等差数列前n项和公式(第1课时).ppt
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等差数列的前n项和公式(1)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (1)
= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) = × = .
问题2：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + 吗？
需要对项数的奇偶进行讨论
（1）当是偶数时， 有 + = + − = ⋯ = + + ，
且 ≠ .任取若干组，，，在电子表格中计算
l
， ， ， ， 的
值(图表示 = ， = ， = 的情况)，观察数列{ }的特点，研究它
是一个怎样的数列，并证明你的结论.
结论：已知数列{ }的前项和为 = + + (，，为常数
例题精讲
课本例6.已知数列{ }是等差数列.
l = ，求 ；
(1)若 = ，
(2)若 = ， = ，求 ；
(3)若 =
，
=
− ，
= −，求.
解(1)：因为 = ， = ，根据公式 =
=
×(+)
所以 = 12.
(−1)
1 +
，得
2
课本例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是
1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
追问：还有其他方法吗？
解: =310, =1220,
把它们代入公式 = +
+ =
且 ≠ )，则当 = 时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 时，数列{ }
从第二项起为等差数列.
已知数列 { }的前项和为 = + + (，，为常数且 ≠ )，
问题2：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + 吗？
需要对项数的奇偶进行讨论
（1）当是偶数时， 有 + = + − = ⋯ = + + ，
且 ≠ .任取若干组，，，在电子表格中计算
l
， ， ， ， 的
值(图表示 = ， = ， = 的情况)，观察数列{ }的特点，研究它
是一个怎样的数列，并证明你的结论.
结论：已知数列{ }的前项和为 = + + (，，为常数
例题精讲
课本例6.已知数列{ }是等差数列.
l = ，求 ；
(1)若 = ，
(2)若 = ， = ，求 ；
(3)若 =
，
=
− ，
= −，求.
解(1)：因为 = ， = ，根据公式 =
=
×(+)
所以 = 12.
(−1)
1 +
，得
2
课本例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是
1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
追问：还有其他方法吗？
解: =310, =1220,
把它们代入公式 = +
+ =
且 ≠ )，则当 = 时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 时，数列{ }
从第二项起为等差数列.
已知数列 { }的前项和为 = + + (，，为常数且 ≠ )，
4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝___与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
等差数列的前n项和公式第1课时课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册
Sn，解方程即可求得n.
解: (3)把a1=
,
,
(−)
Sn=+
中的a1，d和
(−)
Sn=-5代入Sn=+
d=, 得
1
n ( n -1)
1
-5 = n +
( ).
2
2
6
2
整理，得 n - 7 n - 60 = 0.
所以 n=12.
解得 n = 12 ，或 n = -5
方法二：拿出中间项，再首尾配对.
S101 =(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151.
方法三：先凑出偶数项，再首尾配对.
S101 =0+1+2+ ⋯+101
=(0+101)+(1+100)+ ⋯+(50+51)=101×51=5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：
解: (2)因为a1=2，a2=，所以d= .
(−)
根据公式Sn=+
，可得
10 (10 -1) 1 85
S10 = 10 2 +
= .
2
2 2
例6 已知数列{an}是等差数列.
1
1
（3）若a1= ，d - ，Sn= -5，求n.
2
6
分析: 在(3)中，已知公式
)
例6 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
5
（2）若a1=2，a2= 2 ，求S10；
解: (3)把a1=
,
,
(−)
Sn=+
中的a1，d和
(−)
Sn=-5代入Sn=+
d=, 得
1
n ( n -1)
1
-5 = n +
( ).
2
2
6
2
整理，得 n - 7 n - 60 = 0.
所以 n=12.
解得 n = 12 ，或 n = -5
方法二：拿出中间项，再首尾配对.
S101 =(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151.
方法三：先凑出偶数项，再首尾配对.
S101 =0+1+2+ ⋯+101
=(0+101)+(1+100)+ ⋯+(50+51)=101×51=5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：
解: (2)因为a1=2，a2=，所以d= .
(−)
根据公式Sn=+
，可得
10 (10 -1) 1 85
S10 = 10 2 +
= .
2
2 2
例6 已知数列{an}是等差数列.
1
1
（3）若a1= ，d - ，Sn= -5，求n.
2
6
分析: 在(3)中，已知公式
)
例6 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
5
（2）若a1=2，a2= 2 ，求S10；
4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等差数列的前n项和一课件
第1课时 等差数列的前n项和(一)
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 等差数列{an}的前n项和公式
两种不同形式
n a1 + an
(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝_______2_______，
(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝__n_a_1＋__n_n_2−_1_d____．
+ a1
n +
− n
1 −
−2
13
2 13
a1
a1 ≤
≥ 0， 0，
解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．
变式探究 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn 取得最大值时，n的值为__1_2或__1_3__．
解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
由
S3
＝
S11
，
可
得
3a1
＋
3×2 2
d
＝
11a1
＋
11×10 2
d
，
即
d
＝
−
2 13
a1
.
从
而
Sn
＝
d 2
n2
＋
a1
−
d 2
n＝－1a31(n－7)2＋1439a1，因为a1>0，所以－1a31<0.
故当n＝7时，Sn最大． 解法二：通项公式法
由解法一可知，d＝－123a1.
要使Sn最大，则有ቊaan+n1≥≤00，，即൞a1
2nn+(+232)，已则知ba{55a＝n}_，__{_b53_n}_均__为．等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且TSnn＝
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 等差数列{an}的前n项和公式
两种不同形式
n a1 + an
(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝_______2_______，
(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝__n_a_1＋__n_n_2−_1_d____．
+ a1
n +
− n
1 −
−2
13
2 13
a1
a1 ≤
≥ 0， 0，
解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．
变式探究 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn 取得最大值时，n的值为__1_2或__1_3__．
解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
由
S3
＝
S11
，
可
得
3a1
＋
3×2 2
d
＝
11a1
＋
11×10 2
d
，
即
d
＝
−
2 13
a1
.
从
而
Sn
＝
d 2
n2
＋
a1
−
d 2
n＝－1a31(n－7)2＋1439a1，因为a1>0，所以－1a31<0.
故当n＝7时，Sn最大． 解法二：通项公式法
由解法一可知，d＝－123a1.
要使Sn最大，则有ቊaan+n1≥≤00，，即൞a1
2nn+(+232)，已则知ba{55a＝n}_，__{_b53_n}_均__为．等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且TSnn＝
等差数列的前n项和公式(第1课时)课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
若把等差数列的通项公式
代入公式（1），还可以得到
Sn
na1
n(n 1) d 2
（2）
7
二、讲授新课 等差数列的前n项和公式
已知量
选用 公式
首项，末项与项数
首项，公差与项数
思考：等差数列 的两个前n项和公 式有什么共同点
和不同点?
8
三、例题讲解
例例 例例6666 已已已已知知 知知数数数数列列列列 是是是等等是等差差差等数数数差列列列数... 列.
（（ （（1111））））若若若若
，，，，
，，，求求求，求 ；；； ；
（（ （（2222））））若若若若
，，，， ，，，求求求，求；；； ；
解（（ （（：333（3））））1若若若）若因为
，，，
，
，
,,,
,
，根，，，据求求求公，nn式n..求. n.
，可得
.
9
三、例题讲解
例例 例例6666 已已已已知知 知知数数数数列列列列 是是是等等是等差差差等数数数差列列列数... 列.
高斯的算法实际上解决了等差数列
1，2，3，4，...，n，...
①
前100项的和的问题.
高斯，德国数学家，近代 数学的奠基者之一，他在 天文学、大地测量学、磁 学、光学等邻域都做出过 杰出贡献.
1
一、导入新课 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数 列①的前n项和的方法吗？
求和；（3）已知公式
， 和 ，解方程即可求得 n.
中的
10
三、例题讲解
（2）因为
，
，
所以
.根据公式
，可得
（3）把
等差数列的前n项和(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
可设为｛an｝且a1=5,d=1,an=80
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；
（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；
（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册全
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
++ + +
+++
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
加 法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
错解: an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
辨析:an＝Sn－Sn－1 是在 n≥2 的条件下得到的，a1 是否满足需另外计算验证．
【解析】由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，
两边同时除以 Sn1 Sn ，
得
1 Sn1
1 Sn
1，
1
故数列
Sn
是以-1
为首项，-1
为公差的等差数列，
则
1 Sn
1 (n 1)
n ，
1
所以 Sn n ．
例 已知数列{an}满足 a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求 an.
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
4.2.2等差数列的前n项和公式课件(人教版)(1)
所以， a 的取值范围为 19 a 20.9 .
第四章
4.2
•等差数列
情境导入
据说，二百多年前，高斯的算术
老师提出了下面问题：
1+2+3+...+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项
高斯（Gauss，1777－1855），
相加时，10岁的高斯却迅速算出
德国数学家，近代数学的奠基者之一.
可以发现，高斯在计算中利用了
1 + 100 =2 + 99 =. . .=50 + 51 这一特殊关系.
问题2：1+2+3+...+101=?
问题3：Tn=1+2+3+⋯+n=？
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1，公差为d ，第n项为an,那么该
等差数列的前n项和公式为——————.
问题：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列{an}
的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？
Sn
n( a1 an )
2
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
n(n 1)
S n na1
d
2
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
，得
，可得
例 7 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310，
前 20 项的和是 1220，
由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
倒序求和
基本量法
转化与化归
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
第四章
4.2
•等差数列
情境导入
据说，二百多年前，高斯的算术
老师提出了下面问题：
1+2+3+...+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项
高斯（Gauss，1777－1855），
相加时，10岁的高斯却迅速算出
德国数学家，近代数学的奠基者之一.
可以发现，高斯在计算中利用了
1 + 100 =2 + 99 =. . .=50 + 51 这一特殊关系.
问题2：1+2+3+...+101=?
问题3：Tn=1+2+3+⋯+n=？
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1，公差为d ，第n项为an,那么该
等差数列的前n项和公式为——————.
问题：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列{an}
的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？
Sn
n( a1 an )
2
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
n(n 1)
S n na1
d
2
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
，得
，可得
例 7 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310，
前 20 项的和是 1220，
由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
倒序求和
基本量法
转化与化归
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和， 当 n≤20
nn－1 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋ × 3 2
3 2 123 ＝－2n ＋ 2 n；8 分 当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
nn－1 20×19 ＝－60n＋ 2 ×3－2×－60×20＋ × 3 2
由题目可获取以下主要信息： na1＋an 由 Sn＝ ，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用 等差数列的性质解题．
[解题过程]
nn－1 (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， ∴ 1 n＋ nn－1d＝－1 022. 2 解得 n＝4，d＝－171.
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. 6×6－1 ∴S6＝6×(－1)＋ ×2＝24. 2
• 已知数列{an}是等差数列， • (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； • (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； • (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
d2 a1－ 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 ＝2n－2－ d －22－ d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知，当 n 取 1 a1 最接近2－ d 的正整数时，Sn 取到最大值(或最小值)，值得注 1 a1 意的是最接近2－ d 的正整数有时 1 个，有时 2 个． (2)根据项的正负来定． 若 a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大； 若 a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小． ,
4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)
解：由已知可得：a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得：n 9 或 n （舍）
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程：
由①+②，得
1
( + )
=
=
设 =1＋2＋3＋…＋100+101
①，则
=101＋100＋99＋…＋2+1 ②
2 = （＋）
合作探究
思考2：已知数列{an}是等差数列，如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值？
S n na1
d
2
名师点析：(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A．230
B．420
C．450
D．540
20×19
解：S20＝20a1＋ 2 d＝20×2＋20×19＝420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
(3)若a1= ，d=- ，
4.2.2等差数列的前n项和公式(一)课件
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是：
首尾相加
首项与末项的和：
1+100 =101
第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101
第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101
……
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101
于是所求的和是：101×
n个 =n(a1+an)
Sn
n(a1 2
an )
等差数列的前n项和公式：
公式1
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
n(n 1) Sn na1 2 d
. 试一试：根据下列各题中的条件，求相应等 差数列{an} 的前n项和Sn.
（1）已知 a1 =2，a10 16 ，求S10
=5050
从高斯的算法你能得到什么启发？你能解决等差
数列：1，2，3····，n，···的前n项和问题吗？
思考：Sn=1+2+3+…+n=？倒序相加法
1 + 2 + … + ( n-1) + n n + ( n-1) + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)
1、什么是等差数列？等差数列的通项 公式是什么？
2、等差数列有哪些性质？
3、如何表示数列前n项和？
等差数列的前n项和公式 1. 计算：1+2+…+100=? 2.计算：1+2+…+n=? 3.如何推导等差数列{an}前n项和公式Sn？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是：
首尾相加
首项与末项的和：
1+100 =101
第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101
第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101
……
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101
于是所求的和是：101×
n个 =n(a1+an)
Sn
n(a1 2
an )
等差数列的前n项和公式：
公式1
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
n(n 1) Sn na1 2 d
. 试一试：根据下列各题中的条件，求相应等 差数列{an} 的前n项和Sn.
（1）已知 a1 =2，a10 16 ，求S10
=5050
从高斯的算法你能得到什么启发？你能解决等差
数列：1，2，3····，n，···的前n项和问题吗？
思考：Sn=1+2+3+…+n=？倒序相加法
1 + 2 + … + ( n-1) + n n + ( n-1) + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)
1、什么是等差数列？等差数列的通项 公式是什么？
2、等差数列有哪些性质？
3、如何表示数列前n项和？
等差数列的前n项和公式 1. 计算：1+2+…+100=? 2.计算：1+2+…+n=? 3.如何推导等差数列{an}前n项和公式Sn？
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计算 1+ 2 + 3 +...... +100
计算 1＋ 2＋3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100 = ?
1+100 =101 2+99 =101 3+98 =101
101
50个等式
…
＋ 50+51 =101
设计意图
1.学生叙述高斯首尾配 对的方法 2.学生对高斯的算法是 熟悉的，知道采用首尾 配对的方法来求和，但 是他们对这种方法的认 识可能处于模仿、记忆 的阶段 . 3.为了促进学生对这种 算法的进一步理解，设 计了下面问题.
S100= 50×101 = 5050
高斯求和法
计算 1+ 2 + 3 +...... +100
S=1 + 2 + 3 +… + 98+99+100
倒序相加法
S=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1 101
类比联想，解决问题
问题2：Sn= 1+2+3+…+n = ?（
Sn= 1 + 2 + 3 + … + n ① Sn= n+(n-1)+(n-2) +…+1 ② 由①+②，得： 2Sn = (1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)
= n(1+n)
倒序相加法
）
讨论交流，延伸拓展
倒序相加法
问题3：已知等差数列｛an｝中,首项为a1,
第n项为an ,求它的前n项和Sn .
? Sn= a1+a2+…+an
Sn a1 a2 a3 ...... an2 an1 an Sn an an1 an2 ...... a3 a2 a1
等差数列的前 n项和
（第1课时）
霍莉莉
一、复习回顾:
(1)什么叫等差数列?
(2)等差数列的通项公式是怎样的?
an a1 (n 1)d
（3）等差数列的性质：若 m n p q ,则
am an ap aq m, n, p, q
设计意图
•高斯10岁时，老师给出 一道题：求1到100的自 然数之和。老师话刚说 完，他就说出了答案。 大家猜猜他是怎么算的 呢？
2Sn
n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
公式1
Sn
n(a1 2
an )
(已知数列的首项a1、
通项公式an与项数n用
公式1)
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
(已知数列的首项a1 、 公差d与项数n用公式2)
例题讲解，形成技能
例1 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一 层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多 放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共 放了多少支铅笔？
10n n(n 1) 4 54. 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
课堂练习
例4 在等差数列an中，已知d 20, n 37, sn 629,
求a1及an .
课后作业
已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
解：由题意知，这个V型架上自下而是 个层的铅笔数成等差数列，记为｛an｝.
则a1 1, a120 120 , n 120 .
S120
120(1120) 2
7260.
答：V型架上共放着7260支铅笔。
例题讲解，形Βιβλιοθήκη 技能例3 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少 项的和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
1、已知a2 a5 a12 a15 36, 求s16; 2、已知a6 20,求s11
等差数列的前 项和（第1课时）
请各位老师指正！
总结归纳，加深理解
（1）等差数列前n项和公式的两种形式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
an a1 (n 1)d
（2）推到方法：倒序相加。 （3）根据条件，灵活选择。 （3）问题探究的方法：从特殊到一般，再从一般到特殊.
课后作业，分层练习
A必做题：课本练习2、3题 B选做题：在等差数列中，
计算 1＋ 2＋3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100 = ?
1+100 =101 2+99 =101 3+98 =101
101
50个等式
…
＋ 50+51 =101
设计意图
1.学生叙述高斯首尾配 对的方法 2.学生对高斯的算法是 熟悉的，知道采用首尾 配对的方法来求和，但 是他们对这种方法的认 识可能处于模仿、记忆 的阶段 . 3.为了促进学生对这种 算法的进一步理解，设 计了下面问题.
S100= 50×101 = 5050
高斯求和法
计算 1+ 2 + 3 +...... +100
S=1 + 2 + 3 +… + 98+99+100
倒序相加法
S=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1 101
类比联想，解决问题
问题2：Sn= 1+2+3+…+n = ?（
Sn= 1 + 2 + 3 + … + n ① Sn= n+(n-1)+(n-2) +…+1 ② 由①+②，得： 2Sn = (1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)
= n(1+n)
倒序相加法
）
讨论交流，延伸拓展
倒序相加法
问题3：已知等差数列｛an｝中,首项为a1,
第n项为an ,求它的前n项和Sn .
? Sn= a1+a2+…+an
Sn a1 a2 a3 ...... an2 an1 an Sn an an1 an2 ...... a3 a2 a1
等差数列的前 n项和
（第1课时）
霍莉莉
一、复习回顾:
(1)什么叫等差数列?
(2)等差数列的通项公式是怎样的?
an a1 (n 1)d
（3）等差数列的性质：若 m n p q ,则
am an ap aq m, n, p, q
设计意图
•高斯10岁时，老师给出 一道题：求1到100的自 然数之和。老师话刚说 完，他就说出了答案。 大家猜猜他是怎么算的 呢？
2Sn
n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
公式1
Sn
n(a1 2
an )
(已知数列的首项a1、
通项公式an与项数n用
公式1)
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
(已知数列的首项a1 、 公差d与项数n用公式2)
例题讲解，形成技能
例1 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一 层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多 放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共 放了多少支铅笔？
10n n(n 1) 4 54. 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
课堂练习
例4 在等差数列an中，已知d 20, n 37, sn 629,
求a1及an .
课后作业
已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
解：由题意知，这个V型架上自下而是 个层的铅笔数成等差数列，记为｛an｝.
则a1 1, a120 120 , n 120 .
S120
120(1120) 2
7260.
答：V型架上共放着7260支铅笔。
例题讲解，形Βιβλιοθήκη 技能例3 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少 项的和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
1、已知a2 a5 a12 a15 36, 求s16; 2、已知a6 20,求s11
等差数列的前 项和（第1课时）
请各位老师指正！
总结归纳，加深理解
（1）等差数列前n项和公式的两种形式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
an a1 (n 1)d
（2）推到方法：倒序相加。 （3）根据条件，灵活选择。 （3）问题探究的方法：从特殊到一般，再从一般到特殊.
课后作业，分层练习
A必做题：课本练习2、3题 B选做题：在等差数列中，