0-1规划的隐枚举法

2013-2014（2）专业课程实践论文题目：0-1规划的隐枚举法
一、算法理论 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。

求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法。

线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1”时，称之为“0-1规划问题”。

有种极其简单的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列出，然后分别代入目标函数，选出其中能使目标函数最优化的组合，即为最优解。

但是真的这样会做很多无用功，浪费大量资源，所以，需要改进方法。

本文主要介绍隐枚举法的应用原理，意在剖析其“隐”在何处。

从而帮助读者更好地应用这种方法。

和线性规划问题一样，首先需要将模型标准化。

标准化对0-1规划问题提出四点要求：
1.目标函数为最小优化
2.目标函数中变量的系数都为正
3.在目标函数中，变量按系数值从小到大排列，则约束函数中，变量的排列次序也做相应改变。

4.所有变量均为0或1
0-1线性规划的基本形式是
1
min n
j j
j Z c x ==∑
011,2,,..1,2,,j ij j j x j m s t a x b i n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎨≤=⋅⋅⋅⎪⎩∑或
function [intx,intf] = ZeroOneprog(c,A,b,x0)
%目标函数系数向量，c
%不等式约束矩阵，A
%不等式约束右端向量，b
%初始整数可行解，x0
%目标函数取最小值时的自变量值，intx
%目标函数的最小值，intf
sz = size(A);
if sz(2) < 3
[intx,intf] = Allprog(c,A,b); %穷举法
else
[intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0); %隐枚举法end
function [intx,intf] = Allprog(c,A,b)
sz_A = size(A);
rw = sz_A(1);
col = sz_A(2);
minf = inf;
for i=0:(2^(col)-1) %枚举空间
x1 = myDec2Bin(i,col); %十进制转化为二进制if A*x1 >= b %是否满足约束条件
f_tmp = c*x1;
if f_tmp < minf
minf = f_tmp;
intx = x1;
intf = minf;
else
continue;
end
else
continue;
end
end
function [intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0)%隐枚举法
sz_A = size(A);
rw = sz_A(1);
col = sz_A(2);
minf = c*x0;
A = [A;-c];
b = [b;-minf]; %增加了一个限制分量
for i=0:(2^(col)-1)
x1 = myDec2Bin(i,col);
if A*x1 >= b
f_tmp = c*x1;
if f_tmp < minf
minf = f_tmp;
b(rw+1,1) = -minf; %隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx = x1;
intf = minf;
else
continue;
end
else
continue;
end
end
function y = myDec2Bin(x,n) %十进制转化为二进制
str = dec2bin(x,n);
for j=1:n
y(j) = str2num(str(j));
end
y = transpose(y);
四、算法实现
例1．求解下面0-1规划
()⎪⎩⎪⎨⎧=≥++++≥++++++++=105224287453232min 5
4321543215432154321或,x ,x ,x ,x x x x x x x x x x x x ,s.t.x x x x x x f
解:在MATLAB 命令框在输入下列命令：
>> c=[1 2 3 1 1];
>> A=[2 3 5 4 7;1 1 4 2 2];
>> b=[8;5];
>> x0=[1;1;1;1;1];
>> [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0) 所得结果如下：
123
1231231213
123max 3252244..346,,01
z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或 解：在MATLAB 命令框在输入下列命令： >> c=[-3,2,-5];
>> A=[-1,-2,1;-1,-4,-1;-1,-1,0;-4,0,-1]; >> b=[-2;-4;-3;-6];
>> x0=[1;0;0];
>> [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)
1234
12341234124min 3721648..535
01,1,2,3,4j z x x x x x x x x x x x x s t x x x x j =+-+-+-≥⎧⎪-++≥⎪⎨++≥⎪⎪==⎩
或 解:在MATLAB 命令框在输入下列命令： >> c=[3,7,-1,1];
A=[2,-1,1,-1;1,-1,6,4;5,3,0,1]; b=[1;8;5];
>> x0=[1;1;1;1];
>> [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)
123
123123123max 62323352..24
01,1,2,3j z x x x x x x x x x s t x x x x j =++++≤⎧⎪-+≥⎪⎨++≤⎪⎪==⎩
或
解:在MATLAB 命令框在输入下列命令： >> c=[-6,-2,-3];
A=[-1,-2,-1;3,-5,1;-2,-1,-1];
b=[-3;2;-4];
x0=[1;0;0];
[intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)。