高一数学下学期开学考试试题
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）A．小于100g B．等于100gC．大于100g D．与左右臂的长度有关四、解答题17．已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，求A B Ç，()()U UA B Çðð.由函数()=-仅有一个零点，y f x m由图知：0m =.故答案为：017．{}5A B =I ，()(){}U U6A B Ç=ðð.【分析】根据集合的交集，补集运算可得解.【详解】由{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，{}5A B \Ç=，{}U 1,3,6,7A =ð，{}U 2,4,6B =ð，()(){}U U 6B A \Ç=ðð.18．(1){26}x x -<<∣(2)[)0,¥+【分析】（1）解不等式得到{06}M x x =<<∣，{24}N x x =-<<∣再计算并集即可.（2）根据集合的包含关系和集合N =Æ，N ¹Æ两种情况，得到不等式，即可解得答案.【详解】（1）由{}260,M x x x =->∣，解得：{06}M xx =<<∣，1a =-时，{24}N x x =-<<∣，所以{26}M N x x È=-<<∣.（2）当N =Æ时，23a a ³-，解得1a ³；当N ¹Æ时，232036a a a a <-ìï³íï-£î，解得01a £<.综上，a 的取值范围为[)0,¥+.。
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集N 7U x x =∈∣，集合{}{}2,3,4,2,4,5A B ==，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}0,1,6B ．{}1,6,7C ．{}0,1,6,7D ．{}0,1,3,5,6,7【答案】C【分析】写出{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，根据补集含义得出答案. 【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，{}()0,1,6,7UA B ⋃=.故选：C.2．800°是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】由800236080︒=⨯︒+︒可进行判断. 【详解】因为800236080︒=⨯︒+︒，所以800︒与80︒的终边相同，而80︒是第一象限的角， 所以800︒是第一象限的角， 故选：A.3．命题“N m ∃∈N ”的否定是（ ）A ．N m ∃∉NB ．N m ∃∈NC ．N m ∀∉ND ．N m ∀∈N【答案】D【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“N m ∃∈N ”为存在量词命题，其否定为：N m ∀∈N . 故选：D4．函数()ln 1f x x =-的零点是（ ） A ．1 B ．eC ．()e,0D ．4【答案】B【分析】根据零点的定义列式运算求解. 【详解】令()ln 10f x x =-=，解得e x =， 故函数()ln 1f x x =-的零点是e . 故选：B.5．函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】∵()()()()332cos 2cos e e e e x x x xx x x x f x f x -----==-=-++，∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误； 又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x x x ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.6．药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C （t ）（单位mg/ml ）随时间t (单位：小时)的变化规律可近似表示为()0etC t C λ-=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为31.210-⨯mg/ml ，2小时后测得血药浓度为-⨯30.810mg/ml ，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为-⨯30.410mg/ml 时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(lg 20.3010,lg30.4771≈≈)（ ）小时 A ．3.0 B ．3.5C ．3.7D ．4.2【答案】C【分析】先根据题意得到方程组，求出3ln 2λ=与30 1.810C -=⨯，进而得到关系式，再代入()30.410C t -=⨯，求出第二次注射与第一次注射的间隔时间t 约为多少【详解】由题意得：30230e 1.210e 0.810C C λλ----⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除，得：3ln 2λ=，把3ln 2λ=代入30e 1.210C λ--=⨯，解得：30 1.810C -=⨯，所以()3ln20.0018e t C t -=⋅，令()30.410C t -=⨯得：3ln 320.0018e 0.410t --⋅=⨯，解得：2ln 3ln 2ln 3ln 2t -=-，由换底公式得：2ln 3ln 22lg 3lg 2ln 3ln 2lg 3lg 2t --==--，所以2lg3lg 220.47710.3010 3.7lg3lg 20.47710.3010t -⨯-=≈≈--故选：C7．已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.21log 0.5log log 2a ==，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>， 所以a b c <<， 故选：A.8．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞【答案】B【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知2x ax μ=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；分别在a<0、0a =、01a <<和1a ≥的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.【详解】令2x ax μ=-，()2log f μμ=在()0,∞+上单调递增，()22log f x x ax =-在(]0,1上单调递增， 2x ax μ∴=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；①当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若(),0x a ∈，20x ax -<； ∴当(]0,1x ∈时，2x ax μ=-，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；②当0a =时，22x x μ==，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；③当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若()0,x a ∈，20x ax -<；当01a <<时，(]()22,0,,,1ax x x a x ax x a μ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则当,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ax x μ=-单调递减，不合题意；当1a ≥时，若(]0,1x ∈，则2ax x μ=-，则其对称轴为2ax =， ∴若2ax x μ=-在(]0,1上单调递增且0μ>，则12a≥，解得：2a ≥； 综上所述：实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. 故选：B.二、多选题9．已知集合()(){}20N ,2Z x A xx B x x x x -⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭∣∣，则下列表述正确的有（ ） A ．{}0,3,4A B ⋂= B ．{}1,2A =C ．A B ⊆D ．满足A C ⊆且C B ⊆的集合C 的个数为8【答案】BCD【分析】根据集合的定义确定集合,A B 中的元素，然后再判断各选项． 【详解】因为()(){}{}20021,2x A xx x x x x -⎧⎫=∈=<≤∈=⎨⎬⎩⎭N N ∣∣，(){}{}20,1,2,3,4B x x =∈=Z ，A C B ⊆⊆，所以C 中元素个数至少有1，2，至多为0,1,2,3,4，所以集合C 的个数等于{}0,3,4子集的个数，即328=． 故选：BCD ．10．已知函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则下列各选项正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．3x π=-是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在区间,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 向右平移23π个单位是一个奇函数.【答案】AC【分析】根据周期公式得到A 正确；代入验证知B 错误C 正确；根据平移法则得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2ππ2T ==，正确； 对选项B ：当3x π=-时，2π20π,Z 32x k k π+=≠+∈，错误； 对选项C ：当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2π2π2,323x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，正确；对选项D ：()f x 向右平移23π得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误.故选：AC11．已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD【分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【详解】由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确；故选：AD12．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()0f x m -=的根，下列说法正确的有（ ） A ．当0m =时，方程有4个不等实根 B ．当01m <<时，方程有6个不等实根 C ．当1m =时，方程有4个不等实根D ．当1m >时，方程有6个不等实根 【答案】BC【分析】结合函数奇偶性以及0x ≥时解析式，作出函数图象，将关于x 的方程()0f x m -=的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.【详解】由题意函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如图示：则关于x 的方程()0f x m -=的根，即转化为函数()f x 的图象与直线y m =的交点问题， 当0m =时，即0y =与()f x 的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A 错误； 当01m <<时，y m =与()f x 的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B 正确； 当1m =时，1y =与()f x 的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C 正确；当1m >时，y m =与()f x 的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D 错误； 故选：BC.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.三、填空题13．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______． 【答案】2【分析】先求得m 的值，然后求得12x =时的函数值.【详解】由于函数25(3)m y m x -=-是幂函数， 所以31,2m m -==，则1y x -=， 所以当12x =时，2y =. 故答案为：214．已知函数()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩，若()4f x =，则x =________【答案】2【分析】分两种情况，当1x ≤-时和当1x >-时，解方程即可. 【详解】当1x ≤-时，()214f x x =-=，可得52x =，不成立， 当1x >-时，()24f x x ==，可得2x =或2x =-（舍去），所以2x =. 故答案为：2.15．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1a ≤【分析】当0x <时，由2210ax x ++=，可得212a x x=--，令10t x =<，()22f t t t =--，求出函数()f t 在(),0∞-上的值域，即为实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，由2210ax x ++=，可得222112x a x x x+=-=--， 令10t x=<，()()(]22211,1f t t t t =--=-++∈-∞，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0，1]【解析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123aa -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.四、解答题17．已知集合(){}2lg 65A x y x x ==-+-，{1B x x =≤或}2x ≥，{}()12C x m x m m =-≤≤∈R .(1)若A C A ⋃=，求m 的取值范围；(2)若“x B ∈R ”是“x C ∈”的充分条件，求m 的取值范围. 【答案】(1)()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)[]1,2【分析】（1）求出集合A ，分析可知C A ⊆，分C =∅、C ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围； （2）由题意可知B C ⊆R，求出集合B R ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：因为(){}{}{}{}222lg 6565065015A x y x x x x x x x x x x ==-+-=-+->=-+<=<<， 因为A C A ⋃=，则C A ⊆.①当12m m ->时，即当1m <-时，C A =∅⊆，合乎题意； ②当12m m -≤时，即当1m ≥-时，C ≠∅，要使得C A ⊆，则1125m m ->⎧⎨<⎩，解得522m <<，此时522m <<.综上所述，实数m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）解：由题意可知B C ⊆R ，且{}12B x x =<<R ，所以1122m m -≤⎧⎨≥⎩，解得12m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]1,2. 18．已知()3tan 4απ+=. （1）若α为第三象限角，求sin α. （2）求cos 4sin 2sin 2παπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3sin 5α=-（2）【解析】（1）根据诱导公式,先求得tan α,结合同角三角函数关系式即可求得sin α. （2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可. 【详解】（1）()3tan tan 4απα+== ∴sin 3tan cos 4ααα==,即3sin cos 4αα=联立223sin cos 4sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为第三象限角 ∴3sin 5α=-（2）)cos cos sin 42sin cos 2sin 22sin cos παααπααααα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭-=- ⎪⎝⎭==31434-==.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．某片森林原来面积为a ，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p %，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018. （1）求每年砍伐的森林面积的百分比p %； （2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年. 【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比%p ，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，结合指数型函数得到方程，即可求解每年砍伐的森林面积的百分比p %．（2）结合（1）的结论，构造关于m 的方程，解得．【详解】（1）由题意可得，()1011%2a p a -=，解得1101%12p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴每年砍伐的森林面积的百分比%p 为110112⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设经过m年森林剩余面积为原来面积的2，则()1%m a p ⋅-=，()1211%22m p ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 由（1）可得，11011%2p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即11021122m ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m ∴=，解得5m =，故到2018年年末，该森林已砍伐了5年．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，指数式与对数式的互化，其中关键是建立数学模型，属于中档题．21．已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)若a<0，求()f x 的最小值()g a ；(2)若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围． 【答案】(1)()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩； (2)910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）化简得出()22cos 21024a a f x x a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，令cos t x =，则[]0,1t ∈，可得出()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭，分012a <-<、12a -≥两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得()g a 的表达式；（2）分析可知关于x 的方程2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令[]3cos 2,3p x =-∈，可得出16a p p =--，利用函数的单调性求出函数()16H p p p=--在[]2,3的值域，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()2222cos sin 29cos cos 210cos 21024a a f x a x x a x a x a x a ⎛⎫=---=+--=+--- ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令cos t x =，则[]0,1t ∈． 则()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭． 又因为a<0，所以>02a -． 当012a <-<，即20a -<<时，则()h t 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()221024a a g a h a ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭； 当12a -≥，即2a ≤-时，()h t 在[]0,1上单调递减， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()()19g a h a ==--．综上所述，()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩. （2）解：因为关于x 的方程()f x a =在[0,]2π上有解， 即关于x 的方程2cos cos 1030x a x a +--=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 所以2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令[]3cos 2,3p x =-∈， 则()231016p a p p p--==--， 因为函数()16H p p p =--在[]2,3上单调递增，则()910,23H p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 故a 的取值范围是910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 22．对于函数()f x ，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则称()f x 为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断()|cos |f x x =是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若2()log (sin )1f x x m =++是定义在区间[,]33ππ-上的“伪奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）试讨论22()4243x x f x m m +=-+-在R 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（21m <≤；（3）答案见解析. 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解，结合三角函数的性质即可求解； （3）由题意可知，2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解， 再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ()0()22f f ππ-==， ()()022f f ππ∴-+=． ()|cos |f x x ∴=是“伪奇函数”． （2）()f x 为“伪奇函数”，()()0f x f x ∴+-=，即22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解．sin [x ∈， 2211sin [,1]44m x ∴=+∈． 又sin 0m x +>在[,]33ππ-恒成立，max (sin )m x ∴>-=1m <≤． （3）当22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”时， 则()()f x f x -=-在R 上有解，可化为2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即可保证()f x 为“伪奇函数”，令22()488F t t mt m =-+-，则①当(2)0F ≤时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即22210m m --≤，m ≤ ②当(2)0F >时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩2m <，m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”，否则不是．。
黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。
四川省泸州市泸县2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题及答案
泸县高2023级高一下学期开学考试数学试题（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,0A B x x =--=≥，则A B = （）A.{2,1}--B.{2,1,0}-- C.{0,1,2}D.{1,2}【答案】C 【解析】【分析】根据交集的概念进行求解即可.【详解】{}0,1,2A B = .故选：C2.命题“x ∀∈R ，e 10x +>”的否定是（）A.0x ∃∈R ，0e 10x +≤B.x ∀∈R ，e 10x +≤C.0x ∃∈R ，0e 10x +>D.0x ∃∈R ，0e 10x +<【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“x ∀∈R ，e 10x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 10x +≤”.故选：A .3.“sin sin αβ=”是“παβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条什【答案】B【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由sin sin αβ=，可得2π,Z k k αβ=+∈或π2π,Z k k αβ=-+∈，即充分性不成立；反之，若παβ+=，可得παβ=-，则sin sin(π)sin αββ=-=，即必要性成立，所以“sin sin αβ=”是“παβ+=”的必要不充分条件.故选：B.4.“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为120cm ，圆心角为60︒，窗子左右两边的边框长度都为60cm ，则该窗的面积约为（）A.21884cmB.23768cmC.25652cmD.27536cm 【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.【详解】由题意可知：扇形的圆心角为π3，大扇形的半径为120cm ，小扇形的半径为60cm ，所以该窗的面积为2221π1π120601800π5652cm 2323⨯⨯-⨯⨯=≈.故选：C.5.函数2()22x xx f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B 、D ，由x →+∞时，()0f x →可排除C.【详解】()22()()2222x x x xx x f x f x ----===++，又定义域为R ，故函数()f x 为偶函数，可排除B 、D ，当x →+∞时，()0f x →，故可排除C.故选：A.6.设0.42a =，0.4b e =，0.4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c >>B.a c b>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的单调性与对数函数的单调性求解即可【详解】∵0.40.421b e a =>=>，0.40.40log 0.5log 0.41c <=<=，∴b a c >>．故选：A7.在当今这个5G 时代，6G 的研究方兴未艾．有消息称，未来6G 通讯的速率有望达到1Tbps ，香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 和信道内部的高斯噪声功率N 的的大小．其中SN叫做信噪比．若不改变带宽W ，而将信噪比SN从3提升到99，则最大信息传递率C 大约会提升到原来的（）（参考数据lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A.2.3倍 B. 3.3倍C.4.6倍D.6.6倍【答案】B 【解析】【分析】将3S N=及99SN =代入计算对应的C ，再计算比例即可得.【详解】()12log 132C W W =+=，()222log 1992log 10C W W =+=，则22212log 1011log 10 3.32lg 20.3010C W C W ===≈≈.8.若函数2()1f x ax x =+-在(1,3)-上恰有一个零点，则（）A.229a -≤≤ B.124a -≤≤C.229a -≤≤或14a =-D.209a -≤≤或14a =-【答案】C 【解析】【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分0a =，0a >和a<0，列出不等式，即可求解.【详解】由函数2()1f x ax x =+-在(1,3)-上恰有一个零点，当0a =时，可得()1f x x =-，令()0f x =，解得1x =，符合题意；当0a >时，由()01f =-，则满足(1)(3)(2)(92)0f f a a -=-+<，解得229a -≤≤，即02a <≤；当a<0时，要使得函数()y f x =在(1,3)-上恰有一个零点，则满足Δ0=或(1)(3)0f f -<，即140a ∆=+=(1)(3)(2)(92)0f f a a -=-+<，解得14a =-或209a -≤<，综上可得，实数a 的取值范围为229a -≤≤或14a =-.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在下列函数中，既是偶函数又在()0,1上单调递增的函数有（）A.cos y x =B.sin y x =C.2xy = D.3y x =【答案】BC 【解析】【分析】对所给的函数注意判断即可.【详解】对A ：cos y x =是偶函数，在()0,1上递减，排除A ；对B ：sin y x =为偶函数，在()0,1上递增，故B 正确；对C ：2xy =为偶函数，在()0,1上递增，故C 正确；对D ：3y x =为奇函数，排除D.故选：BC10.若0a b >>，则（）A.22a b >B.11a b> C.11b a b<- D.33a b <【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质逐项分析判断.【详解】因为0a b >>，由不等式的性质可知：22a b >，33a b >，故A 正确；D 错误；可知10ab>，则11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >，故B 错误；可知0b a -<，可得110b a b<<-，故C 正确；故选：AC.11.已知(0,π)α∈，且1sin cos 5αα+=，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是（）A.2απ<<π B.3cos =5αC.12sin cos =5αα D.7cos sin =5αα--【答案】AD 【解析】【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此即可逐一判断每一选项.【详解】因为221sin cos ,sin cos 15αααα+=+=，(0,π)α∈，解得3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），所以3cos =05α-<，所以2απ<<π，12sin cos =25αα-，7cos sin =5αα--，故AD 正确，BC 错误.12.用“五点法”作函数()()sin φf x A x B ω=++（0A >，0ω>，π2ϕ<）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数()y f x =描述正确的是（）x ωϕ+0π2π3π22πxaπ3b5π6c()f x 131d1A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象关于直线π3x =对称D.函数()f x 与()π2cos 213g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭表示同一函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.【详解】根据表格可知ππ232π5π3π662ωωϕϕωϕ⎧=⋅+=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⋅+=⎩⎪⎩，且12B A =⎧⎨=⎩，则()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的周期性可知()f x 的最小正周期为2ππT ω==，故A 正确；由已知结合正弦函数的对称性可知：()5π5ππ3π2sin 212sin 116662x f x ⎛⎫=⇒=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，显然()f x 此时取得最小值，所以()f x 的图象不关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：ππππ21133362⎛⎫所以()f x 的图象关于直线π3x =对称，故C 正确；由诱导公式可知()()πππ2cos 212sin 21332g x x x f x ⎛⎫⎛⎫=-++=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值sin600= _______________【答案】2【解析】【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.【详解】sin600sin(2360120)sin(120)=⨯-=-o o o osin(18060)sin 602=--=-=-，故答案为：214.已知幂函数()ay f x x ==的图象经过点()2,4，则()3f -=__________.【答案】9【解析】【分析】图象经过的点代入函数解析式，求出a ，得到()f x ，再求()3f -即可.【详解】幂函数()ay f x x ==的图象经过点()2,4,则有24a =，解得2a =，所以()2f x x =，有()()2339f -=-=.故答案为：915.若函数()ln 2b f x axx +=+-是奇函数，则a b +=___________．2【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出a ，求出函数的定义域，再由奇函数得()00f =，即可求出b ，即可得解.【详解】由()ln 2b f x axx +=+-，可得20x -≠，即2x ≠，且02x ax+≠-，即x a ¹-，又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以2a -=-，所以2a =，故()2ln2b f x xx +=+-，定义域为()2,2-，因为函数()ln2b f x axx +=+-是奇函数，所以()00f =，所以0b =，经检验，符合题意，所以2a =，0b =，所以2a b +=.故答案为：2.16.()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________.【答案】[]2,5【解析】【分析】根据增函数的定义求参数的取值范围.【详解】因为()f x 在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,5四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}13A x x =≤≤，{}122B x a x a =-≤≤+（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；2【答案】（1）1a ≥（2）0a ≤【解析】【分析】（1）由题意可得A B ⊆，再根据集合得包含关系即可得解；（2）由题意可得B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论即可得解.【小问1详解】因为x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ⊆，所以12123a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，符合题意，则122a a ->+，解得13a <-，当B ≠∅时，则12211232a a a a -≤+⎧⎪≤-⎨⎪≥+⎩，解得103a -≤≤，综上所述，0a ≤.18.已知函数()()()()π3πsin +cos -tan π-22tan π+sin 2π-f αααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.（1）化简()f α（2）若()3π328f f αα⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，且π3π42α-<<-，求()3π2f f αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）-cos α（2）12-【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简即可．（2）由题意得()3πcos sin 2f f αααα⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，又由题意得到3cos sin 8αα=，根据sin cos αα-与cos sin αα⋅的关系求解．【小问1详解】由题意得()()()()cos sin tan cos tan sin f ααααααα--==--.【小问2详解】由（1）知3π3ππcos cos sin 222f αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵()3π328f f αα⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴3cos sin 8αα=，∴()2sin cos 12co i 1s s n 4αααα-=-=.又π3π42α-<<-，∴cos sin αα>，∴1sin cos 2αα-=-.∴()3π1cos sin 22f f αααα⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭.19.已知函数()π12sin 23f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.（1）用五点法作图作出()f x 在[]0,πx ∈的图象；（2）求()f x 在ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上的最大值和最小值.【答案】（1）图象见解析（2）max min ()3,()2f x f x ==【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；（2）根据ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，求出π23x -的范围，再根据三角函数的性质求出最值.【小问1详解】列表如下：对应的图象如图：【小问2详解】()π12sin 23f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，又ππππ2π,,242633x x ⎡⎤∈∴≤-≤⎢⎥⎣⎦，即π212sin 233x ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，max min ()3,()2f x f x ∴==.20.下表是A 地一天从2~18时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数()y f x =来近似描述温度与时刻的关系．时刻/h26101418温度/℃2010203020（1）写出函数()y f x =的解析式：（2）若另一个B 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数()y f x =且气温变化也是从10C ︒到30C ︒，只不过最高气温都比A 地区早2个小时，求同一时刻，A 地与B 地的温差的最大值．【答案】（1）()()ππ10sin 20,21884f x x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭（2）【解析】【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数()()sin y f x A x B ωϕ==++，由2π18216T ω=-==以及3010B A B A +=⎧⎨-=⎩，即可求得,,A B T ，最后代入一个点即可得ϕ.（2）由题意可得()()π10sin 20,2188g x x x =-+≤≤，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角公式即可得解.【小问1详解】由题意不妨设()()sin y f x A x B ωϕ==++，可以发现周期2π18216T ω=-==，解得π8ω=，而3010B A B A +=⎧⎨-=⎩，解得10,20A B ==，所以()π1410sin 1420308f ϕ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，即7πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不妨取43πϕ=，所以函数()y f x =的解析式为()()π3π10sin 20,21884f x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭.【小问2详解】设B 地区的温度变化函数为()()()()π3ππ210sin 22010sin 20,218848g x f x x x x ⎡⎤=+=+++=-+≤≤⎢⎥⎣⎦，令()()()π3ππ10sin 2010sin 20848h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=++--+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦π3ππππ10sin sin 101sin cos 8482828x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π8x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中2tan 1ϕ=，不妨设2ππ,42ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()h x ≤，等号成立当且仅当2πππ,Z 82x k k ϕ+=+∈，即[]28482,18,Z πx k k ϕ=+-∈∈，所以只能取1k =或2k =满足A 地与B 地的温差的最大值为.21.已知函数()f x 是指数函数，且其图象经过点()2,4，()()()11f xg x f x -=+.（1）求()f x 的解析式；（2）判断()g x 的奇偶性并证明：（3）若对于任意x ∈R ，不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的最大值.【答案】（1）()2xf x =（2）()g x 为奇函数，证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）设()xf x a =，代入点()2,4可求()f x 的解析式；（2）利用定义法判断并证明()g x 的奇偶性；（3）由()f x 的解析式，得不等式()22222211xx x x m --+≥+-恒成立，令22x x t -+=，转化为9m t t≤+在2t ≥时恒成立，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】设指数函数()xf x a =，0a >且1a ≠，函数图象经过点()2,4，有()224f a ==，解得2a =，所以()2xf x =.【小问2详解】()()()121121x x f x g x f x --==++，函数定义域为R ，()()211221211221x x x x xx g x g x ------===-=-+++，所以()g x 为奇函数.【小问3详解】不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦，即()22222211xx x x m --+≥+-，得()()222229x x x x m --+≥+-，令22x x t -+=，由222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时等号成立，得2t ≥，则有29t mt ≥-在2t ≥时恒成立，得9m t t≤+在2t ≥时恒成立，96t t +≥=，当且仅当9t t =，即3t =时等号成立，则有6m ≤，所以实数m 的最大值为6.【点睛】关键点点睛：不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦恒成立，即不等式()22222211xx x x m --+≥+-恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得()()222229x x x x m --+≥+-，利用换元得9m t t ≤+在2t ≥时恒成立，结合基本不等式求解即可.22.已知函数31()log 9(2)33x xf x k k k ⎡⎤=⋅--⋅++⎢⎥⎣⎦.（1）当0k =时，解不等式()0f x >；（2）若()f x 的最大值是1-，求k 的值；（3）已知01k <<，0a b <<，当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.【答案】（1）(1,)-+∞（2）2k =-（3）21,39⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；（2）设3(0)x t t =>，通过二次函数的性质分析即可；（3）通过二次函数单调性得到()1,()1f a a f b b =+=+，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.【小问1详解】当0k =时，331()log 23log 103xf x ⎛⎫=⋅+>= ⎪⎝⎭，则12313x⋅+>，解得1x >-，故不等式()0f x >的解集为(1,)-+∞.【小问2详解】当0k =时，3311()log 23log 133xf x ⎛⎫=⋅+>=- ⎪⎝⎭，不合题意；0k ≠时，设3(0)x t t =>，令21()(2)3g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意;②当0k <时，此时()g t 对称轴202k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-，所以2max22211()(2)22233k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =-或23k =(舍)，所以2k =-.【小问3详解】当01k <<时，设3(1)x t t =>，而21()(2)3g t kt k t k =--++的对称轴202k t k-=<，所以当1t >时，()g t 为增函数，故()f x 为增函数.()1,()1f a a f b b ∴=+=+，()213(2)3333aa a k k k ∴⋅--⋅++=⋅；()213(2)3333b b b k k k ⋅--⋅++=⋅，所以3,3a b 为方程21(2)33k t k t k t ⋅--++=的两根(0,0)a b >>.故21(1)03k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的不同实根.所以2011Δ(1)40311211(1)103k k k k k kk k k <<⎧⎪⎛⎫⎪=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨+>⎪⎪⎪⋅-+⋅++>⎪⎩，解得212739k +<<，所以实数k 的取值范围是2127,39⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.。
安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
A．
f
(x)
=
x
+
16 x
B．
f
(x)
=
cos
πx 4
C． f ( x) = x2 + ln x
D． f ( x) = -x2 + 4
10．已知函数
f
(x)
=
tan
æ çè
2x
-
π 4
ö ÷ø
，则下列说法正确的是（）
试卷第21 页，共33 页
A．函数
f
(
x)
的定义域为
ì í
x
î
x
¹
38ππ+
k 2
lg 2 » 0.301， lg 3 » 0.477 ）
A．4.7
B．4.5
C．4.8
D．5.0
5．已知实数 m，n，p 满足 m2 + n + 4 = 4m + p ，且 m + n2 +1 = 0 ，则下列说法正确的是（）
A． n ³ p > m
B． p ³ n > m
C． n > p > m
(2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？
19．已知全集U
= R ，集合 A = ìïíx ïî
log
1 2
(
x
-
2)
³
-2üïý ïþ
，
B
=
ìíx î
x x
+ -
5 3
>
0üý þ
．
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)若集合 C = {m 10 - m < x < 2m +1} ，若 (ðU B) Ç C = Æ ，求实数 m 的取值范围．
辽宁省本溪市2023-2024学年高一下学期开学考试 数学含答案
2026届高一年级寒假验收考试数学试题（答案在最后）命题人：宋德霞考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教B 版必修第一册，必修第二册，必修第三册7.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则{}02A x x =<<，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}02．角2024°的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()18f x x=B ．()12f x x-=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =4．在ABC △中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC =，则ED = （）A ．1124AB AC-+B ．1223AB AC-C ．1223AB AC-+D ．1124AB AC-5．已知正实数a ，b ，设甲：11a a b b +<+>，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．去年4月，国内猪肉，鸡蛋，鲜果、禽肉、粮食，食用油、鲜菜价格同比（与前年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况B ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C ．前年4月鲜菜价格要比去年4月低D ．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%7．已知函数()231x f x x =++，()2log 31g x x x =++，()331h x x x =++的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．函数()()2445f x x x x x =--）A ．4B ．2C ．4120D ．2110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,1e =B ．()11,2e = ，()22,1e =-C ．()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()12,6e = ，()21,3e =--10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7．8，9，7，6，5，10．9，5，7（单位：环），则（）A ．这组数据的中位数与众数相等B ．这组数据的30%分位数与极差相等C ．若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件D ．若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件11．已知()10y x x=>．则（）A x y 的最小值为2B ．28x y的最大值为34C ．229x y +的最小值为23D ．y y x -的最小值为14-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()()11f x f x f x ++-=，()3g x -是偶函数，且()()32f x g x +-=，若()31g -=则（）A ．()112f =B ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()()6f x f x =+D ．()f x 为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形OAB 的圆心角为2rad ，其弧长是1cm ，则该扇形的面积是______2cm ．14．已知()2,1a =-，()1,2b =- ，()()22a b a b m +- ∥，则m =______．15．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．16．已知函数()()13mx f x an a +=+-其中m ，n ∈R ，0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1，()1f =，则()2f m n +=⎡⎤⎣⎦______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}22150M x x x =--<，{}237N x m x m =-<<+．（1）当4m =-时，求()R M N ð；（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设两个非零向量a 与b不共线．（1）若b A a B =+，28a b BC =+，()3b CD a =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线．19．（本小题满分12分）已知函数()2221f x x x -=-+，函数()()1g x f x x=⋅．（1）求函数()g x 的解析式；（2）试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()g x 的值域．20．（本小题满分12分）某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率[)0,1120.12[)1,2300.3[)2,3x 0.4[]3,418y 合计m1（1）统计表中的x =______，y =______，补全频率分布直方图；（2）估计所有被调查学生劳动时间的平均数；（3）针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在[)0,1和[]3,4的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人．求这2人全部来自劳动时间在[]3,4的概率．21．（本小题满分12分）已知不等式()214k x k k +≤++，其中x ，k ∈R ，（1）若3x =，解上述关于k 的不等式；（2）若不等式对[)4,k ∀∈-+∞恒成立，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()42log 6x f x x -=-，且()31f =-，()44221x x x xg x m m --=+-⋅-⋅+．（1）解不等式()1f x >；（2）设不等式()1f x >的解集为集合A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数m 的取值范围．2026届高一年级寒假验收考试·数学试题参考答案，提示及评分细则1．A 由()()2,00,2A =- ，{}0,1,2B =，则{}1A B = ，故选A ．2．C 20242245360︒=︒+⨯︒，因为224°的终边在第三象限，所以角2024°的终边在第三象限．故选C ．3．B 设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入ay x =得142a=，所以12a =-．所以幂函数的解析式为()12f x x-=．故选B ．4．D 如图，因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，又3AE EC =，所以34AE AC = ，所以()13112424ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=- ．故选D ．5．C 由0a >，0b >及()1011a a a bb b b b +--=<++，得0a b <<，所以11a b >，显然>>可知110a b>>，则0b a >>，所以()1011a a a b b b b b +--=<++，即11a ab b +<+，所以甲是乙的必要条件．综上可知，甲是乙的充要条件．故选C ．6．D 由图可知，猪肉，鸡蛋，鲜果，禽肉，粮食，食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A 错误；因为34.4%58.5%<⨯，所以B 错误；前年4月鲜菜价格要比去年4月高．所以C 错误；因为()121.2%7.6%3%8.5%9.6%10.4%34.4%7⨯-++++++()122%7%3%8%9%10%34%7>⨯-++++++⎡⎤⎣⎦149%7%7=⨯=，所以D 正确．故选D ．7．B 令()0f x =，()0g x =，()0h x =得231xx =--，2log 31x x =--，331x x =--，则a 为函数2xy =与31y x =--交点的横坐标，b 为函数2log y x =与31y x =--交点的横坐标，c 为函数3y x =与31y x =--交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出2xy =，2log y x =，3y x =和31y x =--的图象，如图所示，由图可知，b c a >>，故选B ．8．C 由解析式易知()f x 的定义域为[]0,4，令)0t t =+>，所以24t =+2122t =-，由y =04x ≤≤，可知0y ≤≤248t ≤≤，则2t ≤≤所以()()(222114225255f x g x t t t t ⎛⎫==--=-++≤≤ ⎪⎝⎭，则()()2154141522020f xg t t ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4120．故选C ．9．ACD A ，C ，D 中向量1e 与2e x 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e不共线，所以可作为一组基底．故选ACD ．10．AC由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，所以这组数据的众数为7，中位数是()7727+÷=，所以这组数据的中位数与众数相等，故A 正确；因为100.33⨯=，所以这组数据的30%分位数为()672 6.5+÷=，极差为1055-=，不相等，故B 错误；若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，故C 正确；若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，但不是对立事件，故D 错误．故选AC ．11．AD 对于A ，因为0x >，0y >2≥=，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；对于B ．因为0x >，0y >，由基本不等式得328222x xx y+=≥==当且仅当3,1,x y xy =⎧⎨=⎩即x =3y =时，等号成立，故28x y 的最小值为B 错误；对于C ，由基本不等式得22966x y xy +≥=，当且仅当x =3y =时，等号成立，故229x y +的最小值为6，C 错误；对于D ，因为()10,0y x y x=>>，所以22111244y y y y y x ⎛⎫-=-=--≥-⎪⎝⎭，当12y =时，等号成立，故y y x -的最小值为14-，D 正确．故选AD 12．ABC因为()3g x -是偶函数，所以()()()()()()3323f x g x f x g x f x g x -+--=-+-==+-，所以()()f x f x =-．当0x =时，()()032f g +-=，又()31g -=，所以()01f =，所以()()()1101f f f +-==，所以，()112f =，故A 正确；由()()()11f x f x f x ++-=，得()()()21f x f x f x +-=-，两式相加得()()12f x f x -+=-，所以()()3f x f x =-+，又()()f x f x =-，所以，()()3f x f x -=-+，即()()30f x f x -++=，所以()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；()()()36f x f x f x =-+=+，故C 正确；由()()f x f x =-可知()f x 为偶函数；D 不正确．故选ABC ．13．14设扇形的半径为R ，则12R =，所以12R =，所以扇形的面积为21111cm 224⨯⨯=．14．－6因为()2,1a =-，()1,2b =- ，所以()425,a b +=- ，()323,6a b m m m -=--，由()()23a b a b m +-∥，得()()564230m m -+-=，解得6m =-．15．1116由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛，则再进行两场比赛甲队获胜的概率为111224⨯=；再进行三场比赛甲队获胜的概率为11111112222224⨯⨯+⨯⨯=；再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以最终甲队获胜的概率为11311441616++=．16．22由题意，函数()()13mx f x an a +=+-恒过定点()2,1，可得210,30,m n +=⎧⎨-=⎩解得12m =-，3n =，所以15322m n +=-+=，()()1123x mx f x a n a a -++=+-=，()121f a ==2a =．则511445222f -+-⎛⎫==⎪⎝⎭，()221245222f m n f -⎛⎫⎡⎤⎛⎫+===⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭．17．解：{}{}2215035M x x x x x =--<=-<<．（1）当4m =-时，{}113N x x x =-<<，则{}R 113N x x x =≤-≥或ð，所以(){}R 35M N x x =≤< ð．（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，则M N Ü，所以233,75,m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时取得），解得20m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,0-．18．（1）证明：∵b A a B =+ ，28a b BC =+，()3b C a D =- ，∴()()832833552a b a b a b BD B D a C b a b A C B ===++-=++-++=．∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解：∵ka b - 与a kb +向共线，∴存在实数()0λλ<，使即()bka b a k λ+=+即b ka b a k λλ+=+，∴()()1bk a k λλ=--∵a ，b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-．19：解：（1）令2t x =-，则2x t =+，∴()()()22221f t t t =+-++，∴()221f t t t =++，即()221f x x x =++，∴()()12f x g x x xx==++．（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上单调递增．证明：任取121x x >>，则()()()()12121212121211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又120x x ->，1210x x ->，120x x >，∴()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，∴函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数．（3）当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时．等号成立．当0x <时，()()112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立．∴()g x 的值域为(][),04,-∞+∞ ．20．解：（1）由题意120.12100m m =⇒=，故0.440x m ==，180.18y m==，频率分布直方图如图所示：（2）平均劳动时间120.530 1.540 2.518 3.5214 2.14100100t ⨯+⨯+⨯+⨯===（时）．（3）由题意，劳动时间在[)0,1应抽取的人数为0.12520.120.18⨯=+（人），分别记为A ，B ；劳动时间在[]3,4应抽取的人数为0.18530.120.18⨯=+（人），分别记为a ，b ，c ．则该试验的样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=．设事件M =“抽取的2人均来自[]3,4”，则()()(){},,,,,M a b a c b c =，()3n M =，所以()310P M =，故所求概率为310．21．解：（1）若3x =，则不等式()214k x k k +≤++变形为2210k k -+≥，即()210k -≥，解得k ∈R ，故不等式的解集为R ．（2）不等式()214k x k k +≤++对[)4,k ∀∈-+∞恒成立．当1k =-时，()()20114≤-+-+，即04≤，x ∈R ；当1k >-时，241k k x k++≤+恒成立．∵24441113111k k k k k k k ++=+=++-≥=+++（当且仅当41,11,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪>-⎩即1k =时，等号成立）∴3x ≤；当41k -≤<-时，241k k x k++≥+时恒成立．∵()()244411115111k k k k k k k ⎡⎤++=++-=--++-≤-⎢⎥++-+⎣⎦（当且仅当41,141,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪-≤<-⎩即3k =-时，等号成立），∴5x ≥-．综上，x 的取值范围为[]5,3-．22，解：（1）由条件()2log 6ax f x x -=-可知，206x x ->-，解得26x <<，故函数()f x 的定义域为()2,6，由()31f =-，可知1log 13a=-，得到3a =，即()32log 6x f x x -=-，解不等式()1f x >，即236x x ->-，解得56x <<，所以不等式()1f x >的解集为{}56x x <<．（2）由（1）可知{}56A x x =<<．设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈时，[]21,2x∈，对于函数1y x x =+，[]1,2x ∈时为增函数，故5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎣⎦，则()()()22222211xx x x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，由题意知()5,6A =为52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()h t 的值域的子集，当22m ≤，即4m ≤时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()2325,5215 6.242h m h m =-≤⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即得3110m -≤≤-；当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h ，52h ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的较大者，令()2326h m =-≥，∴32m ≤-；令52156242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则316m ≤-，不合题意；当522m ≤，即5m ≥时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()2326,52155,242h m h m =-≥⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得m ∈∅．综合上述，实数m 的取值范围为31,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案)
衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<2．命题“()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +<”的否定是（ ）A ．()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +≥ B ．(),0x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥C ．(),0x ∀∈-∞，2sin 0x x +<D ．()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +>3．若a,b,c,d ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若a >b,c >d ，则ac >bd B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若a >b ，则a −c >b −c D ．若a <b <0，则1a<1b4．下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A ．x y x=与1y =B ．321x x y x +=+与y x= C ．211x y x -=-与1y x =+D ．221y x x =-+1y x =-5．把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ）A ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6．已知a =1log 832，b =π0.01，c =sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．a <c <b7．函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（ ） A ．B ．C ． D.8．已知函数f(x)={|2x −1|,x ≤1(x −2)2,x >1，函数()y f x a =-有四个不同的的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4，则（ ） A ．a 的取值范围是(0,12) B ．21x x -的取值范围是(0,1)C ．342x x +=D ．12342212x x x x +=+ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ]，则a =13B ．一次函数f(x)满足f(f(x))=4x +3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x +1C ．奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则2f(−4)+f(−2)=−15D ．若集合A ={x|−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，则a ≤−2 10．已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图像关于原点对称 B ．函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在[]0,π上的值域为91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 在[],ππ-上有且仅有3个零点11．已知a,b 为正实数，且ab +2a +b =16，则（ ） A ．ab 的最大值为8 B ．2a +b 的最小值为8 C ．a +b 的最小值为6√2−3 D ．1a+1+1b+2的最小值为√2212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 关于直线1x =对称 B ．4是函数()f x 的周期 C ．()()202220230f f += D ．方程ln f xx 恰有4个不同的根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知θ∈(π2，π),且sin θ=35,则tanθ=______.14．已知幂函数f(x)经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知函数f(x)=cos(2x −π3)在(0，m)上的值域为(12，1]，则m 的取值范围是_________． 16．已知函数f(x)=3x 3x +1+x 3，且f(m)+f(m +1)>1，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈R,ax 2+2x +3≥0；q ：∃x ∈[1,2],使x 2+2x +a ≥0. (1)若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 是假命题，命题q 是真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分） 已知函数()1ln1x f x x +=-． (1)判断函数()f x 在()1+∞，上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式()()2232470f x x f x x +++-+->．19．（本小题满分12分）已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x a =-++，a ∈R ，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求a 的值及函数()f x 的单调递增区间； (2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．20.（本小题满分12分） (1)已知tan (π4+α)=12，求sin 2a−cos 2α1+cos2a的值.(2)求sin40∘(tan10∘−√3)的值.21．（本小题满分12分）2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x 千部手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)试写出2023年利润L （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式； (2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．22．（本小题满分12分）已知函数()f x 22x x k -=+⨯，其中 k 为常数．若函数()f x 在区间 I 上()()f x f x -=-，则称函数()f x 为 I 上的“局部奇函数”；若函数()f x 在区间 I 上满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为 I 上的“局部偶函数”．(1)若()f x 为[]22-,上的“局部奇函数”，当[]2,2x ∈-时，解不等式()2f x >； (2)已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[)(]2,11,2--上是“局部偶函数”，()()[]()[)(],1,1,2,11,2f x x F x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈--⋃⎪⎩，对于[]22-,上任意实数123x x x ，，，不等式()()()123F x F x m F x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试参考答案：1．B【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B. 2．B【详解】命题“()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +<”的否定是：对(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥.故选：B 3．C【详解】对于A ，若a =2,b =1,c =−1,d =−2，则ac =bd =−2，所以A 错误；对于B ，若c =0，则ac 2=bc 2=0，所以B 错误；对于C ，因为a >b ，所以由不等式的性质可得a −c >b −c ，所以C 正确；对于D ，因为a <b <0，所以ab >0，所以a ab <b ab ，即1b <1a，所以D 错误，故选C. 4．B【详解】选项A 函数xy x=的定义域为{}|0x x ≠，而1y =的定义域为R ， 故A 错误；选项B 函数321x xy x +=+的定义域为R ，而y x =的定义域为R ，且()232221(10)11x x x x y x x x x ++===+>++，故B 正确； 选项C 函数211x y x -=-的定义域为{}|1x x ≠，而1y x =+的定义域为R ，故C 错误；选项D 函数221y x x -+R ，而1y x =-的定义域为R ， 但是2211y x x x =-+-，故解析式不一样，所以D 错误； 故选：B. 5．B【详解】将πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移π3个单位长度得到πππsin +=sin +4312y x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到πsin +212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()πsin +212x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B ． 6．D【详解】∵sin π4<sin1<sin π3,∴√22<c <√32；又a =1log 832=log 328=log 2523=35,b =π0.01>π0=1，.∵√22=5√210>610=35，√32<1，∴a <c <b .故选D7．B【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===--，∴函数()f x 是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项； 又()1121101e e f e e--==->，故排除D 选项； ()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==，当2x >时，0f x，即()f x 在()2+∞，上单调递增，故排除C 选项. 故选：B. 8．D【详解】()y f x a =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，即()f x a =有四个不同的解．()f x 的图象如下图示，由图知：1201,01a x x <<<<<，所以210x x ->，即21x x -的取值范围是(0,＋∞)． 由二次函数的对称性得：344x x +=，因为121221x x -=-，即12222x x +=，故12342212x x x x +=+． 故选：D 9．AC【详解】对A ，∵偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ],∴2a −1=−a,解得a =13，A 对；对B ，设一次函数f(x)=kx +b(k ≠0)，则f(f(x))=f(kx +b)=k(kx +b)+b =k 2x +kb +b,∵f(f(x))=4x +3,∴{k 2=4kb +b =3，解得{k =2b =1,或{k =−2b =−3,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x +1或f(x)=−2x −3,B 错；对C,∵奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，∴f(2)=−1，f(4)=8，∴f(−2)=−f(2)=1，f(−4)=−f(4)=−8, 2f(−4)+f(−2)=2×（−8）+1=−15,C 对；对D ，∵集合A ={x |−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，∴方程−ax 2+4x +2=0至多有一个解，当a =0时，方程4x +2=0只有一个解−12，符合题意；当a ≠0,由−ax 2+4x +2=0至多有一个解，可得∆=16+8a ≤0，解得a ≤−2，∴a =0或a ≤−2,D 错.故选AC 10．BD【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ．因为()()()sin cos 2sin cos2f x x x x x -=-+-=-+， 所以()()f x f x -≠-，则函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 错误．对于B ，()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，sin y x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，即[]sin 1,0x ∈-，令sin x t =，[]1,0t ∈-时，函数221y t t =-++在[]1,0-上单调递增，根据复合函数单调性，故B 正确． 对于C ，当[]0,x π∈，即[]sin 0,1∈x 时，[]0,1t ∈，则问题转化为函数221y t t =-++在[]0,1上的值域，二次函数对称轴方程为14t =， 故函数221y t t =-++在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当14x =时，取得最大值为98，当1x =时，取得最小值为0，故值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误．对于D ，令()sin cos20f x x x =+=，即22sin sin 10x x -++=，解得sin 1x =或1sin 2x =-，当[],x ππ∈-时，2x π=或6x π=-或65x π=-，故函数()f x 在[],ππ-上有3个零点，故D 正确． 故选：BD ． 11．ABC【详解】因为16=ab +2a +b ≥ab +2√2ab ，当且仅当2a =b 时取等号，解不等式得 −4√2≤√ab ≤2√2，即ab ≤8，故ab 的最大值为8，A 正确；由16=ab +2a +b 得b =16−2a a+1=18a+1−2，所以2a +b =2a +16−2a a+1=2(a +1)+18a+1−4≥2√2(a +1)∙18a+1−4=8，当且仅当2(a +1)=18a+1，即a =2时取等号，此时取得最小值8，B 正确；a +b =a +18a+1−2=a +1+18a+1−3≥6√2−3,当且仅当a +1=18a+1，即a =3√2−1时取等号，C 正确；1a+1+1b+1≥2√1a+1∙1b+1=2√1ab+2a+b+2=√23，当且仅当a +1=b +2时取等号，此时1a+1+1b+1取得最小值√23，D 错误. 故选ABC. 12．ABD【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数， 所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+ 所以()f x 关于1x =对称，故A 正确. 对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确 对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=- 所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象， 又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确. 故选： ABD 13．−34【详解】θ∈(π2，π),且sin θ=35∴cos θ=√1−sin 2θ=−45，则tan θ=sinθcosθ=−34故答案为:−34.14．{01}xx <<∣ 【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =， 则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<， 故答案为：{}1|0x x <<. 15．(π6,π3]【详解】因为x ∈(0,m),所以−π3<2x −π3<2m −π3,因为f(x)在(0，m)上的值域为(12,1]，f(0)=cos(−π3)=12，所以0<2m −π3≤π3，解得π6<m ≤π316．m >−12 【详解】由3x 3x +1联想到构造3x −13x +1,因为f(0)=12，所以考虑f(x)−12=12∙3x −13x +1+x 3,令g(x)=f(x)−12,可知函数g(x)为奇函数且单调递增。
2023-2024学年四川省绵阳高一下学期开学考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年四川省绵阳高一下册开学考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3,1,0,1A =--，集合{}22,B x x x =-<<∈Z ，则A B = （）A.{}1- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}1,0-【正确答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}3,1,0,1A =--，{}{}22,1,0,1B x x x =-<<∈=-Z ，因此，{}1,0,1A B =- .故选：B.2.下列说法正确的是：（）A.终边在y 轴上的角的集合为ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣B.第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C.第二象限角大于第一象限角D.60︒角与600︒角是终边相同角【正确答案】A【分析】根据终边相同角的表示可判断A ，D ；根据象限角的概念与表示可判断B ，C ．【详解】对于A ，终边在y 轴上的角的集合为π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，即ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣，即ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故A 正确；对于B ，第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，故B 错误；对于C ，120︒是第二象限角，420︒是第一象限角，120420︒<︒，故C 错误；对于D ，600360240︒=︒+︒，与60︒终边不同，故D 错误．故选：A ．3.函数()211f x x =+-的定义域为（）A.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.()2[,1)1,3⋃+∞ D.2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由已知得32010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得23x >且1x ≠，所以函数()211f x x =+-的定义域为()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B4.若角α的终边过点()3,4P -，则2sin cos αα+的值为（）A.25-B.25C.1D.1-【正确答案】D【分析】先由三角函数的定义得到sin ,cos αα，再代入2sin cos αα+计算即可.【详解】由三角函数的性质可得43sin ,cos55αα=-=，432sin cos 2155αα⎛⎫∴+=⨯-+=- ⎪⎝⎭故选：D.5.下列各组中两个值大小关系正确的是（）A .()()tan 50tan 48-<-B.912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()sin 506sin 145>D.cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A 、B ：由正切函数的单调性可得()()tan 50tan 48-<-，912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A 正确，B 错误；对于选项C ：()()()sin 506sin 360146sin 146=+=，则根据正弦函数的单调性可得()()sin 146sin 145< ，则C 错误；对于选项D ：根据余弦函数的单调性可得cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 错误；故选：A.6.函数()21x f x x-=的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x -=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7.《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以直接完成的无字证明为（）A.222(00)a b ab a b +≥>>，B.00)2a ba b +≥>>，C.00)2a b a b +≤>>， D.200)aba b a b≤>>+，【正确答案】C【分析】由图形可知用a 、b 表示出OF 、OC ，在Rt OCF 中由勾股定理可求CF ，根据OF CF ≤即可得出结论．【详解】由图形可知：122a b OF AB +==，2a bOC -=．在Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF ==．CF OF ≥ ，2a b +∴≤．(0)a b >，．故选：C ．8.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0∞-单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A.()()()f c f a f b >>B.()()()f a f c f b >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f a f b f c >>【正确答案】A【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、()f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈ ，0.30.40.331,331a b =>=>>，即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0∞-上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>，故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列判断正确的有（）A.3π=- B.78a =（其中0a >）C.341627818-⎛⎫=⎪⎝⎭D.8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0m >，0n >）【正确答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A ，根据分数指数幂的运算性质判断B ，C ，D.【详解】对于选项A3ππ3=-=-，A 错误；对于选项B ，因为0a >78a===，B 正确；对于选项C ，33433441622327813328---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于选项D ，因为0m >，0n >，所以8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10.关于函数π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.直线π3x =为其一条对称轴B.点π(,0)6-为其一个对称中心C.在区间22π,π33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减D.在区间π2,π23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减【正确答案】ABD【分析】四个选项都采用代入的方法，结合函数的性质和图象，即可判断选项.【详解】A.当π3x =时，ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =为其一条对称轴，故A 正确；B.当π6x =-时，πππsin sin 00666f ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π(,0)6-为其一个对称中心，故B 正确；C.当22π,π33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,626x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当πππ,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当ππ5π,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；D.当π2,π23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π5π,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数单调递减，故D 正确.故选：ABD11.若直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 可以是（）A.2B.13C.14D.18【正确答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，当01a <<时，|1|x y a =-的图象如图（1）所示，由已知得031a <<，103a ∴<<；当1a >时，|1|x y a =-的图象如图（2）所示，由已知可得031a <<，103a ∴<<，结合1a >可得a 无解．综上可知a 的取值范围为1(0,3．故选：CD ．12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x 关于直线1x =对称B.4是函数()f x 的周期C.()()202220230f f +=D.方程()ln f x x =恰有4不同的根【正确答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A 的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B 的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C 的正误；分别作出()y f x =和ln y x =的图象，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数，所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+所以()f x 关于1x =对称，故A 正确.对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=-所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象，又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.函数22log (2)y x =-的零点是_________．【正确答案】1和3【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令()221x -=即可求解【详解】依题意，令()221x -=，解得：1x =或3x =，故1和3.14.若()0,x ∞∈+幂函数()211a y a a x-=--为减函数，则实数a 的值为______.【正确答案】1-【分析】先根据函数是幂函数求出a 的值，再代入验证即可.【详解】因为函数()211a y a a x-=--是幂函数，所以211a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，2y x -=，满足在区间()0,∞+上是减函数，当2a =时，y x =，不满足在区间()0,∞+上是减函数，故1-15.若正实数a 、b 满足3a b +=，则14a b+的最小值为______.【正确答案】3【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数a 、b 满足3a b +=，所以()14114141553333a a b a b a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b =，则23b a a b =⎧⎨+=⎩，即1a =，2b =时取等号，即14a b +的最小值为3.故316.已知函数22,1()2ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.【正确答案】57,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【分析】画出()f x 的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】12221,1,1()2ln(1),1ln(1),1x x x x f x x x x x -⎧+⎧+≤≤⎪⎪==⎨⎨->⎪⎩⎪->⎩()12f =，由()ln 12x -=解得2e 1x =+.画出()f x 的图象如下图所示，令()f x t =，由图象可知()y f x =与y t =有两个公共点时，01t <≤或2t >；()y f x =与y t =有一个公共点时，0=t ；()y f x =与y t =有三个公共点时，12t <≤.依题意，22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，对于函数()223h t t at =-+，由于()2003h =≠，()h t 的两个零点12,t t ，全都在区间(]0,1或区间()2,+∞，或一个在区间(]0,1一个在区间()2,+∞，所以()()2228Δ4033012200321103a a a h h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=-+≥⎩或()2228Δ403322224203a a a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪=-+>⎪⎩或()()()2228Δ4033200321103224203a a h h a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪=>⎪⎨⎪=-+≤⎪⎪⎪=-+<⎩，解得26533a <≤或∅或73a >，所以a 的取值范围是2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数()f x 的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）)106362338(31)42(3)+--（2）23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+．【正确答案】（1）4（2）5【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）根据对数的运算性质求解即可．【小问1详解】102331)2+-+312233322122⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭42213+-+==．【小问2详解】23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+222log 8=lg4lg25log 30log 3++⨯+()2lg 425log 8⨯+=232lg10log 2235+=+==．18.已知()()()πsin 3sin 3π23π2cos cos π2f ααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（1）化简()f α.（2）已知tan 2α=，求()f α的值.【正确答案】（1）3sin cos 2sin cos αααα-+；（2）1.【分析】（1）根据诱导公式直接计算化简即可；（2）根据齐次式求解即可.【小问1详解】解：根据诱导公式得：()()()πsin 3sin 3πcos 3sin 3sin cos 23π2sin cos 2sin cos 2cos cos π2f ααααααααααααα⎛⎫+-- ⎪--⎝⎭===--+⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【小问2详解】解：由（1）知()3sin cos 2sin cos f ααααα-=+，因为tan 2α=，所以()3sin cos 3tan 132112sin cos 2tan 1221f ααααααα--⨯-====++⨯+19.已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求R ()P Q ⋂ð；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）R ()[2,4)P Q =- ð（2）[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【小问1详解】当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞ ð,R ()[2,4)P Q =- ð，【小问2详解】由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤，故a 的取值范围是[0,2]20.对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()C x 万元，已知()249,0501440051870,5010021ax x x C x x x x ⎧+<⎪=⎨+-<⎪+⎩，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为()L x 万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. 1.41)≈（1）年利润()L x （单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？【正确答案】（1）21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩（2）当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；（2）当(0x ∈，50]时，求得max y 万元；当(50x ∈，100]时，结合基本不等式，即可求.【小问1详解】当基底产出该中药材40吨时，年成本为16004940250a +⨯+万元，利润为5040(16004940250)190a ⨯-+⨯+=，解得14a =-，则21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩.【小问2详解】当(0x ∈，50]，()212504L x x x =+-，对称轴为20x =-<，则函数在(0，50]上单调递增，故当50x =时，max 425y =，当(50x ∈，100]时，()14400144002114400620620620.5620.5451.32121221x L x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-+-≈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当且仅当2114400221x x +=+，即184.12x =-≈时取等号，因为425451.3<，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.21.已知函数()231x f x x -=+．（1）判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：()f x 在（-1，＋∞）上是增函数；（3）求函数()f x 在区间［1，4］上的值域．【正确答案】（1）函数()f x 不具有奇偶性；理由见解析；（2）证明见解析；（3）［-12，1］.【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；（2）任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2，通过计算f （x 1）-f （x 2）的正负来判断单调性；（3）通过函数()f x 在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.【小问1详解】由已知10x +≠，故1x ≠-函数()f x 定义域为()(),11,-∞--+∞ ，因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不具有奇偶性；【小问2详解】证明：()231x f x x -=+=2(1)51x x +-+=521x -+，任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2f （x 1）-f （x 2）＝（2-151x +）-（2-251x +）＝251x +-151x +=12125(1)5(1)(1)(1)x x x x +-+++＝12125()(1)(1)x x x x -++，又由-1＜x 1＜x 2，则x 1-x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，故f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f (x )在（-1，＋∞）是增函数；【小问3详解】由（2）知，f (x )在［1，4］上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝-12，f (x )max ＝f （4）＝1，故f (x )在［1，4］上的值域是［-12，1］．22.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）1,0a b ==；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）(0,)+∞．【分析】（1）判断函数在[2,3]上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得,a b ；（2）设2log [1,2]t x =∈，利用分离参数法，题中问题为22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭在[1,2]t ∈上有解，求出2121t t+-的最大值即可得．（3）把方程化简，并设21x t =-，方程化为2(32)(21)0t k t k -+++=，结合21x t =-图象，方程2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，则有101t <<，21t >，或101t <<，21t =，利用二次方程根的分布知识求得k 的范围．【详解】（1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-，[2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭，[1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14，∴124k ≤，即18k ≤．∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）原方程化为221(32)21(31)0x x k k --+-++=，令21x t =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(31)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21x t =-的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记2()(32)(31)0h t t k t k =-+++=，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解．综上k 的取值范围是(0,)+∞．本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．。
高一数学下学期开学考试试题 10
宁夏高级中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔12×5=60分〕1．设全集U=R ，集合A={x|x≤3}，B={x|﹣1＜x≤6}，那么集合〔C U A 〕∩B〔 〕 A ．{x|3≤x＜6} B ．{x|3＜x ＜6} C ．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x≤6} 2．点()1,2-到直线10x y -+=的间隔 是( )A ．22B ．22C ．2D ． 3223．以下函数中,在区间上为增函数的是A ．B ．C ．D ．4．直线ax+2y ﹣1=0与直线〔a ﹣4〕x ﹣ay+1=0垂直，那么实数a 的值是〔 〕 A ．0 B ．﹣4或者2 C ．0或者6 D ．﹣45．函数，，那么函数的图象可能是下面的哪个〔 〕A ．B ．C ．D ．6．，那么的大小关系为〔 〕A ．B ．C ．D ．7．方程的实数根的所在区间为〔 〕A ．〔3，4〕B ．〔2，3〕C ．〔1，2〕D ．〔0，1〕8．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，那么PA 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．某几何体的三视图如下图，俯视图右侧是半圆，那么该几何体的体积为〔 〕A ．B ．C ．D ．10．设m ，n 表示不同的直线，，表示不同的平面，给出以下命题 假设，，那么；假设，，，那么； 假设，，，那么其中错误命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，假设()()()24log log 2f m f m <+成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ． 1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,4D ．[]2,412．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，那么三棱锥D －ABC 的体积为( ) A.212a 3 B.a 312 C.24a 3 D.a 36二、填空题〔4×5=20分〕13．直线x－y＋2＝0的倾斜角是________14．假设点在幂函数的图象上，那么________15．函数，那么满足的实数的取值范围是_______．16．函数f〔x〕=在R上为减函数，那么实数a的取值范围是______．三、解答题〔5×12=60分〕17．计算以下各式的值〔1〕 ;〔2〕.18．菱形ABCD中，A〔-4，7〕，C〔2，-3〕，BC边所在直线过点P〔3，-1〕．求：〔1〕AD边所在直线的方程；〔2〕对角线BD所在直线的方程．19．是定义在R上的奇函数，当时，．〔1〕求函数的表达式；〔2〕假设函数在区间上是单调的，试确定a的取值范围．20．函数． 〔1〕用定义证明是偶函数； 〔2〕用定义证明在上是减函数；〔3〕作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值.21．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，︒=∠60DAB ，为等边三角形.〔1〕求证:；〔2〕假设，求直线与平面所成的角.22如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设点是的中点，证明：平面平面；〔3〕求三棱锥的体积.高级中学2021-2021年(二)开学考试高一年级数学测试卷答案一、选择题〔12×5=60分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A C D D C C B B B A二、填空题〔4×5=20分〕13 45° 14 9 15 (2 ,3) 16 [1 ,2]17、〔1〕原式〔2〕原式18、〔1〕k BC==2，∵AD∥BC，∴k AD=2，∴直线AD方程为y-7=2〔x+4〕，即2x-y+15=0。
湖南省衡阳市衡钢中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题
湖南省衡阳市衡钢中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．已知函数3()log 3f x x x =+，33x x +的零点分别1x ，的大小关系为（）．231x x x <<B ．1x <213x x x <<D ．．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为)0a b <<.为便于调控生产，分别将1、x a a b x x -=-、x a b x -=-的值记为,,A G H 并进行分析.则关系为（）．H G A <<G H A <<A G H<<A H G<<．方程()((sin 211,1x a a -=∈-()1212,x x x x <，则(sin x ．21a --B ．1aD ．二、多选题．下列运算法则正确的是（．322log log 3a ab b=()m nmnaa =ln log ln a bb a=（0,b a >>．(0,,m nm n aa a a m +=⋅≠．下列说法正确的是（）三、填空题四、解答题(1)求扇形圆心角的大小；(2)现在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板AOP α∠=，试问如何确定20．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y （单位：万元）是销售利润下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为30万元时，总奖金A ．(0)y kx b k =+>；B ．(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？21．哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，顶和外墙建造隔热层.本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，万元）与隔热层厚度x （单位：1。
重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
(2)若关于 x 的不等式 f g x kx 1在 x 3, 4 上恒成立，求实数 k 的取值范围．
试卷第 3 页，共 3 页
C．0,1, 2
D．( - 1, 2)
2．已知角 终边上有一点 P(sin 2 , cos 2) ，则 π 是（ ） 33
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．函数 f x xg2x x 的图象大致为（ ）
x
A．
B．
C．
D．
4．若
sin
4
cos
4
2 ，则 tan （
的关系为
d
Asin t
K
A
0,
0,
π 2
π 2
.
(1)求 A,,, K 的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
16．已知函数 f x ax 1(a 0, a 1) 的图像恒过定点 A ，且点 A 又在函数
g(x) log2 (x a)2 的图象上．
(1)若 f x f x 3 ，求 x 的值；
B． 0,
C． 0, 3
D． 0, 3
二、多选题 9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）
A． y 10x 10x
B． y log2 x2 1
C． y x3
D． y | sin x |
10．已知正实数 x，y 满足 x y 4 ，则下列选项正确的是（ ）
A． ex ey 的最小值为 2e2
重庆市第八中学校 2023-2024 学年高一下学期开学考试数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}220,20A x x x B x mx =+-==+=∣∣，若A B B =则实数m 的取值集合为（ ） A ．{}2,1- B ．{}1,2-C ．2,0,1D ．{}1,0,2-【答案】C【分析】由A B B =知B A ⊂，然后对0,0m m =≠讨论可得. 【详解】当0m =时，集合B 为空集，显然满足题意，故排除A 、B ；当0m ≠时，集合2{}B m =-，集合{2,1}A =-，则有22m -=-，或21m-=，即1m =或2m =-.故选：C2．若x 、y 都是正实数，则“4xy ≤”是“4x y +≤”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为x 、y 都是正实数，若4xy ≤，取0.5x =，6y =，则4x y +>，即“4xy ≤”⇒“4x y +≤”；若4x y +≤，由基本不等式可得242x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“4xy ≤”⇐“4x y +≤”.因此，“4xy ≤”是“4x y +≤” 必要不充分条件. 故选：B.3．已知f (x )＝│x │，g (x )＝x 2，设()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，，，，则函数h (x )大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在同一坐标系中，作出函数f (x )＝│x │，g (x )＝x 2的图象，可得选项. 【详解】在同一坐标系中，作出函数f (x )＝│x │，g (x )＝x 2的图象，又因为()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，，，，根据图象可知D 选项正确；故选：D.【点睛】本题考查分段函数的定义，函数的图象的应用，属于基础题. 4．已知12log 3a =，132b =，32c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数对数函数的性质分别判定,,a b c 与0,1的大小关系，即可作出判定. 【详解】因为1122log 3log 10a =<=，103221b =>=，300221c -<=<=，所以a c b <<．故选:B ．5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，设71249N =⨯，则N 所在的区间为（ ）A ．()131410,10B ．()141510,10C ．()151610,10 D ．()161710,10【答案】C【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.【详解】因为712712142449,lg lg4lg9lg2lg314lg224lg3 4.21411.450415N N =⨯=+=+=+≈+≈.6644，所以()15.664415161010,10N =∈. 故选：C6．下列选项使得函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的是（ ）A ．117,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为函数()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即求函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的减区间.然后再根据选项进行选择.【详解】函数()sin 2sin 233x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减时，()f x 单调递增.由3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 即511222,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以5112,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增为：511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 当0k =时，()f x 在511[,]1212ππ调递增. 当1k =-时，()f x 在7[,]1212ππ--调递增. 故选：B【点睛】本题考查正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的单调性的求法，要注意ω为负数的情况，是易错题，属于基础题.7．已知m ，n 是方程x 2＋5x ＋3＝0的两根，则 ） A ．－B ．C ．±D ．以上都不对【答案】A【分析】根据韦达定理得到5m n +=-，3mn =，且0m <，0n <，利用m =n =式可得结果.【详解】因为m ，n 是方程x 2＋5x ＋3＝0的两根， 所以5m n +=-，3mn =，所以0m <，0n <， 所以===-=-故选：A.【点睛】本题考查了韦达定理，属于基础题.8．定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，()()()4222440f x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦+⎦⎣-+=任意的实数x 都成立，且值域为[]0,2．设函数22,2(),2,2x m x g x m x --≤⎧=⎨-+>⎩若对任意的()14,1x ∈--，都存在20x >，使21()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]3,0-B ．[]2,0-C ．()1,0-D ．(]0,1【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和值域可得2,2(),222,2x f x x x x <-⎧⎪=-<<⎨⎪>⎩，作出函数(),()y f x y g x ==的函数图象，结合当2x >时()22g x m =-+≥及(4,1)x ∈--时函数()g x 的图象要位于()f x 的下方，得到(1)(1)g f -≤-，即可求解.【详解】由4222[()](4)[()]40f x x f x x -++=，得222{[()]4}{[()]}0f x f x x --=，解得()f x x =或()2f x =， 因为()f x 为偶函数，且值域为[0,2]，所以2,2(),222,2x f x x x x <-⎧⎪=-<<⎨⎪>⎩；由22,2()2,2x m x g x m x --≤⎧=⎨-+>⎩，在一个平面直角坐标系中画出两者的函数图象，如图，要想满足任意的1(4,1)x ∈--，存在20x >，使得21()()g x f x =成立， 则当2x >时，()22g x m =-+≥，解得0m ≤，且(4,1)x ∈--时，函数()g x 的图象要位于函数()f x 图象的下方， 故只需(1)(1)g f -≤-，解得3m ≥-. 综上，实数m 的取值范围为[3,0]-. 故选：A.二、多选题9．已知函数()326f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列选项正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 3D ．曲线()y f x =关于直线6x π=对称【答案】ACD【解析】根据最小正周期的计算公式，可判定A 正确；根据03f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，可判定B 错误；根据三角函数的最值，可判定C 正确；根据三号函数的对称性，可判定D 正确.【详解】由题意，函数()326f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由于()f x 的最小正周期22T ππ==，故正确； 对于B ，由于33sin 20336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； 对于C ，由于()max 3f x 对于D ，()f x 的对称轴为2262x k πππ+=+得6x k ππ=+，当0k =时，6x π=，即()y f x =关于直线6x π=对称，所以D 正确.故选：ACD .10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}4x >，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】ABD【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程20ax bx c ++=的两根，再结合韦达定理可得b ＝−2a ，c ＝−8a ，代入选项B 和D ，解不等式即可；当x ＝1时，有0a b c ++<，从而判断选项C ．【详解】由题意可知0a >，A 选项正确；24-，是方程20ax bx c ++=的两根，24,24.2,8b cb ac a a a∴-+=--⨯=-∴=-=-，则90a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为280ax a -->，解得<4x -，B 选项正确；不等式20cx bx a -+<即为2820ax ax a -++<，即28210x x -->，解得14x <-或12x >，D 选项正确． 故选：ABD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．要得到函数2sin(3)3y x π=-的图象，只需将函数2sin3y x =的图象向右平移9π个单位；B ．cos 2y x =在(,)2ππ上是增函数；C ．若点1(2P 为角α的终边上一点，则1cos 2α=；D ．已知扇形的圆心角23πα=，所对的弦长为83π. 【答案】ABCD【分析】利用三角函数的平移变换可判断A ；利用余弦函数的单调性可判断B ；利用三角函数的定义可判断C ；利用弧长公式可判断D.【详解】对于A ，将函数2sin3y x =的图象向右平移9π个单位， 可得2sin 32sin 393y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，由cos 2y x =，则()222k x k k Z πππ-≤≤∈，故函数的单调递增区间为(),2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，当1k =时，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C，点1(2P 为角α的终边上一点，则11cos 2α=，故C 正确；对于D ，扇形的圆心角23πα=，所对的弦长为4R =， 所以2833l R R ππα==⋅=，故D 正确. 故选：ABCD【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、余弦函数的单调性、三角函数的定义以及扇形的弧长公式，属于基础题.12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．若函数()y f x =是奇函数则必有()00f =B ．函数()log (21)1a f x x =-+(其中0a >且1a ≠)的图象过定点()1,1C ．定义在R 上的奇函数在()0,∞+上是单调递增函数，则在区间(],0-∞也是单调增函数D ．函数ln 0()10x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则方程()1()02f f x -=有6个不等实根【答案】BD【解析】对于选项A ，根据函数在0x =处是否有定义来判断正确与否； 对于选项B ，将点()1,1代入函数表达式来判断函数是否经过此点； 对于选项C ，通过举反例来验证此结论是否正确；对于选项D ，令()f x t =，求出t 的取值范围，再求出()y f x =与y t =的不同取值范围的交点的个数即可.【详解】A 项，由于()f x 的定义域不知，所以()00f =不一定成立； B 项，令211x -=，得1x =，(1)1f =，所以过定点(1,1)，B 项正确；C 项，()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，在区间(],0-∞也不一定也是单调增函数，例如：1,00,01,0x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪+<⎩；D 项，令1()()2f x t f t =⇒=，则123(1,0),(0,1),(1,)t t t ∈-∈∈+∞，所以()f x t =， 1(),y f x y t ==有一个交点，2(),y f x y t ==有三个交点，3(),y f x y t ==有两个交点，共6个交点；所以()1()02f f x -=有6个不等实根，D 正确； 故选：BD.【点睛】本题考查奇函数的定义域、单调性问题，对数函数是否过定点的问题和复合型函数的零点问题；考查理解辨析能力、运算求解能力，属于中等题型.三、填空题13．已知集合{}14P x x =-≤≤，{}11S x m x m =-≤≤+，则x P ∈是x S ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围为___________. 【答案】3m ≥【分析】分析可得P S ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，P S ，则1114m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时成立） ，解得3m ≥.故答案为：3m ≥.14．若0a >，0b > ，3a b += ，则141a b++的最小值为_________． 【答案】94##2.25.【分析】由3a b +=得到()111144a b ++=，利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】因为3a b +=，所以()111144a b ++=， 因为0a >，0b >， 故()()11111441414111414b a a b a b a b a b⎛⎫⎡⎤+=+⋅=++ ⎪⎢⎥++++⎣++⎭+⎝⎦ ()45159214414b a a b +≥+=+=⋅+， 当且仅当()141a b b a =++，即18,33a b ==时，等号成立，故141a b++的最小值为94.故答案为：94.15．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________. 【答案】31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =，111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭，()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.16．已知函数()22,R f x x ax a a =-++∈，若()f x 在区间[]1,1-上的最大值是3，则实数a 的最大值是______. 【答案】0【分析】分22,2,2a a a -≤≤<->三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a 的范围即可得答案.【详解】因为()22f x x ax a =-++，当240a -≤，即22a -≤≤时，220x ax -+≥，()22f x x ax a =-++，此时对称轴为[]1,12ax =∈-， 所以()()(){}max max 1,1f x f f =-， 即(){}max max 32,3f x a =+， 所以323a +≤，解得0a ≤， 所以20a -≤≤；当240a ->，即2a <-或2a >时，20x ax a -+=有两个根，12,x x ，设1x x <， 此时对称轴为12ax =<-或12a x =>， 当12a<-，即2a <-时，()()(){}max max 1,1f x f f =-， 即(){}max max 32,3f x a =+ 所以323a +≤，解得0a ≤，所以2a <-； 当12a >，即2a >时，()()(){}max max 1,1f x f f =-， 即(){}max max 32,3f x a =+所以323a +≤，解得0a ≤，不满足2a >，故无解.综上所述，a 的取值范围是(],0-∞，故a 的最大值为0.故答案为：0【点睛】研究含有参数、绝对值的函数的最值时，要注意根据参数和绝对值进行分类讨论，涉及二次函数的问题，分类标准可考虑利用判别式来制定，分类讨论要做到不重不漏.四、解答题17．在①函数()f x B ，②不等式12x -≤的解集为B 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：设全集[]R,2,1U A a a ==-+，_____．(1)当2a =，求()R A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)[)1,0-(2)[]1,2【分析】（1）先求出集合B ，再利用集合间的基本运算求解．（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，进而列出不等式组，求出a 的取值范围即可．【详解】（1）解：若选①，则2230x x -++≥，解得13x -≤≤，∴[]1,3B =-，当2a =时，[]0,3A =，∴R (,0)(3,)A =-∞⋃+∞，∴()[)R 1,0A B ⋂=-；若选②，则12x -≤，解得13x -≤≤，下同选①；（2）解：若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，∴2113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a ≤≤， 即a 的取值范围为[]1,2．18．（1）已知16(1)x x x -+=>，求1122x x --的值；（2）4log 322log (1lg2)lg5(lg2)4++- 【答案】（1）2（2）53- 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解.（2）利用对数的运算性质求解.【详解】（1）由题意得122121)24(x x x x--=+-=， 而1x >，则11220x x ->-，11222x x --=（2）原式2115(1lg 2)(1lg 2)(lg 2)313333=++-+-=+-=- 19．已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象时两条相邻对称轴之间的距离为π2，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，所得函数()g x 的图象关于y 轴对称. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()035f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】(1)()2cos(2)3f x x π=+ (2)35【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得ω，根据平移之后函数图象关于y 轴对称，可得ϕ值，从而可得函数解析式；（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果． 【详解】（1）由题意可知，122T π=，即T π=， 所以2ππω=，2ω=，将()f x 的图象向右平移6π个单位得()()2cos(2)63f x g x x ππϕ-==-+，因为()g x 的图象关于y 轴对称， 所以3πφk π-+=，Z k ∈， 所以3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=， 所以()2cos(2)3f x x π=+； （2）003()2cos(2)35f x x π=+=， 所以03cos(2)310x π+=， 00003sin(2)sin[(2)]sin[(2)]cos(2)63223310x x x x ππππππ-=+-=--+=-+=-， 000023cos(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)333310x x x x ππππππ-=+-=-+=-+=-， 所以002333sin(2)cos(2)6310105x x ππ-+-=--=-． 20．2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，x 为年产量(单位：万箱)；已知()213600602.81000410300060x x x p x x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，，通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(利润=销售收入-总成本)(1)求年利润与(y 万元)关于年产量(x 万箱)的函数关系式；(2)求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．【答案】(1)214020006028100010280060x x x y x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩，， (2)90万箱【分析】（1）分060x ≤<，60x ≥两种情况，结合利润=销售收入-总成本公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较可得．【详解】（1）当060x ≤<时，22114003602004020022y x x x x x =---=-+-， 当60x ≥时，81000810004004103000200102800y x x x x x=--+-=--+， 故y 关于x 的函数解析式为214020006028100010280060x x x y x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩，，． （2）当060x ≤<时，221140200(40)60022y x x x =-+-=--+， 故当40x =时，y 取得最大值600，当60x ≥时，810008100010280010280028001000y x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100010x x =，即90x =时，y 取得最大值1000， 综上所述，当90x =时，y 取得最大值1000，故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．21．已知函数2(),(0,)1x f x x x =-∈+∞+． (1)判断函数()f x 的单调性，并利用定义证明；(2)若()()211f m f m ->-，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()f x 在(0,)+∞上递减，证明见解析； (2)12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由函数的单调性结合定义域可得关于m 的不等式组，解不等式组可得实数m 的取值范围．【详解】（1）()f x 在(0,)+∞上递减，理由如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则21212122()()11x x f x f x x x -=-+++ 1221212(1)2(1)(1)(1)x x x x x x +-+=++12212()(1)(1)x x x x -=++， 因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以120x x -<，21(1)(1)0x x ++>，所以21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上递减；（2）由（1）可知()f x 在(0,)+∞上递减，所以由()()211f m f m ->-，得21010211m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得1223m <<， 所以实数m 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22．函数()24ax b f x x -=-是定义在()22-，上的奇函数，且()113f =. (1)确定()f x 的解析式；(2)判断()f x 在()22-，上的单调性，并用定义证明； (3)解关于t 的不等式()()10f t f t -+<.【答案】(1)()()2224x f x x x =∈--，，； (2)增函数，证明见解析 (3)112⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）由已知得()004b f -==，()211413a f ==-，经检验，求得函数的解析式； （2）根据函数单调性的定义可证明；（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.【详解】（1）解：由函数()24ax b f x x -=-是定义在()22-，上的奇函数，得()004b f -==，解得0b =， 经检验，0b =时，()()()()2244a x ax f x f x x x --==-=----，所以()24ax f x x=-是()22-，上的奇函数，满足题意，又()211413a f ==-，解得1a =， 故()()2224x f x x x=∈--，，； （2）解：函数()f x 在()22-，上为增函数.证明如下： 在()22-，任取12x x ，且12x x <， 则()()()()()()2112212122222121404444x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=>----， 因为222112*********x x x x x x ->+>->->，，，， 所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以()f x 在()22-，上为增函数. （3）解：因为()f x 为奇函数所以()()f x f x -=-，不等式()()10f t f t -+<可化为()()1f t f t -<-，即()()1f t f t -<-，又()f x 在()22-，上是增函数，所以121222t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得112t -<< 所以关于t 的不等式解集为112⎛⎫- ⎪⎝⎭，.。
2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期开学考试数学试题
数学（考试时间：120分钟 满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是( ) A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-2.在平面直角坐标系xOy 中，角α以x 轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点），（2123，则α2sin =( )A ．23B ．21C ．23-D ．223．若,32sinlog ,3log ,226.0ππ===c b a 则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>4．函数x xx f ln 3)(-=的零点所在区间是( )A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,15.要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象( ) A.所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位. B.所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移6π个单位. C.所有点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位. D.所有点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移6π个单位.6.函数x x x f sin cos )(2+=）（66-ππ≤≤x 的最大值与最小值之和为( )A. 32 B ．2 C ．0 D . 347．函数()13x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象过一个定点P ，且点P 在直线10mx ny +-=（0m >，且0n >）图象上，则11m n+的最小值是( )A ．9B ．8C ．5D ．48．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x x x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为e e sinh 2x x x --=．设函数()sinh cosh x f x x=，若实数a 满足不等式()()232020f a f a ++-<，则a 的取值范围为（ ） A ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是( ) A ．7π6-是第三象限角 B ．若角α的终边过点(3,4)P -，则3cos 5α=- C ．3πcos()sin(π)2A A -=+ D ．若圆心角为π3的扇形弧长为π，则该扇形面积为3π210．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则( ) A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．53cos =θC ．3tan 4θ=- D. 7sin cos 5θθ-=11.函数())(0)3f x x πωω=+>相邻两个最高点之间的距离为π，则以下正确的是( )A. ()f x 的最小正周期为 πB. 2 ()3f x π-是奇函数 C. ()f x 的图象关于直线6x π=-对称D. ()f x 在]12125[-ππ，上单调递增12．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，若对任(,]x m ∈-∞都有()6f x ≤，则实数m 的取值可以是( )A ．4B ．5C ．27log 42+ D ．27log 52+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数()()22321mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为_________.14.函数)342lg(2+--=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_________. 15.已知=--=+)32sin(,43)12cos(παπα则_________. 16.函数)0)(4sin(2)(>+=ωπωx x f ,若)(x f 在区间(π,2π)内无最值,则ω的取值范围是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）{}|26A x a x a =-<<-，105x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭（1）若4a =，求A C R（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18．（12分）已知()()()()3sin 3tan sin 2cos tan 32f ππαπαααπαπα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. (1)化简)(αf ;(2)若,54)(0-=∈απαf ），，（求1cos 2sin 2αα+的值.19．（12分）已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0ω>，2πϕ<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的取值范围．20．（12分）已知函数()2log f x x =.(1)设函数()g x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式; (2)当14x ≤≤时，函数()()()24a x xh x f f =⋅（其中02a ≤＜）的最小值为41-，求实数a 的值.21.（12分）已知函数2cos 2sin 32sin 212cos 21)(22x x x x x f +-=（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期； （2）将函数)(x f 的图像各点的横坐标缩小为原来的21（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度，得到函数)(x g y =的图像. 若方程1)(2=-m x g 在]2,0[π∈x 上有两个不同的解21,x x . 求实数m的取值范围,并求)tan(21x x +的值.22.(12分) 函数43)3sin()cos()(cos 3)(2-++⋅+-+=πϕωϕωϕωx x x x f )20,0(πϕω<<> 同时满足下列两个条件：①)(x f 图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形; ②)0,32(是)(x f 的一个对称中心;求：（1）当x ∈[0，2]时，求函数)(x f 的单调递减区间； （2）令,)31(41)65()(2m x f x f x g +-+-=若g （x ）在]23,65[∈x 时有零点，求此时m 的取值范围．数学参考答案1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．A 7．A 8．D 9．BCD 10．AD 11．ABD 12．ABC13．0 14．⎥⎦⎤ ⎝⎛023-，15．81- 16．]8541[]810，，（ 17．（1））；，，（∞+∞=[24]--A C R （2）2a ≤.【详解】（1）若4a =，则{}()|424,2A x x =-<<=-，所以）；，，（∞+∞=[24]--A C R ，（2）由105x x +<-得15x -<<，所以()1,5B =-， 因为A B B ⋃=，所以A B ⊆， ①当A =∅时，26a a -≤-，2a ∴≤；②当A ≠∅时，即2a >时，要使A B ⊆，则需1265a a -≥-⎧⎨-≤⎩，解得1112a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1a ≤，所以此时a 无解.综上：实数a 的取值范围是2a ≤. 18．【详解】(1)由题意，()()()()3sin 3tan sin sin tan (cos )2=cos sin (tan )cos tan 32f ππαπαααααααπαααπα⎛⎫-+- ⎪⨯-⎝⎭==⨯-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (2)1cos 2sin 2αα+=34-19．(1)()2sin(2)26f x x π=++(2)[1,4]【详解】(1)由图像可知404052,2,2241264A B T πππ-+=====-= 2,2T T ππω∴=∴==，22,2()626k k k Z πππϕπϕπ∴⨯+=+∴=+∈，||,26ππϕϕ<∴=∴()2sin(2)26f x x π=++ (2)对,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦, 有2662x πππ-<+<1sin(2)1,1()426x f x π∴-≤+≤∴≤≤20．(1)()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪>⎩(2)1【详解】（1）()g x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =. 当0x <时，0x ->，则2log g xg x f xx .当0x =时，()0g x =.故函数()g x 的解析式为()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪>⎩. （2） ()()()()()222222log log 2log log 4log log 224a axx h x f f x x x a x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令[]2log 0,2t x =∈，则原命题等价于()()()2k t t a t =--（其中02a ≤＜）的最小值为0.25-， 则当22a t时，()2min 220.2522a a k t k +-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =（02a ≤＜）.故实数a 的值为1. 21．(1)ππ2,6sin )(=⎪⎭⎫⎝⎛+=T x x f . (2))32sin()(π+=x x g )1,13[-∈m )tan(21x x +=3322．（1）函数f （x ）的单调递减区间为：[0，]∪[，2]．（2）m ∈[﹣，﹣]． 【详解】（1）∵f （x ）=cos 2（ωx+φ）﹣cos （ωx+φ）•sin （ωx+φ+）﹣=﹣sin （2ωx+2φ）﹣﹣cos （2ωx+2φ）﹣=[cos （2ωx+2φ）﹣sin （2ωx+2φ）]=cos （2ωx+2φ+），∴函数周期T=，∵令2ωx+2φ+=0，可得函数的一个最大值点O 的坐标为：（﹣，），令2ωx+2φ+=﹣，可得函数的一个最大值点O 的左相邻的对称点A 的坐标为：（﹣，0），令2ωx+2φ+=，可得函数的一个最大值点O 的右相邻的对称点B 的坐标为：（，0），∴由题意可得：|AB|2=2|OB|2，即得：（）2=2[（+）2+（﹣）2]，解得ω2=，∵ω＞0，解得：．∴f （x ）=cos （πx+2φ+），∵（，0）是f （x ）的一个对称中心，即：cos （+2φ+）=0，∴+2φ+=kπ+，k ∈Z ，解得：φ=﹣，k ∈Z ，∴由0＜φ＜，可得：φ=．∴f （x ）=cos （πx+），∵x ∈[0，2]时，πx+∈[，]， ∴当利用余弦函数的图象可得，当πx+∈[π]，πx+∈[2π，]时单调递减，即函数f （x ）的单调递减区间为：[0，61]∪[67，2]． （2）∵由（1）可得：f （x ﹣）=cosπx ，f （x ﹣）=﹣sinπx ． ∴g （x ）=f 2（x ﹣）+f （x ﹣）+m=cos 2πx ﹣sinπx+m=+m ﹣（sinπx+）2，∵g （x ）在x ∈[，]时有零点，即方程：+m ﹣（sinπx+）2=0在x ∈[，]时有解，∴m=（sinπx+）2﹣在x ∈[，]时有解，∵x ∈[，]，sinπx ∈[﹣1，]，sinπx+∈[﹣，]，（sinπx+）2∈[0，]，∴m∈[﹣，﹣]．。
上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(含答案和详细解析)
第1页共16页2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期开学考数学试卷2024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,230,A B x x x N =--=-<∈，则A B = ______.的弦所对的劣弧长是______.3.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______.4.已知:31p x - ，:(q x a a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是______.5.设,,a b c 都是非零常数，且满足49a b c b ==，则11a c +=______.（结果用b 表示）6.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α=______.7.已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是______.8.若实数x 满足cos2sin 1x x +=，且()0,x π∈，则x =______.9.对任意[),0,x y ∈+∞，且x y ≠，不等式x y -恒成立，则实数c 的取值范围为______.10.在ABC ∆中，tan 4tan B A =，则当B A -取最大值时，sin C =______.11.已知函数122|2|log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----⎧⎪=<⎨⎪-<⎩ 的值域是[]1,2-，当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是______.12.定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和1(a ，1b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，则θ=______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设,a b R ∈，若110a b <<，则（）.A.a b < B.a b < C.a b ab+> D.22a b <。
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案解析)
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．12⎛- ⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．1203．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．334．已知函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则a 的取值范围是（）A ．()1B ．)1,2C ．(D ．312⎛⎫⎪⎝⎭5．函数sin 4xx xy e +=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞8．设函数11lg(2),2(),10,2x x x f x x -+->⎧⎪=⎨≤⎪⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的范围是A ．(1,10]B ．1(,10]10C ．(1,)+∞D ．(0,10]二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 210．已知幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b R ∈且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（）A ．0a b +>且0ab <B ．0a b +<且0ab <C ．0a b +<且0ab >D ．以上都可能11．下列说法中正确的是（）A ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则a 的取值范围是()1,2B ．在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于y 轴对称C ．在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为202112．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是4B ．11y x -+最小值为-1C ．22xy +的最小值是2D ．(1)x y +的最大值是94三、填空题13．已知函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义在()0,∞+上的增函数，则a 的取值范围是______.14．函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.15．若函数()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值范围是________.16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是_______.（填序号）①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =的图象关于直线6x π=对称；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-.四、解答题17．已知集合()()}0{1|A x x a x a =--+≤，{}2|20B x x x =+-<．(1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．18．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．19．已知函数()12sin .26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；()2若[],x ππ∈-，求()f x 的值域．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）22．已知函数22()log log 24x xf x =⋅．(1)求函数f （x ）的值域；(2)若12()()f x f x m ==，且2140x x >>，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=-⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．2．A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A 3．A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 4．A【分析】令()2()215t x x a x =--+，根据对数函数的性质可得11(1)0a t a ->⎧⎨->⎩，从而得解.【详解】令()2()215t x x a x =--+，为开口向上的抛物线，对称轴为1x a =-函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则()2215t x a x =--+在()1,+∞上先减后增，所以22211(1)(1)2(1)5(1)50a t a a a a ->⎧⎨-=---+=--+>⎩，解得21a <<.故选：A.5．A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e +=的定义域为R ，且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ；当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →，结合选项，可得A 选项符合题意.故选：A.6．C【分析】对于A ，求出函数的对称轴，可知不存在Z k ∉使得对称轴为直线π12x =-，A 错误；对于B ，求出函数的对称中心，可知不存在Z k ∉使其一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，由()f x 求出6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C 正确；对于D ，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出整体π23u x =-的范围，验证cos y u =不是单调递增，D 错误.【详解】由π2=π,Z 3x k k -∈解得ππ,Z 62k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为ππ,Z 62k x k =+∈，由πππ6212k +=-解得1Z 2k =-∉，故A 错误；由ππ2=π+,Z 32x k k -∈解得5ππ,Z 122k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由5πππ1226k +=解得1Z 2k =-∉，故B 错误；πcos 2cos2663y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而()()cos 2cos 2cos 2x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦，所以6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确；令π23u x =-，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，此时cos y u =在ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不是单调递增函数，故D 错误.故选：C.7．C【分析】根据题意得到()()min max f x g x ≤，根据函数单调性得到()min 5f x =，()max 8g x a =+，得到不等式，求出实数a 的取值范围是[)3,∞-+.【详解】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C 8．A【分析】把f （x ）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．【详解】作出函数f （x ）=()1122102x Ig x x x -⎧+-⎪⎨≤⎪⎩，＞，的图象如图，f （x ）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，由图可知，b 的取值范围是（1，10]．故选A ．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9．BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C 正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．10．BC【分析】先求出幂函数的解析式，3()f x x =，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到0a b +<.【详解】因为223()(1)mm f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b R ∈且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC 11．CD【分析】分别由复合函数的单调性、底数互为倒数的对数函数的图象、互为反函数的两个函数的图象及奇函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，令log a y u =，()0,u ∈+∞，2u ax =-，∵函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，∴2u ax =-在()0,1单调递减，由复合函数的单调性知，log a y u =在()0,u ∈+∞单调递增，且当1x =时，210u a =-⨯≥，∴201a a -≥⎧⎨>⎩解得12a <≤，∴a 的取值范围是(]1,2，故选项A 错误；对于B ，∵函数2log y x =与12log y x =的底数2与12互为倒数，∴在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称，故选项B 错误；对于C ，∵指数函数2x y =与对数2log y x =的底数相同，∴函数2x y =与2log y x =互为反函数，∴在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，故选项C 正确；对于D ，∵奇函数()f x 定义域为R ，∴()()00f f -=-，即()00f =，0是函数()f x 的一个零点；又∵奇函数的图象关于原点对称，()f x 在(),0∞-内有1010个零点，∴()f x 在()0,∞+有1010个零点，∴()f x 的零点个数为1010110102021++=，故选项D 正确.故选：CD 12．CD【分析】A 利用“1”代换求最值，B 因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，代入11y x -+中化简构造基本不等式验证即可，C 先把式子变形，再运用基本不等式，D 先构造()+13x y +=，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数,x y 满足2x y +=，即12x y+=所以11121x y x x y y ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222y x x y =+++≥+=，当且仅当22y x x y=，即1x y ==时等号成立，故选项A 不正确.B.因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，所以111(2)2111y x x x x x -=--=+-+++()113311x x =++-≥=-+，当且仅当111x x =+⇒+0x =或2x =-，不满足故取不到最小值1-，故B 选项不正确.C.()2222x y x y xy +=+-()()2222222x y x y x y ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，故选项C 正确.D.因为2x y +=，所以()+13x y +=，则()219124x y x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当312x y =+=时等号成立，故选项D 正确.故选：CD.13．[)2,3【分析】由已知，要想保证函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，需满足分段函数两部分在各自区间上单调递增，然后再满足连续单增，即比较当1x =时，左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值，列式即可完成求解.【详解】由已知，函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义为在()0,∞+上的增函数，则(3)y a x =-在()0,1上为单调递增函数，a y x =在[)1,+∞上为单调递增函数，且(3)11a a -⨯≤，所以30031a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得23a ≤<，所以a 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,314．,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.【详解】令26x π-＝2k π(Z k ∈)，得412k x ππ=+(Z k ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π．故答案为：,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(Z k ∈)15．24(0,](1,)33⋃【分析】令2()2t x x ax =-，分1a >和01a <<两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令2()2t x x ax =-，则()0t x >，当1a >时，log a y x =是增函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，故113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得413a <<；当01a <<时，log a y x =是减函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，故()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩，即1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得203a <≤，综上，a 的取值范围是.24(0,](1,33⋃.故答案为：24(0,](1,)33⋃16．③④【解析】根据周期公式可得①不正确.【详解】()y f x =是以π为最小正周期的周期函数,故①不正确；因为2()4sin(2)4sin 26633f ππππ=⨯+=4≠±,所以②不正确；因为()4sin[2()4sin 00663f πππ-=⨯-+==,所以③正确；因为()4sin 24sin[(2)]326f x x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭4cos(2)6x π=-,所以④正确.故答案为:③④【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.17．(1)()1,1-(2)[]1,2-【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简A 、B ，再由已知可得集合A 真包含于集合B 即可得到不等式组，解得即可；（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m 的不等式组求解．【详解】（1）解：（1）由()()10x a x a --+≤，即1a x a -≤≤，所以()()}10|}1{{|A x x a x a x a x a =--+≤≤≤=-，由220x x +-<，即()()120x x -+<，解得2<<1x -所以{}{}2|20|21B x x x x x =+-<=-<<，∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，∴121a a ->-⎧⎨<⎩，解得11a -<<，即()1,1a ∈-；（2）解：因为命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->为假命题，所以()22:,218p x B x m x m m ⌝∀∈+++-≤为真命题，设()()22218g x x m x m m =+++--，则()()2010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即()()()()2222221280121180m m m m m m ⎧-++⨯-+--≤⎪⎨++⨯+--≤⎪⎩，解得1632m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以12m -≤≤，即[]1,2m Î-．18．(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos α=sin α=∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．19．（1）4T π=，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡⎤⎣⎦【分析】()1由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；()2由x的范围求得相位的范围，进而得到1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的值域．【详解】（1）由题意，知()1πf x 2sin x 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2πT 4π12==．又由π1ππ2kπx 2kπ2262-≤+≤+，得4π2π4kπx 4kπ33-≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为4π2π4kπ,4kπ33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）因为πx π-≤≤，所以π1πx 222-≤≤，则π1π2πx 3263-≤+≤，所以1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π2sin x 226⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 2≤≤．所以()f x的值域为.⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx x xx f x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x x f x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．(1)选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32x y =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)利用对数运算将函数化简，再使用换元法即可求得函数值域;(2)用换元法得到两根的关系，再根据方程有两根0∆>，以及韦达定理，即可求得参数范围.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,x ∈+∞，则()22222()(log 1)(log 2)log 3log 2f x x x x x =--=-+设2log x t R =∈，令22311()32()244g t t t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）设211log x t =，222log x t =因为2140x x >>所以2221log log 4x x >即2221log log 2x x >+，即212t t >+，所以212t t ->则2()32g t t t m =-+=的两根为12,t t 整理得2320t t m -+-=因为2(3)41(2)0m ∆=--⨯⨯->解得14m >-再由韦达定理可得:12123·2t t t t m+=⎧⎨=-⎩则21t t -=2=解得34m >综上，3,4m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭。
山西省运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
(1)若集合 B 的真子集有且只有 1 个，求实数 a 的值； (2)若 A B A ，求实数 a 的取值范围．
19．已知函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x 1 0 的最小正周期为 T．若 π T 4π ，
且 y f (x) 的图象关于直线 x π 对称. 6
(1)求函数 f x 的单调增区间；
x
π 6
，将
f
x
图象上所有点的横坐标都缩短到原来的
1 2
，
再把所得图象向右平移 π 个单位后得到函数 g x 的图象，则（ ）
3
A． g x 是奇函数
B．
g
x
在区间
π 6
,
2π 3
上的值域为
0,
2
C．
g
x
在区间
π 4
,
π 2
上单调递增
D．点
π 4
,
0
是
g
x
的图象的一个对称中
心
12．设集合 A 是实数集 R 的子集，如果 a R 满足： 0,x A，使得 0 x a ，
A．2, 4,6,7
B．0, 2, 4,6,8
C．0, 2, 4,6,7,8
D．0,1, 2,3, 4,5,6,7,8
3．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为
田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长 30 步，其所在圆的直径是 16
步，问这块田的面积为多少？（ ）
21．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果， 补充维生素 C ，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发 展种植某种富含维生素 C 的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量 W（单位：
安徽省铜陵一中高一数学下学期开学考试试题(含解析)
2012-2013学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个正确的答案，每小题5分，共50分）1．（5分）若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）＜解：∵﹣2．（5分）已知，则cos（60°﹣α）的值为（），（y==x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可=x|x|=，5．（5分）设函数（）（题意可知==），+2k）（﹣（﹣）﹣，+2k6．（5分）式子的值等于（）•=4a•）•）÷（﹣3•60.70.78．（5分）（2011•惠州一模）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）．．．．y=9．（5分）函数y=的定义域是（）10．（5分）把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的的图象向左平移解：把函数个单位，得到的函数解析式为得到的函数解析式为把函数的图象向左平移解析式应为二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知函数f（x）=xα的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．），12．（5分）已知方程log3x=6﹣x的解所在区间为（k，k+1）（k∈N*），则k= 4 ．13．（5分）（2013•浙江模拟）函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos（2x ﹣）﹣2m+3（m＞0），若存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数m 的取值范围是[，2] ．]﹣2=sin2x+2cos=sin2x+）]∈，]2x+）∈﹣∈﹣，]），+32+3≤2，解得实数，214．（5分）已知函数，若f（﹣2013）=2，则f（2013）= 12 ．+8=+8=﹣=1215．（5分）如图，在正方形ABCD中，M是边BC的中点，N是边CD的中点，设∠MAN=α，那么sinα的值等于．，tan∠DAN=，利用两角和的正切公式可得，求得，，，=csc，=，故答案为，是解题的关键．三、解答题（12+12+12+13+13+13=75分）16．（12分）已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα=3，求f（α）的值．）==17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞0），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．=+，≤2x+，）的图象和直线在上有 2x+，]）的图象可得∈[=+，=）≤2x+，≤x≤k+，+时，2x+2x+y=2x+，]）的图象可得[+1[318．（12分）已知函数（1）若定义域为R，求a范围（2）若值域为R，求a范围．的定义域为的值域为）由函数的定义域为．故使函数）函数﹣8≥0，解得：使函数的值域为19．（13分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，并根据图象讨论关于x的方程f（x）﹣c=0（c∈R）根的个数．．20．（13分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．（1）求函数f（x）的定义域D；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值；（3）若对于D内的任意实数x，不等式﹣x2+2mx﹣m2+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．，解得﹣a=．∴﹣…（m≥m≤…（）∪[21．（13分）已知函数（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．，且）是定义域上的奇函数，知，，，…（，∴。
2022-2023学年上海市控江中学高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高一下学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集，则_________.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A =【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A ={}|710x x ≤≤故答案为：.[]7,102．函数的定义域是__________.()f x =【答案】()(],22,3-∞-- 【分析】根据题意列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义则：，303202x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨⎨+≠≠-⎩⎩所以函数的定义域为，()(],22,3-∞-- 故答案为：.()(],22,3-∞-- 3．已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.()()22325mm f x m m x --=+-⋅m =【答案】2【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.【详解】由已知函数为幂函数，()()22325mm f x m m x --=+-⋅得，解得或，251m m +-=2m =3m =-当时，，定义域为，函数图像不经过原点，2m =()4f x x -=()(),00,∞-+∞ 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，3m =-()16f x x =R ()00f =综上所述：，2m =故答案为：.24．数列中，若，且，则__________.{}n a 13a =112n n a a +=+9a =【答案】7【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，112n n a a +=+13a ={}n a 312.()9139172a ∴=+-⨯=故答案为：.75．函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.2()21f x x ax =--[]1,3【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，2()21f x x ax =--[]1,3所以二次函数对称轴，3x a =≥故答案为：3a ≥6．设函数f （x ），若f （α）＝9，则α＝_____．200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，09αα≤⎧⎨-=⎩209αα⎧⎨=⎩＞∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.7．若数列满足，前5项和为，则__________.{}n a 113n n a a +=-61275a =【答案】127【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.10a =10a ≠【详解】设数列的前项和为，{}n a n n S ∵，则有：113n na a +=-当时，则，故，不合题意；10a =0n a =0n S =当时，则数列是以公比的等比数列，10a ≠{}n a 13q =-故，解得，515111361611812713a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫-- ⎪⎝⎭13a =则；4451113327a a q ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭综上所述：.5127a =故答案为：.1278．定义在R 上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.()f x [)0,∞+()0x fx ⋅ 【答案】[]3,3-【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式或或，()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩ ()00x f x <⎧⎨≤⎩0x =由图可得：或或，03x <≤-<3≤0x 0x =综上：解集为：[]3,3-故答案为：.[]3,3-9．已知为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第n a =n {}n a __________项.【答案】45【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.【详解】由解析式可知，n a ==时，1=*n N ∈当时，数列单调递减，且[]*1,44,N n n ∈∈{}n a 1n a <当时，数列单调递减，且，[]*45,100,N n n ∈∈{}n a 1n a >所以当时，数列取得最大值.45n ={}n a 故答案为：4510．已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+a 【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可【详解】因为函数在上严格增，log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+所以，解得，即实数的取值范围是，130log 1(3)1aa a a a >⎧⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩312a <≤a 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数，，与函数，，对任意()23f x a x a =⋅+1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()115xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =a 【答案】[]0,1【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】设的值域为，的值域为，()f x A ()g x B 由对任意，总存在，使得成立知：；11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =A B ⊆在上单调递减，，即；()g x []1,0-()04g x ∴≤≤[]0,4B =当时，，即，满足；0a =()0f x =0A =A B ⊆当时，在上单调递增，，0a ≠()f x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()221332a a f x a a ∴-+≤≤+即，由得：，解得：；2213,32A a a a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦A B ⊆22130234a a a a ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩01a <≤综上所述：实数的取值范围为.a []0,1故答案为：.[]0,112．已知函数，若实数满足，则()35lg25xf x x x+=++-a b ､()()22314f a f b +-=为__________.【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等()f x x ∈R ()()4f x f x +-=2231a b +=式求解即可.【详解】解：令，因为，()35lg5x g x x x +=+-()()()35lg 5x g x x g x x --=-+=-+所以，函数是上的奇函数，()35lg5xg x x x +=+-R 所以函数关于中心对称，()()2g x f x =-(0,0)所以，关于中心对称，()35lg25xf x x x +=++-(0,2)所以，满足任意，都有. ()f x x ∈R ()()4f x f x +-=因为，()()22314f a f b +-=所以，即.22310a b +-=2231a b +=226122a b++=≤==，时取等号，=12a=12b=±所以二、单选题13．若、为实数，则成立的一个充要条件是（）a b()0ab a b-<A．B．C．D．11a b<<11b a<<11a b<11b a<【答案】D【分析】将命题进行等价变换，即可得其充要条件.()0ab a b-<【详解】()0ab a b-<220a b ab⇔-<22a b ab⇔<⇔222222a b aba b a b<11b a⇔<故选D．【点睛】本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题. 14．若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是R kA．B．C．D．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]3,0,4⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【详解】要使函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．若k＝0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k＝0成立．若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，则，216430kk k>⎧⎨=-⨯<⎩即，解得．2430kk k>⎧⎨-<⎩34k<<综上：．304k ≤<故选B.【点睛】本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k 的讨论是解答本题的关键．15．等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的{}n a 1a d n n S 8S 4S 1a d 比为（ ）A ．B ．C ．D ．5:22:55:11:5【答案】A【分析】根据题意结合等差数列的前项和运算求解.n ()112n n n S na d -=+【详解】由题意可得：，则，即，843S S =11874383422a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭118281218a d a d +=+注意到，整理得.10,0a d ≠≠1:5:2a d =故选：A.16．已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两A B ､,A B A B ⋃=⋂=∅R ()2,21,x x Af x x x B ⎧-∈=⎨-+∈⎩个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对(),A B ()2f x =-，使得为偶函数.下列判断正确的是（ ）(),A B ()f x A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】A【分析】根据分段函数的性质，可得答案.【详解】设，，，R a ∃∈[),A a =+∞(),B a =-∞易知当时，，当时，，x B ∈()21f x a >-+x A ∈()2f x a ≤-令，故①正确；22122a a -+≥-⎧⎨-<-⎩32a <≤当，时，显然函数为偶函数；{}0A x x =≠{}0B x x ==()f x 当，时，由，解得，故函数此时也为偶函数，故{}1A x x =≠{}1B x x ==221x x -=-+1x =()f x②错误.故选：A.三、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.{}n a 116a =0d ≠156,,a a a {}n b (1)求数列与的通项公式；{}n a {}n b (2)设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.{}n a n n S 4log nn n T b =n S nT【答案】(1)*3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=(2)当时，；当时，；当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差，再求出数列的前三项3d =-{}n b 可得其公比，即可写出数列与的通项公式；14q ={}n a {}n b （2）利用等差数列前项和公式和对数运算法则可得，，作差法即可n 23352n n n S -+=23n T n n =-+比较出与的大小.n S n T 【详解】（1）由题意可得，65114164,5165d d d d a a a a =+=+=+=+由等比数列性质可得，2516a a a =⋅即，解得或（舍）()()216416165d d +=⨯+3d =-0d =所以，19(1)163(1)31n n a n a d n +-=---=+=即，11253616,4,1b a b a b a ======所以数列是以为首项，公比的等比数列；{}n b 116b =14q =即，13111441164nn n n b b ---⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭=⎝⎭所以数列与的通项公式分别为{}n a {}n b *3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=（2）由等差数列前项和公式可得；n ()2133522n n S n a a n n+-+==由可得，4log nn n T b =3244log log 43n n n T n b n n n -===-+所以，()()22229335292223n n S n n n n T n n n n -+---+-==+-=-由于，所以当时，，即；*N n ∈029n <<0n n S T ->n n S T >当时，，，29n >0n n S T -<n n S T <当时，，29n =0n n S T -=n nS T =综上可得，当时，，当时，，当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>18．已知函数.()|2|f x x a a =-+（1）当a=2时，求不等式的解集；()6f x ≤（2）设函数.当时，，求的取值范围.()|21|g x x =-x R ∈()()3f x g x +≥a 【答案】（1）；（2）．{|13}x x -≤≤[2,)+∞【详解】试题分析：（1）当时；（2）由2a =⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤等价于()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥，解之得.|1|3a a -+≥2a ≥试题解析： （1）当时，.2a =()|22|2f x x =-+解不等式，得.|22|26x -+≤13x -≤≤因此，的解集为.()6f x ≤（2）当时，，x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+当时等号成立，12x =所以当时，等价于. ① x R ∈()()3f x g x +≥|1|3a a -+≥当时，①等价于，无解.1a ≤13a a -+≥当时，①等价于，解得.1a >13a a -+≥2a ≥所以的取值范围是.a [2,)+∞【解析】不等式选讲.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，x ()p x；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，()21502p x x x =+()64001011860p x x x =+-通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？【答案】(1)2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y 关于产量x 的不同对应关系即可求解.x (2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；060x <<2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，.60x ≥6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，；2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，060x <<()2211504005085022y x x x =-+-=--+当时，y 取得最大值，最大值为850万元；50x =当时，，60x≥6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时，即时，y 取得最大值，最大值为1300万元.6400x x =80x =综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．已知数列的前项和满足：为常数，且，；{}n a n n S (1)1n n aS a a =--(a 0a ≠1)a ≠（1）求的通项公式；{}n a （2）设，若数列为等比数列，求的值；21nn nS b a =+{}n b a （3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.{}n b (1)n n c n b =-{}n c n n T【答案】（1）；（2）；（3）nn a a =131239344n n n T +-=⋅+【分析】（1）由公式求得通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ （2）简化数列，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出，解得参数；{}n b 2101a a +=-a （3）由（2）求出数列的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列的前项和．{}n c {}n c n 【详解】解：（1）当时，，1n =11(1)1a S a a =--，，1a a ∴=11(1)1n n a S a a --=--当时，且，2n (1)1n n a S a a =--11(1)1n n a S a a --=--两式做差化简得：1n n a a a -= 即：，1n n a a a -=数列是以为首项，为公比的等比数列，∴{}n a a a ．∴(),0,1n n a a a a a =≠≠为常数且（2），2221(1)1(1)n n n n S a a b a a a a =+=+---若数列为等比数列，{}n b 则，即．2101a a +=-13a =（3）由（2）知，3n n b =∴(1)3n n c n =- ①23031323(1)3n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋯ ②23413031323(2)3(1)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯⋯①②得：-234123333(1)3n n n T n +-=+++⋯+--⨯1329322n n +-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭．∴1239344n n n T +-=+ 【点睛】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前项和，利用错位相减求n 前前项和是关键，属于中档题．n 21．已知函数，记.()()2x f x x =∈R ()()()()()(),g x f x f x h x f x f x =--=+-(1)求不等式的解集：；()()228f x f x -≤(2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；t []01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-t (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，()()()8222H x f x a f x b =⋅+⋅+a b ､[]0,1x ∈()1H x ≤求的值.a b ､【答案】(1)(],2-∞(2)9120⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)12,8.5a b =-=【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；（3）根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】（1）所以()()()()222822280242202402,x x x x x f x f x x -≤⇒-⋅-≤⇒-+≤⇒-≤⇒≤不等式的解集为；(],2-∞（2）设，，()()21h x t g x =⋅-[]1,2x ∈，()()()2222222122322x x x x x x x x t t ----+=--⇒-+=-令，因为函数在上单调递增，所以，22x x m -=-22x x m -=-[]1,2x ∈315,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因3t m m =+3t m m =+≥=3m m =m =为函数在单调递减，在上单调递增，3t m m =+32⎡⎢⎣154⎤⎥⎦当时，，当时，，因此，32m =72t =154m =9120t =9120t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在实数，使得成立，所以；[]01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-9120t ⎡⎤∈⎢⎣⎦（3），()()()822282222x x H x f x a f x b a b=⋅+⋅+=⋅+⋅+令，因为，所以，2x n =[]0,1x ∈[]1,2n ∈于是有，当时，，()282H n n an b =++[]1,2n ∈()1H n ≤所以有，()()22118221182212132421132421121211888H a b a b H a b a b a a a b b H ⎧⎧⎧⎪⎪≤⎪++≤-≤++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⇒++≤⇒-≤++≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪-≤-+≤-+≤-≤ ⎪⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩⎩由，18221182211312132421132421a b a b a a b a b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⇒⇒-≤≤-⎨⎨-≤++≤-≤---≤⎩⎩由，22218221182212822124812112188a b a b a a a a a b b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⎪⎪⇒⇒-≤++≤⇒-≤≤-⎨⎨-≤-+≤-≤-≤⎪⎪⎩⎩所以，12a =-因此有，即.1824217.58.58.5118218.59.5b b b b b -≤-+≤≤≤⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-≤-≤≤≤⎩⎩12,8.5a b =-=【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键.。
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—高一下期入学考试数学试卷一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分.）1．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，A ∩(C U B )＝{9}，则A ＝ A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}2．直线03=-+a y x 的倾斜角为A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°3.一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为2a 的等腰直角三角形，则原三角形的面积是 A ．212a B. 2a C. 22a D. 222a 4.若直线210ax y a ++-=与直线2340x y +-=垂直，则a 的值为A.3B.-3C.43 D.43- 5．下列图象中表示函数图象的是A B C D6．某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A ．203 B ．43C ．6D ．47.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则 x y的值为 A.1B.4C.1或4D. 14或48. 圆心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8x y 0 x y 0 x y 0 x y 011．已知,x y 满足22(1)16x y -+=，则22x y +的最小值为 A.3 B.5 C.9 D.25 12.设方程10lg()xx =-的两个根分别为12x x 、，则A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x x D. 1201x x <<二．解答题（每小题5分，共20分）13. 点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为 .14.方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是 .15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，BC=则棱锥O-ABCD 的体积为 .16. 如果一个函数)(x f 在其定义区间内对任意实数x ，y 都满足2)()()2(y f x f y x f +≤+，则称这个函数是下凸函数，下列函数:①xx f 2)(=；② 3)(x x f =；③ )0(log )(2>=x x x f ； ④⎩⎨⎧≥<=0,20,)(x x x x x f 中,是下凸函数的有 .三．解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个顶点A (4,0），B (8,10），C (0,6）.(Ⅰ)求过A 点且平行于BC 的直线方程； (Ⅱ)求过B 点且与点C A ,距离相等的直线方程.18．（本小题满分12分）已知函数()xxf x e ae -=+(Ⅰ)试讨论函数()f x 的奇偶性；(Ⅱ)若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段BC 的中点,11,2,2AB AD AA ===.(Ⅰ)证明：DE ⊥平面1A AE ； (Ⅱ)求点A 到平面ED A 1的距离.20．（本小题满分12分）已知函数g(x)=24ax ax b -+(a >0)在区间[]0,1上有最大值1和最小值-2.设f(x)=()g x x. (Ⅰ)求a ,b 的值；(Ⅱ)若不等式(2)20xxf k -⋅≥在x ∈[]2,2-上有解,求实数k 的取值范围21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PQB ； （Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，使平面；22．（本题满分12分）已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -，且圆心C 在直线210x y ++=上。
（I ） 求圆C 的方程；（II ）问是否存在满足以下两个条件的直线l : ①斜率为1；②直线被圆C 截得的 弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在说 明理由.高一数学参考答案一． 选择题：DDCBC ABACB CD二.填空题：13.)4,3,2(-- 14.)21,(-∞ 15.83 16.①④三．解答题：得()()10x x a e e -++=恒成立，所以1a =-， --------------------4分 所以：当1a =时，()xxf x e e-=+是偶函数（或偶函数且不是奇函数）； ----5分当1a =-时，()xxf x e e-=-是奇函数（或奇函数且不是偶函数）； ---------6分当1a ≠且1a ≠-，函数()xxf x e ae -=+是非奇非偶函数。
--------------7分(Ⅱ) 对任意的12,1x x >，且12x x <，则()()()21212110x x x x a f x f x e e e e⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭--------------------10分 所以21xxa e e <，对任意的12,1x x >恒成立， --------------------11分所以2a e ≤ --------------------12分 19. (Ⅰ)1AA ABCD ⊥平面,DE ABCD ⊂平面1AA DE ∴⊥， ------------2分E 为BC 中点，1BE EC AB CD ====,2AE DE ∴==2AD =又,222AE DE AD ∴+=,AE DE ∴⊥. ----------4分 又1111,,,AE A AE A A A AE AE A A A ⊂⊂=面面且∴ DE ⊥平面1A AE 。
----------------------------------------6分(Ⅱ)设点A 到1A ED 平面的距离为d , 1A -AED 112V =222=323⨯⨯⨯⨯ ----8分 1111==2=2AA ABCD AA AE AA AE A E ⊥∴⊥∴平面，，又，由(Ⅰ)知DE ⊥平面1A AE ，1DE A E ∴⊥112222A ED S ∆∴=⨯⨯= -----------------------------------10分112233A A ED V d -=⨯⋅=1d ∴= ------------------------------12分 20.解：(Ⅰ)由题知g(x)=2(2)4a x a b --+∵a >0，∴g(x)在[]0,1上是减函数，∴{(0)1(1)2g g ==-，解得{11a b ==--------------------------------5分(Ⅱ)由于(2)20x x f k -⋅≥，则有124202x x x k +--⋅≥ 整理得2111()4()22x x k ≤+-⋅ -------------------------------------7分 令12x t =， 则 22111()4()4122x x t t +-⋅=-+[]12,2,,44x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦ 令2()41,h x t t =-+1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则h(t)∈[-3,1]. ------------------------------------10分 ∵k ≤h(t)有解 ∴k ≤1故符合条件的实数k 的取值范围为（-∞，1]. ------------------------12分21. 证明：（Ⅰ）连接BD . ∵四边形ABCD 为菱形， 60=∠BAD ， ∴△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点，∴AD BQ ⊥．∵PD PA =,Q 为AD 的中点，∴AD PQ ⊥．又Q PQ BQ = ， ∴AD ⊥平面PQB ． --------------------------------6分 （Ⅱ）当31=t 时，PA ∥平面MQB ．下面进行证明： 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ．∵AQ ∥BC ， ∴12AN AQ NC BC ==． 又∵PC PM 31=， ∴12PM MC =． ∴12PM AN MC NC ==， ∴MN ∥PA .又⊂MN 平面MQB ，⊄PA 平面MQB ， ∴PA ∥平面MQB ．------------12 分 【另解】 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． ∵AQ ∥BC ， ∴12AN AQ NC BC ==． 若PA ∥平面MQB ，又PA ⊂平面PAC ，平面MQB 平面PAC MN =，∴MN ∥PA . ∴12PM AN MC NC ==． ∴PC PM 31=，即31=t ． 22.解：(Ⅰ)设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=则1024201030DE EF D E F ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪+++=⎪⎩--------------------------------2分 解得D=-6,E=4,F=4 --------------------------------4分 所以圆C 方程为226440x y x y +-++= --------------------------------5分 (Ⅱ)设直线l 存在，其方程为y x b =+，它与圆C 的交点设为A 11(,)x y 、B 22(,)x y则由226440x y x y y x b⎧+-++=⎨=+⎩得2222(1)440x b x b b +-+++=（＊）∴ 122121442x x b b b x x +=-⎧⎪⎨++⋅=⎪⎩ --------------------------------------------7分∴1212()()y y x b x b =++=21212()x x b x x b +++因为AB 为直径，所以，2222222221122121290,,()()AOB OA OB AB x y x y x x y y ∠=︒∴+=∴+++=-+-得12120x x y y +=， ----------------------------------------9分 ∴212122()0x x b x x b +++=，即2244(1)0b b b b b +++-+=， 2540b b ++=，∴1b =-或4b =- -----------11分容易验证1b =-或4b =-时方程（＊）有实根.故存在这样的直线l 有两条，其方程是1y x =-或4y x =-. --------------------12分。