正四面体的性质 (2)

正四面体的性质及应用

设正四面体ABCD 的棱长为a ，则存在以下性质：

【性质1】正四面体的3对相对棱互相垂直，任意一对相对棱之间的距离为

a 22 【性质2】正四面体的高=h a 3

6 【性质3】正四面体的表面积为23a .体积为

3122a 【性质4】正四面体的内切球半径为=r a 126.外接球半径为=R a 4

6且4:3:1::=h R r

【性质5】正四面体底面内任一点O 到三个侧面的距离之和为

a 36 【性质6】正四面体内任一点到四个侧面的距离之和为a 3

6 【性质7】正四面体的侧棱与底面所成的二面角大小为: 36arccos

【性质8】正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为: 3

1arccos 【性质9】设正四面体侧棱与底面所成的角为α,相邻两侧面所成的二面角的大小为β,则有βαtan 2tan =

【性质10】正四面体的外接球的球心与内切球的球心O 重合且为正四面体的中心

【性质11】中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等为3

1arccos -π

【性质12】正四面体内接于正方体,且它们共同内接于同一个球.球的直径等于正

方体的体对角线.( V

正四面体: V

正方体

: V

球

= 2 : 6 : 3

3)

二.正四面体性质的应用

【例1】一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a.求此球的体积.【例2】在正四面体ABCD.E,F分别为棱AD,BC的中点,连结AF,CE.①异面直线AF 和CE所成的角_______②CE与平面BCD所成的角_______

【例3,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为________

【例4】四面体的ABCD的表面积为S , 其四个面的中心分别为E , F , G , H .设四面体EFGH的表面积为T , 则 S : T = _______