二次函数在实际生活中的应用

二次函数在实际生活中的应用

【经典母题】

某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加元，日均销量减少40瓶；

当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大最大日均毛利润为多少元

解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷]＝1 360－80x，

y＝(x－9)(1 360－80x)

＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．

－b

2a＝－2 080

2×（－80）＝13，

∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，

y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．

答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．

【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．

【中考变形】

1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．

(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元

/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，

销售量相应减少__20__件；

(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1

＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；

(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润最大利润是多少 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；

第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．

(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000，

∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.

当y ＝0时，x ＝50，

∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.

(3)设第二个月的利润为W 元，

由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，

∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.

答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．

2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：

若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．

(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；

(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费

用)；

(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款

解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，

将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，

得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩

⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；

(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，

解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，

则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200

＝－x 2＋260x －16 400

＝－(x －130)2＋500，

∴当x ＝130时，W 取最大值500.

答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；

(3)设需t 天才能还清集资款，

则500t ≥50 000＋ 2×50 000t ，

解得t ≥102249.

∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．

答：该店最少需要103天才能还清集资款．

3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间

价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

(1)该酒店豪华间有多少间旺季每间价格为多少元

(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实

行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高最高日总收入是多少元(注：上涨价格需为25的倍数)

解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得 40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋

13＝24 000

x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．

答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；

(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，

y ＝(800＋x )⎝

⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.

答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．

4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.

图Z8－2