6 地图投影的变形

为球面上一点， 设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度 为球面上一点 ），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为 是微小圆周上一点， （为1）， ）， 是微小圆周上一点 x2+y2=1 o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y） 的投影， 为 的投影 以主方向作为坐标轴， （ ） （ ） 的投影，令主方向长度比为a和 ， 的投影，令主方向长度比为 和b，则: x’/x= a, y’/y= b y =y’/b 则:x =x’/a, (x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得 为圆上一点， 为圆上一点 将其代如圆的方程，
P=dF’/dF=abπ/π12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬 线方向就是主方向时： 线方向就是主方向时： P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比 若经纬线方向不是主方向时，则面积比: P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角 P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角) 为投影后经纬线夹角) 面积比是个变量，它随点位置不同而变化。 面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 表示。 是面积比与1之差，以Vp表示。 表示 Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零， 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加； 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩小。 变形为负，表示投影后面积缩小。
三、地图投影的分类
地图投影的种类很多， 地图投影的种类很多，由于分类的标志不 分类的方法也不同。 同，分类的方法也不同。 （一）按地图投影的构成方法分类 分为几何投影和非几何投影 分为几何投影和 几何投影 （二）按投影变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长 地球球面投影到平面时， 角度和面积三种，根据变形特征可分为： 度、角度和面积三种，根据变形特征可分为： 等角投影、等积投影和任意投影三种 三种。 等角投影、等积投影和任意投影三种。
(x/a)2+(y/b)2=1
这是一个椭圆 方程， 方程，这表明该微 小圆投影后为长半 径为a短半径为 短半径为b 径为 短半径为 的椭圆， 的椭圆，这种椭圆 可以用来表示投影 后的变形， 后的变形，故叫做 变形椭圆。 变形椭圆
M
M
（三）投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,wenku.baidu.com影到平面上为ds’,如图 所示。
面这一对矛盾的一种方法。
①当视点（光源）位于地 球球心时，即视点距投影 面距离为R时，称为中心射 方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球 表面时，即视点到投影面 距离为2R时，称为平射方 位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限 远时，投影线（光线）成 为平行线，称为正射投影。
2.解析法 2.解析法 随着科学生产的发展，几何 透视法远远不能满足编制各种类 型地图的需要，这样推动了地图 投影的发展，出现了解析法。所 谓解析法就是不借助于几何投影 光源（而仅仅借助于几何投影的 方式），按照某些条件用数学分 析法确定球面与平面之间点与点 之间一一对应的函数关系。 X=f1(φ、λ) Y=f2(φ、λ) 函数的f1f2具体形式，是由给定 的投影条件确定的。有了这种对 应关系式，就可把球面上的经纬 网交点表示到平面上了。
以圆锥面作为投影面， ⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上， 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。 面展为平面而成。
2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法 确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中， 一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪 圆锥投影和多圆锥投影等。
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。 用公式表示为： μ=ds’/ds 长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还 随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之 比。
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比， 通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比， 而只研究一些特定方向的长度比， 研究最大长度比（ 而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a） 和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。 和最小长度比（ 经线长度比（ 和纬线长度比（ 投影后经纬线成直交者， 投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长 度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ, θ,则经纬线长度比 度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 和最大、最小长度比a 之间具有如下关系： m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系： m2+n2=a2+b2 m·n·sinθ=a·b 用长度比可以说明长度变形。 用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度 由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正， 由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表 示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短； 示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短； 长度变形为零，则长度无变形。 长度变形为零，则长度无变形。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线 夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]: 见教 材。
5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同 点的变形数量常常是不一样的， 点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分 布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线， 布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根 据计算的各种变形的数值（ p,w）绘于经纬线网格内的， 据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的， 如面积等变形线。 如面积等变形线。 等变形线在不同的投影 图上，具有不同的形状， 图上，具有不同的形状， 在方位投影中， 在方位投影中，因投影中 心点无变形， 心点无变形，从投影中心 向外变形逐渐增大， 向外变形逐渐增大，等变 形线成同心圆状分布。 形线成同心圆状分布。 等变形线通常是用点虚 线来表示的。 线来表示的。
（2）等积投影 投影后图形保持面积 大小相等，没有面积误差。 也就是球面上的不同地点 微小圆投影后为面积相等 的各个椭圆，但椭圆的形 状不一样。因此有角度和 长度变形。 等积投影的条件是： Vp=p―１＝０ p=1 因为 p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在 图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高 的自然地图和经济地图。
（二）按投影变形性质分类 （1）等角投影（正形投影） 角度变形为0，地球面上的微 小圆经过投影后仍为相似的微小 圆，其形状保持不变，只有长度 和面积变形。等角投影的条件是： w=0 sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向 的长度比都相等，但在不同地点 长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、 风向图等地形图。
比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：vμ=μ-1 之差， 表示长度变形则： =μ-
2)主方向 由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的 微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点， 过o作两条垂线ac和 bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面 上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角 b’o’c’。
（3）任意投影 任意投影是既不等 角也不等积的投影。这 种投影的特点是面积变 形小于等角投影，角度 变形小于等积投影。 在任意投影中，有 一种特殊的投影，叫做 等距投影，其条件是， m=1。即误差椭圆上的 一个半径和球面上相应 微小圆半径相等。
等角投影 等积投影 等距投影 任意投影
如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆 的形状。通过比较可以看出： 的形状。通过比较可以看出： 等积投影不能保持等角特性， ①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等 积特性。 积特性。 任意投影不能保持等积、等角特性。 ②任意投影不能保持等积、等角特性。 等积投影的形状变化比较大， ③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形 比较大。 比较大。
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地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬 网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地 图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光 源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象
这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何 投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平 投影或者几何透视法。
b b’
a o
c
a’ o’
c’
d
d’
设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋 转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角 转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原 来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影 有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变
二、地图投影的变形 （一）投影变形的性质 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面， 论采用什么投影方法， 论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上 的经纬网形状不完全相似。 的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发 生了变形。 生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地 面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图， 面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须 了解投影后产生的变形， 了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图投 影的重要组成部分。 影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布 规律，具有重大的实际应用价值。 规律，具有重大的实际应用价值。
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征， 为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆 取地面上一个微分圆（ 取地面上一个微分圆
的面积要足够小， 的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 即可将它作为平面看待），将这样一个微 ）， 分圆投影后变为椭圆， 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
（一）按地图投影的构成方法分类 1.几何投影 几何投影是把地球球面上的经纬线网投影到几何面 上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形 状，可进一步分为如下几类： ⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
⑵圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面 相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后 将圆柱面展为平面而成。
化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二 化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交， 主方向 直交直线方向，称之为主方向。 直交直线方向，称之为主方向。 a’
a
d o
b
d’ o’
b’
c
c’
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较， 来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比， 可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形 3)面积比与面积变形 投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积 之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: