高中数学三角函数单元知识整合

张喜林制

单元知识整合

二、本章知识整合 1．角的概念的推广 (1)正角、负角、零角．

(2)所有与α终边相同的角的集合：,360|{αββ+⋅= k }z k ∈或}.,2|{z k k ∈+=απββ (3)象限的角与轴线角．

第一象限的角：}.,90360360|{z k k k ∈+⋅<<⋅ αα 第二象限的角：}.,180390360|{z k KJ k k o o o ∈+⋅<<+⋅ αα 第三象限的角：}.,270360180360|{z k k k ∈+⋅<<+⋅ αα 第四象限的角：}.,36090360|{z k k k o ∈⋅<<-⋅ αα

终边落在x 轴非负半轴的角},,360|{z k k o ∈⋅=αα终边落在x 轴非正半轴上的角

},,180360|{z k k ∈+⋅= αα终边落在x 轴上的角},,180|{z k k ∈⋅= αα终边落在y 轴非负半轴

上的角},,)3|{z k k o ∈∞+⋅= ααα终边落在y 轴非正半轴上的角},,2703|{z k k ∈+⋅= ωαα 终边落在y 轴上的角.|{k =αα}.,90180z k ∈+ 2．弧度制

(1)角度制、弧度制 角度制：规定周角的

360

1为1度角，记作.1

用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，

弧度制：我们把长度等于半径长的孤所对的圆心角叫1弧度的角，记作lrad ．

以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)弧度数公式

角α的弧度数的绝对值,||r

l

=α其中l 是以角α作为圆心角时所对孤的孤长．r 是圆的半径． (3)孤长公式

角度制下的孤长公式180

r

n l π=

（其中l 为孤长．r 为圆半径，n 为圆心角度数）． 弧度制下的孤长公式r l ||α=（其中l 为弧长，α 为圆心角的弧度数，r 为圆半径）． (4)扇形的面积公式(s 为扇形面积，r 为圆半径，l 为孤长α为圆心角的弧度数)

.||2

1

212r lr s α==

(5)角度与弧度的换算方法

,180,2360rad rad ππ==

,01745.0~180

1~rad rad π

=

.185730.57)180(1/

=≈=π

rad 3．任意角三角函数

(1)任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角．o 终边上任意一点P 的坐标是),,(y x 它与原点的距离,,||22y x r r OP +==则

那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是===

αααtan cos sin 、、r x r y 、、y

x

x y =αcot y

r

x r ==ααcsc sec 、它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，都叫做三角函数．

(2)三角函数的定义域

(3)三角函数的一种几何表示

正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们是用与单位固有关的某些特定的有向线段的数值来表示的三角函数值．教材中图示说明，无论角a 的终边在哪一象限，都有

=========

ααγαtan ,01os ,1sin M x x r x c MP y r y .1

0AT AT A AT OM MP x y ==== 这里,10==A r 它为单位圆的半径；MP 、OM 、AT 是以两轴正向为正向，单位圆半径长为单位的有向线段．

4．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：+=+=+1,sec tan 1,1cos sin

2222

αααα.csc cot 22αα=

(2)商数关系：⋅==

α

α

ααααsin cos cot ,cos sin tan (3)倒数关系：.1csc sin ,1sec cos ,1cot .tan =⋅=⋅=⋅αααααα

适用范围：对于;,1cos sin 22R ∈=+ααα对于

,tan cos sin ααα=,0cos =/α所以);(2z k k ∈+=/π

πα对于ααα,1cot tan =⋅的终边不在坐标轴上，即).(2

z k k ∈=/π

α 对于α允许值范围，不论角a 取什么值等式都成立，因此它们是恒等式． 5．诱导公式

因为任意一个角都可表示为απ

+⋅

2

k (其中）4

||π

α<

的形式，我们可将上面的诱导公式概括为：“奇

变偶不变，符号看象限”，意思为当k 为偶数时，得仪的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数

值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．上式对于任意角α都成立． 6．三角函数的图象和性质

(1)正弦、余弦、正切函数的主要性质可以归纳如下：

(2)将正弦函数的图象通过平移变换、伸缩变换、周期变换等方法，得出函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω （其中)0,0>>ωA 的图象，因此正弦函数的图象和性质是研究函数+=x A y ωsin(R x ∈),ϕ（其中

)0,0>>ωA 的图象和性质的基础．

三、规律方法总结 1．三角函数值的符号

三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形等问题中十分重要，根据三角函数的定义，可简记为：一全正，二正弦，三两切，四余弦． 2．诱导公式

诱导公式是指角α的三角函数与诸如±±-

90,180,ααααα±⋅±k o

360,270,等角的三角函数之间的关系，内容相似，极易混淆，记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”．

3．求解析式)sin(ϕω+=x A y

求解析式)sin(φω+=x A y 中参数的顺序是：先求A → 再求∞ →最后求ϕ． 4．“五点法”作)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的简图 五点的取法是：设,ϕω+=x X 由X 取ππ

ππ

2,2

3,

,2

,

0来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图． 5．变换作图法作)0,0)((>>+=ωϕωA x m

AS y 的图象 (1)振幅变换：.sin sin x A y x y =→=