2016中考数学八大题型集训：专题复习(七) 几何图形综合题 题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题(优选.)

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专题复习(七)几何图形综合题

几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．

题型1与三角形、四边形有关的几何综合题

类型1操作探究题

(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；

(2)求∠BPQ的大小；

(3)求CQ的长．

【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．

【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°.

∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.

∴△APP′是等腰直角三角形．

(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，

∴PP′＝ 2.

∵P′B＝PD＝10，PB＝22，

∴P′B2＝PP′2＋PB2.

∴∠P ′PB ＝90°.

∵△APP ′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°.

∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B 作BM⊥AQ 于M.

∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形． 由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2. ∴AM ＝AP ＋PM ＝3. 在Rt△ABM 中， AB ＝

AM 2

＋BM 2

＝

32

＋22

＝13.

∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13

AQ ，

∴AQ ＝13

3

.

在Rt △ABQ 中，BQ ＝

AQ 2－AB 2

＝2313.

∴QC ＝BC －BQ ＝13－

2313＝133

.

1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．

2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．

1．(2015·自贡)在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝3

5

，将△ABC绕点C顺时针旋转，得

到△A1B1C.

图1图2

(1)如图1，当点B1在线段BA延长线上时．

①求证：BB1∥CA1；

②求△AB1C的面积；

(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．

2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.

(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；

(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？

(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.

(1)求△ABC的面积；

(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3)已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．

类型2 动态探究题

(2015·乐山)如图1，四边形ABCD 中，∠

B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，B

C ＝2，tanA ＝4

3

.

(1)求CD 边的长；

(2)如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q(点Q 运动到点B

停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

【思路点拨】(1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；

(2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．

【解答】(1)分别延长AD、BC相交于E.

在Rt△ABE中，∵tanA＝4

，AB＝3，∴BE＝4.

3

∵BC＝2，∴EC＝2.

在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝32＋42＝5.

∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝6

5

.

(2)∵∠B ＝∠ADC ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴∠ECD ＝∠A. ∴tan ∠ECD ＝tanA ＝4

3.

∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85

. 如图4，

由PQ∥DC ，可知△EDC∽△EPQ ，

∴ED EP ＝DC

PQ .∴85

8

5

＋x ＝65PQ ，即PQ ＝65＋34

x. ∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ， ∴y ＝12PQ ·EP －1

2

DC ·ED

＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85