北师大版数学高一必修4教学设计1.4.3单位圆与诱导公式

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北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式教学设计

北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式教学设计摘要《北师大版高中数学》作为普通高中数学教材的代表之一，对于帮助学生全面提高数学素养和应试能力发挥了重要作用。

其中44.3节的“单位圆与诱导公式”作为三角函数章节的重点，需要教师们精心设计教学方案，使学生了解单位圆的基本知识和利用诱导公式进行简化运算的方法。

教学设计中需要关注学生的数学基础和认知瓶颈，采用启发式教学和以学生为中心的教学方法，帮助学生理解掌握三角函数的重要概念和计算方法。

一、课程目标本节课的教学目标包括： 1. 理解并掌握单位圆的概念、性质和应用； 2. 掌握三角函数的诱导公式，能够运用诱导公式简化计算； 3. 培养学生的数学思维、计算能力和应用能力，提高学生对三角函数的理解和应用水平。

二、教学策略1.以启发式教学为主，激发学生学习兴趣和主动性；2.以学生为中心，建立合作学习和交互式讲解的教学模式，充分调动学生的学习积极性；3.采用实际问题、生活案例、模拟分析等多种教学手段，培养学生的数学思维和应用能力；4.给予学生多种形式的练习和巩固，不断提高学生综合运用三角函数知识和技能的能力。

三、教学过程1.导入环节通过引用生活中和实际问题中的三角函数应用示例，为学生提供学习的动机，并让学生初步了解三角函数基本概念和应用场景。

2.概念解释阐述单位圆的性质和使用方式，包括具体的示意图和相应的表格数据，让学生掌握单位圆的基本知识和使用技巧。

3.专题讲解通过具体计算的案例来讲解诱导公式的基本概念和推导过程，并分析诱导公式的实际应用意义和算术帮助。

4.实践练习为学生提供具体的数值和算式题目，让学生综合运用前面所学知识、技巧和方法，解决具体的数学问题。

5.拓展应用引导学生进行数学思维的拓展和应用，提供一些拓展性的问题和跨学科的综合计算案例，培养学生的创新思维和趣味数学探索能力。

6.课堂总结总结本节课的重点、难点和收获，强化学生的知识认识和理解，为下一堂课的学习奠定良好的基础。

2021学年高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大版必修4.ppt

sin 53π＝－sin π3；cos 53π＝cos π3；
sin π6＝cos π3；cos π6＝sin π3；
sin
56π＝cos
π3；cos
56π＝－sin
π 3.
[走进教材] 1．根据单位圆理解正、余弦函数的基本性质根据正弦函数 y＝sin x 和余弦函数 y＝cos x 的定义，我们不难从单位圆看出它们具有以下性质： (1)定义域是_R__； (2)最大值是_1__，最小值是_－__1__，值域是_[_－__1_,_1_] ____； (3)它们是_周__期__函__数___，其周期是__2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_)__，最小正周期为 2π.
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π－α)＝_c_o_s_α__.(1.10) (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－__c_o_s_α_.(1.11) (5)sin(π＋α)＝_－__s_in__α_，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12) (6)sinπ2＋α＝_c_o_s_α__，cosπ2＋α＝－sin α.(1.13) (7)sinπ2－α＝cos α，cosπ2－α＝__s_in__α_.(1.14)
[自主练习]
1．sin 210°＝( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
解析： sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.
答案： D
2．已知 sin x＝13，则 cosx－π2＝(
)
1 A.3
B．2 3 2
2 C.3
解析：
cosx－π2＝cos－π2＝π＋π3；④53π＝2π－π3；⑤π6＝π2－ π3；⑥56π＝π2＋π3.

1.4.3单位圆与诱导公式(二) 课件高中数学必修4(北师大版)

1.4.3（二）
2.诱导公式 1.13～1.14 的记忆 π π 本＋ α ，－α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值，前课 2 2 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为 “函数名改变，符号看象限”.
时栏目开关
1.4.3（二）
探究点一
诱导公式 1.13
本课时栏目开关
本课时栏目开关
1.4.3（二）
【典型例题】例 1 已知
π 3 π 3π cos α＋＝， ≤α≤ ，求 6 5 2 2 2π sinα＋的值. 3
本课时栏目开关
2π π π 解 ∵α＋ 3 ＝α＋6＋2，
π π 2π π 3 ∴sin(α＋ 3 )＝sinα＋6＋2＝cosα＋6＝5.
1.4.3（二）
探究点三诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式 1.8～1.12 归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于角 α 的同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. π 公式 1.13～公式 1.14 归纳： ± α 的正弦(余弦)函数值，分别 2 等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或 “正变余、余变正、符号象限定”.
本课时栏目开关
答
π π sin2－α＝sin2＋－α＝cos(－α)＝cos α；
π π cos －α＝cos ＋－α＝－sin(－α)＝sin α. 2 2
1.4.3（二）
π 思路二、角 α 与－ α 的终边关于直线 y＝ x 对称推导诱导公式 2 1.14. 答 π 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)，则 2

高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1) 知识目标
(1)借用单位圆识记诱导公式.
(2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.
2)能力目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.
(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.
(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 3) 情感目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的创新意识和创新精神.
(2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.
2学情分析
已有知识:1.任意角的三角函数定义(单位圆)
2.诱导公式(一)
学生情况:1.学生基础较差
2.学习主动性不强
3重点难点
1) 教学重点诱导公式(二)(三)的推导及应用
1) 教学难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
4教学过程
活动1【导入】三角函数诱导公式。

数北师大必修4导案：1.4.3 单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式问题导学1．周期函数的理解与应用活动与探究1已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．迁移与应用(1)若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数的周期及在t＝25 s时钟摆的高度为()A．2 s,10 mm B．1 s,20 mmC．1 s,10 mm D．2 s,20 mm(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 012，求f(11)．(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)，不能说T是f(x)的周期．2．利用诱导公式求值活动与探究2求下列三角函数值．(1)cos 945°；(2)sin 356π；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π．迁移与应用求下列三角函数值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π3；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－19π4； (3)cos(－60°)－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．活动与探究3已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．迁移与应用已知sin(45°＋α)＝513，求sin(135°－α)的值．利用诱导公式解决条件求值问题的方法(1)仔细分析条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算的差异及联系．(2)当条件式与所求式中未知角的符号相同时，将两角相减，当未知角符号相反时，将两角相加可得出两角的关系，再选用恰当诱导公式求值．3．三角函数式的化简问题活动与探究4化简求值：cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (－α)sin (－π＋α)sin (3π－α)cos (－π－α)．迁移与应用化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－α)cos (3π－α)．化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如3π2＋α可写成2π－⎝⎛⎭⎫π2－α或π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式．当堂检测 1．cos 300°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．322．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．83．sin(π－2)－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2化简的结果为( )．A ．0B ．－1C ．2sin 2D ．－2sin 24．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫116π－θ＝__________． 5．化简：sin (π－α)cos (π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos (3π－α)sin (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α．课前预习导学【预习导引】1．(1)sin x cos x (2)f (x ＋T )＝f (x ) 周期 (3)周期周期最小的正数最小的正数预习交流1 略2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α (2)cos α －sin α cos α sin α预习交流2 提示：(1)关于2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)诱导公式可简记为“函数名不变，符号看象限”．(2)关于π2±α的正弦(余弦)的诱导公式可简记为“函数名互换，符号看象限”．(3)将两类公式归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后都在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”．预习交流3 (1)－12(2)－22 (3)32 (4)32课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 证明：∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．迁移与应用 (1)D (2)2 012 活动与探究2 解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－22；(2)sin 356π＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋116π＝sin 116π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＝－sin π6＝－12；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32π＋4π3＝－sin 4π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin π3＝32. 迁移与应用 (1)－32(2)－22(3)0活动与探究3 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－m ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝m . 迁移与应用 513活动与探究4 解：原式＝cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α(－sin α)[－sin (π－α)]sin (π－α)cos[－(π＋α)]＝(－cos α)⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)＝(－cos α)[－(－sin α)](－sin α)－sin αsin α(－cos α)＝1.迁移与应用 1 【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．33 5．1。

高中数学下学期1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大必修4.ppt

证明: ∵A,B,C,D为圆内接四边形ABCD的内角, ∴根据圆内接四边形性质知 A＋B＋C＋D＝360°,A＋C＝B＋D＝180°. (1)sin(A＋B)＝sin[360°－(C＋D)]＝－sin(C＋D). (2)cos(A＋C)＝cos[360°－(B＋D)]＝cos(B＋D).
1.诱导公式可概括为:k·π2±α,k∈Z 的各三角函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时,得 α 的不同名三角函数值,即正弦得到余弦,余弦得到正弦;然后前面加上把 α 看作锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“奇变偶不变, 符号看象限.”
[题后感悟] 三角形三内角(A,B,C)的如下关系经常在解题中用到: (1)A＋B＋C＝π⇔A＝π－(B＋C);
(2)A＋B2＋C＝π2⇔A2＝π2－B＋2 C.
3.已知 A,B,C,D 为圆内接四边形 ABCD 的四个内角,求证: (1)sin(A＋B)＝－sin(C＋D); (2)cos(A＋C)＝cos(B＋D);
(2)sin
B＋2 C＝cos
A 2.
1利用 B＋C＝π－A.2利用B＋2 C＝π2－A2.
[解题过程] (1)∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C＝π－A, ∴cos A＋cos(B＋C)＝cos A＋cos(π－A)＝cos A －cos A＝0; (2)∵B＋2 C＝π－2 A＝π2－A2, ∴sin B＋2 C＝sin(π2－A2)＝cos A2.
sin(α＋2kπ)＝_s_in__α_.
3.点P(x,y)关于x轴、y轴、y＝x、原点的对称点坐标分别为_(_x_,－__y_)_,(_－__x_,y_)_,(_y_,x_)_,_(－__x_,_－__y_) .
正弦函数、余弦函数的诱导公式

北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式课程设计

北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式课程设计一、前言《北师大版高中必修4》中第44章主要讲述三角函数，其中第3节讲述了单位圆与诱导公式，是整个章节的重点内容。

本文将介绍一个面向高中数学教学的课程设计，旨在更好地引导学生理解诱导公式的概念和运用。

二、教学目标本次课程设计的教学目标如下：1.了解单位圆的概念和性质；2.了解三角函数在单位圆上的坐标表现形式；3.掌握诱导公式的定义和推导；4.学会在计算三角函数值时应用诱导公式。

三、教学过程1. 导入环节在这个环节，我们将介绍一些概念，为后续的学习做铺垫。

1.1. 三角函数三角函数是指正弦、余弦、正切等函数的统称，它们通常用来表示任意角的值。

在本章节中，我们将主要学习正弦和余弦函数。

1.2. 单位圆单位圆是指半径为1的圆，它是一个重要的几何工具，尤其在三角函数中有广泛的应用。

因此，我们需要了解单位圆在三角函数中的地位和性质。

2. 讲解环节在导入环节中，我们已经介绍了一些概念，现在需要更深入地了解单位圆和诱导公式的相关内容。

2.1. 单位圆与三角函数在单位圆上，任意一点都可以表示为$(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ 的形式，其中 $\\theta$ 是点对应的角度，那么正弦、余弦函数与 $\\theta$ 之间的关系是什么呢？我们来看一个简单的例子：设角度 $\\theta$ 的终边与单位圆交于点P，如图所示。

单位圆显然，点P在单位圆上，坐标为$(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$。

考虑点P与坐标轴的交点分别为A和B，则PA和PB分别是 $\\theta$ 的正弦和余弦值，即$$ \\sin\\theta = PA, \\cos\\theta = PB $$这说明正弦、余弦函数可以看作是单位圆上的坐标值。

换句话说，对于任意角度 $\\theta$，其正弦和余弦值等于单位圆上对应点的纵坐标和横坐标。

2.2. 诱导公式在三角函数计算中，诱导公式是非常重要的一种运算工具。

高中数学第一章1.4.3_1.4.4单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版必修4

一二三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.
一二三
【做一做3】 cos 330°等于( )
A.12
B.-12
π 3
-��
+
π 6
+
��
=
π 2
,
π 6
-��
+
5π 6
+
��
=π,然后运用诱导公式可以将问题顺
利地解决.
解:(1)∵
π 3
-��
+
π 6
+
��
= π2,
∴cos
π 6
+
��
=cos
π 2
-
π 3
-��
=sin
π 3
-��
= 12.
【做一做 2】 (1)角π6与角-π6的终边关于
(2)角π3
与角2π的终边关于
3
对称;
(3)角π5
与角6π的终边关于
5
对称;
(4)角π4与角-34π的终边关于
对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
对称;
一二三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. (1.8)

北师大版高中数学必修四4.3 单位圆与诱导公式.docx

4．3 单位圆与诱导公式课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解四组公式的推导过程．2．运用所学诱导公式进行求值、化简与证明．诱导公式(1)角α与－α，2π－α的正弦函数、余弦函数关系： sin(－α)＝________，sin(2π－α)＝________． cos(－α)＝________，cos(2π－α)＝________． (2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________． sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α． (3)角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系： sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________．(4)角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________． (5)角α与π2－α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________． (6)角α与2k π＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin(2k π＋α)＝________，cos(2k π＋α)＝________．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α等于( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－323．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B ．13 C ．－223 D ．2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2s in(2π－α)的值为( )A ．－2m 3B ．2m 3C ．－3m 2D ．3m 25．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos βC ．cos(π－α)＝cos βD ．sin(π－α)＝－sin β6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A ．13B ．23C ．－13D ．－23 二、填空题7．sin(－300°)＋sin 240°的值等于________． 8．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋43π ②cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3，(以上各式n ∈Z )其中函数值与sin π3的值相同的是________．(填所有相同代数式的序号)9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________． 10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝________．三、解答题11．(1)求值：sin 1 200°·cos 1 290°＋ cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α的值． 12．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证： (1)cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4．能力提升13．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(其中k ∈Z )．14．设f (n )＝cos(n 2π＋π4)(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)的值．1．正弦函数、余弦函数的诱导公式概括如下：2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正(余)弦函数值，等于α的同名函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．π2±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．π2±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．2．可以利用诱导公式，将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题．4．3 单位圆与诱导公式答案知识梳理(1)－sin α －sin α cos α cos α (2)－sin α －cos α (3)sin α －cos α (4)cos α －sin α (5)cos α sin α (6)sin α cos α作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12．]2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12．]3．A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13．] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α ＝－m ，∴sin α＝m 2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m ．]5．A [∵α和β的终边关于y 轴对称， ∴β与π－α终边相同， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z∴sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α．] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23．]7．08．②③⑤9．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13． 10．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1． ∴a sin α＋b cos β＝1．f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3．11．解 (1)原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)＝sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝－32×32＋12×12＝－12．(2)∵23π－α＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13．12．证明 (1)∵左式＝cos(2A ＋B ＋C )＝cos[A ＋(A ＋B ＋C )] ＝cos(π＋A )＝－cos A ，右式＝cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ，左式＝右式，∴cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )．(2)右式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(π－A )－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2－π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫A 2＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A 2 ＝左式．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4． 13．解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1．当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1． ∴上式的值为－1．14．解 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝cos(π2＋π4)＋cos(π＋π4)＋cos(3π2＋π4)＋cos(2π＋π4)＝－sin π4－cos π4＋sin π4＋cos π4＝0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝502[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝f (2 009)＋f (2 010)＋f (2011)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0092π＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0102π＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112π＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫1 005π＋π4＋cos(1 005π＋34π) ＝－sin π4－cos π4－cos 34π＝－22－22＋22＝－22．。

北师版数学高一-教学设计1.4.3单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式整体设计教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、，掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力，体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.导入新课思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上，教师提出可否借助单位圆找出α与π2+α或π2-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题.思路2.通过计算猜想引入，让学生计算π3，2π3，π6，5π6的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin π3=23，cos5π6=-23，这里5π6＝π2+π3，sinπ6=21，cos2132-=π，这里2π3＝π2+π6.sin 5π6=21，cosπ3=21，这里5π6＝π2+π3，sin2 π3=23，cosπ6=23，这里2π3＝π2+π6.猜想：sin(π2+α)=cosα，cos(π2+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. 推进新课新知探究提出问题以下按两种思路来探究α与π2+α或π2-α的关系.思路1.先得出α与π2-α的关系.①先计算sin π3、cosπ6、sinπ3、cosπ6的值(23、21、23，21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与π2-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x对称的角，观察它们有什么样的位置关系？③如何由α与π2-α的关系，得到α与π2+α的关系？活动：学生很容易得到如下猜想：cos(π2-α)=sinα，sin(π2-α)=cosα.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想，不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、π2、-α，探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角π2-α的终边与单位圆的交点P1(x，y)，由于角α的终边与角π2-α的终边关于直线y=x对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos（π2-α)=y，sin(π2-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(π2-α)=cosα，cos（π2-α)=sinα.教师进一步引导学生，因为π2+α可以转化为π-(π2-α).所以求π2+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(π2+α)=cosα，cos（π2+α)=-sinα.讨论结果：①—③略.思路2.先得出α与π2+α的关系.教师引导学生观察上图，设任意角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，则角π2+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识，可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a )，且a =cos α， b =sin α.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(π2+α)相等，即sin(π2+α)＝cos α.点P 的纵坐标sin α与点P 1的横坐标cos （π2+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(π2+α)=cos α，cos （π2+α)=-sin α. 教师进一步引导学生，因为π2-α=π-(π2+α)，所以求π2-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(π2-α)=cos α，cos （π2-α)=sin α. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式sin(k ·2π+α)=sin α，cos （k ·2π+α)=cos α.sin(-α)=-sin α，cos （-α)=cos α.sin(π-α)=sin α，cos （π-α)=-cos α.sin(π+α)=-sin α，cos （π+α)=-cos α.sin(π2+α)=cos α，cos(π2+α)=-sin α sin(π2-α)=cos α，cos （π2-α)=sin α. 以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k π+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：π2k ⋅±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值： (1)sin(5π2+π4)；(2)sin(-55π6)；(3)sin 5π6cos （-π4)+sin 11π6cos 5π4. 活动：本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解：(1)sin(5π2+π4)＝sin(π2+π4)=cos π4=22. (2)sin(-55π6)=-sin 55π6=-sin(8π+7π6)＝-sin 7π6=-sin(π+π6)=sin π6=21 (3)sin 5π6cos （-π4)+sin 11π6cos 45π=sin(ππ6-)cos π4+sin(2π-π6)cos(π+π4) =sin π6cos π4+(-sin π6)(-cos π4) =21×22+21×22＝22. 点评：解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-55π6)=sin(-10π+5π6).以此活化学生的思路. 例2 化简：3sin(2π)cos(3π)cos()2sin(π)sin(3π)cos()ααααααπ-⋅+⋅+-+⋅-⋅--π. 活动：本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的.解：原式＝[][](sin )cos(π)cos(π)sin (π)sin(π)cos (π)a αααααα-⋅+⋅+--⋅-⋅-+=π(sin )(cos )cos()2(sin )sin (cos )αααααα⎡⎤-⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦-⋅⋅- =ααsin sin =1. 点评：化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.变式训练1.求sin(-870°)的值.解法一：sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二：sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21 点评：以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k =-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-21 2.已知cos(π6-α)=m (|m |≤1)，求sin(2π3-α)的值. 解：∵-23πα-(π6-α)=π2，∴2π3-α=π2+(6π-α). ∴sin(2π3-α)=sin ［π6+(π6-α)］=cos(π6-α)=m . 点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.3.(1)已知f (cos x )=cos17x ，，求证：f (sin x )=sin17x ；(2)对于怎样的整数n ，才能由f (sin x )=sin nx 推出f (cos x )=cos nx ?(1)证明：f (sin x )=f ［cos(2π-x )］=cos ［17(π2-x )］=cos(8π+π2-17x )=cos(π2-17x )=sin17x ，即f (sin x )=sin17x .(2)解：f(cos x)=f［sin(π2-x)］=sin［n(π2-x)］=sin(π2n-nx)=sin,4,, cos,41,, sin,42,,cos,43,).nx n k knx n k knx n k knx n k k-=∈⎧⎪=+∈⎪⎨=+∈⎪⎪-=+∈⎩ZZZZ故所求的整数n=4k+1(k∈Z).点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sin x=cos(π2-x)或cos x=sin(π2-x).要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.知能训练课本练习2 1—4.课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”.作业1.课本习题1—4 A组7、8.2.B组1、2、3.设计感想根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展.首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行问题类比、方法迁移，猜想任意角α与π2±α的数量关系，进而借助单位圆探求出严格的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次.。

北师大版高中数学必修四课件1.4.3单位圆与诱导公式(二)

tan α sin α . cos α
典例剖析题型一
已知sin 3 ,求 cos , tan的值.
5
解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2 1 sin2
1

3 2 5 Nhomakorabea16 25
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
自主探究
在Rt△OMP中,由勾股定理有
MP2+OM2= y2+x2=1
OP2=1
sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1 MO
x A(1,0)
预习测评
已知：sina=0.8，填空：cosa=__±__0_._6
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲！
小样！别以为你换了个马甲我就
＝sin2θsi＋n cθos2θ＋sin2θco＋s cθos2θ
＝sin1 θ＋co1s θ＝右边．∴原式成立．
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝15. (1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限； (2)求 tan x 的值．
详细解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．

北师版高中数学高一必修4课件 1.4.3 单位圆与诱导公式(二)

2.诱导公式1.13～1.14的记忆 π2＋α,π2－α 的正(余)弦函数值,等于α的余(正)弦函数值,前
面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号 ,记忆口诀为 “ 函数名改变,符号看象限 ”.
明目标、知重点
探要点·究所然情境导学对形如 π－α、－α、π＋α 的角的三角函数可以转化为 α 角的三角函数,对形如π2－α,2π＋α 的角的三角函数与 α 角的三角函数,是否也存在着某种关系,需要我们作进一步的探究.
sin32π＋α＝－cos α ,cos32π＋α＝ sin α .
明目标、知重点
例2 设m是整数,且k＝4m＋2,若f(sin x)＝sin kx, 求证：f(cos x)＝sin kx.
证明 f(cos x)＝f[sin(π2－x)] ＝sin k(π2－x)＝sin(k2π－kx)
＝sin(2mπ＋π－kx) ＝sin(π－kx)＝sin kx.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.诱导公式1.13～1.14 (1)公式 1.13：sinπ2＋α＝ cos α ； cosπ2＋α＝－sin α .
以－α替代公式1.13中的α,可得公式1.14. (2)公式 1.14：sinπ2－α＝ cos α ； cosπ2－α＝ sin α .
明目标、知重点
明目标、知重点
反思与感悟利用诱导公式 1.13 和诱导公式 1.14 求值时,要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意6π＋α 与3π－α,π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 sinπ6＋α＝ 33,求 cosα－π3的值. 解 ∵cosα－3π＝cosπ3－α
α看成锐角时原函数值的符号.

北师版数学高一-必修4学案 1.4.3 单位圆与诱导公式(一)

4．3 单位圆与诱导公式(一)[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2π－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系．[预习导引]1．诱导公式1.8～1.12.公式1.8：sin(2k π＋α)＝sin_α，cos(2k π＋α)＝cos_α；公式1.9：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；公式1.10：sin(2π－α)＝－sin_α，cos(2π－α)＝cos_α；公式1.11：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α；公式1.12：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α. 2．诱导公式1.8～1.12.的记忆这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．要点一给角求值问题例1 求下列三角函数的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π＝－sin 194π＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋34π＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.规律方法利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值．跟踪演练1 求下列三角函数值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋76π＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 要点二给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角． ∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.规律方法解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15. 要点三三角函数式的化简例3 化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪演练3 化简：sin (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解原式＝sin (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－sin θ)·(－sin θ)·cos θcos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θsin θcos θcos θcos θsin θ＝sin θcos θ.1．求下列三角函数的值． (1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π. 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330° ＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°) ＝－sin 30°＝－12.(2)cos(－203π)＝cos 203π＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋23π＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).解原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33.4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z .证明当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2k cos α＝cos α， ∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α， ∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础达标1．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C.－32D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos 660°的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32 答案 B解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300° ＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°) ＝cos 60°＝12.3．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．4．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝－32. 5．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)＝________.答案 45解析 sin(230°－α)＝sin[720°－(490°＋α)] ＝－sin(490°＋α)＝45.6．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 014)＝1，则f (2 015)＝________. 答案 3解析 ∵f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3. 7．化简：sin ⎝⎛⎭⎫n π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋43π，n ∈Z. 解当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z . 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋43π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos ⎝⎛⎭⎫43π ＝⎝⎛⎭⎫－sin 23π·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z. 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π＋43π＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π ＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34. ∴sin ⎝⎛⎭⎫n π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋43π＝34，n ∈Z . 二、能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D.－32 答案 D解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∵3π2＜α＜2π，∴α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32(α为第四象限角)．9．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是________(只填序号)．①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3. 答案 ②③⑤解析对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①错；对于②，cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3，∴②对；③是正确的；对于④，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos 5π6＝－sin π3. ∴④不对；对于⑤，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3， ∴⑤对．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x <0)，f (x －1)－1(x >0)，求f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值．解 f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－116π＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2 ＝－52，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 12．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z .解方法一 k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1，k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )仿上可得原式＝－1. 方法二由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，[(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)．故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1.三、探究与创新13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.3+4.4 单位圆的对称性与诱导公式 Word版

4.3　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4　单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1　正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P 18～P 19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y ＝sin xy ＝cos x定义域R 值域[－1,1]基本性质最大(小)值当x ＝2k π＋(k ∈Z )时，函数π2取得最大值1；当x ＝2k π－(k ∈Z )时，函数π2取得最小值－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，函数取得最小值－1周期性周期是2k π(k ∈Z )，最小正周期为2π基本单调性在区间在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )性质(k ∈Z )上是[2k π－π2，2k π＋π2]增加的，在区间(k ∈Z )上是[2k π＋π2，2k π＋3π2]减少的上是增加的，在区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在上的最大值为1.( )[－π6，π](3)y ＝cos x 在上的最小值为－1.( )[0，π2]【解析】　(1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在上是增加的，在上是减少的，y max ＝sin ＝1，故[－π6，π2][π2，π]π2(2)正确．(3)y ＝cos x 在上是减少的，故ymin ＝cos＝0，故(3)错误．[0，π2]π2【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理2　诱导公式(－α，π±α)的推导阅读教材P 19～P 21，完成下列问题．1．诱导公式(－α，π±α)的推导(1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称；α与π＋α的终边关于原点对称；α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式的推导(π2±α)(1)－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．π2(2)公式sin ＝cos_α，cos ＝sin_α(π2－α)(π2－α)用－α代替α↓并用前面公式sin ＝cos_α，cos ＝－sin α(π2＋α)(π2＋α)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(2π－α)＝cos α.( )(2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】　(1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α.(2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质　求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值．(1)y ＝sin x ，x ∈；[－π6，π](1)y ＝cos x ，x ∈.[－π，π3]【精彩点拨】　画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】　(1)由图①可知，y ＝sin x 在上是增加的，在上[－π6，π2][π2，π]是减少的．且当x ＝时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－时，y ＝sin x 取最小值π2π6－.12①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在上是减少的．且[0，π3]当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )；第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．[π3，π]【解】　(1)y ＝－sin x ，x ∈的单调递减区间为，单调递增区间为[π3，π][π3，π2].[π2，π]当x ＝时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为π2.[－1，0](2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值　求下列三角函数值．(1)sin ·cos ·sin ；4π325π65π4(2)sin.[(2n ＋1)π－2π3]【精彩点拨】　利用诱导公式将所给的角化成锐角求解．【自主解答】　(1)sin ·cos ·sin 4π325π65π4＝sin·cos ·sin(π＋π3)(4π＋π6)(π＋π4)＝－sin ·cos ·π3π6(－sin π4)＝··323222＝·＝.3422328(2)sin＝sin [(2n ＋1)π－2π3][2n π＋π－2π3]＝sin＝sin ＝.(π－2π3)π332利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ·cos (n ∈Z )．(2n π＋2π3)(n π＋43π)【解】　(1)sin 495°·cos(－675°)＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°)＝sin 135°·cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°)＝sin 45°·cos 45°＝×＝.222212(2)当n 为奇数时，原式＝sin π·＝sin ·23(－cos 43π)(π－π3)[－cos (π＋π3)]＝sin ·cos ＝×＝；π3π3321234当n 为偶数时，原式＝sin πcos π＝sin·cos 2343(π－π3)(π＋π3)＝sin ·＝×＝－.π3(－cos π3)32(－12)34给值求值　已知cos ＝，求cos ·sin .(π6－α)13(5π6＋α)(2π3－α)【精彩点拨】　解答本题要注意到＋＝π，－α＝π－，＋＝等角之间的关系，(π6－α)(5π6＋α)2π3(π3＋α)(π3＋α)(π6－α)π2恰当运用诱导公式求值．【自主解答】　∵＋＝，(π3＋α)(π6－α)π2∴sin ＝sin (π3＋α)[π2－(π6－α)]＝cos ＝.(π6－α)13∴sin ＝sin (2π3－α)[π－(π3＋α)]＝sin ＝.(π3＋α)13∵＋＝π，(π6－α)(5π6＋α)∴cos ＝cos (5π6＋α)[π－(π6－α)]＝－cos ＝－，(π6－α)13∴cos sin ＝－×＝－.(5π6＋α)(2π3－α)1313191．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ＝，求cos 的值．(π6＋α)33(10π3－α)【解】　∵π－α＝3π＋，103(π3－α)∴cos ＝cos (10π3－α)[3π＋(π3－α)]＝－cos .(π3－α)又∵＋＝，(π6＋α)(π3－α)π2∴cos ＝－cos (10π3－α)[π2－(π6＋α)]＝－sin ＝－.(π6＋α)33[探究共研型]三角函数式的化简探究1　三角函数式本着怎样的思路化简？【提示】　总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．探究2　怎样处理含有k π±α的角？【提示】　含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．　化简下列各式．(1)；cos (2π－α)sin (3π＋α)cos(3π2－α)cos (－π2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α)(2)cos＋cos (n ∈Z )．(4n ＋14π＋x)(4n －14π－x)【精彩点拨】　(1)直接利用诱导公式化简．(2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】　(1)原式＝＝－1.cos α·(－sin α)·(－sin α)sin α·(－cos α)sin α(2)∵＋＝2n π，(4n ＋14π＋x)(4n －14π－x)∴原式＝cos ＋cos (4n ＋14π＋x)[2n π－(4n ＋14π＋x)]＝2cos＝2cos .(4n ＋14π＋x)(n π＋π4＋x )①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝2cos ＝－2cos ；(2k π＋π＋π4＋x )(π4＋x )②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝2 cos (2k π＋π4＋x )＝2 cos .(π4＋x )故原式＝Error!三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则：(1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．k3[再练一题]4．化简：cos ＋cos ，其中k ∈Z .(3k ＋13π＋α)(3k －13π－α)【解】　cos ＋cos ＝cos ＋cos .(3k ＋13π＋α)(3k －13π－α)(k π＋π3＋α)(k π－π3－α)①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos ＋cos [(2n ＋1)π＋π3＋α][(2n ＋1)π－π3－α]＝cos ＋cos(π＋π3＋α)(π－π3－α)＝－cos －cos (π3＋α)(π3＋α)＝－2cos ；(π3＋α)②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ＋cos (2n π＋π3＋α)(2n π－π3－α)＝cos ＋cos (π3＋α)(－π3－α)＝cos ＋cos (π3＋α)(π3＋α)＝2cos .(π3＋α)综上可知，原式＝Error![构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ＝－cos α(π2＋α)B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】　由诱导公式知D 正确．【答案】　D2．cos 的值是( )2π3【导学号：66470011】A ．－B ．3232C.D ．－1212【解析】　cos ＝－cos ＝－cos ＝－.2π3(π－π3)π312【答案】　D3．y ＝sin x ，x ∈的单调增区间为________，单调减区间为[－π，π6]_______．【解析】　在单位圆中，当x 由－π到时，sin x 由0减小到－1，再由－1π6增大到.所以它的单调增区间为，单调减区间为.12[－π2，π6][－π，－π2]【答案】 [－π2，π6][－π，－π2]4．已知cos(π＋α)＝－，则sin ＝________.12(π2－α)【解析】　cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.1212又sin ＝cos α＝.(π2－α)12【答案】　125．计算：sin ·cos ·sin .π419π621π4【解】　原式＝sin ·cos·sin π4(3π＋π6)(4π＋54π)＝sin ·cos·sin π4(π＋π6)(π＋π4)＝sin ··π4(－cos π6)(－sin π4)＝··22(－32)(－22)＝.34我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。