浙江省衢州、湖州、丽水三地复数经典试题(含答案)
衢州、湖州、丽水2020年11月三地市高三教学质量检测数学试卷及答案
16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，
记取出的球的颜色有 种，则 ▲.
17.若实数 满足 ，则 的最小值是▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分）
在锐角 中，角 所对的边分别是 ， .
（Ⅰ）求角 的大小；
A. B. C. D.
9.已知数列 的前 项和是 ，前 项的积是 .
①若 是等差数列，则 是等差数列；
②若 是等比数列，则 是等比数列；
③若 是等差数列，则 是等差数列；
④若 是等比数列，则 是等比数列.
其中正确命题的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ， ，则 的最大值是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.
二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 个“三角形数”是 ，则第5个“三角形数”是▲，前6个“三角形数”的和是▲.
当 时，存在 ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，从而要使 有三个零点，必有 ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ ，令 ，则
∵当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，即 ．-------------------------------------------11分
2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题及答案解析
2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题及答案解析一、单选题1.若集合(){}013≥--=x x x M ，()(){}013≥--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}3≥x x B .{}31≥≤x x x 或C .{}31≥=x x x 或D .{}31==x x x 或2.已知i zi+=1（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则=-z z （）A .1-B .1C .i-D .i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则=+++MD MC MB MA 22（）A .AB B .CDC .AB2D .CD 214.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（）A .61B .91C .365D .3675.已知函数()()0,0cos >≠=ωωa x a x f ，若将函数()x f y =的图象向左平移ωπ6个单位长度后得到函数()x g y =的图象，若关于x 的方程()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，先测得︒=∠45BCD ，︒=∠105BDC ，100=CD 米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角︒=∠28ACB ，则酒店的高度约为（）（参考数据：4.12≈，4.26≈，53.028tan ≈︒）A .91米B .101米C .111米D .121米7.已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是（）A .45-B .25-C .5-D .52-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发明”的学习内容是“探究函数xx y 1+=的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数xx y 12+=的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）A .25210-B .255-C .5410-D .5410-二、多选题9.已知βα，为两个平面，n m ，为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是（）A .若n m ∥，则βα∥B .若n m ，为异面直线，则α与β相交C .若α与β相交，则n m ，相交D .若βα⊥，则nm ⊥10.若实数b a ,满足1≤a 且100≤+b a ，则（）A .ab 的最小值是100-B .ab 的最大值是99C .ab b a ++的最小值是201-D .ab b a ++的最大值是20011.已知正方形ABCD 中，2=AB ，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥ABC P -的体积为V ，则下列命题正确的的是（）A .32=+PC P A ，则α的最大值时4πB .32=+PC P A ，则V 的最大值时31C .若422=+PD P A ，则V 的最大值是32D .若422=+PD P A ，则α的最大值时4π12.抛物线x y C 42=：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足AEEB ADDB OB ==（为坐标原点），分别过D ，E 作x轴平行线交抛物线C 于Q P ，两点，则（）A .BOD AOD ∠=∠sin sinB .OEOD ⊥C .直线PQ 过定点⎪⎭⎫⎝⎛021D .五边形DPFQE 的周长7>l 三、填空题13.()()y x y x +-8的展开式中27y x 的系数是.14.定义在R 上的非零数函数()x f 满足：()()x f x f =-，且()()02=+-x f x f .请写出符合条件的一个函数的解析式()=x f .15.已知数列，，，， 9,75,3,1,75,3,1,5,3,1,3,1,1其中第一项是1，接下来的两项是3,1，再接下来的三项是5,3,1，以此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400>n S 成立的最小正整数n 的值是.16.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：离心率为21=e ，F 为椭圆C 的右焦点，B A ,是椭圆C 上的两点，且FB F A λ=.若FB F A ⊥，则实数λ的取值范围是.四、解答题17.已知数列{}n a 满足：21=a ，且对任意的*N n ∈，⎪⎩⎪⎨⎧+=++是偶数是奇数n a n a a n n n nn ,22,211.（1）求32a a ，的值，并证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列；（2）设()*12Nn a b n n ∈=-，求数列{}nb 的前n 项和nT .18.如图，在三棱锥111C B A ABC -中，底面ABC ⊥平面B B AA 11，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且DB CD 3=，B A A A 11=.（1）求证：D A C B 111⊥；（2）若2=AB 且二面角11B BC A --的余弦值为53，求点1A 到侧面C C BB 11的距离.19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足BCA C A 222sin sin sin 1sin sin -=-且C A ≠.（1）求证：C B 2=；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4=a ，求线段BD 长度的取值范围.20.为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分，答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分，答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题机会的概率为6.0，答对每道抢答题的概率为8.0，答对每道必答题的概率为()10<<p p ，且每道题的作答情况相互独立.（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过1.0分，求p 的取值范围.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中nd c b a =+++旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020()2k K P ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.02421.已知双曲线1422=-y x C ：，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 的坐标为()0,4.（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于S R ,两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆1422=+y x 交于点E D ,，直线AE AD ,与双曲线C 的另一个交点分别是点N M ,.试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()()0sin >+-=a bx x a e x f x.（1）当0=b 时，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0<b 时，设0x 是函数()x f 的极值点，证明：()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥.（其中71828.2≈e 是自然对数的底数）参考答案一、单选题12345678CDACBBCD1.解析：∵(){}{}31013≥==≥--=x x x x x x M 或，()(){}{}13013≤≥=≥--=x x x x x x N 或，∴M ∩=N {}31≥=x x x 或.2.解析：由i z i +=1，则()()()211111i i i i i i i z +=-+-=+=，则21i z -=，∴i z z =-.3.解析：由题意可得MB MD MC MA -=-=，，∴MDMB MB MC MC MA MD MC MB MA +++++=+++22ABMA MB MB MC =-=+=4.解析：记事件“A =甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”由题意，总的基本事件为：两个人各有6中不同的下法，故共有36种结果，则时间包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2+2+1=5种不同下法.∴事件A 的概率为：()365=A P .5.解析：由题意可得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 6cos πωωπωx a x a x g ，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1270π，x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+612766πωπππω，x ，∵()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+25236127πππωπ，，解得4716<≤ω，即实数ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，.6.解析：由题可得︒=∠30CBD ，在BCD ∆中BDCBCCBD CD ∠=∠sin sin ，又()42645sin 60cos 45cos 60sin 4560sin 105sin sin +=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=∠BDC∴()265021426100sin sin +=+⨯=∠∠=CBDBDCCD BC ，又()10128tan 2650tan ≈︒⨯+=∠=ACB BC AB 米.7.解析：已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，∴101222==+r 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()1-=x k y ，联立()⎩⎨⎧-==+1122x k y y x ，整理得()01212222=-+-+k x k x k ，0>∆恒成立，∴2212k k x x B A +=+，2211k k x x B A +-=，由于1=A x ，∴2211k k x B +-=，则()2121kkx k y B B +-=-=，由于BC 是圆O 的直径，由中点坐标公式可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--22212,11k kk k C ，则弦AC 的中点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++221,11k k k ∵直线AB 、BD 的斜率之和为0，∴k k k k k kk k k BD-=+-+-+-+-=222221111112整理得()052=-k k ，解得0=k 或5±=k .又点B 在第一象限，∴1-<k ，故5-=k .即直线AB 的斜率是5-.8.解析：由xx y 12+=的两条渐近线分别为x y 2=，0=x ，∴该函数对应的双曲线焦点在x y 2=，0=x 夹角（锐角）的角平分线l 上，设kx y l =：且2>k ，若βα，分别是kx y =，x y 2=的倾斜角，故2tan ,tan ==βαk 故βα-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由()ααπβαtan 12tan tan =⎪⎭⎫⎝⎛-=-，即()k k k 1212tan tan 1tan tan tan =+-=+-=-βαβαβα，整理得0142=--k k ，可得52+=k （负值舍去），∴绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为25521-=+=a b ，故()54105491122-=-+=+=ab e .二、多选题9.解析：n m ∥，m ⊥平面α，n ⊥平面β，，则两平面平行，故A 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，n m ，为异面直线，则α与β相交，故B 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若α与β相交，则n m ，相交或异面，故C 错误；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若βα⊥，则n m ⊥，故D 正确.10.解析：由题设，⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-10010011b a a ，如下图可行域，由图知：可行域边界交点坐标依次为()99,1，()101,1-，()991--，，()1011-，，显然ab 在坐标值异号的两交点处取最小值，坐标值同号的两交点处取最大值，故ab 的最小值是101-，最大值是99，A 错，B 对；由图知：[]199,201-∈++ab b a ，在第一象限边界交点、第四象限边界交点处分别取得最大、最小值，C 对，D 错.11.解析：由题意知，点P 为动点，C A ,为定点，32=+PC P A ，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以22=AC 为焦距，长轴为32的椭圆，将此椭圆绕AC 旋转一周，得到一个椭球，即点P 的轨迹是一个椭球，9101112ABDBCACABD而椭球面为一个椭圆，由22222,32222=+==c a ，即2,3==c a ，得122=-=c a b ，当点P 运动到椭球的上、下顶点时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆b S V ABC ；设点P 在平面ABCD 上的射影为Q ，则BQPQ=αtan ，又10≤<PQ ，20≤<BQ ，且BQ PQ ≤，∴当且仅当BQ PQ =时αtan 最大，即α的最大值时4π；当422=+PD P A 时，由42=AD 得222AD PD P A =+，则点P 的轨迹是以AD 为直径的球，设AD 的中点为O ，则O 为球心，当AD OP ⊥即1=OP 时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP S V ABC ；当直线BP 与球相切于点P 即BP OP ⊥时，α取得最大值，此时5551sin ===OB OP α，则4πα≠.12.解析：如图，不妨设1>=t OB ，点B 在x 轴上方，()0,1y D -()00>y ∵AEEB ADDB OB ==，则AD t DB =，AE t EB =，易得()()011y t B +-，，设()E y E ,1-，则()t y y y t EE=--+010，得到011y tty E -+=，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-0111y t t E ，，且()2202211t y t =++，即()222011t t y +-=，选项A ，如图，令βα=∠=∠AOB AOD ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈20,πβα，，则αβ-=∠BOD ，∵201sin y y +=α，2011cos y +=α，()ty t 01sin +=β，t1cos =β，∴()=-=∠αβsin sin BOD ()⋅+ty t 012011y +t 1-201y y +⋅2001y y +=αsin =，∴BOD AOD ∠=∠sin sin ，∴选项A 正确；选项B ，∵()0,1y OD -=，()⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ty t OE 1110，，则⋅OD +=1OE ()ty t -+1120()0111111122=-=+-⋅-++=t t t t ，∴OE OD ⊥，即OE OD ⊥，选项B 正确；选项C ，易知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的斜率为k ，()01,y x P ，()⎪⎭⎫⎝⎛-+ty t x Q 1102，，将()01,y x P 代入x y 42=，得到()()141141422201+-=+-==t t t t y x ，∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,141y t t P ，同理可得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t y t t t Q 11,1410∴()()()()()()()()()()()022020001214112141411114114111y t t t t ty t t t y t y t t t t t y t y t k +-=++--=+-++---+=+---+--+=，∴直线PQ 的方程为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t x y t y y 1411200，假设直线PQ 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，则有()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t y t y 141211200，得到0211=--+t t ，即023=+t ，不对t 恒成立，∴选项C 不正确；选项D ，由抛物线定义知，21p x PF DP +==，22px QF EQ +==，∴五边形DPFQE 的周长()ED QF PF l ++=2，又∵()1411+-=t t x ，()1412-+=t t x ，()0,1y D -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-021,1y t t E ，()222011t t y +-=，∴=l ()()p y t t y t t t t 211141141200+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-()()4121211210+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=y t tt t t t ()()()()()()()411212112141112121121222222+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=++-⋅-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=t t t t t t t t t t tt t t t ，又∵1>=t OB ，∴()()()()11211212121121=-+⋅+->-+++-t t t t t t t t ，()()11211121124224242222>+--+=+--=--t t t t t t t tt t ，∴7421=++>l ，故选项D 正确.三、填空题13.20；14.x y 2cosπ=（答案不唯一）；15.59；16.⎦⎤⎢⎣⎡+-374374，13.解析：二项式()8y x -中，()r rrrr y x C T -+-=8811，当y x +中取x 时，这一项为()r rr ry xC --981，∴2=r ，()281282=-C ，当y x +中取y 时，这一项为()1881+--r rr ry xC ，∴1=r ，()81181-=-C ，∴展开式中27y x 的系数是20288=+-.14.解析：∵()()02=+-x f x f ∴()x f 的对称中心为()0,1，且由()()x f x f =-可得出()x f 的对称轴为y 轴，且周期为4的偶函数都可以.15.解析：将已知数列分组，每组的第一项均为1，即第一组：1；第二组：3,1；第三组：53,1，；以此类推：将各组数据之和记为数列{}n b ，则()22121n n n b n =-+=，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则()()612121222++=+++=n n n n T n ；∴400385621111010<=⨯⨯=T ，400506623121111>=⨯⨯=T ；∵1021b b b +++ 对应{}n a 中项数为55211101021=⨯=+++ 项，即1055T S =，∴40039453135858<=+++=S ，400401753138559>=++++=S ，则使得400>n S 成立的最小正以整数59=n .16.解析：椭圆的右焦点为极点，建立坐标系，设()θρ,A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0πθρB 过点A 作l AH ⊥交l 于点H ，l 为椭圆的右准线ca x 2=，过点A 作⊥AM 极轴交极轴于点M ，由椭圆的第二定义知：e AHAO=，则ρ=AO ，∴θρcos 2--=c c a AH ，则e c ca=--θρρcos 2，代入化简可得：θρcos 12e a b +=，同理可得：θπθρsin 12cos 1220e a b e a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，由FB F A λ=可得λθθθθθθρρ=+-=+-=+-==cos 2sin 2cos 211sin 211cos 1sin 10e e FB F A ，θθλcos 2sin 2+-=，λ表示()22，C 与()θθsin ,cos -D 两点的连线的斜率，而()θθsin ,cos -D 可看作圆122=+y x 上任意一点，∴λ的几何意义为圆122=+y x 上一点与()22，C 两点的连线的斜率，过点()22，C 作圆的切线可求出z 的最大值和最小值，由分析知，过点()22，C 直线的斜率一定存在，设为()22-=-x k y ，即022=+--k y kx ，故圆心()0,0到直线022=+--k y kx 的距离为：11222=++-kk ，化简得：03832=+-k k ，解得：374-=k 或374+=k，∴374cos 2sin 2374+≤+-≤-θθ，故374374+≤≤-λ.四、解答题17.解：（1）由题意可得：1212==a a ，1022233=+=a a .由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+----+++324384382238232121212121221212n n n n n n n n a a a a a ，又038321≠=+a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列.（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b .运用分组求和可得()()nn n T n n n n 321498324141383244438110--=---⋅=-+++=- 18.解：（1）取BC AB ,的中点E O ,，连接AE OD D A O A ,,,11，∵ABC ∆是正三角形，∴BC AE ⊥；∵B A A A 11=，O 为AB 中点，∴AB O A ⊥1，∵DB CD 3=，E 为BC 中点，∴D 为BE 中点，又O 为AB 中点，∴AE OD ∥，∴BC OD ⊥；∵平面ABC ⊥平面B B AA 11，平面ABC ∩平面AB B B AA =11，⊂O A 1平面B B AA 11，∴O A 1⊥平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC O A ⊥1；∵O OD O A =⋂1，⊂OD O A ,1平面OD A 1，∴BC ⊥平面OD A 1，又⊂D A 1平面OD A 1，∴BC ⊥D A 1，又11C B BC ∥，∴D A C B 111⊥.（2）取11C B 中点F ，连接DF F A ,1，由三棱柱结构特征知：AE F A ∥1，又AE OE ∥，∴AF OD ∥，即F D O A ,,1，四点共面，由（1）知：BC ⊥平面ODF A 1，∵⊂DF D A ，1平面ODF A 1，∴DF BC ⊥，D A BC 1⊥，∴DF A 1∠是二面角11B BC A --的平面角，∴53cos 1=∠DF A ，作DF G A ⊥1，垂足为G ，∵G A BC 1⊥，G A DF 1⊥，D DF BC =⋂，⊂DF BC ,平面11B BCC ，∴G A 1⊥平面11B BCC ，设h O A =1，则121+=h AA ，又312221=-==F A AE ，∴2321==AE OD ，∴4321+=h D A ，432122121+=⎪⎭⎫⎝⎛+=h F A O A DF ，∴53432343432cos 2221212211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=⋅-+=∠h h h DFD A F A DF D A DF A ，解得3=h ，又54sin 1=∠DF A ，∴G A D A DF A DF D A S DF A 111121sin 211⋅=∠⋅⋅=∆，即G A 1215215421521521⋅⨯=⨯⨯⨯，解得：51521=G A ，即点1A 到侧面C C BB 11的距离为5152.19.解：（1）由题意得BCA C C A 222sin sin sin sin sin sin -=-，即B C A C 2sin sin sin sin 1+=.由正弦定理得：ac c b +=22，又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，∴B c a c cos 2-=，故B C A C cos sin 2sin sin -=，故()B C C B C cos sin 2sin sin -+=，整理得()C B C -=sin sin，又ABC ∆为锐角三角形，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，B ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈-22ππ，C B ∴C B C -=，因此C B 2=.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得C BD BDC a sin sin =∠，∴CBDBDC sin sin 4=∠∴CC C BDC C BD cos 22sin sin 4sin sin 4==∠=，∵ABC ∆为锐角三角形，且C B 2=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<<23022020ππππC C C ，解得46ππ<<C .故23cos 22<<C ，∴22334<<BD .因此线段BD 长度的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,334.20.解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()841.34.2151051049162022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，又()05.0841.32=≥K P ，故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，则丙在一道抢答题中的得分X 可能为2,0,1-，()12.02.06.01=⨯=-=X P ，()4.00==X P ，()48.08.06.02=⨯==X P 故可列出X 的分布列如下：旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020X-102因此()84.048.0212.01=⨯+⨯-=X E .21.解：（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为x y 21±=，过P 与x y 21=平行的直线方程为()421-=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛-43,25R ，过P 与x y 21-=平行的直线方程为()421--=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=---=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛43,25S ，∴直线RS 的方程为25=x.（2）直线MN 过定点.由已知，易知过P 的直线斜率存在且不为0，直线AD ，AE 斜率存在且不为0，设直线AD ，AE 的直线方程分别为21-=y t x 和22-=y t x ，()D D y x D ,()E E y x E ,，由⎩⎨⎧=--=442221y x y t x 得()0441221=-+y t y t ，解得44211+=t t y D ，则4822121+-=t t x D .同理44222+=t t y E ，4822222+-=t t x E .又E D P ,,三点共线，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=44,42422112121t t t t PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--=44,42422222222t t t t PE .故044424244424221122222222121=+⨯+---+⨯+--t t t t t t t t ，解得1221=t t .P0.120.40.48设()11,y x M ，()22,y x N ，则11112t k x y k AD MN ==+=，22212t k x y k AE AN ==+=，∴1222221121=+⋅+=y x y x t t ，即()()()()m kx m kx y y x x ++==++212121121222化简整理得：()()()0412*******21221=-+-++-m x x k x x km （*），易知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=，由⎩⎨⎧=-+=4422y x m kx y ，消去y 整理得()044841222=----m kmx x k ，∴当0412≠-k 且()()014116642222>+-+=∆mkm k 时22212214144,418km x x k km x x ---=-=+，代入（*）化简，解得0222=--k mk m ，即()()02=-+k m k m ，故k m -=或k m 2=.当k m 2=时，k kx m kx y 2+=+=，经过点()0,2-，不符合题意，当k m -=时，k kx m kx y -=+=，经过点()0,1，满足题意.因此直线MN 过定点()0,1.22.解：（1）由题意知()x a e x f xsin -=在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值，则()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有解，故x e a x cos =，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0cos πx x e x g x ，显然()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()10=g ，()+∞=→x g x 2lim π，∴1>a .当1>a 时，()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πα，且()0='αf ，此时当()α,0∈x 时，()0<'x f ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,παx 时，()0>'x f ，∴()x f 在()α,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πα上单调递增，故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值点.因此实数a 的取值范围是1>a .（2）由题意知()b x a e x f x+-='cos ，故()0cos 000=+-='b x a ex f x .()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=()bbx x a e b bx x x a e x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=000004sin 22cos sin 200πa b bx e x 2200-++≥.设()()R x a b bx e x h x ∈-++=22，则()b e x h x+='2，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈2ln ,b x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，2ln b x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()a b b b h x h 22ln 2ln -⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥.因此()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥成立.。
2022年浙江省衢州、丽水、湖州三地市高考数学质检试卷(4月份)(二模)+答案解析(附后)
2022年浙江省衢州、丽水、湖州三地市高考数学质检试卷（4月份）（二模）1.已知集合，集合，则( )A. B.C. D. 或2.已知i是虚数单位，复数( )A. B. C. D.3.已知直线平面，点平面，那么过点P且平行于直线l的直线( )A. 有无数条，仅有一条在平面内B. 只有一条，且不在平面内C. 有无数条，均不在平面内D. 只有一条，且在平面内4.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是( )A. B. 0 C. 1 D.5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是( )A. B. C. D.6.已知等比数列满足，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限交点为P，直线与另一条渐近线交于点若点Q是线段中点，则双曲线C的离心率是( )A. B. 2 C. D. 38.已知函数则当时，的图象不可能是( )A. B.C. D.9.已知，，且，则下列结论正确的个数是( )①的最小值是4；②恒成立；③恒成立；④的最大值是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知为非常数数列且，，，下列命题正确的是( )A. 对任意的，，数列为单调递增数列B. 对任意的正数，存在，，，当时，C. 存在，，使得数列的周期为2D. 存在，，使得11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为__________平方步．12.设，函数，则______；若，则实数a的取值范围是______.13.设若，则实数______，______.14.袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次．设拿出的白球个数为，则______，______.15.在中，D为AB的中点，若，，，则______，______.16.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是______.17.已知函数，函数若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是______.18.已知函数，求函数的单调递增区间；求函数的值域．19.如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面ABC内的射影D 在BC上，，，证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值．20.已知等差数列的前n项和为，满足，数列满足，，求数列，的通项公式；设数列满足，，记数列的前n项和为，若，求n的最小值．21.如图，抛物线上的点到其准线的距离为过点作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线交于点求证：直线轴；记，的面积分别为，若，求直线AB的方程．22.已知函数若，求函数的极小值点；当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，集合，，故选：根据交集的定义，写出对应的运算结果即可．本题考查了交集的运算问题，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数，故选：3.【答案】D【解析】解：因为直线平面，点平面，即直线l，过P和直线l有且只有一个平面，设为，则平面与平面有一个公共点P，由平面的基本性质可得平面与平面必有一条公共直线，设为m，且，且m只有一条，在平面内．故选：由平面的基本性质和线面平行的性质定理，可得结论．本题考查线面平行的性质定理和两直线平行的条件，考查推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：侧视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有挡住的一条对角线，对角线是由左上角到右下角的虚线．故选：根据三视图的特点，知道侧视图从图形的左边向右边看，看到的图形．本题考查了空间图形的三视图应用问题，重点是侧视图的画法问题，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，通过作差即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、作差法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：，，，，，；反之，，则，或若，，则，，因此不成立．综上可得：“”是“”的充分不必要条件．故选：7.【答案】B【解析】解：如图，点Q是以为直径的圆的弦的中点，则，可得，因为直线OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，则直线OP的斜率，离心率，即双曲线的离心率是故选：根据给定条件，利用圆的性质及双曲线的对称性求出即可计算作答．本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：，，恒成立，的定义域为R，①当时，，，为R上的奇函数，又，而，选项B可能；②当时，，由①可知也为R上的奇函数，又，而，选项A也可能；③当时，，由①知为R上的偶函数，又，而，选项C也可能．故选：根据选项均是奇偶函数，所以取，和，，再通过特值排除选项，从而得到正确选项．考查函数奇偶性，及函数图像特殊点，属基础题．9.【答案】C【解析】解：因为，，且，①，当且仅当时成立，而，可得，，与m，n为正数矛盾，所以①不正确；②令，恒成立，因为，所以，所以，即恒成立，所以②正确；③，因为，所以，所以③正确；④，令，，则，令，可得，，当，，单调递增，，，单调递减，所以，，所以④正确；故选：由均值不等式的条件可得①不正确；用函数求导的方法可得②正确；由均值不等式及函数的单调性判断③正确；求导，由函数的单调性判断④正确．本题考查均值不等式的性质的应用及函数求导的方法，求函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：对于选项A，当时，恒成立，此时数列为单调递减数列，故A不正确；对于选项B，令，记，，则，，，令，即，取，则在上单调递增．令，则或如图所示，在区间内总能找到一个，使得的极限为1，故B正确；对于选项C，先假设存在，，使得数列的周期为2，即，则①，②，②-①得：，又，化简得：，记，则恒成立，所以在R上单调递增，要使，则需，与数列为非常数列矛盾，故C不正确；因为，所以，所以，所以不存在，，使得，故D不正确．故选：对于选项A，取，即可判断数列为单调递减数列；对于选项B，令，记，根据的单调性结合其与的交点，即可说明总能找到一个，使得的极限为1，即可判断出结论；对于选项C，先假设存在，利用化简后即可说明矛盾；对于选项D，利用等式表示出即可判断结论．本题考查数列的递推关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．11.【答案】120【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，属于基础题．利用扇形面积公式计算得出．【解答】解：因为圆的直径为16步，所以半径为8步，因为弧长为30步，所以扇形面积，故答案为：12.【答案】【解析】解：函数，，，，即，可得，故答案为：2，利用分段函数求法第一问，通过分类讨论求解指数与对数不等式解答第二问．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，指数以及对数不等式的解法，考查计算能力．13.【答案】 6【解析】解：令，则，解得，所以二项式为，则展开式中含的项为，所以，故答案为：；令，建立方程即可求出m的值，再求出二项式的展开式中含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可得，白球个数为，则可能的取值为0，1，2，，，，故故答案为：；由题意可得，白球个数为，则可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图：，，，在中，由正弦定理得，，，为AB的中点，，，在中，由余弦定理得，，，，由正弦定理得，，即，，故答案为：5；分别在三角形和中用正弦定理即可解出．本题考查了解三角形，正弦定理，余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，，不妨建立平面直角坐标系，使，，设，则，整理得，设，，，则，，，如图，，记，，B，C三点共线，由，得直线AB为，点D落在直线AB上，设，则，表示CD间的距离，表示DE间的距离，表示，设为E关于直线AB的对称点，则，解得，，，，如图，当C位于直线AB右上方的椭圆上时，能取得最小值，由椭圆的几何性质得当C位于短轴上顶点时，最小，的最小值是故答案为：建立平面直线坐标系，使，，求出向量满足，设，，，，，得到A，B，C，D，E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把转化为，利用几何意义得到当点C位于短轴上顶点时，最小．本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算、椭圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：，当时，，当时，，当时，，所以当时，，，设，则，令，解得，所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，，函数的图像如图：则的图像如图：又，所以当时，，对任意，恒成立，即，解得故答案为：由题意，设，利用导数得出的单调性，作出其大致图像，从而得出的大致图像，得出的最大值，当时，得出的范围，即由即可得出答案．本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．18.【答案】解：由于，由，，得，所以函数的单调递增区间为：，由，则，所以，由，则，所以的值域为【解析】由辅助角公式化简的解析式，然后由正弦函数的单调性可得答案．由题意，代入函数解析式化简，由正弦函数的性质可得答案．本题考查了辅助角公式以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．19.【答案】证明：过D作交AC于E，连，因为在三棱台中，，所以，所以四点、、D、E共面，因为，所以，所以，因为点在平面ABC内的射影D在BC上，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因为，所以平面，即平面解：由可知，平面，又平面，所以，结合可知，是二面角的平面角，所以，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，有，，以E为原点，ED，EC分别为x，y轴，过E且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，得，令，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】过D作交AC于E，连，则四点、、D、E共面，通过证明、可证平面；以E为原点，ED，EC分别为x，y轴，过E且与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果．本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：设数列的公差为d，由，，得，解得，，所以，因为，所以…………，当时，满足上式，所以，综上所述，，由，可得，所以，所以……，若，则，即，令，所以恒成立，所以单调递减，而，所以，所以，故n的最小值为【解析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式即可得，利用累乘法，可得；结合中结论和裂项法，推出，再根据等比数列的前n项和公式与分组求和法，可得，然后利用数列的单调性，得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，累乘法，裂项求和法与分组求和法是解题的基础，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．21.【答案】证明：由题意可知，解得，抛物线方程为，，即，设直线AB的方程为，则由得：，，，，，即，且，由，解得，又，M，C共线，，又，，，化简可得，解得或舍去，，即直线轴．由题意可知轴，，，，解得或，所求直线AB的方程为或【解析】先求出抛物线方程为，设直线AB的方程为，则由，解得，由，解得，又B，M，C共线，所以，求出，即可证明．分别求出，，由，解得或，即可求出直线AB的方程．本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数有极小值，函数的极小值点为；，，令，，，①当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，，当时，即时，无解，即函数的图象与函数的图象有没有公共点，当时，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，当，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有2个公共点，当，即时，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，当时，即时，令，解得或，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，取的极大值，当时，取的极小值，且当时，，恒成立，有1个解，即函数的图象与函数的图象有1个公共点，综上所述：当时，函数的图象与函数的图象有没有公共点，当或或时，函数的图象与函数的图象有1个公共点，当时，函数的图象与函数的图象有2个公共点．【解析】根据导数和函数的极值的关系即可求出；问题转化为，与x轴的交点的个数，先求导，分类讨论，求出函数的极值，再比较和0的关系，即可求出．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．。
2019届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则 = ( )A. [-1，2）________B. （-2,2）________C. （-2，3]D. [-1,3]2. 已知复数，其中是虚数单位，则的模 = ( )A. B. C. 3 D. 53. 已知平面与两条不重合的直线，则“ ，且”是“ ”的( )A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件4. 已知实数满足则的最大值是( )A. -2B. -1C. 1D. 25. 二项式的展开式中含项的系数是( )A. 21B. 35C. 84D. 2806. 下列命题正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则7. 已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则 = ( )A. B. 1 C. D. 28. 已知是定义在 R 上的函数，若方程有且仅有一个实数根，则的解析式可能是( )A. B. C. D.9. 已知是的外心，，则，则的取值范围是( )A. B. C. D.10. 已知矩形，，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）．设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为则（ ) A. B. C. D.二、填空题11. 双曲线的焦距是 __________ ，离心率是 __________ ．12. 在中，内角所对的边分别是若，， A =60° ，则 __________ ，的面积 S= __________ ．13. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是 __________，表面积是 __________ ．14. 已知圆，圆心在曲线上.则 ab= __________ ，直线被圆所截得的长度的取值范围是 __________ ．15. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是__________ （用数字作答）．16. 已知等差数列，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，．若，则 __________ ．17. 已知函数若存在实数，对任意，都有，则的最大值是 __________ ．三、解答题18. 函数的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与 y 轴交于点 ,与 x 轴交于点 B , C , 且的面积为．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若 ,求的值.19. 如图，在三棱柱中，点 P ， G 分别是 AD , EF 的中点，已知平面 ABC ，AD=EF=3，DE=DF=2．（Ⅰ）求证：DG ⊥ 平面 BCEF ；（Ⅱ）求 PE 与平面 BCEF 所成角的正弦值．20. 设函数．（Ⅰ）若，求在区间[-1,2]上的取值范围；（Ⅱ）若对任意，恒成立，记，求的最大值．21. 已知点在椭圆内，过的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且点是线段AB的中点， O 为坐标原点．（Ⅰ）是否存在实数 t ，使直线和直线 OP 的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；（Ⅱ）求面积 S 的最大值．22. 数列中，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）记数列的前项和为，求证：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
浙江省湖州、衢州、丽水三地市2024届第二学期期初测试高三英语试题含解析
浙江省湖州、衢州、丽水三地市2024届第二学期期初测试高三英语试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．Police have found ________ appears to be the lost ancient statue.A．which B．where C．how D．what2．—She got her first science fiction published. It turned out to be________.—When was that?—It was in 2009 ________ she was still in college.A．success; that B．a success; whenC．success; when D．a success; that3．It was lucky that little Jack was not at home when the fire broke out；otherwise，he his life．A．had lost B．would lose C．would have lost D．might lose4．My new job _______ my travelling all over the country, which means I won’t be able to spend much time with my family.A．takes B．promises C．involves D．causes5．When faced with a big challenge ________ potential failure seems to hide at every corner, maybe you've heard this advice before: “Be more confident.”A．where B．whose C．which D．of which6．Guangdong province rolled out new guidelines, _____ offensive nicknames and online violence as school bullying. A．defining B．definedC．to define D．having defined7．It's great that all the visitors who on the island were saved.A．trapped B．have been trappedC．had trapped D．had been trapped8．The palace is heavily guarded, because inside its walls ________.A．where sit the European leaders B．the European leaders there sitC．sit the European leaders D．that the European leaders sit9．The part in the film Rio _______ the two birds escaped from the crashing plane made some of the audience give a cry. A．which B．who C．where D．whom10．—Where on earth have they gone?—I have no idea, but I wish I .A．know B．knew C．would know D．would have known11．I ______ tell you with certainty that he won’t be able to finish it before the deadline.A．will B．must C．can D．may12．The bus would not have run into the river ________ for the bad tempered lady.A．if it were not B．had it not beenC．if it would not be D．should it not be13．Y ou can choose not to forgive. ________ you can also choose to let it go.A．Absolutely B．ConsequentlyC．Subsequently D．Alternatively14．This was returned because the person ________ this letter was addressed had died three years ago.A．to whom B．to whichC．which D．whom15．We all know that good results ________ for you when you start doing things you love.A．are waiting B．have waitedC．have been waiting D．will be waiting16．John once worked in a remote mountain village school, which is ______ only on foot.A．accessible B．acceptable C．available D．appropriate17．---How’s your tour around the North Lake? Is it beautiful?---It ________ be, but it is now heavily polluted.A．will B．would C．should D．must18．The government spokesman has to ________ his words before responding to reporters.A．pass B．weigh C．cover D．express19．—The T--shirt I received is not the same as is shown online.—________But I promise you we’ll look into it right away.A．Who says B．How comeC．What for D．Why worry20．-----Good evening. Huangshan Hotel.-----Good evening. ______________?A．Do you still have a room for tonight B．What would you like, pleaseC．Is there anything I can do for you D．Who is that speaking, please第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学二模试卷(附答案详解)
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=1+3ii，其中i为虚数单位，则|z|=()A. √52B. √102C. √10D. 22.已知直线l，m和平面α()A. 若l//m，m⊂α，则l//αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mD. 若l⊥m，l⊥α，则m⊥α3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是()A. 34B. 32C. 2D. 34.若整数x，y满足不等式组{x−2y≥0x+2y+4≥07x+2y−8≤0，则3x+4y的最大值是()A. −10B. 0C. 3D. 55.函数f(x)=(x2−x)cosx的图象可能是()A. B.C. D.6.“关于x的方程√1−x2=|x−m|(m∈R)有解”的一个必要不充分条件是()A. m∈[−2,2]B. m∈[−√2,√2]C. m∈[−1,1]D. m∈[1,2]7.设0<p<23，随机变量ξ的分布列是则当P在(0,23)内增大时，()A. D(ξ)增大B. D(ξ)减小C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小8.某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是()A. 90B. 216C. 144D. 2409.设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)，数列{a n}满足a1=−1，且a n+1=(1+1n )a n+2n(n∈N∗).则f(a22)=()A. 0B. −1C. 21D. 2210.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为减函数，对任意的x∈(0,+∞)，均有f(x)⋅f(f(x)+32x )=14，则函数g(x)=f(x)+3x的最小值是()A. 2B. 5C. 103D. 3二、单空题（本大题共5小题，共24.0分）11.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−√55,2√55)，则tanα=______ ，sin(α+π4)=______ ．12.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数ba和d c ，则b+da+c是x的更为精确的近科似值.现第一次用“调日法”：由258<π<227得到π的更为精确的近似值为a1，则a1=______ .第二次用“调日法”：由a1<π<227得到π的更为精确的近似值为a2，…，记第n次用“调日法”得到π的更为精确的近似值为a n(n≤10,n∈N∗)．若a n=3.14，则n=______ ．13.设a，b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是√5，则λ=______ ．14.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，d⃗，若|a⃗|=|b⃗ |=√3，a⃗⋅b⃗ =0，|a⃗+c⃗|+|a⃗−c⃗|=4，|b⃗ +d⃗|=1，则|c⃗+d⃗|的最大值是______ ．15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|=2|AF2|，∠AF1F2=∠F1BF2，则下列结论正确的有______ ．①双曲线C的离心率e=2√33；②双曲线C 的一条渐近线斜率是√3； ③线段|AB|=6a ；④△AF 1F 2的面积是√15a 2．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 已知函数已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤2log 2x −1,x >2，则f(f(4)) (1) ；函数f(x)的单调递减区间是 (2) ．17. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB +sin(A −C)=cosC..(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当c =2√3时，求a 2+b 2的取值范围．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，△ABC 是正三角形，四边形ACC 1A 1是菱形且∠A 1AC =60°，M 是A 1C 1的中点，MB =MC ． (Ⅰ)证明：AM ⊥BC ；(Ⅱ)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项.数列{b n}的前n项和为S n，且S n+n(n+1)2=2a n−2.求证：(Ⅰ)数列{a n−b n}是等差数列；(Ⅱ)1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n).21.已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)动点M在抛物线C：y2=4x上，且在直线x=a的右侧.过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x=−a于A，B两点.当|AB|=10时，求点M的坐标．(x>1)．22.已知函数f(x)=ax+4lnx(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)的图象在(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞)，不等式f(x)≥lnx+4恒成立，求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)答案和解析1.【答案】C【解析】解：z=1+3ii =−i(1+3i)−i⋅i=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=√32+(−1)2=√10，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，若l//m，m⊂α，则l//α或l⊂α，故A错误；对于B，若l//α，m⊂α，则l//m或l与m异面，故B错误；对于C，若l⊥α，m⊂α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m与α平行或m⊂α，故D错误．故选：C．对于A，l//α或l⊂α；对于B，l//m或l与m异面；对于C，由线面垂直的性质得l⊥m；对于D，m与α平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到y=sin(ωx+2ωπ3+φ)图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，∴2ωπ3=kπ，k∈Z，令k=1，可得ω的最小值为32，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得ω的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −2y =07x +2y −8=0，解得A(1,2)，令z =3x +4y ，得y =−34x +z4，由图可知，当直线y =−34x +z4过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5． 故选：D ．由约束条件作出可行域，令z =3x +4y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得3x +4y 的最大值． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=(x 2−x)cosx ， 所以f(1)=(1−1)cos1=0，故选项C 错误；f(−1)=[1−(−1)]cos(−1)=2cos1>0，故选项D 错误； 若选项B 正确，则当x >0时，f(x)与x 轴交点的横坐标为1， 但是f(12)=(14−12)cos 12=−14cos 12<0，故选项B 错误，选项A 正确． 故选：A ．利用特殊的函数值f(1)，f(−1)即可判断选项C ，D ，利用f(x)与x 轴交点的横坐标以及函数值的正负，即可判断选项A ，B ．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等方面进行分析，考查了逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：化简√1−x 2=|x −m|，得2x 2−2mx +m 2−1=0，关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，即4m 2−8(m 2−1)≥0，解得−√2≤m ≤√2．因此关于x 的方程√1−x 2=|x −m|，有解的必要不充分条件是−√2≤m ≤√2的真子集． 故选：C ．关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，解得−√2≤m ≤√2.即可得出． 本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件及其必要条件，考查了推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由随机变量ξ的分布列可得，E(ξ)=−1⋅p +0×13+1⋅(23−p)=−2p +23， 故D (ξ)=p ⋅(−2p +23+1)2+13⋅(−2p +23−0)2+(23−p)⋅(−2p +23−1)2=−4p 2+83p +29=−4(p −13)2+23，其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为p =13， 因为13∈(0,23)，所以D(ξ)先增大后减小． 故选：D ．由分布列求出E(ξ)和D(ξ)，然后利用二次函数的单调性进行分析求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列的应用，离散型随机变量期望以及方差的求解，涉及了二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C 52−1=9种分组方法， ②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A 44=24种安排方法， 则有9×24=216种安排种数， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)， 整理得f[2−(x +2)]=f(x +2)=−f(x)， 即f(x +4)=−f(x +2)=f(x) 故函数的最小正周期为4．由于数列{a n }满足a 1=−1，且a n+1=(1−1n )a n +2n ，转换为an+1n+1=a n n +2n(n+1)，故an+1n+1−a n n=2n−2n+1，设b n =a n n，故b 22=(b 22−b 21)+(b 21−b 20)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=221−222+220−221+⋯+21−22+a 1=−111+2−1=1011， 故a 22=20，所以f(20)=f(5×4)=f(0)=0． 故选：A ．首先求出数列的周期，进一步利用关系式的变换和叠加法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，构造新数列的应用，叠加法，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)+32x =t ，则f(x)f(t)=14①， 在原式中，令x =t ，则f(t)f(f(t)+32t )=14， 所以f(f(t)+32t )=14f(t)=14f(f(x)+32x)=f(x)，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以f(t)+32t =x ，由①得f(t)=14f(x)， 所以14f(x)+32(f(x)+32x)=x ，化简得：(2xf(x)+1)(4xf(x)−3)=0，所以f(x)=−12x (不满足单调递减，舍去)，f(x)=34x，g(x)=f(x)+3x=34x +3x≥2√34×3=3，当且仅当34x =3x，即x=12时等号成立．故选：D．令f(x)+32x =t，有f(x)f(t)=14，再在原式中令x=t，得到f(t)f(f(t)+32t)=14，通过变形进一步得到f(x)的解析式，再结合基本不等式即可得到答案．本题主要考查抽象函数的应用，涉及到函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力．11.【答案】−2√1010【解析】解：由题意可得tanα=2√55−√55=−2，OP=1，cosα=−√55，sinα=2√55，则sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√22×√55=√1010，故答案为：−2；√1010．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】47156【解析】解：第一次：258<π<227，不足近似值为258，过剩近似值为227，∴a1=25+228+7=4715；第二次：4715<π<227，不足近似值为4715，过剩近似值为227，∴a2=47+2215+7=6922；第三次：6922<π<227，不足近似值为6922，过剩近似值为227，∴a3=69+2222+7=9129；第四次：9129<π<227，不足近似值为9129，过剩近似值为227，∴a4=91+2229+7=11336；第五次：11336<π<227，不足近似值为11336，过剩近似值为227，∴a 5=113+2236+7=13543；第六次：13543<π<227，不足近似值为13543，过剩近似值为227， ∴a 6=135+2243+7=15750=3.14；综上可得，n =6． 故答案为：4715，6．根据题意，依次进行推理即可得出结论．本题是根据题中所给理论进行逻辑推理的题型，主要考查学生的逻辑推理和计算能力，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：由已知得a 24+λb 24=1，令a =2cosθ,b =√λsinθ，则a +b =2√1+1λsin(θ+φ)，其中tanφ=√λ 所以a +b 的最大值为2√1+1λ=√5，解得λ=4．故答案为：4．令a =2cosθ,b =2√λsinθ，结合辅助角公式即可求得a +b 的最大值．本题主要考查利用三角换元法求最值问题，涉及到辅助角公式的应用，考查学生的数学计算能力．14.【答案】1+2√2【解析】解：不妨令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ， 以点O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(√3,0),B(0,√3),A′(−√3,0)，因为|a ⃗ +c ⃗ |+|a ⃗ −c ⃗ |=4，所以|CA|+|CA′|=4>2√3=|AA′|，故点C 在以4为长轴，A′(−√3,0),A(√3,0)为焦点的椭圆上， 则点C 的轨迹方程为x 24+y 2=1，又|b ⃗ +d ⃗ |=1，即|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 故点D 在以B(0,√3)为圆心，1为半径的圆上， 又|c ⃗ +d ⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|BC|+1， 所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B 为圆心，r 为半径的圆x 2+(y −√3)2=r 2与椭圆x 24+y 2=1内切时有最大值，联立方程组消去x 可得，3y 2+2√3y +r 2−7=0， 则△=12−12(r 2−7)=0，解得r =2√2， 所以|c ⃗ +d ⃗ |max =1+|BC|max =1+2√2． 故答案为：1+2√2．令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用已知条件得到点C 的轨迹是椭圆，点D 的轨迹是圆，将问题转化为求解|BC|的最大值问题，当圆与椭圆内切有最大值，联立方程组，求解即可．本题考查了平面向量的综合应用，涉及了向量的坐标表示，动点轨迹的求解，圆与椭圆的应用，综合性强，涉及知识点多，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．15.【答案】②④【解析】解：如图示：由于且|AF 1|=2|AF 2|，∠AF 1F 2=∠F 1BF 2，可得：且|AF 1|=4a ，|AF 2|=2a ，由于∠AF 1F 2=∠F 1BF 2， 所以△AF 2F 1∽△ABF 2，故AF 2AF 1=ABAF 2，可得：|AB|=2|AF 2|=8a ， 故|BF 1|=6a ，|BF 2|=8a ，所以|F1F2|=2c=4a，所以离心率e=2，=√3，故ba在△AF1F2中，|AF1|=4a，|AF2|=2a，|F1F2|=4a，=√15a2．所以S△AF1F2故②④正确；故答案为：②④．直接利用双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】1[1,2]【解析】解：f(4)=log24−1=1；∴f(f(4))=f(1)=−12+2×1=1；x≤2时，f(x)=−x2+2x，对称轴为x=1；∴f(x)在[1,2]上单调递减；∴f(x)的单调递减区间为[1,2]．故答案为：1，[1,2]．根据分段函数f(x)的解析式，可先求f(4)=1，从而便可得出f(f(4))的值，根据f(x)解析式可看出二次函数y=−x2+2x在[1,2]上单调递减，即求出了f(x)的单调递减区间．考查已知分段函数的解析式求函数值的方法，对数的运算，对数函数的单调性，以及二次函数的单调性及单调区间．17.【答案】20+4√58【解析】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm 、4cm 的直角三角形，高为2cm 的直三棱柱； 其表面积为S =2×12×2×4+4×2+2×2+2×√42+22=20+4√5cm 2； 体积为V =12×4×2×2=8cm 3． 故答案为：20+4√5，8．由三视图作出原图形的直观图，结合图形求出它的表面积与体积． 本题考查了三视图与体积、表面积的计算问题，是基础题目．18.【答案】解：(Ⅰ)由sinB +sin(A −C)=cosC ，得sin(A +C)+sin(A −C)=cosC ， 化简2sinAcosC =cosC ，由于△ABC 为锐角三角形，所以cosC ≠0，得sinA =12， 又0<A <π2， 故A =π6，(Ⅱ)由正弦定理得bsinB =csinC ， 得b =csinB sinC=√3tanC +3，又{0<C <π20<5π6−C <π2， 所以π3<C <π2，tanC >√3， 所以3<√3tanC +3<4故3<b <4，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−√3bc =b 2−6b +12， 所以a 2+b 2=2b 2−6b +12=2(b −32)2+152∈(12,20)．【解析】(I)由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简可求sin A，进而可求A；(II)由已知结合正弦定理及同角基本关系可用tan C表示b，结合锐角三角形确定C的范围，进而可求b的范围，再由余弦定理及二次函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点为D，连结AD，MD，如图所示，由MB=MC得MD⊥BC，由△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，又MD∩AD=D，MD，AD⊂平面AMD，故BC⊥平面AMD，又AM⊂平面AMD，因此BC⊥AM；(Ⅱ)证明：设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，设A1A=AC=1.由MN//AD，所以C1N=14B1C1=14，由直角梯形DCC1N，则有DN=√154，由BC⊥平面AMND，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面AMND，所以DN为AM在平面BCC1B1内的射影，所以∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，在△END中，DE2=EN2+DN2−2EN⋅DNcos∠END，由DE=√34，EN=AM=√72，DN=√154得cos∠END=2√10521，所以sin∠END=√2121，所以直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值√2121．【解析】(Ⅰ)取BC中点为D，连结AD，MD，利用三角形的性质结合线面垂直的判定定理证明BC⊥平面AMD，即可证明BC⊥AM；(Ⅱ)设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，通过证明面面垂直得到DN为AM在平面BCC1B1内的射影，从而得到∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了线面垂直的证明以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】证明：(Ⅰ)数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项，由已知a3+a4=2(a2+a3)，整理得a4−a3−2a2=0．设数列{a n}的公比为q，则q2−q−2=0，解得q=2或−1(负值舍去)故a n=2n．由S n+n(n+1)2=2a n−2.①当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n−1+n(n−1)2=2a n−1−2②，①−②得：b n+n=2a n−2a n−1=2n，解得b n=2n−n．所以a n−b n=n，故(a n−b n)−(a n−1−b n−1)=1(常数)，故数列{a n−b n}是等差数列．(Ⅱ)由于a n=2n，数列{a n−b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则：a n−b n=1+(n−1)=n，所以b n=2n−n，根据不等式12n−n ≤n+12n=n+22n−1−n+32n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤(220−421+421−522+⋯+n+22n−1−n+32n)=2−n+32n，由于2(1−1an )=2−22n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n)成立．【解析】(Ⅰ)根据等比数列的性质和数列的递推关系式证明结论；(Ⅱ)利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等比数列的性质，放缩法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解析：(Ⅰ)由{a −c =1 a +c =3，解得a =2，c =1，b =√3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)， 设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ， 由{y =kx +(2t −t 2k)3x 2+4y 2=12， 得(3+4k 2)x 2+8k(2t −t 2k)x +4(2t −t 2k)2−12=0， 由△=0得到(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0， 所以k 1+k 2=4t 3t 4−4，k 1k 2=4t 2−3t 4−4，|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|， 因为|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√3t 4+16t 2−12|t 4−4|，所以|AB|=(t 2+2)⋅2√3t 4+16t 2−12|(t 2−2)(t 2+2)|=2√3+4(7t 2−6)t 4−4t 2+4=10， 解得t 2=4，点M 的坐标为(4,±4)．【解析】(Ⅰ)由|PF 1|的最小值和最大值分别为1和3，列方程组，解得a ，c ，b ，进而可得答案．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)，设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ，联立椭圆的方程，得△=0，即(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0，结合韦达定理，得k 1+k 2，k 1k 2，进而可得|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|=10，解得t ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当a =0时，f(x)=4lnx ，所以f(e)=4，此时f′(x)=4xln 2x ，可得切线的斜率为f′(e)=−4e ，所以所求切线方程为y −4=−4e (x −e)，即y =−4e x +8； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立．令x =e ，得a ≥1e ，设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)， g′(x)=a −2lnx+4x，设ℎ(x)=2lnx+4x，则ℎ′(x)=−2(1+lnx)x 2<0，所以ℎ(x)在(1,+∞)递减，故0<ℎ(x)<4．①当a ≥4时，g′(x)≥0，所以g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=a +4>0， 所以a ≥4满足题意；②当1e ≤a <4时，存在x 0>1使得a =2lnx 0+4x 0，即ax 0=2lnx 0+4，且g(x)在(1,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)单调递增， 所以g(x)min =g(x 0)=ax 0+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，所以2lnx 0+4+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，即ln 2x 0+2lnx 0−8≤0，解得−4≤lnx 0≤2， 即1<x 0≤e 2，由ℎ(x)=2lnx+4x在(1,+∞)递减，可知8e 2≤a <4， 综上所述，可得a ≥8e 2．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立，可设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)，求得导数，对a 讨论，分a ≥4，1e ≤a <4时，讨论g(x)的单调性和最值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
(湖丽衢二模)2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷+答案解析
【新结构】（湖丽衢二模）2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则A 与B的关系是()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.双曲线的渐近线方程为，则()A. B. C. D.23.复数z满足为虚数单位，则的最小值是()A.3B.4C.5D.64.已知平面向量，满足，若，则与的夹角是()A. B. C. D.5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则()A.3B.9C.10D.136.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则()A. B. C. D.7.已知椭圆，，为左、右焦点，P为椭圆上一点，，直线经过点若点关于l的对称点在线段的延长线上，则C的离心率是()A. B. C. D.8.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据，，，，，的平均数是，方差是，极差为R，则下列判断正确的是()A.若，，，，，的平均数是，则B.若，，，，，的极差是，则C.若方差，则D.若，则第75百分位数是10.已知直三棱柱中，且，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则()A.线段上存在点D，使得B.线段上存在点D，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为11.已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则()A. B.为奇函数 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，BC边上的高等于，则的面积是__________，__________.13.已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则__________.14.已知正四面体的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中，则实数a 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024届高三下学期4月二模试题 英语含答案
丽水、湖州、衢州2024年4月三地市高三教学质量检测试卷英语试题卷（答案在最后）第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What does the man think of the dress?A.It is attractive.B.It is tight.C.It is plain.2.What can we learn about the woman?A.She found a great job.B.She is popular in college.C.She won the student election.3.Where does this conversation take place?A.In a house.B.In a park.C.In a forest4.What animal does the woman own?A.A mouse.B.A dogC.A cat.5.Who is the woman most grateful to?A.Her parentsB.Her professors.C.Her friends.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6.What are the speakers mainly talking about?A.A new discoveryB.A map of the universeC.The secrets in DNA.7.Why has the woman been reading about the topic?A.Out of curiosity.B.For schoolworkC.As a hobby.听第7段材料，回答第8至10题。
2024届浙江省丽水、衢州、湖州三地市高三下学期四调考试英语试题含解析
2024届浙江省丽水、衢州、湖州三地市高三下学期四调考试英语试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．To be an expert, a beginner needs to go through a series of _____ stages.A．intermediate B．liberalC．overall D．demanding2．________she is not so healthy _______she used to be?A．Why is it that; what B．Why it is that; thatC．Why is it that; as D．Why it is that; who3．—People should stop using their cars and start using public transport.—________. The roads are too crowded as it is.A．All right B．ExactlyC．Go ahead D．Fine4．---I did really well in the examination, Li Ke.---I did _________. I got full mark.A．no less B．not less C．not worse D．no worse5．My si ster ______ the baby while I’m at yoga.A．arranges B．minds C．assesses6．This is a very interesting book. I’ll buy it，________.A．how much may it cost B．no matter how it may costC．however much it may cost D．whatever may it cost7．Pandas are _____ to the mountains of central China and only about 1,000 remain in the wild.A. native B．sensitive C．relate D．familiar8．--The weather is too cold ___ March this year.-- It was still ___ when I came here years ago.A．for; colder B．in; coldC．in; hot D．for; hotter9．Rosa _____ this washing machine for more than ten years. She is thinking about buying a new one.A．is using B．usedC．had used D．has been using10．He works very hard in order to get himself ______ into a key university.A．accepted B．received C．announced D．admitted11．volleyball is her main focus, she is also great at basketball.A．Since B．OnceC．Unless D．While12．A storm buried Illinois under several inches of snow on Tuesday,______at least 100 people dead in traffic accidents. A．to leave B．leaveC．left D．leaving13．Historic sites impress writers with their amazing beauty, which are a great source of ________.A．inspiration B．composition C．occupation D．combination14．— How much do you charge for the iPhone?— Well,it cost me $ 400,but I’ll ________ 20% as it’s no longer new.A．reduce to B．decrease toC．knock off D．cut off15．Those successful deaf dancers think that dancing is an activity ________ sight matters more than hearing. A．when B．whose C．which D．where16．I am sorry I am very busy now. If I time, I would certainly go to the movies with you.A．have B．hadC．have had D．had had17．I thought Father would be better, but ______it is, he is getting worse, which makes me more worried.A．before B．as C．because D．after18．_______, I have never seen anyone who's as capable as John.A．As long as I have traveled B．Much as I have traveledC．Now that I have traveled so much D．As I have traveled so much19．We ______ be careful with the words we say when we are angry.A．may B．can C．might D．should20．Obviously,a good habit help us to speed up to reach our destinations.A．need B．must C．can D．shall第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z 的虚部是（ ）A．B．C．D．2. 设各项为正的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（ ）A．B．C．D ．23. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；③若是平面α的法向量，是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y (平方米)与时间t (月)之间的函数关系式是(a>0且a ≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（）A ．池塘中原有浮草的面积是0.5平方米B ．第8个月浮草的面积超过60平方米C ．浮草每月增加的面积都相等D ．若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则2t 2>t 1+t 38. （多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题(高频考点版)浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．函数的图象关于直线对称C ．函数在上单调递减D．将函数图象向左平移个单位所得图象关于y 轴对称9. ______10. 已知，，，则点A 到直线BC 的距离为__________.11. 函数恒过定点 _______.12. 如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题：①由图知，即可以得到不等式；②由图知，即可以得到不等式；③由图知，即可以得到不等式；以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号）13.已知是数列的前n 项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和．14. 已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；15. 已知，求的解析式.16. 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.数列满足，.(1)证明：数列为等差数列.(2)证明：；(3)证明：.。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 函数的定义域为（ ）A．B．C．D．2.复数（为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知是函数，的极小值点，则的值为（ ）A ．0B．C．D．4. 已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C 上存在点P 使得，，则其离心率的值是（ ）A．B ．2C．D ．35. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B．C ．1D ．6. 已知集合，则等于（ ）A．B．C．D．7. 在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）A ．2B．C．D ．48. 已知复数为纯虚数，其中，则（ ）A．B．C．D．9.已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线与圆相离B ．圆上有2个点到直线的距离等于1C ．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D ．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点10. 若，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．11. 设是公比为正数等比数列的前n 项和，若，，则（ ）A．B．C ．为常数D ．为等比数列12. 空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（ ）A．以四个球球心为顶点的四面体体积为B．以四个球球心为顶点的四面体体积为浙江省衢州、丽水、湖州三地市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题(高频考点版)浙江省衢州、丽水、湖州三地市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为13. 据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从______________年______________年的五年间增长最快．14. 已知抛物线与双曲线（，）的一条渐近线的交点为M ，F为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为______.15.已知点，点是直线上任意一点，且，则实数的取值范围是______．16. 已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．17. 已知椭圆：，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，与有相同的离心率，且过椭圆的长轴端点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，若，求直线的方程.18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为上的动点．（1）求证：平面平面；（2）当为中点时，求点到平面的距离．19. 某游戏设置了两套规则，规则A ：抛掷一颗骰子n 次，若n 次结果向上的点数之和大于时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B ：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷.(1)若执行规则A ，求抛掷次数恰为1次的概率；(2)若执行规则B ，证明：抛掷次数的数学期望不大于3.20. 已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点．(1)求的面积；(2)若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．21. 某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．附：0.1500.1000.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635参考公式：，。
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B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
18．若复数 ，则（）
A．
B．z的实部与虚部之差为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
19．若复数 满足 （ 为虚数单位），则下列结论正确的有（）
A． 的虚部为 B．
C． 的共轭复数为 D． 是第三象限的点
20．若复数 满足 （其中 是虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则（）
【详解】
由题意，得 ，
其虚部为 ，
故选：A.
7．B
【分析】
利用复数的除法运算先求出，再求出模即可.
【详解】
，
.
故选：B．
解析：B
【分析】
利用复数的除法运算先求出 ，再求出模即可.
【详解】
，
.
故选：B．
8．D
【分析】
求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.
A． B． C． D．
14．已知 是虚数单位，设 ，则复数 对应的点位于复平面（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．题目文件丢失！
二、多选题
16．已知复数 (i为虚数单位)，则下列说法错误的是（）
A．z的实部为2B．z的虚部为1C． D．
17．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（）
解：因为 ，所以复数 对应的点是 ，所以在直线 上.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意： .
6．A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得，
其虚部为，
故选：A.
解析：A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出 ，再由复数的定义得结论．
29．对任意 ， ， ，下列结论成立的是（）
A．当m， 时，有
B．当 ， 时，若 ，则 且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D． 的充要条件是
30．已知复数 ，下列结论正确的是（ ）
A．“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件
B．“ ”是“ 为纯虚数”的必要不充分条件
C．“ ”是“ 为实数”的充要条件
故选：B
解析：B
【分析】
，然后算出即可.
【详解】
由题意 ，则复数 的虚部为1
故选：B
4．B
【分析】
对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
，在复平面内对应点为，在第二象限.
故选：B.
解析：B
【分析】
对复数 进行化简，再得到 在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
， 在复平面内对应点为 ，在第二象限.
23．已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．
A．
B．
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第四象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ24．设i为虚数单位，复数 ，则下列命题正确的是（）
A．若 为纯虚数，则实数a的值为2
B．若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数 是 （ 为 的共轭复数）的充要条件
D．若 ，则实数a的值为2
25．下列命题中，正确的是（）
A．复数的模总是非负数
B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C．如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
26．已知复数 ，则下列说法正确的是（）
【详解】
因为 ，
所以在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为 .
故选：D
2．C
【分析】
应用复数相乘的运算法则计算即可.
【详解】
解：
所以的虚部为9.
故选：C.
解析：C
【分析】
应用复数相乘的运算法则计算即可.
【详解】
解：
所以 的虚部为9.
故选：C.
3．B
【分析】
，然后算出即可.
【详解】
由题意，则复数的虚部为1
5．已知复数 满足 ，则复数 对应的点在（）上
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．若复数 满足 ，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
7．设 ，则 （）
A． B． C．2D．5
8．已知复数 ， 为 的共轭复数，则 （）
A． B．2C．10D．
9．复数 ， 由向量 绕原点 逆时针方向旋转 而得到.则 的值为（）
A． B． 的实部是
C． 的虚部是 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
21．已知复数 （其中 为虚数单位），则以下说法正确的有（）
A．复数 的虚部为 B．
C．复数 的共轭复数 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
22．已知复数 （i是虚数单位）， 是 的共轭复数，则下列的结论正确的是（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
10．在复平面内，已知平行四边形 顶点 ， ， 分别表示 ， ，则点 对应的复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
11．设 ，则 的虚部为（）
A． B．
C． D．
12．已知复数 满足 ，则 的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
13．若 为虚数单位， ，且 ，则复数 的模等于（）
一、复数选择题
1．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）
A． B． C． D．
2．复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（）
A． B． C．9D．
3．若复数 ，则复数 的虚部为（）
A．－1B．1C．－iD．i
4．已知复数 ，则复数 在复平面内对应点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
A．若 ，则共轭复数 B．若复数 ，则
C．若复数z为纯虚数，则 D．若 ，则
27．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
28．给出下列命题，其中是真命题的是（）
A．纯虚数 的共轭复数是 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
故选：B.
5．C
【分析】
利用复数的乘法和除法运算求得复数z的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.
【详解】
解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘方和除法运
解析：C
【分析】
利用复数的乘法和除法运算求得复数z的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.
【详解】
D．“ ”是“ 为实数”的充分不必要条件
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、复数选择题
1．D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为，
所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.
故选：D
解析：D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数 的表示，最后选出答案即可.