质数

质数

——数学小论文

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没

法被其他自然数整除的数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非

素数也非合数。

许多年来，数学家们一直致力于寻找一个公式，使之能够方便而迅捷

地导出所有的质数，但很遗憾的是他们并没有成功。

1.质数的个数

在研究如何导出这个公式之前，我们首先要弄清楚的一点就是，质数

的个数是否为有限个？换言之，是否存在一个最大的质数呢？

关于这一点，古希腊数学家欧几里得(Euclid)研究过，并在他的著作

《几何原本》中给出了一个简洁而优美的证明，这里他使用的是反证法。

为了研究这个问题，我们不妨假设已知质数的个数是有限的，最大的

那一个用N来表示。现在我们把所有已知质数都乘起来，再把这个积加

上1

写成数学式就是：

(2×3×5×7×11……×N)+1

很明显这个数不能被已知的任何一个质数整除，因为从这个数的产生

方式来看就知道，拿所有的质数去除，最后都会余1

因此，要么这个数本身就是一个质数，要么有比N更大的数能将其除尽。不管怎样，都与N是最大的质数这一假设相矛盾。

我们可以得到结论，质数的个数是无穷的。换言之，没有最大的质数。

2.质数的分布

质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。例如2、3、5、7、11、13、17、101、401、601、701都是质数，但与这些数类似的301

（=7×43）和901（=17×53）却是合数。

3.质数的判断

质数的判断有两种方法：

1.只能被1和本身整除。

也就是说根据质数的定义，它的质因数只有1与它本身的数是质数

2.不能被小于它的平方根的所有质数整除就是质数。

以73为例。73的算数平方根√73≈8.5440037 。小于这个数的质数有2，3，5，7 。这四个数均不能除尽73，那么73就是一个质数。

4.质数公式

1.筛选法

例如，我想要找出100以内的质数，不借助他人，应该怎么办呢？

利用筛法，我可以将100以内的整数写在纸上，划掉0,1留下2，划掉所

有2的倍数，再划掉3的倍数，留下3，一直往后，到7（由于11的平方121>100 所以我们划完7的倍数就可以了），就可以找出来了。当然，要的数越多，需要划掉x的倍数就越多。

不过这个方法只适用于小范围的求导质数。即使范围仅仅扩大到1000，手算也是很吃力的。

2.公式n^2+n+41

有人做过这样的验算：

1^2+1+41=43

2^2+2+41=47

3^2+3+41=53

于是经过合情推理，人们就得出这样一个“公式”：

设一正整数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。

这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时

40^2+40+41=1681=41×41

由于这是一个合数，所以这个公式即宣告不成立。

3.费马数2^(2^n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，

设F(n)=2^(2^n)+1，

则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），

他没有再往下检测就直接猜测：

对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。

但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417

它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现

在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其

位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数

和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！

4.梅森质数

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：

2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数

他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个

12,978,189位数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可

超过50公里！

现在，数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法找到。

5.质数猜想

1.哥德巴赫猜想

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:

1.任何一个≥6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

2.任何一个≥9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是所谓的哥德巴赫猜想。

如果说，自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。

直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。而我国数学家陈景润，于1966年证明了“1+2”

2.黎曼猜想

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明

关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上

由于该猜想涉及到高等数学，在这里就不多加介绍了。

3.孪生素数猜想

1849年，波林那克提出孪生素数猜想，即猜测

存在无穷多对孪生素数

孪生素数相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：

若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。