台州市2018年高三年级第一次调考数学试题 (含解析)

一、选择题
1.设集合{0,1,2,3}P =，{|2}Q x R x =∈<，则P
Q =（ ）
A.{0,1}
B.{1,2}
C.{0,1,2}
D.{1} 【答案】 A 【解析】
由题意得集合{|22}Q x x =-<<-，所以{0,1}P
Q =.
2.若复数(1)(2)z i i =-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D 【解析】
复数(1)(2)3z i i i =-+=-在复平面内对应的点为(3,1)-，位于第四象限. 3.设A ，B ，C 为的内角，则“A B <”是“cos cos A B >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】
因为A ，B 是三角形的内角，所以A ，(0,)B π∈，又因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B <⇔>，即“A B <”是“cos cos A B >”的充分必要条件. 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
16 B.1
3
C.1
D.3 【答案】 B 【解析】
有三视图得该几何体是一个底面边长为1的正方形，有一条长为1的侧菱垂直于底面的四菱锥，则体积为1
111133
⨯⨯⨯=
. 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ） A.()()E X E Y >，()()D X D Y > B.()()E X E Y =，()()D X D Y > C.()()E X E Y >，()()D X D Y = D.()()E X E Y =，()()D X D Y = 【答案】 C 【解析】 由题意得4(5,)7X
B ，3(5,)7Y B ，则420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=，
4460()5(1)7749D X =⨯⨯-=
，3360
()5(1)7749D Y =⨯⨯-=，所以()()E X E Y >，()()D X D Y =.
6.设数列{}n a ，{}n b 满足700n n a b +=，172
105
n n n a a b +=+，*n N ∈，若6400a =，则（ ）
A.43a a >
B.43b b <
C.33a b >
D.44a b < 【答案】 C 【解析】
本题考察数列的概念.由700n n a b +=得700n n b a =-， 则172723(700)28010510510n n n n n n a a b a a a +=
+=+-=+，则13
400(400)10
n n a a +-=-，
又因为6400a =，所以400n a =，*n N ∈，则700300n n b a =-=，*n N ∈，所以33a b >. 7.在ABC ∆中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C
，若2
2
2
a b c =+，
sin 2cos C B =，则（ ）
A.3
A π
=
B.4
B π
=
C.c =
D.2c a = 【答案】 D 解析：
在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
，又2
2
2
a b c =+
，所以
cos A =
(0,)A π∈，所以6
A π=，
则555sin 2cos 2cos(
)2(cos cos sin sin )sin 666
C B C C C C C πππ
==-=+=+， 则cos 0C =，又(0,)C π∈，所以2
C π
=
，所以3
B π
=
，在ABC ∆中，正弦定理得
sin
sin
sin
6
3
2
a b c π
π
π
=
=
，化简得23
c a =
=.综上所述，只有D 选项正确. 8.设实数x ，y 满足条件10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，若2
22z x y =--，则（ ）
A.z 的最小值为25
8
-
B.z 的最小值为3-
C.z 的最大值为33
D.z 的最大值为6 【答案】 A 【解析】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式所表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，
由图易得当目标函数2
22z x y =--与平面区域内的边界10(0)x y x -+=≥相切时，
2
22z x y =--取得最小值，联立22210
z x y x y ⎧=--⎨-+=⎩，消去y 化简得2
230x y z ---=，因
为曲线2
22z x y =--与10(0)x y x -+=≥相切，所以关于x 的一元二次方程
2230x x z ---=有两个相同的实数根，则2(1)42(3)0z --⨯⨯--=，解得258
z =-
，即目标函数2
22z x y =--的最小值为25
8
-，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值.
9.已知单位向量1e ，2e ，且1212e e ⋅=-，若向量a 满足125
()()4
a e a e -⋅-=，则a 的取值范围为（ ）
A. B.121
]2
C.1]2
D. 【答案】 B 【解析】
因为向量1e ，2e 为单位向量，且1212e e ⋅=-
，所以向量1e ，2e 的夹角为23
π，则不妨设
11(,22e =，21(,22
e =-，设(,)a OA x y ==，
则221211135
()()(,(,()22244
a e a e x y x y x y --=-
⋅-=-+-=，
即221
()22x y -+=，所以点A 在以1(,0)2
为半径的圆上.又因为
2a x =+A 到原点的距离，由图易得圆与x 轴正半轴
的交点到原点的距离最大，
1
2
，圆与x轴负半轴的交点到原点的距离最小，
1
2
，所以a
的取值范围为
1
2
1
]
2
.
10.设()
f x
'为函数()
f x的导函数()
x R
∈，且()0
f x<，2()()0
f x f x
'+>（e为自然对
数的底数），若
12
x x
<，则（）
A.12
21
()()
x x
f x e f x
-
<⋅ B.21
12
()()
x x
f x e f x
-
<⋅
C.
21
22
2
21
()()
x x
f x e f x
-
>⋅ D.12
22
2
12
()()
x x
f x e f x
-
>⋅
【答案】
D
解析：
设2
()()
x
g x e f x
=⋅，则2
()()2()()()(2()())
x x x
g x e f x e f x f x e f x f x f x
'''
=⋅+⋅=⋅+，因为()0
f x<，0
x
e>，2()()0
f x f x
'+>，所以()()(2()())0
x
g x e f x f x f x
''
=⋅+<在R上恒成立，所以函数2
()()
x
g x e f x
=⋅在R上单调递减，则当
12
x x
<时，有
12
()()
g x g x
>，即12
22
12
()()
x x
f x e f x e
>，即21
22
12
()()
x x
f x e f x
-
>⋅，因为
12
x x
<，所以
12
212
10
x x
x x
e e
-
->>>，所以12
21
222
2
122
()()()
x x
x x
f x e f x e f x
-
-
>⋅>⋅.
二、填空题
11.设实数a满足23
a=，则a=，
33
log12log6
-=（用a表示）.
【答案】
2
log3
1
a
【解析】
由23
a=得
2
log3
a=，则
3333333
2
11
log12log6log(26)log6log2log6log6
log3a
-=⨯-=+-==.
12.抛物线2
:8
C y x
=的焦点F的坐标为
，若点)
P m在抛物线C上，则线段
PF 的长度为 .
【答案】
(2,0)
2
【解析】
抛物线2
8y x =的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为2x =-，因为点)P m 在
抛物线上，所以PF 的长度等于点)P m 到抛物线的准线的距离，即2PF =. 13.若函数2
()()21
x f x a a R =-∈-是奇函数，则a = ，函数()f x 的值域为 . 【答案】
1-
(,1)(1,)-∞-+∞
【解析】
易得函数2()21x f x a =-
-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，则由函数2
()21
x
f x a =--为奇函数得(1)(1)f f =--，即1122()2121a a --=----，
解得1a =-，则2
()121
x f x =---，当0x >时，21(0,)x
-∈+∞，所以2(,0)21x -∈-∞-，则21(,1)21
x --∈-∞--，所以函
数2()121x f x =---在(0,)+∞上的值域为(,1)-∞-，又因为函数2
()121
x f x =---为奇
函数，所以函数2
()121
x f x =---在(,0)-∞上的值域为(1,)+∞.综上所述，函数
2
()121
x
f x =---的值域为(,1)(1,)-∞-+∞. 14.若实数x ，y 满足2
2
2
2
44432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为 ，
2)2x y xy ++的最大值为 .
【答案】
-
16
【解析】
因为222244432x y xy x y +++=，所以222(2)432x y x y ++=，则2
(2)32x y +≤
，
2x y -≤+≤2x y +
的最小值为-.由222(2)432x y x y ++=
，不妨设
22x y xy θ
θ
⎧+=⎪⎨
=⎪⎩
2)2cos )16sin()x y xy θθθϕ++=+=+，其
中tan ϕ=
，所以当sin()1θϕ+=
2)2x y xy ++取得最大值为16. 15.在2
3
8(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开式中，含2x 项的系数为 .
【答案】
64
【解析】
238(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开中，含2x 项的系数为
0212222626234822(1)2(1)2(1)C C C C ⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+
+⨯⨯-
22(136********)64=⨯-+-+-+=.
16.若关于x 的不等式2
(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，则实数a 的取值范围为 . 【答案】
(,1)(0,)-∞-+∞
【解析】
设()cos 1f x a x =-，2
()16g x ax x a =-+，则关于x 的不等式
2(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，等价于存在0(0,)x ∈+∞，使得00()()0f x g x ⋅<成立.当1a >时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x <，函数2()160g x ax x a =-+>在(0,)+∞上恒成立，所以此时
存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当
1
18
a ≤≤时，
函数()cos 10f x a x =-≤在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在
0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当1
08
a <<
时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，212()x x x <，且
1212
1016160x x a
a x x a ⎧
+=>⎪⎪⎨
⎪⋅==>⎪⎩
，所以12,(0,)x x ∈+∞，所以存在012(0,)(,)x x x ∈+∞使得0()0g x >，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当0a =时，显然不等
式不成立；当1
08
a -
<<时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，2x ，且12121016160x x a
a x x a ⎧
+=<⎪⎪⎨⎪⋅==>⎪⎩，所以
12,(,0)x x ∈-∞，所以函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在
0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当1
18a -≤≤-时，函数()cos 10f x a x =-≤在
(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在
0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当1a <-时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上
存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x >，函数2
()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立.综上所述，实数a 的取值范围为(,1)
(0,)-∞-+∞.
17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，2AC CD DA ===，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿着AM 将ADM ∆翻折成
AD M '∆，当平面AD M '垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为 .
【答案】
【解析】
设点D '在平面ABCD 内投影为点F ，DAM θ∠=，则易得(0,60]θ∈︒，当(0,30)θ︒时，点F 在ADC ∆外，过点F 作AB 的垂线，垂足在线段BA 的延长线上，所以此时当点P 与点A 重合时，PD '取得的最小值等于2AD AD '==；当[30,60]θ∈︒︒时，点F 在ADC ∆内（包括边界），过点F 作AB 的垂线FG ，垂足G 在线段BA 上，所以当点P 与垂足G 重合时，PD '取得的最小值，此时有PD AB '⊥.在Rt D AP '∆中，因为2AD AD '==，所以当PD '取得最小值时，cos D AP '∠取得最大值.由最小定理得
211cos cos cos(120)cos (cos sin )cos 222D AP θθθθθθ'∠=⋅︒-=⋅-+=-
1111
cos cos 22cos(2120)4424
θθθθθ=-+-=-︒-，易得当60θ=︒时，
cos D AP '∠取得最大值14，所以此时1
2
AP =，PD '==.
综上所述，PD '. 三、解答题
18.已知函数2
()sin cos cos f x x x x =+.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出()f x 图象的对称轴方程； （Ⅱ）若将函数()y f x =的图象向右平行移动8
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足0()1g x ≥的实数0x 的集合. 【解析】
（Ⅰ）2
()sin cos cos f x x x x =+
11
sin 2(1cos 2)22x x =++ 11(sin 2cos 2)22
x x =++
1
)42
x π=
++，∴()f x 的最小周期T π=， 令242
x k π
π
π+
=
+，k Z ∈，得8
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈，∴()f x 图象的对称轴方程为82
k x ππ
=+
，k Z ∈.
（Ⅱ）由题意得1())842g x x ππ=
-++
122
x =
+
0()1g x ≥，即
01sin 2122x +≥，0sin 22x ≥，∴0322244
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈. ∴
038
8k x k π
πππ+≤≤
+k Z ∈，即所求0x 的集合为003{,}88
x k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈.
19.如图，在三棱锥D ABC -中，CA CB ==DA DB ==2AB =.
（Ⅰ）求证：AB CD ⊥；
（Ⅱ）若顶点D 在底面ABC 上的射影落在ABC ∆的内部，当直线AD 与底面ABC 所成角
的正弦值为
6
时，求二面角C AD B --的平面角的余弦值.
【解析】
（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，DE ， ∵CA CB =，DA DB =，∴CE AB ⊥，DE AB ⊥， 又DE
CE E =，∴AB ⊥平面DEC ，又CD ⊂平面DEC ，∴AB CD ⊥.
（Ⅱ）如图，作DO CE ⊥于点O ，
由（Ⅰ）易得平面DEC ⊥平面ABC ，且交于CE .
∴DO ⊥平面ABC ，∴DAO ∠为直线AD 与平面ABC 所成的角，
sin DO DAO AD ∠==
6=
，∴DO =
DE = ∴在Rt DOE ∆
中，12OE =
=，又易知1CE =，∴O 为CE 的中点.
∵DO CE ⊥，O 为CE
的中点，∴DC DE ==，
过点C 作CM DE ⊥于点M ，取AD 的中点G ，连接CG ，GM .
同上可得CM ⊥平面ABD .∴CM AD ⊥
，∵AC =DC AC =，
∴CG AD ⊥，CGM ∠为二角面C AD B --
的平面角，CG =
=， 在CDE ∆
中，14CE DO CM DE ⨯===. 在Rt CMG ∆中，22238
MG CG CM =-=.
∴MG =
∴cos MG CGM CG ∠===，∴二角面C AD B --
的平面角的余弦值为10. 20.已知函数32
()23(1)6f x x m x mx =-++，m R ∈.
（Ⅰ）若2m =，写出函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若对于任意的[1,1]x ∈-，都有()4f x <，求m 的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）若2m =，则32
()2912f x x x x =-+，
∵22()618126(32)6(1)(2)f x x x x x x x '=-+=-+=--，令()0f x '>，得1x <或2x >， ∴函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，(2,)+∞.
（Ⅱ）∵32
()23(1)6f x x m x mx =-++，
∴2()66(1)66(1)()f x x m x m x x m '=-++=--. ①当1m ≥时，()f x 在(1,1)-上单调递增，max ()(1)314f x f m ==-<，解得53m <， ∴513
m ≤<； ②当11m -<<时，()f x 在(1,)m -上单调递增，在(,1)m 上单调递减.
∴32max ()()34f x f m m m ==-+<，即32340m m -+>，2
(1)(2)0m m +->恒成立， 所以11m -<<.
③当1m ≤-时，()f x 在(1,1)-上单调递减，max ()(1)954f x f m =-=--<，解得1m >-，舍去，综上所述，m 的取值范围为5
(1,)3-.
21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>经过点M ，且离心率为2. （Ⅰ）求a ，b 的值，并写出椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，在椭圆C 上有异于A ，B 的动点P ，若直线PA ，PB 与直线l ：x m =（m 为常数）分别交于不同的两点M ，N ，则当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？
【解析】
（Ⅰ）由题知，22421a b
+=，c a =，222a b c =+，解得a =2b =， ∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(A -，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，
则直线PA ，PB 的方程分别为1(y k x =+，2(y k x =-，
∴1(,(M m k m +
，2(,(N m k m -，∴根据射影定理知，以MN 为直径的圆的
方程为2
12()[((0x m y k m y k m -+-+--=，
即2221212()[(((8)0x m y k m k m y k k m -+-++-+⋅-=， 设点00(,)P x y ，则2200184x y +=，22004(1)8
x y =-，
∴201220182y k k x ===--，
∴222121()[(((8)02
x m y k m k m y m -+-++--
-=， 由0y =，得221()(8)02x m m ---=，∴221()(8)2x m m -=-. 当280m -<
，即m -<. 当280m -≥
，即m ≥
或m ≤-
x m =±
即定点为(m ±. 22.在正项数列{}n a 中，已知1111a ≤≤，2113312n n a a +=-，*n N ∈.
（Ⅰ）求证：111n a ≤≤；
（Ⅱ）设212()n n n b n a a -=+，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：6(1)n S n n ≥+； （Ⅲ）若18a =，设212n n n c a a -=-，n T 表示数列{}n c 的前n 项和.
（ⅰ）比较n a 与7的大小；
（ⅱ）求证：13n T <.
【解析】
（Ⅰ）证明：①当1n =，命题成立.
②假设当n k =时，有111k a ≤≤成立，则当1n k =+时，
∵113312121k a ≤-≤，∴211121k a +≤≤.
∵0n a >，∴1111k a +≤≤成立.
综上所述，111n a ≤≤. （Ⅱ）证明：∵2221222211331169(6)12121212n n n n n a a a a a -+=-++=--+， 由（Ⅰ）知，2111n a ≤≤，∴21212n n a a -+≥，∴12n b n ≥， ∴12(1)12(12)126(1)2
n n n n S b b b n n n +=++
+≥+++=⨯=+得证. （Ⅲ）
（ⅰ）∵18a =，∴221339637a =-=，∴2a 17a >，27a <，
又由已知得222+17133712841212(7)n n n n a a a a -=--=-=--， ∴11(7)(7)12(7)n n n a a a ++-+=--，∴11712077
n n n a a a ++-=-<-+，即1(7)(7)0n n a a +--<， ∴2127n n a a ->>，∵221213312n n a a +=-，222113312n n a a -=-，
∴2221222112()n n n n a a a a +--=--，即2221222112()n n n n a a a a +-=--，
又由（Ⅱ）知，21212n n a a -+≥，
∴2222212122122122122112()()(12)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +------=---=-+-≤.
同理，2222221222122()(12)0n n n n n n a a a a a a ------=-=+-≥.
综上所述，数列21{}n a -单调递减，21217n n a a -+>>.
数列2{}n a 单调递增，2227n n a a +<<.
（ⅱ）：因为222212122212213312(13312)12()n n n n n n a a a a a a ------=---=-⋅-， ∴221212222112n n n n n n a a a a a a ------=-+，同理，212222232122
12n n n n n n a a a a a a --------=-+， ∴
22122232212122144()()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=-++，即122
12122144()()n
n n n n n c c a a a a ----=++.
∵2
a =17n n a a -+>，
∴11447217085
n n c c -<=<=，
且1128c a a =-=，
∴11111172[1()]727285()137213858518585n n n c c T c c c --⋅<+++⋅=<=<-.。