机械制图点线面

O B b
39
例4:已知直线AB 的V投影，且β=30°，求AB 的H投影。
b′
分析：
β
⑴ 直接求水平投影长，要
用α三角形，即直线与H面
a′
的几何关系，只有高差△Z
一个条件，此路不通。
⑵ 通过△Y确定端点b
a
要用β三角形，即直线与V
△Y
面的几何关系，已知a'b'
及β角，直角三角形可作出。
b 已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求
57
三 平面的投影
1. 平面的表示法及形式转换 ⒉ 平面相对于投影面的位置 ⒊ 平面内的点和直线
V
b′ Z
B
屢
a′
XA
b
a
H
W
a Cc
c
Y
58
1. 平面的表示法及形式转换
几何元素表示法
迹线表示法（了解）
b'
b'
b'
a'
a'
a'
c'
c'
c'
bc a
b'
bc
bc
a
a
b'
a'
a'
c'
c'
b c
bc
a
a
a'
c'
g'
h'
b'
X
O
a
b
正平线
Z
a' b' a“
d' X
d
O
X
g
O h
c 侧平线
侧垂线
b' Z
c' b“
c“ a' b
O
水平线
d'
铅垂线 O
d“
一a 般位置直2线7
Z b'
c'
b” X
d'
O
X
g'h'
h
O
a'
a”
O
c d
g
侧平线
一般线
正垂线
Z b' a”
Z
c'
c”
a'
b”
O
一般线
d'
d”
正平线 O
a? ?
a?
?? A
b?
X
O
Y
X
O
a
b
a Y
b Y
18
侧平线
a?
Z
a?
b?
A
a?
X
b?
?
a
X
O
?
a
b?
B
b
Y b
Z
a?
?
?
b?
O
Y
Y
19
(3) 投影面垂直线 铅垂线 直线垂直于 H面，平行于 V、W面。 正垂线 直线垂直于 V面，平行于 H、W面。 侧垂线 直线垂直于 W面，平行于 H、V面。
c?
W
α
A
a″
b
aH Y
11
● 直线的投影由两端点同名投影的连线确定
b'
屢
a'
b
a
正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后
屡
根据直线两端点的相对 位置 判别AB的指向(方向)
13
2. 直线相对投影面的位置
(1) 一般位置直线
V
b′
Z b?
b?
?B
b″
?
W
a′
Z
a?
a?
Y?
A
X
a″ X
O
Y
b b a H
16
水平线
Z
z
a? b? a?
b?
a?
b?
A
a?
??
X
O
Y
X
B O
b?
a?
a
?
b
Y
bY
投 影 特
1. 在所平行的投影面上 ,反映实长, 并反映与相邻投影面的倾角；
性 2. 另二投影平行于相应的投影轴。
α= AB∠ H β = AB∠ V γ = AB∠ W
17
正平线
Z b?
Z
b?
b?
?
a?
B
a?
1?
1
1?d? c?1?
50
⒌ 一边平行于投影面的直角投影
A
B
a′
b′
C
c′
X
c
ab
a
H
若 AC⊥AB, AB∥H
c
则 ac⊥ab
O
b
直角投影规律： 空间两条相互垂直线之一，平 行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。
51
上述结论亦实用于两直线交叉垂直
A
N a M
n m
a′
B
Xm a
b′ n
O
nb b
第3 章 点、直线和平面的投影
1
一. 点的投影
1.点在三投影面体系中的投影
●投影面：V、H、W （互相垂直）
投影轴：OX、OY、OZ （指示长、宽、高方向）
●由空间点A分别向V、H、W面进行投影
得正面投影a' 、水平投影a、侧面投影a”
●将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。
3
⒉ 点的投影与点的直角坐标
平面与三投影面均倾斜
b'
屢
a'
屡
c'
屣
b
c
a
投影特性
三个投影均为缩小的类似形
68
例:根据平面的两投影判定平面的位置
X
正平面
侧垂面
侧垂面
X
铅垂面
水平面
侧平面
70
棱锥表面分析
s′
△SAC 是 一 般 面
s″
△SAB 是 侧 垂 面
a′
c′
b′ a″b″
aபைடு நூலகம்
b
s
c
c″
71
3. 平面上的点和直线 直线在平面上的条件
59
平面的迹线（与投影面的交线）表示法
V PV P
PH H
PV
X PH
V
用垂面的积聚投影(一条线)表示平面
Q X
H
QH
QH
60
平面的投影特性 —取决于平面与投影面的倾角
平面//P 反映实形
实形性
平面? P 积聚成直线
积聚性
P
平面 P 缩小且类似图形 类似性
61
⒉ 平面相对于投影面的位置
●一般位置平面 ●投影面垂直面
44
⑵ 两直线相交
V c?
b? k?
a?
d?
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
c? k? a?
b? d?
a
d
ck
b
投影特性: 同名投影相交,
交点符合点的投影规律.
45
⑶ 两直线交叉
d' b'
1' (2' )
B
a' c'
2
D
X
A
O
1
2
a
C
b
c1 d
a'
X
1'(2') c'
2
a
1
c
d' b'
O
b d
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
直线上点的投影特性 :
a
1、点的投影在直线的同面投影上 (从属关系不变 )。
2、点分割线段之比，投影后比值不变。即：
AC:CB=ac:cb= a?c?: c?b?= a?c ?: c?b?
31
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c?
a?
●
b?
② a? c?●
在
不在
b?
a
c
●
③ a?
c?● b?
a c●
c?
a?(b?) b? a? ●
e? f? e? (f? )
●
d?
d?
b
●
c (d)
a
ef
21
铅垂线
Z a?
a?
Z a?
A
a? b?
b?
b?
X
O
Y
X
O
b?
B
a(b)
Y
a(b)
Y
投影特性
在所垂直的投影面上，投影积聚成一点； 另二投影垂直于相应投影轴，且反映实长。 22
正垂线
Z a?b?
A
B
X
O
a b
b′
方法：利用已知的α、
△Z作三角形求水平投
ΔZ
影长ab（仅一种方法）
a′
α
H投影长
a
以H投影长为 半径画弧
b
42
4. 两直线的相对位置 平行、相交、交叉（异面） 。
⑴ 两直线平行
V d? c? a?
b? B
A C
D
a
c
b
d
H
d ? b? c? a?
X
O
a
c
b d
投影特性 同名投影平行 ab//cd a'b'//c'd' 且长度成比例 a' b' :c' d' = ab:cd
线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一 种方法（如本例）。
40
例5:已知直线AB 的V投影，且AB=40，求AB 的H投影。
方法1：用△Y确定端点b （根据a'b' 及40作β三角形） b′
△Z
α
a′
ab
方法2：已知实长及△Z，
a
画出α三角形确定ab长
△Y
b
41
例6:已知直线AB 的V投影，且α=30°，求AB 的H投影。
b'
g'
Xb
a
c'
屣
屡
屢
45°
c
屧
YW
g
YH
7
4 两点的相对位置及重影点
Z
Z
a?
a?
a?
b?
b?
A
a? X
X
O
B
b?
b?
O
Y
b a
b
Y
a
Y
正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后 B点在A点的左后下方
8
重影点
a' Z 屡
b'
屢
c'(d')
層屣
X
a
O
Y
(b)
d
c
Y
点A在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示。
? 通过平面内两点； ? 或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。
点在平面上的条件
? 点在平面内的某一直线上
故要在平面内取点，必须先在平面内取直 线。
基本作图： ⑴ 判定点或直线是否在平面上； ⑵ 在平面上引辅助线定位点。
点C在D的正前方，它们的正面投影重影。
当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置。
9
例:已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。
a?
a?
9
8
5
a
10
二 直线的投影
? 直线对投影面的相对位置
V
? 直线上的点
? 两直线的相对位置
a′
? 立体上直线的分析
X
Z b′
B b″
βγ
47
交叉两直线重影点的可见性判断
V c? 1? (3?)4?
b?
2?
d?
a?
C
c'
1'
2'
B a'
13
X
2
4
X A
oD
c
c
a
1(2 )
3
b
a
1(2)
H
4
d
(3')4'
b'
d'
3
b
4d
48
例：
a'
c' 屡 屣
b'
d' 層
屢
a
d
例：
b
c
a' b' 屡
屢
c'
d'
屣
層
a
c
b d
49
例: 判断两直线的相对位置
另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段
64
正垂面
屢
c'
?b'
屣
V
W
a' ?
屡
c
H
a
b
投
在所垂直的投影面上的投影 积聚成直线 ，且
影 特
反映平面与另两投影面的倾角
性
另两投影为 类似图形
66
铅垂面
P B
A
b' a'
c'
a b
C
PH c
a ? b?
c 请同学叙述铅垂面的投影特性
b 屡
屣
67
⑶ 一般位置平面
△Z α
ab
△Y
β
a'b'
△X
γ
a''b''
直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知 道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数。
36
例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角α
分析：欲求α，只能借助直
V
b?
线与H面的几何关系。
B
b?
AB
a? X
ΔZ
O ?
A
b
a? X
?
b
a
H
直角三角形法
ΔZ
? ab
=
? a
AB
37
例2：求一般位置直线段的实长和倾角β
V
b?
B
b?
β
=
a? X
β
a?
X
O
O
b
A
b
a
H
分析：欲求β，只能借助直 线与V面的几何关系。
ΔY =
a
ΔY
β a?b?
38
例3: 在直线AB上取一点C,使AC=25,求点C的投影.
b′
c′
ΔZ
a′
X
aA C
在AB上量取 AC=25
c
求投影长ac
43
例：判断图中两条直线是否平行。
① b?
d?
a? c?
ac
②
b c?
d
a?
d? b? c
b
da
b? d?
a? c?
c? a?
b? d?
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
Hm
52
例: 已知AB//H、AB? CD，求cd
c'
ab? cd
a'
b'
d'
c
b
a
d
53
例:求两直线AB 、CD之间的距离。(≈习题P11. 3-17 )
bˊ cˊ
mˊ
nˊ
aˊ
dˊ mb
a
两交叉线间距离
c (d)(n)
56
点、直线习题
点 P6 —— 2、3
P7 —— 4、5
直线 P8
P9 —— 6⑴、7 P10 —— 9、10、12 P11 —— 13、15、16
铅垂面：? H ∠V、W 正垂面：? V ∠H、W 侧垂面：? W ∠V、H ●投影面平行面 水平面： ∥H 正平面：∥V 侧平面： ∥W
特 殊 位 置 平 面
62
⑴ 投影面平行面
V
V
W
W
H V
H
正平面 W
H 水平面
侧平面
63
水平面
a'
b' c' 屣 屡 屢
V
W
a
c
H
b 投影特性
在所平行的投影面上的投影 反映实形
a?
a?
k?●
k?
V
b?
●
k?
a?
●
k?●
●
b?
b?
A
b?
a? K
b
X
B
O
b
a
k●
k
k●
a
Hb
a
34
⒊ 一般位置直线的 倾角和线段实长
线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系
V
b?
B
V
b?
B
a? X
ΔZ
O
?
A
b
a
H
a? X
β O
A
b
a
H
要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）
35
直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差.
a
投影特性 ：三个投影均倾斜于投影轴， Y
均不反映实长、倾角.
14
(2) 投影面平行线 水平线 直线平行于 H面，倾斜于 V、W面。 正平线 直线平行于 V面，倾斜于 H、W面。 侧平线 直线平行于 W面，倾斜于 H、V面。
a? b? a? b?
a
b
a? a? a?
b?
b? b?
a
ba
b
a? b?
a' a ? OX a'a”? OZ
（长对正） 两投影连线垂直于投影轴 （高平齐）
a→OX＝a”→OZ （宽相等）
4
[例] 作点A (30,50,50)、B (70,20,0) 的三面投影， 及其空间位置。
45°
6
3. 特殊位置的点 （重点讨论位于投影面上的点）
例：根据点的两面投影求第三投影
Z
a'
x
Y
y
z
X
Z
z
yx
x
y
z
z
z
x
y
y
y
x
45°
点A→W面 ＝ X坐标 ＝ a' →OZ ＝ a→OY 点A→V面 ＝ Y坐标 ＝ a→OX ＝ a'' →OZ 点A→H面 ＝ Z坐标 ＝ a' →OX ＝ a”→OY
⒊点的投影规律（投影关系）
A (x,y,z)
a (x,y,o)
a'(x,o,z) a”(o,y,z)
a? b?
Y
a?b?
z a? b?
X
O
Y
a
b Y
23
侧垂线
Z
a?
a?
b?
a?b?
A
B
X
X
O
a
a
bY
b? Z
O b
YH
a?b? YW
24
例：过点A向右上方作一正平线 AB,使其实长为 25，与H面的倾角? =3例0°题。1
Z
b'
屢
a'
30°
屡
X
O
YW
b a
YH
26
例例:根题据2 直线的两投影判断其空间位置 .
a'
b'
b
a
水平线 28
棱线分析
s′
SA —— 一般位置线 SC —— 侧平线 s″ AC —— 水平线
a′
c′
b′ a″b″
c″
a
b
s
c
29
3. 属于直线的点
点K属于直线AB吗?
V
b′
c ′ B b″
b ′ Z b″
c′
c″
a' k'
a′
C
c″W
a′
X
a″
O
Y
b'
Ac b
a″
aH
b c
a
Y
b k
b
ac
●
b
a?
不在
●
c? b?
另一判断法?
应用定比定理
b
32
例: 在直线AB上取一点C，使其到V面为20。
例: 在直线EF上找一点K,使EK:KF=2:3。
a'
c'
e'
k'
b'
f'
X
OX
O
20
b
f
a
c
e
k
33
例：已知点 K在线段AB上，求点K的正面投影。
解法一： （借助第三投影）
解法二： （应用定比定理）