06第二章：正整数的分拆2014
二年级数学 奥数讲座 整数的分拆
二年级整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环。
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆。
7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好。
现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8。
这样由8×5=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可。
最后得到下式：88+88+8+8+8=200。
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。
解：1=1×1=12=1（特例）4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。
三年级数学奥数讲义-整数的分拆(PDF,通用版,无答案)
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：3，少2，无1
2．不相同：
2
1
【例4】(★★★) 100这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
第六次 整数的分拆(二)
学习目标：
1、学会将整数进行适当的分拆。
2、掌握正确的数学思维。
3、经历怎样分拆整数的过程，学会正确的数学学习的方法。
学习重点：
学会根据题意将整数进行分拆
学习难点：
将整数怎样分拆
教具准备：
教学课时：2
课前预习布置（或导学提纲）：
教学程序（第1、2课时）
教后记
一、直接导入
今天将研究整数的分拆。
二、教学新授
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
教学程序
教后记
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75(分).
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25(分).
将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)
25=1+1+1+1+1+10+10.
组合数学课件--第二章第四节整数的拆分
展开中xn-m项的系数
20
2.8：整数的拆分
例6 n个完全相同的球放到m个有区别 的盒子，允许空盒，问共有多少种不同的 方案？其中m≤n。
解：第一盒，用1代表不放球，用x代表 放一个球，用x2代表放两个球，…。单独第 一盒的母函数可构造为：1+x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
第2章 递推关系与母函数
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 递推关系 母函数(生成函数) Fibonacci数列 优选法与Fibonacci序列的应用 母函数的性质 线性常系数齐次递推关系 关于常系数非齐次递推关系 整数的拆分 ferrers图像 拆分数估计 指数型母函数 广义二项式定理 应用举例 非线性递推关系举例 递推关系解法的补充
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2.9 费勒斯（Ferrers)图像
定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 (1)把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。
(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。
1 x x ...
2
1 x x ...
2 4
1 x x ... .......... ..........
7
2.8：整数的拆分
int divinteger(int n,int m) {if (n<1||m<1) printf(“error”); else if(n=1||m=1) return(1); else if(n<m) return divinteger(n,n) else if(n=m) return(1+divinter(n,n-1)); else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m)); } 8
六年级06讲数的整除与分拆
11、电视他要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？2、 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，在把盒子重排了一下。
小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子。
问：一共有多少只盒子？3、 机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。
问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少？4、 在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法。
例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2以上连续自然数的和来表达它的方法 （1）请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数。
（2）请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数。
5、 如果把任意n 个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n 是多少？ 6、 如果四个两位质数a,b,c,d 两两不同，并且满足，等式a+b=c+d 。
那么，（1）a+b 的最小可能值是多少？ （2）a+b 的最大可能值是多少？7．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与l的差是质数； ②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5． 那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．8、在555555的约数中，最大的三位数是多少？9、从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米？10、已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，并且两均不互质。
【整数的分拆】数学课件
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌《整数的分拆》--博易新思维数学教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律。
2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。
教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。
教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。
一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。
师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。
师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。
师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。
甲数乙数积1000博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌9198216732164245525生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。
师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。
二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。
甲数乙数积10009198216博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌732164245525生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。
师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。
整数的分拆(沪教版二年级数学上培优培优)学生版
整数的分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。
整数的分拆，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式（0除外）。
自然数：0、1、2、4、5等等，像这样的整数叫做自然数。
重、难点：将一个自然数拆成若干个自然数的和的形式（0除外）。
易错点：在解答这些问题的时候要从具体问题入手，有序的思考，不重复，不遗漏。
把5表示成若干个自然数（0除外）的和的形式，有多少种不同的分拆方式？把4分拆成几个自然数（0除外）相加的形式，有多少种分拆方式？将15分拆成不大于9的三个不同的（0除外）自然数之和，有多少种不同分拆方式？请列出。
整数的分拆把15分拆成不大于9的两个不为0的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。
七个箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果。
现在要从这七个箱子里取出87个苹果，但每个箱子内的苹果只能选择全部取走或者一个不取。
小朋友你该如何取呢？八个箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个、128个橘子，现在要从这八个箱子里取出169个橘子，但每个箱子内的苹果只能选择全部取走或者一个不取。
请小朋友想一想，该如何取？将7粒糖果分别放在3个口袋里，可以有口袋不放，问有几种放法？一张试卷有5道题，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得4分，答对第五道题得5分。
小乐和小美两人都答对了2道题，小乐得6分，小美得7分，又知两人没有答对相同的题目，你知道他们答对的是哪几道题吗？将16分拆成不大于9的四个不同自然数之和（0除外），有多少种不同的分拆方式，请列出。
将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和（0除外），有多少种不同的分拆方式，请列出。
一个小姑娘，生在水中央，身穿粉红衫，坐在绿船上。
将15分拆成三个不同的自然数（0除外）之和，有多少种不同的分拆方式。
请列出。
美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。
现有10枚硬币价值1元钱，其中有3枚25分的硬币。
组合数学第七节：整数的分拆
2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。
在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥（2.6.1）的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++，等价于方程：12k x x x n +++=。
的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
数论-整数拆分
一个正整数可以写成一些正整数的和。
在数论上，跟这些和式有关的问题称为整数分拆、整数剖分、整数分割、分割数或切割数。
其中最常见的问题就是给定正整数，求不同数组的数目，符合下面的条件：1.a1 + a2 +a3 +...+a k = n.2.a1≥a2≥a3...≥a k（k的大小不定）3.其他附加条件（例如限定“k是偶数”，或“不是1就是2”等）我们记所有不多于k个正整数的和以及相应的n时对应的上述方程的解的总数为p(n, k).记所有正好为k个正整数的和以相应的n时对应的解的总数为p k(n)分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组总数目，即p(n) = p1(n)+p2(n)+...+p k(n)。
例：4 = 1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3其中p(4,1) = 1, p(4,2) =2,p(4,3) = 1,p(4,4) =1.=>p(4) = 5.易知对于任意的n>=1，有p1(n) = 1.p n(n) = 1.Ferrers图示[有关知识可以自己查找]：Ferrers图示是将第1行放a1个方格，第2行放a2个方格……第k行放a k个方格，来表示整数分割的其中一个方法。
定理1：给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目[p1(n)+p2(n)+...p k(n)]，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。
证明：通过把前者任一解的Ferrers图沿对角线反转即可得到后者的一个解，所以两者相等。
定理2[核心定理]：定理1中的两者的数目也等于p(n+k,k).即p k(n+k) = p1(n) + p2(n) +... +p k(n).证明：对于p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的所有情况，都可以通过在Ferrers图中的1到k行添加1个元素来得到p(n+k,k)中的一个元素，因为一共有n+k个元素且必为k行；同样可以通过在p(n+k,k)中每行减去一个元素得到p(n,1)+p(n,2)+...+p(n,k)中的元素，因为每行减去一个元素后剩下n个元素且至多k行。
两个新的正整数分拆恒等式
两个新的正整数分拆恒等式
正整数分拆是一个重要的数论问题，它涉及到数学中的分拆理论和组合数学的知识。
近期，我对这一问题进行了研究，并提出了两个新的正整数分拆恒等式，下面我将详细介绍这两个恒等式的推导和应用。
首先，我们来看第一个恒等式：
对于任意正整数n，我们有以下恒等式成立：
n=(n-1)+1
这个恒等式表明，任意一个正整数n可以分拆成n-1和1的和。
例如，当n=5时，我们可以将5分拆成4和1。
这个恒等式的应用非常广泛，特别是在组合数学和计算机算法中经常使用。
它可以用来求解组合问题、排列问题以及一些特殊数列的求和等等。
接下来，我们来看第二个恒等式：
对于任意正整数n，我们有以下恒等式成立：
n=(n-2)+2
这个恒等式表明，任意一个正整数n可以分拆成n-2和2的和。
同样地，这个恒等式的应用也非常广泛。
它可以用来求解一些特殊数列的求和问题，例如斐波那契数列、等差数列等等。
这两个新的正整数分拆恒等式在数论和组合数学中具有重要的应用价值。
它们的推导过程相对简单，但是在实际问题中具有广泛的应用。
我们可以通过这些恒等式来简化问题，将复杂的计算转化为简单的加法运算，提高计算效率。
总结起来，正整数分拆问题是数论和组合数学中的重要研究内容，我提出的这两个新的正整数分拆恒等式为解决一些相关问题提供了有效的方法和思路。
相信随着对这个问题的进一步研究，我们还可以发现更多有趣的数学规律和恒等式。
(完整版)整数的分拆教案
【学生回答】：老师抽答，上台演示
【教师讲解】：（边操作边讲解）首先分析题目可以知道，每个盒子当中笔的数目不少于2支，也就是说最少有2支。现在我们先将盒子编号为1号、2号。现在假如1号盒子当中只有2块，那2号盒子里面有8块，然后在二号盒子里拿1支到1号盒子当中，此时1号盒子3支，2号盒子里面7支，按照这个规则进行，两个盒子当中笔的数目分别为：1号盒子4支，2号盒子6支，1号盒子5支，2号盒子5支，1号盒子6支，2号盒子4支，1号盒子7支，2号盒子3支，1号盒子8支，2号盒子2支，这时候请同学们注意根据题目要求2号盒子的笔也不能少于2支，所以当2号盒子中只有2支笔时，就不能再往一号盒子中拿了，一共有7种不同的分法。
课
程
讲
授
30min
导入：同学们，欢迎你们来到数字的世界，今天我们一起来玩一些有趣的数字游戏。
【提出问题】：
PPT上展示例题1：同学们，小军想把这六个棒棒糖全部分给奇奇猫和壮壮鼠，一共有多少种不同的分法哪？答对了这个棒棒糖就奖励给答题的小朋友！（拿出准备好的棒棒糖，请同学上台分别扮演角色得出结论）
【学生活动】:分组讨论，交流答案
【教师讲解】：将这6个棒棒糖看成一个整体，将它分为两个不同的部分，也就是将自然数6分为两个不同的自然数，首先最小的自然数为0，如果以0来分那就有一个小动物没有，所以要从自然数1开始，6可以分为1和5，然后按次序5拿一个给1,6就分为了2和4,以此类推6还可以分为3和3，6分为4和2,6分为5和1，所以一共有5种分法：猫1个，鼠 5个，猫2个，鼠 4个，猫3个，鼠 3个，猫4个，鼠2 个，猫5个，鼠 1个。
4、把几个物体分成两堆或相同的物体时，如果没有限制1，8和8，1是相同的分法
组合数学第二章第八节
定理3 N被剖分成一些重复次数不超过k次的整数的 和，其剖分数等于被剖分成不被k+1除尽的数的和 的剖分数。 定理4 对任意整数N，它被无序剖分成2的幂次的和 的剖分方式一定唯一。
Gt ( x) (1 x)(1 x )(1 x )(1 x )
2 4 2n
1 x2 1 x4 1 x8 2 4 1 x 1 x 1 x 1 2 3 1 x x x 1 x
例9 若有1、2、4、8、16克的砝码各一枚，问能称 出那几种质量？有几种可能方案？
G( x) (1 x)(1 x 2 )(1 x 4 )(1 x 8 )(1 x16 )
1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 x16 1 x 32 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 x16 1 x 32 1 x x 2 x 31 . 1 x 这说明用这些砝码可以称出从1克到31克的质量，而 且方案都是唯一的。
2.8 整数的拆分
1. 拆分的定义 所谓整数的拆分，是指把一个正整数拆分成若干 正整数的和。不同的拆分法的数目称为拆分数
例如：考虑正整数4的拆分数： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1
通常用p(n)表示整数n拆分成若干正整数的和的 拆分数，也可说成方案数.例如p(4)=5。 拆分可以分为无序拆分和有序拆分；不允许重 复的拆分和允许重复的拆分
G ( x ) (1 x a1 x 2 a1 ....)(1 x a2 x 2 a2 ...) ... (1 x x
an 2 an
....)
06第二章：正整数的分拆2014
则得到 的共轭分拆,记为* =(s1, s2, …, sn1 )≥.
其 Ferrers 图是 的Ferrers 图的转置,也是n 个点的格点阵列. 其第 i行点数为si(1≤i≤n1)， 第 j列点数为 nj (1≤j≤k). 于是 ( *)*=.
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四、分拆的 Ferrers 图
例如下面分别是15的一个分拆 =(5,5,3,2)≥ 及它的共轭分拆 *的Ferrers图
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四、分拆的 Ferrers 图
定理 2.10 n的 k部分拆的个数p(n, k)等于n的最 大分部是k的分拆个数; n的至多有k个分部的分 拆的个数(p(n+k, k))等于 n的最大分部至多是k 的分拆的个数.
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四、分拆的 Ferrers 图
满足 *=的分拆称为自共轭分拆.
定理 2.11 一个分拆是自共轭的当且仅当的 Ferrers图的第i行和第i列的点数相同.
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三、分拆数
p(n, n) =p(n, 1) =1.
若 k >n 1, 则 p(n, k)=0， p(n,0)=p(0,n)=0. 规定 p(0, 0)=1, 则函数p(n,k)的定义域是0.
无序分拆的计数问题能否也可归结为带有一定限制
条件的不定方程的整数解问题呢？
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三、分拆数
1. 分拆的指数型表示法 例如 4的所有分拆有如下表示： 4＝ 4→41,4＝3+1→31 11,4＝2+2→22, 4＝ 2+1+1→2112，4＝1+1+1+1→14. 一般地,如果 n的一种分拆中有1个1, 2个 2,…, n个n，称为1122 … n n-型的，且有
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆【实用版】目录1.整数的分拆概念介绍2.整数的分拆方法讲解3.整数的分拆练习题及解答4.总结与展望正文【整数的分拆概念介绍】整数的分拆，是指将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是任意整数，包括正整数、负整数和零。
整数的分拆在奥数中是一个重要的知识点，可以帮助孩子们提高逻辑思维能力和计算能力。
【整数的分拆方法讲解】整数的分拆方法主要有以下几种：1.直接拆分法：将整数直接拆分成若干个整数的和，这种方法适用于较小的整数。
2.借位拆分法：当整数的位数较大时，可以采用借位的方法进行拆分。
例如，将一个五位数拆分成若干个整数的和，可以先借一位，将五位数变成四位数，然后再进行拆分。
3.补数拆分法：对于一个较大的整数，可以先找到其补数，然后将补数拆分成若干个整数的和，再将补数的每一位取相反数，得到的结果即为原整数的分拆结果。
【整数的分拆练习题及解答】例题 1：将整数 36 拆分成若干个整数的和。
解答：36 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9，即36=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
例题 2：将整数 12345 拆分成若干个整数的和。
解答：12345 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15，即 12345=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。
【总结与展望】整数的分拆是奥数中的一个基本知识点，掌握了整数的分拆方法，可以帮助孩子们更好地解决奥数问题。
在实际应用中，整数的分拆可以用于解决各种数学问题，如数论问题、组合问题等。
整数的分拆(六年级奥数题及答案)
整数的分拆
有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；
②把6分拆成两个自然数之和有3种方式
6=5+1=4+2=3+3；
③把6分拆成3个自然数之和有3种方式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
④把6分拆成4个自然数之和有2种方式
6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式
6=2+1+1＋1＋1；
⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式
6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.
学而思老师提示：本题是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.。
关于分拆数的递推公式及部分分拆数的计算公式和分拆数三角形
关于分拆数的递推公式及部分分拆数的计算公式和分拆数三角形。
分拆数：是一类由正整数的有限序列构成的数学概念。
序列可以写作{a1, a2, ..., an}，它的和为an，称为序列的和。
分拆数就是用同样的序列来表示不同的和，用这种形式表示的和，称为序列的分拆数。
递推公式：设分拆数Sn(n>=2)的前n-1个值Sn-
1={a1, a2,...,an-1}，其分拆数为s(n-1)，则 Sn={a1, a2,...,an-1,an} 的分拆数为：
s(n)=s(n-1)+a(n)*(n-1)!
或者
S(n) = S(n-1) + ∑ (i=1→n-1) (n-1)!/i!*ai
部分分拆数的计算公式：
设分拆数Sn={a1,a2,...,an}，则有：
S(n)=(n-1)!*a1+[(n-2)!*(a1+a2)]+[(n-
3)!*(a1+a2+a3)]+…+[1!*(a1+a2+…+an-1)+0!*an]
分拆数三角形：将分拆数按照正三角形的形式排列，就形成了分拆数三角形。
如：
1 1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1。
整数的分拆
整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题。
把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆。
对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究。
1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果。
下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识。
一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1。
因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和。
解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式。
说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k 种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法。
正整数拆分
【题目名称、来源】
正整数拆分（经典问题）
【问题描述】
输入自然数n，然后将n拆分为由若干个数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。
输入：n
输出：
所有拆分方案
总的拆分数
例如：
输入：7
输出：
7=1+6
7=1+1+5
7=1+1+1+4
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
writeln(count);
close(output);
end.
var i,j:integer;
begin
for i:=start to (m div 2) do begin
a[k]:=m-i;b[k]:=i;{记录拆分方案}
{打印}
write(n,'=');
for j:=1 to k do
write(b[j],'+');
writeln(a[k]);
count:=count+1;
7=1+1+1+1+2+2
7=1+1+2+3
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+3+3
7=2+5
7=2+2+3
7=3+4
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【所属专题】
递归、回溯
【适合学习阶段】
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆
3 、分拆数 4 、分拆的 Ferrers 图
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四、分拆的 Ferrers 图
我们将借助于Ferrers图来研究正整数分拆， 这是一种直观有效的组合思想. 设 n是一个正整数，n的一个k部分拆 =(n1, n2, …, nk )≥ 的 Ferrers 图是由 n个点组成的一个(形如倒置 阶梯的)平面格点阵列, 它有 k行, n1列 ,其第i行 点数为ni (1≤i≤k).
…
第 2个盒子
…
…
第 k个盒子
有 n1个
有 n2个
有 nk个
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆
3 、分拆数 4 、分拆的 Ferrers 图
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二、 有序分拆
有序分拆:若表达式 n=n1+n2+…+nk (2-1) 各分部不同的次序认为是不同的表示法.
有序分拆可用一个有序k元组 n1,n2,…,nk 来 表示 .这时称ni为这个有序分拆的第i个分部.
1 1+2 2+…+nn=n
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三、分拆数
1. 分拆的指数型表示法
n的一种分拆为 1122 … n n-型的，则有
1 1+2 2+…+n n=n 即 1, 2,…, n为下面不定方程 1x1+2x2+…+nxn=n (2-3) 的一个非负整数解. 反之不定方程 (2-3)的一个非负整数解对应n的一 种无序分拆 . p(n)恰是不定方程 (2-3)的非负整数解个数 .
定理 2.13 n的各分部都是奇数的分拆的个数 等于 n的各分部两两不同的分拆的个数.
例如 =543315对应 因为 4=22，3=20+21， 5=20+22.
22 21 21,22,3· 20,20) =(20,6,4,3,1)
所以 =543315对应的 ’ =(20,6,4,3,1) 如右图 .
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三、分拆数
2. 分拆数的递推关系
由正整数n的k部分拆的定义可知， 若 n>1，则 p(n,1)=p(n,n1)=1， p(n,2) = n/2，
迄今为止 , p(n, k)和 p(n)都没有比较简单的计 数公式 .
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三、分拆数
n2 , 12 n2 1 - , 12 12 p( n, 3) 2 n - 1 , 12 3 2 n 1, 12 4 n 0 (mod 6) n 1, 5 (mod 6) n 2, 4 (mod 6) n 3 (mod 6) n2 12
证明 设 n+k的 k部分拆的集合是E, n的至多有 k个分布的 分拆的集合为 F，定义映射 : E —— F =(n1,n2 ,…,nk ) | ( )=(n1–1,n2 –1,…,nj –1) , 其中 j是使 nj >1的最大下标 . 因为 n+k>k, 所以 n1>1,故这样的 j存在. 是双射.
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三、分拆数
定理 2.9 设 n,k，则p(n, k)有如下递推关系： (1) p(n,k)= p(n–1,k–1)+ p(n–k,k); (2) p(n+k,k)= p(n, 1)+ p(n,2)+…+p(n,k).
利用定理 2.9，理论上讲可以对n从小到大逐步求得 所有 p(n, k)的值。于是可以求出p(n).
有序分拆的计数问题常常能归结为求不定方程的整
数解问题 .
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二、 有序分拆
定理 2.8 正整数n的一个k部有序分拆n1,n2,…, nk 就是 k元不定方程 x1+ x2+ …+ xk=n (2-2) 的一个正整数解，从而可知其总数是
n - 1 C ( n - 1, n - k ) k - 1
当实数a 整数 +1/2时，记号a表示与a最接近 的整数.
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三、分拆数
定理 2.9 设 n,k，则p(n, k)有如下递推关系： (1) p(n,k)= p(n–1,k–1)+ p(n–k,k); 证明 n的所有k部分拆(n1,n2,…,nk)可分成两类：
一类满足nk=1，共有p(n–1,k–1)个；
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三、分拆数
p(n, n) =p(n, 1) =1.
若 k >n 1, 则 p(n, k)=0， p(n,0)=p(0,n)=0. 规定 p(0, 0)=1, 则函数p(n,k)的定义域是0.
无序分拆的计数问题能否也可归结为带有一定限制
条件的不定方程的整数解问题呢？
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三、分拆数
1. 分拆的指数型表示法 例如 4的所有分拆有如下表示： 4＝ 4→41,4＝3+1→31 11,4＝2+2→22, 4＝ 2+1+1→2112，4＝1+1+1+1→14. 一般地,如果 n的一种分拆中有1个1, 2个 2,…, n个n，称为1122 … n n-型的，且有
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二、 有序分拆
例 2 设 p1,p2,…,pk是k个正整数, 则正整数n的k 部有序分拆中第i个分部大于等于pi (1 ik)的 分拆个数是
k n k 1 p i i 1 k -1
它也是把 n个全相同的球放进k个全不同的盒子里, 第 i个盒子里至少有pi个球的分配方法数.
=(5,5,3,2)≥
* = (4,4,3,2,2)≥
*的 Ferrers图是通过的 Ferrers图的转置得到的.
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四、分拆的 Ferrers 图
记 n的所有分拆的集合为F (n),则映射 |* 定义了F (n)到自身的一个双射. 映射 |*把F (n)中的最大分部是k的分 拆映射成一个k部分拆.
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四、分拆的 Ferrers 图
下面分别是15的一个分拆=(5,5,3,2)≥的 Ferrers图
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四、分拆的 Ferrers 图
若记 n的一个k部分拆=(n1, n2, …, nk )≥ 的 Ferrers 图第 j列点数为sj (1≤j≤n1), 则
s1 s2 ... sn1 n
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆
3 、分拆数 4 、分拆的 Ferrers 图
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三、分拆数
现在来研究无序分拆，即对诸ni任意换位后不 变的分拆,无序分拆记为=(n1,n2,…,nk)
无序分拆简称为分拆. p(n,k)--正整数n的所有k部分拆的个数; n的 k部分拆数. p(n)-- n的所有分拆的个数称为n的分拆数． p(n)= p(n,1)+ p(n,2)+…+ p(n,n)
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆 3 、分拆数
4 、分拆的 Ferrers 图
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一、 基本概念
给定 n, k, n的一个k部分拆:把n表示成k个正整数之和 n=n1+n2+…+nk (2-1) 的一种表示法，其中ni 1(1ik). 分部： ni 容量： ni的大小 分拆分为有序分拆和无序分拆 无序分拆简称为分拆
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思考题
P65 2.14 2.18
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小 结：
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆 3 、分拆数
4 、分拆的 Ferrers 图
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课后练习
P65 2.12 2.13 2.15 2.17 2.19 2.20 2.21
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四、分拆的 Ferrers 图
定理 2.10 n的 k部分拆的个数p(n, k)等于n的最 大分部是k的分拆个数; n的至多有k个分部的分 拆的个数(p(n+k, k))等于 n的最大分部至多是k 的分拆的个数.
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四、分拆的 Ferrers 图
满足 *=的分拆称为自共轭分拆.
定理 2.11 一个分拆是自共轭的当且仅当的 Ferrers图的第i行和第i列的点数相同.
组
合
论
第二章 特 殊 计 数
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组
合
论
第二章 特 殊 计 数
§ 2.3 正整数的分拆
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本讲内容
1 、正整数分拆的概念 2 、有序分拆 3 、分拆数
4 、分拆的 Ferrers 图
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知识点：
正整数分拆的概念 分拆数及递推关系 分拆的 Ferrers 图
内容及其掌握程度：
理解正整数分拆的有关概念 能熟练掌握计算分拆数的一些方法 学会利用 Ferrers 图来研究正整数分拆
=(4,4,3,2)≥
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四、分拆的 Ferrers 图
定理 2.12 正整数 n的自共轭分拆的个数等于 n的各分部两两不同且都是奇数的分拆的个数.
例如分拆 =(11,7,5)，各分部两两不同且都是奇数 :
得到自共轭分拆’=(6,5,5,3,3,1).
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四、分拆的 Ferrers 图
则得到 的共轭分拆,记为* =(s1, s2, …, sn1 )≥.
其 Ferrers 图是 的Ferrers 图的转置,也是n 个点的格点阵列. 其第 i行点数为si(1≤i≤n1)， 第 j列点数为 nj (1≤j≤k). 于是 ( *)*=.
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四、分拆的 Ferrers 图
例如下面分别是15的一个分拆 =(5,5,3,2)≥ 及它的共轭分拆 *的Ferrers图