福州一中2020年5月高三理科数学质检试卷及答案
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三、解答题：
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D． （第1题图）
2Байду номын сангаас若 （ 为虚数单位），则 的值为
（Ⅱ）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 满足： ， ，且 ．若不等式 在 时恒成立，求实数 的最小值.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（Ⅰ）将直线 的参数方程和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 和曲线 相交于 、 两点，求 的长.
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知正数 ， ， 满足 ．
（Ⅰ）求 的最大值 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
福州一中2020-2020学年高三校质检理科数学参考答案
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 所对应的特征向量为 .
（Ⅰ）求矩阵 的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线 ： 在矩阵 对应变换作用下得到的新的曲线方程.
（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率等于
A
4.已知公差不为 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，
则 的值为
A． B． C． D．
5.下列判断不正确的是
A．若 ，则
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
A． B． C． D．
8.如图，在棱长均为 的四棱锥 中，点 为
的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
B． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
C. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角大于 第8题图
D. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角小于
9．称 为两个向量 间的“距离”.若向量 满足：
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.函数 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象
A．关于点 对称B．关于直线 对称
C．关于点 对称D．关于直线 对称
7．设点（ ）是区域 内的任意一点，则函数 在区间 上是增函数的概率为
如图，四边形 与 均为菱形，设 与
相交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（第17题图）
18．（本小题满分13分）
设 ，函数 ，且 ．
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且 ，求 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为 ，求随机变量 的分布列和期望 ．
17．（本小题满分13分）
福州一中2020-2020学年高三校质检试卷
理科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数其中S为底面面积，h为高
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
B
C
D
B
D
一、选择题：
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线 ： ，（1）代入 ，得 ，△= ，把（1）代入 得 ，
设 ， ， ， ，
，即 ，
若 ，则 ， .
若 ，则 ，即 ，
即 ，故当 时， 有三条．从而本题应该选D.
已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异
于 ， 的动点，且 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
11．若 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．
1
该物体位于
再过两分钟后，该物体位于
则
14．在 的二项展开式中，含 的奇次幂的项之和为 ，则当 时， 等
于．
15．已知 为 上的任意实数，函数 ， ， ．
则以下结论：
①对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
②对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
① ； ② ； ③对任意的 ，恒有 ．
则以下结论一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知抛物线 ： ，圆 ： （其中 为常数， ）.过点 的直线 交圆 于 、 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线 有且只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
③对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ；
④对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ．
其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D． （第1题图）
2Байду номын сангаас若 （ 为虚数单位），则 的值为
（Ⅱ）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 满足： ， ，且 ．若不等式 在 时恒成立，求实数 的最小值.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（Ⅰ）将直线 的参数方程和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 和曲线 相交于 、 两点，求 的长.
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知正数 ， ， 满足 ．
（Ⅰ）求 的最大值 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
福州一中2020-2020学年高三校质检理科数学参考答案
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 所对应的特征向量为 .
（Ⅰ）求矩阵 的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线 ： 在矩阵 对应变换作用下得到的新的曲线方程.
（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率等于
A
4.已知公差不为 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，
则 的值为
A． B． C． D．
5.下列判断不正确的是
A．若 ，则
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
A． B． C． D．
8.如图，在棱长均为 的四棱锥 中，点 为
的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
B． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
C. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角大于 第8题图
D. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角小于
9．称 为两个向量 间的“距离”.若向量 满足：
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.函数 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象
A．关于点 对称B．关于直线 对称
C．关于点 对称D．关于直线 对称
7．设点（ ）是区域 内的任意一点，则函数 在区间 上是增函数的概率为
如图，四边形 与 均为菱形，设 与
相交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（第17题图）
18．（本小题满分13分）
设 ，函数 ，且 ．
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且 ，求 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为 ，求随机变量 的分布列和期望 ．
17．（本小题满分13分）
福州一中2020-2020学年高三校质检试卷
理科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数其中S为底面面积，h为高
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
B
C
D
B
D
一、选择题：
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线 ： ，（1）代入 ，得 ，△= ，把（1）代入 得 ，
设 ， ， ， ，
，即 ，
若 ，则 ， .
若 ，则 ，即 ，
即 ，故当 时， 有三条．从而本题应该选D.
已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异
于 ， 的动点，且 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
11．若 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．
1
该物体位于
再过两分钟后，该物体位于
则
14．在 的二项展开式中，含 的奇次幂的项之和为 ，则当 时， 等
于．
15．已知 为 上的任意实数，函数 ， ， ．
则以下结论：
①对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
②对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
① ； ② ； ③对任意的 ，恒有 ．
则以下结论一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知抛物线 ： ，圆 ： （其中 为常数， ）.过点 的直线 交圆 于 、 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线 有且只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
③对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ；
④对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ．
其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：