平面向量定义及线性运算练习题
高中 平面向量的线性运算及基本定理 练习 含答案
训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
平面向量的概念及线性运算练习题
5.1平面向量的概念及线性运算练习题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．→＝0 ＋PA→＝0＋PB→＝0 ＋PB→＋PC→＝0＋PC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋PC→＝0.∴PA答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析 由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |＝________.解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB→与BA →为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM→＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14， ∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM→，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB→＝λ(OA →－OB →)． 即OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP→＝mOA →＋nOB →. 故mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。
考点专练26：平面向量的概念与线性运算—2023届高考数学一轮复习(附答案)
考点专练26：平面向量的概念与线性运算一、选择题1.(2022·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则“a ＝2b ”是“a |a|＝b|b|”成立的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →3.已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A .A ，B ，C 三点共线 B .A ，B ，D 三点共线 C .A ，C ，D 三点共线 D .B ，C ，D 三点共线4.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2 C .e 1－3e 2 D.3e 1－e 25.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－12AB →＋32AC →．若BC →＝λCD →(λ∈R )，则λ＝( ) A .－2 B.－3 C.2 D.36.如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C .a ＋12b D.12a ＋b7.(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A .[0,1] B.[0，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28.(多选)设a ，b 都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是( )A .a ＝－2b B.a ＝2b C .a ＝b D.a ＝－b9.(多选)设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0,2π)，QR →＝2a －b ．若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( ) A.π6 B.5π16 C.7π6 D.11π610.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A .若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B .若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D .若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 二、填空题11.(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________12.若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝_________13.设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为_________三、解答题14.经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →， m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．15.已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．参考答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.D7.C8.AD9.CD 10.ACD二、填空题11.答案：－52 12.答案：23 13.答案：4三、解答题14.解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ． 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ()13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3．15.解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b ．因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65．故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．16.解：如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →．当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连接OP ，则AP →＝AO →＋OP →． 因为OP →与FB →共线，所以存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 所以此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．所以AP →＝AO →＋OP →＝AB →＋AF →＋t(AB →－AF →)＝(1＋t)AB →＋(1－t)AF →．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点P 时，AP →＝52AO →＝52(AB →＋AF →)＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，取得最大值．。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量的概念及线性运算专题训练
平面向量的概念及线性运算专题训练一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.42.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A.a 与λa 的方向相反B.a 与λ2a 的方向相同C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.35.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 7. 设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.28.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.11.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.13.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在14.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上15.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP→＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心 16.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.平面向量的概念及线性运算专题训练答案一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B.答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A.a 与λa 的方向相反B.a 与λ2a 的方向相同C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.答案 B3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案 D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A8. 设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋pb ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 答案 D二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.答案 310.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.答案 211.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.答案 ④12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝ 23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 答案 313. 设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94. 答案 A14.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.答案 B15.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP→＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.答案 B16.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形.答案 直角三角形。
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习1．设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小．2．(合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →＋CB →＝0,则向量OC →等于( C )A ．23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →,CB →＝OB →－OC →,所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0,所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(济宁模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点,∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN→)＝m 2AM →＋n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1,∴m ＋n ＝2.4．(河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC→,F 为AE 的中点,则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB→＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.5．(长春模拟)在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD→＝13AB →＋12AC →,则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16B ．13C ．12 D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上,从而有S△ABD＝12S △ABC ,又S △ACD ＝13S △ABC ,所以S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ,所以S △BCDS △ABD＝13.故选B ．6．(太原模拟)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →＝23AB →＋λ·AC →,则|AP →|的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ,使得AD→＝23AB →,过D 作DH ∥AC ,交BC 于H .∵AP→＝23AB →＋λAC →,且点P 是△ABC 内一点(含边界),∴点P 在线段DH 上． 当P 在D 点时,|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时,|AP →|取得最大值,此时B ,P ,C 三点共线, ∵AP→＝23AB →＋λAC →,∴λ＝13, ∴AP→＝13AC →＋23AB →,∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC→＝529,∴|AP →|＝2133.故|AP→|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m＝3__.解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点, 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点, 同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM→＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB→＋AC →＝3AM →,则m ＝3.8．(郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为－94.解析：由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2, 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2,又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中,A ＝90°,B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋μAB→,则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,∴AB →＝2DC →,∵点E 在线段CD 上,∴DE→＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →,又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →,∴2μλ＝1,即μ＝λ2,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(太原质检)设G 为△ABC 的重心,且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心,∴GA→＋GB →＋GC →＝0,GA →＝－(GB →＋GC →), 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→,GC →不共线,∴sin B －sin A ＝0,sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知,b ＝a ＝c , ∴△ABC 是等边三角形,则B ＝60°.11．如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO→.解：由D ,O ,C 三点共线,可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数), 同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),①又BO→＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,②所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ,b 不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO→＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP→,则点P 是△ABC 的( A ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →,得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0,即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0,所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点,则AB →·2PD →＝0,故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →,所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →,所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ,同理可得BC →·PE→＝0, 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点, 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示,在△ABC 中,AD ＝DB ,点F 在线段CD 上,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →, 因为C ,F ,D 三点共线,所以2x ＋y ＝1,即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2,则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2,令f ′(x )＝0,得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时,f ′(x )＜0, 当x ＞2－1且x ≠1时,f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时,f (x )取得极小值,亦为最小值,最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(河北百校联盟联考)已知在△ABC 中,点D 满足2BD→＋CD →＝0,过点D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点M ,N ,AM→＝λAB →,AN →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为3＋223.解析：连接AD ．因为2BD→＋CD →＝0,所以BD →＝13BC →,AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ,M ,N 三点共线,所以存在x ∈R , 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →,则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB→＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,所以xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ时等号成立,所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ,则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0,则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是①③④__.解析：①恒成立,②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉, (λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ＜0时,λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立,③a ＝λb ,则sin 〈a ,b 〉＝0, 故a ⊗b ＝0恒成立,④a ＝λb ,且λ＞0,则a ＋b ＝(1＋λ)b ,(a ＋b )⊗c ＝|(1＋λ)||b |·|c |sin 〈b ,c 〉,(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝|λb |·|c |sin 〈b ,c 〉＋|b |·|c |sin 〈b ,c 〉＝|1＋λ||b |·|c |sin 〈b ,c 〉, 故(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )恒成立．。
平面向量的概念及线性运算
一、平面向量的线性运算（三角形重心问题）
例 1、在△ABC 中，D、E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB=2GE，设
AB a ， AC b ，试用 a ， b 表示 AD ， AG 。
变式 1： （2007 年高考北京卷）已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且
2OA OB OC 0 ，那么（
A、 AO OD
） C、 AO 3OD D、 2 AO OD ）
B、 AO 2OD
变式 2：G 为△ABC 内一点，且满足 GA GB GC 0 ,则 G 为△ABC 的（ A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
变式 3：若 OA OB OC 0 ，且 OA OB OC ，则△ABC 是
D、
4 3 a b 5 5
AB AC m AM 成立，则 m=
A、5 B、4 C、3 D、2 变式 6：在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 CB a ， CA b ， a 1 ，
b 2 ，则 CD =（
A、 a
） B、
1 3
2 b 3
2 1 a b 3 3
C、
3 4 a b 5 5
三角形；
变 式 4 ： 设 G 是 ABC 的 重 心 ， a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 ， 若
3 aGA bGB cGC 0 则角 A （ 3 A、 90 B、 60
） C、 45
D、 30
变 式 5 ： 已 知 △ ABC 和 点 M 满 足 MA MB MC 0 ， 若 存 在 实 数 m 使 得
高中数学高考总复习平面向量的概念及线性运算习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习平面向量的概念及线性运算习题及详解一、选择题→→→1．在四边形 ABCD 中，AB ＝a＋ 2b，BC＝－ 4a－b，CD ＝－ 5a－ 3b，其中a，b不共线，则四边形 ABCD 为 ()A ．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形[答案 ]A[解析 ]→ → →→→→由已知得 AD ＝ AB＋ BC＋CD ＝－ 8a－ 2b，故 AD＝ 2BC，由共线向量知识知 AD∥BC ，且 |AD |＝ 2|BC|，故四边形 ABCD 为梯形，所以选 A.2． (文 )(2010 芜·湖十二中 )已知平面向量a＝ (2m＋ 1,3)，b＝ (2， m)，且a∥b，则实数 m 的值等于 ()33A．2 或－2 B.232C．－ 2 或2D．－7[答案 ]C[解析 ]∵ a∥b，∴(2m＋1)m－6＝0，∴ 2m2＋ m－6＝ 0，∴ m＝－ 2 或3.2(理 )(2010 广·东湛江一中 )已知向量a＝ (1,2) ，b＝ (x,1)，c＝a＋ 2b，d＝ 2a－b，且c∥d，则实数 x 的值等于 ()A ．－1B．－1 2611C.6D.2[答案 ]D[解析 ]c＝ a＋2b＝(1＋2x,4)，d＝2a－ b＝(2－x,3)，∵ c∥d，∴(1＋2x)×3－4(2－x)＝0，∴x＝1.2→→与 e2不共线，且点P 在线段 AB 上， |AP |PB|＝ 2，如图3．设 OA ＝e1，OB＝e2，若e1→)所示，则 OP＝ (12e2A. e1－3321B. e1＋e23312 C.3e 1＋3e 221D. 3e 1－ 3e 2[答案 ]C[解析 ] →→→→→→， AP ＝ 2PB ，∴ AB ＝ AP ＋PB ＝ 3PB→ → → → 1→OP ＝ OB ＋ BP ＝ OB －3AB→→ →1e 1＋ 2e 2.＝ OB －1(OB － OA)＝33 34． (2010 重·庆南开中学 )已知一正方形，其顶点依次为 A 1， A 2， A 3， A 4，在平面上任取一点 P 0，设 P 0 关于 A 1 的对称点为 P 1，P 1 关于 A 2 的对称点为 P 2，P 2 关于 A 3 的对称点为 P 3，→P 3 关于 A 4 的对称点为 P 4 ，则向量 P 0P 4等于 ()→ → A. A 1A 2B.A 1A 4 →D ． 0 C ．2A 1A 4[答案 ]D1[解析 ]如图，由题意知 A 2A 3 是△ P 1P 2P 3 的中位线，故 A 2A 3 綊 2P 1P 3，又正方形 A 1A 2A 3A 4中， A 1A 4 綊 A 2A 3，∴ A 1A 4 1綊 P 1P 3，2∴ A 1A 4 是△ P 0P 1 P 3 的中位线，故 →P 0P 4＝ P 4P 3，P 3 关于 A 4 的对称点 P 4 ，即 P 0，∴ P 0P 4＝0.5． (2010 胶·州三中 )已知平面向量 a ＝ (1，－ 3)， b ＝(4 ，－ 2)， λa ＋ b 与 b 垂直，则 λ等于() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2[答案]C[解析 ]λa ＋b ＝ (λ＋ 4，－ 3λ－ 2)，∵ λa ＋ b 与 b 垂直，∴ (λ＋ 4，－ 3λ－ 2) ·(4，－ 2)＝ 4(λ＋ 4) － 2(－ 3λ－ 2)＝ 10λ＋ 20＝0，∴ λ＝－ 2.→ →→→6．(文 )(2010 河·北唐山 )已知 P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点， 且 PA＋PB ＋PC ＝AC ，则()A．A、B、C 三点共线B．A、 B、 P 三点共线C．A、 C、 P 三点共线D． B、 C、 P 三点共线[答案 ]B[解析 ]→→→∵AC＝ PC－PA，∴原条件式变形为：→→→→PB＝－2PA，∴ PB∥PA，∴ A、 B、 P 三点共线．(理 )若点 M 为△ ABC 的重心，则下列各向量中与→共线的是 () AB→→→→→→A.AB＋BC ＋AC B.AM＋ MB＋ BC→→→→→C.AM＋ BM ＋CM D． 3AM＋ AC [答案 ]C[解析 ]→→→→→→→ →AB＋ BC＋ AC＝ 2AC，与 AB不共线，故排除A；AM＋MB＋BC→→B；如图，设 E 为 BC 的中点，则→→＝AC ，与AB不共线，故排除MB＋ MC＝→→→→→→→→→2ME＝－ MA ，∴ MA＋MB＋ MC＝0，即 AM ＋ BM ＋ CM ＝ 0，与 AB共线，→→→由图可知， 3AM＋ AC显然不与 AB共线．7．(2010 湖·北文 )已知→→→→→ABC和点 M 满足 MA＋MB＋ MC＝ 0.若存在实数m 使得 AB＋ AC→成立，则 m＝ ()＝mAMA ． 2B． 3C．4D． 5[答案 ]B[解析 ]→→→→→→∵AB＋ AC＝ (AM＋ MB )＋ (AM ＋ MC)→→→＝MB＋MC＋ 2AM→→→→→→由MA＋MB＋MC＝0 得， MB＋MC＝AM→→→∴ AB＋ AC＝ 3AM，故 m＝ 3.→→→→→＋ s 的值是 () 8．已知△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD＝ 2DB，CD ＝ rAB ＋ sAC，则 r24A. 3B.3C．－ 3D． 0含详解答案[解析 ]→ → → → → → CD ＝ AD －AC ，DB ＝ AB － AD . →→ → → → 1 → →∴ CD ＝AB － DB －AC ＝AB － CD － AC.23 → → →∴ CD ＝AB － AC ，2→ 2 → 2 →∴ CD ＝ AB － AC .3 3→→→2 ， s ＝－2 又 CD ＝ rAB ＋ sAC ，∴ r ＝，33∴ r ＋ s ＝ 0.9． (文 )(2010 重·庆一中 )已知 a ， b 是不共线的向量，若 → ＝ λ1 → ＝ a ＋ λ2 1， λ2AB a ＋ b ， AC b (λ∈R )，则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件为 ()＝ λ＝－ 1 B ． λ＝ λ＝ 1 A ． λ1 21 2λ－1＝ 0D ． λλ＋ 1＝0C ．λ1 2 1 2[答案 ] C[解析 ]→ →→ →∵ A 、 B 、C 共线，∴ AB 与 AC 共线，∴存在实数λ使 AB ＝ λAC ，即 λ1a ＋b ＝ λ(a＋λ2b )，∴ (λ－1 λ)a ＝ (λλ－2 1)b ，λ1－ λ＝ 0∵ a 与 b 不共线，∴ ，λλ2－ 1＝ 0∴ λ1λ2＝ 1.→→ → ， O(理 )(2010 江·西萍乡中学 )设 OA ＝ (1 ，－ 2)，OB ＝ (a ，－ 1)， OC ＝ (－b,0)， a>0， b>0 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则 1＋2的最小值是 ()a b A ． 2 B ． 4 C ．6D ． 8[答案 ]D[解析 ]→ →λ，使 (a － 1,1)＝ λ(－ b － 1,2)，∵ A 、 B 、C 共线，∴ AB 与 AC 共线，∴存在实数∴a ＋ b ＝ 1，∵ a>0 ，b>0，∴ 1＋2＝ 1＋ 24a ＋ b≥ 8，等号在 a ＝ 1， b ＝1时2 2a ba b ·(2a ＋ b)＝ 4＋ ba42成立．10．(文 )(2010 河·北邯郸 )如图，在等腰直角三角形ABC 中，点 O 是斜边 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、 AC 于不同的两点M 、→ → → →)N ，若 AB ＝ mAM ， AC ＝ nAN(m>0，n>0)，则 mn 的最大值为 (1C ．2D ． 3[答案 ] B[解析 ]以 A 为原点，线段AC 、 AB 所在直线分别为x 轴、 y 轴建立直角坐标系，设三角形 ABC 的腰长为→ → →→2，则 B(0,2)， C(2,0)， O(1,1) ．∵ AB ＝mAM ， AC ＝ nAN ，2 2nx my m n∴ M 0， m ，N ，0.∴直线 MN 的方程为2 ＋2 ＝ 1.∵直线 MN 过点 O(1,1)，∴2 ＋ 2n2＝ 1? m ＋ n ＝ 2.∴mn ≤m ＋ n＝ 1，当且仅当 m ＝ n ＝ 1 时取等号，4∴ mn 的最大值为 1. (理 )(2010 山·东日照一中 )已知向量a ＝ (x 1，y 1)，b ＝ (x 2，y 2)，若 |a |＝ 2，|b |＝ 3，a ·b ＝－ 6，则x 1＋y1的值为() x2＋ y 222A. 3B ．－ 355 C.6D ．－ 6[答案 ] B[解析 ]因为 |a |＝ 2，|b |＝ 3，又 a ·b ＝|a ||b |cos 〈 a ， b 〉＝ 2× 3× cos 〈 a ，b 〉＝－ 6，可得cos 〈a ， b 〉＝－ 1.即 a ，b 为共线向量且反向，又 |a |＝ 2，|b |＝ 3，所以有 3(x 1， y 1 )＝－ 2(x 2，2y 2)? x 1 ＝－ 2 ， y ＝－ 2 ，所以 x 1＋ y 1＝ － 3 x 2＋ y 2＝－ 2，从而选 B.x 2 1y 22＋ y 2 2＋ y 2 333xx二、填空题11． (文 )(2010 北·京东城区 )已知向量 a ＝ (1,2)，b ＝ (－ 3,2)，则 a ·b ＝ ______，若 k a ＋ b与 b 平行，则 k ＝ ______.[答案 ] 1,0[解析 ]a ·b ＝1× (－ 3)＋ 2× 2＝ 1，∵ k a ＋ b 与 b 平行，k a ＋ b ＝ (k － 3,2k ＋ 2)，∴ (k － 3)× 2－ ( －3) ×(2k ＋ 2)＝ 0，∴ k ＝ 0.(理 )(2010 天·津南开区模拟 ) 在直角坐标系xOy 中， i ，j 分别是与 x ，y 轴正方向同向的单→ →k 的值为 ______．位向量， OB ＝ 2i ＋ j ， OC ＝ 3i ＋k j ，若△ OBC 为直角三角形，则 [答案 ]－6或－1[解析 ] → → → → →∵OB ＝2i ＋j ，OC ＝ 3i ＋k j ，∴ BC ＝ OC － OB ＝ i ＋ (k － 1)j ，→ → → → → → ∵△ OBC 为 Rt △，∴ OB ·OC ＝6＋ k ＝ 0 或 OB ·BC ＝ 2＋ k － 1＝ 0，或 OC ·BC ＝ 3＋ k(k － 1)＝0，∴ k ＝－ 6 或－ 1.π12．(2010 温·州十校 )非零向量a ＝ (sin θ，2)，b ＝ (cos θ，1)，若 a 与 b 共线， 则 tan θ－ 4含详解答案[答案 ]13[解析 ] ∵非零向量 a 、 b 共线，∴存在实数λ，使 a ＝ λb ，即 (sin θ， 2)＝ λ(cos θ， 1)，∴λ＝ 2， sin θ＝ 2cos θ，π tan θ－ 11 .∴ tan θ＝ 2，∴ tan(θ－)＝＝4 1＋ tan θ 313． (2010 浙·江宁波十校 )在平行四边形→ →→1→→ABCD 中， AB ＝ e 1，AC ＝e 2，NC ＝ AC ，BM ＝41 → →MC ，则 MN ＝ ________(用 e 1， e 2 表示 )2[答案 ]2 5－ e 1＋e 23 12[解析 ]→ 1 →1→1 e2 ，∵NC ＝ AC ＝ e 2，∴ CN ＝－44 4→ 1→→→→→→∵ BM ＝ 2MC ， BM ＋ MC ＝BC ＝AC － AB ＝ e 2－e 1，→2→→ → 21 21＋ 5∴ MC ＝2－ e 1)，∴ MN ＝ MC ＋ CN ＝2－ e 12＝－23(e3(e ) －4e3e12e.→ → →14．(文 )(2010 聊·城市模拟 )已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足 PA ＋ BP ＋ CP → →＝0， AP ＝ λPD ，则实数 λ的值为 ________．[答案 ] － 2[解析 ]如图，∵ D 是 BC 中点，将△ ABC 补成平行四边形ABQC ，则 Q 在 AD 的延长→→→→→→ → 线上，且 |AQ|＝ 2|AD |＝ 2|DP |，∵ PA ＋BP ＋ CP ＝BA ＋CP ＝ 0，∴ BA ＝ PC ，→ → 又BA ＝QC ，∴ P 与 Q 重合，→ → → 又∵ AP ＝ λPD ＝－ 2PD ，∴ λ＝－ 2.(理 )(2010 金·华十校 )△ ABO 三顶点坐标为 A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x ，y)是坐标平面内一点，满足 → → → →→ → AP ·OA ≤0， BP ·OB ≥ 0，则 OP ·AB 的最小值为 ________．[答案 ] 3[解析 ]→ →·(1,0)＝ x － 1≤ 0，∵AP ·OA ＝ (x － 1， y)∴ x ≤ 1，∴－ x ≥ －1，→ →∵ BP ·OB ＝ (x ， y － 2) ·(0,2)＝ 2(y －2) ≥0，∴ y ≥ 2.→ →∴ OP ·AB ＝ (x ， y) ·(－ 1,2)＝ 2y －x ≥ 3.三、解答题→ → 15．如图，在平行四边形ABCD 中， M 、N 分别为 DC 、BC 的中点，已知 AM ＝c ，AN ＝→→d ，试用 c 、d 表示 AB 、 AD .→ →→ 1 →[解析 ] 解法一： AD ＝ AM － DM ＝c － 2AB ①→ → → 1 →AB ＝ AN － BN ＝ d － AD ②2→2由①②得 AB ＝ 3(2d － c )，→＝ 2(2c － d )．AD3→ →→ 1→解法二：设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，因为 M 、N 分别为 CD 、 BC 的中点，所以BN ＝ b ，DM ＝212a ，于是有：1 2c ＝ b ＋ 2aa ＝ 3 2d － c1，解得2，d ＝ a ＋ 2bb ＝ 3 2c － d→ 2→2(2c － d )．即 AB ＝(2d － c )， AD ＝33→ → →16． (2010 重·庆市南开中学 )已知向量 OA ＝ (3，－ 4)， OB ＝ (6，－ 3)， OC ＝ (5－ m ，－ 3－m)．(1)若 A ， B ， C 三点共线，求实数 m 的值；(2)若∠ ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．→ → →[解析 ] (1)已知向量 OA ＝ (3，－ 4)， OB ＝(6 ，－ 3)， OC ＝ (5－ m ，－ (3＋m))．→ → ∴ AB ＝ (3,1)， AC ＝ (2－ m,1－ m)，∵ A 、 B 、 C 三点共线，∴ → →AB 与 AC 共线，1 ∴ 3(1－ m)＝ 2－ m ，∴ m ＝ 2.→ →(2)由题设知 BA ＝ (－ 3，－ 1)， BC ＝ (－ 1－m ，－ m) ∵∠ ABC 为锐角，→ → 3m ＋ m>0? m>－ 3 ∴ BA ·BC ＝ 3＋ 4又由 (1)可知，当 m ＝ 12时，∠ ABC ＝ 0°故 m ∈ － 3，1 ∪ 1，＋ ∞ .4 2217． (文 )(2010 安·徽江南十校联考 )在锐角△ ABC 中，已知内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，向量 m ＝ (2sin(A ＋ C)， 3)， n ＝(cos2B,2cos2B－ 1)，且向量 m ，n 共线． 2(1)求角 B 的大小；(2)如果 b ＝ 1，求△ ABC 的面积 S △ ABC 的最大值．[解析 ] (1)由向量 m ，n 共线有： 2sin( A ＋ C)(2cos 2B－ 1)＝ 3cos2B ，2化简得 sin2B ＝ 3cos2B ，即 tan2B ＝ 3，又 0<B< ππ π，所以 0<2B<π，则 2B ＝ ，即 B ＝ .236(2)由余弦定理 b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accosB 知，1＝ a 2＋ c 2－ 3ac ＝ (a ＋ c)2－ (2＋ 3)ac ≥ (2－ 3) ac.等号在 a ＝ c 时成立，∴ S △ ABC ＝121 π 1 1 11(2＋3)．因此△ ABC 面积的最大值为1 acsinB ＝ acsin ＝ac ≤ ×＝ (2＋ 3)26 442－34411π(理 )(2010 河·北正定中学模拟 )已知向量 a ＝ sinx ，－sinx ，b ＝(2 ，cos2x) ，其中 x ∈ 0，2 .(1)试判断向量 a 与 b 能否平行，并说明理由？ (2)求函数 f(x)＝a ·b 的最小值．11[解析 ](1)若 a ∥ b ，则有 sinx ·cos2x ＋ sinx ·2＝ 0.π∵ x ∈ 0， 2 ，∴ cos2x ＝－ 2，这与 |cos2x|≤ 1 矛盾，∴ a 与 b 不能平行．2 －cos2x(2)∵ f(x)＝ a ·b ＝sinx sinx＝ 2－ cos2x ＝ 1＋ 2sin 2x ＝ 2sinx ＋1 ， sinx sinxsinx∵ x ∈ 0， π，∴ sinx ∈ (0,1] ，2∴ f(x)＝2sinx ＋ 1 ≥ 2 2sinx ·1＝ 2 2.sinxsinx高考总复习当 2sinx＝1，即 sinx＝2时取等号，sinx2故函数 f(x)的最小值为 2 2.含详解答案。
平面向量的概念及线性运算习题课答案
例1解：A解决平面向量概念问题的关注点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是与a 同向的单位向量． 例2解：（1）C ； （2）D ；（3）B ．例3解：如图所示，过C 点作AB 的垂线，垂足为D ．依题意可知：AB =“向东走4km ”，BC =“向东偏北60︒走4km ”，则AC AB BC =+．在Rt ACD ∆中，3sin 60423DC BC =︒== 1cos60422BD BC =︒=⨯=， 所以()()()22422343AC km =++．由AB =BC 可知，AC 与AB 的夹角是30︒．所以AC 表示沿东偏北30︒方向走3km ．平面向量的线性运算方法：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．例4解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ， 连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ， BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 因为有共同的点B 。
所以B 、E 、F 三点共线．向量共线定理应用： (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．三、运用知识 强化练习1. 解：如图所示，ED C BA 11111()()22222=+=+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 2. 解：（1）AC ）（2）AB CA +=CA +AB =CB (3) PB AC BA ++=PB BA AC ++=PC(4) AB MB BO OM +++=AB +0=AB (5)AC AB BD CD -+-=BC +BD +DC =2BC(6) AB AD DC --=DB DC CB -=3. 解：（1）()21213232643233⎛⎫---=--=- ⎪⎝⎭a b a b a b a +b a +b（2）()()()523222*********a b b c c a a b b 6c +c a =a b c --++-=------4. 解： 1AB DC,AB DC 2=边与边平行且不等，AD BC =，腰AD 与腰BC 相等。
平面向量的基本概念与线性运算-拔高难度-习题
平面向量的基本概念与线性运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列各量中不是向量的是A. 浮力B. 风速C. 位移D. 密度2. 如图，点是的重心，则为A. B. C. D.3. 下列结论中，正确的是．A. 长的有向线段不可能表示单位向量B. 若是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点，，使得，是单位向量C. 方向为北偏西的向量与南偏东的向量不可能是平行向量D. 一人从点向东走米到达点，则向量不能表示这个人从点到点的位移4. 下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功，其中不是向量的有A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为A. B. C. D.6. 有三个命题；①向量与是共线向量，则，，，必在同一条直线上；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有A. 个B. 个C. 个D. 个7. 已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于A. B. C. D.8. 已知是正的中心．若，其中，，则的值为A. B. C. D.9. 设向量和的长度分别为和，夹角为，则等于A. B. C. D.10. 下列命题不正确的是A. 向量与是一对相反向量B. 若四边形中，，则此四边形是平行四边形C. 向量是与同方向的单位向量D. 若，则11. 若两个非零向量，使得成立，则下列各式成立的是A.B.C.D.12. 已知是正三角形内部一点，，则的面积与的面积之比是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共29分）13. 设是正方形的中心，下列结论：①；②；③与共线；④．其中正确结论的序号为．14. 已知四边形是菱形，，，则，．15. 在中，点在边上，若，则用，表示为．16. 如图，在中，为边上的中线，，设，若（），则的值为．17. 判断题：（1）与是两平行向量．（2）若是单位向量，也是单位向量，则．（3）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．（4）与任一向量都平行的向量为零向量．（5）四边形是平行四边形，当且仅当．（6）两向量相等，当且仅当它们的起点相同，终点也相同．（7）若，，则．（8）若，且，则四边形是菱形．（9）若与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）解析：（2）单位向量是模为的向量，但方向不确定．（6）两向量相等指的是模相等，方向相同．（7）当时，与可以不共线．（9）共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量在同一直线上．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在四边形中，已知，且．求证：四边形是菱形．19. 如图，已知四边形为正方形，且边长为，为，的交点．设点集，集合且不重合，且不重合，求集合，．20. 如图，四边形和都是平行四边形．（1）写出与向量相等的向量；（2）若，求．21. 如图所示，已知中，点是以为中心的点的对称点，在上，且，和交于，设，．（1）用和表示向量、；（2）若，求实数的值．22. 如图，四边形是正方形，延长至，使得，连接．若动点从点出发，按如下路线运动：，其中．（1）当点为的中点时，求的值；（2）满足的点有几个?。
平面向量的线性运算及练习试题
平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法1定义已知非零向量,a b ,在平面内任取一点A,作AB ＝a ,BC ＝b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算,叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量,其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．2向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ,OB b =,以OA,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和,记作a b +=OC ;说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和,而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和,但两共线向量求和时,则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，3特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,③当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |.4向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：a +b +c =a + b +c知识点二：向量的减法1相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a ;2①向量a 和-a 互为相反向量,即 –-a .②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a ＋-a ＝-a ＋a ＝0．④如果向量,a b 互为相反向量,那么a ＝-b ,b ＝-a ,a ＋b ＝0．3向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与b 的差.即： a - b = a + - b 求两个向量差的运算叫做向量的减法.4向量减法的几何作法在平面内任取一点O,作,OA a OB b ==,则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义． 说明：①AB 表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + - b , 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义1定义：一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下：⑴|λa |＝|λ||a |⑵当0λ>时,λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时,λa 的方向与a 的方向相反． 当0λ=时,λa ＝02 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数,λμa ；λ＋μa ＝λa a ；λa ＋b ＝λa ＋λb ．知识点四：向量共线的条件向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ．学习结论1两个向量的和仍然是向量,它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定,这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义,为共线向量首尾相连接,第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．2a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量3实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加．4向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ;练习例1．已知任意两个非零向量,a b ,作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+,试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系． 解：∵ AB ＝OB －OA ＝a+2b －a+b ＝b, 且 AC ＝OC －OA ＝a+3b －a+b ＝2 b,∴ AC ＝2AB ．所以,A 、B 、C 三点共线．例2.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB ＝a ,AD ＝b ,试用a ,b 表示向量,,,MA MB MC MD ．解析：AM MC ==1()2a b +,所以1()2MA a b =-+,DM MB =MA AB =+1()2a b =-所以1()2MD b a =- 例3.一艘船从长江南岸A 点出发以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的流速为向东2 km/h ．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度保留两个有效数字；⑵求船实际航行速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度.分析：速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向量的加法.解析：⑴如图,设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB 表示水流的速度,以AD 、AB 作邻边作平行四边形ABCD,则AC 就是船实际航行的速度.⑵在Rt △ABC 中,|AB |＝2,|BC |＝5,∴ |AC |＝22222529 5.4AB BC +=+=≈ ∵ tan ∠CAB ＝52,∴ 68CAB ∠≈︒答：船实际航行速度的大小约为 km/h,方向与水的流速间的夹角为约为68°.1.2006上海理如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是A →--AB ＝→--DC ； B →--AD ＋→--AB ＝→--AC ；C →--AB －→--AD ＝→--BD ； D →--AD ＋→--CB ＝→0． 2．2007湖南文若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--3．2003辽宁已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上不包括端点A 、C,则=AP A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.2008辽宁理已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB +=,则OC =A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 5．2003江苏；天津文、理O 是平面上一定点,A B C 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心6．2005全国卷Ⅱ理、文已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于A ２B 12C －３D －137．设b a ,是两个不共线的非零向量,若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反,则k=__________.8.2007江西理．如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB ＝ m AM ,AC ＝n AN ,则m ＋n 的值为 ．9．2005全国卷Ⅰ理ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m =10.2007陕西文、理如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且OA ＝OB ＝1,OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .例1. B ． 例2．Ａ． 例3．B.三基础训练：1. C ； 2．B. 3．A ． 4. A ． 5．B 6．C ； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. 62.AB C D四拓展与探究：11、D ．； 12. (,0)-∞,13(,)22.平面向量的线性运算复习课复习目标：• 1、掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.• 2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.• 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构复习1:向量的加法 复习2:向量的减法已知向量a 和向量b ,作向量a +b . 已知向量a 和向量b ,作向量a -b .复习3：向量的数乘 复习4：平面向量共线定理 已知向量 a ,作向量3a 和-3a .二、合作共享 交流提升1、填空： ------ ----- --------(4)___ABCD AB AD AB AD BAD +=-∠=在平行四边形中，若则2、判断题：1相反向量就是方向相反的向量 (1)AD CA +=(2)AB CB DC --=(3)AB AC BD CD -+-=2 3AB OA OB =-4 在△ABC 中,必有0AB BC CA ++=5若0AB BC CA ++=,则A 、B 、C 三点必是一个三角形的三个顶点;32,,,OA OB OC A B C =-若则三3、点是否共线三、案例剖析 总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状(1)AD BC = 1(2)3AD BC = (3),AD BC AB AD ==且 (4);(OA OC OB OD O +=+是四边形所在平面内一点） (5)AC AB AD =+(6),ABCD AC BD O AO OC DO OB ==四边形的对角线与相交于点，并且例2、如图,在 OAB ∆ 中,延长BA 到C,使AC=BA,在OB 上取点D,使BD=与OA 交于E,设OA a OB b ==，，请用 a b OC DC ，表示向量， .例3、设▱ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一点为E,对角线BD 的五等分点中靠近B 的一点为F,求证：E 、F 、C 三点在一条直线上．AB BA +=四、反馈矫正 形成能力跟踪训练：1、有一边长为１的正方形ABCD,设,BC b AC c ==求：()1a b c ++ ()2a b c +- ()3a b c -+2、已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若OA OB OC ++ = 0,则O 是△ABC 的——————填内心、重心、垂心、外心等.。
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理-5年3年模拟北京高考
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理五年高考考点1 向量的线性运算及几何意义1．（2013陕西．3，5分）设a ，b 为向量，则,|,|||||b a b a =⋅是”“b a //的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2012浙江．5,5分）设a ，b 是两个非零向量． ( ) A ．若b a b a b a ⊥-=+则|,||||| B ．若,b a ⊥则||||||b a b a -=+C ．若|,|||||b a b a -=+则存在实数,λ使得a b λ=D ．若存在实数,λ使得||||||,b a b a a b -=+=则λ3．（2012辽宁，3,5分）已知两个非零向量a ，b 满足=+||b a |,|b a -则下面结论正确的是 ( )b a A //. b a B ⊥. ||||.b a C = b a b a D -=+.4．（2011山东，12，5分）设4321,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若),(2131R A A A A ∈=λλ∈=μμ(2141A A A A ),R 且,211=+μλ则称43,A A 调和分割⋅21,A A 已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是 ( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上5．（2011上海．17，5分）设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同点，则使054321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为( )0.A 1.B 5.C 10.D6．（2013四川．12.5分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,0D ,A A AB O λ=+则=λ7．（2013江苏．10.5分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，.32,21AD BC BE AB ==若1λ= 212,λλλ<+AL 为实数），则21λλ+的值为 8．（2011北京．10.5分）已知向量=-==c b a ),1,0(),1,3(⋅)3,(k 若a-2b 与c 共线，则=k 考点2 平面向量的基本定理及坐标表示1．(2013辽宁．3.5分)已知点A(l ，3)，B （4，-1），则与向量AB 同方向的单位向量为 ( ))5,5.(-A )5,5.(-B )5,5.(-C )5,5.(-D 2．（2013重庆．10，5分）在平面上，==⊥||||,2121OB OB AB AB .,121AB AB +=若,21||<则 ||的取值范围是( ))25,0.(A )27,25.(B )2,25.(C )2,27.(D 3．（2012大纲全国．6,5分）△ABC 中，AB 边的高为CD.若=,0,,=⋅=b a b a ===b a 则,2,1|| ( )b a A 3131.- b a B 3232.- b a C 5353.- b a D 5454.- 4．（2012广东，3，5分）若向量),7,4(),3,2(==CA BA 则=BC ( ))4,2.(--A )4,2.(B )10,6.(C )10,6.(--D5．（2012安徽．8，5分）在平面直角坐标系中，点0(0，0)，P(6，8)，将向量绕点0按逆时针方向旋转43π后得向量,则点Q 的坐标是 ( ) )2,27.(--A )2,27.(-B )2,64.(--C )2,64.(-D6．（2012重庆．6,5分）设,,R y x ∈向量c y b x a ),,1(),1,(==),4,2(-=且,//,c b C a ⊥则=+||b a ( )5.A 10.B 52.C 10.D7．（2010安徽．3,5分）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )智力背景分粟子 三个小女孩一共采集到770颗栗子，她们打算如往常那样，根据她们年龄的大小按比例进 行分配 ．以往，当玛丽拿4颗栗子时，尼莉拿3颗；而每当玛丽得到6颗时，苏茜可以拿7颗，试问：每个女孩可以分到多少颗栗子？答案是最小女孩可分到198颗，年纪稍大的分得264颗，最年长的可分得308颗．||||.b a A = 22.=⋅b a B b b a C 与-.垂直 b a D //. 8．（2013北京．13,5分）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若),,(R b a c ∈+=μλμλ则=μλ解读探究知识清单1．既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用有向线段来表示．2．向量B A 的大小，也就是向量B A 的长度（或称模），记作.||3．长度为O 的向量叫做零向量，记作0．长度为1个单位长度的向量叫做单位向量． 4．方向相同或相反的非零向量叫做①____，也叫做②____．规定：O 与任一向量平行．5．长度相等且③____的向量叫做相等向量．6．向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则． 7．向量加法的交换律：a+b=b+a ， 向量加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)．8．与a 长度相等，④____ 的向量叫做a 的相反向量，规定：O 的相反向量是09．实数λ与向量a 的乘积||a λ是一个向量，它的长度是a 的||λ倍，即.||||||a a λλ=它的方向:当0>λ时，与a 同向；当0<λ时，与a 反向．显然，当0=λ时，.0=a λ10.设a 、b 是任意向量，μλ、是实数，则实数与向量的积适合以下运算律：a ．结合律.;)()(b a a λμμλ= 第一分配律=+a )(μλ.;c a a μλ+第二分配律.)(b a b a λλλ+=+ 11.向量共线的判断：(1)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是⑤(2)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数.,λ使⑥ 12.平面向量基本定理：如果21.e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,21λλh 使,2211e e a λλ+=其中21e e 、是一组基底． 13.平面向量的坐标运算：(1)若),0)(,(),,(2211=/==b y x b y x a 则,21x x b a ±=±（).21y y ± (2)若),,(),,(2211y x B y x A 则⋅--=),(1212y y x x Ak (3)若,),,(R y x a ∈=λ则).,(y x a λλλ= 14．向量平行的坐标表示：(1)如果),,(),,(2211y x b y x a ==则a∥b 的充要条件为⑦智力背景BSD 猎想 数学家总是对诸如222z y x =+这样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷，欧几里得 曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，就变得极为困难．事实上，正如马蒂雅谢维 奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解．当 解是一个阿贝尔簇的点时 ，贝赫和斯维讷通一戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点s=l 附近的性态．(2)三点),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 共线的充要条件为))())((12131312y y x x y y x x -----（.0=【知识拓展】1．向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不要误以为向量是由起点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有“平移”意识——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．2．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成O ，而不应写成O ；在△ABC 中，0=++AF （如图）．3．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：（如图）用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线),(而差向量是另一条对角线),(方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．·知识清单答案突破方法方法1 平面向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法，数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．例1 （2012山东聊城二模．10.5分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b a ==则等于 ( )b a A 2141.+ b a B 3132.+ b a C 4121.+ b a D 3231.+解题思路解析 如图，,DF AD AF +=由题意知，,31,:3:1:AB DF BE DE =∴== .3132)2121(312121b a b a b a +=-++=∴答案 B【方法点拨】 向量的线性运算法则：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同，方法2 平面向量共线问题向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法，解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题.例2（2012浙江杭州二模．11,4分）已知点A （1，-2），点AB 的中点坐标为(3，1)，且与向量),1(λ=a 共线，则=λ解题思路解析 由AB 的中点坐标为(3，1)可知B(5，4)，=∴AB ),6,4(又⋅=∴=⨯-∴23,0614,//λλa AB 答案23 【方法点拨】 共线向量的求解方法：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：b a b b a λ=⇔=/)0(//或.01221=-y x y x可以利用两个向量共线的条件列方程，求未知数的值，智力背景奔跑的狗（一） 一次在德国 苏步青与一位有名的数学家同乘电车时，这位数学象出了一道关于奔 跑的狗的题目让苏教授解答，逸道题是：甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行．甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只狗和他同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲奔去；遇到甲又回头向己奔去，蛊~甲、乙两人相遇时狗才停止问这只狗共跑了多少千米路？对这个问题，苏步青教授略加思索，就算出了正确的答案.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：40分钟 分值:45分一、选择题（每题5分，共20分）1．（2013北京石景山期末）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，===),3,1(),4,2(A 则 ( ))4,2(⋅A )7,3(⋅B )1,1.(C )1,1.(--D2．（2013辽宁朝阳一模．5）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，,μλ+=则μλ+ 的值为 ( )21.A 31.B 41.C 1.D 3．（2012辽宁大连沙河口3月模拟．8）非零不共线向量,且,02y x P +=若),(R AB PA ∈=λλ则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )02.=-+y x A 012.=-+y x B 022.=-+y x C 022.=-+y x D4．（2012广东佛山三模．5）设a ),1,(),2,1(0-=-=O b a b ,0,0),0,(>>-=为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是 ( )二、填空题（每题5分，共15分）5．（2013北京西城高三上学期期末）已知向量==b a ),3,1().3,2(),1,2(=-c 若向量C 与向量b ka +共线，则实数=k6．（2013宁夏吴忠3月．15）在平面直角坐标系中，已知=AB ),1,2(),3,1(-=-AC 则=||BC 7．（2013江苏苏州一模．9）如图，在△ABC 中，点0是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,C ,B AN n A AM m A ==则n m +的值为三、解答题（共10分）8．（2013山东莱芜一模，17）如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设.,b a == (1)用a 和b 表示向量;、 (2)若,OA OE λ=求实数λ的值．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试 时间：45分钟 分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013陕西黄陵一模．6）已知向量,2(),3,1(=-=),2,1(1-+=-k k 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )2.-=k A 21.=k B 1.=k C 1.-=k D 2．（2013湖北襄樊=模．8）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为B A ∠∠、.、C ∠的对边，且,a b c >>若向量)1,(b a m -=和,c b n -=（)1平行，且,54sin =B 当△ABC 的面积为23时，则=b ( ) 231.+A 2.B 4.C 32.+D 二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013福建南平一模，14）设,,R y x ∈向量,1),1,(（==b x a )4,2(),-=c y 且,//,c b c a ⊥则=+||b a4．（2011陕西西安5月．14）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若,3,2λ+==C A 则=λ智力背景奔跑的狗（二） 解答：狗从甲、乙出发时起，直到两人相遇时止，一直在甲、乙之间奔跑，从未停止过．因此它奔跑的时间，就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间，这就是解答本题的关键．时间知道了，狗跑的路程也就能算出来了．甲、乙两人从开始走到相遇共用100÷(6+4)=lO 小时，所以狗跑的总 路程是10×10 =100千米．三、解答题（共25分）5．（2013吉林松原5月．18）已知平行四边形ABCD ，从平面AB-CD 外一点O 引向量,0k =OD K OH ,OC K C ,B K F ===O O O 求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面ABCD//平面EFGH.6．（2012江西九江5月模拟．17）在□ABCD 中，=A ),1,1(),0,6(点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1)若),5,3(D =A 求点C 的坐标； (2)当|D |||A =时，求点P 的轨迹．。
高考数学必考点专项第13练 平面向量的概念及其线性运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第13练 平面向量的概念及其线性运算小题精选一、单选题1. 设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ） A.4133AB AC + B. 4133AB AC - C. 1433AB AC - D. 1433AB AC -+ 2. 两个非零向量a ，b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为 ( ) A.6π B.3π C.23π D.56π 3. 已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足20PA PB PC +-=，则||PA = ( )A. B. C. D. 4. 设非零向量a ，b 满足|+|=||a b a b -，则( ) A. a b ⊥B. ||=||a bC. //a bD. ||||a b >5. 已知向量3AB a b =+，53BC a b =+，33CD a b =-+，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线D. B ，C ，D 三点共线6. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b不共线，则四边形ABCD 为( )A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 菱形7. O 为ABC 内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238. 设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图所示，O 为线段0201A A 外一点，若0A ，1A ，2A ，3A ，…，201A 中任意相邻两点间的距离相等，0OA a =，201OA b =，则用a ，b 表示012OA OA OA +++…201OA +，其结果为( )A. 100()a b +B. 101()a b +C. 201()a b +D. 202()a b +10. 在ABC 中，下列命题正确的个数是( )①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC 的内心，且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形．A. 1B. 2C. 3D. 411. 在ABC 中，点M 是AB 的中点，23AN AC =，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC 内部活动(不含边界)，且AP AB AN λμ=+，其中λ、R μ∈，则λμ+的取值范围是( )A.B. C. 11(1,)8 D. 3(1,)2二、多选题12. 已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则( ) A. AB DC = B. DA DC DB +=C. AB AD BD -=D. 1()2OB DA BA =+13. 在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )A. 0AB AC AD +-=B. 0DA EB FC ++=C.是的平分线所在直线的方向向量D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18三、填空题14. 设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=__________. 15. 设a ，b 为单位向量，且|a b +|1=，则|a b -|=__________.16. 已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，则||||a b a b ++-的最小值是__________，最大值是__________.17. 给出下列命题：①若||||a b →→=，则a b →→=；②若A ，B ，C ，D 是不共线四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b →→=，b c →→=，则a c →→=； ④若//a b →→，//b c →→，则//.a c →→其中正确命题的序号是__________.18. 已知非零向量a ，b 满足||||||a b a b ==-，则||||a b a b +=-__________.19. 若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________；若满足0a >，0b >，则a b +的最小值等于__________.20. 如图ABC 是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD 的内部(不含边界)，则实数m 的取值范围是__________.答案和解析1.【答案】D解：因为3BC CD =，所以33AC AB AD AC -=-， 所以14.33AD AB AC =-+ 故选.D2.【答案】B解：设||1a =，则||||2a b a b +=-=，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形， 且||3b =，设向量a b +与a 的夹角为θ，则||1cos 2||a a b θ==+，3πθ∴=，故选.B3.【答案】C解：因为20PA PB PC +-=，所以2()()0PA PA AB PA AC ++-+=， 整理得，12PA AC AB =-， 由等边三角形ABC 的边长为6， 得166182AB AC =⨯⨯=， 两边平方得，222113636182744PA AC AB AC AB =+-=⨯+-=，则||3 3.PA = 故选：.C4.【答案】A解：非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，22()()a b a b ∴+=-，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，整理得40a b ⋅=， 解得0a b ⋅=，.a b ∴⊥故本题选.A5.【答案】B解：262(3)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=，BD ∴，AB 共线，且有公共点B ，A ∴，B ，D 三点共线．故选.B6.【答案】C解：2,4,AB a b BC a b =+=--53CD a b =--， AD AB BC CD ∴=++ 822a b BC =--=，2AD BC ∴=，//AD BC ∴，且AD BC ≠，∴四边形ABCD 为梯形.故选.C7.【答案】B解：以OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接OF 与BC 相交于点E ，E 为BC 的中点．20OA OB OC ++=，22OB OC OA OF OE ∴+=-==，∴点O 是线段AE 的中点．B ，O ，D 三点共线，AD t AC =，∴点D 是BO 与AC 的交点．过点O 作//OM BC 交AC 于点M ，则点M 为AC 的中点． 则1124OM EC BC ==， 14DM DC ∴=， 13DM MC ∴=，2133AD AM AC ∴==，AD t AC =， 1.3t ∴=故选.B8.【答案】B解：若“||||||a b a b +=+”，则平方得22||2||a a b b +⋅+22||||2||||a b a b =++⋅，即||||a b a b ⋅=⋅，即||||cos a b a b a ⋅=<，||||b a b >=⋅， 则cos a <，1b >=，即a <，0b >=，即a ，b 同向共线，则存在实数λ，使得a b λ=， 反之当a <，b π>=时，满足a b λ=，但a <，0b >=不成立，即“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+”的必要不充分条件， 故选：.B9.【答案】B解：设0201A A 的中点为A ，则A 也是1200A A ，…，100101A A 的中点， 可得02012OA OA OA a b +==+，同理可得，12002199OA OA OA OA +=+=…100101OA OA a b =+=+， 故012OA OA OA +++…2011012101().OA OA a b +=⨯=+ 故选.B10.【答案】B解：由ABC ，得：在①中，AB AC CB -=，故①错误； 在②中，0AB BC CA ++=，故②正确；在③中，点 O 为ABC 的内心， 且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即，即()0CB AB AC ⋅+=，因为AB AC +表示A ∠的平分线，设AB AC AF +=， 故0CB AF ⋅=，故CB AF ⊥，则AB AC =，ABC 为等腰三角形，故③正确；在④中，0AC AB ⋅>，则BAC ∠是锐角，但是不能保证另外两个角均为锐角，即ABC 不一定为锐角三角形，故④错误． 共计2个正确， 故选：.B11.【答案】D解：若点P 为交点O 时，易知13.44AP AB AN =+ ①若点P 在线段BO 上运动时，1λμ+=； ②若点P 在线段BC 上运动时，23AP AB AC μλ=+，213μλ+=， 33(1),[0,1]222λλμλλλ+=+-=-∈，3[1,]2λμ+∈；③若点P 在线段OC 上运动时，223AP AM AC μλ=+，2213μλ+=，331(12)2,[0,]224λμλλλλ+=+-=-∈，3[1,]2λμ+∈；综上，由于不含边界，3(1,).2λμ∴+∈另解：按照三点共线定理可知，当点P 在直线BN 上时，1λμ+=， 当点P 在直线BN 的下方且平行于直线BN 的直线上时， 随着直线向下平行移动，λμ+的值越来越大， 因为点P 在BOC 内部活动(不含边界)上运动， 所以到达临界点C 时λμ+的值为上限值32， 3(1,).2λμ∴+∈故选：.D12.【答案】AB解：因为O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，对于选项A ，结合相等向量的概念可得， AB DC =，即A 正确； 对于选项B ，由平行四边形法则可得DA DC DB +=，即B 正确； 对于选项C ，由向量的减法可得AB AD DB -=，即C 错误； 对于选项D ，由向量的加法运算可得1()2CO DA BA OB =+≠，即D 错误， 综上可得A ，B 正确， 故选：.AB13.【答案】BCD解：如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.对选项B ，，故B 正确.对选项C ，，分别表示与，同向的单位向量，由平面向量加法可知C 正确；对选项D ，如图所示：因为在上，即三点共线， 设，0 1.t又因为，所以.因为，则，0 1.t令，当时，取得最大值为.故选项D 正确.故选：.BCD14.【答案】12解：向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ，解得实数1.2λ= 故答案为1.215.解：222||2221a b a b a b a b +=++⋅=+⋅=，12a b ⋅=-， 222||2223a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅=，|| 3.a b ∴-=16.【答案】4【解析】解：设a OA =，b OB =，记AOB α∠=，则0απ，如图，由余弦定理可得：||54cos a b α+=+，||54cos a b α-=-，令54cos x α=-，54cos y α=+，则2210(x y x +=、1)y ，其图象为一段圆弧MN ，如图，令z x y =+，则y x z =-+，则直线y x z =-+过M 、N 时，z 最小，min 13314z =+=+=，当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时，z 最大，由平面几何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍，所以max 2102 5.z =⨯=综上所述，||||a b a b ++-的最小值是4，最大值是2 5.故答案为：4；17.【答案】②③解：①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确.AB DC =，||||AB DC ∴=且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，AB DC ∴=；③正确.a b →→=，a →∴，b →的长度相等且方向相同， 又b c →→=，b →∴，c →的长度相等且方向相同，a →∴，c →的长度相等且方向相同，故a c →→=；④不正确.当0b =时，满足////a b c ，但是推不出//a c ，综上所述，正确命题的序号是②③.故答案为②③.18.解：如图，设OA a =，OB b =，则OC OA OB a b =+=+，.BA OA OB a b =-=-||||||a b a b ==-，.BA OA OB ∴==OAB ∴为正三角形，设其边长为1，则||||1a b BA -==，3||22a b +=⨯= ||31||a b a b +∴==-19.【答案】128解：(2,2)AB a =--，(2,2)AC b =--，依题意知//AB AC ，有(2)(2)40a b -⋅--= 即220ab a b --=，变形为2()ab a b =+， 所以1112a b a b ab ++== 又0a >，0b >，当且仅当4a b ==时等号成立. 故答案为1,8.220.【答案】13(,)44解：如图所示，设14AE AB =，过点E 作//EP AC ，分别交AD ，BC 于点Q ，P ， 分别过Q ，P 作//QR AE ，//PF AE 交AC 于点R ，.F则13,44AR AC AF AC ==， 14AM AB m AC =+⋅，M 在ACD 的内部(不含边界)， ∴点M 在线段QP 上(不含点Q ，)P ，当点M 位于点Q 时，1144AM AQ AB AC ==+，可得14m =， 当点M 位于点P 时，1344AM AP AB AC ==+，可得34m =， 故m 的取值范围为13(,)44. 故答案为13(,)44 .。
高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A卷) (2)
高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(A 卷)姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( )A .a b c ++B .a b c -+C .a b c + -D .a b c--3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+=4.CO BO OC OA +++等于( ) A . B . C . D .5.化简++-的结果等于( ) A 、QP B 、OQ C 、 D 、SQ6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( ) ①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=-④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|, 那么△ABC 一定是( ). A .等腰三角形B .等边三角形 C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a = ,CA b =,则AB 等于( ) A .a b + B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线.()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA =______,MB = ______,MC = ______,MD =______.13.已知向量a 和b不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______14.化简:①AB BC CD ++=______;②AB AD DC --=______;③()()AB CD AC BD ---= ______15.化简下列各式:(1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB =______.17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______18.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC= 则四边形ABCD 的形状是______.19.化简:=-++-)()(______.20.在△ABC 中,设BC a →=,CA b →=,则AB=______三.解答题(每题10分)21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DACDA BN M22.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与EF 、CO 共线的向量;(2)与相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y轴正方向的夹角为 120;(3)a =,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.14.已知,是不共线的两个向量，设μλ+=,且R ∈=+μλμλ，，1。
1平面向量的概念与线性运算练习 新人教B版 试题
5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·某某十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 [答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D[解析]CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.2．(2012·某某理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a|a |＝b|b |.[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b|b |.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3，n )，若2a －b 与b 共线，则实数n 的值是( ) A ．3＋23B ．9 C ．6 D ．3－2 3 [答案] B[解析]2a －b ＝(－1,6－n )，∵2a －b 与b 共线，∴－1×n －(6－n )×3＝0， ∴n ＝9.4．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ， CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．5．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP ||PB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案]C[解析]AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.6．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A ．2B ．3 C.32D ．6 [答案] B[解析] 由AP →＝13(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →，∴PB →＋PC →＋PA →＝0，∴P 是△ABC 的重心． ∴△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.7．(2013·某某省惠安三中模拟)已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．[答案]12[解析]∵a ∥b ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，∴x ＝12.8．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________． [答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－21－y，解得x ＝－2，y ＝－1.9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析]O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.10．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.能力拓展提升11.(2012·某某调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →， ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.12．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A ．(12，12)B ．(23，23)C ．(13，13)D ．(23，12)[答案] C[解析] 解法1：令BF →＝λBE →，由题可知：AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ(12AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋12λAC →；同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ(12AB →－AC →)＝12μAB→＋(1－μ)·AC →，平面向量基本定理知对应系数相等，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.解法2：设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，a 、b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 13．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.[答案]23[解析]由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.14．(2012·某某省某某市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则mn＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A 、B 、C 三点共线，某某数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，某某数m 的取值X 围．[解析] (1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析]∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )．若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解，∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 [答案] A[解析] 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.2．已知|a |＝3，|b |＝1，且a 与b 同向共线，则a ·b 的值是( ) A ．－3 B ．0 C ．3 D ．－3或3 [答案] C[解析]∵a 与b 同向共线，∴a ·b ＝|a |·|b |cos0＝3，选C.3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 [答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在边BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．4．(2012·某某部分重点中学检测)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13C ．2 D.12[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →＝λAM →＋μAN →，结合条件AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，可将AG →用AB →，AC →表示，又G 为△ABC 的重心，AG →用AB →，AC →表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y＝13.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 5．(2012·豫南四校调研考试)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为( )A.32B.332C ．33D.932[答案] B [解析]如图，由条件知，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝(12AD →－AB →)2，∴3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →，∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →|·|AB →|cos60°＝3，解之得|AD →|＝2.又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1，∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin60°＋12×1×3＝332，故选B.6．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.[答案]13[解析]∵非零向量a 、b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，∴λ＝2，sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.。
高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)
专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。
第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (精练)(学生版)
第01讲 平面向量的概念及其线性运算(精练）一、单选题1．（2022·山东烟台·高一期中）下列命题正确的是（ ）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））下列命题中正确的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．BC BA DC AD --= C ．a b a b a +=+⇔与b 的方向相反 D ．若a b c ==，则a b c ==3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一阶段练习）已知点()1,3A ，()4,1B -，则与AB 同方向的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()3,4- C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()3,4-4．（2022·四川绵阳·高一期中）化简：OP OA PB BC -++=（ ）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC5．（2022·广东·红岭中学高一期中）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（ ） A ．,,B C D B ．,,A B C C ．,,A C D D ．,,A B D6．（2022·山东泰安·高一期中）已知D 是ABC 的边BC 上的中点，则向量AD =（ ） A ．AB AC -B ．1122AB AC - C ．1122AB AC +D ．AB AC + 7．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b 是非零向量，则2a b =是aa b b=成立的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，若13mn =，则m n的值为（ ）A ．23 B ．34 C ．45 D ．569．（2022·山东潍坊·高一期中）在ABC 中，11299AP AB AC =-，则P 点（ ） A ．在线段BC 上，且29BP BC = B ．在线段CB 的延长线上，且29BP BC = C ．在线段BC 的延长线上，且29BP BC = D ．在线段BC 上，且29CP BC = 10．（2022·山西运城·高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG =（ ）A ．2455AB BC - B ．2455AB BC + C ．2455AB BC -+ D ．25AB BC -- 二、填空题11．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））已知在ABC 中，E 为AC 上一点，且13AE EC =，P 为BE 上一点，且满足AP mAB nAC =+()0,0m n >>，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为__________. 12．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A 、B 、C 、D 、E 是正五边形的五个顶点，且MN AM =QN xCP yNM =+，则x y +=______．三、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，ABC 中，F 为BC 边上一点，2=BF FC ，若AB a =，AC b =(1)用向量a 、b 表示AF ；(2)3=AB BD ，连接DF 并延长，交AC 于点E ，若λ=DF DE ，μ=AE AC，求λ和μ的值．14．（2022·安徽·高一期中）如图，在ABC 中，点O 在边BC 上，且2OC OB =．过点O 的直线分别交射线AB 、射线AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =．(1)求2m n +的值；(2)若2m n t t +≥t 的最小整数值．。
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平面向量定义及线性运算练习题
一．选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C 、向量的大小与方向有关.
D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =；
⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥a b ，b c ，则a c .
其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；
（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③
6、下列命中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |⇒a ＝b
B 、|a |＞|b |⇒a ＞b
C 、a ＝b ⇒a ∥b
D 、｜a ｜＝0⇒a ＝0
7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反
8．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②
+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
9．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于
（ ） A ．O
B ．MD 4
C ．MF 4
D ．M
E 4
10．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||b a b a -=+
D ．||||||b a b a +=+
11．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ． 以上都不对
12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ）
A ．().(0,1)A
B AD λλ+∈
B ．().AB B
C λλ+∈
C ．().(0,1)AB A
D λλ-∈ D ． ().(0,
2
AB BC λλ-∈ 13．在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，则向量)(AC AD AB ++的长等于（ ） （A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）4 14．下面给出四个命题：
① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)( ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)( ③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a = ④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =
其中正确命题的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
二．填空题
15．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
16．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。
15．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0
④+-=AD BE AF 0
其中正确命题是_____________。
17．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________；
y =___________。
18.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则下列各式： ①1122EF =
-c b ；②12
BE =+a b ；③11
22CF =-+a b ；④AD BE CF ++=0
．
其中正确的等式的个数为________ 。
19．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA OB OC ++=0，则O 是△ABC 的 。
（填重心 、垂心、内心、外心之一）
三．解答题
20．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，用a b 、
表示MN 、BN 、DN .
21.如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB =2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知
AB =a ,AD =b ,试用a ，b 表示BC 和MN ．
F
E D C
B
A
22．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，用a、b表示向量AH、EH、CH。
A
B C
E
F
D H。