0-1规划的隐枚举法

2013-2014（2）专业课程实践论文题目：0-1规划的隐枚举法

一、算法理论 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法。

线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1”时，称之为“0-1规划问题”。有种极其简单的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列出，然后分别代入目标函数，选出其中能使目标函数最优化的组合，即为最优解。但是真的这样会做很多无用功，浪费大量资源，所以，需要改进方法。本文主要介绍隐枚举法的应用原理，意在剖析其“隐”在何处。从而帮助读者更好地应用这种方法。

和线性规划问题一样，首先需要将模型标准化。标准化对0-1规划问题提出四点要求：

1.目标函数为最小优化

2.目标函数中变量的系数都为正

3.在目标函数中，变量按系数值从小到大排列，则约束函数中，变量的排列次序也做相应改变。

4.所有变量均为0或1

0-1线性规划的基本形式是

1

min n

j j

j Z c x ==∑

011,2,,..1,2,,j ij j j x j m s t a x b i n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎨≤=⋅⋅⋅⎪⎩∑或

function [intx,intf] = ZeroOneprog(c,A,b,x0)

%目标函数系数向量，c

%不等式约束矩阵，A

%不等式约束右端向量，b

%初始整数可行解，x0

%目标函数取最小值时的自变量值，intx

%目标函数的最小值，intf

sz = size(A);

if sz(2) < 3

[intx,intf] = Allprog(c,A,b); %穷举法

else

[intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0); %隐枚举法end

function [intx,intf] = Allprog(c,A,b)

sz_A = size(A);

rw = sz_A(1);

col = sz_A(2);

minf = inf;

for i=0:(2^(col)-1) %枚举空间

x1 = myDec2Bin(i,col); %十进制转化为二进制if A*x1 >= b %是否满足约束条件

f_tmp = c*x1;

if f_tmp < minf

minf = f_tmp;

intx = x1;

intf = minf;

else

continue;

end

else

continue;

end

end

function [intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0)%隐枚举法

sz_A = size(A);

rw = sz_A(1);

col = sz_A(2);

minf = c*x0;

A = [A;-c];

b = [b;-minf]; %增加了一个限制分量

for i=0:(2^(col)-1)

x1 = myDec2Bin(i,col);

if A*x1 >= b

f_tmp = c*x1;

if f_tmp < minf

minf = f_tmp;

b(rw+1,1) = -minf; %隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx = x1;

intf = minf;

else

continue;

end

else

continue;

end

end

function y = myDec2Bin(x,n) %十进制转化为二进制

str = dec2bin(x,n);

for j=1:n

y(j) = str2num(str(j));

end

y = transpose(y);

四、算法实现

例1．求解下面0-1规划

()⎪⎩⎪⎨⎧=≥++++≥++++++++=105224287453232min 5

4321543215432154321或,x ,x ,x ,x x x x x x x x x x x x ,s.t.x x x x x x f

解:在MATLAB 命令框在输入下列命令：

>> c=[1 2 3 1 1];

>> A=[2 3 5 4 7;1 1 4 2 2];

>> b=[8;5];

>> x0=[1;1;1;1;1];

>> [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0) 所得结果如下：

123

1231231213

123max 3252244..346,,01

z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或 解：在MATLAB 命令框在输入下列命令： >> c=[-3,2,-5];

>> A=[-1,-2,1;-1,-4,-1;-1,-1,0;-4,0,-1]; >> b=[-2;-4;-3;-6];

>> x0=[1;0;0];

>> [intx,intf]=ZeroOneprog(c,A,b,x0)