CFD2020-第5讲-差分方法3
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Harten定理： 正系数原则
TVD
单调
保单调
TVD格式= 1阶迎风+ j *（修正项）
u j1/ 2 u j j (r)(u j1 u j ) / 2
j j j(rj ),
rj
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
Copyright by Li Xinliang
二阶精度TVD区（二 者交集）
v22
]
W
W
(3 )(~3 ~4 )c2 2( 1)
u1 u ck~1 u2 u ck~1
~ k1
/
~ k2
/
~0 2( 1)~1
v1 v ck~2 v2 v ck~2
2 2
对于曲线坐标系
Uˆ fˆ1 fˆ2 0 t
1) 令 1, 0 2) 计算特征值
1 2 u,3 u c,4 u c
2
1
1 (3 )u c2 3 u2 1 2
0
1
u
u E
验证方法2： 利用齐函数性质
f (U) f(U) (f(αU) ) U f(U) 1
(αU)
f(U) (f(U)) U AU U
Copyright by Li Xinliang
5
2. 流通矢量分裂(FVS)
k k k
k 0, k 0
方式很多
S-W:
k
k
k 2
, k
k
k 2
=
+
L-F:
k
k
2
*
, k
k
* 2
Van Leer:
Ma u / c
Ma 1 f f Ma 1 f 0
f 0
f f
=
+
=
+
f1
Ma 1
f
2(
f1
f1 2
[( [(
1)
1)u 1)u
Copyright by Li Xinliang
13
➢ FVS差分方法一般流程
Step 1. 构造差分格式 u a u 0 t x
u ui1/2 ui1/2
x
x
Step 2. 推广到方程组
U f(U) 0 t x
f f + f =+
x x x
f +
=
f j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
差分格式
f(U) AU
f f f
f AU S1ΛSU
向量分裂 特征值标量分裂
A: Steger-Warming 分裂
Λ diag{k }
Λ Λ Λ Λ diag{k }
k
2
, k
2
任意函数分解为：
非负函数+非正函数
=
优点：耗散小 缺点：导数间断
+
Copyright by Li Xinliang
6
k
2
, k
2
f AU S1ΛSU
优点：耗散小 缺点：导数间断
=
+
~f (~λ)
2
(
21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
w
k
k
k 2
改进版
k
k
(2k )2 1/ 2 2
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
Steger-Warming 分裂
f ~f (λ )
特点： 不必进行矩阵运算，计算量小
Copyright by Li Xinliang
7
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
f
a0
x
已知 U (, u, E)T
f
x
a0
1） 计算 ,u, p
2） 计算 3） 计算
… j-2 j-1
j
j+1 …
1） 逐点分裂 f k
通量分裂
fk , fk k=1,2…..N
j+1/2
2）针对j点：计算特征矩阵
U j1/2
S j1/2
3）（将网格基架点）变换到特征空间
S1 j 1/ 2
简单平均即可（Roe平均效 果更好些）
U j1/2 =（U j U j1) / 2
A j1/2 =Sj11/2ΛS j1/2
U f(U) 0 t x
方法1： 流通矢量分裂(FVS)
f(U) f (U) f (U)
f f f x x x
Copyright by Li Xinliang
3
方法2： 通量差分分裂 （FDS）
利用 Riemann解
u a u 0 t x
特点： 对流通矢量 f 的导数进行分裂
f x
f x
f x
1 [ (f 2 x
*U)
x
(f
*U)]
1 2
[
x
(f
*U)
(f x
*U)]
1 2
[(
x
x
)f
]
* 2
[(
x
x
)U]
x0f
*x
xx U
U f(U) 0 t x
U t
f(U) x
*x
2U x2
Copyright by Li Xinliang
10
计算流体力学讲义2020
第五讲 差分方法（3）
李新亮 知识点：
通量技术简介——Steger-Warming, Roe 常用的隐式处理方法——LU-SGS
1 Copyright by Li Xinliang
知识回顾： 单调、保单调和TVD
概念： 网格Reynolds数 Re x Rex 单调格式、保单调格式及TVD格式
x
x x
一般情况下：
变系数，A 不能与导数交换
f AU A U
x x
x
f B U
x
x
B A
分裂后 A 失去了A的性质（可以 像常数一样与求导交换）
实质： 没有做到解耦；
只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正
向传播，f-向负向传播
缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递
ui
1/ 2
=
ui1/ ui1/
2 2
(..., (...,
ui1, ui1,
ui ui
, ,
ui1 ui1
, ,
...) ...)
if if
a0 a0
f
j 1/ 2
=f
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
j1,...)
具体步骤 （逐点分裂）：
通量分裂
fj
j=1,2,3……N
f
j
,
f
j
Copyright by Li Xinliang
12
概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;
f f f 精确满足，不引入误差！ 分裂
耗散 差分格式
举例： U f (U ) 0
t x
分裂 过程
f f f
f 1 ( f U ), f 1 ( f U ),
w
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
f ~f (λ ), f ~f (λ )
f f f
7） 时间推进 U f 0 t x
Copyright by Li Xinliang
8
➢二维问题的steger-Warming 分裂
U f1 f2 0 t x y
U [, u, v, E]T
f fˆj1/2 fˆj1/2
x j
x
➢利用差分表达式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Godnov, Roe, HLL,HLLC
➢ 求解Riemann问题，获得通量 fˆj1/2
方法3： AUSM 类方法 van Leer分裂法+压力项单独处理
Copyright by Li Xinliang
2
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
格式2
（利用对称性， 将格式1 中的 j+k替换成j-k即可）
Step 2 将格式推广到Euler方程
差分格式
f ,f
j +1/2 j +1/2
f +
=
f
j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
Copyright by Li Xinliang
14
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
j
S1 j
(ΛS jU) x
S
1 j
V x
j
j
S
1 j
(
V x
V x
j
)
j
V ΛS jU
V ΛS jU
V ΛS jU
分别采用后 差和前差
优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。
Copyright by Li Xinliang
15
具体步骤 （特征分裂）：
1 u23 2 u12
f(U) A U
x
x
A f(u) U
容易验证：
重要 性质
f(U) AU
A
0 3 u2
2
2 u3 2
uc 2 1
1 (3 )u c2 3 u2 1 2
0
1
u
u
u2 p
(E
p)u
来自百度文库
0
3 u2 2
2 u3 uc2
4
§ 5.1 流通矢量分裂： Steger-Warming 、L-F
1. Jacobian 系数矩阵及其性质
U f(U) vis t x
U (, u, E)T ,
f(U)
f1 f2 f3
u
u
2
u(E
p
p)
u2
( 1)u3
u2u3 u1
3 u22 2 u1
f(U) AU
特点： A 正特征值 A 负特征值
f AU (f *U) / 2
* 足够大
缺点：耗散偏大
例如，可取 * u c
=
+
局部L-F分裂，每个点上计算 * u c 常数
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
全局L-F分裂，全局（一维）上计算 * max ( u c) x
与迎风格式结合，等价于人工粘性
3) 分裂特征值，计算 k ,k
(k 1,2,3,4)
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
4) 带入左式，计算正、负流通矢
量
f1 ~f ( )
5) 计算
f1 f1 f1 x x x
fˆ1 J 1xf1 J 1yf2
仅需令
J
1 x ,
J
1 y
三维问题同样处理
计算 f2 设置 0, 1 ，并注意
2
2
如果差分格式无耗散（例如 都用中心差分），则通量分 裂不带来耗散。
x f x f x f
U t
0 x
f
a
U 0
xx
耗散
x f
0 x
f
0 x
f
0 x
(
f
f
)
0 x
f
向上平移
分裂后的流场越偏离原先流场，则 总体耗散越大
=
+
向下平移
如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）
5）变换回物理空间
f j1/2
(f
j 1/
2
f
j 1/ 2
)
S1 j 1/
2
(f
j 1/ 2
f
j 1/
2
)
差分格式， 例如：
fˆ j1/ 2
=f
j
+1/
2
min
fˆk =S j1/2fk
fˆk
=S
f
j1/2 k
网格基架点 k=…, j-2, j-1, j,…
4）在特征空间计算j+1/2值
fˆ
j 1/ 2
=fˆ
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
j 1
,...)
fˆ
j 1/ 2
=fˆ
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
,
j 1
...)
1 u, 2 u c, 3 u c k , k (k 1,2,3)
4） 带入（1）式得到 f , f
5） 利用不同的迎风格式，分别计算
f f ,
x x
（后差，前差）
6）计算 f f f x x x
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
（1） ~f (~λ)
2
(
21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
j
Aj
U x
j
0
… j-2 j-1 j j+1 …
U
计算：A j x j 在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理
U A j x j
A j Sj 1ΛjSj
局部冻结系数
A
j
U x
j
S
1 j
ΛS
j
U x
f1 [u, u2 p, uv,u(E p)]T
f 2 [v, uv, v2 p,v(E p)]T
令： f f1 f2
具体使用步骤， 以计算 f1 为例 x
则：
~f (~)
2
~0
2
V2
~3 2
[~~u001u2v~0v~~1233~]uv311 ~2~4~~444[vuu2222
y 1 2 v,3 v c,4 v c
二维、三维具体 公式见傅德薰等《计算空气动力学》 4.7节 （158-162）
书中公式有一定的排版错误，使用C前opy务righ必t by重Li X新inli仔ang细推导！
9
B: Lax-Friedrichs (L-F)分裂
A (A *I) / 2, A (A *I) / 2
2c] 2c]2
Copyright by Li Xinliang
f1
c[ Ma 1]2 2
11
FVS分裂： 优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大
f(U) f (U) f (U)
x
x
x
f AU S1ΛSU
利用了性质 f(U) A U (AU)
TVD
单调
保单调
TVD格式= 1阶迎风+ j *（修正项）
u j1/ 2 u j j (r)(u j1 u j ) / 2
j j j(rj ),
rj
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
Copyright by Li Xinliang
二阶精度TVD区（二 者交集）
v22
]
W
W
(3 )(~3 ~4 )c2 2( 1)
u1 u ck~1 u2 u ck~1
~ k1
/
~ k2
/
~0 2( 1)~1
v1 v ck~2 v2 v ck~2
2 2
对于曲线坐标系
Uˆ fˆ1 fˆ2 0 t
1) 令 1, 0 2) 计算特征值
1 2 u,3 u c,4 u c
2
1
1 (3 )u c2 3 u2 1 2
0
1
u
u E
验证方法2： 利用齐函数性质
f (U) f(U) (f(αU) ) U f(U) 1
(αU)
f(U) (f(U)) U AU U
Copyright by Li Xinliang
5
2. 流通矢量分裂(FVS)
k k k
k 0, k 0
方式很多
S-W:
k
k
k 2
, k
k
k 2
=
+
L-F:
k
k
2
*
, k
k
* 2
Van Leer:
Ma u / c
Ma 1 f f Ma 1 f 0
f 0
f f
=
+
=
+
f1
Ma 1
f
2(
f1
f1 2
[( [(
1)
1)u 1)u
Copyright by Li Xinliang
13
➢ FVS差分方法一般流程
Step 1. 构造差分格式 u a u 0 t x
u ui1/2 ui1/2
x
x
Step 2. 推广到方程组
U f(U) 0 t x
f f + f =+
x x x
f +
=
f j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
差分格式
f(U) AU
f f f
f AU S1ΛSU
向量分裂 特征值标量分裂
A: Steger-Warming 分裂
Λ diag{k }
Λ Λ Λ Λ diag{k }
k
2
, k
2
任意函数分解为：
非负函数+非正函数
=
优点：耗散小 缺点：导数间断
+
Copyright by Li Xinliang
6
k
2
, k
2
f AU S1ΛSU
优点：耗散小 缺点：导数间断
=
+
~f (~λ)
2
(
21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
w
k
k
k 2
改进版
k
k
(2k )2 1/ 2 2
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
Steger-Warming 分裂
f ~f (λ )
特点： 不必进行矩阵运算，计算量小
Copyright by Li Xinliang
7
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
f
a0
x
已知 U (, u, E)T
f
x
a0
1） 计算 ,u, p
2） 计算 3） 计算
… j-2 j-1
j
j+1 …
1） 逐点分裂 f k
通量分裂
fk , fk k=1,2…..N
j+1/2
2）针对j点：计算特征矩阵
U j1/2
S j1/2
3）（将网格基架点）变换到特征空间
S1 j 1/ 2
简单平均即可（Roe平均效 果更好些）
U j1/2 =（U j U j1) / 2
A j1/2 =Sj11/2ΛS j1/2
U f(U) 0 t x
方法1： 流通矢量分裂(FVS)
f(U) f (U) f (U)
f f f x x x
Copyright by Li Xinliang
3
方法2： 通量差分分裂 （FDS）
利用 Riemann解
u a u 0 t x
特点： 对流通矢量 f 的导数进行分裂
f x
f x
f x
1 [ (f 2 x
*U)
x
(f
*U)]
1 2
[
x
(f
*U)
(f x
*U)]
1 2
[(
x
x
)f
]
* 2
[(
x
x
)U]
x0f
*x
xx U
U f(U) 0 t x
U t
f(U) x
*x
2U x2
Copyright by Li Xinliang
10
计算流体力学讲义2020
第五讲 差分方法（3）
李新亮 知识点：
通量技术简介——Steger-Warming, Roe 常用的隐式处理方法——LU-SGS
1 Copyright by Li Xinliang
知识回顾： 单调、保单调和TVD
概念： 网格Reynolds数 Re x Rex 单调格式、保单调格式及TVD格式
x
x x
一般情况下：
变系数，A 不能与导数交换
f AU A U
x x
x
f B U
x
x
B A
分裂后 A 失去了A的性质（可以 像常数一样与求导交换）
实质： 没有做到解耦；
只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正
向传播，f-向负向传播
缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递
ui
1/ 2
=
ui1/ ui1/
2 2
(..., (...,
ui1, ui1,
ui ui
, ,
ui1 ui1
, ,
...) ...)
if if
a0 a0
f
j 1/ 2
=f
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
j1,...)
具体步骤 （逐点分裂）：
通量分裂
fj
j=1,2,3……N
f
j
,
f
j
Copyright by Li Xinliang
12
概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;
f f f 精确满足，不引入误差！ 分裂
耗散 差分格式
举例： U f (U ) 0
t x
分裂 过程
f f f
f 1 ( f U ), f 1 ( f U ),
w
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
f ~f (λ ), f ~f (λ )
f f f
7） 时间推进 U f 0 t x
Copyright by Li Xinliang
8
➢二维问题的steger-Warming 分裂
U f1 f2 0 t x y
U [, u, v, E]T
f fˆj1/2 fˆj1/2
x j
x
➢利用差分表达式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Godnov, Roe, HLL,HLLC
➢ 求解Riemann问题，获得通量 fˆj1/2
方法3： AUSM 类方法 van Leer分裂法+压力项单独处理
Copyright by Li Xinliang
2
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
格式2
（利用对称性， 将格式1 中的 j+k替换成j-k即可）
Step 2 将格式推广到Euler方程
差分格式
f ,f
j +1/2 j +1/2
f +
=
f
j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
Copyright by Li Xinliang
14
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
j
S1 j
(ΛS jU) x
S
1 j
V x
j
j
S
1 j
(
V x
V x
j
)
j
V ΛS jU
V ΛS jU
V ΛS jU
分别采用后 差和前差
优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。
Copyright by Li Xinliang
15
具体步骤 （特征分裂）：
1 u23 2 u12
f(U) A U
x
x
A f(u) U
容易验证：
重要 性质
f(U) AU
A
0 3 u2
2
2 u3 2
uc 2 1
1 (3 )u c2 3 u2 1 2
0
1
u
u
u2 p
(E
p)u
来自百度文库
0
3 u2 2
2 u3 uc2
4
§ 5.1 流通矢量分裂： Steger-Warming 、L-F
1. Jacobian 系数矩阵及其性质
U f(U) vis t x
U (, u, E)T ,
f(U)
f1 f2 f3
u
u
2
u(E
p
p)
u2
( 1)u3
u2u3 u1
3 u22 2 u1
f(U) AU
特点： A 正特征值 A 负特征值
f AU (f *U) / 2
* 足够大
缺点：耗散偏大
例如，可取 * u c
=
+
局部L-F分裂，每个点上计算 * u c 常数
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
全局L-F分裂，全局（一维）上计算 * max ( u c) x
与迎风格式结合，等价于人工粘性
3) 分裂特征值，计算 k ,k
(k 1,2,3,4)
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
4) 带入左式，计算正、负流通矢
量
f1 ~f ( )
5) 计算
f1 f1 f1 x x x
fˆ1 J 1xf1 J 1yf2
仅需令
J
1 x ,
J
1 y
三维问题同样处理
计算 f2 设置 0, 1 ，并注意
2
2
如果差分格式无耗散（例如 都用中心差分），则通量分 裂不带来耗散。
x f x f x f
U t
0 x
f
a
U 0
xx
耗散
x f
0 x
f
0 x
f
0 x
(
f
f
)
0 x
f
向上平移
分裂后的流场越偏离原先流场，则 总体耗散越大
=
+
向下平移
如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）
5）变换回物理空间
f j1/2
(f
j 1/
2
f
j 1/ 2
)
S1 j 1/
2
(f
j 1/ 2
f
j 1/
2
)
差分格式， 例如：
fˆ j1/ 2
=f
j
+1/
2
min
fˆk =S j1/2fk
fˆk
=S
f
j1/2 k
网格基架点 k=…, j-2, j-1, j,…
4）在特征空间计算j+1/2值
fˆ
j 1/ 2
=fˆ
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
j 1
,...)
fˆ
j 1/ 2
=fˆ
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
,
j 1
...)
1 u, 2 u c, 3 u c k , k (k 1,2,3)
4） 带入（1）式得到 f , f
5） 利用不同的迎风格式，分别计算
f f ,
x x
（后差，前差）
6）计算 f f f x x x
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
（1） ~f (~λ)
2
(
21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
j
Aj
U x
j
0
… j-2 j-1 j j+1 …
U
计算：A j x j 在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理
U A j x j
A j Sj 1ΛjSj
局部冻结系数
A
j
U x
j
S
1 j
ΛS
j
U x
f1 [u, u2 p, uv,u(E p)]T
f 2 [v, uv, v2 p,v(E p)]T
令： f f1 f2
具体使用步骤， 以计算 f1 为例 x
则：
~f (~)
2
~0
2
V2
~3 2
[~~u001u2v~0v~~1233~]uv311 ~2~4~~444[vuu2222
y 1 2 v,3 v c,4 v c
二维、三维具体 公式见傅德薰等《计算空气动力学》 4.7节 （158-162）
书中公式有一定的排版错误，使用C前opy务righ必t by重Li X新inli仔ang细推导！
9
B: Lax-Friedrichs (L-F)分裂
A (A *I) / 2, A (A *I) / 2
2c] 2c]2
Copyright by Li Xinliang
f1
c[ Ma 1]2 2
11
FVS分裂： 优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大
f(U) f (U) f (U)
x
x
x
f AU S1ΛSU
利用了性质 f(U) A U (AU)