杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n

r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

（2）1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+.

2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数

表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成

以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,

,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

（∵m n m n n C C -=）．

直线2

n

r =

是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k

k n n n n n n k n k C C k k

----+-+=

=⋅

，

∴k n C 相对于1

k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11

12

n k n k k -++>⇔<， 当1

2

n k +<

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C -，1

2n n

C

+取得最大

值．

（3）各二项式系数和：

∵1

(1)1n r r n n n x C x C x x +=++

++

+，

令1x =，则012

2n r n

n n n n n C C C C C =+++

++

+

三、讲解范例：

例1．在()n

a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()n n n

r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令

1,1a b ==-，则0123

(11)(1)n n n

n n n n n C C C C C -=-+-++-，

即02

13

0()()n n n n C C C C =++-++

，

∴02

13

n n n n C C C C ++

=++

，

即在()n

a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知02

1312n n n n n C C C C -++=++

=.

例2．已知72

70127(12)x a a x a x a x -=+++

+，求：

（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++

+.

解：（1）当1x =时，7

7

(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a +++

+

∴0127a a a a +++

+1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a +++

+1=- ①

令1x =-，7

012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：7

13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132

+-.

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，

∴由（2）中①+② 得：7

02462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=，

∴017||||||a a a ++

+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

解：)

x 1(1]

)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010

2

+-+-+=+++++）（

=x

x x )1()1(11+-+，

∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7

C

第二课时