导数的应用 练习题

导数的应用

二、典型例题

题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（∞∞）：

（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x

x +→　（2）0lim ln x x x +→　

（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n

→∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x

x x x ++

→→===． （2）解：原式1'ln 1

lim lim 0t x

L H t t t t

t =→+∞→+∞-==-=．

（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11()

x x x x x x a x x x a x

a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12

x x x x x x a x x a x x a x a x π

→-∞→-∞--==++． （4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1)

lim an n an e a n

-→∞++==（不能用'L H ）．

注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x

x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快． 例2、求下列极限（0

000,,1,,0∞

⋅∞∞-∞∞，）：

（1）4301

sin sin

lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1

x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--； （4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x

x x π→+∞；（6）101lim()x kx n

x k e n

→=∑；

（7）2122lim()x x x a →∞+． （1）提示：原式3300

32000tan ~sin 11cos 1

lim lim sin lim 36

x x x x x x x x x x x x →→→--=+==． （2）提示：解：原式2200

'2001~(1)ln(1)ln(1)1

lim lim 22x L H x x e x

x x x x x x →→--++-+===-． （3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1

lim lim lim (1)tan 22x x x L H x

x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-． （4）提示：原式1'20ln(1)1

lim 2

t x

L H t t t t =→-+==． （5）提示：原式22

2

2

ln arctan arctan 12[(1)]2

lim

1lim

lim 111x x x x

x x x

x

x e

e

e

e ππ

π

π∞

→+∞

→+∞

→+∞

-+-

-====（令

2

arctan 1x t π

-=）．

（6）提示：原式1

1

00

11

ln(

)

11

1lim

1'lim

lim

2

n

n

kx kx n

kx

k k x x x k e n e n n ke L H

n x

x

e

e

e

e

∞==→→→=-+∑∑

∑

====．

（7）提示：原式0

∞=22222ln()2()

'lim

lim

21x x x a x x a L H

x x e

e

→∞→∞++==．

注1

：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0

1lim 1x

x x

∞→+∞

=，而0

00

lim 1x

x x +

→=．

注2：0

1lim (1)

1x

x x e ∞→+∞

+=≠．

例3、设()1f a ''=，求2

lim [()()2()]h h f a h f a h f a -→++--．

解：原式0

'()'()lim

2h f a h f a h h →+--=00'()'()'()'()

lim lim 122h h f a h f a f a h f a h h

→-→+---=+=-．

例4、设lim )0x ax b →+∞

-=，求b a ,．

提示：由题意知lim )1x a →+∞

==；

1

lim )1)]23x t

x t b x t +

=→+∞

→===． 例5、当0→x 时，x

x

33

tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．

提示：tan tan 00003331tan lim lim lim3ln 3lim x x x x x

k k k x x x x x x x x x -→→→→---==2031'0tan ln 3ln 3lim 3k k L H x x kx =-→==．

例6、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,则a =2，b =1-．

提示： 由题设条件知0

0lim[()(2)(0)](1)(0)h af h bf h f a b f →=+-=+-，有01=-+b a ；

'00()(2)(0)0lim lim[()2(2)](2)(0)L H h h af h bf h f af h bf h a b f h

→→+-'''==+=+，有02=+b a .

例7、若 30

lim [()sin 6]0x x xf x x -→+=，则20

lim [()6]x x f x -→+=36.

提示：由33

lim [()sin 6]lim [(()6)(sin 66)]0x x x xf x x x xf x x x x --→→+=++-=，

知 230

lim [()6]lim (6sin 6)x x x f x x x x --→→+=-=2

lim2(1cos6)36x x x -→-=．

例8、()

130

lim 1(),x

x x f x x e →++=''(0)f 存在，求)0(),0(),0(f f f '''．

提示：由题意知0

lim[())]0x f x x →=，则()0

(0)

lim ()0f x x f f x →==连续

；

且()0

(0)

lim{[()(0)]}lim[())]0f x x x f f x f x f x x →→'=-==可导

；

又()

1

20

lim [()]

1lim[()]

13

lim 1(),x x x x f x x f x x x

x e x f x x e

e

-→→++→=++==知20

lim ()2x x f x -→=，

则''(0)'2000()'()'()'(0)1

2lim lim

lim ''(0)222

f L H x x x f x f x f x f f x x x →→→-====存在，则''(0)4f =． 注1：本题也可换为3

lim[11(1)],n n n nf n e →∞

++=''(0)f 存在，求(0),(0),(0)f f f '''．

提示：若令1n t =，仿例8可求出(0),(0),f f '但对2

lim ()2t t f t -→=左式切勿使用'L H ．

题型二 函数性态的判定、求解与证明

例1、设)(x f y =由1)cos(2-=-+e xy e

y

x 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为022=+-y x ．

例2、对螺旋线θρe =在(,)(,2)e

πρθπ=处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=．

例3、求ln(1)y x e x =+ （0>x ）的渐近线方程． 提示：由1'(0)

lim [ln()]0x t

L H

t y e t =+

→+∞

+==，知0x =不是该曲线的铅直渐近线；