导数的应用练习题

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导数运算法则的应用试题及答案

导数运算法则的应用试题及答案导数运算法则的应用试题1.若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( ) A.2(1)(2)f f < B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D.(1)(2)f f =2.已知函数()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x xf x f x x +=，且1()2f e e=，则()f x 的单调性情况为（）A ．先增后减B 单调递增C ．单调递减D 先减后增3.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e为自然对数的底数）的解集为（） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞5.)0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3） C ．（－3，0）∪（3，+∞） D ．（－∞，－3）∪（0，3）6.若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定7.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（） Aππ()2()43f B ．(1)2()sin16πf f C ππ()()64f D ππ()()63f8.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足x x f x f >')()(，则下列不等式成立的是（） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <9.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<0}C ．{x|x<－1或x>1}D ．{x|x<－1或0<x<1}10.设函数在R 上存在导数，对任意的R ，有，且(0，+)时，．若，则实数a 的取值范围为( )(A)[1，+∞) (B)(-∞，1] (C)(-∞，2] (D)[2，+∞)()f x '()f x x ∈2()()f x f x x -+=x ∈∞'()f x x >(2)()22f a f a a --≥-11.设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（）A.()()0a f a e f <B.()()0a f a e f >C.()()0a f f a e <D.()()0af f a e>12.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( ) A.（－1, 1） B.（－1，+∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）13.已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，()()f x f x '>对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则（） A ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅ B ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅=⋅ C ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅>⋅D ．2013(2014)e f ⋅与2014(2013)e f ⋅的大小不能确定14.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2)15．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数)(x f '在R 上恒有21)(<'x f ，则不等式212)(+<x x f 的解集为（ ) A. ),1(+∞ B. )1,(-∞ C. )1,1(- D. )1,(-∞),1(+∞16.已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则,,a b c 的大小关系是（）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>17.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定导数运算法则的应用试题参考答案1.【答案】Ａ试题分析：设x x f x g )()(=，则2)()()(xx f x f x x g -'='， ∵'()()f x xf x <，∴0)(>'x g ，即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴),2()1(g g <即)2()1(22)2(1)1(f f f f <⇒<，故选：A ．2.【答案】C试题分析：由ln '()2()xxf x f x x+=知，22()2()(())ln x f x xf x x f x x ''+==，故2()x f x =ln x x x c -+，所以()f x =2ln 1x c x x x -+，因为1()2f e e =，所以c=2e ，所以()f x =2ln 12x ex x x-+，所以()f x ' =2231ln 1x e x x x -+-=32ln x x x ex --，设()h x =2ln x x x e --，所以()h x '=1ln x -，当0＜x ＜e 时，()h x '＞0，当x ＞e 时，()h x '＜0，则()h x 在（0，e ）是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，所以当x e =时，()h x 取最大值()h e =0，所以当x ＞0时，()h x ≤0，即()f x '≤0，所以()f x 单调递减，故选C ． 3.【答案】A 试题分析：∵()f x 为(0,)上的单调递减函数，∴0fx ，又∵'()()f x x f x ，∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，设h （x ）=，则h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x ＞0，f′（x ）＜0，∴f （x ）＜0．∵h （x ）=为(0,)上的单调递减函数，∴＞⇔＞0⇔2f （3）﹣3f （2）＞0⇔2f （3）＞3f （2），故A 正确；由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ；同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ；1•f（2）＞2f （1），排除D ；故选A ． 4.【答案】A 试题分析：令()()3--=x x e x f e x g ，由于()()03100=--=f g ，()()()x x x e x f e x f e x g -'+='()()()01>-'+=x f x f e x 所用()x g 在R 上是增函数，()()0,0>∴>∴x g x g5.【答案】C ．试题分析：由题意()()f xg x 是奇函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<时，2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，则()()f x g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上也为减函数，又有(3)0f -=，则有(3)(3)0,0(3)(3)f f g g -==-，可知()0()f xg x <的解集为()3,0(3,)-⋃+∞.6.【答案】C 试题分析：构造函数x e x f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 7.【答案】D 【解析】()()tan f x f x x '<⋅0cos sin )(cos )(0cos sin )()('<'-⇔<⋅-⇔xxx f x x f x x x f x f ，又因为0cos ),2,0(>∴∈x x π，从而有：0sin )(cos )(<'-x x f x x f ；构造函数,sin )()(xx f x F =则)2,0(,0sin cos )(sin )()(2π∈>-'='x xx x f x x f x F ，从而有)(x F 在(0,)2π上是增函数，所以有)3()6(ππF F <即：)3()6(33sin )3(6sin )6(ππππππf f f f <⇒<，故选Ｄ．8.【答案】A 试题分析：∵f(x)在(0,)+∞上单调递减，∴'()0f x <,又∵x x f x f >')()(，∴f(x)<'()xf x ,令0)()(')('g ,)()(g 2>-=∴=x x f x xf x x x f x ，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，∴g(2)>g(1),即2)2(f 3)3(f >，即3f(2)<2f(3),A 正确． 9.【答案】A 【解析】构造函数g(x)＝e x ·f(x)－e x ，因为g′(x)＝e x ·f(x)＋e x ·f′(x)－e x ＝e x [f(x)＋f′(x)]－e x >e x －e x ＝0，所以g(x)＝e x ·f(x)－e x 为R 上的增函数．又因为g(0)＝e 0·f(0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.故选A.10.【答案】B 【解析】()221)(x x f x g -=,()()0>-'='x x f x g ,()()()()02=--+=-+x x f x f x g x g ,所以()x g 既是增函数又是奇函数，()()()()()()22221,2221222122a a f a g a a a f a a f a g -=-+--=---=-,由已知,得()()⇔≥-a g a g 21222≤⇒≥⇒≥-a a a a ,故选B.11.【答案】C 【解析】试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R 内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a e f a f <，∴()()0af f a e<. 12.【答案】C 试题分析：构造函数()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=->，所以函数()g x 是增函数，又()()1130g f -=--=，所以()0g x <的解集是(),1-∞-，即()36f x x <+的解集是(),1-∞-.13.【答案】A 试题分析：函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，满足()()f x f x '>，则函数为指数函数，可设函数()()xf xg x e=，则导函数'''22()()(()())()x x x x xf x e f x e f x f x eg x e e --==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <，()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，(2013)(2014)g g >，即20132014(2013)(2014)f f e e>，从而得20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅．(2)()22f a f a a --≥-14.【答案】D 试题分析：根据2()()0xf x f x x '-<和构造的函数()()f x g x x=在（0，+∞）上单调递减，又)(x f 是定义在R 上的奇函数，故)(x f 是定义在R 上单调递减. 因为f （2）=0，所以在（0，2）内恒有f （x ）＞0；在（2，+∞）内恒有f （x ）＜0．又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f （x ）＞0；在（-2，0）内恒有f （x ）＜0．又不等式x 2f （x ）＞0的解集，即不等式f （x ）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．15．【答案】A 试题分析：212)(+<x x f 可化为0212)(<--x x f ，令212)()(--=x x f x g ，则21)()(-'='x f x g ，因为21)(<'x f ，所以0)(<'x g 0，所以)(x g 在R 上单调递减，当1>x 时，02121)1()1()(=--=<f g x g ，即212)(+<x x f ．所以不等式212)(+<x x f 的解集为),1(+∞．故选A ．16.【答案】12试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '+<，构造函数()()g x xf x =，则()()()0,(,0)g x xf x f x x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因2lg 30>>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，而21(2)(2)(log )4g g g =->，所以有c a b >>，选A.17.【答案】C 试题分析：令()()x f x g x e=，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e --==，因为对任意x R ∈都有'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln3<，所以(ln 2)(ln3)g g <，即ln 2ln3(ln 2)(ln 3)f f e e <，所以(ln 2)(ln 3)23f f <，即3(ln 2)2(ln3)f f <，故选C ．。

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用(附答案解析)

2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用一．选择题（共8小题）1．（2021秋•湖北期中）若f（x）＝e x•lnx，则f（x）的切线的倾斜角α满足（）A．一定为锐角B．一定为钝角C．可能为直角D．可能为0°2．（2021秋•运城期末）已知，则f′（x）＝（）A．cos x B．﹣cos x C．sin x D．﹣sin x 3．（2021秋•新化县期末）若函数f（x），g（x）满足f（x）+xg（x）＝x2﹣1，且f（1）＝1，则f'（1）+g'（1）＝（）A．1B．2C．3D．44．（2021秋•怀仁市校级期末）已知f（x）＝cos2x+e2x，则f'（x）＝（）A．﹣2sin2x+2e2x B．sin2x+e2xC．2sin2x+2e2x D．﹣sin2x+e2x5．（2021春•番禺区校级期中）函数y＝cos（1+x2）的导数是（）A．2x sin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2x sin（1+x2）D．2cos（1+x2）6．（2020•南充模拟）设a∈R，函数f（x）＝e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x ）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C ．D ．7．（2019春•南开区校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin xB．（lnx﹣2x ）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′＝8．（2015春•郑州期末）若函数f（x）＝，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数第1页（共12页）。

2022届高考数学二轮专题：导数的简单应用

导数的简单应用1．导数与函数的单调性1．已知函数22ln 03()()f x x xx a a，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】20,1,5U 【解析】31()4f x x a x，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，即31()40f x x a x 或31()40f x x a x在[1，2]上恒成立，即314x a x 或314x a x在[1，2]上恒成立．令1()4h x x x ，则h (x )在[1，2]上单调递增，所以3(2)h a 或3(1)h a，即3152a 或33a，又a >0，所以205a 或a ≥1，故答案为 20,1,5U ．2．若函数2ln )01(2()2a h x x a x x 在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．【答案】 1,00, U 【解析】函数2l 1()2n 2h x x ax x，则1()2h x ax x，因为h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，所以)0(h x 在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，212a x x有解，令212()g x x x，而当x ∈[1，4]时，令11[,1]4t x ，212()g x x x，即为2()2t t t ，此时min ()(1)1t (此时x ＝1)，所以1a ，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 1,00, U ，故答案为 1,00, U ．3．已知函数2(n )3l 124f x x x x，则f (x )的极值点为x ＝________；若f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．【答案】1，3， 0,12,3U 【解析】由题意知3(1)(3)()4(0)x x f x x x x x，由()0f x ，得1x 或3x ，()0f x 时，13x ；()0f x 时，01x 或3x ，所以()f x 在(0,1)和(3,) 上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以函数f (x )的极值点为x ＝1，3．因为函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，所以111t t 或313t t，解得01t 或23t ，故答案为1，3； 0,12,3U ．4．（多选）若对任意的1x ， 2,x m ，且12x x ，都有122121ln ln 2x x x x x x ，则m 的值可能是（）（注e 2.71828 …为自然对数的底数）A．13B．1eC．3eD．1【答案】BCD【解析】由题意，210x x ，得210x x ，则122121ln ln 2x x x x x x 等价于122121ln ln 2x x x x x x ，即121212ln 2ln 2x x x x x x ，所以 1221ln 2ln 2x x x x ，则2121ln 2ln 2x x x x，令 ln 2x f x x，可得 21f x f x ，又21x x m ，所以 f x 在 ,m 上是减函数，所以 2ln 10x f x x，解得1e x ，则1em ．故m 可能值B、C、D 符合要求，故选BCD．5．已知函数 ln(1)()1xf x xa x aR ，求函数f (x )的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】因为ln ()(1)()11f x x xa x x，所以 221111((1))a a x x f x x ax，当a ≤0时， 0f x ，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)．当a ＞0时，由()01f x x，得111x a ；由()01f x x ，得11x a ．所以函数f (x )的单调递增区间是1(1,1)a ；单调递减区间是1(1,)a．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是1(1,1a；单调递减区间是1(1,)a．6．已知函数2()(1)e xf x k x x ，其中k ∈R ．当2k 时，求函数()f x 的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】由题设，()e 2(e 2)xxf x kx x x k ，当0k 时，e 20x k ，令()0f x ，得0x ；令()0f x ，得0x ，故()f x 的单调递增区间为(,0) ，单调递减区间为(0,) ．当02k 时，令()0f x ，得0x 或2ln 0x k，当02k ，即2ln0k时，当()0f x 时，2ln x k 或0x ；当()0f x 时，20ln x k，故()f x 的单调递增区间为(,0) 、2(ln ,)k ，减区间为2(0,ln )k．当2k ，即2ln 0k时，在R 上 0f x 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(,) ．7．已知函数2()1e x f x ax x （a R 且0a ）．（1）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间．【答案】（1）210x y ；（2）答案见解析．【解析】（1）∵2()1e x f x ax x ，∴22()(21)e 1e (21)2e x x xf x ax ax x ax a x ，∴(0)2f ，又(0)1f ，∴12y x ，∴所求切线方程为210x y ．（2）由题意知，函数()f x 的定义域为R ，由（1）知2()(21)2e xf x ax a x ，∴()(1)(2)e xf x ax x ，易知e 0x，①当0a 时，令()0f x ，得2x 或1x a ；令()0f x ，得12x a．②当102a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．③当12a 时， 0f x ．④当12a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．综上，当12a时，函数()f x 的单调递增区间为12,a ，单调递减区间为1,a，(,2) ；当12a 时，函数()f x 在R 上单调递减；当102a时，函数()f x 的单调递增区间为1,2a，单调递减区间为(2,) ，1,a；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为1,a ，(,2) ，单调递减区间为12,a．8．已知函数 2ln af x x a x x，0a ，讨论 f x 的单调性．【答案】答案见解析．【解析】由 f x 的定义域为 0, ，且 222221a a x ax af x x x x．令 22g x x ax a ，则244Δa a ．①当2440Δa a ，即01a 时，对任意的0x 有()0g x ，则()0f x ，此时，函数 y f x 在 0, 上单调递增；②当2440Δa a ，即1a 时，()0g x 有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x ，令220x ax a ，解得1x a ，2x a ．解不等式()0f x ，可得a x a解不等式()0f x ，可得0x a 或x a ．此时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．综上，当01a 时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, ，无递减区间；当1a 时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．9．已知函数 ln 2af x x x a xR ．（1）若1x 是 f x 的极大值点，求a 的值；（2）讨论 f x 的单调性．【答案】（1）1 ；（2）见解析．【解析】（1）因为 ln 2af x x x x，定义域为 0, ，则212()ax x f x，由1x 是 f x 的极大值点，故0(1)f ，解得1a ，此时 2222211121(1)2f x x x x x x x x x，令0()f x ，则1x 或12（舍），故当 0,1x 时，0()f x ， f x 单调递增；当 1,x ，0()f x ， f x 单调递减，故1x 是 f x 的极大值点，满足题意．故1a ．（2）因为 ln 2af x x x x ，定义域为 0, ，则222122) (f x a x x a x x x，对22y x x a ，其18Δa ，当0Δ 时，即18a 时， 0f x ， f x 在 0, 单调递减；当0Δ 时，即18a时，令 0f x ，则114x ，214x ，且12x x ，当0a 时，120,0x x ，故当 20,x x ，0()f x ， f x 单调递增，当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减；当108a，120x x ，故当 10,x x ， 0f x ， f x 单调递减，当 12,x x x ， 0f x ， f x 单调递增；当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减．综上所述：当0a 时， f x 在1180,4 单调递增，在118,4单调递减；当108a 时， f x 在10,4 和1,4单调递减，在11,44单调递增；当18a时， f x 在 0, 单调递减．2．导数与函数的极值1．已知函数 sin cos xf x a x在区间 π,π 上的图象如图所示，则a （）A．2B．2C．2D．2【答案】B【解析】法一：当 0,πx 时，222cos cos sin cos 1cos cos x a x xa x f x a x a x，设01cos x a，其中 00,πx ，则 00f x ，另外0sin 0x，所以0sin x ，故000sin 2cos x f x a x a a，解得52a ，又因为0π102f a a，所以2a ，故选B．法二：由0π102f a a， sin sin cos cos xm x m x ma x ma a x，从而sin x由于 sin 1x1，解得m，又从图象可以看出 sin 2cos xf x a x，即2m2，解得2a ，由于0a ，故52a，故选B．2．已知函数32()3f x x x ax 在1x 处取得极值，若()f x 的单调递减区间为(,)m n ，n m （）A．5B．4C．5 D．4【答案】B【解析】∵32()3f x x x ax ，∴2()36f x x x a ，由题设可得(1)360f a ，解得9a ，即 ()331f x x x ，令 ()3310f x x x ，解得31x ，则函数()f x 的单减区间 ,m n 就是 3,1 ，则4n m ，故选B．3．已知函数 32,02a f x x x bx a b 的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（）A．49B．94C．1681D．8116【答案】D【解析】对 322a f x x x bx求导得 23f x x ax b ，因为函数 f x 的一个极值点为1，所以 130f a b ，所以3a b ，又,0a b ，于是得2239224a b ab，当且仅当32a b 时等号成立，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116，故选D．4．若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A． 2,2B．C． D．22 ,【答案】D【解析】由22e x x a f x x 可得222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f x a ，e 0x 恒成立， 222y x a x a 为开口向上的抛物线，若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则 2220y x a x a 恒成立，所以 22420Δa a ，解得22a ，所以实数a 的取值范围为 2,2 ，故选D．5．若函数3211()(3)(6)32f x x m x m x(m 为常数)在区间[1,) 上有两个极值点，则实数m 取值范围是_________．【答案】3, 【解析】由题意得 236f x x m x m ．∵函数 f x 在 1, 内有两个极值点，∴ 236f x x m x m 在 1, 内与x轴有两个不同的交点，如图所示：∴ 2(3)46011360312Δm m f m m m，解得3m ，故答案为 3, ．6．（多选）已知函数 321f x x ax bx （0a ，b R ）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）A．2239a b aB．2239a b aC．2219a b aD．2219a b a【答案】B【解析】 321f x x ax bx Q ， 232f x x ax b ，设12,x x 是方程2320x ax b 的两个实数根，根据题意可知12x x ，不妨设12x x ，则12122·33bx x a x x，，且 120f x f x ，即3232111222110x ax bx x ax bx ，化简得22221212121212·2x x x x x x a x x b x x ，将12122·33b x x a x x ，代入化简计算得3348229273a a ab ，2239a b a，选项B 正确，选项ACD 错误，故选B．7．若2x 是函数 2224ln f x x a x a x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A． ,2 B． 2, C． 2, D．2,2 【答案】A【解析】 22224224222x a x a x x a a f x x a x x x， 0x 若0a 时，当2x 时， 0f x ；当02x 时， 0f x ，则 f x 在 0,2上单调递减；在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，与条件不符合，故不满足题意．当2a 时，由 0f x 可得02x 或x a ；由 0f x 可得2x a ，所以在 0,2上单调递增；在 2,a 上单调递减，在 ,a 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极大值，满足条件．当20a 时，由 0f x 可得0x a 或2x ；由 0f x 可得2a x ，所以在 0,a 上单调递增；在 ,2a 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，不满足条件．当2a 时， 0f x 在 0, 上恒成立，即 f x 在 0, 上单调递增．此时 f x 无极值．综上所述：2a 满足条件，故选A．8．已知函数 2e 2ln xf x k x kx x，若2x 是函数 f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A． 0,2B．2, C．e ,2D．2e ,4【答案】D【解析】由题意， 2e 2ln 0xf x k x kx x x ， 22e x x f x k x x，记 2e xg x k x ，则 3e 2x x g x x ，则 0,2x 时， 0g x ， g x 单调递减； 2,x 时， 0g x ， g x 单调递增，所以 2mine 24g x g k ．若2e 4k ，则 0,2x 时， 0f x ， f x 单调递减；2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是2x 是函数 f x 的唯一极值点．若2e 4k ，则 2e 204g k ，易知 21g x k x，于是0x k 时， 0g x ；设 e 2xx x x ， 2e 1e 10xx ，即 x 在 2, 上单调递增，所以 2e 20e xx x ，则6x 时，33e e 327xxx x ，此时 27x g x k ，于是6x 且27x k 时， 0g x ．再结合函数 g x 的单调性可知，函数 g x 在 0,2,2, 两个区间内分别存在唯一一个零点12,x x ，且当 10,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 1,2x x 时， 0f x ，f x 单调递增， 22,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是函数 f x 存在3个极值点，综上所述2e 4k ，故选D．9．已知函数3()3ln f x x x x ．（1）求曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程；（2）若函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）730x y ；（2）55,43．【解析】（1）解：因为函数3()3ln f x x x x ，所以 2133f x x x，则21(1)31371f，3(1)131ln14f ，所以曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程为 471y x ，即730x y ．（2）解：因为3232()3ln 3ln 33g x x x x ax x x ax x ，所以2()363g x x ax ，函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于2()363g x x ax 在区间（2，3）中至少有一个变号零点，因为函数2()363g x x ax 的对称轴为x a ，当2a 或3a 时，函数2()363g x x ax 在区间（2，3）上单调，所以(2)(3)0g g ，即 151230180a a ，解得5543a ，满足题意；当23a 时，函数2()363g x x ax 在区间 2,a 是单调递减，在区间 3a ，是单调递增，则需 2>00g g a或 3>0g g a ，即21512>0330a a 或23018>0330a a，解得514a 或1a ，与23a 相矛盾，所以实数a 的取值范围55,43．10．已知函数 221ln f x x a x a x ，其中a R ．（1）求函数 y f x 的极值；（2）若函数 f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2） 1, ．【解析】（1）∵ 221ln f x x a x a x ，函数 f x 的定义域是 0, ，∴ 222221212210x a x a x x a a f x x a x x x x，当0a 时， 0f x ，函数 f x 单调递增，此时无极值；当0a 时，0x a ， 0f x ，函数 f x 单调递减；x a ， 0f x ，函数 f x 单调递增，故 ln 1f a a a a 是极小值，无极大值；综上：当0a 时无极值；当0a 时， ln 1f a a a a 是极小值，无极大值．（2）当0a 时， f x 单调递增， f x 最多有一零点，不满足条件；当01a 时， f x 的极小值是 ln 1a a a ，设 ln 1g x x x ， 10xg x x， g x 在0x 单调递增，∵ 1ln1110g ，01a ，∴ 0g a ，则 f x 的极小值大于等于零， f x 最多有一零点，不满足条件；当1a 时， f x 的极小值 f a ag a ，∵ 10g a g ， 0f a ，2111210e e e e f a，所以在1,e a必有一零点；2333ln 33ln 3330f a a a a a a a a a a ， f x 在 ,3a a 也有一零点，满足条件，故a 的取值范围是 1, ．3．导数与函数的最值1．已知函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，则mn 的最小值是（）A．12eB．12eC．2eD．2e【答案】A【解析】由函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，得ln 2m n ，则1ln 2mn m m，令11()ln ,0,()(1ln )22h m mn m m m h m m ，当1e m 时，()0h m ；当10em 时，()0h m，所以函数 h m 在10,e上递减，在1,e递增，所以min 11()e 2e h m h，即mn 的最小值是12e，故选A．2．已知函数 1ln ,111,12x x f x x x，若m n ，且 2f m f n ，则m n 的最小值等于（）A．42ln 3 B．43ln 2C．23ln 2D．32ln 2【答案】D【解析】由解析式知： f x 在各区间上均为增函数且连续，故在R 上单调递增，且 11f ，所以 2f m f n 时，可设1m n ，则 111ln 22f m f n m n ，得 12ln 1m n n ，于是12ln m n n n ，令 12ln 1g x x x x ，则 21g x x，所以在(1,2)上， 0g x ；在(2,) 上， 0g x ，故()g x 在(1,2)上递减，在(2,) 上递增，所以 g x 的极小值也是最小值，且为 232ln 2g ，故m n 的最小值是32ln 2 ．故选D．3．函数 e ,e 1,x xx af x x x a，若存在1 x R ，对任意x R ， 1f x f x ，则实数a 的取值范围是（）A． ,0 B．,0 C．0,1D．0,1【答案】A【解析】由题意可知，函数 f x 在R 上存在最大值，令 e e x xg x，其中x R ，则e 1e xx g x ．当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递增，当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递减，所以， max 11g x g ．①若0a ，当x a 时， 111f x x a ，此时 f x 存在最大值；②若0a ，则当x a 时，存在0x a 使得 0011f x x ，此时函数 f x 无最大值．综上所述，0a ，故选A．4．（多选）若函数 3220f x x ax a 在6,23a a上有最大值，则a 的取值可能为（）A．6 B．5C．3 D．2【答案】AB【解析】 322f x x ax ，则 26263a f x x ax x x，当,3a x和 0, 时， 0f x ，函数单调递增；当,03a x时， 0f x ，函数单调递减． f x 在3ax 处取极大值为3327a a f．函数 3220f x x axa 在6,23a a上有最大值，故6233a a a ，且633a a f f，即3236732632a a a a ，解得4a ．故选AB．5．若函数2221e x f x x x a 存在最小值，则实数a 的取值范围是_________．【答案】,0 【解析】因为函数2221e x f x x x a ，所以2243e x f x x x a ，当1a 时， 16430Δa ，2430x x a ，又2e 0x ，所以2243e 0x f x x x a ，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时无最小值；当1a 时， 16430Δa ，则2430x x a 有两个不等实根，设2430x x a 两个不等实根 1212,x x x x ，则1222x x ，所以函数()f x 在区间 1,x 和 2,x 上单调递增，在区间 12,x x 上单调递减，所以2x x 是函数()f x 的极小值点，又x 时，2e 0x ，所以 221e0x f x x a，所以要使得函数()f x 存在最小值，则函数()f x 的最小值只能为2()f x ，且2()0f x ，即22222222221e1e 0x x x x a x a，所以2201a ，即20 ，解得0a ，所以 ,0a ，故答案为 ,0 ．6．已知0m ，函数 ln 12x x mxf x x e，若函数 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，则m 的取值范围为__________．【答案】 ,2e 【解析】因为 ln 12x x mxf x x e ，所以 21ln xm x x f x x e，因为0m ，所以当01x 时， 0f x ；当1x 时， 0f x ，所以当1x 时， f x 取得最大值1me，因为 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，所以11me，解得2m e ，所以m 的取值范围为 ,2e ，故答案为 ,2e ．7．已知函数()e 2xf x x ．（1）求曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程；（2）若 1,1x ，求函数 f x 的最值．【答案】（1）1y x ；（2）函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．【解析】（1）函数()e 2xf x x ，求导得()e 2xf x ，则(0)1f ，而(0)1f ，所以曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程为1y x ．（2）由（1）知，由()e 20xf x ，解得ln 2x ，而 1,1x ，当1ln 2x 时，()0f x ；当ln 21x 时，()0f x ，因此，()f x 在[1,ln 2] 上单调递减，在[ln 2,1]上单调递增，则当ln 2x 时，ln 2min ()e 2ln 222ln 2f x ，而1(1)2e f，(1)e 2f ，显然12e 2e ，即有max 1()(1)2ef x f ，所以函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．8．已知函数 2ln f x a x x，a R ．（1）若曲线 y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，求a 的值；（2）当0a 时，求函数 f x 在区间 0,e 上的最小值．【答案】（1）1a ；（2）当20e a时，最小值为2e a ；当2e a 时，最小值为2ln a a a ．【解析】（1）解：因为 2ln f x a x x ，所以22()af x x x，∵曲线()y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，又直线2y x 的斜率为1，∴22(1)111af ，∴1a ．（2）解：∵2222(),(0,)a ax f x x x x x，0,0a x Q ， ①当0a 时，在区间 0,e 上22()0f x x，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2(e)ef ．②当20e a ，即2e a 时，在区间2(0,)a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(0,)a上单调递减，在区间2(,e]a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(,e]a上单调递增，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22()ln f a a a a．③当2e a ，即20ea 时，在区间 0,e 上，()0f x ，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值 e e2f a ．综上所述，当20e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2ea ；当2e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22(ln f a a a a．9．设函数 2e 4xf x mx x m ，m R ．关于m 的函数 h m 表示 f x 在0, 的最小值．（1）求 0h 的值；（2）求 h m 的最大值．【答案】（1） 01h ；（2）2e 2 ．【解析】（1）当0m 时， e xf x x ， e 10xf x ．所以 f x 在 0, 单调递增， min 01f x f ，所以 01h ．（2）注意到无论m 取何值， 22e 2f ，从而 2e 2h m ．下面验证，当2e 14m 时，上述不等式的等号能成立．当2e 14m 时， 22e 1e 44x f x x x ， 2e 1e 12xf x x ．设 F x f x ，则 22e 1e xF x ．当2e 10ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递减，当2e 1ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递增，故 F x 在区间210n e ,l 2单调递减，在区间21l e n ,2单调递增．而 020F ， 2e 11e 102F ， 20F ，故 F x 有两个零点，分别为 01x 和2x ．当0x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递减，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，因此 f x 在区间 0, 上单调递增，在 ,2 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以 21m e in 0,24h f f．而 202e 2f f ，所以22e 1e 24h．综上所述，当2e 14m 时， h m 取得最大值2e 2 ．。

导数的应用举例

典型例题 1
求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).

湖南专升本导数的几何应用例题

湖南专升本数学导数的几何应用例题一、导数的定义导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。

在几何上，导数可以被解释为函数图像上某一点处的切线斜率。

对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以用如下极限来表示：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)]/h二、切线方程考虑以下函数f(x) = x^2，我们来计算在点x0=1处的切线斜率。

首先求出函数在x0处的导数：f'(1) = lim(h->0) [f(1+h) - f(1)]/h= lim(h->0) [ (1+h)^2 - 1^2 ]/h= lim(h->0) [ 1 + 2h + h^2 - 1 ]/h= lim(h->0) [ 2 + 2h ]/h= 2得到切线斜率为2，接着我们来求出切线方程。

由于切线斜率为2，而且经过点(1,1)，所以切线方程为：y - 1 = 2(x - 1)即 y = 2x - 1三、拐点函数的拐点是指函数图像上的一个点，该点处的二阶导数发生了变号。

如果函数在拐点处的二阶导数为正，那么该点是一个极小值点；如果函数在拐点处的二阶导数为负，那么该点是一个极大值点。

考虑以下函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，我们来求出它的拐点。

首先求出函数的一阶导数和二阶导数：f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1f'(x) = 3x^2 - 6x + 3f''(x) = 6x - 6令f''(x) = 0，得到x = 1。

将x = 1代入二阶导数得到f''(1) = 6*1 - 6 = 0。

所以函数在x = 1处的二阶导数为0，该点是一个拐点。

四、曲线的凹凸性函数图像上的凹凸性可以由函数的二阶导数来描述。

如果函数在某点处的二阶导数为正，那么函数在该点处的图像是凹的；如果函数在某点处的二阶导数为负，那么函数在该点处的图像是凸的。

导数应用练习题

导数应用练习题在微积分中，导数是一个极为重要的概念。

它不仅是研究函数变化率的工具，也是应用到各个领域中的数学工具之一。

本文将介绍一些导数的应用练习题，通过解答这些题目，加深对导数概念的理解，并将其应用到实际问题中。

一、速度与加速度1.一辆汽车沿直线匀速行驶，其速度为v(t)=50t，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到5秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=50t，求0到5秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到5秒内的平均值，即：v(0到5秒平均) = (v(0)+v(5))/2 = (50*0+50*5)/2 = 125 m/s求0到5秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到5秒瞬时) = v(5) = 50*5 = 250 m/s2.一辆汽车沿直线运动，其速度随时间变化的函数为v(t)=3t²-2t+1，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到2秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=3t²-2t+1，求0到2秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到2秒内的平均值，即：v(0到2秒平均) = (v(0)+v(2))/2 = (3*0²-2*0+1+3*2²-2*2+1)/2 = (1+9-4+1)/2 = 7 m/s求0到2秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到2秒瞬时) = v(2) = 3*2²-2*2+1 = 9 m/s二、相关率问题1.一个圆的半径在增长，当半径的增长率为2 cm/s时，求当半径为5 cm时，圆的周长的增长率。

解：设圆的半径为r，圆的周长为C，根据圆的周长公式C=2πr，对该等式两边同时对时间求导，得到：dC/dt = 2π(dr/dt)题目已给出半径的增长率dr/dt=2 cm/s，半径r=5 cm，代入上述公式，得到：dC/dt = 2π(2) = 4π cm/s所以，当半径为5 cm时，圆的周长的增长率为4π cm/s。

2024届全国高考数学一轮复习好题专项(导数的综合应用)练习(附答案)

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（导数的综合应用）练习一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（） A ．3eB ．31e +C ．4eD ．41e +2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣1e ，﹣22e ] B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（） A ．[)3e,+∞B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________．二、提升练习1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（） A ．2B ．3C ．ln 2D ．52.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值；（2）证明：()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值；（2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >；（3）当1m >时，求()f x 的零点个数.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤；（2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<.9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值．（1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>. 三、真题练习1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．5．（2020·浙江省高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.()11ln x f x x x -=-+e x y =参考答案一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（） A ．3e B ．31e +C ．4eD ．41e +【答案】C 【答案解析】不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，化为不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，必然有0a >．令1=x e，化为：31b a e +…．令4a e =，1b =．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论．【答案详解】解：不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则0a >．令1=x e，则131a b e -+--…，化为：31b a e +…．令4a e =，1b =．不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即不等式20lnx ex -+…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，令()2f x lnx ex =-+，则1()1()e x e f x e x x --'=-=，可得：1=x e 时，函数()f x 取得极大值即最大值，1(1120f e=--+=，满足题意．可以验证其他值不成立．故选：C ．2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】函数零点即方程ax e =的解，2ax e x =（0x >），取对数得2ln ax x =，此方程有两个解，引入函数()ln 2g x x ax =-，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【答案详解】显然(0)1f =，()e ax f x =有两个零点，即方程ax e =，2ax e x =在(0,)+∞上有两个解，两边取对数得到2ln ax x =，令()ln 2g x x ax =-，1()2g x a x '=-，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，因为()g x 有两个零点，则11ln 1022g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得12e a <.所以正数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C ．3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e【答案】A 【答案解析】首先根据()0h x ≥求出2x ≥，进而参变分离解决恒成立的问题即可. 【答案详解】因为()()2xh x x e =-，所以()0h x ≥，即2x ≥，所以当2x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，即()2122xa a x e x x -≥-，即()()1222xx e x ax -≥-，当2x =时，()()1222xx e x ax -≥-恒成立，符合题意；当()2,x ∈+∞时，有12xe ax ≥，即2xe xa ≥，令()2x e m x x =，则()()2210x e x m x x-'=>，所以()m x 在()2,x ∈+∞上单调递增，而()22m e =，所以2e a ≥，故选：A.4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣1e ，﹣22e ]B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}【答案】D 【答案解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出1()f x e≤；结合题意得出()f x 在[]02，有且仅有1个解，计算(0)(2)f f 、的值即可. 【答案详解】当[]02x ∈，时()xxf x e =，则1()x xf x e-'=令()=0f x '，解得1x =，所以当[]01x ∈，时()0f x '>，()f x 单调递增；当[]12x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 1()(1)f x f e==，故1()f x e≤在定义域上恒成立，由22()(21)()0f x a f x a +--=有且只有2个实数根，得方程[]12()()02f x a f x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦有2个解，又1()f x e≤，所以111()022f x e -≤-<，则()f x 在[]02，有且仅有1个解，因为22(0)0(2)f f e ==，，则220a e <-<或1a e-=，所以220a e-<<或1a e =-，即实数的取值范围是2210e e ⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，故选：D5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e【答案】D 【答案解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可. 【答案详解】根据题意，画出()f x 的图象如下所示：令()f x t =，(0)t >，故可得lnx t =，解得t x e =；e t x -=，解得e x t=-.故可得(),,,te A e t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0)t >，故()teAB g t e t==+，(0)t >，故可得()2te g t e t ='-，()30te g t e t'=+>'恒成立，故()g t '是单调递增函数，且()10g '=，关于()0g t '<在()0,1成立，()0g t '>在()1,+∞成立，故()g t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，故()()12min g t g e e e ==+=. 即||AB 的最小值为2e . 故选：D6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（） A ．[)3e,+∞ B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞【答案】D 【答案解析】参变分离可得222e x mx x n +-<，研究函数()222exmx xf x +-=，根据导函数()()22e x m x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=以及2m <-，可得函数()f x 的极大值为22222e 0e m m f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，当2x >，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，根据()f x 的最大值的范围即可得解. 【答案详解】由22e 2xmx n x +<+，得222exmx x n +-<，令()222exmx xf x +-=，则()()22e xm x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，当2m <-时，210m-<<，函数()f x 在2,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在2,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 的极大值为22222e 0e mm f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，极小值为()24220e m f -=<，且2x >时，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，由2m <-，得22e 2e m -<，由()f x n <恒成立，得2e n ≥，故选：D ．7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点【答案】ACD 【答案解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况. 【答案详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3xxx a f x =++-'，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=(*)，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程(*)无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误.若()f x 为增函数，则()f x ¢大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥，当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令()0f x =，得0x =或2e e x x x a x --+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x--=+，则()()()21e 1e 2x x x x x x g x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++，则()()e exxx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >，从而()0g x ¢>，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，则直线y a =与()y g x =最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确. 故选ACD .8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）．【答案】916. 【答案解析】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，由题可得3217244V b b b =--+，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值. 【答案详解】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，则由题可得1a b =+，()411a b h ++=，则可得784b h -=，则708b <<，则该容器容积()32781712444b V abh b b b b b -==+⋅⋅=--+，217176624212V b b b b ⎛⎫⎛⎫'=--+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，V 单调递增；当17,28b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，V 单调递减， ∴当12b =时，max 916V =，即该容器容积的最大值为916. 故答案为：916.9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】8 c m 2π+ ()32128 c m 2ππ+ 【答案解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据已知条件可得出262h r π+=-，根据柱体的体积公式可得()23262V r r πππ+=-，利用导数可求得V 的最大值及其对应的r 的值，即为所求.【答案详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h . 则由题意可得2212r h r π++=，所以()1222622r h r ππ-++==-.由0h >，得122r π<+. 故容器的容积()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛⎫⎛⎫==-=-<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.()232122V r r πππ+'=-，令0V '=，解得0r =（舍）或82r π=+. 显然当80,2r π⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，0V '>，函数()23262V r r πππ+=-单调递增；当812,22r ππ⎛⎫∈⎪++⎝⎭时，0V '<，函数()23262V r r πππ+=-单调递减. 所以当8cm 2r π=+时，V 取得最大值，此时2862cm 22h ππ+=-⨯=+，()23281282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+. 故答案为：8 c m 2π+；()32128 c m 2ππ+. 10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________．【答案】0a ≤或1a e= 【答案解析】将函数的零点转化为方程ln (0)x x x a x xe +=>的根，令ln ()xx xg x xe +=，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案；【答案详解】ln ln 10(0)x x x x xae a x x xe +--=⇔=>，令ln ()xx x g x xe+=，则'2()(1ln )()x x x x g x x e +--=， ''()01ln 0,()01ln 0,g x x x g x x x >⇔--><⇔--<令()1ln u x x x =--，则'1()10u x x=--<在0x >恒成立， ∴()1ln u x x x =--在(0,)+∞单调递减，且(1)0u =， ∴''()001,()01g x x g x x >⇒<<<⇒>，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且1(1)g e=，当x →+∞时，()0g x →，如图所示，可得当0a ≤或1a e =时，直线y a =与ln xx x y xe +=有且仅有一个交点，故答案为：0a ≤或1a e=1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（） A ．2 B ．3C ．ln 2D ．5【答案】C 【答案解析】构造函数()ln f x ax x b =-+，根据函数的单调性及最值可得ln 1b a ≥--，故22ln 1a b a a +≥--，再构造()2ln 1g x x x =--，求得函数()g x 的最小值即可. 【答案详解】由ln x ax b ≤+恒成立，得ln 0ax x b -+≥，设()ln f x ax x b =-+，()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x ¢<，()f x 在()0,+?上单调递减，不成立；当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x a=，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f a ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，即11ln 0a b a a ⎛⎫⋅-+≥ ⎪⎝⎭，ln 1b a ≥--，练提升22ln 1a b a a +≥--，设()2ln 1g x x x =--，()12g x x'=-，令()0g x ¢=，12x =，故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()1112ln 1ln 2222g x g ⎛⎫⎛⎫≥=⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2ln 2a b +≥，故选：C.2.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④ 【答案解析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【答案详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确；对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k ek ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值；（2）证明：()0f x >．【答案】（1）2a =；（2）证明见答案解析．【答案解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证()()2222ln 0xf x x x e ex e x =-+->，即()12ln 2x x x e e x--+>，构造函数()()222x g x x e e-=-+，()ln xh x x =，利用导数说明其单调性与最值，即可得到()()>g x h x ，从而得证；【答案详解】解：（1）因为()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，所以()()222xef x x e ae x'=-+-，()22332222e ef ae e =+=+'，解得2a =．（2）由（1）可得()()2222ln xf x x x e ex e x =-+-即证()()()2212ln 22ln 02x x x f x x x e ex e x x e e x-=-+->⇔-+>．令()()222x g x x e e-=-+，()()21x g x x e -=-'，于是()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()11g x g e≥=（1x =取等号）．又令()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，于是()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以()()1h x h e e≤=（x e =时取等号）．所以()()>g x h x ，即()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值；（2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >；（3）当1m >时，求()f x 的零点个数.【答案】（1）1m =；（2）证明见答案解析；（3）有一个零点. 【答案解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，由()00f =，即可证明()0f x >在()0,∞+上恒成立（3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，再根据，0x m +>，得到x m >-，对(),0x m ∈-进行讨论，即可求解【答案详解】解：（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，所以()112f '=，因为()()11e x f x x x m -+-'=+，所以()11112f m ='=+，解得1m =. （2）由（1）得当1m =时，()()()21e 11e 11ex xx x f x x x x -+-=+-=++'，当0x >时，因为()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()00f =，所以()0f x >在()0,∞+上恒成立. （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e 0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，当(),0x m ∈-时，()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m -++--=+-=++'，令()()2e 1xg x x m x m =++--，(),0x m ∈-，则()e 21xg x x m =++-'单调递增，且()e21e 10mm g m m m m ---=-+-=--<'，()00g m '=>，所以()g x '在(),0m -上存在唯一零点，记为0x ，且()0,x m x ∈-时，()0g x '<，()0,0x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在()0,m x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，因为1m >，所以()e0mg m --=>，()010g m =-<，因为()()00g x g <，所以()00g x <，所以()g x 在()0,m x -上存在唯一零点1x ，且在()0,0x 上恒小于零，故()1,x m x ∈-时，()0g x >；()1,0x x ∈时，()0g x <，所以()f x 在()1,m x -上单调递增，在()1,0x 上单调递减，且()0ln 0f m =>，所以()f x 在(),0m -上至多有一个零点，取()e 2e ,0mm x m m -=-+∈-，则有()()22ln e 0mf x x m m <++=，所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m -上只有一个零点，又f (0)不为0，所以()f x 在(),m -+∞上只有一个零点.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见答案解析；（2）01a <<+或a e >.【答案解析】（1）求得()'fx ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得a 的取值范围. 【答案详解】（1）()()()'1x x a f x x--=，当01a <<时，由()'00f x x a >⇒<<或1x >，所以()f x 在()0,a ，()1,+∞单调递增，由()'01fx a x <⇒<<，所以()f x 在(),1a 单调递减；当1a >时，由()'001fx x >⇒<<或x a >，所以()f x 在()0,1，(),a +∞单调递增，由()'01f x x a <⇒<<，所以()f x 在()1,a 单调递减；当1a =时，()()2'10x f x x-=≥⇒()f x 在()0,∞+单调递增.（2）1(1)(1(12f a a ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦，()(ln 1)f a a a =-，由（1）知当01a <<时，()f x 在x a =处，有极大值，且()0f a <，此时函数有一个零点；当1a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f <，此时函数有一个零点；当1a >时，()0,1，(),a +∞单调递增，()1,a 单调递减，()f x 在x a =处，有极小值，()f x 在1x =处，有极大值，则当()10f <，或()0f a >时函数有一个零点，有11a <<或a e >.综上：01a <<+或a e >.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤；（2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点．【答案解析】（1）将0k =代入，对()f x 求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e ++=，显然0t ≠，进一步转化为212t k t t e +-=，令21()(0)t t h t t t e+=≠，利用导数作出()h t 的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数()f x 零点情况．【答案详解】（1）证明：当0k =时，1()(0)lnx f x x x +=>，则2()lnxf x x'=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，()f x f ∴…（1）1=，即得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e++=，当0t =，即1x =时，该方程不成立，故1x =不是()f x 的零点；接下来讨论0t ≠时的情况，当0t ≠时，方程可化为212tk t t e +-=，令21()(0)t t h t t t e +=≠，则222()tt th t t e++'=-，当0t <时，22220t t ++-=-<…，当且仅当t =当0t >时，22220t t +++=+>…，当且仅当t =时取等号，∴当0t <时，()0h t '>，()h t 单增，当0t >时，()0h t '<，()h t 单减，且当0t →时，()h t →+∞，(1)0h -=，当1t <-时，()0h t <，当0t >时，()0h t >，函数()h t 的大致图象如下：由图象可知，当02k -<，即0k >时，212t k t t e +-=只有一个解，则()f x 有一个零点，当02k ->，即0k <时，212tk t t e +-=有两个解，则()f x 有两个零点．综上，当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 【答案】（1）1a =；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）作差，设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，利用导数求出()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，只需1ln 10a a +-≤；设1()ln 1a a aϕ=+-，利用导数求出min ()(1)0a ϕϕ==，解出1a =；（2）利用1x e x >+把原不等式转化为证明1ln 111x x x x -+-<+，即证：21ln 10x x x-++>，设21()ln 1F x x x x=-++，利用导数求出最小值，即可证明.【答案详解】（1）设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，()x h x e a '=-，当0a ≤时，()0x h x e a '=->，()h x 单增，当,()x h x →-∞→-∞，不满足恒成立当0a >，()h x 在(,ln )x a ∈-∞单减，()h x 在(ln ,)x a ∈+∞单增，所以()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，即11ln 0a a --≥，即1ln 10a a+-≤ 设1()ln 1a a a ϕ=+-，21()a a aϕ-'=，所以()ϕx 在(0,1)x ∈单减，()ϕx 在(1,)+∞单增，即min()(1)0a ϕϕ==，故1ln 10a a+-≤的解只有1a =，综上1a =（2）先证当(0,1)x ∈时，1x e x >+恒成立.令()1x h x e x =--，求导()10x h x e '=->，所以()h x 在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0h x h >=，所以1x e x >+所以要证1ln 11x x x e x -+-<，即证1ln 111x x x x-+-<+，即证211ln 1x x x x x x +-++-<+，即证：21ln 10x x x -++>，设21()ln 1F x x x x=-++，求导22111()2(1)20F x x x x x x x '=--=--<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10F x F >=>，即原不等式成立.所以当(0,1)x ∈时，如1ln 11()x x f x x-+-<成立. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<. 【答案】（1）当()0,x e ∈时，()f x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减；（2）证明见答案解析．【答案解析】（1）将0a =代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当0a =，01a <<与1a ≥时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【答案详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+ 当0a =时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）()()()()()22ln ln xx a x x a x ax a f x x x x a -+-+++'==+，令()()()()ln ,0,g x x x a x a x =-++∈+∞，则()()ln g x x a '=-+，由()f x 的定义域是()0,∞+，易得0a ≥，当0a =时，由（1）知，()f x 在x e =处取得极大值，所以()1==M f e e. 当1a ≥时，()0g x '<在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()ln 0g x a a <-<，所以()0f x '<，故()f x 没有极值. 当01a <<时，令()0g x '=，得1x a =-，所以当()0,1x a ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x a ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以当()0,1x a ∈-时，()ln 0g x a a >->，又()110g a a -=->，()0-=-<g e a a ，且1-<-e a a ，所以存在唯一()01,∈--x a e a ，使得()()()0000ln g x x x a x a =-+⋅+，当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减.所以当0x x =时，()f x 取得极大值，所以()()000ln x a M f x a x +==+，所以()()()()000000011ln M x a x x a x a x a x a x a=++-=++-+⋅+++. 令0x a t +=，则()1,t e ∈，设()1ln h t t t t t=+-，()1,t e ∈，则()21ln 0h t t t'=--<，所以()h t 在()1,e 上单调递减，所以()12<<h t e ，所以12<<M e. 综上，若函数()f x 存在极大值M ，则12M e≤<． 9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值．（1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．【答案】（1）211b e -≤；（2）证明见答案解析．【答案解析】（1）由条件求出a ，然后由()1f x bx ≤-可得1ln 1+x b x x≤-，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2）11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--，令()1e x h x x =-，然后可得存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-，然后可得0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--，然后判断出函数2()12G x x x=--的单调性即可. 【答案详解】（1）∵1()f x a x'=+，(1)10f a '=+=，∴1a =-，由已知()1f x bx ≤-，即ln 1x x bx -≤-，即1ln 1+x b x x≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，令1ln ()1x t x x x =+-，则22211ln ln 2()x x t x x x x --'=--=，易得()t x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增， ∴2min 21()()1t x t e e==-，即211b e -≤．（2）()()(2)e (2)e ln x x g x f x x x x x =+-=--+，则11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--．当114x <<时，10x -<，令()1e xh x x=-，则21()e 0xh x x'=+>，所以()h x 在1[,1]4上单调递增．∵121(()e 202h h x ==-<，(1)10h e =->，∴存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-． ∴当01(,)4x x ∈时，()0h x <，此时()0g x '>；当0(,1)x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '<；即()g x 在01(,)4x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，则0max 000000000012()()(2)ln (2)12xm g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--．令2()12G x x x =--，1(,1)2x ∈，则22222(1)()20x G x x x '-=-=>，∴()G x 在1(,1)2x ∈上单调递增，则1()(42G x G >=-，()(1)3G x G <=-， ∴43m -<<-．∴()()430m m ++<．10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>.【答案】（1）答案见答案解析；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可得12x >且1x ≠，要证122x x +>，只要证212x x >-，利用构造函数的单调性证明即可. 【答案详解】（1）由题意得()21212ax ax x f x x x-+=+='-(0x >). 令()0f x '>，则2210ax x -+>.①当()2240a ∆=--≤，即1a ≥时，2210ax x -+>在()0,∞+上恒成立，即()f x 的增区间为()0,∞+；②当()2240a ∆=-->，即01a <<时，10x a -<<或1x a+>，即()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上，当1a ≥时，()f x 的增区间为()0,∞+；当01a <<时，()f x 的增区间为10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）因为()221x x ax xf -+'=(0x >)，()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可求出从而()2240a ∆=-->，0a >，解得01a <<. 由2210-+=ax x 得221x a x -=. 因为01a <<，所以12x >且1x ≠.令()221x g x x -=，12x >且1x ≠，则()()321x g x x-'=，所以当112x <<时，()0g x '>，从而()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，从而()g x 单调递减，于是1222122121x x a x x --==(12112x x <<<). 要证122x x +>，只要证212x x >-，只要证明()()212g x g x <-. 因为()()12g x g x =，所以只要证()()112g x g x <-. 令()()()()()1111122112212122x x F x g x g x x x ---=--=-- 则()()()()1113311212212x x F x xx --⎡⎤-⎣⎦'=+-()()()11331121212x x x x --=+- ()()1331111212x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()()22211111331141222x x x x x x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=-.因为1112x <<，所以()10F x '>，即()1F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()110F x F <=，即()()112g x g x <-，所以212x x >-，即122x x +>.1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >. 练真题（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【答案详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>. 2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】1；证明见答案详解【答案解析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ；（2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-，又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =；（2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-< ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <-> ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞ ，1x t =-，令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g x <，()g x 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；当()1,t ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞ 恒成立3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可。

微分中值定理及导数应用双周练习卷

lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1；最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2

导数及其应用复习题

导数及其应用专项训练一．选择题1.若函数f (x )可导，则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A ．－2f ′(1) B.12 f ′(1) C ．－12f ′(1) D ．f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A ．22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C ．2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（）11.已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.x －1 0 4 5 f (x )1221①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 12.函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(e ，＋∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+，则( ) A ．12x =为f (x )的极大值点 B ．12x =为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)17.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元二．填空题19.若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ ＝________.20.一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )＝ln x 且()0201f x x '=，则x 0＝ . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-，则f ′(0)＝________. 23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .24.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．25.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 26.函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．27.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 29.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 31.若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.33.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 34.已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三．解答题35.已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．36.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．37.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．38.已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．。

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。

2023年高考数学微专题练习专练16高考大题专练一导数的应用含解析理

专练16 高考大题专练(一) 导数的应用命题范围：导数的应用、导数的几何意义．1．[2022·云南省昆明市检测]已知函数f (x )＝1－ax 2ex，a ≠0(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0，a ＞0时，e xf (x )≥bx ，证明：ab ≤2e327.2．[2022·全国甲卷(理)，21]已知函数f (x )＝exx－ln x ＋x －a .(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)证明：若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2<1.3.[2022·河南省郑州市质检]已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝a e x－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．4．[2022·全国乙卷(理)，21]已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋ax e－x(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．5．[2022·江西省二模]已知函数f (x )＝a ln x ＋x 22－(a ＋1)x ＋a ＋12(a ∈R )有一个大于1的零点x 0.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的x ∈(1，x 0]，都有a ln x －x ＋1＞0恒成立．专练16 高考大题专练(一) 导数的应用1．解析：(1)f(x)的定义域为R ，f ′(x )＝－2ax e x －ax 2e x（e x ）2＝ax （x －2）e x. ①a ＞0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②a ＜0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)由e xf (x )≥bx ，得e x－ax 2－bx ≥0，因为x ＞0，所以e xx－ax 2－bx ≥0，令g (x )＝e x x －ax －b (x ＞0)，则g ′(x )＝（x －1）exx2－a ，设h (x )＝（x －1）e x x 2－a (x ＞0)，则h ′(x )＝（x 2－2x ＋2）e xx3＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为h (1)＝－a ＜0，h (1＋a )＝a e 1＋a （1＋a ）2－a ＞a ·（1＋a ）2（1＋a ）2－a ＝a －a ＝0，(由(1)知当a ＝1时，f (x )≥f (2)＝1－4e 2＞0，所以当x ＞0时，1－x 2e x ＞0，即e x ＞x 2.)所以，存在x 0∈(1，1＋a )，使得h (x 0)＝0，即a ＝（x 0－1）e x 0x 2. 所以，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )≥g (x 0)＝e x 0x 0－ax 0－b ≥0，所以b ≤e x 0x 0－（x 0－1）e x 0x 0＝（2－x 0）e x 0x 0.所以ab ≤（x 0－1）（2－x 0）e2x 0x 30 ＝（－x 20 ＋3x 0－2）e2x 0x 3.设F (x )＝（－x 2＋3x －2）e2xx3(x ＞1)，则 F (x )＝－2x 3－7x 2＋10x －6x4·e 2x ＝－（2x －3）（x 2－2x ＋2）x4·e 2x ，当1＜x ＜32时，F ′(x )>0，F (x )单调递增；当x ＞32时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减．所以F (x )≤F (32)＝2e 327，所以ab ≤2e327.2．解析：(1)由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x（x －1）x 2－1x＋1＝（e x＋x ）（x －1）x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e ＋1－a .若f (x )≥0，则f (x )min ＝e ＋1－a ≥0，解得a ≤e＋1. 故a 的取值范围为(－∞，e ＋1].(2)证明：由(1)可知，要使f (x )有两个零点，则f (x )min ＝f (1)＝e ＋1－a ＜0，即a ＞1＋e.假设0＜x 1＜1＜x 2，要证明x 1x 2＜1，即需证明1＜x 2＜1x 1.又因为f (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，所以要证明1＜x 2＜1x 1，则需证明f (x 2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1.令F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，0＜x ＜1，则F ′(x )＝f ′(x )＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·1x2＝（x －1）（e x＋x －x e 1x －1）x2.因为e x在x ∈(0，1)上单调递增，所以e x＜e ，所以当x ∈(0，1)时，e x＋x ＜e ＋1.又函数y ＝x e 1x 在(0，1)上单调递减，所以x e 1x ＞e ，所以－x e 1x －1＜－e －1，所以e x＋x－x e 1x －1＜e ＋1－e －1＝0，所以当x ∈(0，1)时，F ′(x )＞0，则F (x )在(0，1)上单调递增．因为F (1)＝f (1)－f (1)＝0，所以F (x )＜0，即f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，所以若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2＜1.3．解析：(1)函数的定义域为{x |x ＞－1}，f ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1，f ′(x )＞0，－1＜x ＜0；f ′(x )＜0，x ＞0.函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞). (2)要使函数F (x )＝f (x )－g (x )有两个零点，即f (x )＝g (x )有两个实根，即ln (x ＋1)－x ＋1＝a e x－x ＋ln a 有两个实根．即e x ＋ln a＋x ＋ln a ＝ln (x ＋1)＋x ＋1.整理为ex ＋ln a＋x ＋ln a ＝eln (x ＋1)＋ln (x ＋1)，设函数h (x )＝e x＋x ，则上式为h (x ＋ln a )＝h (ln (x ＋1))，因为h ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以h (x )＝e x＋x 单调递增，所以x ＋ln a ＝ln (x ＋1). 所以只需使ln a ＝ln (x ＋1)－x 有两个根，设M (x )＝ln (x ＋1)－x .由(1)可知，函数M (x )的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞)，故函数M (x )在x ＝0处取得极大值，M (x )max ＝M (0)＝0. 当x →－1时，M (x )→－∞；当x →＋∞时，M (x )→－∞，要想ln a ＝ln (x ＋1)－x 有两个根，只需ln a ＜0，解得0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0，1).4．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln (1＋x )＋x e －x，则f ′(x )＝11＋x ＋1－xex ，∴f (0)＝0，f ′(0)＝2，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. (2)(方法一)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞).①当a ≥0时，对于∀x >0，f (x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上不存在零点，故不符合题意． ②当a <0时，f ′(x )＝1x ＋1＋a e －x(1－x )＝1＋a e －x（1－x 2）x ＋1.令g (x )＝1＋a e －x(1－x 2)，则g ′(x )＝a e －x(－2x ＋x 2－1)＝a e －x(x －1－2)(x －1＋2).对于∀x >－1，e －x >0，∵a <0，∴g (x )在(－1，1－2)和(1＋2，＋∞)上单调递减，在(1－2，1＋2)上单调递增．由已知，得g (－1)＝1，g (1－2)＝1＋a e2－1·2(2－1)，g (0)＝1＋a ，g (1)＝1.(ⅰ)若－1≤a ≤0，则有：当0<x ≤1时，g (x )单调递增，g (x )>g (0)＝1＋a ≥0；当x >1时，由于1－x 2<0，a e －x<0，故g (x )＝1＋a e －x(1－x 2)>1>0. 综上可知，当x >0时，都有g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴对于∀x >0，f (x )>f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上不存在零点，符合题意． (ⅱ)当a <－1时，g (1－2)<g (0)＝1＋a <0.又∵g (－1)＝1>0，∴∃x 0∈(－1，0)，满足g (x 0)＝0，且∀x ∈(－1，x 0)，都有g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∀x ∈(x 0，0)，都有g (x )<0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1<0， ∴f (x )在(－1，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减．又∵f (0)＝0，∴f (x 0)>0. 又∵当x →－1时，f (x )→－∞， ∴f (x )在(－1，0)上恰有一个零点．∵g (0)＝1＋a <0，g (1)＝1>0，g (x )在(0，1＋2)上单调递增，在[1＋2，＋∞)上单调递减，∴∃x 1∈(0，1)，满足g (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1<0，当x ∈(x 1，1)时，g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0. 又∵当x ≥1时，a e －x<0，1－x 2≤0， ∴g (x )＝1＋a e －x·(1－x 2)>0，∴f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∴f (x )在(0，x 1)上单调递减，在[x 1，＋∞)上单调递增．又∵f (0)＝0，∴∀x ∈(0，x 1)，f (x )<0，则f (x 1)<0. 又∵当x →＋∞时，ln (1＋x )→＋∞，ax e －x→0， ∴f (x )→＋∞，∴f (x )在(x 1，＋∞)上存在零点，且仅有一个．故f (x )在(0，＋∞)上恰有一个零点．综上可知，满足题意的a 的取值范围是(－∞，－1). (方法二)令g (x )＝e xln （1＋x ）x.f (x )在区间(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点等价于g (x )＝e xln （1＋x ）x＝－a在(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一解．g ′(x )＝e x[x ln （1＋x ）＋x1＋x－ln （1＋x ）]x2. 令h (x )＝(x －1)ln (1＋x )＋x1＋x，则h ′(x )＝ln (1＋x )＋x －11＋x ＋1（1＋x ）2.令φ(x )＝ln (1＋x )＋x －11＋x ＋1（1＋x ）2，则φ′(x )＝（1＋x ）2＋2x（1＋x ）3. ①当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，则h ′(x )>h ′(0)＝0，∴h (x )>h (0)＝0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵当x →0时，g (x )＝lim x →0e xln （1＋x ）x＝1，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，∴a ∈(－∞，－1).②当x ∈(－1，3－2)时，φ′(x )<0；当x ∈(3－2，0)时，φ′(x )>0. ∵当x →－1时，φ(x )＝h ′(x )→＋∞，h ′(0)＝0， ∴存在a 1∈(－1，0)使h ′(a 1)＝0，∴h (x )在(－1，a 1)上单调递增，在(a 1，0)上单调递减．当x →－1时，h (x )→－∞. 又h (0)＝0，∴存在a 2∈(－1，a 1)，使得h (a 2)＝0，即g (x )在(－1，a 2)上单调递减，在(a 2，0)上单调递增．当x →－1时，g (x )→＋∞；当x →0时，g (x )→1，g (x )的大致图像如图．故当a ∈(－∞，－1)∪{－g (a 2)}时，g (x )＝－a 仅有一解；当a ∈(－1，－g (a 2))时，g (x )＝－a 有两解．综上可知，a ∈(－∞，－1).5．解析：(1)f ′(x )＝a x ＋x －(a ＋1)＝x 2－（a ＋1）x ＋a x ＝（x －1）（x －a ）x.①若a ≤1，则f ′(x )＞0在(1，＋∞)恒成立，即f (x )在(1，＋∞)上单调递增，当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝0，与f (x )有一个大于1的零点x 0矛盾．②若a ＞1，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1或x ＞a ，令f ′(x )＜0，解得1＜x ＜a . 所以f (x )在(0，1)和(a ，＋∞)上单调递增，在(1，a )上单调递减．所以f (a )＜f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，由零点存在性定理，f (x )在(a ，＋∞)上存在一个零点x 0.综上，a ＞1.(2)令g (x )＝a ln x －x ＋1，g ′(x )＝ax －1＝a －xx，由(1)知1＜a ＜x 0，令g ′(x )＞0，解得1＜x ＜a ，令g ′(x )＜0，解得a ＜x ＜x 0，故g (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，x 0)上单调递减．g (1)＝0，g (x 0)＝a ln x 0－x 0＋1，因为x 0为函数f (x )的零点，故f (x 0)＝a ln x 0＋x 22－(a ＋1)x 0＋a ＋12＝0，即 a ln x 0＝－x 22＋(a ＋1)x 0－a －12，所以g (x 0)＝a ln x 0－x 0＋1＝－x 202＋(a ＋1)x 0－a －12－x 0＋1＝－x 20 2＋ax 0－a ＋12＝12(1－x 0)(x 0－2a ＋1). 又因为f (2a －1)＝a ln (2a －1)＋（2a －1）22－(a ＋1)(2a －1)＋a ＋12＝a ln (2a －1)－2a ＋2，令h (a )＝a ln (2a －1)－2a ＋2，则h ′(a )＝ln (2a －1)＋2a 2a －1－2＝ln (2a －1)＋12a －1－1，令m (a )＝ln (2a －1)＋12a －1－1，m ′(a )＝22a －1－2（2a －1）2＝4（a －1）（2a －1）2＞0恒成立，所以h ′(a )在(1，＋∞)上单调递增，h ′(a )＞h ′(1)＝0，所以h (a )在(1，＋∞)上单调递增，h (a )＞h (1)＝0，即f (2a －1)＞0，由(1)可知f (a )＜0，所以a ＜x 0＜2a －1，因为1－x 0＜0，x 0－2a ＋1＜0，所以g (x 0)＝12(1－x 0)·(x 0－2a ＋1)＞0，所以g (x )＞0在x ∈(1，x 0]恒成立，故对任意的x ∈(1，x 0]，都有a ln x －x ＋1＞0恒成立．。

一元函数的导数及其应用(解析版)高考数学习题与解析

第五章一元函数的导数及其应用一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()sin cos f x x x =+，()π,2πx ∈．若()00f x '=，，则0x =（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．5π4A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+=【答案】C 【详解】sin e x y x =+的导数为cos x y x e '=+，在点(0,1)处的切线斜率为0cos 0e 2k =+=，即有在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：C 3．已知函数2()ln 2a f x xb x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是210x y --=，则ab 等于（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣24．已知()a f x x x =-，()0,x ∈+∞，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有12210x x -<，则实数a 的取值范围是（）.A ．12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,e -∞D ．13e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设()()2e x g x xf x a x ==-，()e 2xg x a x '=-，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，即()()12g x g x <，()g x 在()0,∞+上单调递增，故()e 20xg x a x '=-≥恒成立，即2e x x a ≥，设()2e x x F x =，()22e xxF x -'=，当()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0F x '≤，函数单调递减；故()()max 21e F x F ==，即2ea ≥.故选：B5．已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21ee b =+，cos3cos31ee c =+，则（）A ．b a c>>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】B 【详解】令()e e x xf x -=+，其定义域为R ，且()()f x f x -=，故为偶函数；又()f x 'e e x x -=-，sin112分别满足112212（）A ．3e B ．4e C ．5e D ．6e7．已知f x '（）是函数f x （）的导数，202e '+>=（）（），（），f x f x f 则不等式ln f x x<（）的解集是（）A ．∞（2，+）B ．2e +∞（，）C ．20e （，）D ．2（0，）8．定义在0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,3436a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线C ．()f x 有一个零点D ．过点()1,0与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条的极值点分别为1212，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线对选项A ．()0f x ≤恒成立B ．()f x 是()0,+∞上的减函数C ．()f x 在12e x -=得到极大值12eD ．()f x 在区间⎫⎪⎭内只有一个零点，则关于x 的不等式()0f x <的解集可能为（）A ．()(),10,1-∞-B ．()(),e 0,e --∞C ．()(),40,4--∞ D ．()(),3e 0,3e --∞ 【答案】BC 【详解】因为当0x >时，()()ln 1<+1e 4xx f x x --'<，且()0=0f ，而可以令1ln 2y x x x =-，则1ln 1y x '=-，可以令2e 4x y x x =-，则()2+1e 4x y x -'=，所以()()ln 2e 40x x x x f x x x x --<<>，因为1ln 1y x '=-，所以令1ln 10y x '=->，则e x >，令1ln 10y x '=-<，则e x <，所以1ln 2y x x x =-在(0,e)上递减，在(e,)+∞上递增，且当2e x =时，10y =，所以当)2e ,+x ⎡∈∞⎣时，()ln 20f x x x x ->≥，因为2e 4x y x x =-()0x >，()2+1e 4x y x -'=，故令()+14()e x m x x -=，则()e (2)x m x x '=+，又因为0x >，所以()e (2)0x m x x '=+>，故()m x 在(0,)+∞上递增，设0()0m x =，所以2e 4x y x x =-在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，且当20y =时，=0x （舍）或ln 4x =，所以当(]0,ln4x ∈时，()e 40xf x x x -<≤，所以当0x >时，()0f x <的解集可能为()0,t ，其中()2ln4,e t ∈，又因为()f x 是奇函数，所以()0f x ＜的解集可能为()(),0,t t --∞ .而()2ln4,e t ∈，所以()21ln4,e ∉，故A 错误；()2e ln4,e ∈，故B 正确；()24ln4,e ∈，故C正确；()2ln 3e 4,e ∉，故D 错误.故选：BC第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______．'是函数的导函数，且R 1e f x f x x f <∈=，，则不等式的解集为________．的最小距离为___________.【解析】由已知，设点00(,)Q x y 曲线2ln 1y x x =--上一点，则有0002ln 1y x x =--，因为2ln 1y x x =--，所以12y x x'=-00012|x x y x x ='-=，所以曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线斜率为0012k x x =-，则曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q xy 处的切线方程为020000(ln 1)()12y x x x x x x ---=--，即20000()12ln y x x x x x =---．要求得曲线2ln 1y x x =--上任意一点，到直线3y x =-的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121k x x =-=，解得0=1x 或012x =-（舍去），此时，以点(1,0)Q 为切点，曲线的切线方程为：1y x =-，此时，切点(1,0)Q 为曲线上距离直线3y x =-最近的点，即点P 与点Q 重合，最小距离为直线3y x =-与直线1y x =-之间的距离，设最小距离为d ，所以d ==.16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1 x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______．17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm ．(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．189.已知函数()()1e xx f x a x =++．(1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21e e x x a ->-【详解】（1）由()()21e xx f x a x +=++得()1e x x f x a +'=-+，由()f x 单调递增，则()0f x '≥，得1e x a x +≥，设()1ex x g x +=，则()e x xg x '=-，可知0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x =时，()g x 取得极大值()01g =，也为最大值，则1a ≥,所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）由题，函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=即1e xx a +=有两个不相等实数根，由（1）可知0x =时，()g x 取得极大值()01g =，(1)0g -=，x 趋向+∞时()g x 趋向于0.故()g x a =有两个不相等实根时，01a <<，且1210x x -<<<，过点()0,1与(),0c 的直线方程为11e y x =-+，构造函数()()11111,(0)e ee x x h x g x x x x +⎛⎫=--+=+-> ⎪⎝⎭，()1e e x x h x '=-+，令()()x1,(0)e ex u x h x x '==-+>，则()()1,0e x x u x x -'=>，则01x <<时，()0u x '<，()u x 即()h x '单调递减；1x >时，()0u x '>，()u x 即()h x '单调递增，所以0x >时，()u x 极小值为()()110u h '==所以0x >时，()()0u x h x '=≥，则()()00h x h >=，即()()110e h x g x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，故当0x >时，()11e g x x >-+，设方程11e x a -+=的根为4x ，则4e e x a =-，构造函数()21,10y x x =--<<，令()()()21,t x g x x =--则()()21111e e e xx x x x t x x x ++⎡⎤=+-=+-⎣⎦，令()()()11e ,10x v x x x =+--<<，则()e 0x v x x '=<，故10x -<<时，()v x 单调递减，则()()00v x v >=，又10x +>，所以，当10x -<<时，()0t x >，故有()21g x x >-，令方程()21,10x a x -=-<<的根为3x ，则3x =，于是有134210x x x x -<<<<<，如图，所以2143e e x x x x a ->-=-+，证毕19．已知函数sin ()e (1)a x f x x =-+，()sin ln(1)g x a x x =-+(1)1a =时，求函数()y g x =在(1,0]-上的单调区间；(2)1a >时，试讨论()y f x =在区间[π,π]-上的零点个数.【详解】（1）1a =时，()sin ln(1)g x x x =-+，∴1()cos 1g x x x '=-+，而()g x '在(1,0]-上单调递增，而(0)0g '=，∴(1,0]x ∈-，()(0)0g x g ''=.∴()g x 在(1,0]-上单调递减，（2）当1a >时：①[π,1]x ∈--时，sin 0a x e >，10x +<∴()0f x >∴()f x 在区间[π,1]--上无零点，②1x >-时，方程()0f x =的解等价于方程()0g x =的解.[1,0]x ∈-时，1()cos 1g x a x x '=-+在[1,0]-单调递增，(0)1g a '=-，而111cos 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴∃唯一0[1,0]x ∈-使得()00g x '=且()g x 在(]01,x -单调递减，[]0,0x 单调递增，而111sin 110g a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0)0g =，∴()g x 在(1,0]-上有两个零点，③π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1g x a x x '=-+，(0)10g a '=->，令1()()cos 1t x g x a x x ='=-+，则21()sin (1)t x a x x '=-++在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，(0)1t '=，2π102π12t a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∃唯一1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10t x '=，∴()g x '在()10,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)1g a '=-，π100π212g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+，∴∃唯一2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20g x '=，∴()g x 在()20,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)0g =，π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴()g x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点.④π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()0g x '<，∴()g x 在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，而ππln 1022g a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(π)ln(π1)0g =-+<，∴∃唯一3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()30g x =，综上所述：1a >时，()f x 在区间[π,π]-有三个零点.20．21．设函数()2ln +f x x x ax =+，=1x 是函数()f x 的极值点．(1)求实数a 的值，并求函数()f x 的单调递减区间；(2)设函数()()23g x f x x x =-+，求证：当2x ≥时，()()2114g x x <-；(3)在（2）的条件下，求证：对*n ∈N ，()()()21213512n k n ng k n n +=+>++∑．【解析】（1）因为()2ln +f x x x ax =+，所以()12f x x a x'=++，依题意()1120f a '=++=，解得=3a -，经检验符合题意，()2=ln +3f x x x x ∴-，()0,+x ∈∞，所以()()()221123+1==x x x x f x xx---'，令()0f x '<，解得112x <<，所以原函数的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：因为()()222=+3=ln +3+3=ln g x f x x x x x x x x x ---，要证()()21<14g x x -，[)2,+x ∈∞，即证()21ln <14x x -，[)2,+x ∈∞，构造函数()2=4ln +1h x x x -，[)2,+x ∈∞，只需证()0h x <在[)2,+x ∈∞上恒成立，当2x ≥时，()()222=<0x h x x--'，所以函数()2=4ln +1h x x x -在区间[)2,∞+单调递减，故3max ()=4ln23=ln16lne <0h x --，不等式成立，结论得证；（3）证明：由（2）知：当2x ≥时，()21ln <14x x -，所以21411>=2ln 11+1x x x x ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，即当2k ≥时，()111>21+1g k x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2n ≥时：()()()()2+1=211111113+5=++...+>21+=ln2ln3ln +12+1+2+1+2n k n n g k n n n n n --⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，又当=1n 时上式也能成立，原命题得证．21．已知函数()(2)e (ln )x f x x k x x =---.(1)当0k =时，求()f x 的极值；(2)证明：当e,1k x >>时，2()f x k >-.．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．)。

导数及其应用多选题复习题及答案

导数及其应用多选题复习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论．【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-，函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<，则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<，由零点存定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点，即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x =【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.3．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需00f f ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即00b b ⎧<⎪⎪<，即0b <<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意；故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.6．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．7．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（） A．函数在x e =处取得极大值12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点D ．(2)()(3)f f f π<<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==，令()0f x '=，解得：x e = x()0,ee(),e +∞ ()'f x+-()f x极大值所以当x e =时，函数有极大值()2fe e =，故A 正确；对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x在)+∞2<<<，则(2)f f f <<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣ D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e ,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误.对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=，当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e =-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x x x e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 当1x <时，/2()(2)=+x g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x 2x <-2- 20x -<< 0 01x << /()g x+ 0 - 0 + ()g x 极大值极小值极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x 1 12x << 2 2x >/()g x- 0 + ()g x e 极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >， a 的取值范围是222e e ,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确. 故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。

导数在函数中的应用题库

）．．，，则（＞﹣第1页，总8页答案第28页15.函数1sin sin33y a x x =+在π3x =处有极值，在a 的值为（）．A ．6-B ．6C ．2-D ．216.函数32()1f x x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值（）．A ．2227B ．2C ．1-D ．4-17.函数21e x ax y -=存在极值点，则实数a 的取值范围是（）． A ．1a <-B ．0a >C ．1a ≤-或0a ≥D ．1a <-或0a >18.若函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数y=（1﹣x ）f′（x ）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数f （x ）有极大值f （﹣2），无极小值B ．函数f （x ）有极大值f （1），无极小值C ．函数f （x ）有极大值f （﹣2）和极小值f （1）D ．函数f （x ）有极大值f （1）和极小值f （﹣2）．19.已知三次函数f （x ）=x 3﹣（4m ﹣1）x 2+（15m 2﹣2m ﹣7）x+2在x ∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m 的取值范围是（）A ．m ＜2或m ＞4B ．m ≥2或m ≤4C ．2≤m ≤4D ．2＜m ＜420.已知x=2是函数f （x ）=x 3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f （x ）的极大值为（）A ．15B ．16C ．17D ．18 21.函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的一个极值点为x=1，则f （x ）的极大值为（）A ．﹣1B ．﹣2e ﹣3C ．5e ﹣3D ．122.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）23.当x ∈[﹣2，﹣1]，不等式ax 3﹣x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣5，﹣3]B ．（﹣∞，﹣] C ．（﹣∞，﹣2] D ．[﹣4，﹣3]24.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）+x恒成立，则第3页，总8页答案第4页，总8页C．D．31.已知函数y=f （x ）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x ）的图象可能是（）A．B．C．D．32.已知32()f x x px qx =--和图象与x 轴切于()1,0，则()f x 的极值情况是（）A ．极大值为1()3f ，极小值为(1)f B ．极大值为(1)f ，极小值为1()3fC ．极大值为1()3f ，没有极小值 D ．极小值为(1)f ，没有极大值33.函数f(x)的图象如图所示，则不等式(3)()0x f x '+⋅<的解集为（）A. (,3)(1,1)-∞--B. (,3)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,)+∞34.函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值35.函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（）A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43，3）答案第68页试卷答案1.C2.B3.D4.D5.A6.C7.A8.D9.B 10.B 11.D 12.D 13.D 14.A 15.D 16.C17.C ∵21e xax y -=，2222e e (1)210(e )e x x x xax ax ax ax y ---++'===恒有解，∴0a ≠，2440a a ∆=+≥， 4(1)0a a +≥，∴1a -≤或0a >，当1a =-时，2(1)0exx y -'=≥（舍去），∴1a <-或0a >， 18.B 19.C 20.D 21.C 22.A22【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，∵当x ＞0时总有xf′（x ）＜f （x ）成立，即当x ＞0时，g′（x ）恒小于0， ∴当x ＞0时，函数g （x ）=为减函数，又∵g （﹣x ）====g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数又∵g （﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g（x ）＞0 ⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1．故选：A ．23.C 24.A【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，===0，=．．第7页，总8页∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．29.C30.C31.A32.A33.A34.C35.A36.A37.C38.C39.40.(1,0)(1,)-+∞41.342.1(0,)243.（-1,0）44.45.89答案第8页，总8页。