大学数学教案第12章

第十二章重积分

本章所介绍的重积分的被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个区域，因此重积分是一元函数定积分的推广。

第一节二重积分的概念与性质

一、教学目标

1、正确理解二重积分的概念；

2、知道二重积分的性质及二重积分的几何意义。

二、教学重点

1、二重积分的概念；

2、二重积分的性质。

三、教学难点

二重积分的概念

四、教学内容

1.二重积分的概念

（i）曲顶驻体的体积

（ii）非均匀平面薄片的质量（iii）二重积分的定义（iv）二重积分的几何意义2.二重积分的性质

3、例题

例 1 根据二重积分性质比较二重积分

()D

x y d σ+⎰⎰与2

()D

x y d σ+⎰⎰的大小，其

中D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成区域.

例 2 利用二重积分性质估计积分值

():01,01

D

I xy x y d D x y σ

=+≤≤≤≤⎰⎰.

五、布置作业

第二节 二重积分的计算

一、教学目标

1、掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）；

2、能根据积分区域和被积函数的特点选择坐标系及积分次序，能正确定出累次积分的积分限。 二、教学重点

二重积分的计算方法 三、教学难点

化重积分为累次积分的定限问题

四、教学内容

1. 二重积分在直角坐标系下的计算 （1）原理

（2）例题 例 1 计算

D

xyd σ

⎰⎰，其中D 是由

1,2y x ==及y x =所围成的闭区域.

例2 计算

22

3D

x y d σ⎰⎰，其中D 是由x 轴，

y 轴及抛物线21y x =-围成.

例3计算

D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线

2y x =及直线2y x =-所围成闭区域.

例4 计算二重积分

2

D

xy d σ⎰⎰，其中D 是由

224x y +=及y 轴围成右半区域.

例 5 计算

2

y D

e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线0,,1x y x y ===围成.

（3）小结：

由于将二重积分化为累次积分，有两种积分次序，所以可以通过二重积分将已给出的累次积分次序加以更换，这种更换有时会简化计算

例6 更换下列积分次序： （1）

1

10

1

(,)x

x dx f x y dy --⎰

⎰

；

（2）

3

93

1

1

3

3

(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰

⎰⎰⎰.

2. 二重积分在极坐标系下的计算

（1） 原理

（2）例题 例7 将二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰化为极坐标

系下累次积分，其中D 为

222,0x y Ry x +≤≥.

例9

计算二重积分

D

σ，其中

222:()(0)D x a y a a -+≤>.

例10

计算D

I =

⎰⎰，其中2222{(,)4}D x y x y ππ=≤+≤.

例11 计算

2

2()

222,{(,)}

x y D

e dxdy D x y x y a -+=+≤⎰⎰.

第三节 三重积分的概念与计算 一、教学目标

1、了解三重积分的概念；

2、会计算简单函数的三重积分。 二、教学重点、教学难点

1、三重积分的概念；

2、计算简单函数的三重积分。

三、教学内容

一.三重积分的概念

（1）非均匀密度的物体质量

（2）三重积分的定义

二.三重积分的计算 1、

2、

4、例题例1 计算三重积分I xdxdydz

Ω

=⎰⎰⎰，其中Ω由三个坐标面与平面1

x y z

++=围成.

例 2 计算z d x d

Ω

⎰⎰⎰，其

中:z

Ω=z h

=所围区域.

四、布置作业

第四节利用驻面坐标和球面坐标计算三重

积分

一、教学目标

1、学会利用驻面坐标计算三重积分；

2、学会利用球面坐标计算三重积分；

3、培养学生的空间观念和绘图能力。

二、教学重点、教学难点

1、利用驻面坐标计算三重积分；

2、利用球面坐标计算三重积分。

三、教学内容

1.利用驻面坐标计算三重积分例1 利用驻面坐标计算三重积分zdV

Ω

⎰⎰⎰，其中

22 {(,,)}

x y z z z x y Ω==+

.

例 2 利用驻面坐标计算三重积分2222

(),:2,0 2.

x y dV x y z z

Ω

+Ω+=≤≤⎰⎰⎰