Riemann积分的收敛定理

作者简介:郭明乐 (1978年 1月生 ),男,硕士 ,讲师 ,研究方向 :马氏过程和无穷粒子系统.

基金项目:安徽省高校省级自然科学重点项目(KJ2007A012),安徽省高等学校青年教师科研资助计划(2005jq1044). E-mail: mleguo @ .

Riemann 积分的收敛定理

郭明乐 喻娜

（安徽师范大学数学计算机科学学院 ,安徽 ,芜湖 241000）

摘要：利用 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系,给出了一组 Riemann 积分的收敛定理，深化了Riemann 积分的理论和应用.

关键词：Riemann 积分，Lebesgue 积分，单调收敛定理，控制收敛定理 中图分类号：O172.2 文献标识码：A

众所周知,由于Riemann 积分的局限性,数学工作者们相继对积分理论进行了深入的研究. 1902年Lebesgue 发表了一篇标志着从古典分析向近代分析转变的论文,从而建立了Lebesgue 积分理论 ,使得积分应用领域得到极大的拓广 .但Riemann 积分在现代科学中仍具有较大的实用价值.在实变函数已经指出:如果)(x f 在[a, b]上Riemann 可积 ,则)(x f 在[a, b]上也 Lebesgue 可积 ,且两个积分值相等，即

⎰

⎰

=]

,[)()()(b a b

a

dx x f L dx x f .但是这一结论对于广义

Riemann 积分 (无界函数及无穷区间上的积分 )不再成立,对广义的Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系研究目前也取得了较为完善的理论成果[1]

. 这些结论为我们利用Riemann 积分来计算Lebesgue 积分带来许多方便,同时也可以利用Lebesgue 积分序列的极限的宽松条件来研究Riemann 积分序列的极限问题.本文利用Lebesgue 积分理论,获得了 Riemann 积分的单调收敛定理、控制收敛定理及有界收敛定理 ,同时给出这些定理的应用.为叙述方便，文中出现无穷区间I 指的是以下三种类型区间之一:[a, ∞), (−∞,b], (−∞, ∞),区间指的是[a, b]或无穷区间.⎰I

dx

x f )(和⎰

I dx x f L )()(分别表示在区间I 上的Riemann 积分和Lebesgue 积

分.

引理1

[1]

若)(x f 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的 ,则)(x f 在I

上Lebesgue 可积 ,且

=⎰I dx

x f )(⎰I

dx x f L )()(.

引理2

[1]

若定义在无穷区间I 上的可测函数 )(x f 在任何有限区间上都是 Riemann 可

积的 ,则)(x f 在区间I 上Lebesgue 可积的充要条件是)(x f 在I 上的无穷限积分绝对收敛.

定理1 设

(i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列;

(ii) ..),()(e a x F x f n ≤于[a, b],且)(x F 在[a, b]上Lebesgue 可积; (iii)

..)()(e a x f x f n n −−→−∞

→于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,

则⎰⎰

=∞→b

a

b

a

n n dx x f dx x f )()(lim

.

证明 由(i)及引理1知{})(x f n 是[a, b]上Lebesgue 可积函数列,故由Lebesgue 控制

收敛定理知

⎰⎰=∞

→b

a

b a

n n dx x f L dx x f L )()()()(lim (1)

注意到)(),(x f x f n 在[a, b]上是Riemann 可积的,从而

.)()()(,

)()()(⎰⎰⎰⎰==b

a

b a

b

a

n b a

n dx x f dx x f L dx x f dx x f L (2)

由（1）（2）知定理的结论成立. 定理2 设

(i) 设)(x f n 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的, ,2,1=n ; (ii) ..),()(e a x F x f n ≤于I ,且)(x F 在I 上Lebesgue 可积;

(iii) ..)()(e a x f x f n n −−→−∞

→于I , 且)(x f 在I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对

收敛的,

则.)()(lim ⎰⎰=

∞→I

I

n n dx x f dx x f

证明 由(i)及引理2知{})(x f n 是I 上Lebesgue 可积函数列,故由Lebesgue 控制收敛

定理知

.)()()()(lim ⎰⎰=∞

→I

I

n n dx x f L dx x f L (3)

注意到)(),(x f x f n 在I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛,故由引理1知

.)()()(,

)()()(⎰⎰⎰⎰==I

I

I n I

n dx x f dx x f L dx x f dx x f L (4)

由（3）（4）知定理的结论成立.

推论 1 设{})(x f n 是区间I 非负Riemann 可积函数列,且在I 上有)()(1x f x f n n +≤,

,2,1=n ,若..)()(e a x f x f n n −−→−∞

→于I ,且)(x f 在I 上Riemann 可积,则

.)()(lim ⎰⎰=∞→I

I

n n dx x f dx x f

证明 显然..,0)(e a x f ≥,且..),()()(e a x f x f x f n n ≤=,由引理1、引理2及)(x f 在I 上Riemann 可积知, )(x f 在I 上Lebesgue 可积,从而由定理1、定理2知结论成立.

推论2 设

(i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列;

(ii) ..,)(e a M x f n ≤于[a, b],这里M 是常数;

(iii) ..)()(e a x f x f n n −−→−∞

→于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,

则⎰⎰=∞→b

a

b

a

n n dx x f dx x f )()(lim

.

证明 取定理1中M x F =)(,由于M 在[a, b]上Lebesgue 可积,从而由定理1知结论

成立.

推论3 设函数项级数∑∞

=1

)(n n

x u

在[a, b]上收敛,且每一项)(x u n 及和函数∑∞

=1

)(n n x u 都

在[a,b]上Riemann 可积,若 ,2,1,..),()(1

=≤∑=n e a x F x u

n

k k

,且)(x F 在[a,b]上Lebesgue

可积,则

⎰∑∑⎰∞

=∞

==b a n n n b

a

n

dx x u dx x u

1

1

)()(.