递减区间是+2kπ≤2x+≤+2kπ,即x∈,k∈Z,∴f(x)在区间--上是减函数,故③正确;④∵f(x)=3sin的对称中心是-,0(k∈Z),∴f(x)的图象关于点-对称,故④正确.【答案】(1)C(2)②③④微专题二三角恒等变换三角恒等变换是高考热点和必考内容,有时以选择题或填空题的形式出现,有时与三角函数或解三角形相结合,通过三角恒等变换,化简三角函数式,进一步研究函数的性质、解三角形等,是常考题型.复习备考时,应做到:1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征.2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.【例2】(1)函数f(x)=sin-+2cos2x-1的单调递增区间是.(2)已知θ∈且sin θ-cos θ=-,则-等于().A. B.C.D.【分析】(1)先通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数,再利用正弦函数的单调递增区间,求f(x)的单调递增区间.(2)先根据已知条件求出sin-的值,进而求得cos-的值,再利用二倍角公式和诱导公式将-化简求得结果.【解析】(1)f(x)=sin-+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由sin θ-cos θ=-,得sin-=.∵θ∈,∴cos-=,∴-=-=--=--=2cos-=.【答案】(1)-,k∈Z(2)D【拓展训练2】(1)若=,则tan=.(2)若函数f(x)=-a sin cos-的最大值为2,则a=.【解析】(1)∵==,∴tan x=2,∴tan=tan-=-=.(2)f(x)=+a sin cos =cos x+a sin x=sin(x+φ),其中tan φ=,由已知得=4,解得a=±.【答案】(1)(2)±微专题三解三角形解三角形是必考内容,而且常与三角恒等变换公式相结合.复习备考时,应做到:1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用.2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换.【例3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a cos B=b cos A,边BC上的中线长为4.(1)若A=,求c;(2)求△ABC面积的最大值.【分析】(1)先由正弦定理与两角和与差的正弦公式求得角B,从而求得c与a的关系,再用余弦定理求得c的值;(2)先用余弦定理求得a,再用三角形面积公式结合基本不等式即可求得△ABC面积的最大值.【解析】(1)由a cos B=b cos A及正弦定理得sin A cos B=sin B cos A,∴sin(A-B)=0,∴B=A=,∴c= a.由余弦定理得16=c2+-2c·cos ,解得c=.(2)由A=B知c=2a cos A,∵16=c2+-2c·cos A,∴a2=,∴S△ABC=ac sin A=.∵sin2A+9cos2A≥6sin A cos A,当且仅当sin A=3cos A时,等号成立,∴S△ABC=≤,即△ABC面积的最大值为.【拓展训练3】(2017四川省资阳市联考)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足-=,D是BC边上的一点.(1)求角B的大小;(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.【解析】(1)由-=,得c cos B-a cos B=b cos A,即c cos B=a cos B+b cos A.由正弦定理,得sin C cos B=sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C,所以cos B=.又0°<B<180°,所以B=45°.(2)在△ADC中,AC=7,AD=5,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC=-=-=-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得=,所以AB====.微专题四平面向量平面向量是高考热点,每年必有一道题,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的内容包括:向量的基本概念、向量的线性运算、向量的坐标运算和向量的数量积.复习备考时,应做到:1.重视向量的概念,熟练掌握向量加减法及几何意义.2.理解平面向量基本定理的意义、作用,会运用定理表示向量,然后再进行向量运算.3.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法,理解数量积的运算性质,并能利用数量积解决向量的几何问题.【例4】(1)(2017河南省开封市届高三上学期月考)已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b夹角为.(2)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为.【分析】(1)由b在a方向上的投影为3,可得m的值,再利用夹角公式可得向量a与b夹角的大小.(2)利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.【解析】(1)b在a方向上的投影为3,即|b|cos<a,b>===3,解得m=,。

2019年全国版高考数学必刷题：第七单元三角函数

第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos (α-β)= .【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13,∴ cos α =2 23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2α=-79.【答案】-792.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34,则cos 2α+2sin2α=( ).A .6425B .4825C .1D .1625【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sin αcos α22=1+4tan α2=1+4×341+ 342=64.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 .【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2x ,所以2sin 2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.【答案】π6或5π6考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin 2x +2π3,则下面结论正确的是( ).A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【解析】因为C 2:y=sin 2x +2π3=sin 2x +π2+π6 =cos 2x +π6,所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度,即得到曲线C 2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos x +π3,则下列结论错误的是( ).A .f (x )的一个周期为-2πB .y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称C .f (x+π)的一个零点为x=π6D .f (x )在 π,π 上单调递减【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确;由x+π=k π(k ∈Z ),得x=k π-π(k ∈Z ),当k=3时,x=8π,故B 正确;f (x+π)=-cos x +π3 ,则当x=π6时,f (x+π)=0,故C 正确;函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π个单位长度得到的,故函数f (x )在 -π,2π上单调递减,在2π3,5π3上单调递增,故D 错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x+ 3cos x-3 x ∈ 0,π 的最大值是 .【解析】f (x )=sin 2x+ 3cos x-34=1-cos 2x+ 3cos x-34=- cos x - 322+1,∵x ∈ 0,π2 ,∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f 5π8 =2,f 11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ).A.ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24D .ω=1,φ=7π【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=411π-5π=3π,∴ω=2,即f (x )=2sin 2x +φ .∵|φ|<π,f 5π8 =2,∴φ=π12.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).A .x=kπ2-π6(k ∈Z )B .x=kπ2+π6(k ∈Z )C .x=kπ2-π12(k ∈Z )D .x=kπ+π(k ∈Z )【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2 x +π12,令2 x +π12=k π+π2(k ∈Z ),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k ∈Z ).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π),x=-π为f (x )的零点,x=π为y=f (x )图象的对称轴,且f (x )在π,5π上单调,则ω的最大值为( ).A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-π4ω+φ=kπ,k∈Z,①π4ω+φ=mπ+π2,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+π.因为|φ|≤π,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间π18,5π36上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且5π-π≤1³2π,即ω≤12.①当φ=π4时,f(x)=sin ωx+π4,则kπ-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-π4时,f(x)=sin ωx-π4,则kπ-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤27,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k²360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π180rad,1rad=180π°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=1lr=1|α|r2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα=,cosα=,tanα=yx(x≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五诱导公式已知点P(sinα,cosα)在第二象限,则角α的终边在().A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限cos 2π3+tan225°=( ).A.12 B .-12C .32D .-32已知α∈(-π,-π),且sin α=-1,则cos α等于( ).A .-12B .12C .- 32D . 32已知tan (2017π+α)=12,则cos α-3sin α2sin α+cos α等于( ).A .-2B .12C .-23D .-14在平面直角坐标系中,角α的终边过点P (2,1),则cos 2α+sin2α的值为 .已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=π3,R=10cm ,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大? 知识清单一、1.(1)一条射线图形 (2)正角负角零角三、y x四、1.sin 2α+cos 2α=1 2.sin αcos α=tan α五、cos α cos α sin α -sin α 基础训练1.【解析】由题意得sin α<0,cos α>0,所以角α的终边在第四象限,故选D .【答案】D2.【解析】cos 2π3+tan225°=-12+1=12.【答案】A3.【解析】 cos α = 1−sin 2α= 1− -122= 32,∵α∈ -π,-π2,∴cos α<0,∴cos α=- 32,故选C .【答案】C4.【解析】tan (2017π+α)=tan α=12,所以cos α-3sin α2sin α+cos α=1−3tan α2tan α+1=-14,故选D .【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P (2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|= 5,∴cos α=x r = 5=2 55,sin α=y r = 5= 55,则cos 2α+sin2α=45+2sin αcos α=45+45=85.【答案】856.【解析】(1)设弧长为l ,扇形面积为S , 则α=π,R=10,l=π³10=10πcm , S=1³10π³10=50πcm 2. (2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,α=C -2,S 扇=12α²R 2=12 C R -2 R 2=12CR-R 2=- R 2-C2R =- R -C 4 2+C 216,∴当R=C 4时,扇形面积取最大值C 216,此时α=C R-2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=C 2+α. ∴S扇=1α²R2=1α² C 2=C 2α²12=C 2²1α+4α+4≤C 2.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值C 216.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P (x ,- 2)(x ≠0),且cos α= 55x ,则 α+1tan α= .【解析】∵P (x ,- 2)(x ≠0),∴点P 到原点的距离r= x 2+2.又cos α= 55x ,∴cos α=2= 55x.∵x ≠0,∴x=± ∴r= .当x= 3时, 5sin α+1tan α=-2 2+ 62;当x=- 3时, 5sin α+1tan α=-2 2- 62.【答案】-2 2± 62【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(-1, 3),2α∈[2π,4π),则sin α等于( ).A.-12B .12C .- 32D .23【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=- 3,∴2α=2π+2π,即α=π+π,∴sin α=- 3.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3,l=π3³10=10π3, S 弓=S 扇-S △=12³10π3³10-12³102³sin π3=50π3-50 32=50 π3- 32.(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=4α+2, ∴S 扇=1αR 2=1α² 42=8α2=84+α+4α≤1.当且仅当α=4,即α=2时,扇形面积有最大值1.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即l=20-2r (0<r<10).∴扇形的面积S=12lr=12(20-2r )r=-r 2+10r=-(r-5)2+25. ∴当r=5时,S 有最大值25,此时l=10,α=l r=2rad.∴当α=2rad 时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC 中,sin A+cos A=1.(1)求sin A cos A 的值; (2)求tan A 的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=15, ①∴两边平方得1+2sin A cos A=125,∴sin A cos A=-1225.(2)由(1)得sin A cos A=-12<0, 又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A )2=1-2sin A cos A=1+2425=4925,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75. ②由①②可得sin A=4,cos A=-3,∴tan A=sin A cos A =45-35=-43.【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin 2α+sin αcos α-2cos 2α= .(2)已知sin 2α=3sin 2β,tan α=2tan β,则cos 2α= .【解析】(1)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=sin 2α+sin αcos α-2cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+tan α-2tan 2α+1=45.(2)∵sin 2α=3sin 2β, ①tan 2α=4tan 2β, ②由①÷②得,4cos 2α=3cos 2β, ③由①+③得,sin 2α+4cos 2α=3,∴cos 2α=23.【答案】(1)45 (2)23题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin α,1cos θ+π6分别是方程5x 2-12x-9=0的两根.(1)求cos5π6-θ 和sin θ+2π3的值; (2)若3π<α<7π2,求sin(5π-α)cos(2π-α)cos 3π2-α -sin 2αcos π2-α sin(−π-α)的值.【解析】∵sin α,1cos θ+π6分别是方程5x 2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sin α=-3,1cos θ+π6=3,∴cos θ+π=1.(1)cos5π6-θ =cos π- π6+θ =-cos π6+θ =-13, sin θ+2π3 =sin π2+ θ+π6 =cos θ+π6 =13.(2)∵3π<α<7π2,∴α是第三象限角.∵sin α=-35,∴cos α=-45.sin(5π-α)cos(2π-α)cos3π2-α -sin 2αcos π2-α sin(−π-α)=-sin 2αcos α-sin 2α2=-1-cos α =-15.【变式训练4】已知fπ12+x = sin(π-x )cos(2π-x )tan(π-x )cos -π2+x.(1)求f -9π的值. (2)若f (x )=1,求sin x +23π+cos x +17π的值. 【解析】fπ+x =sin x ·cos x ·(-tan x )=-cos x ²tan x=-sin x. (1)令π12+x=-9π4,则x=-9π4-π12=-7π3,∴f-9π4=-sin-7π3=sinπ3=32.(2)∵f(x)=-sin x-π=1,∴sin x-π=-1,∴sin x+23π12+cos x+17π12=sin2π+ x-π12+cos π+ x+5π12=sin x-π12-cos x+5π12=sin x-π12-cosπ2+ x-π12=2sin x-π=-1.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sinθ2,cosθ2,tanθ2的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴π+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴π+kπ<θ<π+kπ,k∈Z,∴θ2是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当θ2是第一象限角时,sinθ2=AB,cosθ2=OA,tanθ2=CT,故cosθ2<sinθ2<tanθ2.②当θ2是第三象限角时,sinθ2=EF,cosθ2=OE,tanθ2=CT,故sinθ<cosθ<tanθ.综上可得,当θ2在第一象限时,cosθ2<sinθ2<tanθ2;当θ2在第三象限时,sinθ2<cosθ2<tanθ2.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin4n-14π-α +cos4n+14π-α (n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin8k-14π-α +cos8k+14π-α=sin2kπ+-π-α +cos2kπ+π-α=sin-π4-α +cosπ4-α=-sinπ4+α +cosπ2-π4+α=-sinπ4+α +sinπ4+α =0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin8k+34π-α +cos8k+54π-α=sin2kπ+3π4-α +cos2kπ+5π4-α=sin 3π4-α +cos 5π4-α=sin π- π+α +cos π+ π-α=sin π+α -cos π-α=sin π4+α -cos π2- π4+α=sin π4+α -sin π4+α =0.故sin4n -14π-α +cos 4n +14π-α =0. 1.(2017日照市三模)若sin (π-α)=13,且π2≤α≤π,则cos α的值为( ).A.2 23B .-2 23C .4 29D.-4 29【解析】因为sin (π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=- 2α=-2 23. 【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,则sin θ+cos θsin θ-cos θ=().A.3B.-3C.13D.-13【解析】因为sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=-2+1-2-1=13,故选C .【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos α-sin α= 24,则sin2α的值为( ).A.18B.-18C.78D.-78【解析】∵cos α-sin α= 24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-2 55,则y=( ).A.-8B.-4C.2D.4 【解析】因为sin θ=4+y 2=-2 55,所以y<0,且y 2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为( ).A.3B.4C.-4D.-3【解析】cos α-π3 =cos α+π6-π2 =sin α+π6 =45,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则1+sin2θcos 2θ= .【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ, 则1+sin2θcos 2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θcos 2θ=1. 【答案】17.(2016湖北二模)设f (x )= sin πx ,x <1, 2f(x-2),x ≥1,则f -236 +f 94 = .【解析】f -236 +f 94 =sin -23π6 + 2f 94-2 =12+ 2sin π4=32. 【答案】328.(2017郴州市四检)已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z ),则sin [2(π-θ)]= .【解析】由题意可得3cos 2θ-3=tan θ,即-3sin 2θ=sin θ,因为θ≠k π(k ∈Z ),所以sin θcos θ=-1,即sin2θ=-23,所以sin [2(π-θ)]=-sin2θ=23.【答案】239.(2016许昌二模)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则α的一个变化区间是().A.-π,-π2B.-π4,π4C.-3π4,-π2D.π2,π【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以sinα-cosα<0,tanα>0,根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=2kπ3+π6(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=π6,终边位于第一象限,当k=1时,α=5π6,终边位于第二象限,当k=2时,α=3π,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+π6,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<π4时,函数f(x)=cos2xcos x sin x-sin2x的最小值是().A.14B.12C.2D.4【解析】当0<x<π4时,0<tan x<1,f(x)=cos2xcos x sin x-sin x=1tan x-tan x,设t=tan x,则0<t<1,y=1t-t2=1t(1-t)≥4.当且仅当t=1-t,即t=12时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan2π5,则cosα-π10sinα-2π5=.【解析】cosα-π10sinα-2π5=sinα+2π5 sinα-2π5=sinαcos2π5+cosαsin2π5sinαcos2π5-cosαsin2π5=tanα+tan2π5tanα-tan2π5=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,3sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若1+2sin B cos Bcos2B-sin2B=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,3sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(3sin A-1)2=1,即4sin2A-23sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=32,∴A=π3或A=2π3,将A=π3或A=2π3代入①知A=2π3时等式不成立,∴A=π.(2)由1+2sin B cos Bcos2B-sin2B=-3,得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、π2,-1、3π2,-1、.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π3,则ω=.函数y=2-3cos x+π4的最大值为,此时x=.函数f(x)=sin x-π4的图象的一条对称轴是().A.x=πB.x=πC.x=-π4D.x=-π2知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、 x|x≠kπ+π2x=kπ+π2x=kπ kπ+π2,0kπ2,02kπ-π2,2kπ+π22kπ+π2,2kπ+3π22kπ-π,2kπ 2kπ,2kπ+π kπ-π2,kπ+π2基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14,故f(x)的最小正周期为T=4³π3=4π3,∴ω=2πT=32.【答案】32.【解析】当cos x+π4=-1时,函数y=2-3cos x+π4取得最大值5,此时x+π4=π+2kπ(k∈Z),从而x=34π+2kπ,k∈Z.【答案】534π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-π4=kπ+π2,k∈Z,∴x=kπ+3π4,k∈Z.取k=-1,则x=-π.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+sin x的定义域为.【解析】由题意得3+2x-x2>0,sin x≥0,即-1<x<3,2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),解得0≤x<3,所以函数f (x )的定义域为[0,3). 【答案】[0,3)【变式训练1】函数y= sin2x -cos2x 的定义域为 .【解析】由题意得sin2x-cos2x ≥0,即 2sin 2x -π4 ≥0,则2k π≤2x-π4≤2k π+π,解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ),所以函数的定义域为 x |k π+π8≤x ≤k π+5π8,k ∈Z . 【答案】 x |k π+π8≤x ≤k π+5π8,k ∈Z 题型二三角函数的值域【例2】求函数f (x )=cos 2x+sin x+1在区间 -π,π上的最大值与最小值.【解析】f (x )=cos 2x+sin x+14=1-sin 2x+sin x+14=- sin x -12 2+32.∵x ∈ -π6,π4 ,∴sin x ∈ -12,22, ∴当sin x=-12时,函数f (x )取最小值12,当sin x=12时,函数f (x )取最大值32.【变式训练2】已知函数f (x )=cos 2x -π3 +2sin x -π4 ²sin x +π4 ,求函数f (x )在区间 -π12,π2上的最大值与最小值.【解析】由题意得f (x )=12cos2x+ 32sin2x+(sin x-cos x )²(sin x+cos x )=1cos2x+ 3sin2x+sin 2x-cos 2x=12cos2x+ 32sin2x-cos2x=sin 2x -π6 .又x∈-π12,π2,∴2x-π6∈-π3,5π6,∴sin2x-π∈-3,1.故当x=π3时,f(x)取最大值1;当x=-π12时,f(x)取最小值-32.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f(x)=4cosωx²sin ωx+π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=4cosωx²sin ωx+π=2ωx²cosωx+2cos2ωx=2(sin2ωx+cos2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π4+2,令-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,所以-3π4+2kπ≤2x≤π4+2kπ,k∈Z,所以-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-3π+kπ,π+kπ ,k∈Z.【变式训练3】已知函数f (x )=sin ωx cos ωx - 3sin ωx + 32(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递减区间.【解析】f (x )=sin ωx cos ωx - 3sin ωx + 3=sin ωx ²cos ωx- sin 2ωx+ 32=12sin2ωx+ 32cos2ωx=sin 2ωx +π.(1)∵函数f (x )的最小正周期为π,∴2π2ω=π2,解得ω=2.(2)由(1)知f (x )=sin 4x +π3,令2k π+π2≤4x+π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+π6≤4x ≤2k π+7π6,k ∈Z ,∴kπ2+π24≤x ≤kπ2+7π24,k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间是 kπ2+π24,kπ2+7π24,k ∈Z . 题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数 f (x )=sin2x+ 3cos2x (x ∈R ).(1)若函数y=f (x+φ) |φ|≤π的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f x+π+6φ12的图象关于点4π3,0中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+π.(1)∵y=f(x+φ)=2sin2x+π+2φ 的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴π+2φ=π+kπ,k∈Z,则φ=kπ+π,k∈Z.∵|φ|≤π2,∴φ=-5π12或φ=π12.(2)∵y=f x+π+6φ12=2sin2x+φ+π2=2cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,∴2cos2×4π+φ =2cos2π+φ+2π =2cos2π+φ =0,∴2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-π6,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为π.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若fπ4-x=f(x),求φ;(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos2x+3φ 的单调递减区间.【解析】(1)∵fπ-x=f(x),∴函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,令2³π8+φ=kπ+π2,k∈Z,则φ=kπ+π4,k∈Z,又-π<φ<0,则-54<k<-14,k ∈Z .∴k=-1,则φ=-3π4.(2)∵函数y=f (x )是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-π2,∴g (x )=cos 2x -3π4. 令2k π≤2x-3π4≤π+2k π,k ∈Z ,可解得3π8+k π≤x ≤7π8+k π,k ∈Z ,∴y=g (x )的单调递减区间为 3π8+k π,7π8+k π ,k ∈Z . 方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin (ωx+φ)或y=A cos (ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f (x )=sin 2x+2 3sin x cos x+3cos 2x-2.(1)当x ∈ 0,π2时,求函数f (x )的单调递增区间;(2)若函数g (x )=-(1+λ)f 2(x )-2f (x )+1在 -π3,π6上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f (x )=sin 2x+2 3sin x cos x+3cos 2x-2= 3sin2x+cos2x=2sin 2x +π6 .(1)令-π2+2k π≤2x+π6≤π2+2k π,k ∈Z .解得2k π-2π3≤2x ≤2k π+π3,k ∈Z ,即k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z .∵x ∈ 0,π2 ,∴f (x )的单调递增区间为 0,π6 .(2)由(1)知函数f(x)在-π3,π6上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-11+λ≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-11+λ≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2 x+3π2-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数【解析】∵y=2sin2 x+3π-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2 x+3π-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin x2-π8cos x2-π8的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.-3π4,0 C.3π2,0 D.π2,0【解析】由题意知f(x)=sin x-π4,令x-π4=kπ(k∈Z),则x=kπ+π4(k∈Z).由k=-1,得x=-3π4,即f(x)=sin x-π4的一个对称中心是-3π4,0.【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在-π6,π3上是增函数.”的一个函数为().A.y=sin x2+π6B.y=cos x2-π6C.y=cos2x+π6D.y=sin2x-π6【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=π3时,y=cos2×π3+π6=cos5π6=-32,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ) A>0,|φ|<π2的图象在y轴左侧的第一个最高点为-π6,3,第一个最低点为-2π3,m,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sinπ-2xB.f(x)=3sin2x-πC.f(x)=3sinπ3-2x D.f(x)=3sin2x-π3【解析】由题意得A=3,T=2-π6+2π3=π,∴ω=±2πT=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点-π6,3,则π3+φ=2kπ+π2,得φ=π6.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,φ<π,两相邻的对称轴的距离为π,fπ为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A.0,π6B.2π3,πC.0,π6和π3,π D.0,π6和2π3,π【解析】∵两相邻的对称轴的距离为π2,∴T2=π2,解得T=π,∴ω=2.又fπ6为最大值,令2³π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π6+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=π6,∴函数f(x)=sin2x+π6.令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈-π3,π6,当k=1时,x∈2π3,7π6,∴f(x)在区间0,π上的单调增区间为0,π6和2π3,π .【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos2x+sinπ+x的最小值是.【解析】f(x)=cos2x+sinπ2+x=2cos2x+cos x-1=2cos x+142-98,故f(x)min=-98.【答案】-987.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2,y=f(x)的部分图象如图所示,则fπ24=.【解析】由图象知,T=23π-π=π,∴ω=2.由2³3π+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-3π,k∈Z.又∵|φ|<π,∴φ=π.由A tan2×0+π4=1,知A=1,∴f(x)=tan2x+π4,∴fπ24=tan2×π24+π4=tanπ3=3.【答案】38.(2017百校联盟)已知函数f(x)=9-sin2x,则当f(x)取最小值时cos2x的值为.【解析】f(x)=98cos2x+16+cos2x-12=98cos2x+2+cos2x+22-32,∵cos2x+2>0,∴f(x)≥2³34-32=0,当且仅当98 cos2x+2=cos2x+22,即cos2x=-12时等号成立.【答案】-129.(2017辽宁四模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2的图象过点0,12,若f(x)≤fπ12对x∈R 恒成立,则ω的最小值为().A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点0,12,则sinφ=12.结合|φ|<π2可得,φ=π6,由f(x)≤fπ12对x∈R恒成立,可得π12³ω+π6=2kπ+π2(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z),令k=0可得ωmin=4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f(x)=sin ωx+π3-12cos ωx-7π6(ω>0),满足f-π6=34,则满足题意的ω最小值为().A.13B.12C.1D.2【解析】由题意可得,f(x)=sin ωx+π3-12cosπ2+ωx+π3=sin ωx+π3+12sin ωx+π3=32sin ωx+π3,则f-π6=32sin-π6ω+π3=34,∴-π6ω+π3=2kπ+π6或-π6ω+π3=2kπ+5π6(k∈Z),则ω=1-12k或ω=-12k-3(k∈Z).结合ω>0可得,令k=0,ωmin=1.【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1 ω>0,φ<π2,f(α)=-1,f(β)=1,若 α-β 的最小值为3π4,且f(x)的图象关于点π4,1对称,则函数f(x)的单调递增区间是().A.-π2+2kπ,π+2kπ ,k∈ZB.-π+3kπ,π+3kπ ,k∈ZC. π+2kπ,5π+2kπ ,k∈ZD. π+3kπ,5π2+3kπ ,k∈Z【解析】由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω=2πT =23,又f(x)的图象关于点π4,1对称,从而fπ=1,即sin2×π+φ =0,因为|φ|<π,所以φ=-π,故f(x)=2sin2x-π+1.由-π+2kπ≤2x-π≤π+2kπ,k∈Z,得-π+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ= .【解析】由图象知sin φ=-12⇒φ=2k π-5π6(k ∈Z ),又3T 4<5π6<T ⇒5π6<T<10π9⇒95<ω<125. 再由sin5π6ω+φ =0⇒5π6ω+φ=2k π+π(k ∈Z )⇒φ∈ 2kπ-π,2kπ-π2 ,解得φ=-5π6.【答案】-5π613.(2017盐城二模)已知a>0,函数f (x )=-2a sin 2x +π6 +2a+b ,当x ∈ 0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.【解析】(1)∵x ∈ 0,π2 ,∴2x+π6∈ π6,7π6. ∴sin 2x +π6 ∈ -12,1 ,∴-2a sin 2x +π∈[-2a ,a ],∴f (x )∈[b ,3a+b ].又∵-5≤f (x )≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f (x )=-4sin 2x +π6-1,g (x )=f x +π2 =-4sin 2x +7π6-1 =4sin 2x +π6 -1.又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin 2x +π6 -1>1,∴sin 2x +π6 >12,∴2k π+π6<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g(x)的单调递增区间为 kπ,kπ+π6,k∈Z.又∵当2kπ+π2<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+π6<x<kπ+π3,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为 kπ+π,kπ+π,k∈Z.§7.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];3.周期:T=2πω;4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:kπ-φω,0(k∈Z);6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:把函数y=sin3x+π3的图象向右平移π4个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)|φ|<π2的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为.求函数f(x)=cos2x+π的单调递减区间.知识清单一、4.x=kπ+π2 -φω(k∈Z)6. 2kπ-π2-φω,2kπ+π2-φω(k ∈Z )2kπ+π2-φω,2kπ+3π2-φω(k ∈Z )二、|φ| φ基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=sin 3x -5π12的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到函数y=sin 6x -5π12的图象. 【答案】y=sin 6x -5π122.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3,又图象过点(1,2),∴sin π3×1+φ =1,∴φ+π3=2k π+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ=π6.【答案】6和π63.【解析】由不等式2k π≤2x+π≤2k π+π(k ∈Z )得k π-π≤x ≤k π+5π(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递减区间为 kπ-π12,k π+5π12(k ∈Z ). 题型一函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin 2x +π3 ,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2) 写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin 2x +π3的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+π3,则y=2sin 2x +π3=2sin X.列表,并描点画出图象:(2)振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.(法一)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin x +π3 的图象;再把y=sin x +π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin 2x +π3的图象;最后把y=sin 2x +π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 2x +π3的图象.(法二)把y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x 的图象;再把y=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin2 x +π6 =sin 2x +π3 的图象;最后把y=sin 2x +π3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 2x +π3 的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f (x )=cos ωx -π2(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得的图象经过点3π4,0 ,则ω的最小值是( ).A.13B.1C.53D.2【解析】f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度后得g (x )=sin x -π4 ω的图象,故g 3π4 =sin π2ω=0,所以π2ω=k π,k ∈Z ,即ω=2k ,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin (ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(0)的值为.【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f(x)=sin(x+φ),且fπ=0,∴π+φ=kπ,∴φ=kπ-π,∴φ=3π,∴f(x)=sin x+3π,∴f(0)=sin3π=2.【答案】22【变式训练2】已知函数f(x)=A sin(ωx+φ) A>0,|φ|<π2,ω>0的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为.【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω²0+φ),即sinφ=1.∵|φ|<π,∴φ=π.又∵11π12是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x轴形成的零点,∴11π12ω+π6=2π,∴ω=2,∴f(x)=2sin2x+π6.【答案】f(x)=2sin2x+π6题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ-π2<φ<0是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6 ,所以OP在时间t(s)内所转过的角为πt.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sinπt+φ +2.当t=0时,z=0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z=4sin πt-π +2.(2)令z=4sin πt-π +2=6,得sin π6t-π6=1.令π6t-π6=π2,得t=4,故点P 第一次到达最高点大约需要4s .【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin (ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin (ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 所以12³2πω=14-6,解得ω=π8.由图可知A=1³(30-10)=10,b=12³(30+10)=20,故y=10sin π8x +φ +20.将x=6,y=10代入上式,可取φ=3π4.综上所述,所求解析式为y=10sin πx +3π+20,x ∈[6,14]. 方法数形结合思想1.掌握“五点法”作图,确定定义域,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,抓住函数y=A sin(ωx+φ)的图象的特征;2.从整体思想和数形结合思想确定函数y=A sin(ωx+φ)的性质.【突破训练1】已知向量a=(3sin x,-1),b=(cos x,m),m∈R,设函数f(x)=2(a+b)b-2m2-1,将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在0,π2上有两个零点,求m的取值范围.【解析】∵f(x)=2(a+b)b-2m2-1=23sin x cos x+2cos2x-2m-1=sin2x+cos2x-2m=2sin2x+π-2m,∴g(x)=2sin2x-π3+π6-2m=2sin2x-π6-2m.∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6,则2sin2x-π6∈[-1,2].设y1=2sin2x-π6,y2=2m,由数形结合知,若函数g(x)在0,π2上有两个零点,则2m∈[1,2),∴m的取值范围是1,1.【突破训练2】已知函数f(x)=2sin2x,记函数f(x)在区间 t,t+π4上的最大值为M t,最小值为m t,设函数h(t)=M t-m t.若t∈π6,π2,则函数h(t)的值域为.【解析】由已知得函数f(x)的周期T=π,区间 t,t+π4的长度为T4,作出函数f(x)在π6,3π4上的图象(图略),又t∈π,π,则由图(图略)可得,当t∈π,π时,h(t)=fπ-f t+π=2-2cos2t∈1,2;当t∈π,π时,函数f(x)为减函数,则h(t)=f(t)-f t+π=22sin2t-π∈[2,22],∴h(t)的值域为[1,22].【答案】[1,22]1.(2017阜阳二模)将函数f(x)=sin2x-π的图象向右平移π个单位长度后得到的图象的一条对称轴是().A.x=π4B.x=3π8C.x=5π12D.x=7π24【解析】由题意得平移后函数为y=sin2x-2×π-π=sin2x-π,对称轴为2x-π=π+kπ(k∈Z),得x=5π12+kπ2(k∈Z),因此直线x=5π12为平移后函数的一条对称轴,故选C.【答案】C2.(2017淮北二模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=2sin12x+π4B.f(x)=2sin12x+3π4C.f(x)=2sin1x+3πD.f(x)=2sin2x+π【解析】由图可得A=2,T4=π⇒ω=12,由f-π2=2得-π4+φ=π2(0<φ<π),则φ=3π4,∴f(x)=2sin12x+3π4.【答案】B3.(2017鹰潭市一模)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b A>0,ω>0,|φ|<π的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为().A.f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sinπ4x-π4(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=22sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sinπ4x+π4+7(1≤x≤12,x∈N*)【解析】由题意得b=7,则A=9-7=2,T=2(7-3)=8,∴ω=2π=π,又x=3时,π³3+φ=2kπ+π(k∈Z),得φ=-π,故选A.。

2019年全国版高考数学必刷题：第九单元平面向量

第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则().A.AD=-13AB+43ACB.AD=1AB-4ACC.AD=4AB+1ACD.AD=43AB-13AC【解析】AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=43AC-13AB=-13AB+43AC.故选A.【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为().A.3B.22C.5D.2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.∵CD=1,BC=2,∴BD=12+22=,EC=BC·CDBD =5=255,即圆C的半径为255,∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则x 0=2+2 5cos θ,y 0=1+2 55sin θ(θ为参数),而AP =(x 0,y 0),AB =(0,1),AD =(2,0).∵AP =λAB +μAD =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+ 55cos θ,λ=y 0=1+2 55sin θ.两式相加,得 λ+μ=1+2 55sin θ+1+ 55cos θ=2+sin (θ+φ)≤3其中sin φ=55,cos φ=2 55, 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).A .-8B .-6C .6D .8【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )²b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA= 12, 32 ,BC = 32,12,则∠ABC=( ).A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA= 12, 32 ,BC = 32,12 ,所以BA²BC = 34+ 34= 32.又因为BA ²BC =|BA ||BC |cos ∠ABC=1³1³cos ∠ABC ,所以cos ∠ABC= 32.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD²AE=-4,则λ的值为.【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,AB²AC=3³2³cos60°=3,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,∴AD²AE=13AB+23AC²(λAC-AB)=λ-2 3AB²AC-13AB2+2λ3AC2=λ-2 3³3-13³32+2λ3³22=11λ-5=-4,解得λ=3.【答案】37.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m²n<0”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,所以m²n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m²n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m²n<0”的充分而不必要条件.故选A.【答案】A8.(2017年山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.【解析】由题意知|e1|=|e2|=1,e1²e2=0,|3e1-e2|=(3e1-e2)2=3e12-23e1·e2+e22= 3-0+1=2.同理|e 1+λe 2|= 2. 所以cos60°=31212|3e -e ||e +λe |=3e 12 312222 1+λ=3-λ2 1+λ=1,解得λ= 33.【答案】 33考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|= (a +2b )2= a 2+4a ·b +4b 2= 22+4×2×1×cos60°+4×12 = 12=2 3.【答案】2 310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ²b=|a|2+|b|2,∴a ²b=0.又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .【解析】设a ,b 的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|= 2 (a -b )2= 5+4cos θ+ 5-4cos θ.令y= 5+4cos θ+ 5-4cos θ,则y2=10+225-16cos2θ.∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].【答案】425考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA²(PB+PC)的最小值是().A.-2B.-32C.-43D.-1【解析】如图,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA²(PB+PC)=2PA²PD.要使PA²PD最小,则PA与PD方向相反,即点P在线段AD上,则(2PA²PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最大值.又|PA|+|PD|=|AD|=2³32=3,∴|PA||PD|≤|PA|+|PD|2=32=3,∴[PA²(PB+PC)]min=(2PA²PD)min=-2³3=-3.故选B.【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA²OB,I2=OB²OC,I3=OC²OD,则().A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3【解析】∵I1-I2=OA²OB-OB²OC=OB²(OA-OC)=OB²CA,又OB与CA所成角为钝角,∴I1-I2<0,即I1<I2.∵I1-I3=OA²OB-OC²OD=|OA||OB|cos∠AOB-|OC||OD|cos∠COD=cos∠AOB(|OA||OB|-|OC||OD|),又∠AOB为钝角,OA<OC,OB<OD,∴I1-I3>0,即I1>I3.∴I3<I1<I2.故选C.【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞左学右考如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则EF=().A.12AB-13ADB.2AB+1ADC.13AB-12ADD.12AB-23AD下列命题中,正确的个数是().①若|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b;③|AB|=|BA|;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.1B.2C.3D.4已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则().A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD知识清单一、2.零3.1个单位4.相同相反5.相等相同6.相等相反二、1.平行四边形三角形交换律结合律2.><基础训练1.【解析】EF=EC+CF=12AB-23AD.【答案】D2.【解析】∵a与b的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b为零向量,则a与c的方向不能确定,∴④错误.【答案】B3.【解析】由2OA+OB+OC=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故AO=OD.【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a∥b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB∥DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中正确命题的序号是.【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB ∥DC 且|AB |=|DC |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③【变式训练1】下列命题中正确的是( ).A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .|a|=|b|,则a=±bC .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C ,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).①PQ=32a+32b ;②PT =32a-b ; ③PS =32a-12b ;④PR =32a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④【解析】①根据向量的加法法则,得PQ=32a+32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT =32a-32b ,故②错误;③PS =PQ +QS =32a+32b-2b=32a-12b ,故③正确;④PR=PQ +QR =32a+32b-b=32a+12b ,故④错误.故选C . 【答案】C【变式训练2】如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=().A.a-1bB.1a-bC.a+12bD.12a+b【解析】连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.【解析】(1)∵AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,∴BD=BC+CD=3a-5b-5a+b=-2a-4b=-2(a+2b)=-2AB,∴AB与BD共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵k a+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.【变式训练3】已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中向量e1,e2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线,求λ的值.【解析】∵d=λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,∴2λ+2μ=2k ,-3λ+3μ=-9k ,得λ=-2μ,∴λμ=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ,可设OA =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO 中,OC =14OA ,OD =12OB ,AD 与BC 相交于点M ,设OA =a ,OB =b.试用a 和b 表示向量OM .【解析】设OM =ma+nb ,则AM =OM -OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD =OD -OA =12OB -OA =-a+12b.∵A ,M ,D 三点共线,∴AM 与AD 共线.∴存在实数t ,使得AM =t AD , 即(m-1)a+nb=t -a +12b .∴(m-1)a+nb=-ta+1tb.∴m -1=-t ,n =t2,消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM =OM -OC =ma+nb-14a= m -14a+nb ,CB =OB -OC =b-14a=-14a+b.又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM 与CB 共线.∴存在实数t 1,使得CM =t 1CB , ∴ m -14 a+nb=t 1 -14a +b ,∴ m -14=-14t 1,n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②由①②得m=17,n=37,∴OM =17a+37b.1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA +CD +EF =( ). A .0 B .BE C .ADD .CF【解析】由图知BA +CD +EF =BA +AF +CB =CB +BF =CF . 【答案】D3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB =2a+pb ,BC =a+b ,CD =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).A .-2B .-1C .1D .2【解析】∵BC =a+b ,CD =a-2b , ∴BD=BC +CD =2a-b. 又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ,BD 共线. 设AB=λBD ,∴2a+pb=λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R ),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).A .k=1且c 与d 同向B .k=1且c 与d 反向C .k=-1且c 与d 同向D .k=-1且c 与d 反向【解析】∵c ∥d ,∴c=λd ,即ka+b=λ(a-b ),∴ k =λ,λ=-1.【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则用向量AB,AC表示CE为().A.CE=29AB+89ACB.CE=29AB-89ACC.CE=29AB+79ACD.CE=29AB-79AC【解析】CE=CA+AE,AE=13AD,AD=AB+BD,BD=13BC,BC=BA+AC,∴BD=13(BA+AC),∴AD=AB+BD=AB+13BA+13AC,∴AE=13 AB+13BA+13AC,∴CE=CA+13AB+19BA+19AC=1 3AB+19BA+CA+19AC=29AB+89CA.又∵89CA=-89AC,∴CE=29AB-89AC.【答案】B6.(2017四川质检)向量e1,e2不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为.【解析】由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB不共线,可得A,C,D三点共线,且点B不在此直线上.【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=.【解析】由题图知CD=CA+AD,①CD=CB+BD,②且AD+2BD=0.由①+②³2,得3CD=CA+2CB,∴CD=13CA+23CB,∴λ=23.【答案】238.(2017唐山一模)已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是.(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③x a+yb=0(实数x,y满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线,故③错误.【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为().A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1【解析】因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC.设AB=m AC(m≠0),所以λ=m,1=mμ,则λμ=1.【答案】D10.(2017安徽二模)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数λ满足AB+AC+λOA=0,则λ的值为().A.3B.3C.-2D.2【解析】∵OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,设BC的中点为D,∴AO=23AD,∴AD=32AO,而AB+AC=2AD=2³32AO=3AO,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量AB=2e1+e2sinα-π2<α<π2,CB=e1-54e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则函数f(x)=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为().A.-1,12B.[-2,3]C.(-2,1]D.(-1,3]【解析】若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使AB=λBD,即AB=λ(CD-CB),∴2e1+e2sinα=λ(CD-CB)=λ e1+1e2,∴λ=2,sinα=1λ,∴sinα=1.∵-π<α<π,∴α=π.∵0≤x<π,∴π≤x+α<7π,∴-2≤f(x)≤3.【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+μAB,则μ的取值范围是.【解析】由题意可求得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.因为AE=AD+μAB,所以AE=AD+2μDC.又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤1.2【答案】0,1213.(2017怀化模拟)已知a,b为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.(1)试用a,b表示向量AD;(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=(1-4-5)a+(2-1-3)b=-8a-2b.(2)因为AD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,即AD∥BC且|AD|=2|BC|,所以在四边形ABCD中,AD∥BC且AD≠BC,即四边形ABCD为梯形.§9.2平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,.λa=,|a|=12+y12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=,|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.三平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b⇔x1y2-x2y1=0.☞左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n等于().A.(1,-1)B.(7,-19)C.(7,-1)D.(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k=.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)2.(2)(x2-x1,y2-y1)基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19).【答案】B2.【解析】由ka+b与b平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0.【答案】03.【解析】∵AC=AB+AD,AE=AD+12AB,AF=AB+12AD,∴AC=λAE+μAF= λ+12μ AD+12λ+μ AB,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN=13NM ,若AN=λAB +μAC (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为( ). A .1B .1C .1D .4【解析】∵AN=13NM ,∴AN =14AM . 又AN =λAB +μAC ,∴AM =4λAB +4μAC. ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=1.【答案】A【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC =a ,BD =b ,则AF=( ). A .14a+12b B .12a+14bC .23a+13bD .13a+23b【解析】∵AC =a ,BD =b ,∴AD =AO +OD =1AC +1BD=1a+1b .∵E 是OD 的中点,∴|DE |=1,∴|DF|=1|AB|. ∴DF =13AB =13(OB -OA ) =1³ -1BD +1AC=1a-1b , ∴AF=AD +DF =12a+12b+16a-16b=23a+13b ,故选C . 【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).A .1B .1C .-1D .-1【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即 2m +n =-1,m +5n =1,解得m =-2,n =13.【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN=-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量AB =(1,-3),BC =(-1,-2),AD =(2,4),则CD =( ). A .(4,-1)B .(0,9)C .(2,-1)D .(2,9)【解析】(1)MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN=(x-5,y+6)=(-3,6),所以 x -5=-3,y +6=6,解得 x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB+BC =AC =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD =(2,4), 所以CD =AD -AC =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|= 5,求d. 【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴ -m +4n =3,2m +n =2,解得 m =59,n =8.(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2³(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-16.(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).由题意得 4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y-1)2=5,解得 x =3,y =-1或 x =5,y =3.∴d=(3,-1)或d=(5,3).【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA =(k ,12),OB =(4,5),OC =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ).A .-2B .4C .1D .1(2)(2017福建石狮市联考)设OA =(1,-2),OB =(a ,-1),OC =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值是( ).A .2B .4C .6D .8【解析】(1)AB=OB -OA =(4-k ,-7),AC =OC -OA =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ∥AC ,则-2³(4-k )=-7³(-2k ),解得k=-23. (2)由已知条件得AB =(a-1,1),BC =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ∥BC ,由向量共线定理得(a-1)³1= 1³(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2b= 1a+2b(2a+b )=4+b a +4a b≥4+2 =8. 【答案】(1)A (2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA |=|DB |=|DC |,DA ²DB =DB ²DC =DC ²DA =-2,动点P ,M 满足|AP |=1,PM =MC ,则|BM |2的最大值是( ).A .434 B .494C .37+6 34D .37+2 334【解析】∵|DA|=|DB |=|DC |, ∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.又∵DA ²DB =DB ²DC =DC ²DA =-2, ∴DA ,DB ,DC 两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D的半径为r,则DA²DB=r²r²cos120°=-2,∴r=2.∵PM=MC,∴M为PC的中点.∵|AP|=1,∴点P在以点A为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC是边长为23的等边三角形.设AC的中点为O,连接DO,OM,则B,D,O三点共线,则|BO|=3,BM=BO+OM=BO+12AP.∴|BM|2= BO+12AP2=|BO|2+BO²AP+14|AP|2=9+3³1³cos<BO,AP>+14=37 4+3cos<BO,AP>≤374+3=494,当BO与AP同向时取等号,即|BM|2的最大值是494.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x,-1),若a-b与b共线,则x的值为().A.-3B.1C.2D.1或2【解析】∵a=(3,1),b=(x,-1),∴a-b=(3-x,2).又∵a-b与b共线,∴2x=x-3,∴x=-3.【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是().A.a²b=2B.a∥bC.|a|=|b|D.b⊥(a+b)【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a²b=-2,|a|=2,|b|=2,所以选项A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b²(a+b)=0,故选D.【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是().A.a-2b与-a+2bB.3a-5b与6a-10bC.a-2b与5a+7bD.2a-3b与1a-3b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,所以a-2b与5a+7b可以作为一组基底.【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).A . -95,75B . 92,-75C . 95,75D . -92,-75【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⊥BC .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ∥BD .∵AD =(x-2,y-1),BC=(-6,-3),BD =(x-3,y-2), ∴ -6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得 x =95,y =75,∴点D 的坐标为 95,75 .【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP =x OA +y OB ,且BP =2PA ,则( ).A .x=23,y=13B .x=13,y=23C .x=14,y=34D .x=3,y=1【解析】由题意知OP =OB +BP ,又BP =2PA ,所以OP =OB +23BA =OB +23(OA -OB )=23OA +13OB ,所以x=23,y=13.【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .【解析】由a ∥b ,得x ³1-2³2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ²c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为3+4=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC =2AB .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC =(4-x ,2-y ),AB =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴4-x =2,2-y =-2,解得 x =2,y =4,即点D 的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM =λAB +μAC,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH =k BC (k ≠0,1),则AH =AB +BH =AB +k BC =AB +k (AC -AB )=(1-k )AB +k AC ,所以AM =12AH=12(1-k )AB +k 2AC .又AM =λAB +μAC,所以 λ=12(1-k),μ=k 2,从而λ+μ=12.【答案】129.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP =AB +λAC(λ∈R ),则λ等于( ). A .-3B .-1C .1D .3【解析】设P (x ,y ),则AP =(x-2,y-3). ∴AB+λAC =(3+5λ,1+7λ). ∵AP =AB +λAC,∴ x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴ x =5+5λ,y =4+7λ,由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12. 【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM =t AB +(1-t )AC,若∠BAM=π3,则t 的值为( ). A . 3- 2 B . 2-1 C .3-12D .3+12【解析】由题意可得CB AC= 2.因为AM =t AB +AC -t AC ,所以AM -AC =t AB -t AC ,即CM =t CB ,所以t=|CM||CB |.由正弦定理得CM AC =sin30°sin105°, 所以t=CM AC ²AC CB = 3-12,故选C .【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC =λAM +μBN,则λ+μ的值为( ). A .8B .5C .1D .-1【解析】设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(如图),则A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),所以AC=(2,2),AM=(2,1),BN=(-1,2),所以2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得λ=65,μ=2,所以λ+μ=85.【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM=(3,1),ON=(-1,3),OF=m OM-n ON(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则|OF|的取值范围是().A.[,2B.[,2)C.(5,10)D.[5,210]【解析】因为OF=(3m+n,m-3n),所以|OF|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2).设点P的坐标为(m,n),则|OF|=10|OP|.由题意得P(m,n)为可行域1≤m+n≤2,m,n>0内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部,其中A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以点O到直线AB的距离d=22,所以|OP|≥d=22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈10×22,10×2=[5,210),故选B.【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC内一点M满足CM=m CA+n CB,∠MCA=45°,则m的值为().A.3-1B.3+1C.3+12D.3-12【解析】如图,设正三角形的边长为a,由CM=m CA+n CB,得CM·CA=m CA2+n CA·CB,CM·CB=m CA·CB+n CB2.∵cos15°=cos(60°-45°)=2+64,∴22|CM|a=m a2+na22,2+64|CM|a=ma22+n a2,∴mn =3-12,故选D.【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG=2GO,设CD∥AG,若AD=15AB+λAC(λ∈R),则λ的值为.【解析】因为BG=2GO,所以AG=13AB+23AO=13AB+13AC.又CD∥AG,可设CD=m AG,从而AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB.因为AD=15AB+λAC,所以m3=15,λ=1+m3=65.【答案】615.(2017北京西城区质检)在直角△ABC中,|AB|=|AC|=3,且DC=2BD,点P是线段AD上任一点,则AP²CP的取值范围是.【解析】如图,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(3,0).∵BD=12DC,∴D(2,1).又∵点P是线段AD上任一点,∴可设P(2y,y),0≤y≤1,则AP²CP=(2y,y)²(2y,y-3)=5y2-3y.∵0≤y≤1,∴-9≤5y2-3y≤2.∴AP²CP∈-920,2.即AP²CP的取值范围是-920,2.【答案】-920,2§9.3平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则|a||b|cosθ叫作a和b的数量积(或内积),记作a²b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a²b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a²b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e²a=a²e=|a|cosθ(e为单位向量)..2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a²b=|a||b|;当a与b反向时,a²b=-|a||b|.4.a²a=a2,|a|=a·a.5.cosθ=.6.|a²b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a²b=b²a(交换律);2.(λa)²b=λ(a²b)=a²(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)²c=a²c+b²c(分配律).五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a²b=,由此得到1.若a=(x,y),则|a|2=或|a|= x2+y2.2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2.3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.☞左学右考已知向量a与b的夹角为3π,且|a|=2,|b|=2,则a(2a+b)等于().A.-1B.1C.2D.22向量a=(3,-4),向量|b|=2,若a²b=-5,则向量a,b的夹角为().A.π3B.π6C.3π4D.2π3设向量a,b满足a²b=-12,且向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于().A.4B.3C .2D .1在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM |=1,AP =2PM ,求PA ²(PB +PC )的值. 知识清单一、0三、2.a ²b=0 5.a ·b|a ||b |五、x 1x 2+y 1y 2 1.x 2+y 23.x 1x 2+y 1y 2=0基础训练1.【解析】a (2a+b )=2a 2+a ²b=4-2=2. 【答案】C2.【解析】cos <a ,b>=a ·b |a ||b |=-55×2=-12,即向量a ,b 的夹角为2π3.【答案】D3.【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,则a ²b=|a|²|b|cos θ=|a|cos θ²|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3. 【答案】B4.【解析】如图,因为M 是BC 的中点,所以PB +PC =2PM .又AP =2PM ,|AM |=1,所以PA ²(PB +PC )=PA ²2PM =-4|PM |2=-49|AM |2=-4. 题型一平面向量的数量积的运算【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D 为边长是2的正三角形ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则AD ²AC的值是( ). A .143B .-143C .43D .4【解析】∵BC =3CD ,∴点D 在线段BC 的延长线上,且BD=4CD ,则|CD|=13|BC |=23,∴AD ²AC =(AC +CD )²AC =AC 2+CD ²AC =4+2³23³12=143. 【答案】A【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )²a=( ).A .-1B .0C .1D .2(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=2 2,E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB ²AF =2,则AE ²BF 的值是 . 【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a 2=2,a ²b=-3.∴(2a+b )²a=2a 2+a ²b=4-3=1.(2)如图,∵AF =AD +DF ,AB ²AF =AB ²(AD +DF )=AB ²AD +AB ²DF =AB ²DF =2|DF |=2,∴|DF |=1,∴|CF |=1,∴AE ²BF =(AB +BE )²(BC +CF )=AB ²BC +AB ²CF +BE ²BC +BE ²CF =AB ²CF +BE ²BC =2³1³(-1)+ 2³2 2³1=2.【答案】(1)C (2)2题型二向量的夹角与向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b )²(2a+b )=61,则a 与b 的夹角的大小为 ,|a+b|= .【解析】∵(2a-3b )²(2a+b )=61,∴4|a|2-4a ²b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a ²b-27=61,∴a ²b=-6.∴cos θ=a ·b |a ||b |=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.∵|a+b|2=(a+b )2=|a|2+2a ²b+|b|2=42+2³(-6)+32=13,∴|a+b|= 13.【答案】2π313【变式训练2】(1)(2017四川联考)若非零向量a ,b 满足|a|=2 23|b|,且(a-b )⊥(3a+2b ),则a 与b 的夹角为( ).A .πB .πC .3πD .π(2)(2017宝鸡模拟)已知平面向量a ,b 的夹角为π6,且|a|= 3,|b|=2,在△ABC 中,AB =2a+2b ,AC=2a-6b ,D 为BC 的中点,则|AD |= .【解析】(1)由(a-b )⊥(3a+2b ),得(a-b )²(3a+2b )=0,即3a 2-a ²b-2b 2=0.又|a|=2 23|b|,设<a ,b>=θ,∴3|a|2-|a|²|b|²cos θ-2|b|2=0,∴83|b|2-2 23|b|2²cos θ-2|b|2=0,∴cos θ= 22.又∵0≤θ≤π,∴θ=π4.(2)∵AD =12(AB +AC)=2a-2b , ∴|AD|2=4(a-b )2=4(a 2-2a ²b+b 2). ∵向量a ,b 的夹角为π6,∴|AD|2=4³ 3-2× 3×2× 32+4 =4,∴|AD |=2.【答案】(1)A (2)2题型三向量数量积的综合应用【例3】如图,在等腰三角形ABC 中,底边BC=2,AD=DC ,AE =12EB ,若BD ²AC =-12,则CE ²AB =( ). A .-4B .4C .-32 D .32【解析】∵AD =DC ,∴D 是AC 的中点,则BD =12(BA +BC ).∵BD ²AC =-12,∴12(BA +BC )²(AB +BC )=-12,即BC2-BA 2=-1.∵BC=2,∴AB= 5,∴cos ∠ABC= 55, ∴CE²AB = 2BA -BC ²AB =-4. 【答案】A【变式训练3】(2017河北模拟)在Rt △ABC 中,∠A=90°,D 是BC 边上的动点,且|AB |=3,|AC |=4,AD =λAB +μAC (λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD |的值为( ).A .72B .3C .52D .125【解析】因为AD =λAB +μAC,而D ,B ,C 三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤ λ+μ22=14,当且仅当λ=μ=12时取等号,此时AD=12AB +12AC ,即D 是线段BC 的中点,所以|AD |=12|BC |=52,故选C . 【答案】C方法向量的线性运算与数量积的综合应用在利用向量数量积的有关性质解题时,会出现过程比较长,且转化后不容易发现解题突破口等问题,可结合向量的线性运算,即利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质,使问题简单化,形象化.【突破训练】已知非零向量a 与向量b 的夹角为钝角,|b|=2.当t=-2时,|b-ta|(t ∈R )取得最小值65,则a ²(b-a )等于( )..A .-4825B .-2C .-115D .95【解析】如图,设OA=a ,OB =b ,OC =ta ,则向量CB =b-ta , ∴当a 与b-ta 垂直时,|b-ta|取得最小值65,即a ⊥(b+2a ).又∵|b|=2,|b+2a|=65,∴|a|=45,cos <a ,-b>=45⇒cos <a ,b>=-45,则a ²(b-a )=a ²b-a 2=4³2³ -4 -16=-48.【答案】A1.(2017九江市周考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k ),a ²(2a-b )=0,则k 等于( ).A .-12B .6C .-6D .12【解析】∵2a-b=(5,2-k ),a ²(2a-b )=0,∴10+2-k=0,解得k=12. 【答案】D2.(2017衡水中学押题卷)已知平面向量a ,b 的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( ).A .20B .12C .4D .2 【解析】∵|b|=1,|a|=2,<a ,b>=60°,∴a ²b=1.∴|a+2b|2=a 2+4a ²b+4b 2=12,∴|a+2b|=2 3.【答案】D3.(2017银川模拟)设向量a ,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则a ²b=( ).A .1B .2C .3D .5【解析】|a+b|2=a 2+2a ²b+b 2=10,|a-b|2=a 2-2a ²b+b 2=6,两式相减,得4a ²b=4,∴a ²b=1. 【答案】A4.(2017葫芦岛市二模)已知e 1,e 2是夹角为90°的两个单位向量,且a=3e 1-e 2,b=2e 1+e 2,则a ,b 的夹角为( ).A .120°B .60°C .45°D .30°【解析】设a ,b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b =(3e 1-e 2)·(2e 1+e 2)(3e 1-e 2) (2e 1+e 2). ∵(3e 1-e 2)²(2e 1+e 2)=6e 12-e 22=5,(3e 1-e 2)2=9e 12+e 22=10,(2e 1+e 2)2=4e 12+e 22=5,∴cos θ= 22,∴θ=45°.【答案】C5.(2017马鞍山市二模)已知向量OA 与OB 的夹角为60°,且|OA |=3,|OB |=2,若OC =m OA +n OB ,且OC ⊥AB ,则实数mn的值为( ).A .16 B .14C .6D .4【解析】OA ²OB =3³2³cos60°=3,∵OC =m OA +n OB ,OC ⊥AB ,∴(m OA +n OB )²AB =(m OA +n OB )²(OB -OA )=(m-n )OA ²OB -m OA2+n OB 2=0,∴3(m-n )-9m+4n=0,∴m n =16. 【答案】A6.(2017银川模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a 在向量b 方向上的投影为( ).A .-2B .-1C .0D .2【解析】向量a 在向量b 方向的投影为|a|cos <a ,b>=a ·b|b |=-1. 【答案】B7.(2017辽宁省模拟)若向量a ,b 满足|a|=1,(a+b )⊥a ,(2a+b )⊥b ,则|b|= .【解析】∵|a|=1,(a+b )⊥a ,(2a+b )⊥b ,∴(a+b )²a=0,(2a+b )²b=0,即a ²b=-1,b 2+2a ²b=0,解得|b|= 2.【答案】 28.(2017石嘴山中学月考)在菱形ABCD 中,若AC=4,则CA ²AB = .【解析】设∠CAB=θ,AB=BC=a ,由余弦定理得a 2=16+a 2-8a cos θ,∴a cos θ=2,∴CA ²AB =4³a ³cos (π-θ)=-4a cos θ=-8. 【答案】-89.(2017四川五校联考)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB ²BC =1,则BC 等于( ).A .B .C .2D .【解析】∵AB ²BC =1,且AB=2,∴1=|AB ||BC |cos (π-B ),∴|AB ||BC |cos B=-1.在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B ,即9=4+|BC|2-2³(-1).∴|BC|= 3.【答案】A10.(2017陕西省二模)已知向量a ,b 的夹角为锐角,|a|= 3,|b|= 11,且a 与a-b 夹角的余弦值为 33,则a ²b 等于( ).A .4B .5C .6D .7【解析】∵a 与a-b 夹角的余弦值为 33,∴a ²(a-b )= 33|a|²|a-b|,即3-a ²b=|a-b|,∴(3-a ²b )2=(a-b )2,化简得(a ²b )2-4a ²b-5=0,解得a ²b=5或a ²b=-1(舍去).【答案】B11.(2017湖北省三模)如图,在五边形ABCDE中,四边形ABCD是矩形,△ADE是等腰直角三角形,且AB=3,AD=4,则BD²BE=().A.18B.20C.21D.23【解析】延长BA至F,使得EF⊥AF(图略),则BE=BD+DE=53BA+12AD.又BD=BA+AD,∴BD²BE=(BA+AD)²53BA+12AD=53BA2+12AD2=23.【答案】D12.(2017山东一模)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB²CD=5,则|BD|等于().A.6B.4C.2D.1【解析】设AD=λAB,∵CD=AD-AC,∴AB²CD=AB²(AD-AC)=λAB2-AB²AC=5,∴25λ=15,解得λ=3,∴|BD|=2|AB|=2.【答案】C13.(2017哈尔滨模拟)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cosθ-b sinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1²e2=32,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为().A.πB.πC.2πD.5π【解析】由题设知,若向量e1,e2的夹角为θ,则e2,-e1的夹角为π-θ.由题意可得f(e1,e2)=e1cosθ-e2sinθ,f(e2,-e1)=e2cos(π-θ)+e1sin(π-θ)=e1sinθ-e2cosθ,故f(e1,e2)²f(e2,-e1)=(e1cosθ-e2sinθ)²(e1sinθ-e2cosθ)=e12cosθsinθ-e1²e2cos2θ-e1²e2sin2θ+e22cosθsinθ=2sinθcosθ-32.∵e1²e2=32,∴cosθ=32,sinθ=12,∴2sinθcosθ-32=2³12³32-3 2=0,∴向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2.【答案】B14.(2017兰州模拟)已知a,b,c三个向量共面,且均为单位向量,a²b=0,则|a+b-c|的取值范围是.【解析】∵a²b=0,∴a⊥b.∵a,b是单位向量,∴|a+b|=2,则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为2+1;当a+b与c同向时,|a+b-c|取最小值为2-1.【答案】[2-1,2+1]15.(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA²MB=.【解析】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,∴CB=(3,-3),CA=(-3,-3),∴CM=16CB+23CA=-32,-52,。

2019年全国版高考数学必刷题：第二十一单元推理证明、算法初步、复数

第二十一单元推理证明、算法初步、复数考点一算法初步1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入().A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.【答案】D2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=().A.2B.3C.4D.5【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.故选B.【答案】B3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】假设N=2,程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,1≤2,S=0+100=100,M=-=-10,t=2;2≤2,S=100-10=90,M=--10=1,t=3;3>2,输出S=90<91,符合题意.∴N=2成立,显然2是最小值.故选D.【答案】D4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足().A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】输入x=0,y=1,n=1,运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;运行第二次,x=,y=2,不满足x2+y2≥36;运行第三次,x=,y=6,满足x2+y2≥36.输出x=,y=6.由于点,6在直线y=4x上,故选C.【答案】C5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=().A.7B.12C.17D.34【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a,s,k的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.【答案】C考点二复数6.(2017年全国Ⅱ卷)=().A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i==2-i.故选D.【解析】= 3 1-1 1-【答案】D7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=().A.B. C.D.2【解析】由(1+i)z=2i,得z==1+i,∴|z|=.故选C.【答案】C8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|=().A.1B.C.D.2【解析】∵(1+i)x=1+y i,∴x x i=1+y i.又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.∴|x y i|=|1+i|=.故选B.【答案】B考点三推理证明9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则().A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.【答案】D10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和311.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A,C城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C城市,故乙只去过A城市.【答案】A12.(2017年浙江卷)已知数列{x n}满足:x1=1,x n=x n+1+ln(1+x n+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0<x n+1<x n;(2)2x n+1-x n≤;(3)-1≤x n≤-2.【解析】(1)用数学归纳法证明:x n>0.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,x k>0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k=x k+1+ln(1+x k+1 ≤0,矛盾, 故x k+1>0.因此x n>0(n∈N*).所以x n=x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n(n∈N*).(2)由x n=x n+1+ln(1+x n+1),得x n x n+1-4x n+1+2x n=-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0 ,令f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0),则函数f(x)在[0, ∞)上单调递增,所以f(x ≥f(0)=0,因此-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1 ≥0,故2x n+1-x n≤(n∈N*).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1 ≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥-1.由≥2x n+1-x n,得-≥2->0,所以-≥2-1-≥…≥2n-1-=2n-2,故x n≤-2.综上,-1≤x n≤-2(n∈N*).高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.§21.1合情推理与演绎推理一合情推理二演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提——已知的 ; (2)小前提——所研究的 ;(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.☞ 左学右考已知数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =a n-1+2n-1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ).A.a n =3n-1B.a n =4n-3C.a n =n 2D.a n =3n-1根据图中的数构成的规律,得a 表示的数是( ).A.12B.48C.60D.144知识清单一、部分全部整体个别类似特征特征特征特殊类比猜想二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理基础训练1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想a n=n2.【答案】C2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.【答案】D题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为().20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17 0,4 ,18 1,4 ,20 2,4 ,24 3,4 ;….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.【答案】B【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523…111725…1927…29……则第30行从左到右第3个数是.【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【答案】1051题型二类比推理【例2】给出下列三个类比结论:①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n;②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α β)类比,则有sin(α β)=sin αsin β;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】(a+b)n≠a n+b n(n≠1,a·b≠0 ,故①错误.sin(α β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=,故②错误.由向量的运算公式知③正确.【答案】B【变式训练2】若数列{a n}是等差数列,则数列{b n}也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n}是等比数列,则{d n}也是等比数列,且d n的表达式应为().A.d n=B.d n=··…·C.d n=D.d n=··…·【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故d n的表达式为d n=··…·.(法二)若{a n}是等差数列,则a1+a2+…+a n=na1+-1 d,∴b n=a1+-1 d=n+a1-,即{b n}是等差数列.若{c n}是等比数列,则c1·c2·…·c n=·q1+2+…+(n-1)=·-1,∴d n=··…·=c1·-1,即{d n}是等比数列.【答案】D题型三演绎推理【例3】已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1 .(1)证明:函数f(x)的图象关于点,-对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点,-对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).由已知f(x)=-,则-1-f(x)=-1+=-.又因为f(1-x)=-=-=-,=-··所以-1-f(x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于点,-对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.证明本题的大前提是中心对称的定义,函数f(x)的图象上的任一点关于对称中心对称的点仍在图象上.【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:,四边形AFDE是平行四边形ED=AF.方法一归纳推理的一般步骤1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1】观察下列各等式:sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=,sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=,sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=.分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明.【解析】猜想:sin2α cos2(α 30° +sin αcos(α 30° =.上式正确.证明:sin2α cos2(α 30° +sin αcos(α 30°=++=1++sin(2α 30° -=-sin 30°+2α)+sin(2α 30° =.所以sin2α cos2(α 30° +sin αcos(α 30° =成立.方法二类比推理的一般步骤1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A-BCD= .【解析】内切圆半径r内切球半径R;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD;三角形面积公式的系数三棱锥体积公式的系数.∴三棱锥的体积V A-BCD=R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD).【答案】R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD)方法三演绎推理的规律方法1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.【突破训练3】证明:f(x)=在(0, ∞)上为减函数.【解析】∵f'(x)='=-,x∈ 0, ∞),∴f'(x)<0,∴f(x)在(0, ∞)上是减函数.1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列: 1,1 , 1,2 , 2,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,…,则第60个“整数对”是().A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为 1,11 , 2,10 , 3,9 , 4,8 , 5,7 ,…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B.【答案】B2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为().A.2011B.2012C.2013D.2014【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.【答案】B3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是().A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质(n≥2 ,由此归纳出{a n}的通项公式D.在数列{a n}中,a1=1,a n=-1-1【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提 ,∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提 ,∠A+∠B=180° 结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.【答案】A4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为().A.21B.34C.52D.55【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.【答案】D5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测第n个式子为.【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.【答案】837.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段.(2)n级分形图中所有线段长度之和为.【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为b n=3×-1(n∈N*),所以n级分形图中所有线段长度之和为S n=3×+3×+…+3×-1=3×=9-9×.【答案】(1)3×2n-3(n∈N*)(2)9-9×8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有A+B+C+D= .【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),①在平行四边形ACC1A1中,C+A=2(AC2+A),②在平行四边形BDD1B1中,D+B=2(BD2+B),③由② ③,得C+A+D+B=2(AC2+A)+2(BD2+B),④将①代入④,再结合AA1=BB1,得A+B1D2+C+B=4(AB2+AD2+A).【答案】4(AB2+AD2+A)9.(2017揭阳模拟)对于正实数a,M a为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是().A.若f(x ∈,g(x ∈,则f(x ·g(x ∈·B.若f(x ∈,g(x ∈,且g(x ≠0,则∈C.若f(x ∈,g(x ∈,则f(x)+g(x ∈D.若f(x ∈,g(x ∈,且a1>a2,则f(x)-g(x ∈-【解析】由-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),<a.得-a<--,令k=--则-a<k<a,又f(x ∈,g(x ∈,所以-a1<k f<a1,-a2<k g<a2,所以-a1-a2<k f+k g<a1+a2,所以f(x)+g(x ∈.【答案】C10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的结论是().A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.【答案】C11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=++;1=+++;1=++++;……依此类推,1=++++++,其中n∈N*,则n= .【解析】由题意知1=++++++=+-+-+-+-+-+,所以n=12.【答案】1212.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|, 从而OM∥F1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.【答案】内角平分线13.(2017保定模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=S n(n∈N*),证明:(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.【解析】(1)因为a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.所以=2·.又因为=1≠0, 小前提)所以是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知=4·-1-1(n≥2 ,所以S n+1=4(n+1 ·-1-1=4·-1 2-1·S n-1=4a n(n≥2 , 小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)14.(2017合肥模拟)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)图象上一点,且在点P处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:y2=2px的两边同时对x求导,得2yy'=2p,则y'=,所以在点P处的切线斜率k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在点P(,)处的切线方程.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时对x求导得,yy'=2x,所以y'=,所以在点P处的切线斜率k===2,所以切线方程为y-=2(x-),即2x-y-=0.15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y,∈D均满足f≥[f(x)+f(y)],当且仅当x=y时等号成立.(1)若定义在(0, ∞)上的函数f(x ∈M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小.(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x ∈M.【解析】(1)已知f≥[f(x)+f(y)],令x=3,y=5,得f(3)+f(5)<2f(4).(2)因为g-[g(x1)+g(x2)]=-+=-≥0,所以g≥[g(x1)+g(x2)],所以g(x ∈M.§21.2直接证明、间接证明与数学归纳法一直接证明二间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的,但不能直接证明,而是先(即Q的反面非Q是正确的),经过正确的推理,最后得出,因此说明非Q是的,从而断定结论Q是的,这种证明方法叫作反证法.三数学归纳法一般来说,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立:(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.☞左学右考要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证().A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1 ≥0①用反证法证明“已知p3+q3=2,求证p+q≤2”时,可假设p+q≥2;②用反证法证明“已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下判断正确的是().A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是().A.1B.2C.3D.4知识清单一、原因结果结果原因已知可知必要未知需知已知充分二、假设Q不成立矛盾错误正确三、(1)第一个值n0(n0∈N*)(2)k+1基础训练1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1 ≥0,所以选D.【答案】D2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.【答案】C题型一直接证明【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0. ①令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m (2017-k)×(-m)=(2k-2017)m. ②由①②知(2k-2017)m=0. ③而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.所以a1=22017·a1,即得a1=0.从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,显然此式成立.再看a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,只需证a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0,只需证a<b+c且b<c+a且c<a+b,由于a,b,c为三角形的三边边长,显然结论成立.故3S≤I2<4S.题型二间接证明【例2】用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0 至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.【答案】A【变式训练2】已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.【解析】假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x2++2-x+x2-x+1=2x2-2x++3=2-+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.题型三数学归纳法【例3】已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.【解析】(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=-=1,所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)=1+=,g(2)=-=,所以f(2)<g(2);当n=3时,f(3)=1++=,g(3)=-=,所以f(3)<g(3).(2)由(1)猜想f(n ≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1时,不等式显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1++++…+<-,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+<-+,因为--=-=-3-1<0,所以f(k+1)<-=g(k+1).由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n ≤g(n)成立.【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式·…·>均成立.-1【解析】①当n=2时,左边=1+=;右边=.∵左边>右边,∴不等式成立.②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,>.即·…·-1·>·=则当n=k+1时,·…·-1=>==.∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n,不等式均成立.方法一利用综合法进行证明综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.【突破训练1】已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1<≤2 n∈N*).(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:<≤(n∈N*).【解析】(1)由题意得a n+1-a n=-<0,即a n+1<a n,故a n≤.由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2 ·…· 1-a1)a1>0.=∈ 1,2],由0<a n≤,得=-即1<≤2 n∈N*).(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1. ①由-=和1<≤2,得1<-≤2,所以n<-≤2n,因此≤a n+1<(n∈N*). ②由①②,得<≤(n∈N*).方法二利用分析法进行证明分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.【突破训练2】已知m>0,a,b∈R,求证:≤.【解析】因为m>0,所以1+m>0,所以要证≤,即证(a+mb)2≤ 1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2 ≥0,即证(a-b)2≥0,又(a-b)2≥0显然成立,所以≤.方法三利用反证法进行证明【突破训练3】已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+S n=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:数列{a n}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列.【解析】(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又a n+S n=2,所以a n+1+S n+1=2,两式相减得a n+1=a n,所以{a n}是首项为1,公比为的等比数列,.所以a n=-1(2)假设{a n}中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为a p+1,a q+1,a r+1(p<q<r,且p,q,r∈N*),则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1. (*)又因为p<q<r,所以r-q,r-p∈N*.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.方法四利用数学归纳法进行证明【突破训练4】已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=+-1,且a n>0,n∈N*.(1)求a1,a2,a3,并猜想{a n}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.【解析】(1)当n=1时,由已知得a1=+-1,即+2a1-2=0.∴a1=-1(a1=--1<0,舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,将a1=-1代入上式并整理,得+2a2-2=0.∴a2=-(a2=--<0,舍去).同理可得a3=-.猜想a n=--1(n∈N*).(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立.假设当n=k(k∈N*)时,通项公式成立,即a k=--1.∵a k+1=S k+1-S k=+--,将a k=--1代入上式并整理,得+2a k+1-2=0,∴a k+1=-,即当n=k+1时通项公式也成立.综上可知,对任意n∈N*,a n=--1都成立.1.(2017广州调研)若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是().A.ac2<bc2B.a2>ab>b2C.<D.>【解析】对于选项B,a2-ab=a(a-b),∵a<b<0,∴a-b<0,∴a(a-b)>0,即a2-ab>0,∴a2>ab.又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2.故命题a2>ab>b2正确.【答案】B2.(2017周口模拟)用反证法证明命题“若a+b+c为偶数,则自然数a,b,c恰有一个偶数”时,正确的反设为().A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.【答案】D3.(2017宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是().A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.【答案】B4.(2017济南模拟)设小李从甲地到乙地往返的时速分别为a,b(a<b),其全程的平均速度为v,则().。

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学校________________ 班级____________ 姓名_______________ 座位号___________
高考数学必刷题
数学试卷（理科）
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应
的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .
2．如果22sin 3α=-
，α为第三象限角，则3sin()2
π
α+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.
6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .
7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3
米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．
9．已知圆的方程是1)1(2
2
=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为．
10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271
>∈=--n n a a n n n
N ，则当n a 取得最小值时n 的值是．
11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分
别为21,d d ，则=+21d d ___ .
12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有3
3
)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .
13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:
2213=+ 23135=++ 241357=+++
3235=+ 337911=++ 3413151719=+++
根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .
14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与
{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：
（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；
（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2
(1)3
n n S n =
-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5；
③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.
具有“P 性质”的为；具有“变换P 性质”的为 .
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．非零向量b a ,，m a =||，n b =||，若向量b a c 21λλ+=，则||c 的最大值为（）
A ．n m 21λλ+
B ．n m ||||21λλ+
C ．||21n m λλ+
D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =
∈+,其前n 项和9
10
n S =,则双曲线
22
11x y n n
-=+的渐近线方程为（）
A ．3y x =±
B ．4y x =±
C ．10y x =±
D ．3
y x =±
17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是（）
A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.
C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
18．在平面斜坐标系xoy 中0
45=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 12MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（）
A B C D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）
已知函数()sin f x m x x =+ ()0m >的最大值为2．（1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；
（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，π
π()()sin 44
f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的
边分别是a ，b ，求
b
a 1
1+的值．
20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|
2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．
21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与
OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平
台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是
220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标
为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度
单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK 面积
MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面
积的最小值
22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y
N a b
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求MON ∠tan 的最大值；
（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.
23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．
① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；
② 若数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．。

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