Riemann积分的收敛定理

作者简介:郭明乐 (1978年 1月生 ),男,硕士 ,讲师 ,研究方向 :马氏过程和无穷粒子系统.基金项目:安徽省高校省级自然科学重点项目(KJ2007A012),安徽省高等学校青年教师科研资助计划(2005jq1044). E-mail: mleguo @ .Riemann 积分的收敛定理郭明乐 喻娜（安徽师范大学数学计算机科学学院 ,安徽 ,芜湖 241000）摘要：利用 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系,给出了一组 Riemann 积分的收敛定理，深化了Riemann 积分的理论和应用.关键词：Riemann 积分，Lebesgue 积分，单调收敛定理，控制收敛定理 中图分类号：O172.2 文献标识码：A众所周知,由于Riemann 积分的局限性,数学工作者们相继对积分理论进行了深入的研究. 1902年Lebesgue 发表了一篇标志着从古典分析向近代分析转变的论文,从而建立了Lebesgue 积分理论 ,使得积分应用领域得到极大的拓广 .但Riemann 积分在现代科学中仍具有较大的实用价值.在实变函数已经指出:如果)(x f 在[a, b]上Riemann 可积 ,则)(x f 在[a, b]上也 Lebesgue 可积 ,且两个积分值相等，即⎰⎰=],[)()()(b a badx x f L dx x f .但是这一结论对于广义Riemann 积分 (无界函数及无穷区间上的积分 )不再成立,对广义的Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系研究目前也取得了较为完善的理论成果[1]. 这些结论为我们利用Riemann 积分来计算Lebesgue 积分带来许多方便,同时也可以利用Lebesgue 积分序列的极限的宽松条件来研究Riemann 积分序列的极限问题.本文利用Lebesgue 积分理论,获得了 Riemann 积分的单调收敛定理、控制收敛定理及有界收敛定理 ,同时给出这些定理的应用.为叙述方便，文中出现无穷区间I 指的是以下三种类型区间之一:[a, ∞), (−∞,b], (−∞, ∞),区间指的是[a, b]或无穷区间.⎰Idxx f )(和⎰I dx x f L )()(分别表示在区间I 上的Riemann 积分和Lebesgue 积分.引理1[1]若)(x f 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的 ,则)(x f 在I上Lebesgue 可积 ,且=⎰I dxx f )(⎰Idx x f L )()(.引理2[1]若定义在无穷区间I 上的可测函数 )(x f 在任何有限区间上都是 Riemann 可积的 ,则)(x f 在区间I 上Lebesgue 可积的充要条件是)(x f 在I 上的无穷限积分绝对收敛.定理1 设(i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列;(ii) ..),()(e a x F x f n ≤于[a, b],且)(x F 在[a, b]上Lebesgue 可积; (iii)..)()(e a x f x f n n −−→−∞→于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,则⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim.证明 由(i)及引理1知{})(x f n 是[a, b]上Lebesgue 可积函数列,故由Lebesgue 控制收敛定理知⎰⎰=∞→bab an n dx x f L dx x f L )()()()(lim (1)注意到)(),(x f x f n 在[a, b]上是Riemann 可积的,从而.)()()(,)()()(⎰⎰⎰⎰==bab aban b an dx x f dx x f L dx x f dx x f L (2)由（1）（2）知定理的结论成立. 定理2 设(i) 设)(x f n 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的, ,2,1=n ; (ii) ..),()(e a x F x f n ≤于I ,且)(x F 在I 上Lebesgue 可积;(iii) ..)()(e a x f x f n n −−→−∞→于I , 且)(x f 在I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的,则.)()(lim ⎰⎰=∞→IIn n dx x f dx x f证明 由(i)及引理2知{})(x f n 是I 上Lebesgue 可积函数列,故由Lebesgue 控制收敛定理知.)()()()(lim ⎰⎰=∞→IIn n dx x f L dx x f L (3)注意到)(),(x f x f n 在I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛,故由引理1知.)()()(,)()()(⎰⎰⎰⎰==III n In dx x f dx x f L dx x f dx x f L (4)由（3）（4）知定理的结论成立.推论 1 设{})(x f n 是区间I 非负Riemann 可积函数列,且在I 上有)()(1x f x f n n +≤,,2,1=n ,若..)()(e a x f x f n n −−→−∞→于I ,且)(x f 在I 上Riemann 可积,则.)()(lim ⎰⎰=∞→IIn n dx x f dx x f证明 显然..,0)(e a x f ≥,且..),()()(e a x f x f x f n n ≤=,由引理1、引理2及)(x f 在I 上Riemann 可积知, )(x f 在I 上Lebesgue 可积,从而由定理1、定理2知结论成立.推论2 设(i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列;(ii) ..,)(e a M x f n ≤于[a, b],这里M 是常数;(iii) ..)()(e a x f x f n n −−→−∞→于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,则⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim.证明 取定理1中M x F =)(,由于M 在[a, b]上Lebesgue 可积,从而由定理1知结论成立.推论3 设函数项级数∑∞=1)(n nx u在[a, b]上收敛,且每一项)(x u n 及和函数∑∞=1)(n n x u 都在[a,b]上Riemann 可积,若 ,2,1,..),()(1=≤∑=n e a x F x unk k,且)(x F 在[a,b]上Lebesgue可积,则⎰∑∑⎰∞=∞==b a n n n bandx x u dx x u11)()(.证明 在定理1中取∑==nk kn x ux f 1)()(,注意到每一项)(x u n 都在[a, b]上Riemann 可积,故{})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列.于是由定理1知结论成立.推论4 设非负函数项级数∑∞=1)(n nx u在[a, b]上收敛,且每一项)(x u n 及和函数都在[a,b]上Riemann 可积,则⎰∑∑⎰∞=∞==b a n n n bandx x u dx x u11)()(.证明 取推论3中∑∞==1)()(n nx ux F ,由题意知)(x F 在[a, b]上Riemann 可积,从而在[a, b]上Lebesgue 可积,故由推论3知推论4成立.易见推论3和推论4在无穷区间上也成立,在此就不再赘述了. 推论5 设(i)固定t ,),(t x f 是[a, b]上Riemann 可积函数;(ii) ..),(),(e a x F t x f ≤于[a, b],且)(x F 在[a, b]上Lebesgue 可积;(iii) ..)(),(0e a xf t x f tt −−→−→于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,则⎰⎰=→babat t dx x f dx t x f )(),(lim 0.证明 由归结原则知:仅需证对任意的一列{}0,t t t n n n −−→−∞→,有⎰⎰=∞→bab an n dx x f dx t x f )(),(lim . (5）取),()(n n t x f x f =,由推论5的条件知定理1的条件满足,从而由定理1知(5)成立.推论6 设(i)固定t ,),(t x f 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的; (ii) ..),(),(e a x F t x f ≤于I ,且)(x F 在I 上Lebesgue 可积;(iii) ..)(),(0e a x f t x f tt −−→−→于I , 且)(x f 在I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的,则⎰⎰=→IIt t dx x f dx t x f )(),(lim 0.证明 由定理2及推论5的证明过程易证推论6. 易见推论5和推论6对∞→→→-+t t t t t,,00也成立.由于瑕积分可以通过积分变换转化到无穷积分,因此上述结论对瑕积分也成立.下面给出上述命题的一些应用.例1(上海交通大学2000年考研试题)求⎰∞→2sin lim πxdx n n .解 由x nsin 在]2,0[π上连续知: x n sin 在]2,0[π上是Riemann 可积的.显然对任意的),2,0[π∈x 0sin −−→−∞→n n x , 注意到对任意的],2,0[π∈x 1sin ≤x n ,从而由推论2知.00sin lim 2020==⎰⎰∞→ππdx xdx nn例2(武汉大学1999年考研试题)设)(x g 是连续函数,证明:⎰=+∞→1022)0()(12limg dx x g x n nn π.证明 由Riemann 积分的性质知⎰⎰⎰∞+=+=+0],0[2021022.)()(112)(112)(12dy y I n yg y dy n y g y dx x g x n n n n πππ (6)这里⎩⎨⎧≤≤=其它,0,0,1)(],0[n y y I n 令()),()(12)(],0[2y I nyg y y f n n +=π由)(x g 的连续性知存在常数0>M ,使得对任意的]1,0[∈x ,有M x g ≤)(,从而对任意的),0[∞∈y ,有()(),12)()(12)(2],0[2+≤+=y My I n y g y y f n n ππ注意到()1)0(2)(lim 2+=∞→y g y f n n π,而)(y f n 及()122+y Mπ在),0[∞上是Riemann 可积的,故由定理2知 ).0(1)0(2)()(112lim02],0[2g dy y g dy y I ny g y n n ⎰⎰∞∞∞→=+=+ππ(7)由(6)(7)知⎰=+∞→1022)0()(12limg dx x g x n nn π.例3(华东师范大学2002年考研试题)设)(x g 在]1,0[连续,证明:⎰=++→1220)0(2)(lim g dx tx x tg t π. 证明 由Riemann 积分的性质知对,0>t⎰⎰⎰∞+=+=+0]1,0[21021022.)()(11)(11)(dy y I ty g y dy ty g y dx t x x tg t t (8) 取)()(11),(]1,0[2y I ty g y t y f t+=,易知对任意的),0[∞∈y ,有.1)0(),(lim 20+=+→y g t y f t 完全类似于例2的证明过程可证),(t y f 满足推论6的条件,从而由推论6知).0(21)0()()(11lim 020]1,0[20g dy y g dy y I ty g y tt π=+=+⎰⎰∞∞→+ (9)由(8)(9)知⎰=++→1220)0(2)(lim g dx t x x tg t π.从上述例题,我们可以看出本文所获得的结论解决了Riemann 积分与极限交换次序的一致收敛性的约束,具有较大的应用价值,为应用方便记,我们把定理1、定理2称为Riemann 积分的控制收敛定理,推论1称为Riemann 积分的单调收敛定理,推论2称为Riemann 积分的有界收敛定理.参考文献:[1] 邹慧超,唐瑞娜,宋金堂. Lebesgue 积分与广义积分的关系[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2004,20(1):24–26. [2] 夏道行.实变函数论与泛函分析[M].北京,人民教育出版社,1979. [3] 程其襄.实变函数论与泛函分析基础[M].北京,高等教育出版社,1983.The convergence theorems for Riemann integralGUO Ming-Le YU Na(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University ,241000,Wuhu,Anhui,China )Abstract: In this paper, some convergence theorems for Riemann integral are given by using the relation of Lebesgue integral and Riemann integral. The theory and applications of Riemann integral are deepened.Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, Monotone convergence theorem, Dominated convergence theorem.。