第二节 随机变量的方差与矩

2 2 D( X ) = E ( X − E ( X ) ) = E ⎡ X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ) ) ⎤ ⎣ ⎦
= E ( X 2 ) − 2E ( X ) ⋅ E ( X ) + ( E ( X ) ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) .
2 2
例 7 设有随机变量 X , E ( X ) = µ , 证明: E (Y ) = 0,
D( X ) = σ 2 , 称 Y =
X −µ
σ
为 X 的标准化变量.
D (Y ) = 1 .
证明::
⎛ X −µ ⎞ 1 E (Y ) = E ⎜ ⎟ = E(X − µ) = 0; ⎝ σ ⎠ σ
2 ⎛ X −µ ⎞ D (Y ) = E (Y 2 ) − ( E (Y ) ) = E (Y 2 ) = E ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ 2
e−λ + λ = λ 2 + λ
D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = λ 2 + λ − λ 2 = λ .
由此可见, 泊松分布中的参数 λ , 既是服从泊松分布的随机变量的数学期望, 又是该随 机变量的方差. 例3 解: 设随机变量 X ∼ U ( a , b ) 分布, 求 D ( X ) . 因为 X ∼ U ( a , b ) ， 所以 E ( X ) =
证明:
只证 n = 2 的情形（一般情形由数学归纳法推出）
D ( X1 + X 2 ) = E ⎡ ⎣( X 1 + X 2 ) − E ( X 1 + X 2 ) ⎤ ⎦
1 1 2 2
{ = E {⎡ ⎣( X − EX ) + ( X
} − EX ) ⎤ ⎦ }
2 2
2 2 = E ⎡( X 1 − EX 1 ) + ( X 2 − EX 2 ) + 2 ( X 1 − EX 1 )( X 2 − EX 2 ) ⎤ ⎣ ⎦
( x − E( X )) −∞
∞
2
f ( x ) dx
2
（4.2.4）
无论 X 为离散型还是连续型随机变量, 通常采用下式计算方差：
D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) .
（4.2.5）
可见, 随机变量的二阶矩减去其一阶矩（数学期望）的平方, 就是该随机变量的方差. 利用 数学期望的性质可给出（4.2.5）式的证明. 即：
式（4.2.5）不但给出了随机变量 X 的方差的公式，同时也给出了方差与数学期望，方差与 与矩之间的关系。 例 1 设随机变量 X ∼ (0, 1) 分布, 求 D ( X ) . 解: 因为 X ∼ (0, 1) ， 所以 E ( X ) = p . 又 E X 2 = 0 2 ⋅ (1 − p ) + 12 ⋅ p = p ,
(
)
(
)
(
)
二. 随机变量的方差的性质 方差还具有下述性质（假设所遇到的随机变量的方差都是存在的）: 性质 1 证明: 性质 2 证明: 性质 3 设 c 是常数, 则 D ( c ) = 0 .
D ( c ) = E ( c 2 ) − ( E (c ) ) = c 2 − c 2 = 0 .
2
设 X 为随机变量, c 是常数, 则 D ( cX ) = c D ( X ) .
差异性. 为此, 需引入随机变量的另一重要的数字特征, 即方差的概念. 一. 随机变量的方差与矩的定义 定义 1 设 X 为随机变量 . 若 E ( X − E ( X ) ) 存在 , 则称它为随机变量 X 的方差 , 记为
2
D( X ) . 即
D( X ) = E ( X − E ( X ) )
∞
2
σ2 2π
∫
∞
−∞
e−t 2 dt = σ 2 .
2
由上节讨论知, 正态分布 N µ , σ 2 中的参数 µ , 是服从正态分布的随机变量的数学期 望. 本例告诉我们, 正态分布 N µ , σ 2 中的另一个参数 σ 2 , 就是服从正态分布的随机变量 的方差. 至此, 正态分布 N µ , σ 2 中的两个参数都有了明确的含义.
其中 θ
> 0,
求 D( X ) .
解: 因为 X 服从指数分布，所以 E ( X ) = θ . 又
∞ ∞ 1 E ( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x ) dx = ∫ x 2 ⋅ e − x θ dx −∞ 0
θ
= − x 2 e− x θ
故由（4.2.5）式有： 例5 解: 设随机变量 X 因为 X
2
2 2 2 D ( cX ) = E ( cX ) − ( E ( cX ) ) = c 2 ⎡ E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) ⎤ = c 2 D( X ) ⎣ ⎦
设 X 1 , X 2 ,L , X n ( n ≥ 2 ) 为相互独立的随机变量, 则
D ( X1 + X 2 + L + X n ) = D ( X1 ) + D ( X 2 ) + L + D ( X n ) .
D ( X1 + X 2 ) = D ( X1 ) + D ( X 2 ) .
D ( X ) = 0 的充要条件是 P { X = E ( X )} = 1 .
X k ( k = 1, 2,L , n ) 服从（0-1）分布.
又 D ( X k ) = p (1 − p ) , 故由性质 3 有：
D ( X ) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) + L + D ( X n ) = np (1 − p ) .
E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y ) = 80 ,
且 X − Y ∼ N (80,1525) , 所以得：
n n
Y ∼ N ( ∑ ci µi , ∑ ci 2σ i 2 ) .
i =1 i =1
特别有：. X
=
1 n σ2 ( , ) X ∼ N µ ∑ n i =1 i n
例9
设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 X
∼ N (720, 302 ) , Y ∼ N (640, 252 ) 。
求概率 P { X > Y } , P { X + Y > 1400} . 解: 由 X 与 Y 相互独立知,
D( X ) 与 D ( X ) 的量纲不同,
P { X = xk } = pk ,
k = 1, 2, L ,
D ( X ) = ∑ ( xk − E ( X ) ) pk
2 k =1
∞
（4.2.3）
若 X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f ( x ) , 则由（4.1.3）式有：
D( X ) = ∫
n
则 E (Y ) =
∑ ci E ( X i ) = ∑ ci µi
i =1 i =1
n
n
,
D (Y ) = ∑ ci2 D ( X i ) = ∑ ci2σ i2
i =1 i =1
n
n
若X 且
∼ N ( µi , σ i 2 ) , i = 1, 2,L , n ; c1 , c2 ,L , cn 不全为 0, 则 Y 仍为正态变量,
1 ⎛1 n ⎞ 1 n E ( X ) = E ⎜ ∑ X i ⎟ = ∑ E ( X i ) = nµ = µ n ⎝ n i =1 ⎠ n i =1 ⎛1 n ⎞ 1 D( X ) = D ⎜ ∑ X i ⎟ = 2 ⎝ n i =1 ⎠ n
∑ D( X ) = n
i =1 i
n
1
2
nσ 2 =
= DX 1 + DX 2 + 2 E ⎡ ⎣( X 1 − EX 1 )( X 2 − EX 2 ) ⎤ ⎦
因为 X 1 与 X 2 相互独立, 故由数学期望的性质得
E⎡ ⎣( X 1 − EX 1 )( X 2 − EX 2 ) ⎤ ⎦ =E⎡ ⎣ X 1 X 2 − X 1E ( X 2 ) − X 2 E ( X 1 ) + E ( X 1 ) E ( X 2 )⎤ ⎦
σ2
n
.
可以将本例的结果推广到更一般的情形：若 X 1 , X 2 ,L , X n 为相互独立的随机变量 ,
E ( X i ) = µi , D ( X i ) = σ i 2 , i = 1, 2,L , n ; 令 Y = ∑ ci X i , c1 , c2 ,L , cn 均为常数,
i =1
a+b . 2
又
E ( X 2 ) = ∫ x2 ⋅
b a
1 a 2 + ab + b 2 dx = b−a 3 D( X ) = E ( X
2
故由（4.2.5）式有：
) − ( E( X ))
2
(b − a ) =
12
2
.
例4
设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
⎧ 1 −x θ ⎪ e , x > 0, f ( x ) = ⎨θ ⎪ x ≤ 0. ⎩ 0,
= E ( X1 X 2 ) − E ( X1 ) E ( X 2 ) − E ( X 2 ) E ( X1 ) + E ( X1 ) E ( X 2 ) = E ( X1 X 2 ) − E ( X1 ) E ( X 2 ) = 0
所以证得： 性质 4 证明: 略 例6 解: 设随机变量 X ∼ B ( n, p ) , 求 D ( X ) . 由上节例 10 知, X = X 1 + X 2 + L + X n . X 1 , X 2 ,L , X n 为相互独立的随机变量, 且
2
( )
由（4.2.5）式有
D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = p − p 2 = p (1 − p ) .
例2 解: 设随机变量 X ∼ P ( λ ) 分布, 求 D ( X ) . 因为 X ∼ P ( λ ) ， 所以 E ( X ) = λ .
又
E(X
2
) = ∑k
2
（4.2.1）
称 D( X ) 为随机变量 X 的标准差, 或均方差. 定义 2 设 X 为随机变量. 若 E X k 存在（ k 为正整数）, 则称它为随机变量 X 的 k 阶矩, 记为 µ k . 即
( )
µk = E ( X k )
（4.2.2）
由定义知, D ( X ) 描述了随机变量 X 与其期望 E ( X ) 的偏离程度. D ( X ) 越小, 说明
X 取值越集中; 反之, D ( X ) 越大, X 取值越分散, 即 X 取值的波动性越大.
样也描述了随机变量 X 取值的偏离程度, 但值得注意的是, 而与 X 有相同的量纲. 故在实际问题中多采用 D( X ) . 若 X 为离散型随机变量, 其分布律为: 则由（4.1.3）式有：
D( X ) 同
k =0
∞ k =0
∞
2
⋅ pk = ∑ k ⋅
2 k =0
∞
λk
k!
e
−λ
= ∑(k − k )⋅
2 k =0
∞
∞
λk
k!
e
−λ
+ ∑k ⋅
k =0
∞
λk
k!
e−λ
= ∑ k ( k − 1) ⋅
故由（4.2.5）式有：
λk
k!
e− λ + EX = λ 2 ∑
2
k =2 ( k − 2 )!
λ k −2
D( X ) = ∫
令
( x − E( X )) −∞
= t , 得：
∞
2
f ( x ) dx = ∫
(x − µ) −∞
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∞
⋅
2 1 − x−µ e( ) 2πσ
2σ 2
dx
x−µ
σ
σ2 D( X ) = 2π
∫
∞
−∞
t e
2 −t 2 2
σ2 ⎛ −t dt = ⎜ −t e 2π ⎝
=
2
2
∞
+ ∫ e−t 2 dt ⎞ ⎟ −∞ −∞ ⎠
∞
o
+ ∫ 2 xe− x θ dx = 2θ 2 ,
0
∞
D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = 2θ 2 − θ 2 = θ 2
2
∼ N ( µ ,σ 2 ) , 求 D ( X ) .
直接由（4.2.4）式有：
2
∼ N ( µ ,σ 2 ) ， 所以 E ( X ) = µ .
=
例 8
1
σ
2
E(X − µ) =
2
1
σ
2
⋅σ 2 = 1 .
D ( X i ) = σ 2 , i = 1, 2,L , n .
设 X 1 , X 2 ,L , X n 为相互独立的随机变量, E ( X i ) = µ , 令 X =
1 n ∑ Xi , n i =1
求 E ( X ), D ( X ) . 解: 由期望与方差的性质有：
第二节
随机变量的方差与矩
数学期望反映了随机变量取值的平均水平, 是一个很重要的数字特征. 但在某些场合, 只知道数学期望还是不够的 . 如设随机变量 X
U ( −1,1) , Y
U ( −1000,1000 ) . 易知
EX = EY , 但随机变量 Y 取值的波动性明显大于 X , 而数学期望无法描述 X 与 Y 的这种