福州一中2020年5月高三理科数学质检试卷及答案
2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)及其详解
E A
C
PE ， FD ，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9 分 P
又 B PE ， C FD ，所以 B ， C ，
所以 就是点 B,C, D 确定的平面， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10 分
所以
PBC
与平面
PAD
所成二面角的正弦值为
2
7 7
．
ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7
分
（2）因为
E
是棱
PB
的中点，由（1）可得
E
3 2
,
1 2
,1
.
假设棱 CD 上存在点 F ，使得 EF PD ，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ8 分
2020 年福州市高中毕业班质量检测
数学（理科）参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
分
又 a2 a1 2b1 4,b2 b1 2a1 5 ，
所以
a2 a1
b2 b1
45 3
3，
所以 an1 bn1 3 （ n N* ）， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ8 分 an bn
福建省福州第一中学2020届高三下学期教学反馈检测 数学(理)试题(含答案)
1 / 15福州一中2020届高三教学反馈检测理科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，若32i a z i+=+是纯虚数，则实数a=() A.1B.12C.12-D.-22.已知向量,a b r r 满足2||1,||2,()3a b a b ==+=r r r r ，则||a b -=r r ()C.3D.73.已知0.5lg 0.5,,0.5e a b e c ===,e 为自然对数的底数，则() A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.已知α，β是两个不重合的平面，直线111,AA A AA A αβ⋂=⋂=，直线1BB B α⋂=,111111,//,://,:BB B AA BB p q AA BB βαβ⋂==，则p 是q 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，其纸张尺寸的长宽比都是2:1,这种规格的纸张不管对折多少次，都仍是长宽比还是2:1的长方形，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准。
如图是一个A4尺寸的长方形工ABCD 内接于一个半圆，AB>AD,在这个半圆中随机取一点，此点取自长方形ABCD 区域的概率P=22 32 42 2 6.若将函数()2sin(2)02f x x πθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移π6个单位，得到y =g(x)的图象，若函数y=g(x)是偶函数，则函数y=g(x)的单调递减区间为() A.,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B.,()222k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C.,()222k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ D.,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦7.211++A.1A A =+B.1A A =C.2A A =D.2A A =+8.已知数列{}{}*,,n n a b n N ∈都是公差为1的等差数列，且*11113,,a b a b N +=∈,设()*n n a c b n N =∈，则数列{c n }的前7项和等于（）A.17B.26C.35D.44 9.奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四胜制，猜先后由一方先发球，双方轮流先发球，当一方赢得四局胜利时，该方获胜，比赛结束，现有甲、乙两人比赛，根据前期比赛成绩，单局甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，且各局比赛的结果相互独立；如果第一局由乙先发球，则甲以4:0获胜的概率是（）A.0.1024B.0.2304C.0.2048D.0.460810.在棱长为6的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 满足2BE EC =u u u r u u u r ，则三棱锥D 1-AEC 的外接球的表面积是（）A.54πB.70πC.108πD.140π 11.过点A （-8,4）作抛物线y 2=8x 的两条切线l 1,l 2，设l 1,12与y 轴分别交于点B,C ，则△ABC 的外接圆方程为（）A.x 2+y 2+6x-4y-16=0B.x 2+y 2+6x-16=0C.x 2+y 2+5x-6y-12=0D.x 2+y 2-4y-16=0 12.已知函数23()xxx e f x ae x e x =-+-有三个不同的零点123,,x x x ,且123x x x <<，则3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（） A.1B.3C.4D.9第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案
A.①②③
B.②③④
C.①②
D.③④
【答案】C
【解析】①根据题图中的数据，可得 2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①
正确；
理科数学详解（第 2 页共 15 页）
②2013-2015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确； ③中国雪场 2015 比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，但 2015 年的同比增长率比 2014 年提高了 7%，2018 年的同比增长率比 2017 年降低 了 3.3%，所以③错误； ④2016-2018 年，中国雪场滑雪人数增长率为 1970 1510 100% 30.5% ，所以④错误.
A B
且 x 时， f (x) ； x 时， f (x) 0 ， M
O
作出 f (x) 的大致图象，如图. 设 g(x) a(x 1) ，g(x)
2
3
x
恒过 定点 M (1, 0) ，设 A(2, 4 ), B(3, 9 ) ， 结合图 象可 知需考虑 AM ， BM 斜率 .因为
2π )
的周期为
2π
，图象向右平移
1
个周期后得到的函数为
g
(
x)
，
3
3
2
则
g(x)
2 sin[3( x
π )
2π ]
2 sin(3x
π )
，由 3x
π
kπ
π
k
Z
，得
33
3
3
2
x kπ 5π k Z ,取 k 1，得 x 11π ，故选 D.
3 18
18
福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题(解析版)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√53．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×2454．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（ ）A ．1：√2B ．1：4C ．1：（√2+1）D ．1：（√2−1）5．（2x ﹣1）5＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 5（x ﹣1）5，则a 3＝（ ）A ．﹣40B ．40C ．80D ．﹣806．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（ ）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A ．100B ．140C ．190D ．250 8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18 10．设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．√5C ．53D ．54 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =S n n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．312．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e ) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e 3，12e ] D ．[94e 3，43e 2) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ ．14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c （c 为半焦距），则C 的方程为 ．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 ，球O n 的表面积等于 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A +（c ﹣a ）sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE =√62．（1）求B ；（2）求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE＝120°，DF=4√2．（1）证明：EF⊥平面BCE；（2）若BC＝8，AB＝EF，求二面角E﹣AD﹣F的余弦值．19．（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．21．（12分）某医药开发公司实验室有n（n∈N*）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．（1）假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤12+1b 2+12； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 【分析】根据题意，求出集合A ，进而可得∁R A ，由交集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}＝（−23，23），则∁R A ＝（﹣∞，−23]∪[23，+∞），又由B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（﹣∞，−23]∪[23，2）， 故选：C ．【点评】本题考查集合的运算，涉及集合交并补的定义，属于基础题．2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√5 【分析】由复数的模的性质可得：|z |=|4+3i||1−2i|，进而得出结论． 【解答】解：∵（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则|z |=|4+3i||1−2i|=√22√1+(−2)=√5． 故选：B ．【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×245【分析】依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1，a 5＝S 5﹣S 4，可得a 50＝a 5+45d ，即可得出．【解答】解：依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1＝2，a 5＝S 5﹣S 4＝9，∴a 50＝a 5+45d ＝99，故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（）A．1：√2B．1：4C．1：（√2+1）D．1：（√2−1）【分析】设出截前后的棱锥的高，由于截面与底面相似，所以截面面积与底面面积的比，是相似比的平方，求出正棱锥的高被分成的两段之比．【解答】解：设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，ℎH=√12=√22，则此正棱锥的高被分成的两段之比：ℎH−ℎ=√2−1故选：D．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查计算能力，是基础题．5．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a3＝（）A．﹣40B．40C．80D．﹣80【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．【解答】解：∵（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，令x﹣1＝t，则x＝t+1，∴（2t+1）5＝a0+a1t+a2t2+…+a5t5．（2t+1）5展开式的通项为：T r+1＝C5r（2t）5﹣r1r，令5﹣r＝3，求得r＝2，所以，T3＝C52（2t）3＝80x3，即a3＝80，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④【分析】根据折现统计图，结合数据即可判断．【解答】解：根据同比增长情况统计图可知，2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高是错误的，2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约1970−15101510≈30.5%，故结论中正确的是①②故选：C ．【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A．100B．140C．190D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0，m＝10满足条件n是奇数，a＝0，S＝0不满足条件n≥m，n＝2，不满足条件n是奇数，a＝2，S＝2不满足条件n≥m，n＝3，满足条件n是奇数，a＝4，S＝6不满足条件n≥m，n＝4，不满足条件n是奇数，a＝8，S＝14不满足条件n≥m，n＝5，满足条件n是奇数，a＝12，S＝26不满足条件n≥m，n＝6，满足条件n是奇数，a＝18，S＝44不满足条件n≥m，n＝7，满足条件n是奇数，a＝24，S＝68不满足条件n≥m，n＝8，不满足条件n是奇数，a＝32，S＝100不满足条件n≥m，n＝9，满足条件n是奇数，a＝40，S＝140不满足条件n≥m，n＝10，不满足条件n是奇数，a＝50，S＝190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵414=212=√2＜32，∴0＜a ＜32， ∵log 512＞log 5√125=32，而log 512＜log 525＝2，∴32＜b ＜2，∵c ＝log 1319=log 39＝2，∴a ＜b ＜c ，故选：B ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18【分析】求出函数f （x ）的最小正周期，根据图象平移得出函数g （x ）的解析式，再求g （x ）图象的一条对称轴．【解答】解：函数f(x)=2sin(3x +2π3)的最小正周期为T =2π3，f （x ）的图象向右平移12个周期后，得y ＝f （x −π3）＝2sin[3（x −π3）+2π3]＝2sin （3x −π3）的图象，所以函数g （x ）＝2sin （3x −π3）；令3x −π3=π2+k π，k ∈Z ，解得x =5π18+kπ3，k ∈Z ；令k ＝1，得x =11π18，所以g （x ）图象的一条对称轴是x =11π18．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．√5C ．53D ．54【分析】由题设知△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形，c ＝5，在Rt △PFN 中，tan ∠PFN =43，FN ＝10．可得2a ＝2，a ＝1，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为N ．∵|OP |＝|OF |＝|ON |＝c ，则△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形， ∵直线4x ﹣3y +20＝0过点F ，∴c ＝5，在Rt △PFN 中，PF ⊥PN ，∵k PF =43，∴tan ∠PFN =43，FN ＝10． ∴PN ＝8，PF ＝6，则2a ＝2，a ＝1， 则C 的离心率为e =ca =5，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =Sn n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．3【分析】由 a n =S nn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）⇒{S n n }是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，求得S n n，再求nS n −2n 2的最小值．【解答】解：∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =Snn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2），∴n（S n ﹣S n ﹣1）＝S n +2（n ﹣1）n ，即：（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝2（n ﹣1）n ，n ∈N *且n ≥2，∴S n n−S n−1n−1=2，n ≥2．所以数列{S n n}是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，所以S n n=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n ＝n （2n ﹣1），nS n −2n 2=n 2（2n ﹣1）﹣2n 2＝2n 3﹣3n 2，令nS n −2n 2=b n ，即b n ＝2n 3﹣3n 2．∵b n +1﹣b n ＝2（n +1）3﹣3（n +1）2﹣2n 3+3n 2＝6n 2﹣1＞0， 所以b n 在n ∈N *时单调递增，故（b n ）min ＝b 1＝﹣1， 即nS n −2n 2的最小值为﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查数列的综合应用，属于中档题．12．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e3，12e ] D ．[94e 3，43e2) 【分析】原不等式变形可得a(x +1)＜x 2e x ，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x，则有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2ex 图象的下方，作出函数f（x ）及直线的图象，由图象观察，可得到关于a 的不等式组，解出即可得到答案． 【解答】解：由不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0可得a(x +1)＜x 2e x，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x， 依题意，有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2e x 图象的下方，而f ′(x)=2xe x −x 2e x e 2x=x(2−x)e x ，易知函数f （x ）在（﹣∞，0），（2，+∞）单调递减，在（0，2）单调递增，且y ＝a （x +1）恒过定点（﹣1，0），作出函数f （x ）的图象及直线y ＝a （x +1）的图象如下，由图可知，{a(2+1)＜4e 2a(3+1)≥9e 3，解得94e 3≤a ＜43e 2． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的整数解个数问题，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ 6 ．【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得a →•b →=2×3×cos60°＝3，又由|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2，代入数据计算变形即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=2，|b →|=3， 则a →•b →=2×3×cos60°＝3，则|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2＝36， 则|3a →−2b →|＝6； 故答案为：6【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式． 14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c（c 为半焦距），则C 的方程为 x 26+y 23=1 ．【分析】由题意可得可得c 的值，再由EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c可得E 为椭圆的短轴的顶点，可得b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得2c ＝2√3，所以c =√3，因为EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为bc（c 为半焦距），所以bc=1，所以b ＝c =√3，a 2＝b 2+c 2＝6， 所以椭圆的方程为：x 26+y 23=1，故答案为：x 26+y 23=1．【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 4 ．【分析】通过约束条件画出可行域，确定P 的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．【解答】解：点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，P 表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x +y ＝4的距离为OD ，所以当P 在可行域的Q 点时，Q 到圆心O 的距离最大，当AB ⊥OQ 时，AB 最小．Q 的坐标由{x +y =4x =1确定，Q （1，3），OQ =2+32=√10，所以AB ＝2√(√14)2−(√10)2=4． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P 的位置，是解题的关键． 16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 √6π ，球O n 的表面积等于6π4n−1．【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可【解答】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为 由平面几何知识可得1√36a =√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， 同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π（√62）3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1， 故答案为√6π；6π4【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE=√62．（1）求B；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定AE＝CE，并求出它们的表达式，在△BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积．【解答】解：（1）∵a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，由asinA =bsinB=csinC，得：a2+c2﹣ab＝b2，由余弦定理得：cos B=a2+c2−b22ac=12，∵0＜B＜π，∴B＝60°：（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE＝CE，∴CE＝AE=DEsinA=√62sinA，在△BCE中，由正弦定理得CEsinB=BCsin∠BEC=BCsin2A，∴√62sinAsin60°=22sinAcosA，∴cos A =√22， ∵0＜A ＜180°， ∴A ＝45°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB ﹣∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°， ∴CE ＝AE =√3，AB ＝AE +BE =√3+1， ∴S △ABC =12AB ⋅CE =3+√32， 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE ＝120°，DF =4√2． （1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若BC ＝8，AB ＝EF ，求二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【分析】（1）推导出EF ⊥BC ．取CD 中点为G ，连接FG ，推导出四边形CEFG 为平行四边形，从而CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4．DG ⊥GF ，CD ⊥CE ，EF ⊥CE ．由此能证明EF ⊥平面BCE ．（2）推导出CD ⊥平面BCE ．以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为AB ∥EF ，AB ⊥BC ，所以EF ⊥BC ． 取CD 中点为G ，连接FG ，所以CG =DG =12CD =4， 因为CD ∥EF ，EF ＝4，所以CG ∥EF 且CG ＝EF ，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4． 因为DF =4√2，DG 2+GF 2＝DF 2，所以DG ⊥GF ，所以CD ⊥CE ， 因为CD ∥EF ，所以EF ⊥CE ．因为BC ∩CE ＝C ，所以EF ⊥平面BCE ． （2）解：由（1）知，EF ⊥平面BCE ， 因为CD ∥EF ，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．所以A(8，0，4)，B(8，0，0)，E(−2，2√3，0)，F(−2，2√3，4)，D(0，0，8)， 所以AD →=(−8，0，4)，AE →=(−10，2√3，−4)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0，所以{−8x 1+4z 1=0−10x 1+2√3y 1−4z 1=0，取x 1＝1，则n →=(1，3√3，2)，设平面ADF 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，因为AF →=(−10，2√3，0)，所以{AD →⋅n →=0AF →⋅n →=0，所以{−8x 2+4z 2=0−10x 2+2√3y 2=0，取x 2＝1，则m →=(1，5√33，2)，所以cos ＜n →，m →＞=1+3√3×5√33+4√1+(3√3)2+4×√1+(5√33)+4=√154，所以二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值为√154．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题． 19．（12分）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I ）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F （0，1）可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II ）由题意，可A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线方程与（I ）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN |，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I ）由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py （p ＞0）则p2=1，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1， 由{y =kx +1x 2=4y消去y ，整理得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 所以x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，从而有|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1， 由{y =y 1x 1xy =x −2解得点M 的横坐标为x M =2x 1x 1−y 1=2x 1x 1−124=84−x 1， 同理可得点N 的横坐标为x N =84−x 2，所以|MN |=√2|x M ﹣x N |=√2|84−x 1−84−x 2|＝8√2|x 1−x 2x 1x 2−4(x 1+x 2)+16|=8√2√k 2+1|4k−3|，令4k ﹣3＝t ，t ≠0，则k =t+34， 当t ＞0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1＞2√2， 当t ＜0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1=2√2√(5t +35)2+1625≥8√25．综上所述，当t=−253，即k=−43时，|MN|的最小值是8√25．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，构造函数g'（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（1）f'（x）＝1﹣2cos x，由f'（x）＞0得cosx＜12，解得π3+2kπ＜x＜5π3+2kπ（k∈N），由f'（x）＜0得cosx＞12，解得0＜x＜π3或5π3+2kπ＜x＜7π3+2kπ（k∈N），所以f（x）的单调递增区间为(π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈N）；f（x）的单调递减区间为(0，π3)和(5π3+2kπ，7π3+2kπ)（k∈N）．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g'（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，所以3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）=3−2√2sin(x+π4 )＞0，所以g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．（12分）某医药开发公司实验室有n （n ∈N *）瓶溶液，其中m （m ∈N ）瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n +1．（1）假设n ＝5，m ＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．【分析】（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，利用互斥事件概率计算公式能求出结果．（2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），能求出结果．（ii ）P ＝1−e −14，从而E （η）＝n +1﹣n •e −14，进而（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，lnn −n 4＞0，设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，利用导数性质能求出n 的最大值．【解答】解：（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ， “第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，∴P （A ）＝P （B ）+P （C ）=A 21A 21A 31A 53+A 33A 53=310． （2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，∴E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），得n ＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，∴P ＝1﹣（1n）1n ，n ∈N *． （ii ）P ＝1−e −14，∴E （η）＝n +1﹣n •e −14，∴（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，∴lnn −n 4＞0， 设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，当x ∈（0，4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，4）上单调递增，当x ∈（4，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（4，+∞）上单调递减，又f （8）＝ln 8﹣2＞0，f （9）＝ln 9−94＜0，∴n 的最大值为8．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出|PQ |，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【解答】解（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ，即ρ2+ρ2sin 2θ＝4， 将ρ2＝x 2+y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24+y 22=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 22=1，直线l 的普通方程为x −√2y −m ＝0．（Ⅱ）设P （2cos θ，√2sin θ），由点到直线的距离公式得|PQ |=|2cosθ−2sinθ−m|√3=|2√2cos(θ+π4)−m|√3， 由题意知m ≠0，当m ＞0时，|PQ |min =√2−m|3=2，得m ＝2√3+2√2， 当m ＜0时，||PQ |min =√2−m|3，得m ＝﹣2√3−2√2； 所以m ＝2√3+2√2或m ＝﹣2√3−2√2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤1a 2+1b 2+1c 2； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．【分析】（1）作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明；（2）作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明．【解答】证明：（1）由条件abc ＝1，得1a +1b +1c −(a +b +c)=1a +1b +1c −(1bc +1ca +1ab ) =a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2，由二元基本不等式可得a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，a 2b 2+b 2c 2≥2b 2ac ，b 2c 2+c 2a 2≥2c 2ab ， （等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），将上述三个不等式相加，得a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2≥0， ∴a +b +c ≤1a 2+1b2+1c 2； （2）由条件abc ＝1，得1−(12+a +12+b +12+c )=ab+bc+ca+abc−4(2+a)(2+b)(2+c)=ab+bc+ca−3(2+a)(2+b)(2+c)，由三元基本不等式得ab +bc +ca ≥3√ab ⋅bc ⋅ca 3=3（等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），从而得证12+a +12+b+12+c≤1．【点评】本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。
福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题(解析版)
福州市2020届高三理科数学5月调研卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|931A x x =-<，{}|2B y y =<，则()R C A B =I（ ）A. 2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.∅C. 22,,233⎛⎤⎡⎫-∞-⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U D. 22,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合A ，求出R C A ，即可求出结果.【详解】由题意得，2233A xx ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则2233R C A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或， ∴()22,,233R C A B ⎛⎤⎡⎫=-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭I U . 故选:C .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可.【详解】4312i z i +===-故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题. 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549SS -=，则50a =A.99B. 101C.2500 D. 4592⨯【答案】A【解析】依题意212d a a =-=5549a S S =-=50545945299a a d ∴=+=+⨯=故选A4.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为( ) A. 1:2 B. 1:4C. 1:)1D. 1:(3-【答案】C 【解析】 【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.【详解】因为截面面积与底面面积之比为1:2,且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为故小棱锥与大棱锥的高比值也为故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为1:)1.故选：C【点睛】本题主要考查了立体几何中相似比的问题,需要注意高为一维的量,面积为二维的量,体积为三维的量,故若立体图形的相似比为1:a ,则高的比为1:a ,各面积的比为21:a ,体积比为31:a .属于基础题. 5.()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( )A. 40B. 40C. 80D.80-【答案】C 【解析】 【分析】将()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 化为()525012521t a a t t a t a +=++++L ，利用展开式的通项求解即可.【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t +∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是( )①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A. ①②③ B. ②③④C. ①②D. ③④【答案】C 【解析】 【分析】根据图中条形统计图与折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】对①,由条状图可知, 中国雪场滑雪人数逐年增加正确.故①正确. 对②, 2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加正确. 故②正确.对③,中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,但2018年同比增长率为0012.6,相比 2017年同比增长率为0015.9有所下降.故③错误.对④, 2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率为0 01970151030.51510-≈.故④错误.故①②正确.故选：C【点睛】本题主要考查了根据图表分析所给结论是否正确的问题,需要注意图中的横纵坐标的意义,再进行判断分析.属于基础题.7.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m=，则输出的S=（）A. 100B. 140C. 190D. 250【答案】C【解析】由题意得，当输入10m=时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S---=++++++L．计算可得11(8244880)(4163664100)19022S=++++++++=．选C．8.若1451314,log12,log9a b c===，则（）A. b a c<< B. a b c<< C. a c b<< D. c a b<<【答案】B【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<， 所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===， 所以a b c <<， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9.将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( ) A. π18x =B. π6x =C. 7π18x =D. 11π18x =【答案】D 【解析】 【分析】你根据三角函数图像平移求解()gx 的解析式,再求解对称轴逐个选项判断即可.【详解】易得()f x 周期为23π,故12周期为3π,故()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()gx 对称轴为53,32183k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈.当1k =时11π18x =满足条件.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换求解析式以及根据解析式判断对称轴的问题,属于基础题.10.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( ) A. 5B.C.53D.54【答案】A 【解析】 【分析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可.【详解】因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形,如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线. 又O 到直线43200x y -+=的距离2220443d ==+,所以228PF d ==,22226PF FF PF =-=,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =.故离心率5ca=.故选：A【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n=+-（*N n ∈），则22n nS n -的最小值为( ) A. 2- B.1-C.23D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系()11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,将2(1)n n S a n n =+-转换为1,n n S S -的递推公式,继而构造数列求出n S ,再得到22n nS n -关于n 的表达式,进而根据函数的性质可得22n nS n -的增减性求解即可.【详解】由题,当2n ≥时, 12(1)n n n S S S n n -+--=,整理得112n n S S n n --=-,即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首 项,2为公差的等差数列.所以()12121nS n n n=+-=-,故22n S n n =-.所以232232n nS n n n =--,令函数3223,1y x x x =-≥,则()266610y xx x x ='=--≥.故数列{}22n nS n -是一个递增数列,当1n =时,22nnSn -有最小值121-=-.故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系，构造函数求解递推公式与通项公式,并根据函数性质解决数列的最值问题.属于中档题. 12.若关于x 的不等式()210xae x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为( )A. 241[,)32e eB. 391[,)42e eC. 391[,]42e eD. 3294[,)43e e 【答案】D 【解析】 【分析】将原不等式化简成()21xx ae x >+,设()2f x x =,()()1x g x a x e =+再分0a ≤与0a >两种情况,构造函数并分析函数的单调性与最值,再数形结合根据函数零点存在定理列出区间端点满足的不等式求解即可.【详解】将原不等式化简可得()21xx ae x >+.设()2f x x =,()()1x g x a x e =+,则原不等式等价于()()f x g x >.若0a ≤,则当0x >时, ()0f x >,()0g x ≤,所以原不等式的解集中有无数个正整数解,不符合题意,所以0a >.因为()00f =,()00g a =>,所以()()00f g <.当()()11f g ≤,即12a e≥时,设()()()()2h x f x g x x =-≥, 则()()()2'2222x xx e h x x a x ex e+=-+≤-.设()()()2222x x e x x x eϕ+=-≥,则()()()35'2'22022x x e ex eϕϕ+=-≤=-<, 所以()x ϕ在[)2,+∞上为减函数,所以()()()2220x e ϕϕ≤=-<,所以当2x ≥时,()'0h x <,所以()h x 在[)2,+∞上减函数,所以()()23243402eh x h ae≤=-≤-<, 所以当2x ≥时,不等式()()f x g x <恒成立.所以原不等式的解集中没有正整数.所以结合()(),f x g x 的函数图像可得,要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则()()()()()()112233f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩,即23124394ae ae ae >⎧⎪>⎨⎪≤⎩,解得329443a e e ≤<.故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值,从而结合零点存在性定理分析零点存在,从而求得参数范围的问题.需要根据题意将原不等式分成两个函数,再求导分析函数的单调性,进而根据区间端点满足的不等式求解.属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 与b r的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.【答案】6. 【解析】 【分析】求出2(32)a b -r r 即得解.【详解】由题意，向量,a b r r 的夹角为60,2,3a b ==or r ，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=o r r r r r r ，所以326a b -=r r.故答案为：6【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为b c（c 为半焦距），则C 的方程为__________.【答案】22163x y +=【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系分析焦点12EF F V 中三边的关系,再根据椭圆的定义列出关于12EF F V 三边的等式求解即可.【详解】因为12EF EF ⊥,且直线1EF 的斜率为b c,根据斜率的定义可知,倾斜角的正切值21EF bEF c=,故根据比例关系有2112:::::EF EF F F b c b c a ==.故离心率122122F F c c a a a EF EF b c ===++,即c a a b c=+. 故22222a bc c a c bc b bc =+⇒-=⇒=,故b c =.又2c =故b c ==故a ==故C 的方程为22163x y +=.故答案为：22163x y +=【点睛】本题主要考查了根据焦点三角形中的关系求解椭圆方程的问题,需要根据题意,结合三角形中的比例关系以及椭圆的定义进行求解.属于中档题.15.已知点(,)P x y 满足14x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】画出可行域,根据直线与圆的位置关系可知,当圆2214x y +=的圆心()0,0O到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.故求解OP 的最大值,再用垂径定理求解AB 的最小值即可.【详解】画出可行域,易得当圆2214x y +=圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.由图可知,点为()1,3P时,OP 取最大值,此时AB取最小值为4==.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,当圆心到直线的距离最大时弦长最小.属于中档题.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 【答案】 (1). 6π (2).164n π- 【解析】 【分析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球．【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a=，则3OB =，2236()33AO a a a =-=， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得22236)()R R =+-，6R =，所以113663412r AO AO AO R a a =-=-=-=， 114r AO =，133314466()3312216O V r a a πππ===6π=，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即1616()2n n r a -=⨯= 2216644(24n n n n S r πππ-==⨯=． 故答案为：6π；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且2BC =，62DE =.（1）求B ；（2）求ABC V 的面积.【答案】(1) 60B ︒= (2) 332+ 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B ．（2）根据已知条件可以确定AE CE =，并求出它们的表达式，在BCE V 中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A ，BE 的大小，最后求出面积．【详解】解（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b c A B C==得222a c ac b +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， 0B π<<Q ，60B ︒∴=:（2）连接CE ，如下图：D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE CE ∴=，6sin DE CE AE A ∴===， 在BCE V 中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A==∠， 622sin cos A A =，2cos A ∴= 0A Q π<<，45A ︒∴=，75ACB ︒∴∠=，30BCE ACB ACE ︒∴∠=∠-∠=，90BEC ︒∠=，3CE AE ∴==，31AB AE BE =+=+，133·2ABC S AB CE ∆+∴==， 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．18.如图，在五面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，42DF =.（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）154. 【解析】【分析】(1)根据平行的传递性可得EF BC ⊥,再取CD 中点为G ,连接FG ,进而可得四边形CEFG 为平行四边形,再根据勾股定理证明DG GF ⊥,进而得到EF ⊥平面BCE . (2) 以点C 为坐标原点,分别以u u r CB 、CD uuu r 的方向为x 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系C xyz -,再分别求解平面ADE 的法向量与平面ADF 的法向量,进而求得二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为//AB EF ,AB BC ⊥,所以EF BC ⊥.取CD 中点为G ,连接FG ,所以142CG DG CD ===,因为//CD EF ,4EF =,所以//CG EF 且CG EF =,所以四边形CEFG 为平行四边形,所以//CE GF ,且4CE GF ==.因为42DF =222DG GF DF +=,所以DG GF ⊥,所以CD CE ⊥,因为//CD EF ,所以EFCE ⊥. 因为BC CE C =I ,所以EF ⊥平面BCE.（2）由（1）知,EF ⊥平面BCE ,因为//CD EF ,所以CD ⊥平面BCE .故以点C 为坐标原点,分别以u u r CB 、CD uuu r 的方向为x 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 所以(8,0,4),(8,0,0),(2,23,0),(2,23,4),(0,0,8),A B E F D -- 所以(8,0,4),(10,23,4)AD AE =-=--u u u r u u u r ,设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r ,则00AD n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v , 所以11111840102340x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩, 取11x =,则(1,33,2)n =r ,设平面ADF 的法向量为222(,,)m x y z =u r ,因为(10,23,0)AF =-u u u r ,所以00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v , 所以222284010230x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取21x =,则53(1,,2)m=u r ,所以22531334153cos ,531(33)4143n m +⨯+<>==⎛⎫++⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭r u r 所以二面角E AD F --的余弦值为15.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的问题,需要根据题意利用线面平行与垂直的关系求解各边长,再计算法向量求解二面角的余弦值即可.属于中档题.19.已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.【答案】（1）24x y =；（282【解析】【分析】(1)由抛物线的几何性质及题设条件焦点()0,1F，可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出物线C 的标准方程.(2)由题意，可()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，再结合弦长公式求出12x x -，分别求出M x 和N x 即可表示出MN ，最后利用换元法和二次函数，即可求得MN 最小值.【详解】（）由题意可设抛物线C 的方程为()220xpy p =>，则12p =，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-， 从而有12x x -==由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标为1121111122844M x x x x x y x x ===---， 同理可得点N的横坐标为284N x x =-， 所以284M N MN x x =-=- ==， 令43k t -=，0t ≠，则34t k +=， 当0t >时，N M => 当0t <时，5M N ==≥，综上所述，当253t =-，即43k =-时，MN 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，还涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式，同时考查解析几何的基本思想法和运算求解能力.20.已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()x f x e ->.【答案】（1）增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（N k ∈）；减区间为(0,π3)和5π7π(2π,2π)33k k ++（N k ∈）；（2）证明见解析.【解析】【分析】 (1)求导根据余弦函数的值域求解()f x '的正负,进而求得()f x 的单调区间即可.(2)由题即证当0x >时,2()(12sin )1x g x x x e =+->.再对2()(324sin 2cos )x g x x x x e '=+--进行分析,并利用sin x x >对()g x '进行放缩,转换为三角函数合一变形求解范围的问题,进而求得()g x 在(0,)+∞上单调递增证明即可.【详解】（1）()12cos f x x '=-,由()0f x '>得1cos 2x <,解得π5π2π2π33k x k +<<+（N k ∈）, 由()0f x '<得1cos 2x >,解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（N k ∈） 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（N k ∈）；()f x 的单调递减区间为(0,π3)和5π7π(2π,2π)33k k ++（N k ∈）. （2）要证当0x >时,2()x f x e ->,即证当0x >时,2()(12sin )1x g x x x e =+->,222()2(12sin )(12cos )(324sin 2cos )x x x g x x x e x e x x x e '=+-+-=+--,令()sin h x x x =-,则()1cos 0h x x '=-…,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,即sin x x >,所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>, 所以()0g x '>,()g x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)1g x g >=, 故当0x >时,2()x f x e ->.【点睛】本题主要考查了利用导数分析包含正余弦的函数单调性问题,需要结合三角函数的性质以及范围进行求解,同时注意利用放缩将函数转换为只有正余弦的函数进行分析,属于难题.21.某医药开发公司实验室有()*nn N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤.若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η.(i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=【答案】（1）310（2）（ⅰ）()1*11n P n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N （ii ）8 【解析】【分析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i )根据()()E E ξη=，找到P 与n 的函数关系；(ii )根据()()E E ξη>得到关于n 的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前三次均不含有细菌R ”为事件C ，则A B C =U ，且,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+= （2）()()i E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--，所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦， 由()()E E ξη=得1(1)n n n n P =+--， 所以()1*11nP n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ； （ii ）141P e -=-,所以4()1nE n n e η-=+-⋅， 所以4(1)n n n e n -+-⋅<，所以ln 0,4n n -> 设()ln (0)4x f x x x =->， 114()44x f x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0,()f x f x '>在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在(4,)+∞上单调递减 又9(8)ln820,(9)ln 904f f =->=-<， 所以n 的最大值为8 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修44-：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=,0x m -=；（Ⅱ）m =m =-- 【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出˜PO ，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【详解】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=， 消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m -=．（Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得˜PO == 由题意知0m ≠，当0m >时，˜min 2PO ==，得m = 当0m <时，|˜min 2PO ==，得m =-所以m =m =-【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在最值问题中的应用，属于中档题．对于点线距离问题范围（最值）问题，关键是运用参数法，再结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.选修45-：不等式选讲23.已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：21（1）222111a b c a b c ++++„； （2）1111222a b c+++++„. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用基本不等式，结合综合法，利用题中所给的条件，证明即可；（2）利用1的代换，结合三元基本不等式证得结果.【详解】证明：（1）由条件1abc =得 2211122c a b ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立 2211122a b c bc+≥=，当且仅当b c =时等号成立 2211122b c a ca+≥=，当且仅当c a =时等号成立 以上三个不等式相加可得：22211122()a b c ab c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b c ==时等号成立 得证222111a b c a b c ++++„. （2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++，由三元基本不等式得3ab bc ca ++…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++„. 【点睛】该题考查的是有关不等式的证明问题，涉及到的知识点有基本不等式，综合法证明不等式，三元基本不等式，属于中档题目.。
福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题含答案
福州市2020届高三理科数学5月调研卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|931}A x x =-<，{|2}B y y =<，则()A B =R I ðA ．2[,2)3B ．∅C ．22(,][,2)33-∞-UD ．()22,33-2．复数z 满足(12i)43i z -=+，则z =A.5 B.5 C.25 D.453．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a a -=，549S S -=，则50a =A ．99B ．101C ．2500D ．4592⨯4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A ．1:2B ．1:4C ．1:(21)-D ．1:(322)- 5. 若5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则3a =A ．40B ．40-C ．80D ．80- 6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =A ．100B ．140C ．190D ．2508．若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 9. 将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是A ．π18x =B ．π6x = C ．7π18x = D ．11π18x =10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为A ．553D.5411. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)nn S a n n=+-（*n ∈N ），则22n nS n -的最小值为A ．2-B ．1-C ．23D ．312. 若关于x 的不等式()2e 10x a x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为A. 241[,)3e 2eB. 391[,)4e 2e C. 391[,]4e 2eD.3294[,)4e 3e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 和b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||3b =r ，则|32|a b -=r r_______________. 14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为，点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距），则C 的方程为_______________. 15.已知点(,)P x y 满足1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______________.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n …，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，DE 交AB 于点E ，且2BC =，DE =（1）求B ；（2）求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点F 为(0,1). （1）求C 的方程；（2）过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求||MN 的最小值．20.（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）. （1）求()f x 的单调区间； （2）证明：2()e x f x ->. 21.（本小题满分12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟. 若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设P 为C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明： （1）222111a b c a b c ++++…； （2）1111222a b c+++++….福州市2020届高三理科数学5月调研卷参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C 7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 6 14. 22163x y += 15．4，164n -π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分 （2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分18. 【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分 因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分 因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分 （2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CDu u u r的方向为x轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r， 设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分 所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF 的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分 所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分 所以二面角E AD F --． ··············································· 12分19.【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =， 所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-， 同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分 所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分 设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=， 当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN. ······························································· 12分20.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ······························································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ），由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）；()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分 （2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分 所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分 所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分 故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”， 事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=. ···································· 4分 （2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n=-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)en n n n -+-⋅<， ···················· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44xf x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分 又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分22.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分 （2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-==····································· 7分 由题意知0m ≠， 当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-·················································· 10分23.证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222111111111()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c ab b c +---+…， ················································ 4分 得证222111a b c a b c++++…. ··································································· 5分 （2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++…. ··························································· 10分 证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =， 欲证222111a b c a b c ++++…，只需证222abc abc abc a b c a b c ++++…， 即证bc ca ab a b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分 将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc ab c a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c ===时取等号）·········································································· 4分 即bc ca ab a b c a b c++++…成立， 所以原不等式成立. ·············································································· 5分（2）略，同证法一.。
【终稿】福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案
福州市2020届高三理科数学5月调研卷参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C 7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 6 14. 22163x y += 15．4，164n -π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分 （2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分18. 【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分 因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分 因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分 （2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CD uu u r的方向为x轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r， 设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分 所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分 所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分 所以二面角E AD F --． ··············································· 12分19.【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =， 所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-， 同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分 所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分 设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=， 当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN. ······························································· 12分20.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ······························································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ），由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）；()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分 （2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分 所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分 所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分 故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”， 事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=. ···································· 4分 （2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n=-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)en n n n -+-⋅<， ···················· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44xf x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分 又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分22.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分 （2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-==····································· 7分 由题意知0m ≠， 当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-. ··················································· 10分23.证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222111111111()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c abb c +---+…， ················································ 4分 得证222111a b c a b c ++++„. ··································································· 5分（2）由条件1abc =得 111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++„. ··························································· 10分 证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =， 欲证222111a b c a b c ++++„，只需证222abc abc abca b c a b c++++„，即证bc ca aba b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分 将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc abc a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c ===时取等号） ·········································································· 4分 即bc ca aba b c a b c++++…成立， 所以原不等式成立. ·············································································· 5分 （2）略，同证法一.。
福建省福州第一中学2020届高三下学期开学质检数学(理)试题
绝密★启用前 福建省福州第一中学2020届高三下学期开学质检数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==，那么U A C B ⋂= （ ） A ．φ B ．(]0,1 C ．()0,1 D ．()1,+∞ 2．复数()2211i i +++的共轭复数是 A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x ＞3x D ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0 4．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）…………○…………○…………线…………○……※※在※※装※※订※题※※ …………○…………○…………线…………○…… A ．2log 101- B ．22log 31- C ．92 D ．65．一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-36．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．288种 B ．144种 C ．720种 D ．360种7．在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≤0x −y ≤0x 2+y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x+y+1x+3的最小值为( )A ．－1B ．－5√2+17C ．13D ．－758．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…A ．2n n S T = B ．21n n T b =+ C ．n n T a > D ．1n n T b +<9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ） A ． B ． C ． D ．○…………外……线…………○……○…………内……线…………○…… 10．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．22(3,1)e e -+B ．2(3,)e -+∞C ．2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若随机变量()2~2,3X N ，且()()1P X P x a ≤=≥，则()52x a ax ⎛+⋅ ⎝展开式中3x 项的系数是__________．12．已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上，(2,0)A ，(0,2)B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则||2||AN BM +的最小值为__________．13．如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O 上一动点，当cos S B C 取得最大值时，PA PB ⋅u u u r u u u r 的最大值为_______.○…………订…………__班级：___________考号：_______○…………订…………三、解答题 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 15．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===. （1）求证：EF ⊥平面BCF ； （2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 16．已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,x x g x e f x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()y g x =与()y h x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证: ()321222e e a e ++-<<-.参考答案1．C【解析】【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2．B【解析】()()22121121112i i i i i ⋅-++=+-+=++Q ，故其共轭复数是1i - ，选B 3．D 【解析】令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.4．B【解析】【详解】第一次循环，23log 2S i =+=；第二次循环，223log log 3S i =+=；以此类推得第七次循环，222293log log log 3log ,82S i =++=+==L ；结束循环输出229log 2log 312=-，选B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5．D【解析】由茎叶图知727786(80)908157073x y +++++⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得0,3x y ==， 所以3x y -=-，故选D .6．B【解析】【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种 ②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种故选B【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。
2020届福建省福州市高三5月调研卷理科数学试题
福州市2020届高三理科数学5月调研卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|931}A x x =-<，{|2}B y y =<，则()A B =R I ðA ．2[,2)3B ．∅C ．22(,][,2)33-∞-UD ．()22,33-2．复数z 满足(12i)43i z -=+，则z =A.5 B.5 C.25 D.453．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a a -=，549S S -=，则50a =A ．99B ．101C ．2500D ．4592⨯4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A ．1:2B ．1:4C ．1:(21)-D ．1:(322)- 5. 若5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则3a =A ．40B ．40-C ．80D ．80- 6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =A ．100B ．140C ．190D ．2508．若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 9. 将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是A ．π18x =B ．π6x = C ．7π18x = D ．11π18x =10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为A ．553D.5411. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)nn S a n n=+-（*n ∈N ），则22n nS n -的最小值为A ．2-B ．1-C ．23D ．312. 若关于x 的不等式()2e 10x a x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为A. 241[,)3e 2eB. 391[,)4e 2e C. 391[,]4e 2eD.3294[,)4e 3e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 和b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||3b =r ，则|32|a b -=r r_______________. 14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为，点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距），则C 的方程为_______________. 15.已知点(,)P x y 满足1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______________.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n …，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，DE 交AB 于点E ，且2BC =，DE =（1）求B ；（2）求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点F 为(0,1). （1）求C 的方程；（2）过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求||MN 的最小值．20.（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）. （1）求()f x 的单调区间； （2）证明：2()e x f x ->. 21.（本小题满分12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟. 若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设P 为C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明： （1）222111a b c a b c ++++…； （2）1111222a b c+++++….福州市2020届高三理科数学5月调研卷参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C 7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 6 14. 22163x y += 15．4，164n -π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分 （2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分18. 【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分 因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分 因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分 （2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CD uu u r的方向为x轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r， 设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分 所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分 所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分 所以二面角E AD F --． ··············································· 12分19.【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =， 所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-， 同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分 所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分 设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=， 当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN. ······························································· 12分20.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ······························································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ），由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）；()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分 （2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分 所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分 所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分 故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”， 事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=. ···································· 4分 （2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n=-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)en n n n -+-⋅<， ···················· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44xf x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分 又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分22.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分 （2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-==····································· 7分 由题意知0m ≠， 当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-·················································· 10分23.证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222111111111()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c ab b c +---+…， ················································ 4分 得证222111a b c a b c++++…. ··································································· 5分 （2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++…. ··························································· 10分 证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =， 欲证222111a b c a b c ++++…，只需证222abc abc abc a b c a b c ++++…， 即证bc ca ab a b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分 将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc ab c a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c ===时取等号）·········································································· 4分 即bc ca ab a b c a b c++++…成立， 所以原不等式成立. ·············································································· 5分（2）略，同证法一.。
2020届福建省福州市第一中学高三第四次调研数学理科试题(解析版)word
福州一中2020届高三年级理科数学第四次调研试卷1.z 是复数512iz i -=+的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A.35B. 35-C. 15D. 15-2.已知集合{}1A x x =>，{}21xB x =<，则（ ） A. A B R =U B. ()(]R ,0A B ⋂=-∞ð C. (),1A B ⋃=-∞D. A B =∅I3.已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足3log n n b a =，且19a =，237b b +=，则2a =（ ） A. 9B. 27C. 36D. 724.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C对边，且22cos b c a C +=，则A =（ ）A.6πB.56πC.3π D.23π 5.某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ） A. 48B. 144C. 288D. 5766.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点A ，作E 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点,B C ，点()0,0O ，若四边形OBAC 的面积为5，则E 的焦距的最小值是（ ）A. B. C.D.7.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为AD 的中点，则三棱锥1D ACE -的外接球的表面积是（ ） A. 19πB. 40πC. 56πD. 76π8.已知抛物线2:E y x =，直线2y kx =-交抛物线E 于,A B 两点，M 是AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线E 于点N ，且0NA NB ⋅=u u u r u u u r，若1k >，则k 为（ ）A.B.32C. D. 29.已知函数()()3sin ,0f x x ωϕω=+>，若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，那么ω的取值共有（ ） A .2个B. 3个C. 4个D. 5个10.已知21a -<<，且0x ≥时，()5854842xe x a +≥-恒成立，则a的最小值是（ ）A. 1-B. ln 22-C. 1e -D. ln33-11.设不等式组302010x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围是______.12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点M 是椭圆E 上任意一点，点()0,A b ，若AMF ∆的周长的最大值是6b ，则椭圆E 的离心率是______.13.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若248,,a a a 成等比数列，且()122m n a S S =-()*0,,N m n m n >>∈，则m =______，n =______.14.已知函数()231,02ln 6,0ax x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是______.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan 2tan 0b A b c B ++=. （1）求A ；（2）若2222a b c =+，ABC ∆的周长为32+，求ABC ∆的面积.16.如图，底面ABCD 是边长为2且60BAD ∠=︒的菱形，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ，且2DE =，1AF =.（1）求证：平面ACE ⊥平面BDE ；（2）点G 在线段CE 上，且三棱锥D BGE -的体积是三棱锥D BGC -的体积的两倍，求二面角G BF E --的正弦值.17.已知圆M 的半径为5，圆心M 在y 轴的正半轴，直线12:1,:4310l x l x y =--=被圆M 截得的弦长分别为12,d d ，且122d d =. （1）求圆M 的方程；（2）问与直线12,l l ，x 轴，y 轴都相切的圆G 是否存在，若存在请求出所有满足条件的圆G 的方程，若不存在也请说明理由.18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表，再根据列联表，能否有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异?超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82819.已知函数()()()ln 0f x ax b x a =++≠.（1）当0a b +=时，试讨论函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的极值； （2）若()3f x x ≤恒成立，求2a b的最大值.20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线222:1248x y C +=.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C ､2C 的极坐标方程；（2）射线():0l θαρ=≥与曲线1C ､2C 分别交于异于原点O 的点A ､B ，当02πα<<时，求22OB OA-u u u r u u u r 的最小值.21.已知函数()f x =R .（1）求实数d 的取值范围；（2）设实数m 为d 的最大值，若正数,,a b c 满足2a b c m ++=，求111123a b c +++++的最小值.福州一中2020届高三年级理科数学第四次调研试卷1.z 是复数512iz i -=+的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A.35B. 35-C. 15D. 15-【答案】A 【解析】 分析】根据复数运算法则化简，求出复数的共轭复数，由复数概念可得结论.【详解】511(1)(2)131322(2)(2)555i i i i i z i i i i i -----=====-+++-Q ， 1355z i ∴=+， 所以z 的虚部为35.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭，复数的虚部，属于容易题. 2.已知集合{}1A x x =>，{}21xB x =<，则（ ） A. A B R =U B. ()(]R ,0A B ⋂=-∞ð C. (),1A B ⋃=-∞ D. A B =∅I【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B ，分别运算即可求解. 【详解】{}21=(,0)xB x =<-∞Q ,()()()R ,0,0(1,),A B R A B A B A B ∴⋃≠⋂=-∞⋃=-∞⋃+∞⋂=∅，，ð,故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，补集运算，属于容易题.3.已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足3log n n b a =，且19a =，237b b +=，则2a =（ ） A. 9 B. 27 C. 36 D. 72【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算由237b b +=可得723=3a a ，利用等比数列性质求解即可.【详解】237b b +=Q3233323log +log log 7a a a a ∴== 723=3a a ∴19a =Q ，∴337222232211=39a a a a a a a a a =⋅⋅==，32327a ∴==，故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，对数的运算，属于容易题. 4.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且22cos b c a C +=，则A =（ ）A.6πB.56π C.3πD.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件结合余弦定理可化简为关于边的式子，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理知，22222cos 22a b c b c a C a ab+-+==⋅， 即22222b bc a b c +=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==-，0A π<<Q ，23A π∴=, 故选：D【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，属于中档题.5.某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ）A. 48B. 144C. 288D. 576【答案】C 【解析】 【分析】根据题意相邻可以考虑“捆绑”法，不相邻考虑“插空法”即可求解. 【详解】分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有2323A A 种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有24A 种不同方法，故第一类有232234144A A A =种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法， 由分类加法计数原理知，共有144144288+=种站法， 故选：C【点睛】本题主要考查了排列的综合应用，分类加法计数原理，属于中档题.6.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点A ，作E 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点,B C ，点()0,0O ，若四边形OBAC 的面积为5，则E 的焦距的最小值是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知OAC ∆为等腰三角形，利用渐近线斜率可求出高，表示出四边形面积，利用重要不等式求最值即可.【详解】如图：在OAC ∆中，由双曲线渐近线可知COA CAO ∠=∠, 作CE OA ⊥,则E 是AO 中点，tan 2b CE CE k COA a a OE=∠===Q ， 2b CE ∴=， ∴四边形面积2=522a bS =⨯⨯，即10ab =，又222220c a b ab =+≥=，当且仅当=10a b =25c ∴≥ 245c ∴≥故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，不等式求最值，属于中档题.7.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为AD 的中点，则三棱锥1D ACE -的外接球的表面积是（ ） A. 19π B. 40πC. 56πD. 76π【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到棱锥各顶点距离相等即可求出球心坐标，写出半径即可求球的表面积.【详解】如图，以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(4,0,0),(2,0,0),(0,0,4)A E D ，因为1DB ⊥平面1ACD ，且过1ACD ∆的中心， 所以球心O 在直线1DB 上，设球心(,,)O a a z ，则1OA OE OD ==，即222222222222(4)(2)(4)(4)a a z a a z a a z a a z ⎧-++=-++⎨-++=++-⎩解得3,3a z ==， 即球心为(3,3,3)O ，所以222(34)3319R OA ==-++= 所以2476S R ππ==, 故选：D【点睛】本题主要考查了球的几何性质，向量的坐标运算，球的面积公式，属于中档题.8.已知抛物线2:E y x =，直线2y kx =-交抛物线E 于,A B 两点，M 是AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线E 于点N ，且0NA NB ⋅=u u u r u u u r，若1k >，则k 为（ ） A.2B.32C. 3D. 2【答案】B 【解析】【分析】设()()()22112200,,,,,A y y B y y M x y ,()200,N y y =,根据向量运算可得2120310y y y ⋅++=，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求解k . 【详解】设()()()22112200,,,,,A y y B y y M x y ，则()200,N y y =，()()222210102020,,NA y y y y NB y y y y =--=--u u u v u u u v由0NA NB ⋅=u u u r u u u r，()()()()2222102010200y y yy y y y y ∴--+--=，()()102010y y y y ∴+++=，()212012010y y y y y y ∴⋅++++=，① 即2120310y y y ⋅++=，由22y x y kx ⎧=⎨=-⎩得220ky y --=， 当180k ∆=+>，即18k >-时 121212,y y y y k k+=⋅=-，代入①得：223104k k-++= 即24830k k -+=，解得32k =或12k =（舍去），故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量运算，属于难题. 9.已知函数()()3sin ,0f x x ωϕω=+>，若36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，那么ω的取值共有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】D【解析】【分析】 根据36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=可知56π是4T 的奇数倍，由()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可知2366T πππ-=…，求出T 的取值个数即可得到ω的取值个数. 【详解】36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，()0f π=, 2164n T ππ-∴-=⋅ 103(21)T n π=-, ()f x Q 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 2366T πππ∴-=…, 3T π∴…, 即103(21)3n n π-…, 2110n ∴-≤，1,2,3,4,5n ∴=，即周期T 有5个不同取值，所以ω的取值共有5个，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，正弦函数的周期，单调性，属于中档题.10.已知21a -<<，且0x ≥时，()5854842x e x a +≥-恒成立，则a 的最小值是（ ） A. 1-B. ln 22-C. 1e -D. ln33-【答案】B【解析】【分析】设()()5854248x f x e x a =--+，0x ≥，原不等式转化为()min 0f x ≥成立，利用导数研究函数的最小值，利用最小值不小于0，可求出a 的范围，从而求其最小值.【详解】设()()5854248x f x e x a =--+，0x ≥，下面先求()min f x ，且()min 0f x ≥；()()()()()242240222,*x x x f x e x a e x a e x a ⎡⎤'=+-+--+⋅⋅⋅⎣⎦ 当0x ≥时，2210x e x a a +-≥->，设()22x h x e x a =-+，()2220x h x e '=-≥，()h x 在[)0,+∞增，故()()01h x h a ≥=+，当11a -≤<时()0f x '≥，故()()505340f x f a ≥=+>，满足题设；当21a -<<-时，()010h a =+<，()221240h e a e =-+>->，则()00,1x ∃∈使()00h x =，即02020x e x a -+=，且()f x 在[)00,x 减，在()0,x +∞增，则()()008100min 5448x x f x f x ee ==-+， 记()0221x t e t e =<<，则()()4505448f x g t t t ==-+，()()32010g t t t '=-<，()g t 在()21,e 减，由()0g t ≥，即()()2g t g ≥，知12t <≤，即0212x e <≤， 故010ln 22x <≤， 设()22x P x x e =-，则()()2210x P x e'=-≤， 故()P x 在[)0,+∞减，故()01ln 22a P x P ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即ln22a≥-，因此a的最小值是ln22-.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立，利用导数研究函数的最值，分类讨论的思想，属于难题.11.设不等式组302010xyx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为M，若直线y kx=经过区域M内的点，则实数k的取值范围是______.【答案】2,2 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数y kx=的图象是过点O(0，0)，斜率为k的直线l,故由图即可得出其范围.【详解】作出可行域如图：因为函数y kx=的图象是过点O (0，0)，且斜率为k的直线l,由图知，当直线l过点A (1，2)时, k取最大值2,当直线l过点B (3，2)时，k取最小值2 3 ,故实数k的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：2,2 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值，数形结合的思想，属于中档题.12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点M 是椭圆E 上任意一点，点()0,A b ，若AMF ∆的周长的最大值是6b ，则椭圆E 的离心率是______.【解析】【分析】 根据椭圆的定义可转化3AM MF AF a AM MF ++=+-'，利用平面几何性质求最大值，建立a ,b 关系，即可求解离心率.【详解】设F '是椭圆的左焦点，()0,A b Q ，AF AF a ∴='=，AMF ∆的周长为3AM MF AF a AM MF ++=+-'，∴当,,A F M '三点共线时，()max AM MF AF a -='='，AMF ∴∆的周长的最大值为46a b =，()2222499a b a c ∴==-，2259c a ∴=3e ∴=【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.13.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若248,,a a a 成等比数列，且()122m n a S S =-()*0,,N m n m n >>∈，则m =______，n =______.【答案】 (1). .6 (2). 5【解析】【分析】由等差数列{}n a 的公差d 不为0,运用等比中项的性质，化简可得1=a d ,再由等差数列的求和公式，化简可得12(1)()m n m n =++-, 通过*0,,m n m n N >>∈,列举判断即可得到所求.【详解】248,,a a a Q 成等比数列,2428a a a ∴=⋅,即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+ ，解得1=a d ，()12(1)(1)1222()22m n m m n n a d S S md d nd --==-=+--， 即12(1)()m n m n =++-， *0,,m n m n N >>∈Q ，14,3m n m n ∴++≥-≤，112,1m n m n ++=-=时，6,5m n ==，符合题意，16,2m n m n ++=-=时，73,22m n ==，不符合题意， 14,3m n m n ++=-=时，3,0m n ==，不符合题意，6,5m n ∴==，故答案为：6，5【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，等差数列的前n 项和，属于中档题.14.已知函数()231,02ln 6,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是______.【答案】()2,0-【解析】【分析】设()()()g x f x f x =+-，判断()g x 为偶函数，考虑x >0时，()g x 的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到a 的范围.【详解】设()()()g x f x f x =+-，则()g x 在()(),00,-∞⋃+∞是偶函数，当0x >时，()22ln 631a g x x x x x=-+-+， 由()0g x =得232ln 63a x x x x x =-++，记()232ln 63h x x x x x x =-++， ()22ln 1293h x x x x '=-++，()218120h x x x''=+-≥， 故函数()h x '在()0,∞+增，而()10h '=，所以()h x 在()0,1减，在()1,+∞增，()12h =-，当x →+∞时，()h x →+∞，当0x +→时，()0h x -→， 因此()g x 的图象为因此实数a 的取值范围是()2,0-.【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan 2tan 0b A b c B ++=.（1）求A ；（2）若2222a b c =+，ABC ∆2，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23A π=（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理及同角三角函数基本关系可统一为三角函数，化简即可求解，也可切化弦后利用正弦定理及余弦定理，统一为边的关系，化简再利用余弦定理即可求解（2）由余弦定理及周长,可求出b ,c ,利用面积公式求解即可. 【详解】（1）.解法一：()sin 2sin sin sin sin 0cos cos B C B B A A B++=， 即sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C A ++=故sin 2sin cos 0C C A +=， 因此1cos 2A =-， 由0A π<< 所以23A π= 解法二：()2sin sin 0cos cos b c B b A A B ++=，()2sin cos 0cos sin b c B B A b A ++=， 即22222220a c b b c b c a b+-++=+- 化简得2220bc b c a ++-=， 因此1cos 2A =-， 由0A π<<， 所以23A π=（2）由23A π=知222a b c bc =++ 故22222b c bc b c ++=+，故b c =故a =故()3232c +=+， 故1c =，1b =，所以13sin 24S bc A == 因此ABC ∆的面积为34. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题. 16.如图，底面ABCD 是边长为2且60BAD ∠=︒的菱形，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ，且2DE =，1AF =.（1）求证：平面ACE ⊥平面BDE ；（2）点G 在线段CE 上，且三棱锥D BGE -的体积是三棱锥D BGC -的体积的两倍，求二面角G BF E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）14. 【解析】【分析】（1）证明AC ⊥平面BDE ，即可由线面垂直得面面垂直（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，根据法向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为AF ⊥平面ABCD ，DE AF P ，所以DE ⊥平面ABCD ，故AC DE ⊥又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥故AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ，因此平面ACE ⊥平面BDE（2）解法一：取线段AB 中点N ，连接DN ，以点D 为原点O ，分别以,,DN DC DE u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因为2D BGE D BGC V V --=，所以2EG GC = 则点()3,1,0A -，)3,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2E ， 1123,,333BG BC CE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ，()0,2,1BF =-u u u v ，()3,1,2BE =--u u u v 设平面GBF 的法向量为()111,,m x y z =v ，则()()33,1,20,0,2,10,m m ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩v v 可取(5,33,63m =v 设平面EBF 的法向量为()222,,n x y z =v ，则()()3,1,20,0,2,10,n n ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩v v 可取)3,1,2n =v 故15cos ,m n =v v 因此二面角G BF E --的正弦值为14. 解法二：前同法一，平面GBF 的法向量为(5,33,63m =v 点E 到平面GBF 的距离30cos ,10EB m h EB EB m m ⋅=⋅==u u u v v u u u v u u u v v v 作EQ FB ⊥于点Q ，由5FB FE ==22EB =230EQ = 因此二面角G BF E --的正弦值为h EQ ，即14. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题.17.已知圆M 圆心M 在y 轴的正半轴，直线12:1,:4310l x l x y =--=被圆M 截得的弦长分别为12,d d ，且122d d =.（1）求圆M 的方程；（2）问与直线12,l l ，x 轴，y 轴都相切的圆G 是否存在，若存在请求出所有满足条件的圆G 的方程，若不存在也请说明理由.【答案】（1）()2235x y +-=（2）存在，22111224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】（1）设圆心()0,,0M m m >，根据圆的平面几何性质求弦长即可求出m,即可求出圆的标准方程（2）根据条件判断若有则圆心在()0y x x =≠或()0y x x =-≠上，分类讨论，根据圆心到切线距离等半径求解即可.【详解】（1）设圆心()0,,0M m m >，则圆M 被直线1l 截得的弦长为14d ==，所以22d =，又2d = 所以23145m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3m = 故圆M 的方程为()2235x y +-=（2）与x 轴，y 轴都相切的圆，其圆心在直线()3:0l y x x =≠或直线()4:0l y x x =-≠①若圆心()(),0G t t t ≠，则圆心G 到直线1l 的距离11h t =-，圆心G 到直线2l 的距离2115h t =- 由12h h =得1t =，此时120h h ==，舍去②若圆心()(),0G t t t -≠，则圆心G 到直线1l 的距离11h t =-，圆心G 到直线2l 的距离21715h t =- 由12h h =得12t =或2t =-，当2t =-时，圆心为()2,2G -，不合题意，舍去；当12t=时，圆心11,22G⎛⎫-⎪⎝⎭，符合题设,综上，满足题设的圆G有且仅有一个，其方程为22111224 x y⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆相切，点到直线的距离，属于中档题.18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表，再根据列联表，能否有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异?超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析，（2）中位数为79，列联表见解析，有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异【解析】【分析】（1）观察茎叶图数据，可从均值，中位数，分布的对称性多个角度说明即可（2）求出中位数，列出22⨯列联表，计算2K，与临界值对比即可得出答案.【详解】（1）第二种生产方式的效率更高理由如下：解法一：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有80%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有80%的工人完成生产任务所需时间至多78分钟，因此第二种生产方式的效率更高解法二：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为87分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟，因此第二种生产方式的效率更高解法三：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高解法四：由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上四种理由，答出其中一种或其他合理理由均可.（2）由茎叶图知7880792m+==列联表如下：由于()22401616447214.410.828202020205K⨯-⨯===>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异【点睛】本题主要考查了茎叶图，利用2K 独立性检验，属于中档题.19.已知函数()()()ln 0f x ax b x a =++≠.（1）当0a b +=时，试讨论函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的极值； （2）若()3f x x ≤恒成立，求2a b 的最大值.【答案】（1）①当0a >时， ()f x 在()1,+∞上单调递增， ()f x 无极值，②当0a <时， ()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减， ()f x 的极大值()ln a -， ()f x 无极小值（2）243e 【解析】 【分析】（1）求出导数，分0a >，0a <两类讨论求函数的单调区间及极值（2）原不等式恒成立转化为()()ln 20g x ax b x =+-≤恒成立，对()g x 求导数，分0a >，0a <两种情况讨论，求出最小值()g x ，可得ln 22a a a b -≤，构造函数()33ln22aa a M a -=，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）()()ln 1f x a x x =-+⎡⎤⎣⎦①当0a >时，()f x 的定义域为()1,+∞，()01xf x x '=>-， ()f x 在()1,+∞上单调递增，且()f x 无极值②当0a <时，()f x 的定义域为(),1-∞，()1xf x x '=-， ()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，当0x =时，()f x 取得极大值()ln a -，且()f x 无极小值 （2）()ln 2ax b x +≤，()()ln 2g x ax b x =+-. 若0a <，由0ax b +>知b x a <-，取0b x a <-，使得()02ln 1bax b a+=-+， 则()00212bg x x a=-+-，而210ba axb e++=，210baebb x aa-+-=<-所以022b x a ->，所以()022110b bg x a a>-++=>，与()00g x ≤矛盾 故0a >，且()22222a b a x ax a b a g x ax b ax b-⎛⎫-- ⎪-+-⎝⎭'==++， 故()g x 在2,2b a b a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在2,2a b a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，因此()min 22ln 0222a b a a b g x g a a --⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，故ln 22a a ab -≤ 所以332ln22aa a ab -≤记()33ln 22a a a M a -=，则()232ln 223a a M a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，则()M a 在230,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在232,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，因此()223max423M a M e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当232a e =，2313b e =时，2a b 取得最大值243e .【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式恒成立，分类讨论，属于难题.20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线222:1248x y C +=.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C ､2C 的极坐标方程；（2）射线():0l θαρ=≥与曲线1C ､2C 分别交于异于原点O 的点A ､B ，当02πα<<时，求22OB OA-u u u r u u u r 的最小值.【答案】（1）1:C ρθ=，22224:12sin C ρθ=+（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化公式求解即可（2）根据极坐标的几何意义可得2OB ，2OA ，表示出22OB OA -后利用均值不等式求最值即可，也可利用导数求最值.【详解】（1）由x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩消元得：22(3x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得1:C ρθ=，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入222:1248x y C +=， 化简得22224:12sin C ρθ=+（2）解法一：由（1）知，222224,12cos 12sin OB OA αα==+ 故()222224612sin 1818612sin OB OA αα-=++-≥=+ 当且仅当()2224612sin 12sin αα=++，即21sin 2α=时上式取等号 因为02πα<<，故4πα=时，22OB OA -取得最小值6 解法二：由（1）知，222224,12cos 12sin OB OA αα==+ 22222412cos 12sin OB OA αα-=-+， 设()222412cos ,012sin 2f x πααα=-<<+， 则()()()22224sin 232sin sin sin 12sin f x ααααα⎛⋅++- ⎝⎭⎝⎭'=+故()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 故4πα=时，()f x 取得最小值6. 即4πα=时，22OB OA -取得最小值6. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程，利用极坐标求最值，均值不等式，导数，属于中档题. 21.已知函数()f x =R .（1）求实数d 的取值范围；（2）设实数m 为d 的最大值，若正数,,a b c 满足2a b c m ++=，求111123a b c +++++的最小值. 【答案】（1）(],6-∞-（2）314【解析】 【分析】（1）由题意转化为不等式26d x x ≤--恒成立问题，再去绝对值转化为分段函数求最值即可（2）变形所求式子，利用均值不等式求最值即可求解. 【详解】（1）当x ∈R 时，26d x x ≤--恒成立设()26g x x x =--，则()12,6312,0612,0x x g x x x x x ->⎧⎪=-+<≤⎨⎪-+≤⎩因此6x =时()g x 取得最小值6- 故实数d 的取值范围是(],6-∞-（2）由（1）知6m =-，因此36a b c ++=111123a b c +++++ ()()()()()()()()()123123123142123a b c a b c a b c a b c +++++++++++++++⎡⎤=++⎢⎥+++⎣⎦1213132342121323b a c a c b a b a c b c ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1342⎡≥+⎢⎣ 314= 当且仅当13a =，12b =，11c =时上式取等号， 此时111123a b c +++++取得最小值314【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最值，基本不等式的应用，属于难题.。
福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题
福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2|931A x x =-<，{}|2B y y =<，则()R C A B =I （ ） A ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．∅ C ．22,,233⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a = A ．99 B ．101 C ．2500 D ．4592⨯ 4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:)1D ．1:(3- 5．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( )A ．40B ．40C ．80D ．80- 6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是( )①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入m =10，则输出的S =（ ）A ．100B ．140C ．190D ．2508．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 9．将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( )A ．π18x =B ．π6x =C ．7π18x =D ．11π18x = 10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( ) A ．5 BC ．53D ．5411．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n =+-（*N n ∈），则22n nS n -的最小值为( )A ．2-B ．1-C ．23D ．312．若关于x 的不等式()210x ae x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为( )A ．241[,)32e e B ．391[,)42e e C ．391[,]42e e D ．3294[,)43e e 13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.14．椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，焦距为点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距），则C 的方程为__________. 15．已知点(,)P x y 满足14x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_________.16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球nO 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.17．如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且2BC =，DE =.（1）求B ；（2）求ABC △的面积.18．如图，在五面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值.19．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.20．已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()x f x e ->.21．某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤.若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η.(i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ|的最小值为2，求m 的值． 23．已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c ++++„； （2）1111222a b c+++++„.参考答案1．C【解析】【分析】先化简集合A ，求出R C A ，即可求出结果.【详解】 由题意得，2233A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则2233R C A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或， ∴()22,,233R C A B ⎛⎤⎡⎫=-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭I U . 故选:C .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可.【详解】 4312i z i +===- 故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.3．A【解析】依题意212d a a =-=5549a S S =-=50545945299a a d ∴=+=+⨯=故选A4．C【解析】【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.【详解】因为截面面积与底面面积之比为1:2,且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为1:故小棱锥与大棱锥的高比值也为故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为1:)1.故选：C【点睛】本题主要考查了立体几何中相似比的问题,需要注意高为一维的量,面积为二维的量,体积为三维的量,故若立体图形的相似比为1:a ,则高的比为1:a ,各面积的比为21:a ,体积比为31:a .属于基础题.5．C【解析】【分析】将()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 化为 ()525012521t a a t t a t a +=++++L ，利用展开式的通项求解即可.【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t + ∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【解析】【分析】根据图中条形统计图与折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】对①,由条状图可知, 中国雪场滑雪人数逐年增加正确.故①正确.对②, 2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加正确. 故②正确.对③,中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,但2018年同比增长率为0012.6,相比 2017年同比增长率为0015.9有所下降.故③错误.对④, 2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率为001970151030.51510-≈.故④错误. 故①②正确.故选：C【点睛】本题主要考查了根据图表分析所给结论是否正确的问题,需要注意图中的横纵坐标的意义,再进行判断分析.属于基础题.7．C【解析】由题意得，当输入m =10时，程序的功能是计算并输出S =12−12+222+32−12+422+⋯+92−12+1022．计算可得S =12(8+24+48+80)+12(4+16+36+64+100)=190．选C ． 8．B【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<， 所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===， 所以a b c <<，故选：B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9．D【解析】【分析】你根据三角函数图像平移求解()g x 的解析式,再求解对称轴逐个选项判断即可.【详解】易得()f x 周期为23π,故12周期为3π,故()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()g x 对称轴为53,32183k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈.当1k =时11π18x =满足条件. 故选：D【点睛】 本题主要考查了三角函数图像变换求解析式以及根据解析式判断对称轴的问题,属于基础题.【解析】 【分析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形, 如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.又O 到直线43200x y -+=的距离4d ==,所以228PF d ==,6PF ==,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率5ca=.故选：A 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.【解析】 【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系()11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,将2(1)n n Sa n n =+-转换为1,n n S S -的递推公式,继而构造数列求出n S ,再得到22n nS n -关于n 的表达式,进而根据函数的性质可得22n nS n -的增减性求解即可.【详解】由题,当2n ≥时, 12(1)n n n S S S n n -+--=,整理得112n n S S n n --=-,即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首 项,2为公差的等差数列.所以()12121nS n n n=+-=-,故22n S n n =-. 所以232232n nS n n n =--,令函数3223,1y x x x =-≥,则()266610y x x x x ='=--≥.故数列{}22n nS n -是一个递增数列,当1n =时,22nnSn -有最小值121-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系，构造函数求解递推公式与通项公式,并根据函数性质解决数列的最值问题.属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】将原不等式化简成()21xx ae x >+,设()2f x x =,()()1x g x a x e =+再分0a ≤与0a >两种情况,构造函数并分析函数的单调性与最值,再数形结合根据函数零点存在定理列出区间端点满足的不等式求解即可. 【详解】将原不等式化简可得()21xx ae x >+.设()2f x x =,()()1xg x a x e =+,则原不等式等价于()()f x g x >.若0a ≤,则当0x >时, ()0f x >,()0g x ≤,所以原不等式的解集中有无数个正整数解,不符合题意,所以0a >.因为()00f =,()00g a =>,所以()()00f g <. 当()()11f g ≤,即12a e≥时,设()()()()2h x f x g x x =-≥, 则()()()2'2222x xx e h x x a x ex e+=-+≤-. 设()()()2222x x e x x x eϕ+=-≥,则()()()35'2'22022x x e ex eϕϕ+=-≤=-<, 所以()x ϕ在[)2,+∞上为减函数,所以()()()2220x e ϕϕ≤=-<, 所以当2x ≥时, ()'0h x <,所以()h x 在[)2,+∞上为减函数,所以()()23243402eh x h ae ≤=-≤-<, 所以当2x ≥时,不等式()()f x g x <恒成立.所以原不等式的解集中没有正整数. 所以结合()(),f x g x 的函数图像可得,要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则()()()()()()112233f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩,即23124394ae ae ae >⎧⎪>⎨⎪≤⎩,解得329443a e e ≤<. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值,从而结合零点存在性定理分析零点存在,从而求得参数范围的问题.需要根据题意将原不等式分成两个函数,再求导分析函数的单调性,进而根据区间端点满足的不等式求解.属于难题. 13．6. 【解析】 【分析】求出2(32)a b -r r 即得解.【详解】由题意，向量,a b r r 的夹角为60,2,3a b ==or r ，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=o r r r r r r ，所以326a b -=r r.故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．22163x y +=【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系分析焦点12EF F V 中三边的关系,再根据椭圆的定义列出关于12EF F V 三边的等式求解即可.【详解】因为12EF EF ⊥,且直线1EF 的斜率为b c,根据斜率的定义可知,倾斜角的正切值21EF bEF c=,故根据比例关系有2112:::::EF EF F F b c b c a==. 故离心率122122F F c c a a a EF EF b c ===++,即c a a b c=+. 故22222a bc c a c bc b bc =+⇒-=⇒=,故b c =.又2c =故b c ==故a ==故C 的方程为22163x y +=.故答案为：22163x y +=【点睛】本题主要考查了根据焦点三角形中的关系求解椭圆方程的问题,需要根据题意,结合三角形中的比例关系以及椭圆的定义进行求解.属于中档题. 15．4 【解析】 【分析】画出可行域,根据直线与圆的位置关系可知,当圆2214x y +=的圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.故求解OP 的最大值,再用垂径定理求解AB 的最小值即可. 【详解】画出可行域,易得当圆2214x y +=圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.由图可知,点为()1,3P 时, OP 取最大值,此时AB 取最小值为4==.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,当圆心到直线的距离最大时弦长最小.属于中档题.16 164n π- 【解析】 【分析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R R =+-，R R =，所以113412r AO AO AO R a a =-=-=-=， 114r AO =，1333144)33O V r a ππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即11()1222n n n r a -=⨯=，2216444n n n S r πππ-==⨯=．；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．17．(1) 60B ︒=【解析】 【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B 。
福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案
福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。
2020年福州市高中毕业班质量检测(理科数学) 详解
俯视图，则该三棱锥的体积为
A． 81
B． 27
C．18
D． 9
高三数学（理科）—1—（共 21 页）
正视图 俯视图
【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图，三棱锥的体积等基础知识，意在考查直观
想象，逻辑推理和数学运算的数学核心素养．
【答案】B
【解析】已知条件可以确定该几何体为三棱锥，其高为 6，底面积为俯视图中三角形的面积
a2 + b2
c
a
离心率为 2．故选 C．
解法二：因为 AB = 2 ，圆的半径为 2 ，所以圆心到渐近线的距离为
3
，渐近线
l1
:
y
=
b a
x
与
y
轴的夹角为 30° ，则渐近线 l1
的倾斜角为 60° ，故
b a
=
3 ，所以
b2 a2
= 3 ，所以
c2 − a2 a2
=3，
所以 C 的离心率 e= c= 2 ．故选 C． a
7．已知函数 f (x) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 − ln(−x) ，则曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切
线方程为 A． x − y =0
B． x − y − 2 =0
C． x + y − 2 =0
D． 3x − y − 2 =0
【命题意图】本题主要考查函数奇偶性，导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推理、直
S = 36 − 9 − 2 × 1 × 3× 6 = 27 ，所以该三棱锥的体积为V = 1 × 27 × 6 = 27 ．故选 B．
22
2
32
4． 2021 年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式， 即除语文、数学、外语 3 门必选科目外，考生再从物理、 历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为 政治 选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学
(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案
福州市2020届高三理科数学5月调研卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|931}A x x =-<，{|2}B y y =<，则()A B =R I ðA ．2[,2)3B ．∅C ．22(,][,2)33-∞-UD ．()22,33-【答案】C【解析】由题意得，22{|}33A x x =-<<，则22{|}33A x x x=-R 或剠ð，∴()22(,][,2)33A B =-∞-R I U ð.故选C.2．复数z 满足(12i)43i z -=+，则z =C. D.【答案】B【解析】解法一：43i (43i)(12i)211i12i (12i)(12i)5z +++-+===--+，z == B.解法二：因为(12i)43i z -=+5=，所以z = B. 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =A ．99B ．101C ．2500D ．4592⨯【答案】A【解析】依题意得，等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选A.4.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A ．1:2B ．1:4C ．1:1)D ．1:(3-【答案】C【解析】设原棱锥的高为H ，截后小棱锥的高为h ，由于截面与底面相似，所以212h H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2h H =，∴:()1:(21)h H h -=-．故选C ． 5. 若5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则3a =A ．40B ．40-C ．80D ．80- 【答案】C【解析】因为5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1x t -=，则1x t =+，所以5250125)21(t a a t a a t t +=++++L ，5(2)1t +展开式的通项为515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，解得2r =，所以23335(2)80T C t t ==，所以380a =.故选C.6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④【答案】C【解析】①根据题图中的数据，可得2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①正确；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确；③中国雪场2015比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，但2015年的同比增长率比2014年提高了7%，2018年的同比增长率比2017年降低了3.3%，所以③错误；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数增长率为19701510100%30.5%1510-⨯≈，所以④错误.7. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =A ．100B ．140C ．190D ．250【答案】C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出22211231222S --=++22249110222-++++L ，计算得11(8244880)(4163664100)19022S =++++++++=，选C.8.若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 【答案】B【解析】143422a ==<，由于551225<，所以53log 12(,2)2b =∈，131log 29c ==，所以a b c <<，故选B.9. 将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是 A ．π18x =B ．π6x = C ．7π18x = D ．11π18x =【答案】D【解析】2π()2sin(3)3f x x =+的周期为2π3，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则π2ππ()2sin[3()]2sin(3)333g x x x =-+=-，由ππ3π32x k -=+()k ∈Z ，得π5π318k x =+()k ∈Z ,取1k =，得11π18x =，故选D.10.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为A ．5 B. 5 C. 53D. 54【答案】A【解析】根据直线43200x y -+=与x 轴的交点F 为(5,0)- ，可知半焦距5c =，设C 的右焦点为2F ，连接2PF ，根据2||||OF OF =且||||OP OF =可得，2PFF △为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线43200x y -+=，垂足为A ，则易知OA 为2PFF △的中位线，又原点O 到直线43200x y -+=的距离4d =，所以2||28,PF d ==2222||||||6,PF FF PF =-=又因为2||||22,PF PF a -==所以1a =，故5ce a==.故选A. 11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)nn S a n n=+-（*n ∈N ），则22n nS n -的最小值为A ．2-B ．1-C ．23D ．3 【答案】B【解析】解法一：由条件2(1)nn S a n n=+-得2(1)n n S na n n =--，当2n …时，可得11(1)2(1)(2)n n S n a n n --=----，112(1)(1)2(1)(2)n n n n n a S S na n n n a n n --=-=----+--， 则1(1)4(1)n n n a na n a n -=----，11)(1)4(1)0n n n a n a n ------=（，得14n n a a --=，从而数列{}n a 是以1为首项，4为公差的等差数列，得2(1)422n n n S n n n -=+⨯=-，222322(2)223n nS n n n n n n n -=--=-.令32()23f x x x =-（1x …），则2()666(1)0f x x x x x '=-=-…，()f x 在[1+∞，）上单调递增，从而()(1)1f x f =-…，22n nS n -的最小值为1-，故选B.解法二：由条件2(1)n n S a n n =+-得()12(1)2n n n SS S n n n--=+-…，整理得121n n S S n n --=-，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项111S =，公差2d =的等差数列，所以12(1)21n S n n n =+-=-，22n S n n =-.下同解法一.12. 若关于x 的不等式()2e 10x a x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为A. 241[,)3e 2eB. 391[,)4e 2eC. 391[,]4e 2e D.3294[,)4e 3e 【答案】D【解析】题意等价于关于x 的不等式2(1)e x x a x >+恰有两个正整数解.设2()e x x f x =，则(2)()e x x x f x -'=,故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，(0,2)上单调递增，且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()0f x →，作出()f x 的大致图象，如图. 设()(1)g x a x =+，()g x 恒过定点(1,0)M -，设2349(2,),(3,)e e A B ，结合图象可知需考虑AM ，BM 斜率.因为23493e 4e AM BMk k =>=，所以a 的取值范围为3294[,)4e 3e .故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 和b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||3b =r ，则|32|a b -=r r_______________. 【答案】6【解析】2222132(32)9||4||1236361223362a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r r r r r ，则326a b -=r r.14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为，点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc （c 为半焦距），则C 的方程为_______________. 【答案】22163x y += 【解析】解法一：由题意知12π2F EF ∠=，c =.设12,tan ,sin ,cos b b c EF F c a a θθθθ∠=∴=∴==，16||c EF a a ∴==，2||EF ，因为12||||2EF EF a +=，即62a a =.又223a b =+，解得a b =，C 的方程为22163x y +=. 解法二：∵1EF bk c=，1(,0)F c -，∴E 为椭圆的上顶点.又12EF EF ⊥，∴145F EO ∠=︒，故b c ==2226a b c =+=，C 的方程为22163x y +=.15．已知点(,)P x y 满足1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______________. 【答案】4【解析】不等式组1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………所表示的平面区域为CDE △及其内部(如图)，其中(1,3)C ，(2,2)D ，(1,1)E ，且点C ，D ，E 均在圆2214x y +=的内部，故要使||AB 最小，则AB OC ⊥，因为||10OC =，所以||214104AB =⨯-=.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n …，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】6π，164n -π． 【解析】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD △的外心，因为三棱锥A BCD -的棱长均为6，则3623OB =⨯=，226(23)26AO =-=. 求解三棱锥A BCD -的内切球体积，这边提供两种方法.解法一：设内切球半径为1r ，根据体积相等，得2136263A BCD V -=⨯⨯⨯三棱锥，同时2113643A BCD V r -=⨯⨯⨯⨯三棱锥，从而1426r =，16r =，所以球1O 的体积1331446633O V r =π=π()=π.解法二：显然1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222(23)(26)R R =+-，36R =，所以1136626r AO AO AO R =-=-=-=，所以1331446633O V r =π=π()=π. 过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理，球n O 的半径为n r ，则{}n r 是公比为12的等比数列，所以1116()2n n r r -=⨯=，所以2216644()4n n n S r -π=π=π⨯=.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，DE 交AB 于点E ，且2BC =，DE =（1）求B ；（2）求ABC △的面积.【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分 （2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分 18.（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值．【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分 取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分 因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分 因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分 （2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CDu u u r的方向为x 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r， 设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分 所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF 的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分 所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分所以二面角E AD F --． ··············································· 12分 19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点F 为(0,1). （1）求C 的方程；（2）过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求||MN 的最小值．【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =， 所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-， 同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分 所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分 设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=， 当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN ，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN . ······························································· 12分 20.（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()e x f x ->.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ··································································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）， 由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）； ()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分 （2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分 所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分 所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分 故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.（本小题满分12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟. 若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η.(i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”，事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥， 所以111322333355113()()()51010A A A A P A P B P C A A =+=+=+=. ···································· 4分 （2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n =-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)e n n n n -+-⋅<， ···················· 9分 所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44x f x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分 又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）设P 为C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分 （2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-== ····································· 7分 由题意知0m ≠，当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-. ··················································· 10分23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明：（1）222111a b c a b c ++++…； （2）1111222a b c+++++…. 证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222*********()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分 由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c ab b c+---+…， ················································ 4分 得证222111a b c a b c++++…. ··································································· 5分 （2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++…. ··························································· 10分 证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =， 欲证222111a b c a b c ++++…，只需证222abc abc abc a b c a b c ++++…， 即证bc ca ab a b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分 将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc ab c a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c===时取等号）··········································································4分即bc ca aba b ca b c++++…成立，所以原不等式成立. ··············································································5分（2）略，同证法一.。
【终稿】(详解版)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)
C．
11. 已知函数 f x ln x x 1 ，给出下列四个结论：
x
①曲线 y f x 在 x 1 处的切线方程为 x y 1 0 ；
数学试题（第 5 页 共 24 页）
② f x 恰有 2 个零点；
③ f x 既有最大值，又有最小值；
④若 x1x2 ＞ 0 且 f x1 f x2 0 ，则 x1x2 1 ．
s22 4 52 0.3 5 52 0.4 6 52 0.3 0.6 ，
s32 3 52 0.3 4 52 0.1 5 52 0.2 6 52 0.1 7 52 0.3 2.6 ，
s42 2 52 0.1 4 52 0.3 5 52 0.2 6 52 0.3 8 52 0.1 2.4 ，
cos
1 , sin 10
3 10
，所以 sin 2
2 sin
cos
6 10
，原式
6 10
1
1 10
6 11
，故选
A．
8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9
个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1, 2,3（各 3 个）全
部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一
2
倍，纵坐标不变，得到曲
线
y
sin
x
6
，再把曲线
y
sin
x
6
向右平移
3
个单位长度，得到曲线
y
sin
x
6
3
，即
y
cos
x
，故
g
x
cos
x
，故选
D．
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16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
9288乙Fra bibliotek6582
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为 ，求随机变量 的分布列和期望 ．
17．（本小题满分13分）
已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异
于 ， 的动点，且 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
③对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ；
④对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ．
其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
① ； ② ； ③对任意的 ，恒有 ．
则以下结论一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知抛物线 ： ，圆 ： （其中 为常数， ）.过点 的直线 交圆 于 、 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线 有且只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
B
C
D
B
D
一、选择题：
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线 ： ，（1）代入 ，得 ，△= ，把（1）代入 得 ，
设 ， ， ， ，
，即 ，
若 ，则 ， .
若 ，则 ，即 ，
即 ，故当 时， 有三条．从而本题应该选D.
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率等于
A
4.已知公差不为 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，
则 的值为
A． B． C． D．
5.下列判断不正确的是
A．若 ，则
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.函数 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象
A．关于点 对称B．关于直线 对称
C．关于点 对称D．关于直线 对称
7．设点（ ）是区域 内的任意一点，则函数 在区间 上是增函数的概率为
福州一中2020-2020学年高三校质检试卷
理科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数其中S为底面面积，h为高
（Ⅰ）将直线 的参数方程和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 和曲线 相交于 、 两点，求 的长.
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知正数 ， ， 满足 ．
（Ⅰ）求 的最大值 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
福州一中2020-2020学年高三校质检理科数学参考答案
A． B． C． D．
8.如图，在棱长均为 的四棱锥 中，点 为
的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
B． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
C. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角大于 第8题图
D. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角小于
9．称 为两个向量 间的“距离”.若向量 满足：
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 所对应的特征向量为 .
（Ⅰ）求矩阵 的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线 ： 在矩阵 对应变换作用下得到的新的曲线方程.
（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅱ）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 满足： ， ，且 ．若不等式 在 时恒成立，求实数 的最小值.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D． （第1题图）
2.若 （ 为虚数单位），则 的值为
11．若 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．
1
该物体位于
再过两分钟后，该物体位于
则
14．在 的二项展开式中，含 的奇次幂的项之和为 ，则当 时， 等
于．
15．已知 为 上的任意实数，函数 ， ， ．
则以下结论：
①对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
②对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
如图，四边形 与 均为菱形，设 与
相交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（第17题图）
18．（本小题满分13分）
设 ，函数 ，且 ．
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且 ，求 的取值范围．
19．（本小题满分13分）