台州市2018年高三年级第一次调考数学试题 (含解析)
浙江省名校新高考研究联盟2018届高三下学期第一次联考数学试卷理科 含解析
2018-2018学年浙江省名校新高考研究联盟高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）2．已知m＞0且m≠1，则log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）6．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．7．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．[0，]∪（，1）B．[，]C．[0，] D．[0，]8．设函数f：N•→N•，并且对所有正整数n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则f A．2018 B．3858 C．4180 D．6185二、填空题：（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分．）9．双曲线的实轴长是______，渐近线方程是______．10．函数f（x）=sinx﹣cosx﹣1的最小正周期是______，单调递增区间是______．11．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，则a2=______，若S2=a1+a2，则S2的所有可能值组成的集合为______．12．若2a=6，b=log23，则a﹣b=______．13．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则sinα=______．14．若实数x，y满足|x|+|y|≤1，则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是______，取到此最小值时x=______，y=______．15．空间四点A，B，C，D满足||=2，||=3，||=4，||=7，则•的值为______．三、解答题：（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，已知AB=2，．（Ⅰ）若BC=3，求AC的长；（Ⅱ）若点D为AC中点，且，求sinA的值．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，，E，F分别是AB，AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．18．设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1．（Ⅰ）若c=4，求b的值；（Ⅱ）当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，求b+的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设．（Ⅰ）若，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．20．设数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*）（I）若a3=，求实数a的值；（Ⅱ）设b n=（n∈N*）．若a=1，求证≤b n＜（n≥2，n∈N*）．2018-2018学年浙江省名校新高考研究联盟高三（下）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（∁U A）∩B．【解答】解：A={x||x﹣1|＞2}={x|x＞3或x＜﹣1}，∁U A={x|﹣1≤x≤3}．B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，∴（∁U A）∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．2．已知m＞0且m≠1，则log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数不等式以及不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m＞1，由log m n＞0得n＞1，此时1﹣m＜0，1﹣n＜0，则（1﹣m）（1﹣n）＞0成立，若0＜m＜1，由log m n＞0得0＜n＜1，此时1﹣m＞0，1﹣n＞0，则（1﹣m）（1﹣n）＞0成立，即充分性成立，若（1﹣m）（1﹣n）＞0则或，当0＜m＜1，n=0时，满足，但log m n＞0无意义，即必要性不成立，即log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的充分不必要条件，故选：A3．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．5．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）【考点】数列的函数特性．【分析】依题意，a n=（n∈N*），{a n}是递减数列，可知，解之即可得答案．【解答】解：∵a n=（n∈N*），且{a n}是递减数列，∴，即，解得＜a＜．故选D．6．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△BFO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．7．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．[0，]∪（，1）B．[，]C．[0，] D．[0，]【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=BD=DA=2．BC=CD=，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC=θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα==，∵，∴cos，∴|1﹣|∈[0，]．∴cos．故选：D．8．设函数f：N•→N•，并且对所有正整数n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则f A．2018 B．3858 C．4180 D．6185【考点】抽象函数及其应用．【分析】可令n=1，可得f（f（1））=3，讨论f（1）=1，2，3，即可判断f（1）=2，f（2）=3，进而求得f（3）=6，f（6）=9，…，f（54）=81，…，得到n与f（n）的关系，总结出一般规律，即可得到f）=3，f（n）为正整数，若f（1）=1，把f（1）=1带进去，就成了f（1）=3，矛盾．要是f（1）=2，那就是f（2）=3，可能正确，要是f（1）=3，那就是f（3）=3，不满足f（n+1）＞f（n）．所以f（1）=2，所以f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f （27））=81，…，即有n∈[1，2]，f（n）∈[2，3]，即f（n）与n一一对应；n∈[3，6]，f（n）∈[6，9]，即f（n）与n一一对应；n∈[9，18]，f（n）∈[18，27]，即f（n）与n一一对应；n∈[27，54]，f（n）∈[54，81]，即f（n）与n一一对应；…；则得到一般的规律，任意的n为自然数，存在m为自然数，n∈[3m，3m+1]，n=3m+k，①n∈[3m，2•3m]，0≤k≤3m，f（n）=f（3m+k）=2•3m+k；②n∈[2•3m，3m+1]，3m≤k≤3m+1，f（n）=f（3m+k）=2•3m+3m+3（k﹣3m）=3k．2018∈[2•36，37]，2018=36+1286，f9．双曲线的实轴长是2，渐近线方程是y=x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程分别进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=1，b2=3，则a=1，b=，则双曲线的实轴长2a=2，渐近线方程为y=±x=x，故答案为：2，y=x10．函数f（x）=sinx﹣cosx﹣1的最小正周期是2π，单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】利用两角和与差的正弦公式，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得原函数的单调递增区间．【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx﹣1=．∴T=2π；由，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．11．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，则a2=±2，若S2=a1+a2，则S2的所有可能值组成的集合为{﹣3，﹣1，1，3} ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】解：由题意|a n|=n，分别求出a1、a2的值，再求对应的S2即可．【解答】解：由题意|a n|=n，n∈N*，∴a1=±1，a2=±2；当a1=1，a2=2时，S2=3；当a1=1，a2=﹣2时，S2=﹣1；当a1=﹣1，a2=﹣2时，S2=﹣3；当a1=﹣1，a2=2时，S2=1；所以S2的所有可能值组成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．故答案为：±2；{﹣3，﹣1，1，3}．12．若2a=6，b=log23，则a﹣b=1．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的定义和对数的运算性质计算即可．【解答】解：∵2a=6，b=log23∴a=log26，∴a﹣b=log26﹣log23=log22=1，故答案为：113．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则sinα=．【考点】棱柱的结构特征．【分析】棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO=θ，即可得出．【解答】解：∵棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，∴平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO=θ，设棱长为：1，A1O=，AO==，易知sinθ===．故答案为：．14．若实数x，y满足|x|+|y|≤1，则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是，取到此最小值时x=，y=．【考点】绝对值三角不等式．【分析】分情况讨论目标函数化简，画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求出目标函数的最小值．【解答】解：（1）当时，作出满足约束条件的可行域如图，令z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=3x﹣y+1，则y=3x+1﹣z，∴y=3x+1﹣z过点C时，1﹣z取得最大值，z取得最小值．解方程组得．∴z=3x﹣y+1=．（2）当时，作出满足约束条件的可行域如图，令z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=﹣5x﹣3y+5，则y=﹣+，∴y=﹣+经过点C时，取得最大值，z取得最小值，由（1）知，C（，），∴z=﹣5x﹣3y+5=．（3）当3﹣x﹣2y＜0时，不存在符合条件的可行域，综上，|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是．故答案为：，，．15．空间四点A，B，C，D满足||=2，||=3，||=4，||=7，则•的值为19．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将向量，，，转化为以，，，的式子，计算||2﹣||2+||2﹣||2，又•=（﹣）•（﹣），展开即可得到所求值．【解答】解：||2﹣||2+||2﹣||2=（）2﹣（）2+（）2﹣（）2=（﹣）2﹣（﹣）2+（﹣）2﹣（﹣）2=2（•+•﹣•﹣•）=4﹣9+16﹣49=﹣38，即有•+•﹣•﹣•=﹣19，又•=（﹣）•（﹣）=•+•﹣•﹣•=19．故答案为：19．三、解答题：（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，已知AB=2，．（Ⅰ）若BC=3，求AC的长；（Ⅱ）若点D为AC中点，且，求sinA的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值，以及BC与AB的长，利用余弦定理求出AC的长即可；（Ⅱ）法1：利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值，再利用正弦定理即可确定出sinA的值；法2：由题意得到=（+），两边平方后求出a的值，进而求出b的值，再由sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，AB=2，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=4+9﹣4=9，则AC=3；（Ⅱ）法1：在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=c=2，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+4﹣a①，在△ABD和△BCD中，由余弦定理得：cos∠ADB=，cos∠BDC=，∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC，∴=﹣，即b2=2a2﹣9②，联立①②，解得：a=3，b=3，∵cosB=，B为三角形内角，∴sinB=，由正弦定理=得：sinA===；法2：根据题意得：=（+），两边平方得：（c2+a2+2ac•cosB）=，把c=2代入得：1+a2+a=，即3a2+4a﹣39=0，分解得：（3a+13）（a﹣3）=0，解得：a=﹣（舍去）或a=3，∵AB=c=2，cosB=，∴sinB==，由余弦定理得：b2=a2+4﹣a，把a=3代入得：b=3，由正弦定理=得：sinA===．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，，E，F分别是AB，AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）以O为原点，建立空间坐标系，求出的坐标，通过计算得出AC⊥EF；（2）求出平面OEF的法向量，则|cos＜＞|为所求二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OA=OB，OC=OD．∵AC⊥BD，AB=2，CD=，∴OA=OB=2，OC=OD=1．以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）．∵E，F分别是AB，AP的中点，∴E（1，﹣1，0），F（0，﹣1，1），∴=（0，3，0），=（﹣1，0，1），∴=0，∴AC⊥EF．（2）=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面OEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1，得=（1，1，1）．∵OP⊥平面OAE，∴=（0，0，2）为平面OAE的一个法向量．∵cos＜，＞===，∴二面角F﹣OE﹣A的余弦值为．18．设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1．（Ⅰ）若c=4，求b的值；（Ⅱ）当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，求b+的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）由函数f（x）图象开口向上且在区间（2，3]上有最大值1，得f（3）=1，解出b；（2）由f（3）=1可得bc之间的关系式和b的取值范围，然后讨论△与0的关系，结合当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立进一步确定b的范围，最后得到b+的表达式，求出此表达式的值域即可．【解答】解：（I）c=4时，f（x）=）=x2+bx+4，f（x）图象开口向上，对称轴为x=﹣，∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，f（3）=1，即5+b=1，解得b=﹣4．（II）∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，∴即，∴c=﹣8﹣3b．∴△=b2﹣4c=b2+12b+32=（b+6）2﹣4．∵b≥﹣5，∴△≥﹣3．①若△=0，即b=﹣4时，f（x）=0的解为x=﹣=2，符合题意，②若△＜0，即﹣5≤b＜﹣4时，f（x）＞0恒成立，符合题意，③若△＞0，即b＞﹣4时，∵当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，∴，即，无解．综上，﹣5≤b≤﹣4．∴b+=b﹣．令g（b）=b﹣，则g′（b）=1+＞0，∴g（b）在（﹣5，﹣4]上是增函数，∵g（﹣5）=﹣，g（﹣4）=﹣，∴b+的取值范围是[﹣，﹣]．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设．（Ⅰ）若，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B（0，a）两点，根据=，可得M，代入椭圆方程即可得出．（II）若△PF1F2为等腰三角形，P是点F1关于直线l的对称点，可得：|AF1|=|BF1|，即=，可得e=．由，可得M，代入椭圆方程解出即可得出．【解答】解：（I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A即，B （0，a）两点，∵=，∴M，代入椭圆方程可得： +=1，b2=a2﹣c2，化为：（4e2﹣1）2=0，解得e=．（II）若△PF1F2为等腰三角形，P是点F1关于直线l的对称点，∴|PA|=|AF1|，|PB|=|BF1|，|PA|=|PB|，∴|AF1|=|BF1|，∴=，化为：a2=3c2，解得e==．∴=1﹣，解得=．∵，∴M，代入椭圆方程可得： +=1，∴3（λ﹣1）2+=1，化为：（3λ﹣2）2=0，解得．20．设数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*）（I）若a3=，求实数a的值；（Ⅱ）设b n=（n∈N*）．若a=1，求证≤b n＜（n≥2，n∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知得a2a﹣a2=1，解得，由a3=，得=或=2，由此能求出实数a的值．（Ⅱ）由已知得=，由=2，能证明=b2，再用数学归纳法证明b n＜，n≥2．由此能证明≤b n＜（n≥2，n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*），∴a2a﹣a2=1，解得，∵a3=，∴，解得=或=2，由=解得a∈∅，由=2，解得a=1．∴实数a的值为1．（Ⅱ）证明：当a=1时，数列{a n}满足a1=1，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*），∴，∴=2，，=，…∵b n=（n∈N*），∴=，∵a n＞0，∴=2，当且仅当，即a n=1=a1时，取等号，∴=b2，再证b n＜，n≥2．（a）n=2时，，满足．（b）假设当n=k，（k＞2）时有b k＜，等价于，∵，∴k，当n=k+1时，＜=，∴只需证＜．证明如下：∵k＞2，∴k＞，∴9k＞16，∴25k＞16（k+1），∴5＞4，∴＞2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴n=k+1时，成立．综合（a），（b）知b n＜．综上所述：≤b n＜（n≥2，n∈N*）．2018年9月18日。
浙江省台州市2018年高三年级第一次(4月)调考数学试题 word版含答案
(第4题图) 侧视图俯视图 =-+z 限 A B C ABC A B>A B 1613台州市2018年高三年级第一次调考试题数 学 2018.04本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：2=4πS R球的体积公式：34=π3V R ，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{0,1,2,3}=P ，{R |||2}=∈<Q x x ，则=I P QA .{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D .{1}2.若复数(1i)(2i)=-+z （其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设,,A B C 为V ABC 的内角，则“<A B ”是“cos cos >A B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16 B.13C.1D.3 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ,则A.()()>E X E Y ，()()>D X D YB.()()=E X E Y ，()()>D X D YC.()()>E X E Y ，()()=D X D YD.()()=E X E Y ，()()=D X D Y 6.设数列{}{},n n a b 满足700+=n n a b ，172105+=+n n n a a b ，N *∈n ，若6400=a ，则 A.43>a a B.43<b b C.33>a b D.44<a b7.在V ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若222=+a b c ，sin 2cos =C B ，则AB CDMD ′PA.π3=A B.π4=B C.c D.2=c a 8.设实数,x y 满足条件 10,220,220,-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩x y x y x y 若222=--z x y ，则A.z 的最小值为258-B.z 的最小值为3-C.z 的最大值为33D.z 的最大值为6 9.已知单位向量12,u r u r e e ，且1212⋅=-u r u r e e ，若向量r a 满足()()1254-⋅-=r u r ru r a e a e，则||r a的取值范围为A.B.11]22C.1]2D. 10.设()'f x 为函数()f x 的导函数（R ∈x ），且()0<f x ，2()()0'+>f x f x （e 为自然对数的底数），若12<x x ，则A.1221()e ()x x f x f x -<⋅B.2112()e ()x x f x f x -<⋅C.2122221()e ()x x f x f x ->⋅ D.1222212()e()x x f x f x ->⋅非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，共36分。
2018年浙江省台州市高考数学一模试卷
2018年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合P={0, 1, 2, 3}，Q={x∈R||x|<2}，则P∩Q=()A.{0, 1}B.{1, 2}C.{0, 1, 2}D.{1}【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式化简集合Q，根据交集的定义写出P∩Q．【解答】解：集合P={0, 1, 2, 3}，Q={x∈R||x|<2}={x∈R|−2<x<2}，则P∩Q={0, 1}．故选A.2. 若复数z=(1−i)(2+i)（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】z=(1−i)(2+i)=3−i，则z在复平面内对应的点的坐标为：(3, −1)，位于第四象限．3. 设A，B，C为△ABC的内角，则“A<B”是“cosA>cosB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用余弦函数的单调性和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】在三角形中，0<A，B<π．因为y=cosx在(0, π)上为单调减函数，所以若A<B，则cosA>cosB．若cosA>cosB，则A<B．所以，A <B 是cosA >cosB 的充要条件．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16 B.13C.1D.3【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，进而得到答案． 【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S =1×1=1， 高ℎ=1，故体积V =13×1×1=13，5. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ） A.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) B.E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y) C.E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y) D.E(X)=E(Y)，D(X)=D(Y) 【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】推导出X ∼B(5, 47)，Y ∼B(5, 37)，由此得到E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y)．【解答】在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ， 则X ∼B(5, 47)，Y ∼B(5, 37)， E(X)=5×47=207，E(Y)=5×37=157，D(X)=5×47×37=6049，D(Y)=5×37×47=6049，∴ E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y)．6. 设数列{a n }，{b n }满足a n +b n =700，a n+1=710a n +25b n ，n ∈N ∗，若a 6=400，则（ ） A.a 4>a 3 B.b 4<b 3 C.a 3>b 3 D.a 4<b 4【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由题意可得a n+1=310a n +280，可得a n+1−400=310(a n −400)，由a 6=400，可得a n =400，b n =300，即可得到所求结论． 【解答】a n +b n =700，a n+1=710a n +25b n ， 可得b n =700−a n ， 即有a n+1=310a n +280， 可得a n+1−400=310(a n −400)可得a n −400=(a 6−400)⋅(310)n−6=0，即有a n =400，b n =300，则a 4=a 3，b 4=b 3，a 3>b 3，a 4>b 4，7. 在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a 2=b 2+c 2−√3bc ，sinC =2cosB ，则（ ）A.A =π3B.B =π4C.c =√3bD.c =2a 【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 【解析】由已知及余弦定理可得cosA =√32，可得A =π6，利用三角函数恒等变换的应用可求tanB =√3，由B ∈(0, π)，可得B =π3，进而可求C =π2，即可得解c =2a ． 【解答】解：∵ a 2=b 2+c 2−√3bc ， ∴ 由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc =√3bc 2bc=√32， 可得A =π6，∴ sinA =12， ∵ sinC =2cosB ，可得：sin(5π6−B)=2cosB ， 可得：12cosB +√32sinB =2cosB ，∴ tanB =√3，由B ∈(0, π)， 可得：B =π3，C =π2， ∴ c =2a ． 故选D .8. 设实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0x +2y −2≥0x −2y −2≤0，若z =2x 2−y −2，则（ ）A.z 的最小值为−258B.z 的最小值为−3C.z 的最大值为33D.z 的最大值为6 【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，由z =2x 2−y −2可得y =2x 2−2−z ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出z =2x 2−y −2过可行域内的点A 时，从而得到z 值即可 【解答】实数x ，y 满足条件 {x −y +1≥0x +2y −2≥0x −2y −2≤0，作可行域如图，由z =2x 2−y −2可得y =2x 2−2−z ，上下平移y =2x 2−2−z ，当经过点A 时，过可行域内的点A 时，z 最小， 设抛物线y =2x 2−2−z 与直线y =x +1相切于点A ，切点为(x 0, y 0) ∴ y′=4x ， ∴ 4x 0=1，解得x 0=14，代入y =x +1，可得y 0=54， ∴ z =2×116−54−2=−258，9. 已知单位向量e 1→,e 2→，且e 1→∗e 2→=−12，若向量a →满足(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54，则|a →|的取值范围为（ ） A.[√2−√32,√2+√32brackB.[√2−12,√2+12brackC.(0,√2+12brack D.(0,√2+√32brack【答案】 C【考点】平面向量数量积 【解析】根据题意求出|e 1→+e 2→|，把(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54化为|a →|2−|a →|−74≤0，解不等式求出|a →|的取值范围． 【解答】单位向量e 1→,e 2→，且e 1→∗e 2→=−12，c <e 1→，e 2→>=120∘， ∴ |e 1→+e 2→|=√1+1+2×(−12)=1；若向量a →满足(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54， 则a →2−a →⋅(e 1→+e 2→)+e 1→⋅e 2→=54， ∴ |a →|2−−a →⋅(e 1→+e 2→)=74 ∴ |a →|2−|a →|⋅cos <a →e 1→+e 2→>=74 解得12−√2≤|a →|≤12+√2；∴ |a →|的取值范围是(√2−12, √2+12]．10. 设f ′(x)为函数f(x)的导函数(x ∈R)，且f(x)<0，2f ′(x)+f(x)>0（e 为自然对数的底数），若x 1<x 2，则（ ） A.f(x 2)<e x 1−x 2⋅f(x 1) B.f(x 1)<e x 2−x 1⋅f(x 2) C.f 2(x 2)>e x 2−x 12⋅f 2(x 1) D.f 2(x 1)>e x 1−x 22⋅f 2(x 2)【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】设g(x)=e x f 2(x)，判断g(x)的单调性，根据单调性得出结论． 【解答】设g(x)=e x f 2(x)，则g′(x)=e x f 2(x)+e x 2f(x)f′(x)=e x f(x)[f(x)+2f′(x)]<0， ∴ g(x)在R 上单调递减，又x 1<x 2，∴ g(x 1)>g(x 2)，即e x 1f 2(x 1)>e x 2f 2(x 2)，∴ f 2(x 1)>e x 2−x 1f 2(x 2)， 又x 2−x 1>x 1−x 22，∴ ex 2−x 1>ex 1−x 22，∴ ex 2−x 1f 2(x 2)>ex 1−x 22f 2(x 2)，∴ f 2(x 1)>ex 1−x 22f 2(x 2)，二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分；单空题每小题6分．设实数a 满足2a =3，则a =________，log 312−log 36=________（用a 表示）． 【答案】 log 23,1a【考点】对数的运算性质 【解析】直接由对数的运算性质计算得答案． 【解答】∵ 实数a 满足2a =3， ∴ a =log 23；∴ log 312−log 36=log 3(126)=log 32=1a ．抛物线C:y 2=8x 的焦点F 坐标为________，若点P(√3,m)在抛物线C 上，则线段PF 的长度为________． 【答案】 (2, 0),√3+2 【考点】 抛物线的求解 【解析】根据抛物线的方程得出开口方向和焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义得出PF ． 【解答】抛物线方程为y 2=8x ，∴ 抛物线开口向右， ∴ 2p =8，p =4， ∴ p2=0，∴ 抛物线焦点为(2, 0)，抛物线的准线方程为L:x =−2， ∴ 点P 到准线的距离为√3+2， 由抛物线的定义可知PF =√3+2．若函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数，则a =________，函数f(x)的值域为________． 【答案】−1,(−∞, −1)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质【解析】由奇函数的定义可得f(−x)+f(x)=0，解方程可得a，再由指数函数的值域，解不等式可得值域．【解答】函数f(x)=a−22x−1(a∈R)是奇函数，可得f(−x)+f(x)=a−22x−1+a−22−x−1=2a−(22−1+2∗2x1−2)=2a+2=0，解得a=−1，则y=f(x)=−1−22x−1，可得1−2x=21+y，即有2x=y−1y+1>0，解得y>1或y<−1，可得值域为(−∞, −1)∪(1, +∞)，若非负实数x，y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32，则x+2y的最小值为________，√7(x+2y)+2xy的最大值为________．【答案】4,16【考点】基本不等式【解析】第一空，不等式配方是关键，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以(x+2y)2+4x2y2=32≤(x+2y)2+116(x+2y)4，从而由(x+2y)4+16(x+2y)2−32×16≥0，解得x+2y的最小值为4，第二空，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，可以令令√7(x+2y)+2xy=t(t≥0)．整理后关于xy的方程32x2y2−4txy−32×7+t2=0的判别式△≥0，解得t的范围，确定t的最大值为（16）则√7(x+2y)+2xy=t的最大值也为（16）【解答】因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以x2+4y2+4xy=(x+2y)2=32−4x2y2(1)，所以由（2）（3）联立可得：7(32−4x2y2)=(t−2xy)2展开得：32x2y2−4txy−32×7+t2=0因为关于xy的方程必须有解，故方程的判别式△=16t2−4×32×(t2−32×7)≥(0)解得t2≤16×16，因为t2≥0，所以0≤t≤16，所以t的最大值为16则t=√7(x+2y)+2xy，故答案为：√7(x+2y)+2xy的最大值为（16）在(2x−1)2+(2x−1)3+...+(2x−1)8的展开式中，含x2项的系数为________．【答案】64【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项依次写出每一个二项式中含x2的项，则答案可求．【解答】在(2x−1)2+(2x−1)3+...+(2x−1)8的展开式中，含x2项为C20(2x)2−C31(2x)2+C42(2x)2−C53(2x)2+C64(2x)2−C75(2x)2+C86(2x)2，则含x2项的系数为4(1−3+6−10+15−21+28)=(64)若关于x的不等式(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，则实数a的取值范围为________．【答案】(−∞, −1)∪(0, +∞)【考点】函数恒成立问题不等式恒成立的问题【解析】根据余弦函数的性质和二次函数的性质，分类讨论即可求出．【解答】①当a=0时，不等式可化为x<0，此时不等式在(0, +∞)无解，②当a>0时，−a−1<acosx−1<a−1，因为−a−1<−1，a−1>−1，因为y=ax2−x+16a，开口向上，此时在(0, +∞)一定有解，故y=acosx−1<0即可，由于y=acosx−1为周期函数，此时y=acosx−1在(0, +∞)有负解，故(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，③当a<−1时，a−1<acosx−1<−a−1，因为a−1<−1，−a−1>0，而y= ax2−x+16a，开口向下，此时△=1−64a2<0，即ax2−x+16a<0恒成立，故y=acosx−1>0即可，由于y=acosx−1为周期函数，此时y=acosx−1在(0, +∞)有正解，故(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，④当a=−1时，不等式可化为(cosx+1)(x2+x+16)<0，此时无解，acosx−1<0恒成立，⑤当−1<a<0时，a−1<acosx−1<−a−1，因为−2<a−1<−1，−1<−a−1<0，此时acosx−1<0恒成立<0，与y轴的交点16a<0，此时而y=ax2−x+16a，开口向下，对称轴为x=12ay=ax2−x+16a>0，在(0, +∞)一定有解故原不等式在(0, +∞)有解，综上所述a的取值范围为(−∞, −1)∪(0, +∞)，如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，∠ABC=90∘，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD′M，当平面AD′M垂直于平面ABC时，线段PD′长度的最小值为________．【答案】√152【考点】平面与平面垂直【解析】设D′在平面ABCD上的射影为H，根据H到直线AB的最小值及距离公式计算．【解答】解：设D′在平面ABCD上的射影为H，显然当∠AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时D′H=DH=√3，此时，H到直线AB的最小距离为ℎ=12BC=√32，∴PD′的最小距离为√D′H2+ℎ2=√152．故答案为：√152.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期，并写出f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)若将函数y=f(x)图象向右平行移动π8个单位，得到函数y=g(x)的图象，求满足g(x0)≥1的实数x0的集合．【答案】(Ⅰ)f(x)=sinxcosx+cos2x=12sin2x+12(1+cos2x)=12(sin2x+cos2x)+12=√2 2sin(2x+π4)+12，则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，由2x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=π8+kπ2，k∈Z，得f(x)图象的对称轴方程为x=π8+kπ2，k∈Z；(Ⅱ)由题意得g(x)=√22sin(2(x−π8)+π4)+12=√22sin2x+12，由g(x0)≥1得√22sin2x0+12≥1，即sin2x0≥√22，∴π4+2kπ≤2x0≤3π4+2kπ，k∈Z得π8+kπ≤x0≤3π8+kπ，k∈Z即所求实数x0的集合为{x0|π8+kπ≤x0≤3π8+kπ, k∈Z}．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】(Ⅰ)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f(x)的最小正周期，和对称轴方程；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，结合不等式进行求解即可．【解答】(Ⅰ)f(x)=sinxcosx+cos2x=12sin2x+12(1+cos2x)=12(sin2x+cos2x)+12=√2 2sin(2x+π4)+12，则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，由2x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=π8+kπ2，k∈Z，得f(x)图象的对称轴方程为x=π8+kπ2，k∈Z；(Ⅱ)由题意得g(x)=√22sin(2(x−π8)+π4)+12=√22sin2x+12，由g(x0)≥1得√22sin2x0+12≥1，即sin2x0≥√22，∴π4+2kπ≤2x0≤3π4+2kπ，k∈Z得π8+kπ≤x0≤3π8+kπ，k∈Z即所求实数x0的集合为{x0|π8+kπ≤x0≤3π8+kπ, k∈Z}．如图，在三棱锥D−ABC中，CA=CB=√2，DA=DB=√3，AB=2．(Ⅰ)求证：AB⊥CD；(Ⅱ)若顶点D在底面ABC上的射影落在△ABC的内部，当直线AD与底面ABC所成角的正弦值为√216时，求二面角C−AD−B的平面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明：如图，取AB中点E，连接CE，DE，∵CA=CB，DA=DB，∴AB⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AB⊥CD；(Ⅱ)如图，作DO⊥CE于点O，由(Ⅰ)可得平面DEC⊥平面ABC，且交于CE，∴DO⊥平面ABC，∴∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，sin∠DAO=DOAD =√3=√216，即DO=√72，OE=12，∴O为CE的中点．∴DC=DE=√2．过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD，∵CG⊥AD，∴∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，CG=√2−34=√52，在△CDE中，CM=CE∗DODE=1×√72√2=√144．在Rt△CMG中，MG2=CG2−CM2=38，∴MG=√38．则cos∠CGM=GMCG =√38√52=√3010．∴二面角C−AD−B的平面角的余弦值为√3010．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取AB中点E，连接CE，DE，结合已知条件即可得到AB⊥平面DEC，由此能证明AB⊥CD；(Ⅱ)作DO⊥CE于点O，结合(Ⅰ)可得DO⊥平面ABC，则∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，求出DO，OE的值，再过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，则∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，由此可求出二面角C−AD−B的平面角的余弦值．【解答】(Ⅰ)证明：如图，取AB中点E，连接CE，DE，∴AB⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AB⊥CD；(Ⅱ)如图，作DO⊥CE于点O，由(Ⅰ)可得平面DEC⊥平面ABC，且交于CE，∴DO⊥平面ABC，∴∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，sin∠DAO=DOAD =√3=√216，即DO=√72，OE=12，∴O为CE的中点．∴DC=DE=√2．过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD，∵CG⊥AD，∴∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，CG=√2−34=√52，在△CDE中，CM=CE∗DODE=1×√72√2=√144．在Rt△CMG中，MG2=CG2−CM2=38，∴MG=√38．则cos∠CGM=GMCG =√38√52=√3010．∴二面角C−AD−B的平面角的余弦值为√3010．已知函数f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，m∈R．(Ⅰ)若m=2，写出函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若对于任意的x∈[−1, 1]，都有f(x)<4，求m的取值范围．【答案】(Ⅰ)若m=2，则f(x)=2x3−9x2+12x，∵f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)，令f′(x)>0，则x<1或x>2，故函数f(x)的递增区间是(−∞, 1)，(2, +∞)；(Ⅱ)f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，f′(x)=6(x−1)(x−m)，①当m≥1时，f(x)max=f(1)=3m−1<4，故m<53，∴1≤m<53；②当−1<m<1时，f(x)在(−1, m)递增，在(m, 1)递减，f(x)max=f(m)=−m3+3m2<4，即m3−3m2+4>0，(m+1)(m−2)2>0恒成立，∴−1<m<1；③当m≤−1时，f(x)在(−1, 1)递减，f(x)max=f(−1)=−9m−5<4，综上，m的范围是−1<m<53．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值即可．【解答】(Ⅰ)若m=2，则f(x)=2x3−9x2+12x，∵f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)，令f′(x)>0，则x<1或x>2，故函数f(x)的递增区间是(−∞, 1)，(2, +∞)；(Ⅱ)f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，f′(x)=6(x−1)(x−m)，①当m≥1时，f(x)在(−1, 1)递增，f(x)max=f(1)=3m−1<4，故m<53，∴1≤m<53；②当−1<m<1时，f(x)在(−1, m)递增，在(m, 1)递减，f(x)max=f(m)=−m3+3m2<4，即m3−3m2+4>0，(m+1)(m−2)2>0恒成立，∴−1<m<1；③当m≤−1时，f(x)在(−1, 1)递减，f(x)max=f(−1)=−9m−5<4，综上，m的范围是−1<m<53．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,√2)，且离心率为√22．(Ⅰ)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；PB与直线l:x=m（m为常数）分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？【答案】(Ⅰ)由题知：4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得a=2√2，b=2，∴x28+y24=1；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA，PB方程分别为y=k1(x+2√2)，y=k2(x−2√2)，∴M（m, k1(m+2√2)），N（（m, k2(m+2√2)），∴圆的方程为(x−m)2+（y−k1(m+2√2)）⋅（y−k2(m+2√2)）=0，即(x−m)2+y2−（k1(m+2√2)）+k2(m+2√2)）y+k1k2(m2−8)=0，设点P(x0, y0)，则x028+y024=1，即y02=4(1−x028)，∴k1k2=0x+2√2x−2√2=y02x02−8=−12，由y=0，得(x−m)2−12(m2−8)=0，∴(x−m)2=12(m2−8)，当m2−8<0时，即−2√2<m<2√2，方程无实数解，该圆不经过原点，当m2−8≥0时，即m≥2√2或m≤−2√2，m±√2m2−162，即定点为Q(m±√2m2−162, 0)．【考点】椭圆的定义椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意可得4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得即可；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，分别设出直线方程，即可得到圆的方程，根据斜率的关系即可求出k1k2=−12，即可得到(x−m)2=12(m2−8)，分类讨论即可求出．【解答】(Ⅰ)由题知：4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得a=2√2，b=2，∴x28+y24=1；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA，PB方程分别为y=k(x+2√2)，y=k(x−2√2)，∴ 圆的方程为(x −m)2+（y −k 1(m +2√2)）⋅（y −k 2(m +2√2)）=0， 即(x −m)2+y 2−（k 1(m +2√2)）+k 2(m +2√2)）y +k 1k 2(m 2−8)=0， 设点P(x 0, y 0)，则x 028+y 024=1，即y 02=4(1−x 028)，∴ k 1k 2=0x+2√20x−2√2=y 02x 02−8=−12， 由y =0，得(x −m)2−12(m 2−8)=0， ∴ (x −m)2=12(m 2−8)，当m 2−8<0时，即−2√2<m <2√2，方程无实数解，该圆不经过原点， 当m 2−8≥0时，即m ≥2√2或m ≤−2√2，m ±√2m 2−162，即定点为Q(m ±√2m2−162, 0)．在正项数列{a n }中，已知1≤a 1≤11，a n+12=133−12a n ，n ∈N ∗．(Ⅰ)求证：1≤a n ≤11；(Ⅱ)设b n =n(a 2n−1+a 2n )，S n 表示数列{b n }前n 项和，求证：S n ≥6n(n +1)； (Ⅲ)若a 1=8，设c n =a 2n−1−a 2n ，T n 表示数列{c n }前n 项和． (i)比较a n 与7的大小； (ii)求证：T n <13． 【答案】证明：(I)(i)n =1时，1≤a 1≤11； (ii)假设n =k 时，有1≤a k ≤11成立，则n =k +1时，∵ 1≤133−12a k ≤121，∴ 1≤a k+12≤1(21) ∵ a n >0，∴ 1≤a k+1≤11成立． 综上可得：1≤a n ≤(11)(Ⅱ)∵ a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，∵ 1≤a 2n ≤11，∴ a 2n−1+a 2n ≥12，∴ b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，∴ S n =b 1+b 2+……+b n ≥12(1+2+……+n)=12×n(1+n)2=6n(n +1)．∴ S n ≥6n(n +1)．(III)(i)∵ a 1=8，∴ a 22=133−96=37，∴ a 2=√37，∴ a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=133−72−12a n =84−12a n =−12(a n −7)， ∴ (a n+1−7)(a n −7)<0， ∴ a 2n−1>7>a 2n ． a 2n+12=133−12a 2n ，a 2n 2=133−12a 2n−1，∴ a 2n+12−a 2n 2=−12(a 2n −a 2n−1)，即a 2n+12=a 2n 2−12(a 2n −a 2n−1)， ∴ a 2n+12−a 2n−12=a 2n 2−a 2n−12−12(a 2n −a 2n−1)=(a 2n −a 2n−1)(a 2n +a 2n−1−12)<0，同理可得：a 2n 2−a 2n−22=(a 2n−1−a 2n−2)(a 2n−1+a 2n−2−12)>0， 综上可得：数列{a }单调递减，即a >a >(7)=|a 1−7|+|a 2−7|+……+|a 2n −7|， ∵ |a 2n −7||a2n−1−7|=12a 2n+7≤12a 2+7=7+√37<1213，且a 1−7=(1) ∴ T n ≤1+1×1213+……+(1213)2n−1=1−(1213)2n1−1213<11−1213=(13)【考点】 数列的求和数列与不等式的综合 【解析】（I ）利用数学归纳法即可证明．(Ⅱ)由a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，根据1≤a 2n ≤11，可得a 2n−1+a 2n ≥12，b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，利用求和公式等即可证明． (III)(i)由a 1=8，可得a 22=133−96=37，解得a 2，a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=−12(a n −7)，可得(a n+1−7)(a n −7)<0，可得a 2n−1>7>a 2n ．再利用条件可得数列{a 2n−1}与数列{a 2n }的单调性即可得出结论．(ii)T n =c 1+c 2+……+c n =a 1−7+7−a 2+……+a 2n−1−7+7−a 2n =|a 1−7|+|a 2−7|+……+|a 2n −7|，利用|a 2n −7||a2n−1−7|=12a 2n+7≤12a 2+7=7+√37<1213，且a 1−7=(1)再利用求和公式结论得出． 【解答】证明：(I)(i)n =1时，1≤a 1≤11； (ii)假设n =k 时，有1≤a k ≤11成立，则n =k +1时，∵ 1≤133−12a k ≤121，∴ 1≤a k+12≤1(21) ∵ a n >0，∴ 1≤a k+1≤11成立． 综上可得：1≤a n ≤(11)(Ⅱ)∵ a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，∵ 1≤a 2n ≤11，∴ a 2n−1+a 2n ≥12，∴ b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，∴ S n =b 1+b 2+……+b n ≥12(1+2+……+n)=12×n(1+n)2=6n(n +1)．∴ S n ≥6n(n +1)．(III)(i)∵ a 1=8，∴ a 22=133−96=37，∴ a 2=√37，∴ a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=133−72−12a n =84−12a n =−12(a n −7)， ∴ (a n+1−7)(a n −7)<0， ∴ a 2n−1>7>a 2n ． a 2n+12=133−12a 2n ，a 2n 2=133−12a 2n−1，∴ a 2n+12−a 2n 2=−12(a 2n −a 2n−1)，即a 2n+12=a 2n 2−12(a 2n −a 2n−1)， ∴ a 2n+12−a 2n−12=a 2n 2−a 2n−12−12(a 2n −a 2n−1)=(a 2n −a 2n−1)(a 2n +a 2n−1−12)<0，同理可得：a 2n 2−a 2n−22=(a 2n−1−a 2n−2)(a 2n−1+a 2n−2−12)>0， 综上可得：数列{a }单调递减，即a >a >(7)=|a1−7|+|a2−7|+……+|a2n−7|，∵|a2n−7||a2n−1−7|=12a2n+7≤12a2+7=7+√37<1213，且a1−7=(1)∴T n≤1+1×1213+……+(1213)2n−1=1−(1213)2n1−1213<11−1213=(13)。
浙江省台州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．964．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．15．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 26．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M=；P∩S=；C R M=．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有个．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=，S3的所有可能值的集合为．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=﹣2，y=﹣4”的关系即可．解答：解：若“∥”，则满足y=2x，由x=﹣2，y=﹣4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=﹣2，y=﹣4，不是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及正弦定理可解得sinA==，结合A的范围，利用三角形中大边对大角即可求得A的值．解答：解：由已知及正弦定理可得：sinA===，由于：0＜A＜π，可解得：A=或，因为：a=＜b=2，利用三角形中大边对大角可知，A＜B，所以：A=．故选：D．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角知识的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．96考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，AB=2，CD=4，AD=4，棱锥的高为VD=4，则该四棱锥的体积V==16，故选：A点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．4．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．1考点：数列递推式．分析：对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列a n=5n+（）n为递增数列，由此可得a n取最小值时n的值．解答：解：∵a n=5n+（）n，令f（n）=5n+（）n，∴（n＞0），∴数列a n=5n+（）n为递增数列，则当n∈{，，，1}，且a n取最小值时，n的值为．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．5．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 2考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a 有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），可判断F（x）是偶函数，F（x）≥F（0）=1，从而可得a=﹣1．解答：解：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），则F（x）是偶函数，且F（x）在[0，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（0）=1；故方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根时，﹣a=1；故a=﹣1．故选B．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，同时考查了函数的性质的判断，属于基础题．6．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，利用韦达定理求出abc的值．解答：解：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，故1+3=，1×3=，=﹣1，即b=﹣4a、c=3a，代入=﹣1得a=1，∴b=﹣4，c=3，∴abc=﹣12，故选：B．点评：本题主要考查函数图象的应用，重点考查识图的能力．关键是从图象的特点入手，找出函数所要满足的性质．7．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论．解答：解：====，设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（2，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则AD的斜率最大，由，解得，即A（4，3），此时AD的斜率最大，为k=，即k≤，则≥2或＜0，则﹣1≥1或﹣1＜﹣1，0＜≤1或﹣1＜＜0，即0＜≤1或﹣1＜＜0，当y=2时，=0，当x=2，y=0，对应的=，综上﹣1≤≤1，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键．难度较大．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：棱柱的结构特征．专题：数形结合；空间角．分析：根据题意，画出图形，结合图形得出当动点G为长方体的上下两个面的中心时，∠EFG 最大，最大值为90°．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，所以长方体的体对角线BD1=3；设BD1的中点为O，因为E，F是BD1的三等分点，所以OE=OF=，且长方体的高为1；现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，此时EF为直径，所以∠EFG=90°；若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；所以∠EFG的最大值为90°．故选：D．点评：本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目．二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M={x|﹣4＜x＜4}；P∩S={x|0＜x＜5}；C R M={x|x≥4}．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵P={x∈R|x2＜16}={x|﹣4＜x＜4}，M={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，S={x∈R|log5x＜1}={x|0＜x＜5}，则P∪M={x|x＜4}，P∩S={x|0＜x＜4}，C R M={x|x≥4}，故答案为：{x|﹣4＜x＜4}，{x|0＜x＜5}，{x|x≥4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为3；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．解答：解：F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，可得a=3，双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=．故答案为：3；．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为相交，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有4个．考点：直线和圆的方程的应用．专题：解三角形；直线与圆．分析：求出直线AB的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线AB的距离，与半径比较即可判断AB与圆C的关系；求出AB的长，运用三角形的面积公式，求得P到直线AB的距离，即可判断P的个数．解答：解：直线AB的斜率为k==，即有AB：y﹣4=（x﹣3），即为x﹣2y+5=0，圆心C（0，0）到直线AB的距离为=＜5，则直线AB和圆C相交；由于|AB|==2，S△ABP=，则×d=，即有d=，即P到直线AB的距离为，而C到直线AB的距离为＞，且5﹣＞，即有在直线AB的两侧均有两点到直线AB的距离为，则满足条件的P点共有4个．故答案为：相交；4．点评：本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=±3，S3的所有可能值的集合为{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，由a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，可得S3的所有可能值．解答：解：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，因为a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，所以S3的所有可能值为﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，故答案为：±3；{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，即可求出AP+BP+CP的最小值．解答：解：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，∵4+6＞5+，∴AP+BP+CP的最小值为km．故答案为：km．点评：本题考查AP+BP+CP的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为（﹣1，2）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：讨论分段函数的单调性，可得f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由单调性可去掉f，解二次不等式即可得到解集．解答：解：当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1为递减函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4为递减函数，且x=0时，f（0）=3，则f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由f（x）为R上的单调递减函数，可得x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜2．则解集为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性和运用：解不等式，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为[﹣4，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，设出C的坐标，求出，，然后化简，即可求解它的范围．解答：解：如图建立平面直角坐标系：设D（cosθ，sinθ），﹣π≤θ≤π，∠CAB=α，=（a，b），﹣＜α＜，则tanα=，a=2cos2α，b=2cosαsinα，•=（a，b）•（cosθ﹣1，sinθ）=acosθ+bsinθ﹣a=sin（θ+φ）﹣a，其中tanφ==，∴α+φ=，﹣＜φ＜，从而﹣＜θ+φ＜，∴•=sin（θ+φ）﹣a的最大值是：﹣a，最小值是：﹣﹣a，最大值为：﹣a=﹣2cos2α=2cosα﹣2cos2α=﹣2+，当α=时，取最大值；最小值是：﹣﹣a=﹣2cosα﹣2cos2α=﹣+，当α=0时，取最小值﹣4；故答案为：[﹣4，]．点评：本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．考点：基本不等式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：（I）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=，f（A）==1，且A∈（0，π），即可得出．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式即可得出．解答：解：（I）函数f（x）=cosx+sin（x﹣）=cosx+sinx﹣=sinx+=，∵f（A）==1，且A∈（0，π），∴，解得A=．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴1==b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号．≥2，∴的最小值为2．点评：本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．代入数据计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．又CE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，由于∠EGC为二面角C﹣FD﹣E的平面角，即∠EGC=60°，所以在△CEG中，HG=CH=，EH=，HI=CHsin45°=，所以EI=，所以cos∠EIH=．点评：本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）当k=1时，写成直线l的方程，再结合椭圆方程即得点N（0，﹣1），M（，），从而可得S△AMN=；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），结合椭圆方程可得关于x的一元二次方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据根的判别式△及韦达定理及直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，可得（k1+k2）•k=，分2t﹣8=0与2t﹣8≠0两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当k=1时，直线l的方程为y=x﹣1，由得x1=0，即点N（0，﹣1），M（，），所以|AM|=3，S△AMN==；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，则△=16（3k2+1）＞0，及，，由，得（k1+k2）•k=k（+）=k2（+）===若2t﹣8=0，则t=4，（k1+k2）•k=0为定值；当2t﹣8≠0，则t2﹣4=0，（k1+k2）•k=为定值；所以，当t=4时，（k1+k2）•k=0；当t=2时，（k1+k2）•k=﹣1；当t=﹣2时，（k1+k2）•k=﹣．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，利用一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属难题．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）由S n+1﹣S n易得a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，得λ=1．从而a n﹣1=2n，则a n=1+2n；（Ⅱ）（i）作差==即得结论；（ii）由b n==，可知T2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），利用﹣＜﹣==，将其放缩即可．解答：解：（Ⅰ）由S n=2a n+λn﹣4，得S n+1=2a n+1+λ（n+1）﹣4，两式相减得a n+1=2a n+1﹣2a n+λ，即a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，所以，即λ=1．所以a1=3，a1﹣1=2，所以a n﹣1=2n，故数列{a n}的通项公式为：a n=1+2n；（Ⅱ）（i）∵==，又2n，2n+1单调递增，∴数列{}（n∈N+）为单调递减数列；（ii）∵b n==，∴T2n=b1+b2+…+b2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），由（i）得﹣＞﹣，即﹣＞﹣，所以﹣＜﹣==，所以T2n＜（﹣）+（++…+）=（﹣）+＜﹣+=＜．点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．解答：解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，当x=0时，0＞﹣1成立；当x≠0时，a≥，令g（x）=，即有g（x）=，当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．则有g（x）的最大值为．即有a≥，则a的最小值为；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．而f（x）=，（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，b）递减，在（b，+∞）递增．又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，要使方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．则f（）﹣f（b）＞，∀b∈[1，2]，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈[﹣11，﹣5]，g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）max=﹣，即有a＞﹣，当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．即有﹣＜a＜；②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．∀b∈[1，2]，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，当＜3，∀b∈[1，2]恒成立，解得a＞﹣，当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈[1，2]恒成立，取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．所以无解．综上可得，a的取值范围为（﹣，）．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
2018届浙江省台州中学高三模拟考试数学试题(解析版)
2018届浙江省台州中学高三模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集是实数集，或，，则（ ）A. B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N ，应用补集的定义求得集合M ，再结合交集定义求得，从而求得结果.详解：由于，所以，，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果. 2. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：首先根据复数纯虚数的概念，得到实数所满足的关系式，从而求得结果. 详解：因为复数为纯虚数，所以，解得，则实数的值为2，故选A. 点睛：该题考查的是有关复数的概念的问题，涉及到的知识点是有关纯虚数的特征，把握纯虚数的实部为零且虚部不为零时解题的关键. 3. 已知实数满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为，根据三角形的面积公式可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果.4. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C是既不充分也不必要条件，只有D项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.详解：对于A，根据函数的单调性可知，，是充要条件；对于B，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件；对于C，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5. 设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果.详解：不妨设，则，又，解得，则是的最小内角为，所以，所以，化简得，解得，故选D.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的定义，需要利用三角形中大边对大角的结论确定出最小内角，之后利用余弦定理得到对应的等量关系式，结合离心率的式子求得结果.6. 在中，角的对应边分别为，且的面积，且，，则边的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积，所以，所以，由余弦定理得，所以，故选B.7. 当时，，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】D... ... ... ... ... ... ... ...详解：根据得到，而， 所以根据对数函数的单调性可知时，，从而可得，函数单调递增，所以，而，所以有，故选D.点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，从而比较得到，利用函数值的符号，从而可已得到，结合，得到最后的结果.8. 已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，，，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案. 9. 已知正方体的边长为，为边上两动点，且，则下列结论中错误的是（ ）A.B. 三棱锥的体积为定值C. 二面角的大小为定值D. 二面角的大小为定值【答案】C【解析】分析：首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正确，从而选出正确的结果.详解：根据正方体得出，而,所以有，故A正确；因为为定值，故B正确；二面角就是二面角，所以其为定值，故D正确；因为F=B1与E=D1时二面角的大小不同，故C不正确；故选C.点睛：该题考查的是有关正方体的特征，涉及到的知识点有线线垂直的判定，二面角的大小，棱锥的体积问题，要对知识点正确理解和熟练掌握，再者就是需要注意该题要选的是不正确的选项.10. ，若方程无实根，则方程（）A. 有四个相异实根B. 有两个相异实根C. 有一个实根D. 无实数根【答案】D【解析】分析：将函数看成抛物线的方程，由于抛物线的开口向上，由方程无实数根可知，对任意的，，从而得出没有实根.详解：因为抛物线开口向上，由方程无实数根可知，抛物线必在直线上方，即对任意的，，所以方程没有实根，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应的结果，从而得到选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．【答案】(1). (2). 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为0，求出的值，将的值代入通项求出展开式的常数项，令，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的俯视图的面积为__________．该三棱锥的体积为__________．【答案】(1). 1(2). 1【解析】分析：首先根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定该三棱锥的底面三角形的底和高的值，从而应用三角形面积公式求得结果，之后根据正视图和侧视图可以断定三棱锥的高，从而应用棱锥的体积公式求得结果.详解：根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定其底面三角形是底和高分别等于2和1的三角形，从而可以得到其俯视图的面积为，而该三棱锥的高为3，所以其体积，故答案是1；1.点睛：该题考查的是根据几何体的正视图和侧视图研究几何体，需要从题中所给的正视图和侧视图中读出相关的信息，从而判断得出该三棱锥对应的几何体的特征以及相关的量的大小，之后应用相关的公式求得结果.13. 已知数列为等差数列，为的前项和，，若，，则__________．__________．【答案】(1). -12(2).【解析】分析：首先根据题中的条件，结合等差数列的通项公式和求和公式，建立关于其首项与公差所满足的等量关系式，解方程组，求得其值，之后再借助于等差数列的通项公式和求和公式求得相应的结果.详解：设等差数列的公差为，则由已知得：，即，解得，所以，.点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练应用即可求得结果，属于基础题目.14. 若圆关于直线对称，则的最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为，当取最小值时，外接圆的半径为__________．【答案】(1). (2).【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得，之后将其转化为关于b的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径.详解：由可得，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，化简得，则有，所以有的最小值为；根据图形的特征，可知PC最短时，对应的最小，而PC最短时，即为C到直线的距离，即，此时A,B,P,C四点共圆，此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是.点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，注意圆关于直线对称的条件，之后应用代换，转化为关于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析图形，得到什么情况下满足取最值，归纳出外接圆的直径，从而求得半径.15. 由可组成不同的四位数的个数为__________．【答案】【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组中任取两组；iii）从四组中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成个不同的四位数；ii)从四组中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成个不同的四位数，所以此时共有个不同的四位数；iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，注意应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分析对应的条件，从而求得结果，属于常规题目.16. 已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：当且仅当时取等号，即的最小值是3.点睛：该题考查的是有关向量模的最小值问题，应用向量的平方与向量模的平方是相等的，得到关于的关系式，配方求得最小值.17. 已知函数，，均为一次函数，若实数满足，则__________．【答案】【解析】分析：首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定的零点分别是，结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得函数值.详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且的零点分别是，再进一步分析，可知，解得，结合零点以及题中所给的函数解析式，可求得，所以可以求得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关一次函数对应绝对值的问题，在解题的过程中，需要先明确一次式的绝对值的式子的特征，结合分段函数解析式中的分界点，从而可以确定两个一次函数的零点，从而进一步求得三个一次函数的解析式，代入求得函数值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知向量，，函数（1）求图象的对称中心；（2）求在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.【答案】(1)；(2)时，最小值为，时，最大值.【解析】分析：(1)首先利用向量的数量积坐标公式求得函数的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果.(2)根据题中所给的，可以得到，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值.详解：（1）令，得，，所以对称中心为（2）当时，，，且时，最小值为，时，最大值点睛：该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记.19. 已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数，再求出的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.详解：（1），在点处的切线方程为，（2）当时，令，，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.点睛：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.20. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，平面.（1）证明：平面；（2）当长度为多少时，直线与平面所成角的正弦值为.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【解析】分析：（1）首先连接相应的点，利用三角形的中位线，得到对应的平行线，结合线面平行的判定定理，证得线面平行；（2）利用线面角的平面角的定义，先找出线面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形即可求得结果. 详解：解法一：（1）连接交于点，连接，因为分别为中点，所以，平面，平面，所以平面（2）过做垂直于交于点，连接，，，，∴平面，∴面面过作垂直于交于点，连接，∴面，∴即直线与平面所成角设，则，，解得或者，∴或点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题关键是找到对应的平面角.21. 已知曲线，点在曲线上，直线与曲线相交于两点，若满足.（1）求线段中点的轨迹方程；（2）当两点在轴的同一侧时，求线段长度的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】分析：（1）分直线的斜率为0和不为0两种情况说明，将直线的方程与椭圆的方程联立，应用韦达定理，结合题的条件，求得结果；（2）应用弦长公式，结合变量的范围，应用函数的单调性，最后求得结果.详解：（1）当直线的斜率为时，中点的轨迹为（）当直线斜率存在且不为时，设直线的方程为，设为弦的中点设，，，，由，，得得，所以，则中点的轨迹方程为综上，中点的轨迹方程为或（2）由以及消可得， 解得点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理，得到根的关系，需要对直线的斜率为0和不为0来讨论，再者就是应用弦长公式，从函数的角度来处理，注意对应的变量的范围.22. 已知正项数列满足，且，设（1）求证：； （2）求证：； （3）设为数列的前项和，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】分析：(1)应用作差比较法，结合题中所给的条件，进行相应的代换，将差式的符号进行判断，最后求得结果；(2)先应用分析法证得，之后累乘，结合对数的运算性质证得结果；(3)结合第一问的结论，将式子变形，证得结果.详解：（1）∵，，∴ ， ∴（2）猜想 要证，只需证，∵，只需证，只需证，又∵，且，∴，∴累乘法可得，∴∴（3）∵，∴，而∴.。
浙江省台州中学2018届高三上学期第一次统练——数学(
浙江省台州中学2018届高三上学期第一次统练数 学 试 题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中） 1．已知集合,,若,则=( ) A ．3B ．4C ．5D ．62. 计算 A ．2B ．3C ．4D ．103. 已知，则“”是“”成立的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4．已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i ＝( ) A. 5B ．5C. 6D ．65. 设曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6. 中， （分别为角A 、B 、C 的对应边），则的形状为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形7．向量AB →与向量＝(－3,4)夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10) D ．(7，－6) 8. 函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )9. 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825C. 1D .162510．已知函数，其中为非零实数，为两个不相等的正数，且，若为等差数列，则（ ）C. D. 的正负与的正负有关二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11．若函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为，则＝____，＝_____.12. 已知中，角的对边分别为，且满足，其中C 为锐角，，则角_____________，边 . 13. 已知函数（）的一段图象如右图所示，则函数的解析式为 ，= 14. 设点P 是曲线上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为______ ，此曲线关于______成中心对称.15.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 16. 在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点满足向量在向量上的投影为，则点P 的轨迹方程是________________． 17.已知单位向量，且，若，则|))(1(125||)(|t t --+++-的最小值为________________．三．解答题（本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18.（本题满分14分）已知数列11{}1,.21nn n n a a a a a +==+中是等差数列；证明数列}1{)1(na123n1111(2).a a a a +++⋅⋅⋅+求19. （本题满分15分）已知函数(1)求的最小正周期，单调递增区间以及函数图像的对称轴方程； (2),42x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒有成立，求实数的取值范围. 20. （本题满分15分）设函数是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()()2f x f x +=-，当时，.（1）求证：是周期函数; （2）当时，求的解析式; （3）计算()()()()0122017.f f f f ++++21．（本题满分15分）如图，O 为总信号源点，A ，B ，C是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上，OA=10km ，OB=20km ，C 在O 的北偏西45°方向上，CO=5km ．（1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）． ①求w 关于θ的函数表达式； ②求w 的最小值及此时tanθ的值．22. （本题满分15分） 已知函数()ln (0)af x x x a x=+≠.(1) 求的单调区间(2)如果 存在，，使得12()()g x g x M -≥，求满足上述条件的最大整数M ； （3）若对任意,21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11． 13 0 12. ， 13. 32sin(2)4y x π=+； 14. 42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，（0，2） 15. 800 16. x ＋2y -5＝0 17.18.（本题满分14分）(2) 9分2123n1111(2)=1+3+5++21)n n a a a a +++⋅⋅⋅+-=（14分19. （本题满分15分） (1)∵当即即时单调递增，∴的单调递增区间为.对称轴5,212k x k z ππ=+∈ 9分 (2)∵∴∴ 由得 ∴∴即.20. （本题满分15分） (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数，(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4].(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016) ＋f(2 017)＝f(2 016) ＋f(2 017)＝f(0) ＋f(1)＝121．（本题满分15分）解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．， 22.(Ⅰ)递减区间 递增区间，(Ⅱ)12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=M=4 （Ⅲ）=1 任意,21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有成立等价于,()12l n h x x x x=-- ()12ln m x x x x =-- ,()32l n 0m x x =--< 当时当时。
2018年浙江省台州市高考数学一模试卷
2018年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合P={0，1，2，3}，Q={x∈R||x|＜2}，则P∩Q=（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1}2．（4分）若复数z=（1﹣i）（2+i）（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）设A，B，C为△ABC的内角，则“A＜B”是“cosA＞cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．35．（4分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）=E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）D．E（X）=E（Y），D（X）=D（Y）6．（4分）设数列{a n}，{b n}满足a n+b n=700，，n∈N*，若a6=400，则（）A．a4＞a3B．b4＜b3C．a3＞b3D．a4＜b47．（4分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，sinC=2cosB，则（）A．B．C．D．c=2a8．（4分）设实数x，y满足条件，若z=2x2﹣y﹣2，则（）A．z的最小值为B．z的最小值为﹣3C．z的最大值为33 D．z的最大值为69．（4分）已知单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（4分）设f'（x）为函数f（x）的导函数（x∈R），且f（x）＜0，2f'（x）+f （x）＞0（e为自然对数的底数），若x1＜x2，则（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分；单空题每小题6分．11．（6分）设实数a满足2a=3，则a=，log312﹣log36=（用a表示）．12．（6分）抛物线C：y2=8x的焦点F坐标为，若点在抛物线C上，则线段PF的长度为．13．（6分）若函数是奇函数，则a=，函数f（x）的值域为．14．（6分）若非负实数x，y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32，则x+2y的最小值为，的最大值为．15．（4分）在（2x﹣1）2+（2x﹣1）3+…+（2x﹣1）8的展开式中，含x2项的系数为．16．（4分）若关于x的不等式（acosx﹣1）（ax2﹣x+16a）＜0在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为．17．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若将函数y=f（x）图象向右平行移动个单位，得到函数y=g（x）的图象，求满足g（x0）≥1的实数x0的集合．19．（15分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，CA=CB=，DA=DB=，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）若顶点D在底面ABC上的射影落在△ABC的内部，当直线AD与底面ABC 所成角的正弦值为时，求二面角C﹣AD﹣B的平面角的余弦值．20．（15分）已知函数f（x）=2x3﹣3（m+1）x2+6mx，m∈R．（Ⅰ）若m=2，写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈[﹣1，1]，都有f（x）＜4，求m的取值范围．21．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求a，b的值，并写出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：x=m（m为常数）分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？22．（15分）在正项数列{a n}中，已知1≤a1≤11，a n+12=133﹣12a n，n∈N*．（Ⅰ）求证：1≤a n≤11；（Ⅱ）设b n=n（a2n﹣1+a2n），S n表示数列{b n}前n项和，求证：S n≥6n（n+1）；（Ⅲ）若a1=8，设c n=a2n﹣1﹣a2n，T n表示数列{c n}前n项和．（i）比较a n与7的大小；（ii）求证：T n＜13．2018年浙江省台州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合P={0，1，2，3}，Q={x∈R||x|＜2}，则P∩Q=（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1}【分析】解不等式化简集合Q，根据交集的定义写出P∩Q．【解答】解：集合P={0，1，2，3}，Q={x∈R||x|＜2}={x∈R|﹣2＜x＜2}，则P∩Q={0，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（4分）若复数z=（1﹣i）（2+i）（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：z=（1﹣i）（2+i）=3﹣i，则z在复平面内对应的点的坐标为：（3，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（4分）设A，B，C为△ABC的内角，则“A＜B”是“cosA＞cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用余弦函数的单调性和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在三角形中，0＜A，B＜π．因为y=cosx在（0，π）上为单调减函数，所以若A＜B，则cosA＞cosB．若cosA＞cosB，则A＜B．所以，A＜B是cosA＞cosB的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用余弦函数的单调性是解决本题的关键．4．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．3【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=1×1=1，高h=1，故体积V=×1×1=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．5．（4分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）=E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）D．E（X）=E（Y），D（X）=D（Y）【分析】推导出X～B（5，），Y～B（5，），由此得到E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）．【解答】解：在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则X～B（5，），Y～B（5，），E（X）==，E（Y）=5×=，D（X）==，D（Y）==，∴E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的求法及应用，考查二项公布的性质等基础知识，考查对立事件概率计算公式运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（4分）设数列{a n}，{b n}满足a n+b n=700，，n∈N*，若a6=400，则（）A．a4＞a3B．b4＜b3C．a3＞b3D．a4＜b4【分析】由题意可得a n=a n+280，可得a n+1﹣400=（a n﹣400），由a6=400，+1可得a n=400，b n=300，即可得到所求结论．【解答】解：a n+b n=700，，可得b n=700﹣a n，=a n+280，即有a n+1﹣400=（a n﹣400）可得a n+1可得a n﹣400=（a6﹣400）•（）n﹣6=0，即有a n=400，b n=300，则a4=a3，b4=b3，a3＞b3，a4＞b4，故选：C．【点评】本题数列的通项的求法，注意运用构造等比数列法，考查运算能力，属于中档题．7．（4分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，sinC=2cosB，则（）A．B．C．D．c=2a【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，可得A=，利用三角函数恒等变换的应用可求tanB=，由B∈（0，π），可得B=，进而可求C=，即可得解c=2a．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：cosA===，可得A=，∴sinA=，∵sinC=2cosB，可得：sin（﹣B）=2cosB，可得：cosB+sinB=2cosB，∴tanB=，由B∈（0，π），可得：B=，C=，∴c=2a．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（4分）设实数x，y满足条件，若z=2x2﹣y﹣2，则（）A．z的最小值为B．z的最小值为﹣3C．z的最大值为33 D．z的最大值为6【分析】先根据约束条件画出可行域，由z=2x2﹣y﹣2可得y=2x2﹣2﹣z，再利用z的几何意义求最值，只需求出z=2x2﹣y﹣2过可行域内的点A时，从而得到z 值即可【解答】解：实数x，y满足条件，作可行域如图，由z=2x2﹣y﹣2可得y=2x2﹣2﹣z，上下平移y=2x2﹣2﹣z，当经过点A时，过可行域内的点A时，z最小，设抛物线y=2x2﹣2﹣z与直线y=x+1相切于点A，切点为（x0，y0）∴y′=4x，∴4x0=1，解得x0=，代入y=x+1，可得y0=，∴z=2×﹣﹣2=﹣，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了转化的解题思想方法，体现了数形结合的数学思想方法，是中档题．9．（4分）已知单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意求出|+|，把化为﹣||﹣≤0，解不等式求出||的取值范围．【解答】解：单位向量，且，c＜，＞=120°，∴|+|==1；若向量满足，则﹣•（+）+•=，∴||2﹣﹣•（+）=∴||2﹣||•cos＜+＞=解得﹣≤||≤+；∴的取值范围是（﹣，+]．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的模长与夹角的运算问题，是中档题．10．（4分）设f'（x）为函数f（x）的导函数（x∈R），且f（x）＜0，2f'（x）+f （x）＞0（e为自然对数的底数），若x1＜x2，则（）A． B．C．D．【分析】设g（x）=e x f2（x），判断g（x）的单调性，根据单调性得出结论．【解答】解：设g（x）=e x f2（x），则g′（x）=e x f2（x）+e x2f（x）f′（x）=e x f（x）[f（x）+2f′（x）]＜0，∴g（x）在R上单调递减，又x1＜x2，∴g（x1）＞g（x2），即e f2（x1）＞e f2（x2），∴f2（x1）＞e f2（x2），又x2﹣x1＞，∴e＞e，∴e f2（x2）＞e f2（x2），∴f2（x1）＞e f2（x2），故选：D．【点评】本题考查了函数单调性与导数的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分；单空题每小题6分．11．（6分）设实数a满足2a=3，则a=log23，log312﹣log36=（用a表示）．【分析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：∵实数a满足2a=3，∴a=log23；∴log312﹣log36=．故答案为：log23；．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．12．（6分）抛物线C：y2=8x的焦点F坐标为（2，0），若点在抛物线C上，则线段PF的长度为+2．【分析】根据抛物线的方程得出开口方向和焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义得出PF．【解答】解：抛物线方程为y2=8x，∴抛物线开口向右，∴2p=8，p=4，∴=0，∴抛物线焦点为（2，0），抛物线的准线方程为L：x=﹣2，∴点P到准线的距离为，由抛物线的定义可知PF=．故答案为：（2，0），．【点评】本题考查了抛物线的定义，简单性质，属于基础题．13．（6分）若函数是奇函数，则a=﹣1，函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）=0，解方程可得a，再由指数函数的值域，解不等式可得值域．【解答】解：函数是奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=a﹣+a﹣=2a﹣（+）=2a+2=0，解得a=﹣1，则y=f（x）=﹣1﹣，可得1﹣2x=，即有2x=＞0，解得y＞1或y＜﹣1，可得值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和值域的求法，注意运用定义法和指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题．14．（6分）若非负实数x，y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32，则x+2y的最小值为4，的最大值为4+4．【分析】第一空，不等式配方是关键，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以（x+2y）2+4x2y2=32≤（x+2y）2+（x+2y）4，从而由（x+2y）4+16（x+2y）2﹣32×16≥0，解得x+2y的最小值为4，第二空，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32≥4xy+4xy+4x2y2，解得xy的最大值为2．则（x+2y）+2xy的最大值为4+4．【解答】解：因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，即（x+2y）2+4x2y2=32≤（x+2y）2+（x+2y）4，即（x+2y）4+16（x+2y）2﹣32×16≥0，故（x+2y）2≥16，或（x+2y）2≤﹣32（舍）故x+2y≥4，或x+2y≤﹣4（舍）故x+2y的最小值为4，故答案为：4因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以x2+4y2+4xy+4x2y2=32≥4xy+4xy+4x2y2，则x2y2+2xy﹣8≤0，解得﹣4≤xy≤2，所以xy的最大值为2．则（x+2y）+2xy=+2xy=+2xy≤+4=4+4，故答案为：4+4．【点评】考查不等式的解法，配方是关键，运算量比较大，务必要细心，属于中档题．15．（4分）在（2x﹣1）2+（2x﹣1）3+…+（2x﹣1）8的展开式中，含x2项的系数为．【分析】利用二项展开式的通项依次写出每一个二项式中含x2的项，则答案可求．【解答】解：在（2x﹣1）2+（2x﹣1）3+…+（2x﹣1）8的展开式中，含x2项为，则含x2项的系数为4（1﹣3+6﹣10+15﹣21+28）=64．故答案为：64．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．16．（4分）若关于x的不等式（acosx﹣1）（ax2﹣x+16a）＜0在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【分析】根据余弦函数的性质和二次函数的性质，分类讨论即可求出．【解答】解：①当a=0时，不等式可化为x＜0，此时不等式在（0，+∞）无解，②当a＞0时，﹣a﹣1＜acosx﹣1＜a﹣1，因为﹣a﹣1＜﹣1，a﹣1＞﹣1，因为y=ax2﹣x+16a，开口向上，此时在（0，+∞）一定有解，故y=acosx﹣1＜0即可，由于y=acosx﹣1为周期函数，此时y=acosx﹣1在（0，+∞）有负解，故（acosx﹣1）（ax2﹣x+16a）＜0在（0，+∞）上有解，③当a＜﹣1时，a﹣1＜acosx﹣1＜﹣a﹣1，因为a﹣1＜﹣1，﹣a﹣1＞0，而y=ax2﹣x+16a，开口向下，此时△=1﹣64a2＜0，即ax2﹣x+16a＜0恒成立，故y=acosx﹣1＞0即可，由于y=acosx﹣1为周期函数，此时y=acosx﹣1在（0，+∞）有正解，故（acosx﹣1）（ax2﹣x+16a）＜0在（0，+∞）上有解，④当a=﹣1时，不等式可化为（cosx+1）（x2+x+16）＜0，此时无解，acosx﹣1＜0恒成立，⑤当﹣1＜a＜0时，a﹣1＜acosx﹣1＜﹣a﹣1，因为﹣2＜a﹣1＜﹣1，﹣1＜﹣a ﹣1＜0，此时acosx﹣1＜0恒成立而y=ax2﹣x+16a，开口向下，对称轴为x=＜0，与y轴的交点16a＜0，此时y=ax2﹣x+16a＞0，在（0，+∞）一定有解故原不等式在（0，+∞）有解，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【点评】本题考查了不等式恒成立的问题，关键是分类讨论，掌握余弦函数的有解性，属于难题17．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为．【分析】设D′在平面ABCD上的射影为H，根据H到直线AB的最小值及距离公式计算．【解答】解：设D′在平面ABCD上的射影为H，显然当∠AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时D′H=DH=，此时，H到直线AB的最小距离为h=BC=，∴PD′的最小距离为=．故答案为：．【点评】本题考查了空间线面位置关系即空间距离的计算，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若将函数y=f（x）图象向右平行移动个单位，得到函数y=g（x）的图象，求满足g（x0）≥1的实数x0的集合．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期，和对称轴方程；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，结合不等式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，则函数f（x）的最小正周期T==π，由2x+=+kπ，k∈Z，得x=，k∈Z，得f（x）图象的对称轴方程为x=，k∈Z；（Ⅱ）由题意得g（x）=sin（2（x﹣）+）+=sin2x+，由g（x0）≥1得sin2x0+≥1，即sin2x0≥，∴+2kπ≤2x0≤+2kπ，k∈Z得+kπ≤x0≤+kπ，k∈Z即所求实数x0的集合为{x0|+kπ≤x0≤+kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．19．（15分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，CA=CB=，DA=DB=，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）若顶点D在底面ABC上的射影落在△ABC的内部，当直线AD与底面ABC 所成角的正弦值为时，求二面角C﹣AD﹣B的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点E，连接CE，DE，结合已知条件即可得到AB⊥平面DEC，由此能证明AB⊥CD；（Ⅱ）作DO⊥CE于点O，结合（Ⅰ）可得DO⊥平面ABC，则∠DAO为直线AD 与平面ABC所成的角，求出DO，OE的值，再过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，则∠CGM为二面角C﹣AD﹣B的平面角，由此可求出二面角C﹣AD﹣B的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB中点E，连接CE，DE，∵CA=CB，DA=DB，∴CE⊥AB，DE⊥AB，又DE∩CE=E，∴AB⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AB⊥CD；（Ⅱ）解：如图，作DO⊥CE于点O，由（Ⅰ）可得平面DEC⊥平面ABC，且交于CE，∴DO⊥平面ABC，∴∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，=，即DO=，OE=，∴O为CE的中点．∴．过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD，∵CG⊥AD，∴∠CGM为二面角C﹣AD﹣B的平面角，CG=，在△CDE中，．在Rt△CMG中，，∴．则．∴二面角C﹣AD﹣B的平面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=2x3﹣3（m+1）x2+6mx，m∈R．（Ⅰ）若m=2，写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈[﹣1，1]，都有f（x）＜4，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若m=2，则f（x）=2x3﹣9x2+12x，∵f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x2﹣3x+2）=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，则x＜1或x＞2，故函数f（x）的递增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=2x3﹣3（m+1）x2+6mx，f′（x）=6（x﹣1）（x﹣m），①当m≥1时，f（x）在（﹣1，1）递增，f（x）max=f（1）=3m﹣1＜4，故m＜，∴1≤m＜；②当﹣1＜m＜1时，f（x）在（﹣1，m）递增，在（m，1）递减，f（x）max=f（m）=﹣m3+3m2＜4，即m3﹣3m2+4＞0，（m+1）（m﹣2）2＞0恒成立，∴﹣1＜m＜1；③当m＜﹣1时，f（x）在（﹣1，1）递减，f（x）max=f（﹣1）=﹣9m﹣5＜4，综上，m的范围是﹣1＜m＜．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及求函数的最值问题以及求函数的最值问题，是一道中档题．21．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求a，b的值，并写出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：x=m（m为常数）分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？【分析】（Ⅰ）由题意可得+=1，=，a2=b2+c2，解得即可；（Ⅱ）A（﹣2，0），B（2，0），设PA，PB的斜率分别为k1，k2，分别设出直线方程，即可得到圆的方程，根据斜率的关系即可求出k1k2=﹣，即可得到（x﹣m）2=（m2﹣8），分类讨论即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由题知：+=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=2，∴=1；（Ⅱ）A（﹣2，0），B（2，0），设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA，PB方程分别为y=k1（x+2），y=k2（x﹣2），∴M（m，k1（m+2）），N（（m，k2（m+2）），∴圆的方程为（x﹣m）2+（y﹣k1（m+2））•（y﹣k2（m+2））=0，即（x﹣m）2+y2﹣（k1（m+2））+k2（m+2））y+k1k2（m2﹣8）=0，设点P（x0，y0），则+=1，即y02=4（1﹣），∴k1k2=•==﹣，由y=0，得（x﹣m）2﹣（m2﹣8）=0，∴（x﹣m）2=（m2﹣8），当m2﹣8＜0时，即﹣2＜m＜2，方程无实数解，该圆不经过原点，当m2﹣8≥0时，即m≥2或m≤﹣2，m±，即定点为Q（m±，0）．【点评】本题考查了椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，直线的斜率，方程的解，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22．（15分）在正项数列{a n}中，已知1≤a1≤11，a n+12=133﹣12a n，n∈N*．（Ⅰ）求证：1≤a n≤11；（Ⅱ）设b n=n（a2n﹣1+a2n），S n表示数列{b n}前n项和，求证：S n≥6n（n+1）；（Ⅲ）若a1=8，设c n=a2n﹣1﹣a2n，T n表示数列{c n}前n项和．（i）比较a n与7的大小；（ii）求证：T n＜13．【分析】（I）利用数学归纳法即可证明．（Ⅱ）由a2n﹣1+a2n=﹣+a2n +=﹣+，根据1≤a2n≤11，可得a2n﹣1+a2n≥12，b n=n（a2n﹣1+a2n）≥12n，利用求和公式等即可证明．（III）（i）由a1=8，可得=133﹣96=37，解得a2，a1＞7，a2＜7．由﹣72=﹣12（a n﹣7），可得（a n+1﹣7）（a n﹣7）＜0，可得a2n﹣1＞7＞a2n．再利用条件可得数列{a2n﹣1}与数列{a2n}的单调性即可得出结论．（ii）T n=c1+c2+……+c n=a1﹣7+7﹣a2+……+a2n﹣1﹣7+7﹣a2n=|a1﹣7|+|a2﹣7|+……+|a2n﹣7|，利用=≤=＜，且a1﹣7=1．再利用求和公式结论得出．【解答】证明：（I）（i）n=1时，1≤a1≤11；（ii）假设n=k时，有1≤a k≤11成立，则n=k+1时，∵1≤133﹣12a k≤121，∴1≤≤121．∵a n＞0，∴1≤a k+1≤11成立．综上可得：1≤a n≤11．（Ⅱ）∵a2n﹣1+a2n=﹣+a2n +=﹣+，∵1≤a2n≤11，∴a2n﹣1+a2n≥12，∴b n=n（a2n﹣1+a2n）≥12n，∴S n=b1+b2+……+b n≥12（1+2+……+n）=12×=6n（n+1）．∴S n≥6n（n+1）．（III）（i）∵a1=8，∴=133﹣96=37，∴a2=，∴a1＞7，a2＜7．由﹣72=133﹣72﹣12a n=84﹣12a n=﹣12（a n﹣7），∴（a n+1﹣7）（a n﹣7）＜0，∴a2n﹣1＞7＞a2n．=133﹣12a2n ，=133﹣12a2n﹣1，第21页（共22页）第22页（共22页）∴﹣=﹣12（a 2n ﹣a 2n ﹣1），即=﹣12（a 2n ﹣a 2n ﹣1），∴﹣=﹣﹣12（a 2n ﹣a 2n ﹣1）=（a 2n ﹣a 2n ﹣1）（a 2n +a 2n ﹣1﹣12）＜0， 同理可得：﹣=（a 2n ﹣1﹣a 2n ﹣2）（a 2n ﹣1+a 2n ﹣2﹣12）＞0，综上可得：数列{a 2n ﹣1}单调递减，即a 2n ﹣1＞a 2n +1＞7．数列{a 2n }单调递增，即a 2n ＜a 2n +2＜7．（ii ）T n =c 1+c 2+……+c n=a 1﹣7+7﹣a 2+……+a 2n ﹣1﹣7+7﹣a 2n=|a 1﹣7|+|a 2﹣7|+……+|a 2n ﹣7|， ∵=≤=＜，且a 1﹣7=1．∴T n ≤1++……+=＜=13．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、方程与不等式的性质、分类讨论方法、放缩方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省台州市2018年高三年级第一次(4月)调考数学试题
1正视图 (第4题图)11侧视图俯视图 =-+z 限A B C ABC A B >AB 1613台州市2018年高三年级第一次调考试题数 学 2018.04命题：陈 勇(台州一中) 王 强(三门中学)审题：牟洪宇（黄岩二高）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：2=4πS R球的体积公式：34=π3V R ，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{0,1,2,3}=P ，{R |||2}=∈<Q x x ，则=I P QA .{0,1}B .{1,2} C.{0,1,2} D .{1}2.若复数(1i)(2i)=-+z （其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.设,,A B C 为V ABC 的内角，则“<A B ”是“cos cos >A B ”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A .16 B .13C .1D .3 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ,则A .()()>E X E Y ，()()>D X D YB .()()=E X E Y ，()()>D X D YC .()()>E X E Y ，()()=D X D Y D .()()=E X E Y ，()()=D X D Y 6.设数列{}{},n n a b 满足700+=n n a b ，172105+=+n n n a a b ，N *∈n ，若6400=a ，则 A .43>a a B .43<b b C .33>a b D .44<a b7.在V ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223=+-a b c bc ，sin 2cos =C B ，则A .π3=A B .π4=B C .3=c b D .2=c a 8.设实数,x y 满足条件 10,220,220,-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩x y x y x y 若222=--z x y ，则 A .z 的最小值为258-B .z 的最小值为3-C .z 的最大值为33D .z 的最大值为6 9.已知单位向量12,u r u r e e ，且1212⋅=-u r u r e e ，若向量r a 满足()()1254-⋅-=r u r r u r a e a e ，则||r a 的取值范围为A .33[2,2]22-+ B .11[2,2]22-+ C .1(0,2]2+ D .3(0,2]2+ 10.设()'f x 为函数()f x 的导函数（R ∈x ），且()0<f x ，2()()0'+>f x f x （e 为自然对数的底数），若12<x x ，则A .1221()e ()x x f x f x -<⋅B .2112()e ()x x f x f x -<⋅C .2122221()e ()x x f x f x ->⋅ D .1222212()e()x x f x f x ->⋅非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，共36分。
2019年1月台州一模数学及其答案
D． 1 4
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方
H 千里之行 始于足下
E A
F G
D
3
B
C
(第 11 题)
实用文档 用心整理
不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示
又点 E 为 AB 的中点， CE = 1 PB = 5 ．
2
2
8 千里之行 始于足下
实用文档 用心整理
所以 PF = 30 ． 5
……………………………………12 分
又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．
连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB＝2DG．
2
22
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间；
4 千里之行 始于足下
实用文档 用心整理
（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f (B) = 3 ，且 b = 3 ， 2
求 a2 + c2 的取值范围．
19．（本小题满分 15 分）如图，四棱锥 P − ABCD 中，PC 垂 直 平 面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AB∥CD ， PD = AB = 2AD = 2CD = 2 ， E 为 PB 的中点.
A． 28
B． −28
C． −56
D． 56
7．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出
小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1 ；当无放回依次取出两个小 球时，记取出的红球数为ξ2 ，则
2018年1月浙江省学考选考台州市高三上学期期末考试期末考试期末数学试题及参考答案
浙江省学考选考台州市高三上学期期末考试期末考试期末数学试题及参考答案2018.1本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh=其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高球的表面积公式：2=4πS R球的体积公式：34=π3V R ,其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|11}M x x =-≤≤,{|124}xN x =<<,则M N = A.{|10}x x -≤< B.{|01}x x <≤ C.{|12}x x ≤< D.{|12}x x -≤<2.若复数2i ()1i z =-(i 为虚数单位),则||z =A.2B.1C.12D.23.已知α为锐角,且3tan 4α=,则sin 2α=A.35B.45C.1225D.24254.已知R a ∈,则“1a ≤”是“112a a ++-=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列{}n a 满足11a =,*12(N )n n a a n +-≥∈,则 A.21n a n ≥+ B.12n n a -≥ C.2n S n ≥ D.12n n S -≥6.有3位男生,3位女生和1位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是A.144B.216C.288D.4327.已知实数,x y 满足不等式组0,20,30,x x y x y ì³ïïï-?íïï+-?ïïî则22(1)(2)x y -++的取值范围是A.[1,5]B. C.[5,25] D.[5,26]8.已知函数21,0,()3,0,x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩若函数()()(1)g x f x k x =-+在(,1]-∞恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是A.[1,3)B.(1,3]C.[2,3)D.(3,)+∞9.已知m ,n 是两个非零向量,且1m = ,23m n += ,则m n n ++的最大值为510.当[1,4]x ∈时,不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立,则a b +的取值范围是A.[4,8]-B.[2,8]-C.[0,6]D.[4,12] 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。
浙江省台州市2018学年第一学期高三年级期末质量评估试卷数学
台州市2018学年第一学期高三年级期末质量评估试卷数学一.选择题:1.设集合=≤≤-∈==B A x N x B A 则},33|{,}4,3,2,1{A.}4,3,2,1{B.}4,3,2,1,0,1,2,3{---C.}3,2,1{D.}2,1{2.设复数z 满足对应的点位于则复数为虚数单位其中z i i z i ,,2+=⋅ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知公差不为0的等差数列}{n a 满足的值为则项和的前为数列134123,}{,S S n a S a a a n n = A.49 B.49- C.23 D.23- 4.已知实数b a ,满足的取值范围则ab b a ,422=+A.[0,2]B.[-2,0]C.),2[]2,(+∞--∞D.[-2,2]5.设不为1的实数c b a ,,,满足:0>>>c b a ,则A.b b a c log log >B.c b a a log log >C.c a b b >D.b b c a >6.在的展开式中常数项为43)12(xx -x + A.28 B.-28 C.-56 D.567. 一个袋中放有大小.形状均相同的小球,其中红球1个,黑球2个,现随机等可能的取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数1ξ,当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为2ξ,则A.2121D ,ξξξξD E E <<B.2121D ,ξξξξD E E >=C.2121D ,ξξξξD E E <=D.2121D ,ξξξξD E E >>8.设上的点，的一条渐近线为双曲线点的左右焦点为双曲线ｌC P by a x F F ,1,222221=- 记直线21,,PF l PF 的斜率分别为21,,k k k ,若,21的垂直轴对称的直线与关于PF x PF则双曲线的离心率为成等比数列且,,2,21k k k A.26 B.25 C.5 D.29.已知函数的取值范围是则实数的最小值为a a x x a x y ,]3[0,,cos sin π∈+= A.]3[0. B.]3,3[- C.]3,(-∞ D.]33,(-∞第11题图10.如图,在矩形,,,,1,2,在翻折过程中翻折沿将中点为中DM ADM AB M AD AB ABCD ∆==当二面角:,其正切值为的平面角最大时D BC A --A33 B.21 C.32 D.41二.填空题11.我国古代数学著作《九章算术》中记载:”今有邑方不知大小,各中开门,出北门三十步有木,出西门七百五十步有木,问邑方几何?”示意图如右图,正方形ABCD 中,F,G 分别为AD 和AB 的中点,若EF ⊥AD,EF=30,GH ⊥AB,GH=740,且EH 这点A,则正方形ABCD 的边长为________ =⎩⎨⎧≥-+<+=)2(0,10,3)(.122f x x x x x x f 则已知_______不等式的解集为)1()(f x f >________ 13.⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤-01040,x y x y x y x 满足条件已知,则y x +2的最大值是______原点到点P )(x,y 的距离的最小值为______14.小明口袋中3张10元,3张20元(因纸币有编号,认定每张纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有___种,若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回的抽出4张,刚好是50元的概率为______15.已知某多面体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱长和为____其体积为_____16.若函数的最小值为则上有零点在b a b x a x x f 3,[-1,1])31()(22-+++=_____ 17.设圆O O B A P O O ⋅则上圆分别在圆点若切点为且相外切的半径都为圆,,,,,,1,2121的最大值为________正视图侧视图俯视图三.解答题: 18.)2cos 2sin 3(2sin )(x x x x f +=已知函数 (1)的单调递增区间求函数)(x f (2)的取值范围求且若所对的边分别为中的内角设223,23)(,,,,c a b B f c b a C B A ABC +==∆19.如图,四棱锥222,//,,,====⊥⊥-CD AD AB PD CD AB AD AB ABCD PC ABCDk P 平面, 中点为PB E(1)PBC EAC 平面平面证明⊥:(2)所成角的正弦值与平面求直线AEC PD20.在数列n n n n a a a N n a a a 23,3,1,}{12*21-=∈==++都有且对任意的中(1)证明数列的通项公式并求是等比数列}{,}{1n n n a a a -+ (2),1,}{,2*n 1m a S N n S n b a a b nn n n n n n +≥∈=+都有若对任意项和为的前记数列设 的取值范围求实数m21.设点P 为抛物线外一点x y =Γ2:,过点P 作抛物线Γ的两条切线PA,PB,切点分别为A,B(1)若点P 为(-1,0),求直线AB 的方程(2)若点P 为圆.,,,1)2(2122k k PB PA y x 的斜率分别为记两切线上的点=++求的取值范围|11|21k k -22.设函数R x x x x f ∈-=,41)(34 (1)求函数处的切线方程在1)(=x x f(2)的最大值求实数恒成立不等式若对任意的实数a x a x f x ,2)(,-≥(3),)(,,0根有且只有两个不同的实的方程关于若对任意的实数设m kx x f x k m +=≠ 的取值范围求实数m。
台州市达标名校2018年高考一月质量检测数学试题含解析
台州市达标名校2018年高考一月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅2．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．543．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,54．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]5．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．96．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-7．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．28．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ） A ．23+B．1C．2+D ．69．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．3132610．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．111．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．312．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 31B 31C 132D ．132-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三数学第一次联考试卷
… …【命题报告】 本套试卷严格依据最新《考试大纲》的各项要求编写，融入新课程改革的理念，注重双基和能力并举，强化对考生个性品质的要求，从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次、多角度、多视点地考查考生的数学素养和学习潜能。
试题全面考查了考生的思维、运算、空间想象能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力：在知识“交汇点”处命题，如第(6)、(11)、(12)、(16)、(19)、(22)等题，涉及数列、函数、解析几何及分类讨论等多项知识和方法；多种解法的试题，如第(3)、(8)、(9)、(10)、(19)、(20)题等；开放性问题，如第(9) 、(12)、(14)、(15) 、(22)等题；重视数学应用，考查应用意识，第(4)题(文)以药剂配置为热点、第(9)题以矩阵运算为新课标热点、第(16)题以三视图应用考查, 注重了新课标知识的渗透.命题过程中也注重了高考和竞赛的交汇性的具体表现，道实际应用性问题，涉及日常生活常见的数学模型，体现了命题的公平性原则．建构了立体几何的预测题，这类问题是高考的风向标．第２２题是用新定义型的一个开放题，属于高考新题的新热点．绝密★启用前2018届高三第一次联考数 学 试 卷试卷总分：150分 考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，V =34πR 3 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k )= C k n P k (1－P )n－k第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将密封线内的内容填写完整.2.每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔将答案填写在第Ⅱ卷卷头处.3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1. 已知集合{|0A x x x =≤≤∈Z }，则集合{|2,}B x x a a A ==∈，则 ( ) A ．A B A = B ．A B ⊃≠ AC ．A B B =D ．A B ⊂≠A 2. (理)函数22, (1),()0,(1),ax x x f x x ⎧->=⎨≤⎩在),(+∞-∞上处处连续，则常数a 等于( )A. 0B. 2C. -2D. 1(文) 关于x 的方程2x =a a -+21只有正实数的解，则a 的取值范围是( ) A. -1<a <2 B. 21<a <2 C. -2<a <1 D. 2a >或12a <3. 右面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学鍵，按图中结构第n 个图有化学键( )A. 6n 个B. 42n +个C. 51n -个D. 51n +个4. (理) 复数2(2)(1)12i i i++-的值是 （ ）A ．2B ．2-C ．2i (文) 配置A 、B 两种药剂都需要甲、乙两种原料， 用料要求如右表所示（单位：千克）: 药剂A 、B 至少各配一剂，且药剂A 、B 每剂售价分别为1百元、2百元.现有原料甲20千克，原料乙26千克，那么可以获得的最大销售额为（ ）A ．6百元B ．7百元C ．8百元5. 7)1(xx -展开式的第四项等于7，则x 等于（ ） A. -5 B. 51- C. 51D. 56. 设点P 是曲线31y x =+ (11x -<<)上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．2[0,)[,)23πππ B ．5[0,)[,)26πππ C ．2[,)3ππ D． 5(,]26ππ7. 如图, 一直角梯形ABCD ，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，AB=2，BC =3，CD =1，E 为AD 中点，沿CE 、BE 把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D 重合，则这三棱锥的体积等于( )A. 12B. 16C. 12D. 68.(理) 已知某车站每天8：00—9：00客车A 可能在8：10、8：30、8：50到站，其概率依次为31,21,61,甲乘客到站的时间为8：00, 则他候车时间的数学期望值为( )A ．1003B ．503C ．53D ． 15(文) 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人都射击一次，则他们中有人中靶的概率是 （ ） A ．99% B ．94% C ．56% D ．38% 9. 对2×2数表定义平方运算如下：222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cd bc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． 则2sin cos cos sin αααα-⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A. 1001⎛⎫⎪⎝⎭B. 1cos2cos21αα⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1cos2cos21αα⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1sin 2cos 21αα-⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知数列{}n a 是公比1≠q 的等比数列，则在①{}1++n n a a 、②{}n n a a -+1、③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a 、④{}n na , 这四个数列中，是等比数列的为 ( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ① D. ②③AC11.双曲线222006x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 （ ）A ． 36π B ．18π C ． 12π D ．无法确定12.某人从A 地出发去B 、C 、D 、E 四地各一次，最后返回A 地.已知各地之间的路费如下A.100B.130C.135D.140第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.3.本卷共10小题，共90分.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.若(cos sin ,2006),(cos sin ,1)m n αααα=+=-， 且m ∥n ,则1tan 2cos 2αα+= .14.两位同学去某大学参加自主招生考试，右图是学校 负责人与两位同学的对话, 由此可推断出此次参加考 试的人数为 .15. 把曲线1|||3|:123x y C --=按向量a 平移得到 曲线2|1|||:123x y C +-=,并且a b ⊥, 又(1,1)c =- ， 且4b c ⋅=, 则b =16. 如图是电视广告中出现的一个魔方，魔方由27个单位小立方体组成，把魔方的中间一层EE 1G 1-FF 1H 1转动α°后，则魔方的表面积最大值是 . 三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边， 若22sin )()sin ,A C a b B -=-且ABC ∆的外接圆的半径为2.（Ⅰ）求角C ;（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值.(理)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出蓝球则不再取球. 求（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；（Ⅱ）正好取到2个白球的概率；（Ⅲ）取球次数的分布列和数学期望.(文) 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出蓝球则不再取球. 求（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；（Ⅱ）正好取到2个白球的概率.19.（本小题满分12分）(理)已知f (x)为二次函数，且f (－5)＝f (7)，f' (5)＞0，若对任意实数t，f (t2－2t sinα＋2)≥f (2－cosα)恒成立，求α的取值范围．(文)已知f (x)为二次函数，且f (－5)＝f (7)，f' (5)＞0，若对任意实数t，f (t2－2mt＋2m2+2)≥f (－1)恒成立，求a的取值范围．在三棱锥ABC P -中，,45,2,︒=∠=∠===PAC PAB a AC AB a PA cos32=∠BPC . (Ⅰ)D 是AB 上任意一点（D 与A 、B 不重合），PB DE ⊥于E ，求征//AP 平面DEC ；(理)(Ⅱ)在(Ⅰ)中，若D 是AB 的中点，求cos ,.CD BE <>(文)(Ⅱ)在(Ⅰ)中，若D 是AB 的中点，求平面PAC 与平面DEC 所成二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）设函数244)(+=x xx f 上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 若121()2OP OP OP =+,且P 点横坐标为12. (Ⅰ)求证: P 点纵坐标为定值,并求出这个定值; (Ⅱ)若*1()()nn i i S f n N n ==∈∑,求n S ; (Ⅲ)记n T 为数列1111()()66n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭的前n 项和,若21()6n n T k S +<-对一切*n N ∈都成立,求实数k 的求值范围.设R x ,x ∈21,常数a ＞0,定义运算“⊕：22121)(x x x x +=⊕”；“○-：1x ○-2212)(x x x -=”. (Ⅰ)若x ≥0,求动点P ( x , [(x ⊕a )-(x ○-a )]12)的轨迹C 的方程； (Ⅱ)已知直线l : y =12x +1与（1）中的轨迹C 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，若[(x 1○-x 2)+( y 1○-y 2)]12= 8 5 ,试求a 的值； (Ⅲ)P(x ,y )是平面上任意一点,定义d 1(P)={12[(x ⊕y )+(x ○-y )]}12 ,d 2(P)= (x ○-a )12,在轨迹C 上是否存在两点A 1,A 2,使其满足d 1(A k )=ad 2(A k )(k=1,2),若存在，请求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.4326x y += 2520x y +=数学参考答案与解析1. D 解析:{|0A x x x =≤∈Z }={0,1,2} , {|2,}{0,2,4}B x x a a A ==∈=,{0,2}A B ⊂=≠ A .故应选D.评析:本题考查集合的运算及元素的特征,属基础题.2. (理)B 解析: 1(1)0lim ()2x f f x a →===-, 解得2a =, 故应选B.(文) B 解析: 由已知可得2x =a a -+21>1, 解得21<a <2 , 故应选B. 评析:理科题考查分段函数的边续性,文科题考查函数的有界性及不等式的求解,属于高考新考纲变化部分的范畴.3. D 解析: 每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有51n +个化学键．评析:本题是一道学科综合题,考查等差数列的通项公式的求解及不完全归纳的数学能力,属基础题.4. (理)B 解析:2(2)(1)(2)2(24)(12)1021212(12)(12)5i i i i i i i i i i +++⋅-++-====----+,故应选B.(文)C 解析: 设配药剂A x 千克, 设配药剂2520,4326,1,,1,.x y x y x x N y y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩且且 目标函数为2z x y =+, 作出可行域如右图所示,可得点M(5,2)为 目标函数2z x y =+取最大值的最优解, 即5229z =+⨯=最大值百元,故应选D.评析:本题文理分开,理科考查复数知识,文科考查线性规划知识,该类问题在高考中属于基础题范畴.5. B 解析:3433711(3575T C x x x x=-=-=⇒=-, 故应选B. 评析:本题简单考查二项式的通过公式,考查方程思想的应用.6.C 解析:∵2y ' (11x-<<), ∴0y '<< , 即得tan 0α<, ∴α∈2[,)3ππ, 故应选C. 评析:本题考查导数知识,属于直线、函数值域与导数知识的交汇,具有一定的综合性. 7. C 解析：折叠后EA ⊥BA , EA ⊥AC , 得EA ⊥平面AB C , 又由AB =2，BC =3，CD =1得2AE==且ABC∆为直角三角形, 则有13E A BV A B C AE-=∆⋅116132212=⨯⨯=．评析:本题考查立体几何中的折叠问题,考查折叠过程中变量与不变量的探索,考查空间想象能力及分析问题与解决问题的能力.8. (理)A解析:设甲乘客的候车时间分别为ξ分钟，则他的分布列为：易知33502306110=⨯+⨯+⨯=ξE,故应选A.(文)C解析: 记A={甲中靶}，B={乙中靶}，C={中靶}，则P(A)=108，P(B)=107．所求概率P(C)=)(ABBABAP++)()()()()()(BPAPBPAPBPAP++=1071081071081()1071(108⨯+⨯-+-⨯=10094=．故选B．评析:本题考查概率问题的求解,近几年概率问题的背景逐渐生活化,求解的关键在于抽象出具体的概率模型,考查实际应用与建模能力.9. A 解析:22222sin cos sin cos sin cos sin coscos sin sin cos sin cos cos sinαααααααααααααααα-⎛⎫+-+⎛⎫= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭=1001⎛⎫⎪⎝⎭.故应选A.评析:本题为矩阵的运算考查,属新课标知识的渗透考察,其定义式给出后,在此背景下的考查,为新定义问题,其属于运算法则的新定义考查,同时也考查了三角函数的基本公式.10. D 解析：设11-=nnqaa则①111121111n nn nn nn na a a q a qqa a a q a q-+---++==++(1q≠-).所以①不正确.; ②qqaqaqaqaaaaannnnnnnn=--=------+211111111, {}nnaa-∴+1为等比数列; ③111=-+nnnnaaaa ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴+1nnaa为等比数列; ④)1()1(1-⋅=--nqnannann,则{}n an⋅不是等比数列,故选D．评析:本题属于一道数列开放题,考查逻辑推导与思维的严密性,是一道综合性较高的考题. 11. C 解析: 设),(yxP，不妨设0>y，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则,tan 1a x yH PA +=∠ ax y H PA -=∠2tan （ 其中22006a =）∴1tan tan 22221=-=∠⋅∠ax y H PA H PA ，∴221π=∠+∠H PA H PA ， 设 12PA A θ∠= ， 则25PA H θ∠=，∴52πθθ+=，∴12πθ=，即1221π=∠A PA ， 故选C ．评析:本题考查双曲线综合问题,对于此类问题，在解决过程中要注意充分地使用已知条件，寻找其中的隐含条件，利用其中的角间的关系，尤其是涉及到有关直线问题时，常常要注意考虑对应直线的斜率情况.12. B 解析：将两个地区之间的旅费标在这两个地区间的连线上， 路线A →B →E →D →C →A ，或A →C →D →E →B →A.共需路费 130元，可证明这就是最省钱的路线.评析:本题考查排列组合最优化问题的选择问题,属于图表信息题, 从图表的分析中提取出重要的信息,将数据信息重新整合,巧妙地 找出问题的结论.13. 2006 解析：由m ∥n 可得cos sin 2006cos sin αααα+=-, 1tan 2cos 2αα+=1sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2ααααα++=222(sin cos )cos sin cos sin cos sin αααααααα++===--2006. 评析:本题考查向量与三角的综合运算,考查向量的平行的充要条件及三角倍角公式与化简的应用,是高考考查的一个重要方向.14. 20解析：设参加考试的人数为n 人,则两个同时被招进来的概率32512019n n C P n C -==⇒=. 评析:本题是一道逆向考查概率实际应用的概率问题,本题以一个图片,一个段对话入手,提示了概率在生活中的应用.15. （3,-1） 解析: 设(,)a h k =, 则曲线1|||3|:123x y C --=按向量a 平移得2|||3|:123x h y k C ----=,即为2|1|||:123x y C +-=, 所以得(1,3)a =-- .设(,)b x y = ,则有30,3,4,1.x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩即b =16. 36（3－22），解析;由正方形的对称性， α最大的实际变更角为45°，α∈[0，45°]，在正方形的顶点处，设α的对边为x ，∴3=x+αsin x +αtan x ，x=1cos sin sin 3++ααα， ∴增加的面积为S=4×2×αtan 2x =2)1cos (sin cos sin 72++αααα，故把魔方的中间一层转动α后，转动后魔方的表面积为54+2)1cos (sin cos sin 72++αααα；令t=sin α+cos α∈[1，2]，S=22)1()1(36+-t t =36－172+t , 当t=2，即α=45°时，S 达到最大，最大值为36（3－22）， 评析：此题设计灵感来自于电视广告中的动画，检测考生的数学建模能力与三角变换能力，此题是来源于新课标立体几何三视图题型变化而来.从数学应用题设计的角度考查空间想象与实际应用能力.17. 解析：（I ）222,sin )()sin (sin 2222=-=-R B b a C A 又，由正弦定理得：222222222[()()](),222a c b a b a c ab b a b c ab R R R -=-∴-=-+-= 3分 由余弦定理得：30,21cos ,cos 2ππ=∴<<∴=∴=C C C ab C ab 6分 （II ）B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π )]cos()[cos(3B A B A --+-= 9分 时故当3,1)cos()cos(32332ππ===--+=∴=+B A B A B A S B A ， 223323max =+=S 12分 法2：B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π 4分 )sin 32cos cos 32(sin sin 32)32sin(sin 32A A A A A πππ-=-= =)sin cos sin 3(3)sin 21cos 23(sin 322A A A A A A +=+ 23)cos 212sin 23(3)]2cos 1(212sin 23[3+-=-+=A A A A 2333323)62sin(3=+≤+-=πA 10分 当max 2,,623A A S πππ-==时即时 12分 评析:本题考查三角基本知识,正弦定理与余弦定理有应用考察中边角变换及三角变换是一个难点,另外正余弦定理的选择应用也是解题策略中易出现盲点的问题.18. 解析：(理)（Ⅰ）设取球次数为1ξ，则()()1118221111110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=所以最多取两次的概率14952525P =+= 4分 （Ⅱ）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯= 8分 （Ⅲ）设取球次数为ξ，则()()218241,2105101025P P ξξ=====⨯= ()88281631010101025P ξ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，则分布列为取球次数的数学期望为1235252525E ξ=⨯+⨯+⨯= 12分 (文)（Ⅰ）设取球次数为1ξ，则 ()()1118221111110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯= 所以最多取两次的概率14952525P =+= 6分 （Ⅱ）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯= 12分 评析:本题是一道常见的概率题，考察考生分析问题解决问题的能力，其命题情境为常见的有放回取球概率模型.19. (理)解析：∵f (x )为二次函数f (－5)＝f (7)，作y ＝f (x )的图象可知，则f (x )的对称轴为x ＝1．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则－b 2a＝1，∴b ＝－2a ， 3分 ∴f ' (x )＝2ax －2a ，∴f ' (5)＝8a ＞0，∴a ＞0．∴f (x )在[1, ＋∞)上递增． 5分 而t 2－2t sin α＋2＝(t －sin α)2＋2－sin 2α≥2－sin 2α≥1，且2－cos α≥1． 6分 ∴f (t 2－2t sin α＋2)≥f (2－cos α)⇔t 2－2t sin α＋2≥2－cos α⇔t 2－2t sin α＋cos α≥0.于是问题等价于t 2－2t sin α＋cos α≥0对任意实数t 恒成立， 8分 ∴△＝4sin 2α－4cos α≤0，即cos 2α＋ cos α－1≥0，解得cos α≥－1＋52或cos α≤－1－52(舍)， 10分 ∴2k π－arccos 5－12≤α≤2k π＋arccos 5－12(k ∈Z )． 11分 故所求的取值范围为2k π－arccos5－12≤α≤2k π＋arccos 5－12(k ∈Z )． 12分 (文)解析：∵f (x )为二次函数且f (－5)＝f (7)，则f (x)的对称轴为x ＝1．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，∴f (－1)＝f (3). 4分 ∴f ' (x )＝2ax －2a ，∴f ' (5)＝8a ＞0，∴a ＞0．∴f (x )在[1, ＋∞)上递增． 6分 而t 2－2mt ＋2m 2+2＝(t －m )2＋m 2+2≥2>1． 8分 ∴f (t 2－2mt ＋2m 2+2)≥f (3)⇔ t 2－2mt ＋2m 2+2≥3⇔t 2－2mt ＋2m 2―1≥0.于是问题等价于t 2－2mt ＋2m 2―1≥0对任意实数t 恒成立， 10分 ∴△＝4m 2－4(2m 2―1)≤0，即1－m 2≤0，解得m ≥1，或m ≤―1故所求的取值范围为 m ≥1，或m ≤―1． 12分 评析;本题以二次函数导数为入口,综合了三个二次问题,将不等式的恒成立问题与导数知识巧妙结合,理科题三角有界性讨论,文科题二次函数字母讨论,分类标准是整个问题的关键,等价转化是问题解决的手段.20. 解析（Ⅰ）证明:在PAB ∆中,,45,2,︒=∠==PAB a AB a AP.a a a a a PAB cos AB AP AB AP PB 222222212222=⋅⋅-+=∠⋅-+=∴ .22222AB a PB AP ==+∴ A P B ∆∴是直角三角形,且.PB AP ⊥又AP 、DE 都在平面PAB 内，且,PB DE ⊥AP ∴//DE ，故AP //平面.DEC 4分 （理）(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系.由已知,得A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,,0(a A 、)35,0,32(a a B 、).0,0,(a C 7分2(,,0),(,).3AC a a AB a a ∴=-=- 但1(,),232a a AC AB ==-2(,),32a CD AD AC a =-=- 9分 D 是AB 的中点，DE //AP.BE ,CD cos >=<∴22222)65()3()65()2()32()65(6502)3(32a a a a a a a a a a -+-⋅++--⨯+⨯+-⨯-.30302163036592222=⨯-a a a 12分 (文)（Ⅱ）在PAC ∆中，同（Ⅰ）理，得,PC AP ⊥而,P PB PC =⊥∴AP 平面PBC . 6分 又 平面PAC 与平面DEC 有一公共点C ，且AP //平面DEC ，设平面PAC 平面,DEC 1=则,l C ∈且AP ∥l . ⊥∴l 平面PBC 于C .,,l CE l PC ⊥⊥∴从而PCE ∠即为所求二面角E l P --的平面角. 8分 在Rt PAC ∆中，,45︒=∠PAC 故,a PC PA ==同时.a PB =又D 是AB 的中点，DE //,AP 则E 是PB 的中点，从而.21a PE =在PEC ∆中，,a PE ,a PC ,BPC s 213210===∠ .a a a a a BPC cos PC PE PC PE EC 22222212732212412=⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=∴ .127a EC =∴ 10分 .a a a a a EC PC PE EC PC PCE cos 212141272411272222222=⨯-+=⋅-+=∠∴ 故所求二面角的余弦值为.21214 12分 评析:本题考查立体几何空间结构的考查,9(A)与9(B)区别考查,其几何题为常考的三棱锥,其中理科建立空间直角坐标系,需要注意灵活选择.21. 解析：（Ⅰ）设P 点的纵坐标为P y ，因为121()2OP OP OP =+，所以P 是1P 2P 的中点，即12122x x +=，121x x +=，因为12y y +=12124414242x x x x +=++，所以1.2P y = 4分（Ⅱ）由（1）知，当121x x +=时，12y y +=1，又因为1i n i n n-+=，所以121()()()()n n n S f f f f n n n n-=++++ 1221()()()()()n n n n S f f f f f n n n n n--=+++++ ， 即， 1122112[()()][()()][()()]2()n n n n n S f f f f f f f n n n n n n n---=+++++++ ， 所以126n n S =+; 8分 (Ⅲ) 因为114114()11(1)1()()66n n n n n n S S +==-++--， 所以11111114(1...)223341n T n n =-+-+-+-+41n n =+, 9分 因为21262n n S ++-=，要使21()6n n T k S +<-对一切*n N ∈都成立,即求288(1)(2)32n n k n n n n >=++++823n n =++恒成立，令8()23g n n n=++， 即求8()23g n n n =++的最大值，易知8()23g x x x=++在)+∞上单调递增，在上单调递减，并且当4(1)(2)3g g ==，所以实数k 的取值范围为4.3k > 12分 评析:本题主要考查向量、函数、数列、不等式的相关知识和计算能力.本题以函数为载体,将数列与不等式等数学模型依次编入其中,是对高考考查的一个导向.22. 解析: (Ⅰ)设P(u,v ),则⎩⎨⎧u=x v=(x+a)2-(x-a)2 (x ≥0)∴v 2=4au ,故所求轨迹C 的方程为y 2=4ax (x ≥0,y ≥0). 4分 （Ⅱ）由⎩⎨⎧y = 12x +1y 2 = 4ax得04)164(2=+-+x a x ，由⊿＞0得a ＞12 ， 6分 由根与系数关系得 x 1+x 2=16a-4, x 1x 2 =4,y 1+y 2=8a,y 1y 2=8a.由[(x 1○-x 2)+( y 1○-y 2)]12 = 8 5 得(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =8 5 , 即2a 2-a -2=0,∴a = 1+17 4 , a = 1-17 4(舍去) 8分 （Ⅲ）设C 上存在两点A 1(x 1,y 1),A 2(x 2,y 2)满足：)2,1)(()(21==i A d a A d i i ,则有 a x a y x i i i -=+22，即 22)(4a x a ax x i i i -=+， 10分 所以21x ,x 是方程0)2(2)1(322=++--a x a a x a 的两根，且2121,0,0x x x x ≠≥≥， 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-+=+>--+=∆0101)2(20)1(4)2(4321221322a a x x a a a x x a a a a 解得 1>a ， 12分 所以，当a ＞1时，存在满足条件的两点；当0＜a ≤1时，不存在满足条件的两点. 14分评析:本题是以信息题为背景，考察学生对信息的理解,同时考查了学生对函数和曲线轨迹问题的处理,其中新定义的运算法则,是作为高考热点考查的一个猜想.。
2018-2019学年浙江省台州一中、天台中学高三(上)期中数学试卷及答案
2018-2019学年高三（上）期中数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{3，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，4，5} B．{1，2，5} C．{2，4，5} D．{2，5}2．双曲线y2＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x3．复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知平面α，直线l，m，n满足l⊄α，m⊂α，n⊂α，则l⊥m，l⊥n是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣x+a与y＝a2x3﹣2ax2+x+2a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）：（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i，（i＝1，2），则（）A．P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．P1＜P2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．P1＞P2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．P1＜P2，E（ξ1）＜E（ξ2）7．已知，是两个不共线的单位向量，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．48．设F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，则|AF|﹣|AP|＝（）A．1 B．C．2 D．49．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝a cos x﹣4cos3x，若对任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，则a＝（）A．1 B．3 C．4 D．8二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝；若f（ln（log32）＝1，则f（ln（log23））＝12．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为，该三棱锥的外接球的表面积为．13．已知等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+……+a2018＝0，则a3+a2016＝；该数列的前n项和S n取得最大值时，n＝14．已知二项式（36，则展开式中常数项为；系数最大的项为15．将1，2，3，4，5，6排成一行，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的排法种数是（用数字作答）16．已知在圆O中，所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为圆O上的动点，以AO，AC为边构造半行四边形AODC，当∠A＝时，线段BD最长．17．已知实数x，y满足x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，则x2+y2的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）＝，a＝，c＝3，求△ABC的面积19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，Q为棱PD上的点，PA ＝AB＝2，∠ABC＝60°（1）若Q为PD的中点，求证：PB∥平面AQC；（2）若（0＜λ＜1），使得二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，求λ的值20．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项．数列{b n}满是b1＝1，2（b1+b2+……+b n）＝nb n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求证：．21．如图，已知直线PA，PB与抛物线x2＝4y分别相切于点A，B．（1）若点P在直线y＝﹣1上，求证：直线AB过定点（2）若点P是半椭圆＝1（y＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围22．已知函数f（x）＝4x﹣x2﹣lnx．（1）若f（x）在x＝x1，x＝x2（x1≠x2）处导数相等证明：f（x1）+f（x2）≤5+ln2 （2）若对任意k∈R，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）有唯一公共点，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{3，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，4，5} B．{1，2，5} C．{2，4，5} D．{2，5}解：∵A∪B＝{1，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{2，5}．故选：D．2．双曲线y2＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x解：∵双曲线方程为，∴a＝，b＝1∴渐近线方程为y＝±即y＝故选：B．3．复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数＝＝＝；复数z＝（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于第一象限．故选：A．4．已知平面α，直线l，m，n满足l⊄α，m⊂α，n⊂α，则l⊥m，l⊥n是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l⊥m，l⊥n但m与n不一定相交，所以推不出l⊥α；根据线面垂直的定义知，l⊥α一定有l⊥m，l⊥n，所以l⊥m，l⊥n是l⊥α的必要不充分条件．故选：B．5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2﹣x+a与y＝a2x3﹣2ax2+x+2a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．解：当a＝0时，两个函数分别为y＝﹣x和y＝x，此时对应选项D，当a＞0时，y＝ax2﹣x+a过（0，a）点，对称轴为x＝﹣＝，又y＝a2x3﹣2ax2+x+2a的导数y′＝3a2x2﹣4ax+1＝（ax﹣1）（3ax﹣1），由f′（x）＝0得x＝或，若A选项，则a＞0，＞0，三次函数f（x）在x＝，取得极大值，在x＝，取得极小值，满足条件；B．a＞0，＞0，三次函数f（x）在x＝，取得极大值，在x＝，取得极小值，满足条件；C，a＜0，应该＜＜＜0，而从图象上观察，是＜＜＜0，则此函数图象错误，故选：C．6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）：（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i，（i＝1，2），则（）A．P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．P1＜P2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．P1＞P2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．P1＜P2，E（ξ1）＜E（ξ2）解：从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则P（ξ＝0）＝＝P（ξ1＝1），P（ξ＝1）＝＝P（ξ1＝2），∴E（ξ1＝1）＝1•P（1＝1）+2•P（ξ1＝2）＝+1，∴P1＝＝，从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为η，则η的可能取值为0，1，2，P（η＝0）＝＝P（ξ2＝1），P（η＝1）＝＝P（ξ2＝2），P（η＝2）＝＝P（ξ2＝3），E（ξ2）＝1•P（ξ2＝1）+2•P（ξ2＝2）3•P（ξ2＝3）＝+1，∴P2＝＝，∴P1＞P2，E（ξ1）＜E（ξ2）．故选：A．7．已知，是两个不共线的单位向量，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4解：∵是不共线的单位向量，且设的夹角为θ，∴＝＝，∵时，sin2θ取最大值1，取最小值1，∴的最小值为1．故选：B．8．设F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，则|AF|﹣|AP|＝（）A．1 B．C．2 D．4解：F是椭圆＝1的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点．过A作圆x2+y2＝3的切线，切点为P，当A逐渐向y轴靠近时，AP越来越近，此时AF与AP值越来越近，当A在y轴时，AP＝0，AF＝FP＝a＝2．则|AF|﹣|AP|＝2．故选：C．9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（）A．B．C．D．解：如图1，连接BC1，则N为BC1的中点，将三棱锥B﹣B1C1D1沿BC1展开成平面图形，如图2，|NN'|即为三角形PMN周长的最小值，其中BN＝BN'＝，∠C1BC1'＝135°，所以△PMN的周长的最小值为：l＝|NN'|＝＝，故选：B．10．已知f（x）＝a cos x﹣4cos3x，若对任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，则a＝（）A．1 B．3 C．4 D．8解：依题意，令cos x＝t，t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝at﹣4t3在t∈[﹣1，1]时满足|g（t）|≤1成立，又g（t）[﹣1，1]上的奇函数，g（0）＝0，所以当t∈（0，1]时，g（t）∈[﹣1，1]，所以﹣1≤at﹣4t3≤1，即≤a≤，又y＝4在（0，1]上的最大值为3，y＝4t2+在（0，1]上的最小值为3，故a＝3．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝ 2 ；若f（ln（log32）＝1，则f（ln（log23））＝ 3解：根据题意，f（x）＝ax3﹣a+2，则f（1）＝a﹣a+2＝2；又由f（﹣x）＝﹣（ax3﹣a）+2，则f（﹣x）+f（x）＝4，若f（ln（log32）＝1，而f（ln（log23））＝f（（﹣ln（log32）），则f（ln（log32）+f（ln（log23））＝4，故f（ln（log23））＝3；故答案为：2，3．12．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为，该三棱锥的外接球的表面积为6π．解：几何体的直观图如图，是长方体的一部分，三棱锥A﹣BCD；长方体的三度为1，1，2，所以几何体的体积为：1×1×2﹣＝；外接球的直径为：＝，所以外接球的半径为：．外接球的表面积为：4＝6π．故答案为：；6π．13．已知等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+……+a2018＝0，则a3+a2016＝0 ；该数列的前n 项和S n取得最大值时，n＝1009解：等差数列{a n}满足a1＞0，且a1+a2+…+a2018＝0，∴公差d＜0，由等差数列的性质得，a1+a2018＝a2+a2017＝a3+a2016＝…＝a1009+a1010＝0则a3+a2016＝0；等差数列的前n项和是＝+，由于a1＞0，公差d＜0，S n是关于n的二次函数，开口向下，S2018＝0，故n＝1009时，S n取得最大值．故该数列的前n项和S n取得最大值时，n＝1009；故答案为：0，1009．14．已知二项式（36，则展开式中常数项为1215 ；系数最大的项为1458x 解：∵，∴T r+1＝＝．由＝0，得r＝2，∴二项式（36，则展开式中常数项为：＝1215，当r＝1时，得到系数最大的项为＝1458．故答案为：1215，1458．15．将1，2，3，4，5，6排成一行，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的排法种数是40 （用数字作答）解：根据题意，分2种情况讨论：①，若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A22A22＝4个符合条件的六位数，当2不在个位时，共有A12•A12•A22•A22＝16个符合条件的六位数，则当个位是偶数，有4+16＝20个六位数；②，若个位数是奇数，同理可得20个满足条件的六位数，故符合条件六位数的个数是40；故答案为：40．16．已知在圆O中，所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为圆O上的动点，以AO，AC为边构造半行四边形AODC，当∠A＝27°时，线段BD最长．解：如图，连接OC，延长AO交⊙O于F，连接DF．∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF＝∠A，DO＝AC，∵OF＝AO，∴△DOF≌△CAO，∴DF＝OC，∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，∵∠AOB＝108°，∴∠FOB＝72°，∵OF＝OB，∴∠OFB＝54°，∵FD＝FO，∴∠FOD＝∠FDO＝27°，∴∠A＝∠FOD＝27°，故答案为：27°．17．已知实数x，y满足x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，则x2+y2的最小值为解：由x2﹣y2﹣x+3y﹣2＝0，得，即x﹣y+1＝0或x+y﹣2＝0．则x2+y2的最小值为原点O到直线x﹣y+1＝0的距离的平方，等于．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．设函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）＝，a＝，c＝3，求△ABC的面积解：（1）∵f（x）＝cos x（sin x+cos x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）＝，又A∈（0，π），2A+∈（，），∴可得A＝，又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得b2﹣3b﹣4＝0，∴b＝4，∴S△ABC＝bc sin A＝3．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，Q为棱PD上的点，PA ＝AB＝2，∠ABC＝60°（1）若Q为PD的中点，求证：PB∥平面AQC；（2）若（0＜λ＜1），使得二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，求λ的值解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OQ，∵Q是PD中点，∴OQ∥PB，又∵OQ⊂面AQC，PB⊄平面AQC，∴PB∥平面AQC．（2）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），P（0，﹣1，2），∵＝，（0＜λ＜1），∴Q（﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，λ，2﹣2λ），＝（0，2，﹣2），＝（﹣），设平面AQC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2﹣2λ，得＝（2﹣2λ，0，），设平面CQD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣），∵二面角A﹣QC﹣D的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，整理得3λ2﹣2λ＝0，解得λ＝．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项．数列{b n}满是b1＝1，2（b1+b2+……+b n）＝nb n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求证：．解：（1）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q（q＞0），满足a1＝2，a4+2是a2和a5的等差中项，可得2（a4+2）＝a2+a5，即2（2q3+2）＝2q+2q4，化为（q﹣2）（q3+1）＝0，解得q＝2，则a n＝2n，数列{b n}满足b1＝1，2（b1+b2+…+b n）＝nb n+1（n∈N*），可得2（b1+b2+…+b n﹣1）＝（n﹣1）b n，n≥2，相减可得nb n+1＝（n+1）b n，n≥2，当n＝1时，2b1＝b2，可得b2＝2，则b n＝b1••…＝1•2•…•＝n；（2）证明：＝n•（）n，设S n＝++…+＝1•+2•+…+n•（）n，S n＝1•+2•+…+n•（）n+1，相减可得S n＝+++…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化为S n＝2﹣（n+2）•（）n，则++…+＜2．21．如图，已知直线PA，PB与抛物线x2＝4y分别相切于点A，B．（1）若点P在直线y＝﹣1上，求证：直线AB过定点（2）若点P是半椭圆＝1（y＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围解：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），x2＝4y即y＝，可得y′＝，直线AB的斜率为＝＝，可得直线AB的方程为y﹣＝（x﹣x1），即y＝x﹣，切线PA的方程为y＝x﹣，切线PB的方程为y＝x﹣，两切线交于P，可得，由题意可得y0＝﹣1，则直线AB的方程为y＝x+1，可得直线AB过定点（0，1）；（2）由（1）可得AB：y＝x﹣y0，且，P到直线AB的距离为d＝，|AB|＝•＝•，△PAB面积为S＝d•|AB|＝，令t＝x02﹣4y0，由+＝1，可得t＝﹣y02﹣4y0+4＝﹣（y0+）2+7，y0∈[﹣，0），则t∈（4.7]，可得△PAB的面积的取值范围是（4，]．22．已知函数f（x）＝4x﹣x2﹣lnx．（1）若f（x）在x＝x1，x＝x2（x1≠x2）处导数相等证明：f（x1）+f（x2）≤5+ln2 （2）若对任意k∈R，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）有唯一公共点，求实数m的取值范围解：（1）证明：，令f′（x1）＝f′（x2）＝t，则即方程2x2+（t﹣4）x+1＝0的两根为x1，x2；∴且；∴＝＝；即证．（2）令g（x）＝f（x）﹣（kx+m）＝4x﹣x2﹣lnx﹣（kx+m），则问题等价于g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求m的取值范围．∵当x→0时，则g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞；∴g（x）在（0，+∞）内存在零点；下面证明其唯一性：g′（x）＝4﹣2x2﹣﹣k＝；①当k时，g（x）≤0在（0，+∞）恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递减，此时对于m∈R，g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点；②当k时，令g（x）＝0即2x2+（k﹣4）x+1＝0的两根为α，β（0＜α＜β）；∴，；∴，则g（x）在（0，α），（β，+∞）内单调递减，在（α，β）内单调递增；∴g（x）极小值＝g（α）＝α2﹣lnα+1﹣m，；∵g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点只需g（α）min＞0恒成立即可；∴，在（0，）内恒成立，即g（α）在（0，）内单调递减；∴；∴．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题1.设集合{0,1,2,3}P =，{|2}Q x R x =∈<，则PQ =（ ）A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1} 【答案】 A 【解析】由题意得集合{|22}Q x x =-<<-，所以{0,1}PQ =.2.若复数(1)(2)z i i =-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D 【解析】复数(1)(2)3z i i i =-+=-在复平面内对应的点为(3,1)-，位于第四象限. 3.设A ，B ，C 为的内角，则“A B <”是“cos cos A B >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】因为A ，B 是三角形的内角，所以A ，(0,)B π∈，又因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B <⇔>，即“A B <”是“cos cos A B >”的充分必要条件. 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16 B.13C.1D.3 【答案】 B 【解析】有三视图得该几何体是一个底面边长为1的正方形，有一条长为1的侧菱垂直于底面的四菱锥，则体积为1111133⨯⨯⨯=. 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ） A.()()E X E Y >，()()D X D Y > B.()()E X E Y =，()()D X D Y > C.()()E X E Y >，()()D X D Y = D.()()E X E Y =，()()D X D Y = 【答案】 C 【解析】 由题意得4(5,)7XB ，3(5,)7Y B ，则420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=，4460()5(1)7749D X =⨯⨯-=，3360()5(1)7749D Y =⨯⨯-=，所以()()E X E Y >，()()D X D Y =.6.设数列{}n a ，{}n b 满足700n n a b +=，172105n n n a a b +=+，*n N ∈，若6400a =，则（ ）A.43a a >B.43b b <C.33a b >D.44a b < 【答案】 C 【解析】本题考察数列的概念.由700n n a b +=得700n n b a =-， 则172723(700)28010510510n n n n n n a a b a a a +=+=+-=+，则13400(400)10n n a a +-=-，又因为6400a =，所以400n a =，*n N ∈，则700300n n b a =-=，*n N ∈，所以33a b >. 7.在ABC ∆中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C，若222a b c =+，sin 2cos C B =，则（ ）A.3A π=B.4B π=C.c =D.2c a = 【答案】 D 解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又222a b c =+，所以cos A =(0,)A π∈，所以6A π=，则555sin 2cos 2cos()2(cos cos sin sin )sin 666C B C C C C C πππ==-=+=+， 则cos 0C =，又(0,)C π∈，所以2C π=，所以3B π=，在ABC ∆中，正弦定理得sinsinsin632a b c πππ==，化简得23c a ==.综上所述，只有D 选项正确. 8.设实数x ，y 满足条件10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若222z x y =--，则（ ）A.z 的最小值为258-B.z 的最小值为3-C.z 的最大值为33D.z 的最大值为6 【答案】 A 【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式所表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，由图易得当目标函数222z x y =--与平面区域内的边界10(0)x y x -+=≥相切时，222z x y =--取得最小值，联立22210z x y x y ⎧=--⎨-+=⎩，消去y 化简得2230x y z ---=，因为曲线222z x y =--与10(0)x y x -+=≥相切，所以关于x 的一元二次方程2230x x z ---=有两个相同的实数根，则2(1)42(3)0z --⨯⨯--=，解得258z =-，即目标函数222z x y =--的最小值为258-，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值.9.已知单位向量1e ，2e ，且1212e e ⋅=-，若向量a 满足125()()4a e a e -⋅-=，则a 的取值范围为（ ）A. B.121]2C.1]2D. 【答案】 B 【解析】因为向量1e ，2e 为单位向量，且1212e e ⋅=-，所以向量1e ，2e 的夹角为23π，则不妨设11(,22e =，21(,22e =-，设(,)a OA x y ==，则221211135()()(,(,()22244a e a e x y x y x y --=-⋅-=-+-=，即221()22x y -+=，所以点A 在以1(,0)2为半径的圆上.又因为2a x =+A 到原点的距离，由图易得圆与x 轴正半轴的交点到原点的距离最大，12，圆与x轴负半轴的交点到原点的距离最小，12，所以a的取值范围为121]2.10.设()f x'为函数()f x的导函数()x R∈，且()0f x<，2()()0f x f x'+>（e为自然对数的底数），若12x x<，则（）A.1221()()x xf x e f x-<⋅ B.2112()()x xf x e f x-<⋅C.2122221()()x xf x e f x->⋅ D.1222212()()x xf x e f x->⋅【答案】D解析：设2()()xg x e f x=⋅，则2()()2()()()(2()())x x xg x e f x e f x f x e f x f x f x'''=⋅+⋅=⋅+，因为()0f x<，0xe>，2()()0f x f x'+>，所以()()(2()())0xg x e f x f x f x''=⋅+<在R上恒成立，所以函数2()()xg x e f x=⋅在R上单调递减，则当12x x<时，有12()()g x g x>，即122212()()x xf x e f x e>，即212212()()x xf x e f x->⋅，因为12x x<，所以1221210x xx xe e-->>>，所以12212222122()()()x xx xf x e f x e f x-->⋅>⋅.二、填空题11.设实数a满足23a=，则a=，33log12log6-=（用a表示）.【答案】2log31a【解析】由23a=得2log3a=，则3333333211log12log6log(26)log6log2log6log6log3a-=⨯-=+-==.12.抛物线2:8C y x=的焦点F的坐标为，若点)P m在抛物线C上，则线段PF 的长度为 .【答案】(2,0)2【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为2x =-，因为点)P m 在抛物线上，所以PF 的长度等于点)P m 到抛物线的准线的距离，即2PF =. 13.若函数2()()21x f x a a R =-∈-是奇函数，则a = ，函数()f x 的值域为 . 【答案】1-(,1)(1,)-∞-+∞【解析】易得函数2()21x f x a =--的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，则由函数2()21xf x a =--为奇函数得(1)(1)f f =--，即1122()2121a a --=----，解得1a =-，则2()121x f x =---，当0x >时，21(0,)x-∈+∞，所以2(,0)21x -∈-∞-，则21(,1)21x --∈-∞--，所以函数2()121x f x =---在(0,)+∞上的值域为(,1)-∞-，又因为函数2()121x f x =---为奇函数，所以函数2()121x f x =---在(,0)-∞上的值域为(1,)+∞.综上所述，函数2()121xf x =---的值域为(,1)(1,)-∞-+∞. 14.若实数x ，y 满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为 ，2)2x y xy ++的最大值为 .【答案】-16【解析】因为222244432x y xy x y +++=，所以222(2)432x y x y ++=，则2(2)32x y +≤，2x y -≤+≤2x y +的最小值为-.由222(2)432x y x y ++=，不妨设22x y xy θθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩2)2cos )16sin()x y xy θθθϕ++=+=+，其中tan ϕ=，所以当sin()1θϕ+=2)2x y xy ++取得最大值为16. 15.在238(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开式中，含2x 项的系数为 .【答案】64【解析】238(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开中，含2x 项的系数为0212222626234822(1)2(1)2(1)C C C C ⨯+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-22(136********)64=⨯-+-+-+=.16.若关于x 的不等式2(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，则实数a 的取值范围为 . 【答案】(,1)(0,)-∞-+∞【解析】设()cos 1f x a x =-，2()16g x ax x a =-+，则关于x 的不等式2(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，等价于存在0(0,)x ∈+∞，使得00()()0f x g x ⋅<成立.当1a >时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x <，函数2()160g x ax x a =-+>在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当118a ≤≤时，函数()cos 10f x a x =-≤在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当108a <<时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，212()x x x <，且12121016160x x aa x x a ⎧+=>⎪⎪⎨⎪⋅==>⎪⎩，所以12,(0,)x x ∈+∞，所以存在012(0,)(,)x x x ∈+∞使得0()0g x >，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当0a =时，显然不等式不成立；当108a -<<时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，2x ，且12121016160x x aa x x a ⎧+=<⎪⎪⎨⎪⋅==>⎪⎩，所以12,(,0)x x ∈-∞，所以函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当118a -≤≤-时，函数()cos 10f x a x =-≤在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当1a <-时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x >，函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立.综上所述，实数a 的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞.17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，2AC CD DA ===，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿着AM 将ADM ∆翻折成AD M '∆，当平面AD M '垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为 .【答案】【解析】设点D '在平面ABCD 内投影为点F ，DAM θ∠=，则易得(0,60]θ∈︒，当(0,30)θ︒时，点F 在ADC ∆外，过点F 作AB 的垂线，垂足在线段BA 的延长线上，所以此时当点P 与点A 重合时，PD '取得的最小值等于2AD AD '==；当[30,60]θ∈︒︒时，点F 在ADC ∆内（包括边界），过点F 作AB 的垂线FG ，垂足G 在线段BA 上，所以当点P 与垂足G 重合时，PD '取得的最小值，此时有PD AB '⊥.在Rt D AP '∆中，因为2AD AD '==，所以当PD '取得最小值时，cos D AP '∠取得最大值.由最小定理得211cos cos cos(120)cos (cos sin )cos 222D AP θθθθθθ'∠=⋅︒-=⋅-+=-1111cos cos 22cos(2120)4424θθθθθ=-+-=-︒-，易得当60θ=︒时，cos D AP '∠取得最大值14，所以此时12AP =，PD '==.综上所述，PD '. 三、解答题18.已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出()f x 图象的对称轴方程； （Ⅱ）若将函数()y f x =的图象向右平行移动8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足0()1g x ≥的实数0x 的集合. 【解析】（Ⅰ）2()sin cos cos f x x x x =+11sin 2(1cos 2)22x x =++ 11(sin 2cos 2)22x x =++1)42x π=++，∴()f x 的最小周期T π=， 令242x k πππ+=+，k Z ∈，得82k x ππ=+，k Z ∈，∴()f x 图象的对称轴方程为82k x ππ=+，k Z ∈.（Ⅱ）由题意得1())842g x x ππ=-++122x =+0()1g x ≥，即01sin 2122x +≥，0sin 22x ≥，∴0322244k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈. ∴0388k x k ππππ+≤≤+k Z ∈，即所求0x 的集合为003{,}88x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.19.如图，在三棱锥D ABC -中，CA CB ==DA DB ==2AB =.（Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若顶点D 在底面ABC 上的射影落在ABC ∆的内部，当直线AD 与底面ABC 所成角的正弦值为6时，求二面角C AD B --的平面角的余弦值.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，DE ， ∵CA CB =，DA DB =，∴CE AB ⊥，DE AB ⊥， 又DECE E =，∴AB ⊥平面DEC ，又CD ⊂平面DEC ，∴AB CD ⊥.（Ⅱ）如图，作DO CE ⊥于点O ，由（Ⅰ）易得平面DEC ⊥平面ABC ，且交于CE .∴DO ⊥平面ABC ，∴DAO ∠为直线AD 与平面ABC 所成的角，sin DO DAO AD ∠==6=，∴DO =DE = ∴在Rt DOE ∆中，12OE ==，又易知1CE =，∴O 为CE 的中点.∵DO CE ⊥，O 为CE的中点，∴DC DE ==，过点C 作CM DE ⊥于点M ，取AD 的中点G ，连接CG ，GM .同上可得CM ⊥平面ABD .∴CM AD ⊥，∵AC =DC AC =，∴CG AD ⊥，CGM ∠为二角面C AD B --的平面角，CG ==， 在CDE ∆中，14CE DO CM DE ⨯===. 在Rt CMG ∆中，22238MG CG CM =-=.∴MG =∴cos MG CGM CG ∠===，∴二角面C AD B --的平面角的余弦值为10. 20.已知函数32()23(1)6f x x m x mx =-++，m R ∈.（Ⅰ）若2m =，写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的[1,1]x ∈-，都有()4f x <，求m 的取值范围.【解析】（Ⅰ）若2m =，则32()2912f x x x x =-+，∵22()618126(32)6(1)(2)f x x x x x x x '=-+=-+=--，令()0f x '>，得1x <或2x >， ∴函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，(2,)+∞.（Ⅱ）∵32()23(1)6f x x m x mx =-++，∴2()66(1)66(1)()f x x m x m x x m '=-++=--. ①当1m ≥时，()f x 在(1,1)-上单调递增，max ()(1)314f x f m ==-<，解得53m <， ∴513m ≤<； ②当11m -<<时，()f x 在(1,)m -上单调递增，在(,1)m 上单调递减.∴32max ()()34f x f m m m ==-+<，即32340m m -+>，2(1)(2)0m m +->恒成立， 所以11m -<<.③当1m ≤-时，()f x 在(1,1)-上单调递减，max ()(1)954f x f m =-=--<，解得1m >-，舍去，综上所述，m 的取值范围为5(1,)3-.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点M ，且离心率为2. （Ⅰ）求a ，b 的值，并写出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，在椭圆C 上有异于A ，B 的动点P ，若直线PA ，PB 与直线l ：x m =（m 为常数）分别交于不同的两点M ，N ，则当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？【解析】（Ⅰ）由题知，22421a b+=，c a =，222a b c =+，解得a =2b =， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(A -，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA ，PB 的方程分别为1(y k x =+，2(y k x =-，∴1(,(M m k m +，2(,(N m k m -，∴根据射影定理知，以MN 为直径的圆的方程为212()[((0x m y k m y k m -+-+--=，即2221212()[(((8)0x m y k m k m y k k m -+-++-+⋅-=， 设点00(,)P x y ，则2200184x y +=，22004(1)8x y =-，∴201220182y k k x ===--，∴222121()[(((8)02x m y k m k m y m -+-++---=， 由0y =，得221()(8)02x m m ---=，∴221()(8)2x m m -=-. 当280m -<，即m -<. 当280m -≥，即m ≥或m ≤-x m =±即定点为(m ±. 22.在正项数列{}n a 中，已知1111a ≤≤，2113312n n a a +=-，*n N ∈.（Ⅰ）求证：111n a ≤≤；（Ⅱ）设212()n n n b n a a -=+，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：6(1)n S n n ≥+； （Ⅲ）若18a =，设212n n n c a a -=-，n T 表示数列{}n c 的前n 项和.（ⅰ）比较n a 与7的大小；（ⅱ）求证：13n T <.【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =，命题成立.②假设当n k =时，有111k a ≤≤成立，则当1n k =+时，∵113312121k a ≤-≤，∴211121k a +≤≤.∵0n a >，∴1111k a +≤≤成立.综上所述，111n a ≤≤. （Ⅱ）证明：∵2221222211331169(6)12121212n n n n n a a a a a -+=-++=--+， 由（Ⅰ）知，2111n a ≤≤，∴21212n n a a -+≥，∴12n b n ≥， ∴12(1)12(12)126(1)2n n n n S b b b n n n +=+++≥+++=⨯=+得证. （Ⅲ）（ⅰ）∵18a =，∴221339637a =-=，∴2a 17a >，27a <，又由已知得222+17133712841212(7)n n n n a a a a -=--=-=--， ∴11(7)(7)12(7)n n n a a a ++-+=--，∴11712077n n n a a a ++-=-<-+，即1(7)(7)0n n a a +--<， ∴2127n n a a ->>，∵221213312n n a a +=-，222113312n n a a -=-，∴2221222112()n n n n a a a a +--=--，即2221222112()n n n n a a a a +-=--，又由（Ⅱ）知，21212n n a a -+≥，∴2222212122122122122112()()(12)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +------=---=-+-≤.同理，2222221222122()(12)0n n n n n n a a a a a a ------=-=+-≥.综上所述，数列21{}n a -单调递减，21217n n a a -+>>.数列2{}n a 单调递增，2227n n a a +<<.（ⅱ）：因为222212122212213312(13312)12()n n n n n n a a a a a a ------=---=-⋅-， ∴221212222112n n n n n n a a a a a a ------=-+，同理，21222223212212n n n n n n a a a a a a --------=-+， ∴22122232212122144()()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=-++，即12212122144()()nn n n n n c c a a a a ----=++.∵2a =17n n a a -+>，∴11447217085n n c c -<=<=，且1128c a a =-=，∴11111172[1()]727285()137213858518585n n n c c T c c c --⋅<+++⋅=<=<-.。